Интегральные представления эллиптической и параболической функций Грина и их приложения к оценкам спектров полуограниченных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гадоев Махмадрахим Гафурович

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ И ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ ГРИНА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

К ОЦЕНКАМ СПЕКТРОВ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

2 6 НОЯ 2009

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2009

003484832

Работа выполнена в ФГНУ « НИИ математики при Якутском государственном университете им. М.К. Аммосова »

Научные консультанты: доктор физико - математических наук,

академик АН Респ. Таджикистан, профессор1Бойматов К. Х.^ доктор физико - математических наук, профессор Егоров И. Е.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Костюченко А. Г. доктор физико - математических наук, профессор Кожанов А. И. доктор физико - математических наук, профессор Петрушко И. М.

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный

университет

Защита диссертации состоится часов на

заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан "

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук <~М7 1СХ- Н.И.Макаренко

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена актуальным проблемам современной спектральной теории несамосопряженных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов; таким вопросам, как исследование полноты системы корневых вектор-функций, суммируемости методом Абеля со скобками и вопросам асимптотического поведения собственных значений аккретивных операторов и операторов существенно далеких от самосопряженных.

Исследования несамосопряженных операторов начинаются с работ М.В. Келдыша (1951г.) и в настоящее время другими математиками опубликовано более ста работ, в том числе и монографий. Этому направлению посвящены работы М.С. Аграновича, A.C. Маркуса, В.Власова, А.Г. Костюченко, A.A. Шкаликова, К.Х. Бойматова, А.Н. Кожевникова, И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.Я. Якубова, М. Sango, М. Faierman, М. Moller и др.

Первая глава диссертации посвящена выделению широких классов матричных псевдодифференциальных операторов с т- символами, которые могут породить сильно-непрерывную полугруппу в банаховых Lp - пространствах с весом, и выделению главной части полугруппы в явном виде. Эта тематика относится к актуальным проблемам современной теории силыю-пепрерывных операторных полугрупп.

Проблемам конструкции матрицы Грина эллиптических и параболических уравнений посвящены работы С.Д. Эйдельмана, А.Г.Костюченко, С.Д. Ивасишена, К.Х. Бойматова, O.A. Олейника, А. Фридмана, O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой и других авторов. Однако исследованию этих проблем для позитивных матричных дифференциальных операторов посвящено сравнительно мало работ. В настоящей работе изучены сильно позитивные матричные псевдодифференциальные операторы в Lp - пространствах. Исследование спектральных асимптотик дифференциальных и псевдодифференциальных операторов, далеких от самосопряженных, является новым актуальным направлением теории несамосопряженных операторов и берет начало с работ М.С. Аграновича, A.C. Маркуса, К.Х. Бойматова, А.Г. Костюченко, Г.В. Розенблюма, А.Н. Кожевникова.

В данной работе исследуются спектральные свойства несамосопряженного эллиптического оператора, ассоциированного с некоэрцитивной билинейной формой.

Спектральная асимптотика эллиптических дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, заданных в ограниченной области, в основном, исследовалась вариационным методом. Применение тауберовых методов в исследовании спектральных асимптотик дифференциальных операторов обычно приводило к некоторым жестким ограничениям на гладкость коэффициентов исследуемого оператора. В настоящей работе тауберовом методом исследуется спектральная асимптотика вырождающегося эллиптического дифференциального оператора с негладкими коэффициентами в ограниченной области. Основная цель диссертации:

- исследование спектральных свойств матричных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов далеких от самосопряженных;

- получение условия позитивности, ш - аккретивности исследуемых операторов;

- оценка резольвенты;

- исследование полугруппы операторов, порожденных системами псевдодиффсренциальных операторов в весовых Ьр - пространствах, 1 < р < оо и в пространствах непрерывных вектор-функций, заданных в Яп (или на компактном многообразии);

- получение условия сильной непрерывности (и аналитичности) операторных полугрупп, порожденных ш - аккретивными псевдодифференциальными операторами;

получение интегральных представлений этих полугрупп, асимптотически выделяющих их главный член при < —> 0 или Яег —» 0;

- получение асимптотики числа собственных значений указанных классов псевдодифференциальных операторов;

- получение аналогичных результатов для псевдодифференциальпых операторов, заданных на компактных многообразиях;

- исследование асимптотического поведения собственных значений А1,А2,... для матричных эллиптических операторов высокого порядка на отрезке, со степенным вырождением, в случае, когда собственные значения непростые;

- исследование полноты системы корневых вектор-функций рассматриваемых операторов и возможность суммируемости по этой системе методом Абеля со скобками;

- получение аналогичных результатов для операторов второго порядка, но в случае нестепенного вырождения;

- исследование асимптотики взвешенного следа самосопряженных

матричных дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами в многомерной области;

-исследование спектральных свойств пссамосопряжепных вырождепио-эллинтичсских систем второго порядка.

Методика исследования.

В работе нами использован метод конструкции эллиптической и параболической матрицы Грина, выделяющий асимптотически в явном виде главный "член резольвенты пли соответствующей полугруппы.

При исследовании спектральных асимптотик дифференциальных операторов и вычислении асимптотики взвешеного следа использованный нами метод является модификацией тауберова подхода Костюченко-Бойматова.

Основные результаты и их новизна.

В результате исследования получены следующие новые результаты:

- выделен широкий класс т- аккретнвиых пссвдодиффсрепциальпых операторов с, матричными символами, порождающие, сильно-испро.рыииыо. полугруппы в банаховых Ьр - пространствах с весом, 1 < р < оо в /£";

получена асимптотическая формула, выделяющая главный член функции распределения собственных значений пнфшштезималыюго производящего оператора А при любых 1 < р < оо;

- в случае самосопряженных генераторов, при р = 2, исследована также асимптотика взвешенного следа;

- получены достаточные условия сильной непрерывности указанной полугруппы:

- получено интегральное представление полугрупп, выделяющее ее главный член асимптотически при Ь —> 0 (Не г —> 0);

изучены также соответствующие аналитические полугруппы, порождаемые указанными выше операторами;

- такие же исследования проведены также и в случае операторов, заданных на компактных многообразиях без края;

- исследована спектральная асимптотика эллиптических матричных дифференциальных операторов, далеких от самосопряженных, со степенным вырождением;

исследованы вопросы полноты системы корневых вектор-функций указанных операторов и возможность суммируемости по этой системе методом Абеля со скобками;

- аналогичные результаты получены для операторов второго порядка в случае нсстснсшшго вырождения;

- исследована асимптотика взвешенного следа матричных вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов в многомерной области;

- в работе впервые разработана тауберова методика исследования спектральных асимптотик самосопряженных дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, заданными в ограниченной области;

получена асимптотическая формула для функции распределения собственных значений эллиптической системы второго порядка.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в ней результаты могут служить основой для дальнейших теоретических исследований в спектральной теории дифференциальных и псевдодифференциальных операторов далеких от самосопряженных (или заданных в банаховых Lv - пространствах с весом), в теории сильно-непрерывных операторных полугрупп, порожденных псевдодифференциальными операторами и в теории разрешимости уравнений параболического типа, при построении матрицы Грина. Практическая ценность работы заключается в том, что результаты работы могут быть использованы в МГУ им. М.В. Ломоносова, МИРАН им. В.А. Стеклова, ЛГУ, ИМ АН Респ. Азербайджан, ИМ HAH Украины и т.д. Апробация работы.

Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались на всесоюзных и республиканских конференциях (г. Душанбе, 1987, г. Уфа, 1989, г.Лспипабад, 1990,г.Кургап-тюбе, 1991, г. Куляб, 1991, г. Караганда, 1991, г. Киев, 1992), Международной конференции по "Дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами "(Душанбе, 199G), Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск 2001, 2004, 2007), Сибирском конгрессе но прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), Международном Российско-Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"(Нальчик 2003), Международной конференции "Некорректные и обратные задачи", посвященной 70-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск 2002), Международной

конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами "(Душанбе 2003), Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближения, нелинейный анализ", посвященной 100-летию академика С.М. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005), Республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассическне системы дифференциальных уравнений" (Душанбе, 2007), Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика II.H. Векуа (Новосибирск, 28 мая- 2 июня 2007), Международной конференции "Дифференциальные! уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященной 100 - летию со дня рождения академика С.Л. Соболева (Новосибирск, 5-12 октября 2008) и на ряде других конференций.

На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинаре под руководством проф. А.Г. Костюченко и проф. A.A. Шпаликова ( Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 1991,2002), семинаре по математическим проблемам механики и сплошных сред, под руководством академика

РАН В.Н. Монахова и чл.-корр. РАН П.И. Плотникова (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2005 ), семинаре отдела теории функций, под руководством д.ф.-м.н., проф. А.И. Кожапова (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2003,2005), семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством д.ф-м.н., проф. М.В. Фокина и д.ф.-м.н., проф. B.C. Белоносова (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,2005), семинаре Института математики Якутского госуниверситета, под руководством д.ф.-м.н., проф. И.Е. Егорова (2005, 2009) , объединенном семинаре Института математики АН Респ. Таджикистан ( 2001-2007), семинаре кафедры общей математики Миршшского политехнического института ( 1999-2009), семинаре "Уравнения Соболевского типа"кафедры "Уравнения математической физики", под руководством д.ф.-м.н.,проф. Г.А. Свиридюка (г. Челябинск, Южно-Уральский государствспый университет, 2009).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано более 50 работ. Основные результаты диссертации содержатся в 30 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных публикаций в диссертационную работу включены результаты, полученные непосредственно автором.

Работа частично поддержала аналитической ведомственной целевой программой "Развитие научного потенциала высшей школы (2009 -2010 годы)", мероприятие 2 (код проекта 3443). Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем работы - 234 страницы. Список литературы содержит 130 наименований.

Введение носит обзорный характер. Обосновывается актуальность темы диссертации, дастся анализ имеющихся в литературе результатов, приведено краткое содержание диссертации.

Первая глава, состоящая из пяти параграфов, посвящена исследованию сильно непрерывных полугрупп операторов, порожденные системами псевдодифференциальных операторов в весовых Ьр пространствах, 1 < р < оо и в пространствах непрерывных вектор-функций, заданных в Л" (и па компактном многообразии).

Первый параграф имеет вводный характер, в нем приводится формулировка основных результатов.

Второй параграф посвящен оценкам норм некоторых интегральных операторов, необходимых для дальнейшего исследования. Доказательства основных теорем приведены в третьем параграфе. Пусть к(х) (х е В!1) - весовая функция в IV', Нр<к, 1 < Р < +оо - пространство вектор-функций и(х) — (щ(х),... ,гц(х))', с конечной нормой

Для р — +оо, ~Нр,к определяется как пространство вектор-функций и(х), с конечной нормой

Краткое содержание работы

МИ*,»: = ШаХ {УГа* 811Р

■7=1.....1 хеИ"

Рассмотрим в пространстве HPik = Lp^{Rn)1 Л < P < +00 псевдоднфференциальный оператор (п.д.о) с г-символом:

(А0и)(х) = (2тг )~п J (J ег8{х~у)а{тх+{ 1 - T)y,s)u{y)dy)ds,

li" R"

где 0 < r < 1, а символ

a{x,s) e C°°{R? x Rn\ EndC1), и удовлетворяет условиям:

(1 + |s|)e < Ma'{x,s), (1)

\D?D*a(x,s)\ <Maja'(x,Sy-e^, a + (5 ф 0. (2)

Здесь a'(x, s) обозначает нижнюю грань матрицы Re а(х, s). а е, в > 0. Под

нормой |Ь| матрицы Ь G EndC1 понимается верхняя грань чисел |Wi|cN где

I

h пробегает единичную сферу в С', а |Л|С, = (£|/ц|2)1/2.

¿=1

Сначала сформирулируем основные результаты первой главы в случае р-2.

Оператор А'0 - формально сопряженный к оператору Л0 задастся по формуле

(А'0и)(:х) = (2тг)-"У(У еи(х~!')а*{ту+ (1 - r)x,s)u(y)dy)ds.

R" Я"

Имеем

(Л0и, v) = («, A'0v), V«, г; € С70°°(/Г)',

где

(/ь/2) = J < fi{x),f2(x) >С'

R"

- скалярное произведение в Ti2- Этим обозначением мы будем пользоваться также и для произвольных /2 € Lij0C(Rn)1, для которых интеграл абсолютно сходится.

Один из основных результатов первой главы заключается в выделении достаточных условий па символ a(x,s), при выполнении которых замыкание Л2 в Н2 оператора А0, D(A0) = будет квази-т-

аккретивным оператором в Tiz-

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1), (2). Тогда А ~ А-г - квази-т-аккретионый оператор в Например 1. a{x,s) = (1 + И2)" + 1 + |о:| 4- г|а;|2, где г/ > 0. В литературе, в основном, достаточно подробно исследованы условия полуограниченности и существенной самосопряженности минимальных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов. Условия т-сскториальпости и гп-аккретивпостн в случае отсутствия граничных условий изучены менее активно.

Заметим, что в приведенном выше примере 1, оператор А не будет т-еекториальным оператором в Нч-

Достаточные условия т-секториальн<к:тп п.д.о. приведены в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1), (2). Пусть щнм,е того, мпоэюеетво

X == {< а(х, s)h, h >ci: х, s £ Rn, h £ С'},

располоэюеио в секторе

S = {z в С : I arg z\ < v}, Q<v< тг/2.

Тогда A — m-векториальный оператор в "Hi. Оператор А является ипфипитезимальным производят/им оператором аналитической полугруппы e~zA, z е S',

S' = {z е С : |arg z\ < v'}, v' < тг/2 - v.

Для формулировки результата об интегральном представлении полугрупп e~tA, e~zA введем в рассмотрение функции Oi(t),ipij(x),ipij(x); i,j = 1,2,....

Функции 0i € Co°(2~t-1,2-,+1),i = 1,2,... и обладают следующим свойством:

+оо

sup \0[{t)\ < МГ1, Vöi(i)= 1 (0 < i < 1/2).

¡=1,2,... Г~.f

Функции ipij,ipij € C™(RU) - неотрицательные,

+oo

Y^Vijix) = j=l

и функция i>ij{x) обращается в 1 в некоторой окрестности suppipij. Выполняются также следующие соотношения:

\<Иатзиррфи\< М2'"\ \1%фц(х)\ + <

где v > 0 - некоторое фиксированное наперед заданное число. Положим

+оо 1

J(z) = £ 0i(Re Jij {г)ч>ц, 0 < \Rez\ < fj=i

где Jij(z) - п.д.о. в Rn с "постоянным"символом

a Xij € supptfiij - фиксированные точки; фу, Vy обозначают операторы умножения соответственно па функции ф^(х),1р^(х). Теорема 3. Пусть выполнены условия (1), (2). Тогда при достаточно малых 1/, Т > 0 имеет место интегральное представление

t

e~tA = J{t) + J J(t - t')$(t')dt', 0 < t < T,

о

где операторная функция (i>(t) удовлетворяет оценке

||Ф(*)|1ка~к2 < МГ", 0 < t <Т,

с некоторым к £ (0,1). При выполнении условий теоремы 2 справедливо представление

Z

e~zA = J(z) + J J(z - z')<b(z')dz\ 0 < \z\ < T, z 6 S', 0

где интеграл, берется no прямолинейному отрезку, а Ф(г) удовлетворяет оценке

1|ф(*)Н«а-^ < л/И"к, о < \Z\ <т, z е s'.

Оператор-функция Ф(£) строится и виде ряда

+оо 3= 1

где 7<i(i) = — {j-t -4" A)J{t), а остальные Kj{t) определяются по индукции:

t

I<j+1{t) = J Iidt - t'VWW, i = 1,2, —

о

Ядро Г(t\x,y) оператора e~tA ио определению есть матрица Грина параболической задачи

u'(t,x) = —Au(t,x), ы(0,ж) = д(х).

Таким образом, нами получена конструкция матрицы Грина указанной параболической задачи.

Исследованию матрицы Грина параболических задач, где А -эллиптический дифференциальный оператор с ограниченными коэффициентами, посвящено довольно большое число работ. Случай эллиптического оператора А с растущими коэффициентами изучался в работах А.Г.Костюченко.

Некоторые аспекты Ьр-теории полугрупп порожденных эллиптическими дифференциальными операторами второго порядка с вещественными коэффициентами изучались в работах В.Ф.Коваленко, Ю.А. Семенова. Таким образом, в первой главе случай m-секториальных (и тем более случай квази-т-аккретивных) систем п.д.о. рассматривается впервые. Полученные результаты являются новыми и в скалярном случае. Перейдем к формулировке результатов для ¿^-пространств Tiv с весом. Предположим, что

|s|bl|D^+W^a{x,s)\<Ma:ea'{x,sy-e^, 0 ф |7| < п. (3)

Относительно весовой функции к(х) всюду в дальнейшем предполагается выполнение условия

+ x,yeR'\ (4)

где М: N > 0 - достаточно большие числа.

Обозначим через Др,ь 1 < р < +оо замыкание в Нр,к оператора Ао с областью определения В(Ао) = С<^°(Я")'. Существование замыкания стандартным образом выводится из того факта, что построенный выше п.д.о. А'0 является оператором, формально сопряженным к А0. Всюду п дальнейшем, когда речь идет о случаях р = 1 и р = +оо, мы, каждый раз дополнительно не оговаривая это, предполагаем, что выполнено следующее условие: семейство вектор-функций

П„ЛХ) ! ("-"< п € Я", 0 < I < ^ (5)

я"

образует ограниченное множество в £](Я").

Это условие является естественным условием и эквивалентно тому, что семейство операторов е~<л'', 0 < Ь < г/ £ Я", где Ап - п.д.о. в Я" с символом о(?/, «), образует сильно непрерывную полугруппу в ^(Я")', (и п ¿(»(Я")'), равномерно ограниченную по г] £ Я™. Очевидно, что без этого условия соответствующие утверждения наших теорем не будут верными при р — 1, +00.

Когда речь идет об аналитических полугруппах при р = 1, +оо предполагается, что выполнено следующее условие: семейство век гор-функций

^(я) = У е^е—^А, г; £ Я", г е 5, |л| < Т (6)

я"

образует ограниченное множество в пространстве ¿х(Я")'. Здесь ¿> обозначает сектор из правой полуплоскости, которому принадлежит множество X, определение которого дано в теореме 2. Теорема 4. Оператор —Др,ь 1 < р < +оо является порождающим оператором сильно непрерывной полугруппы в Н.р,к- Г1ри достаточно малых и, Т > 0 справедливо представление

с-ы„д. = ./(/) + J J{i. - ¿')Ф(/.')Л/, 0 < í < Г, о

где оператор-функция Ф(1) удовлетворяет оценке

ЦФ(011«РЛ-И„Л < Л/Гк, 0<КТ,

с некоторым к 6 (0,1). Если множество

X С S = {z е С : |ar0 2| < I/}, О < ^ < тг/2,

то

e~zA''-k', z £ S'= {z еС : \argz\<v'}, v' < тг/2 - I/, есть аналитическая полугруппа и имеет место

Z

e-zA„.k = + J J{z- z')$(z')dz',

о

гЛг интеграл берется по прямолинейному отрезку, соединяющему точки

0,2, а

операторная-функция Ф(г) удовлетворяет оценке

< Л/кГ", г е 5", |г| < Т.

Как показывает пример уравнения теплопроводности

u't(t,x) = Au(t,x), м(0,:г) = g{x),

утверждение теоремы 4 не имеет места п пространство Woo,к уже для

'fc(x) =1.

Имеем

u(i,a:) = J T{t,x- y)g{y)dy,

я"

где

lii2

r(t,£) =

Если g e C(Rn), то

tUm|«(i,i) -g(i)|i3c(III(j) = 0,

для любого шара Шд радиуса R. Однако эта сходимость вообще говоря, не будет равномерной в Я".

В этой связи нами вводится пространство C°(Rn)1 вектор-функций и{х) € Loo,k{Rn)1 непрерывных в Rn и удовлетворяющих оценке fc(a;)|u(x)| =о(1), х —* оо.

В C°(Rn)1 вводится такая же норма, как ¿^(Я")'. В результате C°(R71)1 превращается в банахово пространство.

о

Обозначим через А^к замыкание п C°{Rn)1 оператора AQ,D(AQ) =

Следующий результат в некотором смысле восполняет пробел в теореме 4, связанный со случаем р = +оо.

о

Теорема 5. Оператор — АооЛ- порождает енлъно непрерывную полугруппу в C°(Rn)1. При подходящем выборе чисел > 0 справедливо представление

< ,А* " = J{t) + (J * Ф)(*), 0 < t < Т, где оператор-функция Ф(£) удовлетворяет оценке

1|ф(0!1сг(Я")'-.с»(Я")' < о < t < т, К е (о, 1).

Если X С S. то опера/тор Аоо.к порождает аналитическую полугруппу e~zA^-k,z £ S' и верно представление

е-***-" = J(z) + J J{z - г е 5', 0 < |г| < Т,

о

где интеграл берется по прямолинейно,му отрезку. Имеет, место оценка

1|Ф(г)11с'2(к«)^с»(Я")' < г € 5', 0 < \z\ < Т,

где к £ (0,1).

В §1.4 нами найдены условия компактности полугруппы c"tA>'-k в пространстве "Hp,k-, 1 < р < +оо.

Пусть выполнено условие

lim а'(х, s) = +оо, (7)

*ос

равномерно по s £ Rn. Тогда оператор

{ЛрМ + ХЕГ1 : ПрМ - Нрм, 1 < р < +оо, (8)

является вполне непрерывным оператором при достаточно больших ЯеА > Л0 > 0.

В случае самосопряженного оператора Л нами получена асимптотическая формула также и для взвешенного следа, при этом оператор А вообще говоря, может не иметь компактную резольвенту.

Обозначим через ЛГ(А),А > 0 число с.з. оператора Лр,ь расположенных в полуплоскости Яе г < А, с учетом их алгебраических кратностей. Введем в рассмотрение функцию

р(А) = (2тгГп J J р'(х,6';А)сЫа-,

к" я"

где р'(ж,в;А) обозначает число с.з. матрицы Яе а (ж, в), не превосходящих А с учетом их кратностей.

Предположим, что выполнены условия (1)-(5), (7). Пусть найдется число б > 0 такое, что

а'О,«) > с(1 + (9)

н

р(А) ~ р(А), А +оо, (10)

где р(А) € С^Я4) - некоторая неубывающая функция такая, что

\(р(Х))'х\ < Мр(А).

Далее предположим, что

Нт \(1тпа{х,з))(Яеа(х,б))~1\ = 0 (11)

равномерно по 5 £ Я". Имеет место следующая

Теорема 6. При выполнении перечисленных условий справедлива асимптотическая формула

М{\) ~ р(А), А +оо.

Замечание. В случае р = 2, для справедливости утверждения теоремы, условие (3) является излишним.

В §1.5 исследованы п.д.о. на компактных /¡-мерных С°°-многообразиях М без края и для них установлены аналог результатов, сформулированных

в теоремах 1-5. При этом рассматривается случай к(х) = 1, a роль пространства C°(R11)1 играет пространство С(Л/)'.

Во второй главе, состоящей из семи параграфов, исследуются спектральные свойства песамосопряжеппого эллиптического оператора А в пространство TL1 = ¿г(0,1)', ассоциированного с пекоэрцитивной билинейной формой.

Рассмотрены такие вопросы, как полпота системы корневых вектор-функций оператора А в Ti\ суммируемость методом Абеля со скобками рядов Фурье элементов / G H1 по системе корневых вектор-функций оператора А, оценка резольвенты оператора А, асимптотическое распределение собственных значений оператора А.

С помощью резольвентной оценки изучены свойства разрешимости неоднородных граничных задач.

Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов далеких от самосопряженных, изучалась во многих работах |1-6]( см.сноску на стр.16) в ситуации, когда собственные значения оператора делятся па две серии, одна из которых лежит вис угла | arg z\ < ip, ip < 7г, а другая локализуется к лучу R+. Эта глава примыкает к работам |1|, [2|, |6|, в которых наиболее общие результаты получены в работе [6|, где предполагается, что старший коэффициент

a(t) eCm([0,l]; EndC1) (12)

имеет простые различные с.з. при каждом t G [0,1].

Нам удалось от второго условия полностью отказаться, и вместо (12), требуя лишь, что a(t) € С([0,1]; EndC1), обобщить в §2.1-2.3, в этой ситуации все основные результаты работы |6-8|. Результаты §2.1-2.Б примыкают к работе |7], в которой на a(t) накладываются такие же условия, как в [6|. При минимальных ограничениях на a(t) € С([0,1]; EndC1) мы обобщаем результаты работы [7]. Результаты §2.2-2.5 являются качественно новыми и даже при более слабых ограничениях на a(t), как в работах [6-8],(см. сноску на стр.16), в литературе не были получены. Здесь изучаются спектральные вопросы замкнутого расширения, которое задается граничными условиями, отличными от граничных условий Дирихле.

Наш метод основан па аппроксимации a(t.) гладкими матричными функциями as(t). Однако к соответствующему оператору А& неприменимы оценки резольвенты, установленные в |6|, (см. сноску на стр.16), поскольку as(t) может иметь непростые с.з. Поэтому несколько параграфов

главы посвящено оценке резольвенты оператора As. При исследовании асимптотики спектра также применяется этот метод. Оператор А, заданный в гилбертовом пространстве II, мы назовем далеким от самосо-пряженного, если он не приводится к виду

A = B{E+S), В = В*, S G ож(Н). (13)

Здесь и далее, символ сг^Н) обозначает класс линейных вполне непрерывных операторов в II; В* - оператор сопряженный к В. Спектральные свойства эллиптических дифференциальных и пссвдодиффсрепциальных операторов близких к самосопряженным, т.е. приводящихся к виду (13), в литературе достаточно подробно изучены . Также подробно исследованы спектральные свойства эллиптических д.о. и п.д.о. далеких от самосопряженных в случае, если они заданы на компактном многообразии без края . В случае областей с краями, д.о. и п.д.о. далекие от самосопряженных, начались изучатся лишь относительно недавно.

В §2.1 приводится формулировка основных результатов. В пространстве Ь2{0,1)г рассмотрим билинейную форму

1

т ..

Л[и,у] = £ / < P.(t)aij(^M(t),Pj(t)vu)(t) >с> dt. (14)

Здесь

Pi{t) = {i(l - i)}e+t~m (г = Qjn), 0 < m, u^(t) =

atj e L^J-, EndCf) (i,j=0,m), где J = (0,1). Символ < , >ci обозначает скалярное произведение в

С1.

[1] Войматоп К.Х. // Функциональный »шили:« и гго приложения. 1077, т. 11, ЛМ, с. 74-75.

|2| Войматов К.Х., Костюченко А.Г. // Математический сборник , 1990, -v. 181 . >12 , с. 1078-1693.

(Я] 1»ойм!1тов К.Х., Костю ч«нко Д.Г. // Нестиик МГУ , 1900, JM, с. 24-31.

l'lj Гозенблюм Г.В. // Функциональный анализ и ею и рил. 1982, т. 10, с. 82-83.

|5] Розспблюм Г.П. //В кн.: Линейные и нелинейные краспмс задачи. Спектральная теория. Ленинград: Изл-но ЛГУ. 19Н6, с. 180-195.

10J Agranovich M.S. and Markus A.S. // Zeit shrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 1989, Dd.,8(3), S.237-2G0. |7| К.Х. Бойматов, Седдики К. // ДАН 1997, т. 352. Ж1, с. 295-297. [8J К.Х. Боймагои, Седдики К. // ДАН 1997, т.352, с. 439-442.

Обозначим через TL+ замыкание линейного многообразия Cq°( J) по норме

м+ = (/ piM^m\t)\2dt+J m\2dt)i/2.

j J

Положим:

•H = L2(J), П1 =П®---@П (l- раз),

Hl+ = Н+ф---фН+ (г-раз).

Предположим, что amm(t.) € Ст{3\ End С') и матрица a(t) = amm(t) при каждом t £ J имеет I - различных, ненулевых собственных значений (i),... ,pi{t). Тогда собственные значения матрицы a(t) можно занумеровать так, ч то pj(t), /^;1(£) £ Cm(J)\ j = l,i. Пусть выполнены следующие условия:

K(t)I < Mts(l - t,)6 (i + j < 2m), (5 > 0, (15)

ßj(t) S (j=TTl,teJ), (16)

где S С С - некоторый замкнутый угол с началом в нуле.

При выполнении перечисленных выше условий имеют место следующие

теоремц:

Теорема 7. Существует единственный замкнутый оператор А в TL1, обладающий следующими свойствами:

(i) D(A) С Hl+, (Au, v) = А[и, Ü] (Vu 6 D(A), v e П1+),

(ii) при некотором z0 £ С существует непрерывный обратный

{А - z0E)~l : П1 -> Н1. Пусть А такой же оператор, как в условиях (г), (гг).

Теорема 8. Оператор А имеет дискретный спектр. Система корневых вектор-функций оператора А полна в Л1, т.е. их конечны,е линейные комбинации плотны в TL1. Порядок резольвенты оператора А не превосходит число Для числа N(А) собственных значений оператора А, не превосходящих по модулю А, с учетом их корневых кратностей, справедлива otißHKa N(Л) < М\х!2т, (Л > 1).

Отметим, что сформулированные выше результаты в случае симметрической формы (14) хорошо известны.

Пуст г, Л такой же оператор, как в теоремах 7, 8.

Введем в рассмотрение оператор А : Н1+ —* 7í'_, действующий но формуле

< Ли, V >= А{и, v] (Vu, v е Ul+). Тогда имеет место следующая

Теорема 9. Для достаточно больших по модулю А € S существуют непрерывные обратные

{А - ЛЕ)-1 : Hí -* nl_, (А - ХЕ)-1 : П1 - П1,

и выполняется равенство

{А - ХЕу'и = {А - \E)-lu {VueH1).

При этом Au = Au (V« € D(A)), и

D{A) = {иеН1+ : Аи 6 П1}.

Параграф 2.2 посвящен доказательству одной леммы о матричных функциях.

В §2.3 исследуются дифференциальные операторы с матричными коэффициентами.

Доказательства основных теорем второй главы приведены в §2.4. В §2.5 г, прежних обозначениях, для оператора А - сужение оператора А на И1 доказывается следующая

Теорема 10. Ряд Фурье любой вектор-функции / 6 TL1 по системе корневых вектор-функций оператора А суммируется к i AtemodoM Абеля со скобками порядка 7 = ¿ + £ с достаточно малым £ > 0. В §2.6 исследуется асимптотическое распределение собственных значений оператора А.

Пусть с.з. матрицы a{t) лежат на R+ и вне сектора

Ф = {z е С : | arg z\ < ip}, 0 < tp < 7Г.

Можно пыбрать S в виде малого замкнутого сектора, который принадлежит

{0}и{Ф\й+}.

В любом таком секторе оператор А имеет конечное число с.з. Поэтому, если обозначить через Л^Аг,... - последовательность с.з. оператора А, лежавших а Ф, то имеем

lim arg А, —» 0.

j->+oo

Обозначим через N(t) ф.р.с.з., оператор А, т.е..

N(t) = £ 1-

Имеет место следующая

Теорема 11. Для функции N(t), при t —+ +00 справедлива асимптотическая формула

N(t) ~ rf^

где

1 " /" 1

i=l о

Результаты, полученные d §§2.2 — 2.5, мы применяем в §2.7 для исследования неоднородной задачи Дирихле

А[и, v\ - р{и, v) =< F, v >, V?; е С0°°(./)';

с граничными условиями

u«(ü)=an u(i>( l) = ßt, '¿ = 0,1,...,,s0- 1;

где 5о € [т — 0 - 12,т — 0 + -целое число.

Найдены условия однозначной разрешимости, а также соответствующие оценки решения в которой участвуют числа außi-

Подобные результаты до недавнего времени были известны только в случае коэрцитивных форм. Случай некоэрцитивных форм рассмотрен в работах ([С-Sj, см. сноску па стр. 15) при условии, что все с.з. матрицы a{t) - простые и различные, причем a(t) G С".

Мы же предполагаем лишь непрерывность старшего коэффициента. Однородная обобщенная задача Дирихле ставится следующим образом. Для F 6 HL найти и е Н1+, такой что

А[и, г;] - /г(гг, v) =< F, г; >, Vv е C^(J)1 (17).

Очевидно, что эта задача эквивалентна следующей задаче: для F € HL найти элемент и G Н1+ такой, что

Д[(М>] - ц(п,г>) =< F, v >,\fv £ (18).

Разрешимость задачи (18) тесно связано с разрешимостью сопряженной задачи: для G £ TíL найти и G Т11+ такой, что

Д+[и,г>] - Jl{u,v) =< G,v >,Vt! е П'+ (19).

Здесь билинейная форма определяется по формуле

г» í

= Y1 / < P¡(*K(0u(i)(t),Pj(0«ü)(0 >с, dt,D[A+1 = (20).

о

Обозначим через а спектр оператора А. Очевидно, что а - чисто точечное множество с единственной возможной предельной точкой па бесконечности. Имеет место следующая

Теорема 12. При любом р ^ а задача (18) однозначно разрешима. При этом, решение и 6 удовлетворяет неравенству,

М+ <

где число M/t не зависит от F.

Спектр (Ti оператора А* связан со спектром оператора А равенством <тг — а, т.е.,

ffi = {z е С : z G а}. Аналогично теореме 12 имеет место следующая

Теорема 13. Пусть ¡л £ а. Тогда задача (10) при любом, G G TiL имеет единственное решение и € Ti\. Решение и € 'Н1+ задачи (19) удовлетворяет неравенству

где число М' не зависит от G.

Перейдем теперь к исследованию раз1)ентимости задачи (18) при /i € а. Будем писать FLC, тде F 6 П'_,Сс П'+, если < F,v >= 0,Vv € С. Можно показать что, если /и € <7, то для существования решения задачи (18) необходимо выполнение условия

F±ker{A* - JlE) (21)

Теорема 14. Пусть выполнено (21), р € а. Тогда задача (18) имеет решение и € Ц}+ такое, что

м+ < A/„|F|_;

число не зависит от F. Аналогично доказывается слсдущая

Теорема 15. Пусть GLker(A — рЕ), ц £ о. Тогда задача (19) имеет, решение и € Ц}+. При этом выполняется неравенство

\и\+< M'f¡\GU,

где число А//( не зависит, от G.

В конце этого параграфа исследуется разрешимость неоднородной задачи Дирихле.

Пусть //, - пространство функций yit) ё ¿2(0,1), с конечной нормой

|у|+ = (/\At)vím)(t)\2dt + J \y(t)\2dt)l>.

J J

Рассмотрим билинейную форму

B[u,w] = J < pe{t)a{l)u{m]{t),pe(t)v^m){t) >c, dt,V\B} = Hl+, (22) j

где a(t) £ Cm(J; EndC1). Предполагается, что матрица a(t)(t E J) имеет простые с.з. расположенные вне некоторого замкнутого сектора S с началом в нуле. Наряду с формой (22) будем рассматривать также форму

Л'[-и,и] = J <pe{t)a*{t)u(m\t),pev^m\t)>c'dt,V\A!}=nl+. (23) j

Неоднородная задача Дирихле ставится следующим образом. Пусть заданы векторы a¿,/3¿ Е С1,г = 0, ...s0-l где s0 S [т—в—\,т—в+\) - целое число. Для F е Til_ требуется найти элемент и € Н1+, удовлетворяющий граничным условиям

«(,>(0) = q„W(¡)(1) = A, г = 0,1, ...So — 1, (24)

и равенству

В\и, г;] - р(и, и) =< F,v >, Vw £ С0°°( J)' (25)

Пусть А - такой же оператор, как в теореме 7, построенный в соответствии с билинейной формой г>] (23). Обозначим через о спектр оператора А.

Имеет место следующая

Теорема 16. Пусть /х ^ а. Тогда задача (24), (25) имеет, единственное решение, и £ причем

«0-1

М+ < Л/Д1Л- + £ Ыс< + £ (20)

¡=о ¡=о

где число А/(1 не зависит от ^= ОД').

Аналогично с привлечением теоремы 13 устанавливается следующая Теорема 17. Пусть /г £ а, Р1 £ Н[ . Тогда для существования хотя бы одного решения и £ Н1+ задачи (24), (25) необходимо и достаточно выполнения условия

+ цщ - Р1)1кег{А* - Т1Е). (27)

При этом. если выполнено (27), то существует решение удовлетворяющее неравенству

к

«=о

в котором число Л/(1 не зависит от = ОД").

Замечание. В (27) элемент

, определяется но формуле

< >= j < рв{1)а{1){(Зк-ак),р%{т\1) >с, М, v еН1+,0 £ (-1/2,1/2)

J

Третья глава, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию асимптотики взвешенного следа некоторых классов вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов , заданных в ограниченной области, удовлетворяющей условию конуса.

В §3.1 приводятся предварительные сведения и формулировка основного результата.

Пусть Г! С II,, — ограниченная область, удовлетворяющая условию конуса . С( I-мерное комплексное пространство.

Рассмотрим билинейную форму:

В[и, и] = Y1 {р2в'аарЬОаи, D0v), и, v € С£°(П; С1).

\a\=\0\=jEl

Здесь

а = (а1,а2,...,ав) |а| = ¿а, Da = • • ■ (¿Г",

1

/ С {0,1,2,...,mj mel,p(x) = dist(x,dn), |Vp(x)| < с {u,v) = J (u(x),v(x))cidx

скалярное произведение в Н = ¿2(О; С'). Относительно положительных функций ipj(x)(j £ /) предполагаем, что они дифференцируемы вИ С Rn и для любого (j € /) удовлетворяют условию

Um sup = о.

Предполагается, что значения коэффициентов атз(х) являются (1x1)-матрицами и для всех х,у € fl, |а| = \(5\ € I выполняется неравенство

Ы{х) - ааР(у)| < К\х - у\Т (К > 0, г е (0,1]).

Пусть для всех |а| = |/3| = j € I, х € выполняется неравенство

Е1Са1с/<М £ < а0/з(^)Са,С/3 >С', H=j Ы=\Й=3

где число М>0 не зависит от х G Q, {£а} С С'.

Числа 0j(j € /) принадлежат иптсриа-ту [0; i оо) и удовлетворяю']' условиям:

I. maxfy - О Л > 0; jei w

II. если j k. (j, k€ I), то k — Qk > j — Обозначим через J{+ замыкание по норме

|«|+ = у/В[и,и) + М2-

Так как билинейная форма В[ . , . ] положительно определена, то пространство Н+ является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(u,v)+ = B[u,v] + (u,v).

В сделанных выше предположениях билинейная форма B[u,v\{u,v е Н+) однозначно определяет положительный самосопряженный оператор А в пространстве Н со следующими свойствами :

D{A*) = Я+; = (A*u,A$v)

для всех u,v 6 D(A^), причем если и 6 D(A), то В{и, г;] = (Аи, г>). Обозначим через V^.(f2), 1'де х ^ класс положительных функций I G С1 {О), удовлетворяющих неравенству:

№)| < хИх)р-\х)

для всех х € П.

Определим функцию ipi(\) (А € Ri,l 6 V^(f2)) равенством

<fil(Л) = (2тг)-"У i(a:)( J N(\,x,s)ds)dx, п я„

где iV(A, х, s) — число собственных значений, не болыпо чем Л матрицы A{x,s)= Y, fl"JWj{xKf>(x)sa+l>.

|oH0l=je/

Обозначим через {Ед} спектральные проекторы оператора А, через I — оператор умножения на функцию 1(х) 6 VX(Q) в пространстве Н. Положим, N(X,l) = spEx,i, где ЕЛ,г = \ДЁ\уД. Имеет место следующая

Теорема 18. Пусть выполнены сформулированные вы/те условия и т<вт-п. Тогда найдется число \о > 0 такое, что для I € где

X € [OiXob оператор E\,i{X £ R~l) является ядерным. Если при этом выполняется равенство А) = 0(1)/;(А), где функция fi(X) не убывает и удовлетворяет условию /¡(2А) = 0(fi(А)), (А —+ оо), то существует число ¡1 S (0,1) такое, что для любого числа 6 6 (//, 1) имеет место неравенство:

\N(\,l)~iPl(X)\<MX'-sfl(X)+ sup Mi + fVw(f))-

|A-f|<i±i

Пример 2. Рассмотрим билинейную форму

ь ь

ВМ = /лшш^/р-шмда

а а

Здесь е > 0,р1{х),р2{х) - некоторые функции класса Гельдера, ограниченные снизу и сверху постоянными положительными числами. Согласно теореме 18, оператор А порожденный этой билинейной формой , имеет дискретный спектр и для функции Ы(Х) распределения собственных значений оператора А справедлива асимптотическая формула

У Р1[х)

а

где

р^х) = Р^€Р1{х), р2{х) = р-2е(х)р2(х) р+ = тах(р, 0)

В §3.2 приведены некоторые вспомогательные леммы, необходимые для дальнейшего исследования. Доказательство основной теоремы приведено в §3.3.

Четвертая глава, состоящая из шести параграфов, посвящена исследованию асимптотики спектра песамосопряжешшх вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов второго порядка на отрезке, а также исследованию спектральных свойств одного класса эллиптических систем дифференциальных операторов в многомерной области.

Формулировка основных результатов приведена в §4.1.

Пусть />.(£) е С1(0,1) - положительная функция. Введем пространство:

Н, = 1)' = И£л(0,1) х ... х 0,1), (¿-раз)

состоящее из вектор-функции «(¿) = (ггх(й),определенных на (0,1) с конечной нормой

1 1

о о

Обозначим через Tif замыкание C{j°(0,1)' в соответствии с этой нормой. Если / -- 1, то положим Н -- Н\ и Н° -- Н\

Рассмотрим в пространстве Hi = ¿2(0,1)' дифференциальный оператор

(Pu)(t) = -±(h{t)R(t)~) (28)

с областью определения

= {и е и? п и^о,1)': е к,}

Здесь HfcJO,1)' = 1^(0,1) х ... х 1^(0,1), (¿-раз), а \\%ж{0,1) обозначает класс функции u(t), (0 < i < ]). такие что

2

^ I \u(i){t)\2dt < +00, Ve G (0,1/2). i=o ^

Пусть функция h(t) удволетворяет следующим неравенствам:

ciia(l - t)0 < h(t) < M, (29)

|/»'(01 < аа,2~НеЧ1 - о"/2-1+е2, (зо)

где а > 0, (3 > 0. Число £\ = 0, если а ф 0, и £1 > 0, если л — 1. Число е2 = 0, если (3 ф- 1, и £2 > 0, если ¡3 = 1. Относительно /?(/.) предполагаем, что

Л(«) е С7Х([0,1], £7пеГС'),

и при каждом £ € [0,1] матрица Д(£) имеет простые собственные значения. Итак, пусть для /г(£),Я(£) выполнены все условия, сформулированные выше, и существует замкнутый сектор 5 С С с вершиной в нуле, свободный от собственных значений матрицы /?(/), (0 < ( < 1). Имеют место следующие теоремы:

Теорема 19. Для достаточно больших модулей X 6 Б оператор (Р — ХЕ) имеет непрерывный обратный (Р — ХЕ)~1 в Н1 и справедливы оценки

||(Р-АЕт<М|АГ\ II- АЯГ'Н < Л/|АГ, (А € |А| > с)

Здесь символ |[ || обозначает норму ограниченного оператора из Hi в Hi или из 7i\ в Tti-

Теорема 20. Пусть 0 < а < 2,0 < /3 < 2. Тогда для достаточно больших по модулю X G S оператор (Р — XЕ)~1 является компактным оператором, порядка которого не привосходит числа Спектр оператора Р состоит из изолированных собственных значений конечных алгебраических кратпостей с единственной возможной предельной точкой на бесконечности. Система корневых вектор-функции оператора Р полна в пространстве Tit- Ряд Фурье любой вектор-функции, f G Hi по системе корневых вектор-функций оператора Р суммируется к f методом Абеля, со скобками порядка 7 = | + £с достаточно малым в > 0. Для числа N(t) собственных значений оператора Р не превосходящих числа t (с учетом их алгебраических кратностей) справедлива оценка

N(t) < M(l + t)2.

Сформулируем теперь результат об асимптотике спектра оператора Р. Так как R(t) G С1 ([0,1], End С1), и то что все собственные значения Hi{t),..., pi(t) матрицы R(t) простые, то их всегда можно так занумеровать, что Hj(t) 6 С1 [0,1], j = 1,..., I.

Мы предположим, что fh(t),..., p.„{t) G R+, /u„+1(i),..., m(t) € С \ Ф, где Ф = {z € С : \argz\ < € (0,7г), a обозначает положительную

полуось R+ = {z G С : Rez > 0,Imz = 0}. Здесь и далее функция argz принимает значение на отрезке (—7г, 7г].

Предположим, что функция h(t) удовлетворяет следующим условиям h(t) >cV3(l -t)0,c > 0,/3 < 2,

h(t) + < МГк( 1 - t)~k, k > 0.

Обозначим через АьАг,... последовательность собственных значений оператора Р, расположенных в угле Ф и занумерованных с учетом их алгебраических кратностей. Обозначим

V 1

з=о {

Теорема 21. Для фунции N(t) = card{j\\Xj\ < £} справедлива асимптотическая формула

N(t) ~ Л¿4, t -> +00.

Яри этом имеем

lim aroAj = 0.

J-+00 J J

Доказательство теоремы 19-21 основаны на некоторых оценках резольвенты оператора А. Эти оценки приведены в §4.2 - §4.4. В §4.5 исследуется спектральная асимптотика дифференциальных операторов при общих граничных условиях. Рассмотрим в Hi дифференциальный оператор:

Po = -|(А(*)Я(*)|), D(Po) = 0,1)'

Предполагается, что h(t.),R(t) удовлетворяют всем условиям теоремы 21, однако, в отличие от параграфа 4.1 здесь будут рассмотрены другие расширения оператора Р, которые необязательно могут быть заданы граничным условием типа Дирихле.

Пусть Ф - такой же угол как и в теореме 21, fij(t) € Сх[0,1] собственные значения матрицы R(t), fh(t),..., (iu{t) € R+, //„+i(i),..., pi{t) £ Ф. Пусть P - замкнутое расширение в Щ оператора Ро такое, что:

1). Любой замкнутый сектор S С Ф с вершиной в нуле такой, что S П Я+содержит конечное число собственных значений оператора Р.

2). Найдутся числа е > 1/2, ф € (0,93), с > 0 такие, что оператор Р — АЕ непрерывно обратим при |А| > с, arg А = ±ф н удовлетворяет оценке

H(Р - А£)-'|| < M|А|-£, (|А| > с, arg А = ±ф).

При выполнении сформулированных выше условий имеет место следующая

Теорема 22. Для числа N[t)собственных значений onepamojxi Р, расположенных в угле Ф и не превосходящих по модулю t справедлива асимптотическая формула:

N{t) ~ et1'2,

где

В §4.6 исследуются некоторые спектральные свойства одного класса нссамосопряжеппых эллиптических систем.

Пусть Пей"- ограниченная область с границей (XI класса С°°. В гильбертовом пространстве Щ = L2(Q.)1 = Ь2(П) х ... х L2(Q) (I - раз), (в случае I = 1 положим Я/ = Я) рассматривается дифференциальный оператор

Л ^

при граничных условиях типа Дирихле. Относительно параметра вырождения в полагаем, что 0 < в < 1. Функция р(х) означает регуляризованное расстояние до границы области:

р{х)еСсо{П), р(х) <dist{x,dÜ} < Мр{х), \р'{х)\<М. _

Сформулируем условия для коэффициентов q{x),iiij(x) (:i,j = 1, п). Предположим, что

ау(:г) е С'2(Щ, q(x) G С2(П : EndC).

a,ij(x) = Uji(x), (х £ П, i,j = 1, п). Кроме того, предположим выполнение условия эллиптичности:

п

clil2 < (хеп, ее С"), С > о.

г,] = 1

Собственные значения матрицы q(x) (х € fl) расположены на положительной полуоси Я+ = (0; +оо) и вне угла

Ф = {z € С : \argz\ < <р}, <р € (0,7г] : (Функция argz принимает значение на (—тг, 7г]).

Введем пространство Vl/219(i2) функций у(х){х € П) с конечной нормой

\\y,4ffm\ = (£ J р»(х)Ш*)\2<ь + J

1=1 s2 s!

В дальнейшем предположим, что матрица q(x) при х £ (К1 имеет простые собственные значения.

о

Пусть (О) - замыкание линейного многообразия Cg°(Q) в

пространстве W^o^Sl). За областью определения оператора А примем класс

о

вектор - функций и(х) € Hi с компонентами класса W'^g (П) П ;(ос(П) такие, что

¿(p2%j(?<);( е я,.

>J=1

Занумеруем собственные значения матрицы q(x) так, что /.ij(x) €

С(Щ, (j = TJ) и

/•'jix) е т.е. argmix) = 0, (j = 1^), /¿ДзОёФ (j = и + Г).

Обозначим через Ai, Лэ,... последовательность собственных значений оператора А из уела Ф, упорядоченных в порядке неубывания их модулей. Положим

N(t) = card{j : |А,| < i}, ¿>0

При выполнении перечисленных условий имеет место следующая Теорема 23 . Для любого замкнутого сектора S С Ф \ R+ с вершиной в нуле для достаточно больших по модулю А е S оператор Л — ХЕ ненрерыно обратим и верпа оценка

II(Л - АЯ)-Ч1 < АШ-1 (А е S, |А| > Мд). Имеет место асимгпотическая формула

N{t) ~ (2тг)~nvntt J p~ne{x)p{x){det(a(x))yl/2dx, n

где vn - объем единичного шара о Д",

к*) = =

¿=1

При этом

lim argXj = 0.

j—*+oo

Автор выражает глубокую признательность научным консультантам, академику АН Респ. Таджикистан, д.ф.-м.н., профессору

Камолндднну Хамроевичу Бойматову и д.ф.-м.н., профессору Ивану

Егоровичу Егорову за внимание л поддержку на всех этапах работы нам, диссертацией.

Публикации по теме диссертации

jlj. Гадоев М. Г. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических систем дифференциальных операторов // Доклады АН Тадж. ССР, 1990 , т.ЗЗ, №1, с.6-9.

12/. Исхокон С.А., Гадоев М.Г. Об одном неравенстве тина Харди для ограниченных областей, удовлетворяющих условию конуса // Докл. АН Таджикской ССР. 1991, т. 34, №3, с. 146-151.

/3/. БоГшатов К.Х., Гадоев М.Г. Неравенство типа Харди для областей, удовлетворяющих условию конуса // В кн.: Спектральная теория опсратороп и се приложения. Баку, 1991 , пып.Ю, с.58-63

(4¡. Бобокалонона Д.Ф., Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика несамосопряжен-ных эллиптических систем дифференциальных операторов во всем пространстве // Доклады АН Республики Таджикистан. 1993 г. т. 36, №1 с. 5-9

¡5]. Гадоев М.Г., Олимов М. Асимптотика взвешенного следа эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка в предельно-цилиндрической области // В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Вып.2, Душанбе, 1993, с.12-15.

[6j. Гадоев М.Г., Олимов М. Об асимптотике спектра нссамосопряжеппых систем дифференциалиных операторов в предслыю-цилиндрических областях // Доклады АН Республики Таджикистан. 1993 , т. 36, №2, с. 79-82.

[7]. Гадоев М.Г., Олимов М. О спектре вырожденно-эллиптических операторов в неограниченных областях //' Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения ( сборник научных статей), вып 3. Душанбе, 1995, с. 17-20.

¡8]. Гадоев М.Г., Каримов О. Коэрцитивные свойства нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка //Дифференциальные и интегральные уравнения ir их приложения (сборник научных статей) вып.4 Душанбе, 1996, с.19-22.

[9¡. Гадоев М.Г., Алпкулов Р.К. Неравенства для функций Грина эллиптических уравнений и их приложения к проблеме разделимости // Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, (сборник научных статей), выи.4, Душанбе, 1996, с. 6-11.

[10]. Гадоев М.Г. Асимптотика взвешенного следа вырождающихся эллиптических дифференциальных опсратороп / / Материалы международной научной конференции но "Дифференциальным

уравнениям с сингулярными коэффициентами "Душанбе, 17-19 ноября 1996 г, с. 43.

[11J. Гадоев М.Г. Асимптотика взвешенного следа вырождающихся дифференциальных операторов // Математические заметки ЯГУ, 1997, с. 17-27.

[12J. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика одного класса ш-секториальных вырожденно-эллиптических операторов на отрезке // Материалы II международной конференции по математическому моделированию,Якутгк, 1997, с 17-18.

¡13]. Бобокалонова Д.Ф., Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика т-с.екторпальпых дифференциал!,пых операторов II порядка в неограниченных областях, удовлетворяющих условию конуса// Доклады АН Республики Таджикистан. Душанбе. 1998, т.41. №9, стр.5-12.

¡14]. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика пссамосопряжеппых эллиптических систем второго порядка, слабо вырождающихся на границе области// Доклады АН Республики Таджикистан. Душанбе 1999, т.42, 3. с. 54-59.

[15]. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика задачи Неймана для вырожденно-эллиптических дифференциальных уравнений четвертого порядка // Материалы IV-ro Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике, ИНПРИМ-2000, Новосибирск, 2000, с.48-49.

[16]. Гадоев М.Г. Интегральное представление голоморфных полугрупп, порожденных сильно позитивными матричными псевдодифференциальными операторами на компактных многообразиях //Доклады РАН , 2002 , т.385, №4, с. 450-452.

[17]. Бойматов К.Х. , Гадоев М.Г. Об условиях т-секториальностп и квазн-т-аккрстивности минимальных реализаций матричных дифференциальных и псевдидиф-ференциалышх выражений // Доклады РАН, 2002, т.385, №3, с.295-298

118[. Гадоев М.Г. Об асимптотике спектра одного класса несамосопряженных эллиптических дифференциальных операторов вырождающихся на компактное многообразие произвольной коразмерности // Материалы Мсждуи. РоссМско- Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик, 2003, с. 38-39.

[191. Гадоев М.Г., Конобулов С. II. О связи между свойствами разделимости дифференциальных выражений и коэрцитивных оценок дифференциальных уравнений. // Труды международной конференции

по дифференциальным и интегральным уражиям с сингулярными коэффициентами, Душанбе, 23-25 октября 2003 г. стр. 54-56.

¡20]. Гадоев М.Г., Конобулов СЛ. Коэрцитивная разрешимость и разделимость эллиптических систем второго порядка в банаховых пространствах //Вестник ЯГУ, 2003, т.З, №3, стр. 15-33.

¡21j. Гадоев М.Г., Конобулов С.И. Коэрцитивная разрешимость позитивных эллиптических операторов в банаховых пространствах //Сибирский журнал индустриальной математики, 2003, т.6,Л"!2 (14), стр. 26-30.

¡22]. Гадоев М.Г., Конобулов С. И. Об условиях позитивности н коэрцитивной разрешимости матричного оператора Шредпнгера п банаховых пространствах вектор-функций // Дифференциальные .уравнения, 2003, т.З9, .Щ с.850-851.

¡23]. Бойматов К.Х., Егоров И.Е., Гадоев М.Г. Интегральное представление сильно непрерывных полугрупп, порожденных системами нсевдодифференциальпых операторов. //Материалы четвертой международной конференции по математическому моделированию, Якутск, 27-31 июля 2004 г., с. 9-10.

¡24\. Гадоев М.Г. Асимптотика спектра иесамосоиряжеппых вырождающихся эллиптических операторов // Материалы научно-практ. конф. посвященной 50-ти летию алмазодобывающей промышленности и г. Мирного (г.Мирный, 12-13 апреля 2005 г.) стр.151-157.

[25].БоГшатов К.Х., Егоров И.Е., Гадоев М.Г. Об асимптотике спектра одного класса несамосопряженных ПДО во всем пространстве // Тезисы докладов Между пар. копф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ"посвященной столетию академика С.М. Никольского (г.Москва, 23-29 мая 2005 г.) стр.57.

¡26}. Бойматов К.Х., Егоров U.E., Гадоев М.Г. С'0 - полугруппы операторов, порожденные системами нсевдодифференциальпых операторов в Ьр - пространствах с весом // Доклады РАН , 2005 , т.404, №2, стр. 151-154.

¡27]. Гадоев М.Г. Асимптотика спектра песамосопряженпых вырожденно- эллиптических дифференциальных операторов второго порядка на отрезке // Сибирский журнал индустриальной математики, 2006, т.9, №2(26),стр. 31-43.

¡28]. Гадоев М.Г. Об асимптотике спектра одного класса несамосопряженных систем // Неклассические уравнения математической физики,Новосибирск, IIM СО РАН, 2007г. стр. 78-84.

/29]. Гздоев М.Г. Обобщенная задача Дирихле для систем вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов, ассоциированных с некоэрцитивными формами // Материалы междунар. конф. "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений"посвященной 100-летию со дня рождения акад. С.Л. Соболева, Новосибирск, 2008, стр. 119.

[301■ I Бойматов К. X. | , Егоров И.Е., Гадоев М.Г. Сильно непрерывные полугруппы операторов, порожденные системами псевдодифференциальных операторов в Ьр - пространствах с весом // Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, №8, стр. 3- 54.

Отпечатано в ООО «Мирнинская городская типография» Республика Саха (Якутия), г. Мирный, ул. Советская, 4 Подписано в печать 15.09.09 Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 2,09 Заказ № 1253. Тираж 100 экз.

Введение.

Глава I. Интегральные представления сильно непрерывных полугрупп порожденных псевдодифференциальными операторами во всем пространстве Rn и на компактных многообразиях без края.

§1.1. Формулировка основных результатов.

§1.2. Оценки норм некоторых интегральных операторов.

§1.3. Доказательство основных теорем.

§1.4. Асимптотическое поведение собственных значений оператора ЛР)к.

§1.5. Псевдодифференциальные операторы на компактных многообразиях.

Глава II. Спектральная асимптотика несамосопряженных вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами на отрезке.

§2.1. Введение. Формулировка основных результатов.

§2.2. Одна лемма о матричных функциях.

§2.3. Дифференциальные операторы с матричными коэффициентами.

§2.4. Доказательство теоремы 1.2.

§2.5. Суммируемость в смысле Абеля-Лидского системы корневых вектор-функции оператора А.

§2.6. Асимптотическое распределение собственных значений оператора А.

§2.7. Обобщенная задача Дирихле.

Глава III. Асимптотика взвешенного следа вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами.

§3.1. Предварительные сведения и формулировка основного результата

§3.2. Некоторые вспомогательные леммы.

§3.3. Доказательство основной теоремы.

Глава IV. Асимптотика спектра несамосопряженных вырожденноэллиптических систем дифференциальных операторов.

§4.1. Формулировка основных теорем.

§4.2. Оценка резольвенты некоторых классов вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов в 1/2(0,1).

§4.3. Оценка резольвенты оператора Р.

§4.4. Асимптотическое распределение собственных значений оператора Р.

§4.5. Спектральная асимптотика дифференциальных операторов при общих граничных условиях.

§4.6. Асимптотика спектра одного класса несамосопряженных систем.

Настоящая работа посвящена исследованию сильно непрерывных полугрупп порожденных в весовых Ьр - пространствах, 1 < р < +оо, системами псевдодифференциальных операторов (п.д.о.) и исследованию некоторых вопросов спектральной теории, как самосопряженных так и далеких от самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов (д.о.) и п.д.о.

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. В первой главе мы рассмотрим замыкание ЛР)к п.д.о. с матричным т-символом:

Л)М)(ЯГ) = (2тг)-п !(I е^х~^а(тх + (1 - т)у, з)и{у)йу)й5,

Л" Лп в пространстве ТСр^-, 1 < Р < +оо, вектор-функций (в.-ф.) и(х) = (щ(х),., щ{х))', с конечной нормой (Е / Ъ?{х)Ых)\Чх)^.

3=1 Дп

В теореме 3.1 найдены условия на символ а(х, в), при выполнении которых оператор будет инфинитезимальным производящим сильно непрерывной полугруппы в Этот результат удастся распространить также и на о пространство Ноо^ непрерывных в.-ф. и(х), удовлетворяющих условию |и(ж)| к(х) = о(1), х —> оо с конечной нормой о — вир |г/(а;)| к(х). На примере уравнения теплопроводности можно показать, что если условие о к{х) — о(1), х —> оо в определении пространства Н^^ опустить, то о полугруппа не будет непрерывной на [0, +оо) в 7^оо,/с

Далее устанавливается интегральное представление, t e-tAp,k = J(t) + J J(t~ т)Ф(т)б/т, О где оператор J{t) определяется в явном виде через символ, а о.-ф. Ф(£) удовлетворяет оценке wmh ъ <МГ\ о <t<T, К е (0,1). О

Здесь 1 < р < +оо. Для р < +00, 7iPjk'-= T~tPlk, а оператор A^k определен как замыкание Ао в Н+оо^

Таким образом, при т — 1 мы получаем как бы некоторую конструкцию матрицы Грина уравнения ди ( тл\ u\t=v = g, в пространстве HPik. В этом плане наша работа примыкает к исследованиям С.Д.Эйдельмана [90,92], С.Д.Ивасишена [53,54], С.Д.Эйдельмана, С.Д.Ивасишена [55,91], К.Х.Бойматова [19-27,35,37-46], А.Г.Костюченко [64-68], К.Х.Бойматова, А.Г.Костюченко [33,34,36], (см. также [6,47,48,59,61,62,63,84,85]).

Отметим, что в перечисленных работах рассмотрены либо самосопряженные д.о. А (или близкие к самосопряженным), как в работах А.Г.Костюченко, К.Х.Бойматова [33,34], либо д.о. с ограниченными коэффициентами, как в работах С.Д.Эйдельмана, С.Д.Ивасишена [55,91], а случай п.д.о. исследовался только в работах К.Х.Бойматова [20-23], где рассматриваются самосопряженные п.д.о. в 7^2

В нашей работе символ может неограниченно расти при х —» +оо. А рассматриваемые п.д.о. при р — 2 являются квази-т-аккретивными и, вообще говоря, могут не удовлетворять условию m-секториальности. Нам удалось найти также асимптотику собственных значений (с.з.) оператора APik, причем в случае р = 2 рассматриваемый оператор может не быть m-секториал ьным.

Более подробно об исследованиях, приведенных в литературе по вопросам оценки спектра п.д.о., см. ниже.

Перейдем к изложению метода применяемого в первой главе. В §1.2 мы о вначале получаем оценку в пространстве Нр^, 1 < р < -Ьоо нормы о.-ф. и устанавливаем оценку rnh ъ <мгк, о<г<т, (0.1) где к Е (0,1). Если бы, как в работе [21], выполнялись бы равенства р = 2, к(х) = 1, тогда можно было бы воспользоваться известным утверждением о том, что норма п.д.о. в 7^2 с "постоянным"символом В(й) равна вир |-£?(з)|.

Поскольку подобное утверждение в случае произвольных^, к(х) не имеет места, то в отличие от [21], приходится идти другим путем. Применяя другие отличающиеся от [21] рассуждения и аналитические приемы, нам все же удалось получить оценку (0.1) в общем случае. После получения оценки (0.1), равенство + Щ) * Ф(£) (0.2) вначале устанавливается в случае р = 2, к(х) = 1.

Наша методика доказательства представления (0.2) отличатеся от методики работ [21], в которых из уравнения (0.2) выводится уравнение

Ф = К+К*Ф, (0.3) и затем решается методом иттерации. Если бы мы пошли по такому пути, то пришлось бы оценить также нормы операторов к(ь) - к{12), Ф(^) - Ф(г2), (0.4) что осложнило бы доказательство громоздкими выкладками. Пришлось бы провести громоздкие выкладки также и для обоснования неравенства (0.1), после нахождения решения Ф(£) уравнения (0.3).

Наша схема значительно проще. А именно, вначале для р — 2, к(х) = 1 устанавливается равенство r(t) = J{t) + г * к, г(*) = е-ы.

Это уравнение решается относительно неизвестной о.-ф. Г(£). Отсюда выводим представление (0.2) в случае р = 2, к(х) = 1, не используя при этом какие-либо оценки операторов (0.4). Эта методика значительно проще также и в случае р = 2, к(х) = 1, по сравнению с работами [21-23].

Оценка (0.1) позволяет оператор из правой части (0.2) продолжить из П2 П Нр.к непрерывно в Hpjz при любом 0 <t <Т. Далее полученная о.-ф. rPjfc(t) продолжается с (0, Т) на все R+ с помощью равенства гP,k(t) = rPjk(Tyrp,k(t'), rpßj = [±],1f = t-jT.

После этого мы доказываем, что Гесть сильно непрерывная полугруппа с инфинитезимальным производящим оператором APik- Здесь мы, в частности, пользуемся тем, что левая часть (0.2) (соответствующая случаю р = 2, к(х) = 1), обладает полугрупповыми свойствами на Н2 П HPjk

В §1.4 на основании интегрального представления (0.2) исследовано асимптотическое поведение функции 7У(А)-распределения собственных значений позитивного п.д.о. APjk в пространстве 7iPik- Подобные исследования не приводились в литературе в случае р = 2 даже для д.о. Однако наши результаты являются, в существенном, новыми для п.д.о. также и в случае р = 2.

Дело в том, что в случае р — 2 мы рассматриваем п.д.о. А далекий от самосопряженных и не приводящего к виду

A = B(E + S), где В = В*, a S - компактный оператор.

Исследование спектральных асимптотик д.о. и п.д.о. далеких от самосопряженных, является новым актуальным направлением теории несамосопряженных операторов и берет начало с работ М.С.Аграновича, А.С.Маркуса [93], К.Х.Бойматова

19,35,37-40,43], К.Х.Бойматова, А.Г.Костюченко [34,36], Г.В.Розенблюма [78,79], А.Н. Кожевникова [63]. Далее в этом направлении были опубликованы работы [17,18,43,44,46,47,48].(см. также [110,113,119-131]) Указанные работы по типу "далекости"от самосопряженность можно разделить на две группы работ. В первой группе работ с.з. исследуемого оператора делятся на две

1) \(1) л (2) л (2) серии: Х\% Хк2 , ■. и Л^ , Л^ ,. так, что lim | arg xf] | > 0, lim arg X{p = 0. (0.5) j—*oo j—>+00 J

При этом находится асимптотика функции

N(А) = card{j : lA^I < А}

- распределения одной из этих серий с.з.

К данной группе работ относится [2,5,21,22,64,67].

Отметим, что главы II — IV диссертации также примыкают к работам [21,22,64,67].

Ко второму типу "далекости"от самосопряженности относятся работы К.Х.Бойматова, С.А.Исхокова [31,32] в которых оператор Л является далеким от самосопряженности, но может не иметь места ситуация (0.5), когда одна серия с.з. локализуется к R+. В работах К.Х.Бойматова, С.А.Исхокова [31,32], однако, исследования посвящены m-секториальным д.о. Здесь, в главе I, в случае р — 2 рассматриваемые п.д.о. являются квази-т-аккретивными, но, вообще говоря, не обязательно m-секториальными. Для них функция распределения с.з. определяется по формуле

N(А) - card{j : ReXj < А}.

Не имея дополнительной информации типа того, что arg Xj —» 0, j —> 4-оо, тем не менее мы находим главный член асимптотики функции N(А), А —» + 00.

Методика основывается на получении формулы

Spe~tA~\e~tA |ь 8 где | |i - ядерная норма.

Сумма модулей с.з. ядерного оператора не превосходит его ядерной нормы. Поэтому оо l^g-tHeA^ < jg-M^

3=1

00 +оо

3=1 3=1 где (pj — argXj. Этих неравенств с явным видом главного члена функции

Spe~tA ~ Sp J(t) оказалось достаточно для нахождения асимптотики ф.р. с.з. N(А), Л +оо.

В §1.4 исследуется также асимптотика взвешенного следа п.д.о. А в 7^2 в случае Л — Л*.

Наши результаты являются новыми также и для д.о., тогда как для п.д.о. асимптотика взвешенного следа в литературе вообще не изучалась.

В §1.5 нами получены такие же результаты, как в §1.2 - §1.4 для п.д.о. заданных на компактном С°° - многообразии без края. А именно, найдены условия, при которых замкнутый п.д.о. Ар, С°°(М) С D{Ap^)t 1 < Р < +оо, образовывает сильно непрерывную полугруппу в пространстве 7ip = dp)1, 1 < р < +оо. Найдены условия аналитичности полугруппы e-zAp в уГле> в обоих случаях находятся интегральные представления, выделяющие главный член полугруппы при t —» 0+, (Rez —> 0+). На основании интегральных представлений исследовано асимптотическое поведение функции

N(А) = card{j : Re\j(Ap) < A}.

Здесь мы опять имеем дело со вторым типом ,,далекости"от самосопряженности, когда рассматриваемый оператор в И.2 будет квази-ш-аккретивным, но не обязательно т-секториальным.

Результаты §1.4 обобщаются на пространство С°°(М)г (вместо Нр) -непрерывных в.-ф. и{ц) {¡л Е М), с нормой

Мс«(м)' - тах|м(д)|.

Во второй главе изучаются спектральные свойства несамосопряженного оператора А в £2(0,1)' порожденного билинейной формой тп \

Л[и,у] = ]Г / <Рг(г)Ог,(г)иЩ, >С< ¿1.

Ь3=0 о

Здесь

Оц е ¿00(7; Яш/С'), 3 = (0,1), (г,^ - 0~т), а(*) = атт(г) е С([0,1]; ЕпйС1).

Область определения билинейной формы А[и, у] задается как замыкание И,+ линейного многообразия Со°(0,1)* в пространстве с нормой з з

При условии, что с.з. матрицы а(£) лежат вне некоторого замкнутого сектора 5 с началом в нуле, установлены существование, единственность замкнутого оператора А в 1,2(0,1 )г, обладающие следующими свойствами: г) (Аи, у) = А[щ у], V«, у еН+ п) При некотором Ао € С существует неперерывный обратный (А — А оЕ)~1.

Нами исследованы следующие вопросы спектральной теории для оператора

А:

1) Оценка резольвенты оператора А в секторе Я вида

А - ЛЯ)"1!! < М1ЛГ1, |Л| > с, Л 6 С

2) Асимптотическое поведение с.з. оператора А

3) Суммируемость по Абелю системы корневых вектор-функций оператора

А.

Асимптотическое поведение с.з. оператора А ранее изучалось в работах К.Х.Бойматова, А.Г.Костюченко [33,34,36] при т = 1 и в работах К.Х.Бойматова, К.Седдики [47,48] для т > 1.

Отметим, что условия в указанных работах по сравнению с нашими условиями являются крайне жесткими. А именно, кроме условия a(t) 6 Cm([0,1]; End С1) в [47,48] требуется также, чтобы матрица a(t) при каждом t (Е [0,1) имела простые различные с.з. Здесь же, во второй главе, результаты установлены в окончательном виде, т.е. все излишние условия работ [47,48] сняты, и требуется лишь непрерывность a(t) на [0,1].

Третья глава диссертации посвящена исследованию асимптотики взвешенного следа некоторых классов вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов, заданных в ограниченной области, удовлетворяющей условию конуса (опр. см. напр.[52. с.138],[87. с.390]).

Пусть А - самосопряженный положительный д.о., Ед - спектральные проекторы оператора А. Взвешенным следом оператора А называется функция N(А, &(•)) = sp(y/kEX л/к), где к(-) - некоторая положительная функция. При к(х) = 1 функция N(А, £;(■)) превращается в функцию распределения собственных значений оператора А.

Асимптотика взвешенного следа эллиптических операторов изучена во многих работах. Для оператора Шредингера: L = — Д 4- qs(x) : L,2(Rn) — L2{Rn) асимптотику взвешенного следа впервые рассматривал Б. М. Левитан [71], где весовая функция к(х) имеет вид к(х) = qs(x). Асимптотику взвешенного следа более общего вида чем [71] находил А. А. Арсеньев [11]. Общий случай эллиптического оператора рассматривали А. Г. Костюченко [6768] и К. X. Бойматов [21-23]. Случай операторного уравнения Шредингера рассмотрели Г.И. Асланов, М. Байрамоглы [13] и М. Байрамоглы [14] , а случай операторного уравнения Штурма-Лиувилля Г.И. Асланов [12], (см. также [15], где имеется библиография). С. А. Исхоков [58], изучал асимптотику взвешенного следа некоторых классов эллиптических д.о. с частными производными, заданных в неограниченной области, удовлетворяющих условию конуса. В работе [112] вычисляется асимптотика взвешенного следа эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка в предельно-цилиндрической области. В [109] автором изучены асимптотика следа эллипти-ческих д.о. с особенностью в точке. Однако во всех работах, где изучается асимптотика взвешенного следа эллиптических д.о., заданных в ограниченных областях, предполагается гладкость коэффициентов и гладкость границы области.

В данной работе исследуются вырождающиеся эллиптические д.о. с нулевым потенциалом, заданные в ограниченной области, удовлетворяющей условию конуса. Дифференциальные операторы задаются с помощью билинейных форм. Условия на гладкость коэффициентов ослаблены до условия непрерывности по Гельдеру.

Применяется метод возмущения сингулярным потенциалом (ВСП), разработанный в работах [21-23]. В случае п.д.о. с негладкими коэффициентами, заданные в неограниченной области или во всем пространстве, впервые этот метод применялся в работе [58].

В заключительной четвертой главе изучается асимптотика спектра несамосопряженных вырождено-эллиптических дифференциальных операторов на отрезке.

Рассмотрим в пространстве Hi = Ь2{0, l)z дифференциальный оператор

Pu)(t) = - ft(h(t)R(tф. (0.6)

При некоторых условиях на функцию h(t) и матрицу R(t), исследуются некоторые спектральные свойства оператора Р. Асимптотика спектра вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов далеких от самосопряженных ранее изучалась в работах [25, 35, 36, 38]. Из этих работ наиболее близкими к нашим исследованиям являются работы [35, 36, 38]. В [35, 36] где изучалась асимптотика спектра оператора Р в предположении, что функция h(t) имеет вид h(t) = ta( 1 - £)a, 0 < а < 2

В работе [38] хотя рассматриваются дифференциальные операторы произвольного четного порядка, тем не менее, речь идет о степенном вырождении.

В четвертой главе условия на функции /г(£) являются довольно общими. Кроме того, в пятом параграфе, в отличие от работ перечисленных выше, нами вычислена спектральная асимптотика оператора Р, который действует по формуле (0.6), однако задается с помощью других граничных условий, необязательно совпадающими с граничными условиями Дирихле.

После сделанного выше, некоторого литературного обзора, перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава состоящая из пяти параграфов посвященна исследованию сильно непрерывных полугрупп операторов, порож-денные системами псевдодиффереициальных операторов в весовых Ьр простран-ствах, 1 < р < оо и в пространствах непрерывных вектор-функций, заданных в К1 (и на компактном многообразии)

1. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // В кн.: Современные проблемы математики.Фундаментальные направления, т. 63, ВИНИТИ, М. 1990, с. 5-129.

2. Агранович М.С. О сходимости рядов по корневым векторам операторов, очень близких к самосопряжённым // Труды моек, матем. общества. 1980, т. 41, с. 163-180.

3. Агранович М.С. О рядах по корневым векторам операторов, определяемых формами с самосопряжённой главной частью //Функциональный анализ и его приложения. 1994, т. 28, вып. 3. с. 1-21.

4. Агранович М.С. О суммируемости рядов по корневым векторам несамосопряжённых эллиптических операторов // Функциональный анализ и его приложения. 1976, т. 10, вып. 3. с. 1-12.

5. Агранович М.С. Спектральные свойства задач дифракции //В кн.: Войтович H.H., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщённый метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, 1977, с. 285416.

6. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи матем. наук. 1964, т. 19, №3. с. 53-161.

7. Агранович М.С. Некоторые асимптотические формулы для эллиптических псевдодифференциальных операторов //Функциональный анализ и его приложения. 1987, т. 21, №1, с. 63-65.

8. Агранович М.С. Несамосопряженные задачи с параметром эллиптические по Агмону-Дуглису-Ниренбергу // Функциональный анализ и его приложения. 1990, т. 24, №1, с. 59-61.

9. Александрян P.A., Березанский Ю.М., Ильин В.А., Костюченко А.Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частнымипроизводными // В сб. Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970. с. 3-35.

10. Алиев Б.А., Алиев И.В. Полнота системы корневых функций краевых задач эллиптических уравнений с краевыми условиями типа Бицадзе -Самарского // СМЖ, 2000, т.41, №3, с.489-497.

11. Арсеньев A.A. Асимптотические свойства следа спектральной функции самосопряжённого эллиптического оператора второго порядка // ДАН СССР, 1964, т. 157, №4, с. 761-763.

12. Асланов Г.И. Асимптотика взвешенного следа операторного уравнения Штурма-Лиувилля // В сб.: Вопросы прикладной математики и кибернетики. Баку. 1977. №1. с. 121-129.

13. Асланов Г.И., Байрамоглы. М. Асимптотика взвешенного следа операторного уравнения Шредингера // Изв. АН Аз. ССР. Сер. физ. -техн. и мат. наук. 1977, №1, с. 46-51.

14. Байрамоглы М. Асимптотика взвешенного следа двучленного операторного уравнения с частными производными //Спектральная теория операторов и её приложения, Баку, 1986, т.7, с. 14-40.

15. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ». М.: 1977, т. 14, с. 5-58.

16. Бирман М.Ш. Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. JI. Издательство ЛГУ. 1980, 264с.

17. Бобокалонова Д.Ф., Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических систем дифференциальных операторов во всем пространстве // Доклады АН Республики Таджикистан. 1993 г. т. 36, №1 с. 5-9

18. Бобокалонова Д.Ф., Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика т-секториальных дифференциальных операторов II порядка в неограниченных областях, удовлетворяющих условию конуса//Доклады АН Республики Таджикистан. Душанбе. 1998 г. т.41. №9, стр.5-12.

19. Бойматов К.Х. Асимптотическое поведение собственных значений несамосопряжённых операторов // Функ. анализ и его приложения. 1977, т. 11, №4, с. 74-75.

20. Бойматов К.Х. Асимптотика спектра эллиптического оператора в вырожденном случае // Докл. АН СССР. 1978, т. 243, №6, с. 1369-1372.

21. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных и псевдодифференциальных операторов I // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Издательство МГУ. 1981, т. 7, с. 50-100.

22. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных и псевдодифференциальных операторов II // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Издательство МГУ. 1983, т. 9, с. 240-263.

23. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных и псевдодифференциальных операторов II // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Издательство МГУ. 1984, в. 10, с. 78-106.

24. Бойматов К.Х. Самосопряженность эллиптических дифференциаль -ных операторов второго порядка // Дифферен. уравнения , 1976, т. 12, №11, стр. 2089-2091.

25. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости , весовые пространства и их приложения// ТрудыМИАНСССР , 1984,т. 170, с.37-76.

26. Бойматов К.Х. Распределение собственных значений вырождающихся эллиптических операторов // ДАН СССР , 1979, т. 248, № 3 , с. 521-524.

27. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в негладкой области // ДАН СССР, 1978, т.242, №4, с.749-752.

28. Бойматов К.Х., Гадоев М.Г. Об условиях ш-секториальности и квази-ш-аккретивности минимальных реализаций матричных дифференциальных и псевдодифференциальных выражений // Доклады РАН, 2002, т.385, №3, с.295-298

29. Бойматов К.Х., Гадоев М.Г. Неравенство типа Харди для областей, удовлетворяющих условию конуса // В кн.: Спектральная теория операторов и ее приложения. Баку, 1991 , вып. 10, с.58-63

30. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой // Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 1997,т.214,с. 107-134.

31. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора вырождающегося на многообразиях различных измерений // Доклады АН Респ. Таджикистан, 2000, т. ХЬШ, № 3, с.53- 60.

32. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Распределение собственных значений эллиптических операторов во всем пространстве // Труды семинара им. И.Г. Петровского . М.: Издательство МГУ, 1976, вып. 2, с. 113-143.

33. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических систем // Математический сборник , 1990, т. 181 , № 12 , с. 1678-1693.

34. Бойматов К.Х. Асимптотика спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов второго порядка // Математические заметки , 1992 , т. 51 , № 4 , с. 8-16.

35. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Распределение собственных значений несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка// Вестник МГУ, 1990, №3, с. 24-31.

36. Бойматов К.Х. Об асимптотике собственных значений несамосопряженных эллиптических систем // ДАН СССР. 1990, т. 315 №6, с. 1289-1293.

37. Бойматов К.Х. Обобщенная задача Дирихле порожденная некоэрцитивной формой // Доклады РАН, 1993, т. 330, №3, с. 285-290

38. Бойматов К.Х. Об асимптотике спектра вырожденно- эллиптических операторов далеких от самосопряженных // Доклады РАН, 1995, т. 345, №3, с. 295-299.

39. Бойматов К.Х. Некоторые спектральные свойства матричных дифференциальных операторов далеких от самосопряженных // Функциональный анализ и его приложения. 1995, т. 29, №3, с. 55-58.

40. Бойматов К.Х. О спектре самосопряженного полиномиального пучка // Функциональный анализ и его приложения. 1997, т. 31, №3, с. 71- 74.

41. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика систем дифференциальных эллиптических операторов по Дуглису- Ниренбергу в областях конечной меры // Доклады РАН, 1998, т. 363, №1, с. 7-10.

42. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика несамосопрояженной задачи типа Гасымова-Костюченко // Доклады РАН, 1998, т. 363, №2, с. 151-152.

43. Бойматов К.Х. О спектральной асимптотике и суммируемости методом Абеля рядов по системе корневых вектор-функций негладких эллиптических дифференциальных операторов далеких от самосопряженных // ДАН России. 2000, т. 372, №4, с. 442-445

44. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика несамосопряженных вырождающихся эллиптических систем дифференциальных операторов // ДАН России. 1993, т. 330, №5, с. 533-538.

45. Бойматов К.Х. Суммируемость в смысле Абеля Лидского системы корневых вектор-функций несамосопряженных дифференциальных операторов // Доклады АН РТ. 1999, т. XIII, №10. с.

46. Бойматов К.Х. , Седдики К. Граничные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированных с некоэрцитивными формами // ДАН России. 1997, т. 352, №3, с. 295297.

47. Бойматов К.Х., Седдики К. Некоторые спектральные свойства дифференциальных операторов порожденных некоэрцитивными формами// ДАН России, 1997, т.352, №4, с. 439-442.

48. Гасымов М.Г. О распределение собственных значений самосопряжённого обыкновенного дифференциального оператора // Докл. АН СССР. 1969, т. 184, №4, с. 753-756.

49. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Матем. анализ. 1985, т. 23, с. 125-218.

50. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов. М.: Наука. 1965, 448 с.

51. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов C.B. Неклассические дифференциально- операторные уравнения. Новосибирск, 2000, 342 с.

52. Ивасишен С.Д. Матрица Грина для параболических по И.Г. Петровскому систем общего вида // Математический сборник , 1981,т.114, №1, с. 110-166.

53. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач // Автореферат дисс. на соиск. ученой степени д.ф.-м.н., Киев, 1981, 33с.

54. Ивасишен С.Д., Эйдельман С.Д. Оценки матрицы Грина однородной параболической граничной задачи // ДАН СССР, 1967, т. 172, №6, с.1262-1265.

55. ИосидаК. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

56. Исхоков С.А., Гадоев М.Г. Об одном неравенстве типа Харди для ограниченных областей, удовлетворяющих условию конуса // Докл. АН Таджикской ССР. 1991, т. 34, №3, с. 146-151.

57. Исхоков С.А. Спектральная асимптотика задачи типа Гасымова — Костюченко в неограниченной области // Известия АН РТ. Отделение физ.-мат. и хим. наук. 1992, №3, с. 3-11.

58. Кадиров Д. Интегральное представление однопараметрической полугруппы, порожденной оператором Штурма Лиувилля с операторнозначным потенциалом // Доклады АН Респ. Таджикистан, 1994, т.37, №3-4, с.4-7.

59. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972, 740 с.

60. Коваленко В.Ф., Семенов Ю.А. Полугруппы, порождаемые эллиптическим оператором второго порядка// В сб.: Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев, 1987, с. 17-36.

61. Коваленко В.Ф., Семенов Ю.А. К Ьр- теории шредингеровских полугрупп // Украинский математический журнал, 1987,т. 39, №5, с.620-624.

62. Кожевников А.Н. Об асимптотике собственных значений эллиптических систем // Функциональный анализ и его приложения, 1977, т. 11, №4, с. 82-83.

63. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов // Докторская диссертация, 1966, МГУ.

64. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов// Математические заметки, 1967, т.1,№ 3 , с. 365-378.

65. Костюченко А.Г. Распределений собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов // ДАН СССР, 1966, т. 168, № 1,с.21-24.

66. Костюченко А.Г. Асимптотическое распределение собственных значений эллиптических операторов// Докл. АН СССР, 1964, т.158, №1,с.41-44

67. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов // В кн.: Четвертая математическая школа. Киев, 1968, с. 42-117.

68. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966, 500с.

69. Лаврентьев М.М., Савельев Л .Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск, 1999, 702с.

70. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении функций Грина и разложении по собственным функциям уравнения Шредингера // Математический сборник, 1957, т.41, №4, с.439-458.

71. Лидский В.Б О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов // Труды Моск. мат. об-ва. 1962, т. 11, с.3-35.

72. Мирошин Н.В. Обобщённая задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области. Некоторые спектральные свойства // Дифференц. уравнения. 1976, т. 12, №6, с. 1099-1111.

73. Монахов В.Н., Семенко Е.В. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на римановых поверхностях. М.: Физматлит, 2003,416 с.

74. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969, 526 с.

75. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия вузов. Математика. 1988, №8, с.4-30.

76. Пятков С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов пучков линейных самосопряженных пучков // Мат. Сборник. 1994. Т. 185, №3. С. 93-116.

77. Розенблюм Г.В. Спектральная асимптотика нормальных операторов // Функц. Анализ и его прил. 1982, т. 16, с. 82-83.

78. Розенблюм Г.В. Условная асимптотика спектра операторов, близких к нормальным // В кн.: Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория. Ленинград: Изд-во ЛГУ. 1986, с. 180-195.

79. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направления, 1988, т.64, с. 5-248.

80. Рофе — Бекетов Ф.С. Самосопряженность эллиптических операторов и оценки энергетического типа во всем Яп // В сб. Теория функций , функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1990, вып. 54, с. 316.

81. Самирипур А. Седдики К. Распределение собственных значений несамосопряженных эллиптических систем, вырождающихся на границе области // Математические заметки, 1997, т. 61.№ 3, с.463-467.

82. Семенко Е.В. Вырождающиеся псевдодифференциальные операторы на компактной римановой поверхности // Автореферат дисс.на соиск. ученой степени д.ф.-м.н., Новосибирск, 2002, 28с.

83. Семенов Ю.А. К спектральной теории эллиптических дифференциальных операторов второго порядка // Математический сборник, 1985, т. 128 ( 170), №10, с. 221-247.

84. Солонников В.А. О матрицах Грина для параболических краевых задач // Записки научных семинаров Ленинградского отделения матем. инс-та, 1969, т.14, с.256-287.

85. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Наука, 1973, 342 с.

86. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир. 1980, 664 с.

87. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978, 280 с.

88. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы в r" // ДАН СССР, 1971, т.196, №2, с.316-319.

89. Эйдельман С.Д. Параболические уравнения // В кн. Итоги науки и техники, 1990, т.63, с.201-313.

90. Эйдельман С.Д., Ивасишен С.Д. Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи // Труды Моск. матем. об-ва. М.: 1970, вып.23, с.179-234.

91. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

92. Agranovich M.S. and Markus A.S. On spectral properties of elliptic pseudo-differential operators far from self-adjoint ones // Zeitshrift fur Analysis und ihre Anwendungen, 1989, Bd.,8(3), s.237-260.

93. Agranovich M.S. Nonselfadjoint elliptic operators in nonsmooth domains // Russian J.Math.Phys., 1994,2, No.2, p.139-148.

94. Faierman M. An elliptic boundary problem involving an indefinite weight // Proc. of the Roy. Soc. of Edinburgh, 2000, 130A, №2 p. 287-305.

95. Kozhevnikov A. N. Asymptotics of the spectrum of Douglis-Nirenberg elliptic operators on a compact manifold // Math. Nachr. 1996, Bd. 182. S. 261-293.

96. Pyatkov S.G. Riesz's bases from the eigenvectors and associated vectors of elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Siberian Journal of Differential Equations, 1995, v.l, No. 2, p. 179-196.

97. Sango M. A spectral problem with an indefinite weight for an elliptic system // Electronic Journal of Diff. Equations, 1997, №21, p. 1-14.

98. Yakubov S. Abel basis or root functions of regular boundary value problems // Math.Nachr., v.l97, 1999, p. 157-187.

99. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырождающихся дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами // Материалы конференции молодых ученых АН Тадж. ССР, секция физ.мат.н., Душанбе, 1987 , с.74-76.

100. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических систем с негладкими коэффициентами// Тезисы докладов конференции молодых ученых. Уфа, 1989, с.134-135.

101. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических систем дифференциальных операторов // Доклады АН Тадж. ССР, 1990 , т.ЗЗ, №1, с.6-9.

102. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов с негладкими коэффициентами: Диссертация на соискание . кандидата физ.-мат. Наук. Курган-Тюбе, 1990.

103. Гадоев М.Г. Распределение собственных значений обыкновенных дифференциальных операторов // Материалы республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. Курган-Тюбе, 1991, с. 39-40.

104. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика одного класса вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов в Q //Там же, с. 41-42.

105. Гадоев М.Г. О спектральной асимптотике эллиптических дифференциальных операторов с особенностью в точке // Тезисы докладов республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Куляб, 1991, с. 31.

106. Гадоев М.Г. Олимов М. Распределение собственных значений вырождающихся эллиптических систем // Тезисы докладов конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений математической физикой вторые Боголюбовские чтения". Киев, 1992, с. 74.

107. Гадоев М.Г., Олимов М. Асимптотика взвешенного следа эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка в предельно-цилиндрической области // В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Вып.2, Душанбе, 1993, с.12-15.

108. Гадоев М.Г., Олимов М. Об асимптотике • спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов в предельно-цилиндрических областях // Доклады АН Республики Таджикистан. 1993 , т. 36, №2, с. 79-82.

109. Гадоев М.Г., Олимов М. О спектре вырожденно-эллиптических операторов в неограниченных областях // Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения ( сборник научных статей), вып 3. Душанбе, 1995, с. 17-20.

110. Гадоев М.Г., Каримов О. Коэрцитивные свойства нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядкаДифференциальные и интегральные уравнения и их приложения (сборник научных статей) вып.4 Душанбе, 1996, с.19-22.

111. Гадоев М.Г., Аликулов Р.К. Неравенства для функций Грина эллиптических уравнений и их приложения к проблеме разделимости // Дифференциаль. и интегр. уравнения и их приложения^ сборник научных статей), вып.4, Душанбе, 1996, с. 6-11.

112. Гадоев М.Г. Асимптотика взвешенного следа вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов // Материалы международной научной конференции по "Дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами" Душанбе, 17-19 ноября 1996 г, с. 43.

113. Гадоев М.Г. Асимптотика взвешенного следа вырождающихся дифференциальных операторов // Математические заметки ЯГУ, 1997, с. 17-27.

114. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика одного класса ш-секториальных вырожденно-эллиптических операторов на отрезке //Материалы II международной конференции по математическому моделированию,Якутск, 1997, с 17-18.

115. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических систем второго порядка, слабо вырождающихся на границе области// Доклады АН Республики Таджикистан. Душанбе 1999, т.42, №3. с.54-59.

116. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика задачи Неймана для врожденно-эллиптических дифференциальных уравнений четвертого порядка // Материалы IV-ro Сибирского Конгресса по прикладной ииндустриальной математике, ИНПРИМ-2000, Новосибирск, 2000, с.48-49.

117. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов при общих граничных условиях// Труды конференции «Образование и технический прогресс на рубеже XXI века», Мирный, 2001, с. 79-80.

118. Гадоев М.Г. Интегральное представление голоморфных полугрупп, порожденных сильно позитивными матричными псевдодифференциальными операторами на компактных многообразиях // Доклады РАН , 2002 , т.385, №4, с. 450-452.

119. Гадоев М.Г., Конобулов С.И. Коэрцитивная разрешимость и разделимость эллиптических систем второго порядка в банаховых пространствах//Вестник НГУ, 2003, т.3,№3, стр. 15-33.

120. Гадоев М.Г., Конобулов С.И. Коэрцитивная разрешимость позитивных эллиптических операторов в банаховых пространствах //Сибирский журнал индустриальной-математики, 2003, т.6,№2 (14), стр. 26-30.

121. Гадоев М.Г., Конобулов С.И. Об условиях позитивности и коэрцитивной разрешимости матричного оператора Шредингера в банаховых пространствах вектор-функций // Дифференциальные уравнения, 2003, т.39, № 6, с.850-851.

122. Бойматов К.Х., Егоров И.Е., Гадоев М.Г. , С0 Полугруппы операторов, порожденные системами псевдодифференциальных операторов в Ьр - пространствах с весом // Доклады РАН , 2005 , т.404,2, с. 151-154.

123. Гадоев М.Г. Асимптотика спектра несамосопряженных вырождающихся эллиптических операторов // Материалы научно-практ. конф. посвященной 50-ти летию алмазодобывающей промышленности и г. Мирного (г.Мирный, 12-13 апреля 2005 г.) стр.151-157.

124. Гадоев М.Г. Асимптотика спектра несамосопряженных вырожденно- эллиптических дифференциальных операторов второго порядка на отрезке // Сибирский журнал индустриальной математики, 2006, т.9, № 2(26),стр. 31-43.

125. Гадоев М.Г. Об асимптотике спектра одного класса несамосопряженных систем // Неклассические уравнения математической физики, Новосибирск, ИМ СО РАН, 2007г. стр. 78-84.