Редукция псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК имени В.А. Стеклова

Отдел дифференциальных уравнений

На правах рукописи

Арутюнов Андроник Арамович

РЕДУКЦИЯ ПСЕВ ДО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА НЕКОМПАКТНОМ МНОГООБРАЗИИ К ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРАМ НА КОМПАКТНОМ МНОГООБРАЗИИ УДВОЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

3 ОКТ 2013

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2013

005533851

005533851

Работа выполнена в Математическом институте Российской академии наук имени В.А. Стеклова

Научные руководители:

доктор физико-математических наук,

академик РАН профессор Аносов Дмитрий Викторович

доктор физико-математических наук, профессор Мищенко Александр Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Нецветаев Никита Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор Стернин Борис Юрьевич

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет.

Защита состоится " 21 " ноября 2013 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте РАН по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, Д.8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "_"_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.02, доктор физико-математических наук

Ю.Н. Дрожжинов

Общая характеристика работы Задача вычисления индекса эллиптических псевдодифференциальных операторов была поставлена И.М. Гельфандом в 1960 году. В 1962 году была опубликована известная теорема Атьи-Зингера (см. [16]), позволяющая вычислять индекс эллиптического псевдодифференциального оператора на компактном многообразии через гомотопические инварианты. В то же время вычисление индекса эллиптического оператора на некомпактном многообразии до сих пор является открытой задачей даже в случае, когда в роли многообразия выступает пространство R™.

Еще одним направлением развития проблемы изучения индекса эллиптических операторов является изучение нелокальных псевдодифференциальных операторов. Как и в случае обычных псевдодифференциальных операторов, имеется большое количество весьма общих работ, в которых вычисляется индекс для нелокальных псевдодифференциальных операторов на компактных многообразиях. Так в работе М.С. Аграновича ([13], 1990) получена формула для вычисления индекса нелокальных псевдодифференциальных операторов с конечной группой сдвигов. Для случая более сложных групп отметим монографию В.Е. Назайкинского, А.Ю. Савина, Б.Ю. Стернина ([8], 2008), в которой получены результаты для случая групп, сохраняющих некоторую метрику на компактном многообразии.

Имеются работы, в которых описаны достаточно узкие классы операторов, действующих в пространстве Шварца <S(Rn). Отметим, в частности, работы В.В Грушина [9] и B.C. Рабиновича [11], в которых рассмотрены частные случаи псевдодифференциальных операторов (далее ПДО), действующих в S(Rn). В работе [9] получена формула для индекса, рассматриваемых в этой работе псевдодифференциальпых операторов действующих в R". При этом в цитированной работе на изучаемые символы накладываются обременительные ограничения. В работе [11] обсуждается вопрос фредгольмовости, однако формула для индекса не получена.

Класс биградуированных псевдодифференциальных операторов рассматривался в монографии F. Nicola, L. Rodino ([17], 2010). В этой моно-

графии изучены различные классы символов псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца. Кроме того, исследован вопрос фредгольмовости этих операторов, однако явной формулы для индекса также не получено.

Для построения отождествления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии и псевдодифференциальных операторов на компактном многообразии, строится редукция, впервые предложенная для изучения псевдодифференциальных операторов С.П. Новиковым. Ранее данное отображание использовалось также в работе И.М. Гельфанда ([15], 1950) при доказательстве теоремы о разложении в интеграл Фурье по собственным функциям. Указанная редукция используется также в задачах усреднения (во всем пространстве), см. например работу В.В. Жикова ([14], 2005).

Цель работы. Цель настоящей работы состоит в построении редукции псевдодифференциальных операторов с биградуированными символами, действующих над пространством К", к псевдодифференциальным операторам, действующим в пространстве гладких сечений некоторого расслоения тора удвоенной размерности Т2п, а также при получении формулы для индекса широкого класса классических и нелокальных псевдодифференциальных операторов.

Методы работы. В работе применяются методы функционального анализа (преобразование Фурье), алгебраической топологии (формула Атьи-Зингера, векторные расслоения) и теории псевдодифференциальных операторов (общие свойства классических и нелокальных ПДО).

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

• Построена редукция между пространством Шварца 5(11™) и пространством гладких сечений расслоения тора Т2" удвоенной размерности.

• Построена редукция биградуированных псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца к псевдодифференциальным операторам в пространстве гладких сечений

расслоения тора!

• Получена формула для индекса биградуированных псевдодиф-фернциальных операторов в пространстве Шварца.

• Построена редукция нелокальных псевдодифференциальных операторов с целочисленными сдвигами в пространстве Шварца, к псевдодифференциальным операторам без сдвигов в пространстве гладких сечений расслоения тора. Получена формула для вычисления индекса таких операторов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории псевдодифференциальных операторов и могут применяться для изучения псевдодифференциальных операторов (локальных и нелокальных) на некомпактных многообразиях, к исследованию различных классов дифференциальных уравнений, а также для переноса топологических инвариантов со случая компактных многообразий на некомпактные.

Аппробация работы

• На семинаре "Некоммутативная геометрия и топология "механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. A.C. Мищенко. (2012 год).

• На топологическом семинаре имени В. А. Рохлина ПОМИ РАН имени В. А. Стеклова под руководством проф. Нецветаева (2013 год).

• На семинаре отдела дифференциальных уравнений математического института РАН имени В. А. Стеклова. под руководством академика Д.В. Аносова (2013 год).

• На семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. Е.В. Радкевича. (2013 год).

• На семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. В. М. Тихомирова (2011 год).

• На международной молодежной конференции Ломоносов-2013 (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2013 год).

Структура работы. Работа создает из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, включающего в себя 19 наименований. Общий объем диссертации - 58 страниц.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две печатные работы.

Краткое содержание работы.

Во введении дается литературный обзор, обосновывается актуальность работы, описывается ее структура и дается краткое содержание диссертации. Приводятся основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе формулируются основные определения (параграф 1.1) и формулируются основные теоремы для псевдодифференциальных операторов без сдвигов (параграф 1.2).

Определенный в диссертации класс символов псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца, являющийся для нас основным, определяется аналогично классу, так называемых, БС-операторов (см. работы ([17], 2010), ([19], 2003)). Класс рассматриваемых символов состоит из бесконечно-дифференцируемых функций ст(х, £), удовлетворяющих при некоторых вещественных параметрах (7711,7712) и при всех мультииндексах а,/3 неравенству

\д^а(х,0\ < С«,/5(1 + ИГНа|(1 + К!)"1*-"51

Класс таких символов мы будем обозначать через £т''т2(11п хИ"), а паРУ (т1, т2) будем называть обобщенным порядком роста символа. Псевдодифференциальные операторы, действующие в пространстве Шварца 5(11™) с символами из класса 5т1,т2(Кп х И"), будем называть бигра-дуированным операторами обобщенного порядка (т^тг).

Операторы с такими символами отождествляются с псевдодифференциальными операторами, действующими в пространстве гладких сечений некоторого расслоения тора Т2™ удвоенной размерности. Это пространство M(R2") можно также понимать, как функциональное пространство, состоящее из бесконечно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию косопериодичности. А именно, бесконечно-дифференцируемая функция h(t,v) 6 C°°(Rn х Rn) лежит в пространстве M(R2n), если для нее при всех (£, v) € Rn х R" условия

h(t + е, и) = h(t,v), h(t, v + е) = e~2Titeh{t,v),

выполняются для всякого целочисленного вектора е € Z™.

Редукцию осуществляет преобразование Л, определяемое следующим образом

Л:/(х)-> ]Tew/(u + </)- (1)

ие zn

Преобразование Л устанавливает изоморфизм между пространствами 5(R") и M(R2n).

Теорема 1. Ряд (1) сходится абсолютно. Пространство Шварца 5(R'1) изоморфно пространству М(R2") относительно отображения Л. Обратное преобразование Л-1 задается по формуле

f(x) A_1/i(i,u) = J h(t, x)dt, Vh(t,v) G M(R2n). (2) i"

Теорема 1 была ранее приведена в одномерном случае в монографии В. Е. Назайкинского, А.Ю. Савина, Б.Ю. Стернина ([8], 2008).

Теорема 1 позволяет отождествить классы псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца с псевдодифференциальными операторами, действующими в пространстве М(R2n) в следующем смысле.

Пусть оператор А : tS(Rn) —>■ <S(Rn) явлется ПДО с символом а(х. £) обобщенного порядка (7711,7712). Рассмотрим оператор А = АЛЛ-1, дей-

ствующий в прострнастве М(Г12п).

Теорема 2. Оператор А является псевдодифференциалъным оператором в пространстве М(И2п) с символом + Для любых 271-мерных мулътииндексов а = (а^аг) и /3 — (/Зь/Зг) найдется такая неотрицательная констаната Са р, что имеет место неравенство

+ и>6)| - СаА1 + 1^1)т1_|а1|(1 + \Ь\)та~ы- (з)

Кроме того, оператор А задается по формуле

¡¡Л + V, Ь)}г(1у, Уу)С1^1Ь<Иу<1Уу. (4)

К2пх112„

Формулу (4) следует понимать в следующем смысле. Если взять функцию /¡,(г,г>) е М(К2™) и применить к ней как к обобщенной функции оператор А, определенный в формуле (4) и действующий, вообще говоря, в пространстве обобщенных функций 2?'(11.2п), то, как доказано в теореме 2, получится функция, лежащая в пространстве М(И?п).

Поскольку пространство М(Ы2п) отождествлено с пространством гладких сечений расслоения тора, то к оператору А в случае, если он является эллиптическим псевдодифференциальным оператором, можно применять формулу Атьи-Зингера. Напомним, что символ оператора называется эллиптическим, если он обратим. Псевдодифференциальный оператор называется эллиптическим, если его символ эллиптический ([16], 1968, стр. 130).

Теорема 3. Пусть А и А - операторы обобщенного порядка {ш\,т2) из условия теоремы 2. Если оператор А является эллиптическим, то для любых вещественных параметров 51,52 операторы А и А продолжаются до фредголъмовых операторов

А : Я51'82

Имеет место следующая формула для индекса

index А = index А = ich а + v, £2 ) , [Т2™] I . (6)

В формуле (6) через сН[а] мы обозначаем характер Черна (см. [7] стр. 81) расслоения, задаваемого символом [а], приведенным к базе Т2п при помощи изоморфизма Тома ([8], 2008, стр. 141).

Во второй главе приводятся доказательства теорем, сформулированных в первой части. В пункте 2.1, доказываются теоремы об изо-морфности пространств 5(Р1П) и М(И?п) и об эквивалентности норм в этих пространствах. В пункте 2.2. редукция Л расширяется на пространства обобщенных функций. В пункте 2.3. доказывается теорема 2 о редукции псевдодифференциальных операторов (без сдвигов) в пространстве Шварца к псевдодифференциальным операторам в пространстве М(Ы2п). В пункте 2.4. вычисляется индекс псевдодифференциальных операторов и доказывается теорема 3.

Множество псевдодифференциальных операторов, действующих в

ет всех псевдодифференциальных операторов, действующих в нем. В третьей главе приводятся и доказываются теоремы для нелокальных псевдодифференциальных операторов.

В пункте 3.1 формулируются основные определения и теоремы определяющие более общий, чем рассмотренный выше, класс псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве М(Т12п). Будем говорить, что бесконечно-дифференцируемая функция <т(а, Ь, с, d) €Е С°°(К4п) лежит в классе функций ¿>^ьТП2, если она пердиодична по первым двум группам переменных

и, кроме того, для всяких п-мерных мультииндексов а, /3 найдется такая

пространстве М(К2п) с символами

<т(а + ei, Ъ + е2, с, d) = <т(а, Ъ, с, d), \/еь е2 G Zn,

(7)

неотрицательная константа Са£, что имеет место неравенство

Ъ, с, ¿)| < Саф (1 + |с|)т1-1а| (1 + \d\r~W , Уа, Ъ, с, й. (8)

Пару (7711,7712) мы будем называть обобщенным порядком символа ст. Если взять в качестве символа оператора А такую биградуированную функцию <т, то после подстановки ее в формулу (4), определяемый ей оператор А будет псевдодифференциальным.

Если функция а обладает обобщенным порядком (7711,7722), то в силу периодичности по первым двум группам переменных она разложима в абсолютно сходящийся ряд Фурье то есть имеет место

¿■(а, Ь, с, (1) = е2^1ае2^кЬа1,к(с,с1). (9)

1,кеъп

Такое естественное расширение класса рассматриваемых ПДО в пространстве М(И2п) за счет умножения символов на периодические коэффициенты позволяет расширить действующие в пространстве Шварца псевдодифференциальные операторы до класса нелокальных ПДО с целочисленными сдвигами. Эти ПДО определены в пункте 3.2. следующим образом.

Класс нелокальных псевдодифференциальных операторов определяется следующим образом (см. например, [13], 1973). Обозначим через Тд паралельный перенос на вектор д £ Zn, то есть

Тд : Я" Я",

(10)

Тд : х х — д.

Пусть для всех 1,к £ Zn А^ - псевдодифференциальные операторы обобщенного порядка (7711,7772). Рассмотрим действующий в пространстве Шварца 5(11") оператор А : 5(Г1П) 5(ИП). Если оператор А

представим в виде абсолютно сходящегося ряда

а = ^кхАк, (п)

1,ке2п

то будем говорить, что оператор А является нелокальным псевдодифференциальным оператором обобщенного порядка (7711,7712).

Отметим, что в работах ([8], 2008), ([13], 1973) уже рассматривался более узкий класс операторов, у которых отличны от нуля только слагаемые А^о, то есть предполагается, что ряд (И) не содержит умножения на периодические функции.

В пунтке 3.3. строится редукция нелокальных ПДО, действующих в пространстве Шварца 5(К2п), к псевдодифференциальным операторам, действующим в пространстве М(И?п).

Пусть оператор А - псевдодифференциальный оператор обобщенного порядка (7711,7712), действующий в пространстве М(Л?п). Рассмотрим оператор А = Л-1ЛЛ, замыкающий коммутативную диаграмму

£(КП) -► М(Я2п)

л

А\

(12)

5(11") -> М(Н?п).

л

Иимеет место следующая редукция ПДО А к нелокальным операторам, действующим в пространстве Шварца.

Теорема 4. Оператор А является нелокальным ПДО обобщенного порядка (7711,77x2) и задается по формуле

А = (13)

1,к

где операторы Ак - псевдодифференциальные операторы с символами

Данная редукция позволяет расширить область применения теоремы 3 на нелокальные операторы с целочисленными сдвигами, действу-

ющие в пространстве Шварца, и вычислить индекс таких операторов.

Теорема 5. Пусть А и А - операторы из теоремы 4■ Тогда, если оператор А - эллиптический, то операторы А и А фредголъмовы в соответствующих нормах, то есть для любых вещественных параметров 51,52 € И. операторы

А : Я*1-52 -> Н^1-тиз2-т2^

А : Н^32 н^-"11'32-™2 (15)

являются фредголъмовыми. Имеет место формула для индекса

гпйех А = тйех А = ск

,[Т2"] . (16)

Четвертая глава содержит некоторые примеры применения результатов диссертации. В пункте 4.1. проводится сравнение с грушинскими операторам, изученными ранее В.В. Грушиным в работе ([9], 1970). Эта работа важна тем, что она является одной из наиболее полных работ, в которой вычисляется индекс псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца 5(11"). В пункте 4.2. описан широкий класс псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца, но не поддающихся изучению методами цитированной работы [9]. В пункте 4.3. разбирается частный случай этого класса ПДО, который, в частности, содержит и дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами.

Автор выражает глубокую признательность научным руководителям: академику РАН профессору Дмитрию Викторовичу Аносову и профессору Александру Сергеевичу Мищенко за внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Список литературы

[1] Арутюнов A.A., Мищенко A.C. Редукция ПДО исчесления на некомпактном многообразии к компактному многообразию удвоенной размерности. Доклады РАН. 2013. Т.451, N4. С. 369373.

[2] Арутюнов A.A., Мищенко A.C. Редукция исчисления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности. Математические заметки. 2013. Том 94, выпуск 4. С. 488-505.

Публикации, цитированные в работе.

[3] Гельфанд И.М. Об эллиптических уравнениях. Успехи матем. наук. 1960. Т. 15, вып. 3(93). С. 121-132.

[4] Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975.

[5] Зорич В.А. Математический анализ. М.:Наука. Физматлит. 1984.

[6] Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Добросвет. 2003.

[7] Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука. 1984.

[8] V. Е. Nazaikinskii, A. Yu. Savin, В. Yu. Sternin. Elliptic Theory and Noncommutative Geometry. Nonlocal Elliptic Operators. Birkhauser Verlag AG. 2008.

[9] Грушин B.B. Псевдодифференциальные операторы в Rn с ограниченными символами. Функциональный анализ и его прил. 1970. N4. С. 37-50.

[10] Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях. Итоги науки и техники. Совр. проблемы матем. 1990. Фунд. напр. Т. 63. М.: ВИНИТИ. С. 5-129.

[11] Рабинович B.C. Априорные оценки и фредгольмовость одного класса псевдодифференциальных операторов. Математический сборник. 1973. Т. 92 (134), N2 (10). С. 195 - 208.

[12] Маслов В.П. Операторный метод. М.: Наука. 1973.

[13] Антоневич A.B. Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов. Известия академии наук СССР. Серия математическая. 1973. Т. 37. N3. С. 663-675.

[14] Жиков В. В. О спектральном методе в теории усреднения. Тр. МИАН. 2005. Т. 250. С. 95 - 104.

[15] Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. Доклады АН СССР. 1950. Т. 73. N6. С. 1117- 1120.

[16] Atiyah М. F., Singer I. М. The index of elleptic operators on compact manifolds. 1963. Bull. Amer. Math. Soc. 69. P. 422-433.

[17] Fabio Nicola, Luigi Rodino Global Pseudo-Differential Calculus on Euclidian Spaces. Pseudo-Differential Operators Theory and Applications. Vol. 4. Springer Basel AG. 2010.

[18] V. Rabinbovich, S.Roch, B.Silbermann. Limit operators and their applications in operator theory in ser. Operator Theory Advances and Applications. Vol.150. Birkhauser. 2004.

[19] Fabio Nicola. K-theory of SG-pseudo-differential algebras. Proceedings of the american mathematical society. 2003. Vol. 131. N9. P. 2841-2848.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи

Л t члл -7 / / / А Т

ичйи1ООЧО1^

Арутюнов Андроник Арамович

РЕДУКЦИЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА НЕКОМПАКТНОМ МНОГООБРАЗИИ К ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРАМ НА КОМПАКТНОМ МНОГООБРАЗИИ УДВОЕННОЙ

РАЗМЕРНОСТИ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: д.ф.-м.н., академик Д. В. Аносов д.ф.-м.н., проф. А. С. Мищенко

МОСКВА - 2013

Введение

Задача вычисления индекса эллиптических псевдодифференциальных операторов была впервые поставлена И.М. Гельфандом в 1960 году в работе [3]. В 1962 году была опубликована известная работа [16] в которой приведена формула Атьи-Зингера, позволяющая вычислять индекс эллиптического псевдодифференциального оператора на компактном многообразии через гомотопические инварианты. Однако, вычисление индекса эллиптических операторов на некомпактных многообразиях до сих пор является открытой задачей даже в случае, когда в роли многообразия выступает Г1П.

Еще одним направлением развития задачи об изучении индекса эллиптических операторов является изучение нелокальных псевдодифференциальных операторов (ПДО со сдвигом). Как и в случае обычных псевдодифференциальных операторов (далее ПДО), есть большое количество весьма общих работ в которых вычисляется индекс для нело-

V'Л ''' ' ' ' ' 1 '

кальных псевдодифференциальных операторов на компактных многообразиях. Так в работе ([13], 1973) показана формула для вычисления индекса нелокальных ПДО с конечной группой сдвигов. В случаях более сложных групп отметим монографию ([8], 2008) в которой данная задача решается в случае когда действие группы изометрично, то есть сохраняет некоторую метрику на многообразии.

Есть работы в которых описываются узкие классы псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца. Так, в работе ([9], 1970) приведен случай ПДО, действующих в И" с символами, у которых все производные стремятся к нулю. В работе ([9], 1970) построена формула для индекса псевдодифференциальных операторов действующих на функциях, заданных в И/1. Однако, на изучаемые в работе ([9], 1970) символы накладываются обременительные ограничения, которые в настоящей работе не требуются.

Ранее классы биградуированных псевдодифференциальных операторов рассматривались в работах ([17], 2010), ([19], 2003), ([11], 2004). Авторы изучали вопрос фредгольмовости различных классов биграду-

ь

ированных псевдодифференциальных операторов, однако формулы для индекса таких операторов, получено до настоящего времени не было.

Определенный в диссертации класс символов псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца, являющийся для нас основным, определяется аналогично классу так называемых SG-операторов (см. ([17], 2010), ([19], 2003)). Класс интересующих нас символов состоит из бесконечно-дифференцируемых функций а{х, £) удовлетворяющих при некоторых вещественных параметриах (mi, 7712) и при всех мультииндексах о;, /3 неравенству

< Саф{ 1 + \х\)т*-М(1 + |£|ГН/?|

Класс таких символов мы будем обозначать через ^'"^(R" х Rn), а паРУ (^1, пьъ) будем называть обобщенным порядком роста символа. Псевдодифференциальные операторы действующие в пространстве Шварца <S(Rn) с символами из класса <Smi,m2(Rn х Rn) мы будем называть би-градуированным операторами обобщенного порядка (mi, тг).

Как будет показано в диссертации, операторы с такими символами отождествляются с псевдодифференциальными операторами, действующими в пространстве гладких сечений некоторого расслоения тора Т2п удвоенной размерности. Это пространство М(R2™) можно также понимать как функциональное пространство состоящее из бесконечно-дифференцируемых функций удовлетворяющих условию косопериодич-ности. А именно, бесконечно-дифференцируемая функция /г(£, v) € C°°(Rnx Rn) лежит в пространстве M(R2n) если для нее для всех (£, v) выполняются следующие условия

h{t + е, v) = h(t,v), h(t:v + е) = e~2*iteh(t,v),

для всякого целочисленного вектора е G Zn. Здесь и далее запись te обозначает скалярное произведение векторов t и е.

Редукцию осуществляет преобразование А определяемое следующим

образом

Л:/(аО-> ^е^Ди + г;).

(0.1)

Преобразование Л устанавливает изоморфизм между пространства-

Теорема 1. Ряд (0.1) сходится абсолютно. Пространство Шварца ¿>(11") изоморфно пространству М(В?п) относительно отображения Л. Обратное преобразование Л-1 задается по формуле

Теорема 1 была ранее приведена в одномерном случае в работе ([8], 2008).

Для отождествления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии и псевдодифференциальных операторов на компактном многообразии, отображения такого типа были впервые предложены для редукции операторных пространств С.П Новиковым (1960-е года, неопубликованное приватное сообщение). Ранее данное отобража-ние использовалось также в работе И.М. Гельфанда ([15], 1950) для доказательства теоремы о разложении в интеграл Фурье по собственным функциям. Также данное отображение используется в задачах усреднения (во всем пространстве), см. например работу ([14], 2005). В данных работах преобразование используется для редукции исходной задачи к более удобному виду, как в выражении (8) работы [14].

Теорема 1 позволяет отождествить классы псевдодифференциальных операторов. Пусть оператор А явлется ПДО с символом обобщенного порядка (7711,7712). Рассмотрим оператор А = А АЛ-1, действующий в прострнастве М(К2п).

Теорема 2. Оператор А является псевдодифференциалъным оператором в пространстве М(Л2п) с символом + и, £2)- Для любых 271-мерных мультииндексов а = (0:1,0:2) и ¡3 = {^1^2), найдется такая

ми £(11п) и М(К2п).

(0.2)

неотрицательная констаната что имеет место неравенство

+ ".«2)1 < Cad 1 + liil)raiHail(i + 1ЫГ-1-1- (0-3)

Оператор А задается по формуле

Ah{t, v) = JJJJ (0.4)

R2nxR2n

Здесь и далее d = (27r)~nd. Формулу (0.4) следует понимать в следующем смысле. Если взять функцию h G M(R2n) и применить к ней, как к обобщенной функции, оператор А, определенный в формуле (0.4) и действующий, вообще говоря, в пространстве обобщенных функций XV(R2n), то, как будет показано при доказательстве теоремы 2, получится регулярная функция, лежащая в пространстве М(R2n).

Поскольку пространство M(R2n) отождествлено с пространством гладких сечений расслоения тора, к оператору А в случае, если он является эллиптическим псевдодифференциальным оператором, можно применять формулу Атьи-Зингера. Напомним, что символ оператора называется эллиптическим если он обратим. Псевдодифференциальный оператор называется эллиптическим, если его символ эллиптический ([16], 1968, стр. 130).

Теорема 3. Если А и А - операторы из условия теоремы 2 обобщенного порядка (mi,m,2). Если оператор А является эллиптическим, то для любых вещественных параметров Si,S2 операторы А и А продолжаются до фредгольмовых операторов

А : HSl,S2 —> HSl~mi,S2~m2,

А . t7sbs2 , TTSi-mi,s2-m2 (0-5)

n . nM nM

Имеет место следующая формула для индекса

index А — index А= ( ch

, [т2Ч ). (о.б)

В формуле (0.6) мы обозначаем через сН[а] характер Черна (см. [7] стр. 81) расслоения, задаваемого символом [сг], приведенным к базе Т2п при помощи изоморфизма Тома ([8], 2008, стр. 141). -

Множество псевдодифференциальных операторов действующих в пространстве М(И2п) с символами вида о + V, £2), не исчерпывает всех псевдодифференциальных операторов, действующих в нем.

Будем далее говорить, что бесконечно-дифференцируемая функция а(а,Ь,с,(Г) е С°°(К4п) лежит в классе функций ¿>^ьт2, если она перди-одична по первым двум переменным

<т(а + б1,6 + в2,с, (Г) = <т(а, 6, с, «¿), € Ъп, (0.7)

и кроме того для всяких п-мерных мультииндексов а, ¡3 найдется такая неотрицательная константа Са,р, что имеет место неравенство

д?д$а(а, 6, с, <*)| < Са,0 (1 + |с|)тНа| (1 + \d\r~W . (0.8)

Отметим, что в отличии от классического определения, отсутствует падение порядка роста при дифференцировании по первым переменным. Взамен этого имеет место периодиочность. Если функция а(а, 6, с, с?) из этого определения не зависит от периодических переменных а, Ь, то мы получаем биградуированные символы, рассмотренные выше.

Пару (т^тг) мы будем называть обобщенным порядком символа а. Если рассмотривать в качестве символа оператора А такие биградуированные функции, то после подстановки ее в формулу (0.4), определяемый ей оператор А будет псевдодифференциальным.

Если функция о обладает обобщенным порядком (ттн, т2), то в силу периодичности по первым двум группам переменных она разложима в ряд Фурье

а(а, 6, с, <0 = е2т1ае2™кЬ(Т1,к{с, й). (0.9)

1,ке2п

Такое естественное расширение класса рассматриваемых ПДО в пространстве М(ТИ2п) за счет умножения символов на периодические ко-эфиценты, дает нам действующие в пространстве Шварца нелокальные

ПДО с целочисленными сдвигами в следующем смысле.

Класс нелокальных псевдодифференциальных операторов (ПДО со сдвигом) определяется следующим образом (см. например [13], 1973). Обозначим через Тд паралельный перенос на вектор д Е Zn. То есть

(0.10)

Тд : х и-)- х — д.

Пусть Ац- - псевдодифференциальные операторы обобщенного порядка (7711,7712), для всех 1,к е Zn. Рассмотрим действующий в пространстве Шварца ¿>(11п) оператор А : ¿¿(Б/1) ¿>(КП). Если оператор А представим в виде абсолютно сходящегося ряда

А = £ Т1е'кхА1:к, (0.11)

то будем говорить, что оператор А является нелокальным псевдодифференциальным оператором обобщенного порядка (7711,7722).

В работах ([8], 2008), ([13], 1973) рассматривается более узкий класс операторов у которых отличны от нуля только слагаемые А^о, то есть рассматривается ряд (3.9) без умножения на периодические функции.

Пусть оператор А псевдодифференциальный оператор, обобщенного порядка (777-1, тг), действующий в пространстве М(И2п). Рассмотрим оператор А = А-1 АЛ, замыкающий коммутативную диаграмму

5(11п) -► М(К2п)

а

(0.12)

¿(Я71) -► М(И2п).

л

Тогда имеет место следующее утверждение.

Теорема 4. Оператор А является нелокальным ПДО обобщенного порядка (7711,7712) и задается в виде абсолютно и равномерно сходящегося

ряда

А^Т^А^, (0.13)

1,к

где операторы А&1к псевдодифференциальные операторы с символами

О^О-

Данная редукция позволяет расширить область применения теоремы 3 на нелокальные операторы с целочисленными сдвигами, действующие в пространстве Шварца.

Теорема 5. Пусть операторы А и А - операторы из теоремы 4- Тогда, если символ оператора А эллиптический, то операторы А и А фредгольмовы в соответствующих нормах, то есть для любых вещественных параметров ¿х^ £ Ы фредгольмовы операторы

А : Н81'82 ->• Я51"-"11'52-™2, (0.14)

А : Я^'52 Н^-ти82-т\ (0.15)

Имеет место формула для индекса

гпйех А = тйех А = ( сК

, [Т2"] ) . (0.16)

1 Основные результаты для локальных псевдодифференциальных операторов

1.1 Необходимые определения

Для построения редукции нам потребуется два функциональных пространства. В качестве первого функционального пространства мы рассматриваем классическое пространства Шварца с> = 5(ИП). Пусть функция / = /(х) = /(аг1,..., хп) принадлежит пространству <5>, / е ¿>. Это значит, что функция /(х) является бесконечно-дифференцируемой и для всяких мультииндексов а = (ссх,..., скп), /3 = (/?!,..., /Зп), где щ, целые неотрицательные числа а^Д > 0, выполнены условия

sup \xadPf{x)\ < оо. (1.1)

xeRn

Здесь

0И

ха = х?1.....тап да =_ Ы = <у-1 А_____[-а

х и 5 ()хах дхап'

Вторым функциональным пространством, которое будет участвовать в сравнении, служит пространство бесконечно-дифференцируемых функций М(И2п) С С°°(112п), удовлетворяющих условиям типа периодичности. Именно, пусть в пространстве Ы2п « 11п х Лп заданы декартовы координаты (¿, у) = (¿1,..., г>1,..., уп). Предполагается, что пространство М(И2п) состоит из всех функций к € С°°(К2п), удовлетворяющих условиям

к(г + е, V) = V), Уе = (еь ..., еп) е Ъп с 1Г, (1.2)

h{t, v + e) = e~2ni^h(t, v), (t, e) = tiei + • • • + i„e„. (1.3) Иными словами по первой группе переменных наши функции из про-

странства М(И2п) периодичны, а по второй группе переменных косопе-риодичны.

Пространство М(И2п) можно понимать как пространство гладких сечений Г°°(Т2п,£) некоторого одномерного комплексного расслоения £ в следующем смысле.

Пространство гладких функций С°°(К2п) естественно отождествляется с пространством гладких сечений тривиального расслоения г},

Е

V :

Р ,

К:

2п

у которого тотальное пространство Е гомеоморфно декартовому произведению Е = И2п х С, а р это проекция на первый сомножитель и, следовательно, слой гомеоморфен полю комплексных чисел С. Другими словами,

Сто(К2п) «Г^К2»,^). (1.4)

Интересующее нас подпространство М(И2п) С С°°(К2п) состоит из таких сечений, каждое из которых инвариантно относительно действия группы (2 = Zn х в расслоении г}. Это действие задается следующим образом. Пусть д = (е^ег) - элемент группы (7, х — (£, у) € Г12п — точка базы, а у = (£, г>, /) 6 -Е = Т\?п х С — это накрывающая точка тотального пространства. Тогда действие элемента д задается формулами

д(ж) = (* + е1,и + е2), ^ ^

д(у) = (г + еиу + е2, / • е27^).

Такое действие группы С превращает расслоение г) в эквивариант-ное (перестановочное с правым действием группы (?) (^-расслоение, у которого проекция р инвариантна относительно этого действия. Действие группы С переносится на ее действие в пространстве сечений Г°°(К2п,77), т.е. на пространство гладких функций С°°(К2п), а подпространство М(И2п) с С°°(К2п) в точности состоит из тех функций, ко-

торые инвариантны относительно действия группы С. Следовательно пространство М изоморфно пространству инвариантных сечений расслоения 77:

М(Ы2п) «Г°°(К2п,7/)с.

Действие группы С свободно как на базе К2п, так и на тотальном пространстве Е. Поэтому, переходя к фактор пространствам, получаем коммутативную диаграмму векторных расслоений:

Е —> Е' = Е/в

?7:

Р

р'

Я

2п , гт-12 п

Инвариантные сечения из пространства Г°°(К2п,77)с задают сечения расслоения при помощи естественного отображения

Г°°(К2п, т))°—>Г°°(Т2п, о,

которое является изоморфизмом.

В указанных пространствах определим соболевские нормы следующим образом. Зафиксируем целые неотрицательные р, к.

Определение 1. В пространстве Шварца ¿>(КП) норма функции /(х) задается по формуле:

2 р,к

У (1 + ((1 + А)к/(х))1(х)дх (1.6)

К"

Определение 2. В пространстве Г°°(Т2п,£) « М(112г1) С С°°(К2п) соболевская норма определяется по формуле

1141?,* = / + + (1.7)

рга

Основной задачей работы является сравнение псевдодифференциальных операторов в пространствах ¿>(КП) и М(В?п). Определим клас-

сы символов, которые нам потребуются в работе. В <S(Rn) обычно рассматривают (см., например, [6], стр. 15) ПДО (псевдодифференциальные операторы) с символами, определяемыми следующим образом.

Определение 3. Будем говорить, что бесконечно-дифференцируемая функция а{х, £), определенная на Rn х Rn принадлежит пространству <Sm(Rn х Rn), если для любых мультииндексов а,/3 неравенства

\д^а(х,0\ < СаА 1 + \£\2)т~т (1-8)

выполнены для некоторых положительных констант

Определим следующий класс символов, который будет для нас основным.

Определение 4. Возьмем произвольную пару {т^т?) G R2. Функция сг(х,£) е C°°(Rn х Rn) принадлежит пространству 5mi'm2(R" х Rn), если для любых мультииндексов а,{3 найдется положительная константа Са,р такая, что

\д^а(х,0\ < Cad 1 + N)mHe|(l + |£1ГИ/31 (1.9)

Пару (mi, гаг) будем называть обобщенным порядком символа о. ПДО с символом, обладающим обобщенным порядком (rai,ra2), мы будем называть псевдодифференциальным оператором обобщенного порядка (га^гаг). Пусть функция сг(х, £) принадлежит классу функция Sm или Smi,m2. Тогда введем следующее определение (см. [6])

Определение 5. Будем называть оператор А : <S(R2n) —> <S(R2n) псевдодифференциальным оператором с символом (см. [6], 2005,

стр. 28) если он определяется по формуле

А : f(x) (2тг)-п Jj OfWy (1-Ю)

Мы также будем пользоваться эквивалентным операторным видом

записи последней формулы

А : Дх) 0(1.П)

а

где Т - преобразование Фурье.

Определеним ПДО над пространством М(И2п), отождествленном с пространством гладких сечений некоторого расслоения.

Рассмотрим функции на торе ф,ф £ С°°(Т2п). Пусть их носители вирр ф, вирр ф лежат в множестве II, где и - некоторая карта на торе, диффеоморфная И2п их- диффеоморфизм между картой II и 112п. И пусть фа - диффеоморфизм тривиализации.

Обозначим через индуцированный диффеоморфизм между пространством функций с компактными носителями на карте II, обозначе-мым через Т>(11), и пространством функций с компактным носителем в пространстве К2п, обозначемым через Т>(И2п).

Пусть оператор А : М(И2п) —>• М(И2п) действует в пространстве гладких сечений одномерного расслоения тора Т2п. Тогда введем следующее определение (см. [10] стр. 19, параграф 2).

Определение 6. Будем называть оператор А псевдодифференциальным оператором в пространстве гладких сечений некоторого расслоения, если для любых введеных выше функций ф, ф существует такой псевдодифференциальный оператор Ли, действующий в ¿>(1г127г); что следующая диаграмма

V{U) -:-► V{U)

фафАффа,1

(1.12)

Т>(К2п) -у V(R2n)

х*{ф)аих*{'ф)

коммутативна.

Определим понятие биградуированного эллиптического оператора и эллиптического символа. Пусть функция сг(х,£) £ ¿>Ш1'Ш2, при некоторых вещественных (7721,7712).

Определение 7. Если существуют такие вещественные кон