Вырождающиеся псевдодифференциальные операторы на компактной римановой поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

В самом общем случае псевдодифференциальный оператор для функции двух переменных - это линейный оператор, заданный в плоскости преобразования Фурье [1, с.97]:

Af = A(f\z) = f a(z,

2 = (x,y), £ = (СьЬ), zt, = + = d^dfr, /(0 - преобразование

Фурье функции f(z) [2]: = J /(O^df или /(0 = 4^ J We-btdz,

Д2 Я2 dz — dxdy.

Функция а(,г,£) называется символом оператора А. В частности, единичный оператор Е : f —>■ / будет пссвдодифференциальным с символом, тождественно равным единице.

Обычно класс псевдодифференциальных операторов определяется условиями на символы. Так, стандартные условия на класс символов - полиоднородность по £ и бесконечная гладкость по л и £ (см. [1]).

Псевдодифференциальные операторы на классе функций, заданных на многообразии, определяются в терминах линейных операторов для функций двух переменных, получающихся при отображении переменной на многообразии в плоскость карты [1]. В настоящей работе рассматриваются псевдодифференциальные операторы на римановой поверхности, т.е. на компактном двумерном комплексно-аналитическом многообразии без края.

Хорошо известный пример псевдодифференциальных операторов для функций одной переменной - одномерные сингулярные интегральный операторы. Так, пусть

L1 = {z\\z\ = l}

-единичная окружность, сингулярный интегральный оператор

Sf = S(f\z) = ± [ М. dt 7гг J t — z Li будет псевдодиффсренциальным с символом f 1,

Действительно, в этом случае преобразование Фурье - это разложение в ряд Фурье

00 оо = £ ЛОе*' = J2 /(О** ' е е Z, г = е- , a: G [0,2тг], оо оо причем в силу формул Сохоцкого [3, 4]

Г £ ^ О, \ -*«, i < о, т.е. оо

S(f I = £ ■ оо

Отметим, что символ оператора S разрывен при £ = 0.

В настоящей работе речь пойдет о решении уравнения Af = д, где функции /, д принадлежат некоторым функциональным пространствам: / G X, д € У; А : X —> Y - линейный псевдодифференциальный оператор. В дальнейшем задачу решения уравнения Af = д для краткости будем называть "обращением оператора А". При обращении оператора необходимо, как минимум, описать следующие пространства:

• ядро оператора, т.е. множество решений однородного уравнения kervl = {feX\Af = 0}cX;

• коядро оператора в сопряженном пространстве Y* или условия разрешимости coker А = { д* Е Y* \ д* (Af) = 0, V feX}cY*.

Очевидно, условия д*(до) = 0 Уд* £ cokerЛ необходимы для разрешимости уравнения Af = д0. Если эти условия и достаточны, т.е. образ оператора mA = {g = Af\feX}cY

- замкнутое подпространство Y, то оператор А называется нормально разрешимым (по Хаусдорфу) [1], [5, с.29].

Особый интерес представляет случай, когда образ оператора imA имеет прямое дополнение в пространстве Y, которое в этом случае также называют коядром оператора (в пространстве Y):

Y = im А © coker А.

Пусть Qo : Y —> coker Л - проектор на коядро [6, с.130], тогда условия разрешимости уравнения Af = g имеют вид Qog = 0.

Далее, если ker А ф {0}, то решение уравнения Af = g неединственно. Для выделения единственного решения в этом случае необходимо на решение наложить дополнительные условия. Если ядро оператора имеет прямое дополнение в пространстве X:

X = ker А 0 Хх и Qi : X ker Л - проектор на ядро, то в качестве дополнительных условий можно задать проекцию решения на ядро оператора Qif = /о, где /о G ker Л - произвольный элемент ядра.

Отмстим, что ядро и коядро оператора можно описать с точностью до изоморфизма, т.е. до взаимно однозначных отображений

Л0 : Х0 <—> ker Л , В0 : Y0 <—У coker Л .

Для уравнения Л/ = g часто бывает целесообразно (и даже необходимо, см. [4, 5]) рассматривать его решение / G X как оператор над правой частью g £ Y. В таком случае при ker Л ф {0} следует наложить дополнительные условия на решение /, а при coker Л ф {0} следует спроектировать правую часть g на образ оператора \тА. Проектирование обычно задается с помощью введения дополнительных искомых слагаемых в правую часть уравнения. Итак, рассмотрим задачу

Л/ = д + В01р0, Л0/ = /о, где /о - заданный (произвольно) элемент пространства JYo, Ло : X —» Хо', фо - искомый элемент пространства Yq, В0 : Y0 Y. Будем называть (1) корректной постановкой задачи для уравнения Af = д, если решение (1) существует, единственно и имеет вид = Рд + Aofo , фо = В0д, причем условие фо = В0д = 0 необходимо и достаточно для разрешимости уравнения Af = д. Подчеркнем, что корректная постановка задачи исчерпывающим образом характеризует разрешимость уравнения •<4/ — 9, так как в этом случае пространство Хо изоморфно кет А: Aq : Х0 <—у кет А - изоморфизм; Уо изоморфно coker А: Во : 1о <—у coker А - изоморфизм; В0В0 = Qo : Y —у coker А - проектор на коядро оператора, АоАо = Q\ : X —У ker А - проектор на ядро. Оператор Р : Y -у X будем называть обобщенным обратным к оператору А.

Наконец, обратим внимание на часто встречающуюся ситуацию, когда гладкость решения / уравнения Af — д меньше, вообще говоря, чем гладкость правой части д. С точки зрения теории линейных операторов это означает, что обращение оператора строится в шкале пространств Хп, а Е R, т.е. исходный оператор А : Ха —у Ха, а обобщенный обратный Р : Ха —у Хр, 13 = Р(а) < а. В настоящей работе в качестве шкалы Ха рассматривается шкала пространств Соболева H72s (а = s) или Гельдера СП (а = 7).

Как известно, сингулярный интегральный оператор для функции одной переменной можно с точностью до вполне непрерывного слагаемого а представить в виде

А = А + а = b(z) + c(z)S + а, где главная часть оператора А = b(z) + c(z)S имеет символ f b(z) + c(z)=ai(z), <£^0, a[z,£) = < b(z) — c(z) = a2(z), £ < 0.

Уравнение Af = g легко решается сведением к задаче линейного сопряжения аналитических функций [3, 4] сцМФ+^ + ъ^ф-^) = g(z), zeh, (3) где Ф±(г) = S±(f | z) = (f(z) ± S(f | z))f2 - граничные значения функций, аналитических соответственно в областях D± = { z | \z\±x < 1 }.

Напомним метод Гахова решения задачи (3). Пусть a\^2(z) Ф О,

4)

Тогда можно представить ai(z) — c(z)a+(z), a2(z) = c(z)zSBa (z), где а±(г) = ехр(±5±(г~®а1/а2 | z)), c(z) = ax{z) a2(z) a+(z) z^a~(z) ' причем функции 0^(2) - граничные значения функций, аналитичных и отличных от нуля в областях .D*; c(z) ф 0, 2 G L\. Соответственно имеем представление для оператора А: решение (условия разрешимости) которого строятся непосредственно. В частности, уравнение Qffi/i = д\ (а, значит, и задача (3), и уравнение Af = д) имеет I = шах(0,ае) линейно независимых решений и Г = шах(0, —ае) условий разрешимости на правую часть g(z). При этом 1-1* = ае.

В терминах теории линейных операторов [1, 5] приведенные утверждения означают, что оператор А = а + bS - нстеров, т.е. нормально разрешим и размерности его ядра I = dim ker А и коядра I* = dim coker А конечны, их разность ае = I — V = ind А называется индексом оператора

А = а + bS = aj5+ + a2S = = c(z)(S+ + zsS~)(a+S+ + a~S-) = PiQsP2

5) где Pi - оператор умножения на функцию c(z),

Р2 = a+S+ + a~S~ , QX = S+ + zsS~ .

Операторы Pi<2 обратимы:

Таким образом, уравнение Af = g сводится к уравнению Qxfi = gi; /1 = Pif, 9i = P\l9,

А, причем оператор А = А + а также нетеров и имеет тот же индекс [1, с.246-252], [5, с.32-47]. В этом случае пространства кет А и imA всегда имеют прямые дополнения [5, с.27] и корректная постановка задачи имеет вид Af = д + ^2вк(г)фк, ^ k Akf = fk, k = TJ, где фк, к = 1,1* - искомые, a fk, к = 1,1 - заданные (произвольно) константы, Ак - линейные непрерывные функционалы. Задача (6) будет корректной постановкой для уравнения Af = д, если ее решение существует, единственно и имеет вид I / = Р9 + ^2АкШк, m fc=i * '

К фк = Вкд , к = 1, I*, причем условия фк = Вкд = 0, к = 1,1* необходимы и достаточны для разрешимости уравнения Af = д. Здесь функционалы Вк, к = 1,1* - базис коядра оператора А в сопряженном пространстве Y*, Bk{z), к = 1, I* -базис коядра в пространстве F; Ak(z), к = 1,1 - базис ядра оператора А\

I'

Bk{z)Bk = Q0 : Y coker А С У k=1

- проектор на коядро оператора, i

Ak(z)Ak = Q0 : X ker А

Jt=i

- проектор на ядро.

В настоящей работе в качестве примера нетеровых задач рассматриваются задачи сопряжения аналитических функций на компактной ри-мановой поверхности

Л(Ф±(г)) = ф+(г) - С(*)ф-(«) = g(t), teL, (8) где L - контур на римановой поверхности D, разбивающий ее на две части D±, Ф±(^) - граничные значения на L аналитических в D± функций Ф±(г). Подобным задачам посвящено большое число работ (см. например [7, 8, 9]), однако корректная постановка задачи впервые предложена в работах автора (совместно с В.Н.Монаховым и Д.Б.Верховодом)

25, 28, 29, 33]. При этом дополнительные условия на решение берутся однородные: Akf = f(zk) = 0, к = 1,

Отметим, что в общей теории нетеровых операторов числа I (размерность ядра) и Г (размерность коядра) могут меняться при прибавлении к оператору А вполне непрерывного слагаемого, однако индекс оператора аа = 1 — 1* при этом не меняется[1, 5]. В дальнейшем характеристики разрешимости, не меняющиеся при прибавлении вполне непрерывных слагаемых, будем называть инвариантными. При этом обычно индекс оператора выражается через топологические инварианты его символа (как в формуле (4), см. "формулы индекса" в [1]). Для задачи (8) числа I и I* выражаются в терминах функции G(t), но не являются для нес топологическими инвариантами, а индекс оператора имеет вид 1 — 1* = ае — р+1, где ае - приращение аргумента функции G{t) вида (4) (топологический инвариант G{t)), а р - род римановой поверхности D.

В случае, когда размерности I или I* бесконечны, сама задача описания ker Л (coker Л), не говоря уже о корректной постановке, становится достаточно нетривиальной. В качестве первого примера таких задач автором рассмотрены задачи сопряжения аналитических функций на компактной римановой поверхности (8) с бесконечным индексом (когда arg G(t) имеет точку разрыва второго рода, т.е. arg G(t) —> оо при t —> to G L). Для рассмотренного в данной работе класса функций G(t) возможны две ситуации: либо I = со, I* = 0, либо I = О, I* = со. В случае I = оо для однозначного определения решения задаются условия /(**) = 0, к = 1, оо, а при Г = оо на правую часть g(t) накладываются дополнительные условия вида Вкд = 0, к = 1,оо. Таким образом, этот подход к корректной постановке задачи несколько отличается от изложенного выше, хотя также обеспечивает задание решения / уравнения Л/ = д как оператора над правой частью д. При этом обращение оператора строится в шкале пространств Гельдера С7.

Вернемся, однако, к основной теме данной работы - псевдодифференциальным операторам на компактной римановой поверхности, т.е., локально, для функций двух переменных. Обычно в качестве их символов a(z,£) рассматриваются функции, полиоднородные по т.е. предста-вимые в виде суммы однородных по £ функций с убывающим порядком однородности, например тр

Ф,0= Е am(z,0 = \Z\mam(z,t№)т——оо

Основную роль при этом играет член максимального порядка amo(z>0 = ao(z,£)> который называют главным символом оператора Л, число т0 порядок оператора, а остальные слагаемые называют младшими членами [1]. В частности, с точностью до младших членов, символ произведения псевдодифференциальных операторов равен произведению главных символов сомножителей. Соответственно, если главный символ не обращается в нуль при £ ф О (не вырождается), то с точностью до младших членов оператор А обратим и главный символ обратного оператора равен 1/ао(•?,£). Точнее, если a0(z,£) Ф 0 при £ ф 0, то оператор А - нетеров нулевого индекса и 1/а0(-г,£) - главный символ его регуляризатора, а младшие члены влияют на разрешимость уравнения Af = д так же, как прибавление к нетерову оператору вполне непрерывного слагаемого |1]. Отметим при этом, что оператор порядка то с помощью умножения на оператор с главным символом |£|~т° очевидным образом сводится к оператору нулевого порядка, причем для оператора нулевого порядка младшие члены (т.е. символы отрицательного порядка) задают вполне непрерывный оператор [1].

Одной из основных моделей для псевдодиффсренциальных операторов является краевая задача с наклонной производной для эллиптического уравнения:

Р(у,д)и = 0, yeD+, b(y),Vu) = g(y), у е D, (9) yeD где риманова поверхность D = dD+ - граница области D+ С Я3, Р{у, д) -эллиптический линейный дифференциальный оператор второго порядка, b(y) : D —» R3 - граничное векторное поле, Ь(у) ф 0, у € D. Как известно, эту задачу можно свести к уравнению с псевдодифференциальным оператором на D [1]. При этом условие невырожденности символа принимает вид ап(у) = (Ь(у),п(у)) ф 0, где п{у) - нормаль к D, ап(у) -нормальная составляющая вектора Ь[у) (условие Лопатинского).

В данной работе рассматриваются псевдодифференциальные операторы нулевого порядка с вырождающимся (обращающимся в нуль) символом. В качестве основного примера здесь фигурирует задача с наклонной производной в случае, когда не выполнено условие Лопатинского, т.е. в некоторых точках нормальная составляющая вектора Ь(у) обращается в нуль, вектор становится касательным к поверхности D. Таким задачам посвящено большое число работ (см., например, [10,11, 12, 13]). Отметим также близко примыкающие работы, в которых задача с псевдодифференциальным оператором рассматривается в несколько более общей постановке, когда главный символ может иметь разрыв ([14, 15, 16, 17, 18[). Как правило, эти операторы не являются нетеровыми, более того, их ядро или коядро обычно бесконечномерны. При этом, так как главный символ обращается в нуль, то на разрешимость уравнения Af = д существенно влияют младшие члены.

Основной подход к исследованию вырождающейся задачи с наклонной производной состоит в "выпрямлении" траекторий векторного поля Ь(у), т.е. в замене переменной такой, что (&, V)/ = df/dx 1, у = (xi, х2, Хз). После этого можно главную часть псевдодифференциального оператора свести к задаче Дирихле для производной f'x , а при восстановлении исходной функции по ее производной получим некоторую задачу для функции от двух переменных (х2,хз), т.е. исходная трехмерная задача сводится к плоской. При этом, однако, возникают две труднопреодолимые проблемы. Во-первых, для осуществления такой замены необходимо, чтобы векторное поле Ь(у) продолжалось с границы D внутрь области D+ без особых точек. Это очень жесткое условие, не выполненное даже для задачи Неймана. Таким образом, соответствующая замена производится локально. Но тогда встает задача "скеивания" локальных результатов, особенно сложная в случае, когда одна локальная область вырождения символа дает бесконечно много решений, а другая - требует бесконечно много условий разрешимости. Во-вторых, применение этого метода непосредственно зависит от локальной геометрии многообразия D после замены переменных, которая, в общем случае, может иметь достаточно сложный характер, что делает весьма затруднительной даже постановку соответствующей задачи для функции двух переменных. Кроме того, эти геометрические характеристики могут резко меняться при малых изменениях исходной поверхности D или векторного ноля Ь(у), т.е. данный метод существенно топологически не инвариантен.

В настоящей работе автор старается преодолеть эти трудности, несколько изменив поход к задаче. Именно, в уравнении Af = д рассмотрим функции / и д в плоскости обратимых операторов, т.е. рассмотрим уравнение

APj=Plg, PlJ=f4=>f = Pl~}f.

Очевидно, что при такой замене общие характеристики разрешимости (ядро, коядро, корректные постановки задачи) не меняются с точностью до изоморфизма, осуществляемого операторами Pi>2, Р\2- Таким образом, проблему корректной постановки можно рассматривать с точностью до умножения оператора А слева или справа на обратимые операторы. В таком случае рассмотрим задачу о корректной постановке как задачу классификации: с помощью умножения на обратимые операторы Plj2 придать оператору А некоторый "канонический" вид, в котором непосредственно можно выписать ядро, коядро, корректную постановку и, следовательно, получить аналогичные результаты и для исходного оператора в терминах операторов Напомним, что именно таков изложенный выше метод исследования одномерного сингулярного интегрального уравнения, причем "канонический" вид главной части, т.е. оператора линейного сопряжения - это Q& = S+ + z^S~ (формула (5)). Особый интерес при этом представляет вычисление параметров, задающих этот "канонический" вид, и интерпретация их в терминах корректной постановки задачи (в формуле (5) это число ж).

В настоящей работе подобная задача классификации решается для определенного класса псевдодифференциальных операторов с вырождающимся символом с точностью до вполне непрерывного слагаемого. При этом в качестве "канонических" представителей возникают одномерные сингулярные интегральные операторы. На этой основе строятся корректные постановки задачи, а также выделяется инвариантная (не зависящая от младших членов) характеристика разрешимости уравнения Af = д -это как раз и будет параметр ж, определяющий "канонический" вид оператора. Этот параметр вычисляется в терминах главного символа оператора и является, как и следовало ожидать, топологическим инвариантом главного символа. Отметим, что так как одномерный сингулярный оператор действует на пространстве функций двух переменных, то вторая переменная будет играть роль параметра и, таким образом, ядро (коядро) оператора и корректная постановка задачи будут уже включать не константы, а конечное число функций одной переменной.

Основная идея состоит в том, что оператор (нулевого порядка) с вырождающимся символом заменяется на оператор с символом, не обращающимся в нуль, но разрывным по £ в тех точках, где символ исходного оператора обращался в нуль. Показано, что такую замену можно произвести с точностью до вполне непрерывного слагаемого. В свою очередь, операторы с разрывным по £ символом поддаются исследованию методами, подобными методу Гахова решения задачи линейного сопряжения аналитических функций. В результате показано, что, при определенных условиях на характер вырождения (обращения в нуль) символа, имеет место представление оператора А = А + а, где о; - вполне непрерывен, а А имеет бесконечномерные ядро и коядро, содержащие соответственно I = 1(A) и I* = 1*(А) произвольных функций одной переменной, заданных на единичной окружности L\. Последнее утверждение в точности означает, что корректная постановка задачи для уравнения Af = д имеет вид

I*

Af = 9 + ^Вкфк{гг),

Akf = fk{zi), к = 1,1, Zi е L, , где ipk{z\), к = 1,1* - искомые, a fk{zi), к = 1, / - заданные (произвольно) функции, определенные на единичной окружности L\. При этом единственное решение задачи (10) имеет вид f f = Pg + J2'IMz>)> (п) ipk{zi) = Вк9, к = 1,1*, причем условия ^(^l) = В kg = 0, к = 1, /* необходимы и достаточны для разрешимости уравнения Af = д. Здесь Р, Ak, Bk, Ak, Bk - непрерывные операторы, действующие в шкале пространств Соболева:

Р : Wj(D) W£~2S(Dy,

Вк : Wjih) -у Wr\D), Вк : Wi(D) -у W°-\LX), к = 1J*-,

Ак : W{{D) -» WZ-'iLi), Ak : W{{LX) -> W£~S(D), к = 1,1; 6 = const < 1.

Отметим, что, как и в общем случае, корректная постановка задачи вида (10) с решением вида (11) исчерпывающим образом характеризует разрешимость уравнения Af = д. Так, i кегЛ = { /о = Ajt/fc^i), heWULi) }, fc=i причем соответствие

I fk{zi), k = TJ <—у /о = Y^~Akfk{z\) е кет А к=1 взаимно однозначно, т.е. вектор-функции одной переменной размерности I { fk{z{) к = 1,1} задают параметризацию ядра А;

I

Qi = ^АкАк : Wj(D) -)■ ker Л

- проектор на ядро оператора А. Кроме того, имеем разложение пространства правых частей в прямую сумму

W^D) = im Л ©coker Л, где imА = {д | Вкд = 0, к = 1,1*}

- множество правых частей, для которых существует решение уравнения Af = g; i* coker А = { д0 = ^ Bkipk(zi) } , к=1 причем соответствие г

Фк(*\), к = 1,1* <—> д0 = ^2,Вкфк(гх) <Е coker Л fc=i взаимно однозначно, т.е. вектор-функции одной переменной размерности I* { фк(гi), к = 1,1*} задают параметризацию коядра А. При этом г*

Q0 = ВкВк : W£(D) -»• coker А k=i

- проектор на коядро. Наконец, Р - обобщенный обратный к оператору А.

Числа I = 1(A) и I* = 1*(А), характеризующие ядро и коядро оператора А, вычисляются в терминах главного символа исходного оператора А. Но возможны различные варианты представлений А = А + а, т.е. различные вполне непрерывные слагаемые а, при которых 1(A) и 1*(А) принимают различные значения, т.е. характеристики I и /* не являются инвариантами. Однако их разность se = I — I* = ге(Л) будет во всех случаях неизменной, т.е. инвариантом. Таким образом, инвариантами оператора в данном случае являются конечность чисел I и I*, определяющих корректную постановку задачи вида (10) и их разность 1—1* = ее(А). При этом индекс ае будет и топологическим инвариантом главного символа оператора А, тогда как числа I и I* не будут топологическими инвариантами символа.

Далее, если рассмотреть уравнение Af = д на пространстве функций Xq = { / }, равных тождественно нулю в окрестности множества

V = {z |3£: во(г,0 = О} области вырождения символа), то на этом пространстве оператор А нормально разрешим (по Хаусдорфу) и имеет конечномерное ядро и непрерывный правый обратный, т.е. образ X = А(Х0) - замкнут, множество решений уравнения Af = 0, / € Хо - конечномерно и существует непрерывный оператор В такой, что

VgeX АВд = д, т.е. / = Вд G Xq есть частное решение уравнения Af = д € X. По существу это означает, что все проблемы с разрешимостью уравнения Af = д, в том числе и связанные с младшими членами, локальны -"концентрируются" вблизи области вырождения символа V.

При исследовании псевдодифференциальных операторов особое внимание в настоящей работе уделяется псевдодифференциальным операторам на торе, которые впоследствии служат основной моделью для рассмотрения псевдодифференциальных операторов на произвольной рима-новой поверхности.

Как уже отмечалось, основным примером для рассмотренных в настоящей работе псевдодифферснциальных операторов и основным приложением для ее результатов служит вырождающаяся краевая задача с наклонной производной (9). Выделяется класс векторных полей Ь(у), для которых соответствующий задаче (9) псевдодифференциальный оператор на D удовлетворяет условиям настоящей работы и, следовательно, на задачу (9) переносятся все результаты работы. В частности, установлена разрешимость задачи (9) в классе функций и(у), равных нулю в окрестности области вырождения

V = {yeD\an(y) = 0}.

Наконец, с точностью до вполне непрерывного слагаемого предложены корректные постановки для задачи (9), причем в терминах векторного поля Ь(у) вычислены характеристики I и Г и индекс ае = I — I*. При этом общий смысл условий на векторное поле Ь(у) вблизи области вырождения V следующий:

1. Траектории касательной составляющей векторного поля Ь{у) можно "выпрямить", т.е. вблизи области вырождения оператор дифференцирования по касательной в плоскости гомеоморфизма имеет вид д]ду, где у - одна из локальных переменных на D. Специально отметим, что локальная замена переменных производится не в трехмерном пространстве, а только на самом многообразии D.

2. Номальная составляющая векторного поля кусочно-монотонна вдоль траекторий касательного поля.

Таким образом, условия на векторное поле допускают достаточно широкий класс полей, включающий, в частности, большинство случаев, рассмотренных ранее другими авторами [10, 11, 12]. Кроме того, этот класс инвариантен при мшшх изменениях векторного поля Ь(у) или поверхности D. При этом соответствующий "канонический" одномерный сингулярный интегральный оператор действует вдоль траекторий касательного векторного поля.

Итак, перечислим новые результаты, приведенные в настоящей рабо

• предложены корректные постановки задачи сопряжения аналитических функций на компактной римановой поверхности с конечным индексом;

• исследована задача сопряжения аналитических функций на компактной римановой поверхности с бесконечным индексом, для нее также предложены корректные постановки;

• для определенного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов решена задача классификации по модулю обратимых сомножителей, т.е. с точностью до вполне непрерывного слагаемого выделен "канонический" класс операторов, определяющий вид общего решения и условий разрешимости уравнения Af = дш,

• на этой основе предложены (с точностью до вполне непрерывного слагаемого) корректные постановки задачи для уравнения с вырождающимся псевдодифференциальным оператором на компактной римановой поверхности, в терминах главного символа вычислены характеристики этих постановок и среди них выделены инвариантные (не зависящие от младших членов);

• результаты предыдущего пункта применены к исследованию вырождающейся задачи с наклонной производной на римановой поверхности для эллиптического уравнения второго порядка.

К основным результатам настоящей работы отнесем следующие:

1. Рассмотрена задача о классификации пссвдодифференциальных операторов с вырождающимся символом на римановой поверхности (в частности, операторов вырождающейся задачи с наклонной производной) по модулю обратимых сомножителей. Показано, что для достаточно широкого класса операторов эта задача может быть решена, причем в качестве "канонических" представителей выступают одномерные сингулярные интегральные операторы.

2. Для соответствующих псевдодифференциальных операторов рассмотрена задача о корректной постановке и об инвариантных (не зависящих от младших членов) характеристиках разрешимости уравнения Af = д. Корректная постановка задачи для уравнения Af = д (с точностью до младших членов) имеет вид (10) (а решение (10) вид (11)). В терминах символа оператора найдены числа I (ядро оператора А параметризуется /-мерными вектор-функциями, определенными на единичной окружности), I* (аналогичная характеристика коядра А) и их разность ае = 1 — 1*. При этом числа I и Г зависят от младших членов, а их разность ае = / — I* - не зависит, причем ае = ае(Л) является топологическим инвариантом главного символа оператора А.

3. Показано, что рассмотренный класс псевдодифференциальных операторов включает в себя операторы вырождающейся задачи с наклонной производной (9) (при определенных условиях на векторное поле Ь(у)). Таким образом, предложены корректные постановки задачи (9) с дополнительными условиями, аналогичными (10), приведены решения соответствующих задач, причем характеристики Г, ге = I — I* вычислены в терминах граничного векторного поля

Ну)

Остановимся подробней на содержании работы. Глава 1 посвящена задачам сопряжения аналитических функций на римановой поверхности. В п.1.1 рассмотрены задачи с конечным индексом, а в п.1.2 - задачи с бесконечным индексом.

В главе 2 рассматриваются псевдодифференциальные операторы на торе. В п.2.1 введен класс символов для псевдодифференциальных операторов нулевого порядка. Для удобства дальнейших рассмотрений и приложений этот класс несколько шире стандартного класса полиоднородных и бесконечно гладких символов [1], поэтому в этом пункте для введенного класса символов приводятся доказательства обычных для теории пссвдодифференциальных операторов утверждений о непрерывности в пространствах Соболева, перемножении главных символов при умножении операторов и обратимости операторов с невырождающимся символом.

В и.2.2 рассмотрены так называемые операторы типа линейного сопряжения - операторы с разрывным по £ символом. Для этого класса операторов устанавливается представление, аналогичное представлению (5) (разложение Гахова)

А = PlQasP2 + a = А + а, (12) где а - вполне непрерывен в пространствах Соболева Pi,2 ~ обратимы, a Qs, - сингулярный интегральный оператор по одной переменной. В результате уравнение Af = д сводится к уравнению Qg.fi = gi, для которого непосредственно строятся общее решение и условия разрешимости.

При этом в уравнении Qa.fi = д\ одна переменная выступает в качестве параметра, т.е. все решения (условия разрешимости) в качестве произвольных коэффициентов содержат функции от этой переменной. Таким образом вычисляются ядро оператора, коядро (условия разрешимости) и предлагается корректная постановка задачи для уравнения Af = д. Конструкции и результаты данного пункта являются идейной и технической основой для дальнейших рассуждений.

В главе 3 изучаются псевдодифференциальные операторы на торе с вырождающимся символом. В п.3.1 вводится класс символов. П.3.2 носит вспомогательный технический характер, в нем установлены некоторые результаты, используемые в дальнейшем. Наконец, в п.3.3 приводятся основные результаты - замена оператора с вырождающимся символом на оператор с разрывным символом (регуляризованный оператор) с точностью до вполне непрерывного слагаемого, факторизация регуляризо-ванного оператора, т.е. приведение его к "каноническому" виду Qs, вычисление характеристик Г и ае = / — V и корректная постановка задачи для регуляризованного оператора.

В главе 4 мы обращаемся к псевдодифференциальным операторам на произвольной компактной римановой поверхности. В п.4.1 для римановой поверхности строится специального вида атлас, карты которого гомеоморфно отображают часть римановой поверхности в тор, что позволяет впоследствии локально сводить операторы на римановой поверхности к операторам на торе и, таким образом, использовать результаты глав 2 и 3. В п.4.2 для введенного в главе 2 класса псевдодифференциальных операторов на торе устанавливаются обычные для теории псевдодифференциальных операторов результаты об изменении главного символа оператора при замене переменной. На этой основе в п.4.3 вводится класс псевдодифференциальных операторов на римановой поверхности и устанавливаются некоторые их свойства. В п.4.4 вводится специальный метод продолжения оператора, заданного на одной карте (т.е. на торе) и удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, до оператора на всей римановой поверхности, тождественного вне данной карты (т.е. на классе функций, равных нулю в данной карте). Эта конструкция систематически используется в дальнейшем, позволяя переносить результаты, полученные для операторов на торе, на операторы на римановой поверхности. В частности, с помощью этого продолжения в п.4.5 доказана обратимость (с точностью до вполне непрерывного слагаемого) оператора с невырожденным символом. Этот обычный для теории псевдодифференциальных операторов результат доказан специально для введенного класса символов, кроме того, метод доказательства, основанный на последовательном обращении оператора в картах с последующим продолжением на всю поверхность, существенно используется далее в главе 5.

Глава 5 посвящена основной задаче - классификации и обращению псевдодифферснциальных операторов с вырождающимся символом на римановой поверхности и корректной постановке задачи для таких операторов. В п.5.1 вводится класс символов и устанавливаются некоторые их свойства. В п.5.2 устанавливается представление оператора А = PqAq + ol, где а - вполне непрерывен, Р0 - обратим, а Л0 - оператор с вырождающимся символом, действующий как тождественный вне окрестности области вырождения V. Эта процедура названа "локализация". На ее основе сразу же устанавливается разрешимость (с точностью до конечномерного ядра) уравнения Af = д на классе функций, равных нулю в окрестности области вырождения V. Кроме того, если область вырождения состоит из нескольких компонент связности, то эта же процедура "локализации" позволяет разложить оператор в композицию операторов, символы которых вырождаются только на части компонент связности V, а на остальной части римановой поверхности операторы действуют как тождественные.

П.5.3 посвящен обращению локализованных операторов по отдельности. Здесь окрестность области вырождения символа локализованного оператора отображается в тор, что позволяет использовать результаты главы 3 для операторов на торе (т.е. привести их к "каноническому" виду и т.д.), а с помощью продолжения оператора (конструкция п.4.4) соответствующие результаты переносятся на оператор на римановой поверхности.

В п.5.4 "склеиваются" операторы, локализованные в п.5.2 и, таким образом, получаются результаты для исходного оператора. Здесь с точностью до вполне непрерывного слагаемого даются корректные постановки задачи для уравнения Af = д вида (10), причем числа I, I* и ае = I — I* вычисляются в терминах главного символа оператора.

Глава 6 посвящена задаче с наклонной производной (9). В п.6.1 приводится постановка задачи и некоторые результаты о граничных псевдодифференциальных операторах, а в п.6.2 задача (9) сводится к псевдодифференциальному оператору на римановой поверхности D. Далее в п.6.3 формулируются условия на граничное векторное поле Ъ(у), обеспечивающие возможность применить к соответствующему псевдодифференциальному оператору результаты главы 5 и, наконец, в п.6.4 общие результаты главы 5 переносятся на задачу с наклонной производной (9).

В тексте работы обычно через М обозначаются различные константы. Если необходимо подчеркнуть зависимость константы от параметров или функций, то указывается М("у), М(/) и т.п. Кроме того, термин "область" употребляется не только для обозначения открытых множеств, но иногда, в целях единообразия, и для обозначения множеств, где символ обращается в нуль (область вырождения, локальная область вырождения). Впрочем, в тексте всегда точно указывается, какая именно "область" в каждом случае имеется в виду.

Основные результаты работы опубликованы в [23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42] и докладывались на семинарах:

• математические проблемы механики сплошных сред, под рук. чл.-корр. РАН Монахова В.Н. и чл.-корр. РАН Плотникова П.П., институт гидродинамики им. акад. М.А.Лаврентьева СО РАН, Новосибирск;

• качественная теория дифференциальных уравнений, под рук. проф. Зеленяка Т.П., институт математики СО РАН, Новосибирск;

• геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах, под рук. проф. Медных А.Д., институт математики СО РАН, Новосибирск;

• семинар отдела условно-корректных задач под рук. академика РАН М.М.Лаврентьева, институт математики СО РАН, Новосибирск;

• семинар отдела анализа и геометрии под рук. академика РАН Решетняка Ю.Г., институт математики СО РАН, Новосибирск и на конференциях:

• Conference on Complex Analysis and its Applications to Partial Differential Equations, Halle, 1988;

• Школа - семинар "Актуальные вопросы комплексного анализа", Ташкент, 1989;

• Восьмая международная школа - семинар "Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики", Красноярск, 1992;

• Семинар им. акад. И.Г.Петровского, МГУ, Москва, 1993;

• Международная конференция "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технических процессов)", Красноярск, 1997; третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), ИМ СО РАН, Новосибирск, 1998;

• четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), ИМ СО РАН, Новосибирск, 2000;

• конференции по математическим проблемам мехаиики сплошных сред, ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, 1997, 2001.

В заключение автор хотел бы выразить глубокую благодарность научному консультанту, профессору, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН Монахову Валентину Николаевичу.

1. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. 422 с.5. 3. Пресдорф. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. 493 с.

2. Егоров Ю.В., Кондратьев В. А. О задаче с косой производной // Маг. сб. 1969. Т.78, № 1. С.148 -176.11| Мазья В.Г. О вырождающейся задаче с косой производной // Мат. сборник, т. 87, JV> 3, 1972. С. 417-454.

3. Панеях. К теории разрешимости задачи с косой производной // Мат. сборник, т. 114, № 2, 1981. С. 226-268.

4. Пламеневский Б. А. Алгебры нсевдодифференциальпых операторов. М.: Наука, 1986. 254 с.

5. А. Гурвиц, Р. Курант. Теория функций. М.: Наука, 1968. 646 с.

6. Форстер О. Римаиовы поверхности. М.: Мир, 1980.21| Gunning R. С. Lectures on Rieniann surfaces: Jacobi varieties // Princeton Math. Notes, 1972, Vol. 12.

7. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений, I // Изв. АН СССР, сер. мат., т. 29, № 3, 1965. С. 567-586.

8. Монахов В. Н., Семепко Е. В. Классы корректности красных задач сопряжения аналитических функций с бесконечным индексом // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286, JV* 1. С. 27 30.

9. Монахов В. Н., Семепко Е. В. Краевые задачи с бесконечным индексом в пространствах Харди // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, JY? 3. С. 544 547.

10. Монахов В.Н., Семенко Е. В. Корректность краевых задач сопряжения аналитических функций па компактной римаповой поверхности // Динамика сплошной среды, JV» 83, 1987. С. 99-113.

11. Монахов В.Н., Семенко Е. В. Краевые задачи с бесконечным индексом па римаиовых поверхностях // Динамика сплошной среды, JV' 85, 1988. С. 74-83.

12. Семенко E. В. Решение задачи сопряжения аналитических функций двух переменных па торе. Тезисы восьмой международной школы семинара "Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики", Красноярск, 1992. С. 26.

13. Семепко Е. В. Разложение Гахова неевдодифферепциальных операторов па торе. Препринт. Новосибирск: Изд. МГУ, 1995. 55 с.32J Семенко Е. В. Разложение Гахова симметричных операторов с вырождающимся символом. Препринт. Новосибирск: Изд. НГУ, 1995. 58 с.