Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных и уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному гиперболическому уравнению тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Список обозначений

Введение

Глава I. Псевдоди$ференциальные операторы с бесконечным числом переменных с символами, зависящими от квадратичной формы

§ I.I. Пространства CL^. I?

§ 1.2. Символы, зависящие от квадратичной формы, и порождаемые ими меры

§ 1.3. Псевдодифференциальные операторы с символами класса Ж*

Глава 2. Разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению

§ 2.1. Уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному гиперболическому уравнению

§ 2.2. Доказательство разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа.

Глава 3. Единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению.

§ 3.1. Дифференцируемость по Фреше оператора сдвига по траекториям.

§ 3.2. Разрешимость уравнения Лиувилля

§ 3.3. Единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа.

Интерес к изучению дифференциальных й псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных и связанных с ниш уравнений в значительной мере стимулируется потребностями теоретической физики. Квантовая теория поля приводит к изучению бесконечномерных эллиптических операторов с разделяющимися переменными и их возмущений. В статистической гидромеханике и статистической нелинейной оптике изучается уравнение Хопфа для характеристического функционала статистического решения соответствующего эволюционного уравнения, содержащее псевдодифференциальный оператор с бесконечным числом переменных. Важным источником дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных является теория марковских случайных процессов в бесконечномерных пространствах, дающая бесконечномерный оператор Лапласа и связанные с ним уравнение диффузии и уравнение Пуассона. С другой стороны, изучение дифференциальных и псевдодифференциальных операторов в пространствах функций бесконечномерного аргумента является естественным шагом после изучения этих операторов в пространствах функций конечномерного аргумента.

Дифференциальным и псевдодифференциальным операторам с бесконечным числом переменных и связанным с ними уравнениям посвящены многочисленные работы. Отметим основополагающие исследования В.И.Авербуха, О.Г.Смолянова и С.Ь.Фомина [I] ,[2] , Ю.М.Бере-занского и его учеников [7]-[э], М.И.Вишика и его учеников [ю] , [13]-[is], Ю.Л.Далецкого [22], Ю.Л.Далецкого и С.Б.Фомина [23] , О.Г.Смолянова [35] , [Зб] , Л.Гросса [53] , [54] , П.Кри [58], работы А.В.Марченко [27] , [28] , Н.Н.Фролова [45], Р.Л.Шахбагяна [49]-[51] , Б.Ласкара [59]-[6l| и других математиков [б] ,[25] ,[33] ,

34] , [42] , [4б], [62] . Смежным вопросам теории меры в бесконечномерных пространствах были посвящены фундаментальные исследования Ю.В.Прохорова [31], Р.А.Минлоса [29] и В.В.Сазонова [32] .

Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных и соответствующие уравнения в пространствах функций, равномерно приближаемых функциями конечного числа переменных на ограниченных множествах, изучались М.И.Виши-ком и его учениками £10], [13]--£15}. При этом бесконечномерные дифференциальные операторы рассматривались как замыкания конечномерных в соответствующем пространстве функций бесконечномерного аргумента. В работах [13] , [ilfj была определена алгебра псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, порождающими счетно-аддитивные меры ограниченной вариации в соответствующем гильбертовом пространстве, и построены фундаментальные решения некоторых бесконечномерных эллиптических операторов, реализующиеся такими мерами. Разработанная в [l3], [ю] методика была обобщена М.И.Вишиком в работе [15] для доказательства существования фундаментального решения бесконечномерного равномерно эллиптического оператора любого порядка с постоянными коэффициентами. Однако важный случай бесконечномерного оператора Лапласа, его итераций и некоторых других функций от него остался неисследованным. С другой стороны, Л.Гросс [53] показал, что для бесконечномерного оператора Лапласа, определенного как след второй производной Фреше, фундаментальное решение можно реализовать как € -конечную положительную счетно-аддитивную меру в гильбертовом пространстве, а В.Ю.Бенткус [б], изучая уравнения для мер в гильбертовом пространстве, распространил этот результат на итерации оператора Лапласа.

Актуальной научной задачей является дальнейшее развитие и обобщение этих методов, в том числе построение класса псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символам!, порождающими б"-конечные меры в соответствующем гильбертовом пространстве, и изучение на этой основе разрешимости дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных.

Важным примером псевдодифференциального оператора с бесконечным числом переменных является псевдодифференциальный оператор в уравнении Хопфа для характеристического функционала статистического решения эволюционного уравнения. Задача Коши для уравнения Хопфа, соответствующего системе Навье-Отокса, была впервые поставлена Э.Хопфом [57], а разрешимость этой задачи Коши была установлена при разных предположениях Ч.Фояшем 5.55], [56] , [43] , [44] , А.М.Бершиком и О.А.Ладыженской [il] , [тг] , М.И.Би-шиком и А.В.Фурсиковым [16] , [17] , [iy] , А.А.Арсеньевым [з] ,[4] . Ч.Фояш [55] , [56] установил также условия, при которых имеет место единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего системе Навье-Стокса.

Разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному волновому уравнению, была впервые установлена М.И.Вишиком и А.И.Комечем [18] в случае периодических граничных условий. Используя несколько иной подход к понятию статистического решения, не опирающийся на уравнение Хопфа, А.А.Арсеньев [б] построил пространственно-временное статистическое решение нелинейного волнового уравнения. Отметим также работы Т.В.Гири [20] и Д.А.Хрычева [47] , [48] , М.Вио [63], в которых изучалось нелинейное волновое уравнение с белым шумом.

Актуальной задачей является доказательство разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному волновому уравнению в случае произвольной области и других граничных условий, и выяснение условий, при которых имеет место единственность решения задачи Коши.

Изложим кратко содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена построению одного класса псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, зависящими от квадратичной формы, и их приложениям .

Пусть Н - вещественное гильбертово пространство последоее вательностей х = , где эс.^^ + ао , с нормой

ОО Lfa t-i.

Цэс.1! = (2, ocf ) # Возьмем последовательность >о такую, i-i. что 2Z , и рассмотрим вещественное гильбертово пространство Н^ последовательностей эс = (осА> эсг;.) , для которых

Z Q-Z , £

0(1 L , снабженное нормой II = ^ 2 )

Обозначим через Н подпространство тех эс^Н^ , для которых Х- = О при 1>А/ . Для ОС = (эс1( ^ Н^ положим Pv эс =

Всякая функция у на пространстве Н ^ определяет функцию на пространстве Н± по формуле (Р* <р)( где хе Н^. Определим пространство шлиндрических функций на пространстве Н £ как линейную оболочку множества ЯкС*(Ы) • где СзМ-Р;[СГ("')]. йяяфункши | , определенной на пространстве Ь^ , положим

S'R 11*11^* T R 11X1/T

Скажем, что функция ^ , определенная на пространстве H±j г I принадлежит пространству L.ь5 , если для нее существует последовательность функций -fn.eCg* » такая, что т) S ULD II £ п, II < + оо •

2). при для любого R>0

- 10 -fi j (К)

Сходимость в пространстве s вводится следующим образом: последовательность функций сходится к ф-ункции если для функций f и Д , где Не N . выполнены условия I) и 2). Пространство CL^ оказывается полным относительно введенной сходимости. Положим с5, CL4L

Определим псевдодифференциальный оператор с символом где - комплекснозначная функция на полупрямой (о, + °°) и (^1,1) - квадратичная форма на гильбертовом пространстве Н , такая, что для любого afllll^fAt,!)^ , где

Скажем, что символ принадлежит классу Ж* , если функция является преобразованием Лапласа комплекснозначной меры S на полупрямой (о, ; о удовлетворяющей условию

5 (L + Ul) I 6*1 (oLul) < foo О где - полная вариация меры в .

Определим меру на гильбертовом пространстве , порожденную символом класса . По скольку $ ((А |)) = , -(АЪЬ)и ] £ б" (оiu.) , а символ в порождает борелевскую вероятностную меру ри в пространстве И± , то положим

I) U (Е) « f p^(E)6(cLu.) о для тех борелевских подмножествах Е пространства И^ , для которых интеграл в правой части (I) имеет смысл. Б § 1.2 доказано, что функция множеств jul является 6 -конечной счетно-аддитивной мерой, определенной на %-кольце s4К борелевских подмножеств пространства Н± , погружаемых в цилиндрические множества с ограниченными основаниями из пространства Нк , где к >Хы-,

Для функции , где Л/> к и К>2ос , положим

Л ^ л/ где ^ - псевдодифференциальный оператор с символом )) и ^(Ч^) - преобразование Фурье функции fC^) . В § 1.3, опираясь на результаты § 1.2, показано, что Л ж ^Сю

По линейности оператор 2 определен на всем пространстве где к > ос , причем § <f g CL для .

Теорема I.I. Оператор $ с символом класса Ж( А оL г\ (К) продолжается с пространства до непрерывного оператора

Л (к) где К у с2. об и 5 > об об , причем ffe) 5

2) W = для С*/ где ^ - порожденная символом мера на пространстве н, ' А д Гя;

Оператор $'CLs—>Clj , где K>Z<=c и S>2oc , задаваемый формулой (2), назовем псевдодифференциальннм оператором с символом класса Ж" л

Пусть Р - многочлен. Оператор Р = Р((4, где

9) - М \ п си-\.1гЪхл > 1ъх2 >•--/ , определенный на пространстве L.^ , допускает замыкание в пространстве CL (см. [10] ). Рассмотрим дифференциальное уравнение с бесконечным числом переменных

К = {.

Если корни многочлена Р лежат в открытой левой полуплоскости С , то, как показано в работе П.М.Клехера и М.И.Вишика ioj , это уравнение для всякой функции ^еСЛ имеет решение UL е С А.

Теорема 1.2. Пусть корни многочлена Р лежат в замкнутой левой полуплоскости С комплексной плоскости и р - наибольшая из кратностей тех его корней, которые лежат на мнимой оси.

С к)

Тогда уравнение Pu=*j> при любой правой части , где к>Яр и S>2p , имеет решение u = Rf&CL , где R - псевдодифференциальный оператор с символом И((/If, £)) =

Меру JUL , порожденную символом назовем фундаментальным решением дифференциального оператора f> = P((/\2),2)))(

Пример. Фундаментальным решением бесконечномерного опера

О 2 тора Лапласа s^z является мера Грина GJ на пространстве Н , определенная формулой QfE)= , о где- Е - борелевское подмножество пространства Ц и р^абстрактная мера Винера на пространстве Н, , построенная по

-IIIU2 и, п функционалу О. . Уравнение Пуассона имеет решение в пространстве CL для любой функции , где и S >«2., . Это решение дается формулой

О) = JfO-г) QCd*) .

Вторая глава диссертации посвящена доказательству разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению.

Пусть Cq - ограниченная область в с гладкой границей 'ЪС, .В классе измеримых вещественных функций il = il (±3 эс) ? где t ^ о и Хб Q , рассмотрим нелинейное гиперболическое уравнение с нулевым граничным условием Лгс - |гс( 1L 1L\ -о

I Го.+оо) x^Q > где Уравнение (3) эквивалентно гамильтоновой системе , р = Ли.- 1-u.l гг. з - ^ , = Р S Л с гамильтонианом н(р,-)=S г I р^^йШ-У 4 J ^ ,

Q 1=1 ' которую мы коротко запишем в виде

4) У = Iffy) , где у = (р,Ю> Vfy) = р) #

Энергетическим фазовым пространством нелинейного гиперболического уравнения (3) (гамильтоновой системы (4)) назовем пространство сЛ1= 1^(0) « [И о (Q) П С нормой tiytij^-= ЦрЙ +l|ttliA + llull^ . Это пространство состоит из функций •у = Ср, -и-) t для которых конечен гамильтониан и выполнено (в среднем) нулевое граничное условие. Положим х [}($), Пусть <•,*> - соотношение двойственности между пространствами кМ и Л>1* , jH^ и JU/^*

Уравнением Хопфа, соответствущим нелинейному гиперболическому уравнению (3), называется эволюционное уравнение для хаг-рактеристических функционалов X(~t,со) - J*et<67'^ jll^ борелевских вероятностных мер jul,^ на пространстве JUL :

5) XfauJ)* I Ну. ХМ , где оператор Н- бесконечномерный псевдодифференциальный оператор

Отображение "Ь ь-» jj.^ % где t^-o , называется статистическим решением нелинейного гиперболического уравнения (3) с начальной мерой jul0 , если функционал X(-b)(Jo)~jH^ici) является решением задачи Коши для уравнения Хопфа (5) с начальным условием Z(o,ui) = fi0(io) : t t6) xfaud)- %(o,u)) = i J ? где t>o И coeJtl^. с

Пусть {ек}к(£/у/ - ортонормированный базис в пространстве L4Q) » состоящий из собственных функций оператора Лапласа с нулевым условием на границе области Q , i : Jj~(Q) -* LZ(Q) - ортопроектор на линейную оболочку первых Л/ собственных функций. Для g = (p,LC) &L1CQ)XLZ(Q) ПОЛОЖИМ у = (Ры р, Р„и) #

Теорема 2.1. Пусть начальная мера jul0 удовлетворяет условию л

Тогда задача Коши для уравнения Хопфа (5) разрешима, т.е. выполняется (6), причем

SUf l^^)^(h) .

Третья глава диссертадии посвящена доказательству единственности решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению (3).

Будем рассматривать уравнение (3) при , удовлетворяющих условию

7; «2. , если 2 ; Z < £ X + , если и. ^ 3 , обеспечивающему единственность индивидуальных решений этого уравнения (см. [26] ).

Поскольку при таких ^ непрерывно вложение с. г то энергетическое фазовое пространство UL совпадает с пространством LZ(Q) * Но (6) , а норма в пространстве М. эквива i-h лентна норме "^"xt = ( "Р"г + )

Теорема 3.1. Пусть е^ удовлетворяет условию (7). Тогда решение X(t}u)) задачи Коши для уравнения Хопфа (5) с начальным условием X(o,l0)=Ju,o(c0) единственно на отрезке 0°,Т] , если начальная мера jjl0 удовлетворяет условию

I sap e«f ^„(^ < + оо ; в котором ^ = , Т) > О .

Б заключение перечислим основные результаты диссертации.

1. Построен класс псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, порождающими б"-конечные меры в гильбертовом пространстве, на основе этого расширен класс дифференциальных операторов с бесконечным числом переменных, для которых описаны фундаментальные решения, и получены новые результаты о разрешимости дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных.

2. Доказана разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению, рассматриваемому в ограниченной области пространства IR.'V с гладкой границей с нулевым условием на границе.

3. Доказана единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению.

Результаты диссертации могут найти приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных, в математической физике и в статистической нелинейной оптике.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены без соавторов.

Результаты диссертации опубликованы в работах [37] - [41].

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах механико-математического факультета Московского государственного университета.

Приношу глубокую благодарность профессору М.И.Вишику за постановку задач и внимание к работе.

1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Дифференцируемые меры. - Тр. Моск. мат. о-ва, 1971, 24,с.133-174.

2. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. 2. Дифференциальные операторы и их преобразование Фурье. Тр. Моск. мат. о-ва, 1972, 27, с.247-262.

3. Арсеньев А.А. Построение турбулентной меры для системы уравнений Навье-Стокса. Докл. АН СССР, 1975, 225, Ж, с.18-20.

4. Арсеньев А.А. Построение турбулентной меры для системы уравнений Навье-Стокса. Матем. сб., 1976, 101, JS2, с.204-211.

5. Арсеньев А.А. 0 статистических решениях нелинейного волнового уравнения. Дифф. ур., 1979, 15, J£7, с.1239-1252.

6. Бенкус В.Ю. 0 фундаментальном решении бесконечномерного итерированного оператора Лапласа. Лит. матем. сб., 1977, 17, М, с.5-20.

7. Березанский Ю.М., Самойленко Ю.С., Ус Г.Ф. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных. В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. - Новосибирск: "Наука", 1977, с.20-41.

8. Березанский Ю.М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных. Киев: Наукова думка, 1978.

9. Вершик A.M., Ладыженская О.А. Об эволюции мер, определяемой уравнениями Навье-Стокса, и о разрешимости задачи Коши для статистического уравнения Хопфа. Докл. АН COOP, 1976, 226, ЖЕ, с.26-29.

10. Вершик A.M., Ладыженская О.А. Об эволюции мер, определяемой уравнениями Навье-Стокса, и о разрешимости задачи Коши для статистического уравнения Хопфа. Зап.'научн. семинаров Ле-нингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 1976, 59, с.3-24.

11. Вишик М.И. Параметрикс эллиптических операторов с бесконечным числом независимых переменных. УМН, 1971, 26, вып.2, с.155-174.

12. Вишик М.И., Марченко А.В. Краевые задачи для эллиптических и параболических операторов второго порядка на бесконечномерных многообразиях с краем. Матем. сб., 1973, 90, J'3, с.331-371.

13. Вишик М.И. Фундаментальные решения бесконечномерных эллиптических операторов любого порядка с постоянными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1973, 208, М, с.764-768.

14. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Задача Коши для уравнения Хопфа, соответствующего параболическим уравнениям. Статистические решения и моментные функции. Докл. АН СССР, 1976, 227, №5, с.1041-1044.

15. Вишик М.И., Фуосиков А.В. Уравнение Хопфа, статистические решения, моментные функции, соответствующие системе уравненийНавье-Стокса и уравнению Бюргерса. Институт проблем механики АН СССР, препринт JS66, М., 1976.

16. Вишик М.И., Комеч А.И. О разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению. Труды сем. им. И.Г.Петровского, 1978, вып.З, с.19-42.

17. Вишик М.К., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980.

18. Гиря Т. Разрешимость прямого уравнения Колмогорова, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению с белым шумом.- Beстн.Моск.ун-та, сер."матем.,мех.у 1980, М, с.65-70.

19. Го I.C. Гауссовские меры в банаховых пространствах. М.: Мир, 1979.

20. Далецкий Ю.Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения. УМН, 1967, 22, вып.4, с.3-54.

21. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983.

22. Красносельский М.А. Непрерывность одного оператора. Докл. АН СССР, 1951, 77, J52, с.185-188.

23. Курбыко И.Ф. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и связанные с ними уравнения. Владимир, 1983 (Деп. в ВИНИТИ, £1209 - 83).

24. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972.

25. Марченко А.В. Об индуктивных пределах линейных пространстви операторов и их приложениях. Вестн. Моск. ун-та. Матем., мех., 1974, £2, с.26-33.

26. Марченко А.Б. Самосопряженные дифференциальные операторы сс бесконечным числом независимых переменных. Матем. сб., 1975, 96, Ш, с.276-293.

27. Минлос Р.А. Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры. Тр. Моск. мат. о-ва, 1959, 8, с.497-518.

28. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

29. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теор. вероятн. и прим., 1956, I, №2, с. 177-238.

30. Сазонов В.В. Замечание о характеристических функционалах. -Теор. вероятн. и примен., 1958, 3, 1£2, с.201-205.

31. Самойленко В.Г. 0 самосопряженности эллиптического оператора второго порядка с бесконечным числом переменных. Укр. матем. журн., 1982, 34, }Ь5, с.647-650.

32. Самойленко Ю.С., Ус Г.Ф. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами на функциях счетного числа переменных. В сб.: Матем. модели стат. физики, Тюмень, 1982, с.151-155.

33. Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. М.: МГУ, 1979.

34. Смолянов О.Г. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование по Шредингеру. Докл. АН СССР, 1982, 263, Ш, с. 558-562.

35. Соболев С.И. Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных, порождаемые мерши степенного роста. -Вестн. Моск. ун-та, сер. "матем., мех.", 1974, J£2f с.52-61.

36. Соболев С.И. Об одном классе псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных, символы которых зависят от квадратичной формы. Вестн. Моск. ун-та, сер. "матем., мех".,' 1974, ЖЗ, с.22-31.

37. Соболев С.И. Статистические решения нелинейных гиперболических уравнений в неограниченной области. Вестн. Моск. ун-та сер."матем., мех.", 1977, с.34-40.

38. Соболев С.И. 0 единственности решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению. Москва, 1982, (Деп. в ВИНИТИ, )г5353 - 82).

39. Соболев С.И. Теорема единственности статистических решений одного нелинейного гиперболического уравнения. УМН, 1983, 38, с.121-122.

40. Феллер М.Н. 0 разрешимости бесконечномерных самосопряженных эллиптических уравнений. Докл. АН СССР, 1975, 221, с.1046-1049.

41. Фояш Ч. Статистические решения нелинейных эволюционных уравнений. Математика, 1973, 17, Ш, с.90-113.

42. Фояш Ч. Функциональная трактовка теории турбулентности. -УМН, 1974, 29, вып.2, с.282-313.

43. Фролов Н.Н. Фундаментальные решения бесконечномерных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1981, 261, с.1063-1066.

44. Хренников А.30. Уравнения с бесконечномерными псевдо дифференциальными операторами. Докл. АН СССР, 1982, 267, Jf6,с.1313-1318.

45. Хрычев Д.А. Од одном стохастическом квазилинейном гиперболическом уравнении. -Матем. сб., 1981, 116, #3, с.398-426.

46. Хрычев Д.А. О разрешимости одного нелинейного гиперболического уравнения с белым шумом. УМН, 1981, 36, вып.З, с.231--232.

47. Шахбагян Р.Л. Краевая задача в полупространстве для эллиптических операторов второго порядка с бесконечным числом независимых переменных. Изв. АН Арм. ССР, Матем., 1976, II, И, с.82-96.

48. Шахбагян Р.Л. Эллиптическая задача с параметром для уравнений второго порядка с бесконечным числом независимых переменных. Изв. АН Арм. ССР, Матем., 1977, 12, М, с.252-261.

49. Шахбагян Р.Л. Общая краевая задача для уравнений эллиптического типа высокого порядка с бесконечным числом независимых переменных. Изв. АН Арм. ССР, Матем., 1983, 18, М, с.49--64.

50. G?Z0SS L. /Mstzcust Wcen&L. s.paa>4.- 2к>с, 5 tk Be^ketey Sy+n, Mevbh. S-bcct. V. X, p. 31-If53. dftcss L -tkwuj o+v Ullie^t $рсиг.- Fu*iet. AmJ., 1, vl, p.iZi-iei.

51. Gloss L. fiBsi'uut WceuM, т&алиле. алиСp<rte«ctLal с*. flnxJL^ii амА cypiicqtlo+14 f v. X, Le&bunx. r^o-te^ in. v. l^O, 1940, p. Sty-lie

52. Foias C. Statistical stuxLy cfi П/a^ie^ Stolon ЕуихсЫоуьл,, 7. -fie+td. Se+»U>i. Meet. TJrUv. PclcLovcl t 1S?2} рщ £.19-3*/,?

53. Foias c. Statistical stuuty of l^ou/ie^ Stokes ЕуииооЫ СУУг-^ И —W, S&mln. Шск. TSnlv. PousLoi/ft.^ 4 973, кв, />. 9-123,

54. Hopf Statistical oauL czdudu*-J. Hotional МгЖ., Avuxl., £9S2} ±t p. 84-123 .

55. KtUS. SoLcticn^ cL'еуил-Ыо** сих* oti>Uv<Cej fon*-tion.vieA&u . Pft^Us,59. LAppbtsvtiobt,. C. fc. Ac^axL. sci., 19??, 4, <S13> p. АЧ61-A4€$.

56. Lt&s 8, ~0~yJL cWiito^ Уиьильсиъе. e.t su^Lso,ycte d'MiptiUU роиъ иы. сЛал^е d> ope^xttex^s e*,оUvw^Uvvb i-H^aie,- Pftfti, Ec^uxct. f 4vp. 31-<34.

57. LclSOOA. В, /Voycuux ci W сЛсте ci' 0рШсЬ&ЛА4 pseculo-diff&t£s*,-bie£>,s Stoi V елpo.ce. oU Foc& appZccabionA.РсшЯ Кии. B^uct. d&fUi/. рй/vbiet. Lnp.Kle. ~U~yUv. PieruieNcuUe. CusUe. , ±97€ 1 9?7 t 3, " €, p. 1-43.

58. Syocpien. £. SohcbLon, ^ovLdxcr^es^boJU. d' орелАгЬ&сщ clif^e-%e*t£L<i& GUrn.e*vsCcn. Ln^lrUe. . C. z. Acad. sci .t , Z£3) A/6, p. A30S-A30Z.

59. Viot IH, SotcjbLcn. cL1 ouu.x cLd'Uvezj рая.-•bi&C&u s-bocJu^bl^cje. уыу1л. ; Tfiese. J?cvUs t 1946.

60. Wid-cUt, V. TU baftcuu. -Ьгллц^оып. . Ръсук&ЬОП. : ЯЪСМА-ЬОЪT^wxV. J?t<Z4i>