Распределение собственных значений эллиптических дифференциальных уравнений заданных на неограниченных многообразиях без края тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Диссертационный совет К 065.01.02.

5 ОД

¡-"г: На правах рукописи

ь1-!^ УДК 517.958.2

ДАДОБОЕВ АБДУСАЛОМ ХАМРОБОЕВИЧ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ ЗАДАННЫХ НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ ■ МНОГООБРАЗИЯХ БЕЗ КРАЯ

01.0Г.02-дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степэни кандидата физико-математических наук

Душаибв~19§5

Работа выполнена на кафедре высшей математики Таджикского государственного университета.

Научный руководитель - член-корреспйндэнт АН РТ, доктор физико-математических наук, профессор БОйМАТОВ К.Х.

Официальные оппоненты:

Член - корреспондент АН Республиют Тадкикистан, доктор физико-

матемэтическшс наук, профессор МУХАМАДИЕВ Э.М. Кандидат физико-математических наук, доцент МУСТАФОКУЛОВ P.M.

Ведущая организация-Самаркандский государственны] университет им.А.Навои

на заседании диссертационного совета К 065.01.02 по защит диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико математических наук в Таджикском государственном университет <734025, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотек Тадаикского госуниверситета

Защита диссертации состоится

.1995 Г. в "

Автореферат разослан

•I

1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

0.Х.Х0САБЕК1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Важным разделом спектральной теории дифференциальных и псевдодифференциальных операторов является распределение их собственных значения (Р.С.З).

Этому вопросу посвящено много работ, подробную библиографию по этому вопросу можно каяти в' работах С.Кларка (1976), М.Ш.Бирмана, М.З.Соломяка (IS77), К.Х.Боаматова <1979, 1991), Ю.М.Березанского (1970), С.З. Левендорского (1982, 1988): Л.Г. Костюченко (IS69, 198t).'Можно также рекомендовать обзор Александряна P.A., Березанского Ю.М., Ильина В.А. и Костюченко А.Г. по спектральной теории краевых задач, где, в частности, описаны полученные к тому времени в СССР результаты об асимптотике спектра. См. также 'обзорную статью В.И. Горбачука и М.Л. Горбачука (РЖ Мат, 1976, 6Б 717). Асимптотику собственных значения, оператора Шредингера в Rn изучали Ж.Бэт, ©.Мандл, Д.Рзй, ИЛ.Титчмарш, Б.М.Левитан и А.А.Арсеньев.

В настоящее время имеются отдельные работы, посвященше Р.С.З. эллиптических операторов, задаядых на компактных многообразиях без края (наиболее полные результаты здесь принадлежат А.Н.Кожевникову) или в ограниченных областях ficfl" (см. работы Агмояа и Браудера).

Исследование асимптотики спектра общих эллиптических операторов в R" начинается с цикла работ А.Г.Костюченко. В настоящее время в этом направлении имеется достаточно большое число работ. Однако, имеются лишь отдельные работа,посвященные неограниченным областям Пей" специального вида, например, "параболического" типа или удовлетворяющие условию конуса. В диссертации впервые исследуется случая неограниченного n-мерного многообразия и, не вложенного в R". В качестве множества М можно, например, положить М = аП, где О с Я"** -неограниченная область с С® -границей. При этом в диссертации сразу рассматривается случай общих эллиптических дифференциальных операторов произвольного порядка.

Цель работы: Получение спектральной асимптотики эллиптических доффэренциалмых операторов с переменными

е:

коэффициентами, заданных на неограниченных многообразиях без края.

Методика исследования. Исследования проводятся методом параболических уравнений, основанному на равенстве

JGft.M.nMi = J егкст(Х),

и о

где G(t - функция Грина параболического уравнения

u'(t,\ih-Au(t,[i), u(0,\x)=g(\x), А - эллиптический дифференциалшй оператор заданный в пространстве 12СМ:ф;, ф - положительная гладкая мера на Ы

Научная норизна. Получена асимптотика спектра самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов с переменными коэффициентами па неограниченных многообразиях без края. Получены также теорема существования и единственности решения задачи Коши, условия самосопряженности оператора и интегральное представление функции Грина вспомогательного параболического уравнения. Это интегральное представление находит применение при исследовании гладкости решения.

Все полученные результаты являются новыми и обоснованы достоверными математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации носят теоретический характер. Предложенная новая схема конструкции оператор-функции G(t) дала возможность получить формулы спектральных асимптотик для широких классов дифференциальных операторов. Результаты, полученные в диссертации, име»? важное значение для спектральной теории дифференциальных операторов, в теории параболических уравнений на неограниченных многообразиях, имеют практическое значение для исследования операторов типа Бельтрама- Лапласа, рассматриваемых на некомпактных многообразиях.

Апробация работы : Основные результаты диссертации об-сукдались на научном семинаре отдела "функционального анализа" Института математики с ВЦ АЯРТ (рук.член-корр., доктор физ,-мат. наук, профессор К.Х. Еойматоз); на Республиканской научно-практической конференции молодых ученых"и специалистов Таджикистана (г.Куляб 1991г.): на объединенном заседании кафедр функционального анализа и дифференциальных уравнений,

математического анализа и теории функций, высшей математики механико - математического факультета Таджикского Госуниверситета (пред, член-корр. АН РТ, доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Р.Радкабов, 1994.)

Публикации; По теме диссертации опубликованы три научные статьи„ список которых приведен в конце настоящего автореферата .

Объем и структура работы: Диссертационная работа изложена на 90 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав и списка литературы."Библиография насчитывает 48 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАоОТЫ Во введении диссертационной работа дается краткий обзор по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность теш. Приводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В диссертации использована двойная номерация, причем первая цифра, означает номер главы, вторал-номвр з главе.

Первые две глава диссертации носят вспомогательный характер; в них получены равномерные оценки Функции Грина семейства параболических уравнений в Rnz(0,to) и интегральное представление для exp (-t Aj) в виде

í

е"Ч =G.(t) + | G.(i.-x)$.(%)üi, Со."О ■

о

где Aj= J аа ¡MlP -дифференциальный оператор в

|а( <'гт

пространстве L2(R") о областью определения Д(А.)=С™(РП), а

а&(ал____ап) -мультиндексы, (|а|=а4+ а2+...+ап> а>0, ае Z)

тР- _ \|а| ,8 >сх ,д »ап Щ. ~ (Г>' '' '¡Эх'

Предполагается, что функции аа .(х), (\a\=2w), q.(x) вещественные. Оператор-функция G.(t) строится в явном виде в терминах символа оператора А^ Относительно (t) устанавливаются оценки, исходя из которых, G.(t) можно считать главной частью exp (-t Ар.

Интегральное представление (0,1) устанавливается для t, изменяющихся в отрезке виде (0,to), где ^-достаточно малое

б

тлело.

В первой глаие диссертации предполагается, что старший коэффициента ("г;, С|а|=2т;,' оператора А. постоянный.

Пусть од' J си?."), qJ (х)<= с1 и выполнены следующие неравенства.

а(в)>а ¡5(гт

|аа)/х;| + !7аа>.ГхЛ<м, (|а|<2й0

^д/хЛ 0<б<1. УаеИ

где числа с,с4,Ы,мг>0 не зависят от л, а а. (в)-вещественный неотрицательный символ с постоянным старшим коэффициентом.

Пусть (Цп) -неотрицательная функция, такая, что,

У ГСх-г^нг" -целочисленная решетка в и") Обозначим

ср(х)=г(х) Представим г в виде г= {г,}, ¿=1,2...,

При выполнении перечисленных выше условий, имеет место Теорема I. Замыкание А4 оператора А) в Ь2(нп) имеет резольвенту, при этом КеА.>с'Б, С'ей.

Теорема 2. Для оператор-функции ехр(-{ А^при достаточно малых го>0 справедливо интегральное представление вида (0,1), а оператор - функция о^) имеет вид

±00

где срк оператор умножения в Ъ2№г) на функцию -интегральный оператор с ядром

Ок.(Х,х,у )=(гпГп 1 о1а(х-У>е-«1<а>Л}, ' и"

а оператор функция Ф.и) удовлетворяет оценке

||ф/и|] <М Гх , аееГО.и (0,2)

В дальнейшем при доказательстве формулы (0.1),(0.2) для простоты обозначений индекс о будет спущен, но из проведенных рас-

суждений будет видно, что константы, появляющиеся спраЕЗ в оценках, or i не з'ависят.

Существенным моментом в подучен™ формул (0.1),(Q.2) является сценка нормы операторной функции K(t),

где А=Л

Во второй главе диссертации в пространстве L2(Rn) рассматривается дифференциальный оператор.

с переменными старшими коэффициента?^.

Пусть аа{х:)<£ С'(К"), q(x)eC' (я") и выполнены следущие неравенства;

а)аГх;а; > |s|2ffl

б)|aarx;|f|vaaCsJ| < н, i|a<2m; B)qfxJ>C2

rilvqfxJISM, qb(x), 0<C<1

где а(х,в)=^ aafxJSa +q(%) |a| = srn

Пусть ц>(х),(p(x)eQ™(Rr'),футаш обращается в единицу в некоторой окрестности вирр ф, а функция.ф(у>) удовлетворяет тождеству

£ср (x-z)=l Z€Zn

Представим zn в виде zn= {z.}. ¡=1,2,..

Пусть 2 et(t)sl. 1=1,2.. -разбиение единицы отрезка (0,1/2w кратности 2 и для наго справедлива оценка аир |i e[(t)| <+<», 2~l+1;. 1=1,2..

При выполнении перечисленных условий имеют место:

Теорема I. Пр:1 достаточно малом ^решение задачи К^ги: u'Jz.t )=-Au(r,t)

а

Ufx.OgflJ, xeRn, tefO.tJ, A=J существует и единственно. Это решение ищется в классе

u(x,t)<£'( o,îa), Lz(B.n)J, u(x,t)eB(к). VtGfO,to;

И ОНО Ш08Т вид u(x,i )=T(t )g.

Теорема 2. При достаточно малом îQ>О, г>>0 справедливо интегральное представлеше

r(t)=Q(t)+jG(t-%)<$i ï)d%, te(0,to)

а оператор-функция <£(t) удовлетворяет оценке

| )\ |<U Г*. а<1 Число M зависит только от тех констант, которые входят в условия (а,г)„

Конструкция оператор-функции G(t) дается следующей формулой

G(t)=f e/uf %G (t)<p. , где G (t) = exp(-tk .), A .=!. .,

ij r 4 IJ tj

а X .G ¿upp9i. -фиксированная точка.

Существенным моментом для доказательства теоремы 2 является оценка нормы операторной функции K(t),.

В третьей главе диссертации исследуется спектральная асимптотика самоспряженных эллиптических дифференциальных операторов, заданных на неограниченных многообразиях без края.

1 .Пусть M-n-марное С^-г,многообразие баз края с полоштель-ной гладкой плотностью ф Предположим, что существуют открытые, ограниченные множества МСМ и функции ф eC°°0«U, j=i,2,.. с

J J V О

носителали в М такие, что выполнены следующие требования

-КХ>

а)£ Ф ГЦХ ГЦеМ;

J=»

б)М=и м.

»оо

в) кратность покрытая Ы=и является конечной,

г) Скф^(л;<е/|.1;<1; яи.2..

д) Функция 5 ([.О обращается в единицу в некоторой окрес-ности множества виррр}.

Предположим, что для всех 3=1,2,... -существует 0е0 -гомеоморфизм множества Мз.на открытие ограниченное множество т. с к", причем для кэхдого открытого множества ш с выполняется неравенство

Стеа£.(ы) < /ф<с тэз $ (ы), 1 0)

где число С4,С2>0 не зависят от Далее потребуем, чтобы

где Сяю

2. Рассмотрим дифференциальный оператор А, с область?: определения Д(А)=с" (М) и действующий на функциях С^ (М ) по формуле Аи=%'.1Ахи, ■

где

для всех и е С® (МО, а Ад- дифференциальный оператор вида

(АЪ)(эг)=1аа>.(х) Г^ОГа^/вЖаЛ *<*)€ С^ Сформулируем условия на коэффициенты операторов К ^. Предположим, что ад ), (хмо '(У)) и что вшолнены

следующие неравенства:

№/Х)\<С9£(х),О<6<1. УеН

где числа ье завися? от

Функции аа jfx;,('|a|b2mj,g.fx; предполагаются вещественными.

Наконец, потребуем, что для всех о=1,2,... 1аа

|6|=9л3

где число 00 не зависит от j.

3.Пусть оператор А, введенный выше, является симметрическим в Ьг(М,ф).

Имеет место следующая.

Георема I. Замыкание А оператора А является саыоспряжэн-ным оператором в пространстве н=Ь2(М:ф).

Введем следующие обозначения:

' 1 ' ' |a|-2m * J

1Г(х,в.)=теа{зейп:а. (х,в)<\) Рассмотрим функцию

♦ю

(1) s %(х)Я (X.k)cbt

Ui V ' ' i

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 2. Пусть <й(\)-о(Хр »+•».), тогда оператор '

имеет дискретный спектр. Порядок резольвенты оператора А н превосходит числа р.

Теорема 3. Предположим, что существует неубывающая

функция KXhC'(Ouoo), такая, что 9(\)~1(\),\1'(Х)=0(1(\)),

К—-к».

Тогда функция NfXJ -распределения собственных значений one ратора А удовлетворяет асимптотической формуле

4. Доказательство теорем 2,3 основано на получении ии тегрального представления для оператор-функции

T(t)=exp(-tA)

и использовании формулы s^TCt;=/0 е dN(X) с послед

вдим применением Тауберовой теоремы М.В. Келдыша, (здесь знак Бр (.) обозначает след ядерного оператора).

Введем оператор-функцию

где

♦ оо

i=i j j j i t G.(tj=E°en(tJЕ°ф с. ft to

P =

здесь функции e„ftj,® fxj,<p M -такие ке как в*.

Р РЧ pq

G.p<i(t)=exp(-tAjp4), где A.pi -дифференциальный оператор в Lt (Rn) с постоянными коэффицентами

(2) А. = £ п (х )lP+g(x. )

JP4 |а|=2Й ' >рч х J №ч

(2)' х. eV.nsupp<p . .

Если правая часть (2)' является пустым множеством, то следует брать G.p4(t)=o. Обозначим через | -ядерную норму оператора в Ь2(М: ф), а. через || || обычную норму оператора. ИМеет место следующая.

Теорема 4. Справедливо интегральное представление

(3) ezp(-tA)=G(t)+r\G(t-%W%№, ,0<t<to,

где \ \<p(t)\\<U t~x, 3^(0,1). -

Пусть для функции фСХ.) (I) выполнено неравенство ф(Х)<1(\), где 1(Х) -неубывающая функция, такая, что

1(2\ =0(1(\)),(Х~*-ко).

Тогда справедлива оценка(4>Гt)\t<ut~xl(i/t), 0<t<to.

5. Для доказательства теоремы (4) рассмотрим оператор функцию K(t), получающуюся как формальное применение операции щ +А к оператору G(t). Имеем

* Бойматов К.Х. Спектральная асигптотика дифференциальных и псевдодифференциальных операторовл-В кн.: Труды семинара им. И.Г. Петровского. Изд-во МГУ, 1981, вып. 7, С. 50-100.

-»со

KCthZ K,%(t), j = i 1

где

V * f 4;(V f ^ф/ Ы i'é i] G>(t )%i%

Из этой формулы к специальной конструкции оператор-функции G-j С t) видно, i то оценку нормы К (t) мохно получить по методике работы (см. стр 11). В результате находим

(4) \\K}(t)\\<lt t'*, з>е(0,1) Оператор-функция í(t) строится следующим образом:

ч-ОО

(5) фШ=£ Ktlt). где Y.ü{t)L-K(t)

(6) K/t^-sl К(t-i)K¡_Jl)dx >1,2

Нетрудно вывести кз (4)-(6) оценку

\\Kj(t)\\<Ví.t~x+J(J[-*í}t ]=0,1,2,.« Отсюда следует, что при достаточно малых 0<t<tQ ряд (5) абсолютно сходится по операторной корме. Далее, обоснование равенства (3) проводится также как в работе!! (см. стр. 11).

6„Пример. Пусть M=aQ »где q - цилиндр в К°

Q-{fx,y,z,sr, )eR"*s хг+у2+гг<1, -со<г<-к»}

(т.е. Q^'R1, гдеП-единичный шар в в.3

Q-Cfx.y.z, )¿R3s х2+уг+й2<1,};

Рассмотрим на С® (Ю оператор

Au=-LtíU- ^2U+Pf?fr2JPU, Р>0 где ьш-оператор Лапласа-Бельтрами на сфере 3Q. Результат действия оператора Lw на функцию u(x,y,z,r) определяется следующим образом. При фиксированной reR4 мохно рассмотреть u(x,y,z,r) как функцию заданную на единичной сфере

{ (х,у,2, )eR3s x2+y2+z2=1}

Действуя на u(x,y,z,r) оператором Лапласа-Бельтрами получим функцию ír(x,y,z,) на aQ с параметром reR4. Функция ?(ic,y,z,r)=(l^u)(x,y,ztr) находится по формуле:

Р (x,y,z,r)= fr (x,y,z)

На М введем меру

dfi=ds dr

где ds ~ элемент плодади на aQ

При выполнении перечисленных условий из теорем 1,2 следует, что замыкание Я 'оператора А в \ (ц) является самосопряженным оператором с дискретным спектром.

Порядок резольвенты оператора А не превосходит числа Р = \ +

Для функции N(i) - распределения собственных значений оператора А справедлива асимптотическая формула N(?i)~7X 7>о Применяя теорему 4, мы находим интегральное

представление оператор-функции exp(-tA),t€(o,to)

Основные результаты диссертации опубликованы е работах:

1. Об асимптотике спектра эллиптических дифференциальных операторов на неограниченных многообразиях без края. ДАН. РТ. 1993г. ТОМ XXJCVI N:4-5 253-257C.

2. Интегрэльное представление функции Грина. Тезисы республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана, г.Куляб 1991г.)

3.Существованние и единственности решения задачи Коши на неограничешом многообразии без края. Тезисы апрельской конференции прсфессорско - преподавательского"состава TIT 1994г.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю член-корреспонденту АН РТ, доктору физико-математических наук, профессору К.К.Бойматову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

2/Х-ДВ95 г. Заказ 106. Тираж 100 екз. Ротапринт ТГУ.Яушш^о.у/г.Лалути 2~. "