Качественные свойства решений псевдодифференциальных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

А-

ои-з4"'------( Л'

Кожевникова Лариса Михайловна

КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

'I ? Л г, АВТОРЕФЕРАТ 1 - .

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Уфа - 2009

003482910

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Стерлитамкская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой", ГНУ АН РБ "Стерлитамакский филиал АН РБ"

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Мукминов Фарит Хамзаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гущин Анатолий Константинович

доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Рамазанов Марат Давидович

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова"

Защита состоится 11 декабря в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 в Учреждении Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Институт математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан п М* октября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

С.В. Попёнов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена фундаментальной проблеме изучения качественных свойств решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях. В диссертации рассматривается довольно широкий круг вопросов, взаимосвязанных как по постановке проблемы, так и по методам исследования. Не вдаваясь в детали, их можно разбить на следующие четыре группы: классы единственности и вопросы убывания при удалении аргумента на бесконечность решений эллиптических уравнений, классы единственности и вопросы стабилизации при больших значениях времени решений параболических уравнений в неограниченных областях.

Известны работы Е.М. Ландиса, O.A. Олейник, В.А. Кондратьева, Г.А. Иосифьяна, И.Н. Тавхелидзе, А.Е. Шишкова, А.Ф. Тедеева, Г.П. Панасенко, в которых доказываются теоремы типа Фрагмена - Линде-лефа, устанавливается принцип Сен - Венана или выделяются классы единственности решений для эллиптических уравнений. Перечисленные утверждения, несмотря на внешние различия, характеризуют близкие качественные свойства решений эллиптических уравнений.

В работах O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна доказана теорема Фрагмена - Линделефа для решений бигармонического уравнения с условием Дирихле на границе неограниченной области П, лежащей в полуплос-чижтсл. х "> ^. ''ÄS*. "К^ЖЕЯЯЙЬ. т^ти^тесжй ,

рассматриваемой на сечении области Q гиперплоскостью х = г, г > Ö, установлена теорема единственности решения.

Для полигармонического уравнения И.Н. Тавхелидзе получены априорные оценки решений задачи Дирихле, на основе которых исследовано поведение решений и их производных вблизи нерегулярных точек границы и в окрестности бесконечности, доказаны теоремы единственности в неограниченных областях и теоремы типа Фрагмена - Линделефа.

А.Е. Шишковым установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях с некомпактными границами. На основе этих оценок доказаны альтернативные теоремы типа Фрагмена - Линделефа о поведении решений на бесконечности.

В работе В.А. Кондратьева, И. Копачека, Д.М. Ленвеншвима, O.A. Олейник (Труды МИАН, 1984) получен точный принцип Сен - Венана для решений бигармонического уравнения с условием Дирихле на границе неограниченной области плоскости К2. С его помощью доказана единственность решения в классе функций, имеющих степенной рост на бесконечности. При этом утверждается, что показатель степени не

может быть увеличен, например, для областей типа угла. Там же установлена оценка, характеризующая поведение на бесконечности решения рассматриваемой задачи в неограниченной области Q.

O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян (ДАН СССР, 1977) получили априорную оценку обобщенного решения смешанной задачи для линейного эллиптического уравнения второго порядка, аналогичную оценкам, выражающим принцип Сен-Венана в теории упругости. При этом рассматривались области с конечным числом ветвей, достаточно произвольным образом уходящими в бесконечность. Граница области поделена на три части, на которых ставятся краевые условия первого, второго и третьего типа, соответственно.

O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян (Матем. сб., 1980) рассматривали вопрос о поведении на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области, лежащей в полупространстве х > 0, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Ими получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений в областях 1 с некомпактными границами при х -» оо в зависимости от геометрических свойств области и поведения функции, стоящей в правой части уравнения.

Следует отметить, что цитированные выше результаты для эллиптических уравнений, авторы не подтверждали доказательством их точности.

К настоящему времени установлено большое количество разных классов единственности решений начально-краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений и систем. Здесь предлагается разделить эти классы единственности на две группы. Первую группу составляют тэклиндовские классы единственности, установленные для задачи Коши, но пригодные также для смешанных задач в неограниченных областях. Во вторую группу относятся геометрические классы единственности, определяемые ограничениями, выражающимися через характеристики области. Как правило, геометрические классы уже тэклиндов-ских, и лишь в случае быстросужающихся неограниченных областей и краевого условия Дирихле первые могут оказаться шире вторых.

Теоремы единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в классах растущих функций были впервые установлены Е. Хольмгреном, А.Н. Тихоновым, С. Тэклиндом. Для параболического уравнения высокого порядка O.A. Ладыженской получены теоремы единственности решения задачи Коши в классах экспоненциально рас-

гущих функций.

Обобщение теоремы С. Тэклинда на случай первой смешанной задачи и задачи Коши для общего вырождающегося параболического уравнения второго порядка и параболических систем методом введения параметра проведено O.A. Олейник, Е.В. Радкевичем. Для второй и третьей смешанных задач теоремы единственности установлены А.Г. Гаг-нидзе. Используя нелинейный аналог метода введения параметра, разработанного O.A. Олейник и ее учениками, В.Ф. Акулов, А.Е. Шишков получили оценки скорости роста обобщенных локально ограниченных решений задачи Коши и смешанных задач в неограниченных пространственных областях для различных классов квазилинейных вырождающихся параболических уравнений, как второго, так и высокого порядков.

Для параболических уравнений второго порядка в самосопряженной форме А.К. Гущиным в случае второй смешанной задачи» Ф.Х. Мук-миновым для первой смешанной задачи, выделены классы единственности, близкие к классу С. Тэклинда.

Для решений линейного параболического уравнения второго порядка в нецилиндрических областях со смешанными граничными условиями O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян (УМН, 1976) получили априорные оценки, соответствующие принципу Сен-Венана в теории упругости. Классы функций, в которых начально-краевая задача в неограниченной области может иметь лишь единственное решение, определяются с помощью собственных значений некоторых эллиптических краевых задач, рассматриваемых на сечениях этой области некоторым семейством гиперповерхностей.

Отметим, что точность тэклиндовских и геометрических классов единственности для начально-краевых задач ранее не была установлена.

Исследованием поведения при больших значениях времени решений задачи Коши и смешанных задач для эволюционных линейных (и нелинейных) уравнений и систем занимались Ф.О. Порпер, В.Д. Репников, С.Д. Эйдельман, В.В. Жиков, В.П. Михайлов, А.К. Гущин, В.Н. Денисов, Ф.Х. Мукминов и др. Данная проблема ввиду многообразия свойств эволюционных систем имеет много аспектов.

А.К. Гущин положил начало изучению поведения решений смешанных задач с начальной функцией, ограниченной в одной из Lp - норм, для параболических уравнений в неограниченных областях. Здесь более подробно коснемся работ данного направления, поскольку они наиболее близко примыкают к одной из рассматриваемых в диссертации задач. В

случае второй смешанной задачи для уравнения второго порядка А.К. Гущиным выделена простая геометрическая характеристика (мера пересечения области f2, лежащей в основании цилиндра, с шаром радиуса г), определяющая поведение решения при больших значениях времени. Как показано в работах А.К. Гущина, A.B. Лежнева, для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи с финитной начальной функцией происходит "равномерное распространение тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от ее носителя на расстояние \Д.

В предположении ограниченности сечений нецилиндрической области плоскостями t = const Ю.Н. Черемных, O.A. Олейник, Г.А. Иоси-фьян получили оценки скорости стабилизации решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. При условии, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, В.И. Ушаков установил справедливость результатов, близких к приведенным выше для случая третьей смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, '"обеспечивающее сохранение энергии.

Ф.Х. Мукминов, Л.М. Кожевникова в терминах некоторых геометрических характеристик получили точные оценки поведения решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка. Кроме того, в [1], [3] этот результат обобщен на некоторый класс систем квазилинейных параболических уравнений второго порядка.

Для линейного параболического уравнения высокого порядка в дивергентной форме без младших членов Ф.Х. Мукминовым установлена оценка сверху решения первой смешанной задачи. Этот результат распространен А.Ф. Тедеевым на случай параболического квазилинейного уравнения высокого порядка.

Ф.Х. Мукминов, И.М. Биккулов исследовали убывание решения задачи Риккье для уравнений 4-го и 6-го порядков. Ими получена оценка L2 - нормы решения при f —> оо и установлена ее точность по порядку стремления к нулю.

Отметим, что упомянутые классы единственности и оценки, характеризующие скорость убывания решений, рассматриваемых задач для эллиптических и параболических уравнений перестают быть точными для областей с "нерегулярным" поведением границы. Поэтому актуальной является проблема получения точных результатов для более широкого класса неограниченных областей. Кроме того, перечисленный круг вопросов не рассматривался для псевдодифференциальных эллипгиче-

ских и параболических уравнений.

Цель работы:

• исследование вопросов корректности постановки задачи Дирихле для эллиптических уравнений в неограниченных областях П в классах растущих функций и поведения на бесконечности решений этой задачи в зависимости от геометрии О;

• изучение вопросов существования и единственности решений первой смешанной задачи для параболических уравнений в цилиндрических областях Г> = {£ > 0} х П в классах растущих функций и исследование зависимости поведения решений этой задачи при больших значениях времени t от неограниченной области П. лежащей в основании цилиндра.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично.

1. Для эллиптических уравнений второго порядка выделен класс единственности решений задачи Дирихле. Показано, что для областей

с нерегулярным поведением границы он может быть шире, чем ранее известные классы единственности. Для широкого класса областей вращения построены гармонические функции, подтверждающие точность найденного класса единственности. Получены оценки скорости убывания на бесконечности решения рассматриваемой задачи с финитными данными в широком классе неограниченных областей и установлена точность этих оценок.

2. Для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях впервые выделен широкий класс единственности решений задачи Дирихле и доказана теорема существования с экспоненциально растущими данными в этом классе единственности. Получены оценки сверху, характеризующие убывание на бесконечности решения рассматриваемой задачи с финитными данными.

3. Для параболических уравнений второго порядка установлен класс единственности решений первой смешанной задачи, зависящий от геометрии неограниченной области С1, который в ряде случаев шире известных. Для уравнения теплопроводности построены примеры неединственности, подтверждающие точность геометрического и теклиндовского классов единственности в широких классах областей вращения.

4. Для первой смешанной задачи в случае псевдодифференциальных параболических уравнений впервые выделен класс единственности теклиндовского типа. Установлен также другой класс единственности решений, зависящий от геометрии неограниченной области П. Доказаны теоремы существования решений первой смешанной задачи с экспоненциально растущими начальными функциями в этих классах единственности.

5. Для псевдодифференциальных параболических уравнений впервые получены оценки сверху, характеризующие поведение решения при больших значениях времени рассматриваемой задачи с финитной начальной функцией. В случае параболического уравнения второго порядка расширен класс областей в которых установлены оценки скорости стабилизации решения и доказана их точность.

Методика исследования. Идеи доказательства априорных оценок для решений эллиптических и параболических уравнений восходят к работам J. Knowles и R. Toupin, в которых для различных задач теории упругости обосновывался так называемый принцип Сен - Венана об экспоненциальном затухании деформации при удалении от деформированного торца упругого цилиндрического стержня.

В диссертации предложен новый способ доказательства оценок сен -венановского типа путем разделения неограниченной области на ограниченные части, в пределах которых происходит спад "энергии решения" в фиксированное число раз. Выделение таких частей связано с построением точных оценок nepBöro собственного значения соответствующего эллиптического оператора.

Точность классов единственности и оценок, характеризующих скорость убывания решений рассматриваемых задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка доказывается с помощью неравенства Гарнака, установленного J. Moser.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в качественной теории эллиптических и параболических уравнений. Разработанные в диссертации методы могут применяться при расчетах диффузионных и тепловых процессов (распространение локализованных выбросов вредных веществ в водоемах и т.п.).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на. семинарах отдела математической физики (рук.: акад. B.C. Владимиров, член-корр. И.В. Волович) и по дифференци-

альным уравнениям в частных производных (рук.: проф. В.П. Михайлов, проф. А.К. Гущин) Математического института им. В.А. Стеклова РАН, семинаре кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (рук.: проф. A.C. Шамаев, проф. В.В. Жиков), семинарах по дифференциальным уравнениям математической физики (рук.: проф. Л.А. Калякин, проф. В.Ю. Новокшенов) и по вычислительной математике (рук.: проф. М.Д. Рама-занов, проф. Я.Ш. Ильясов) Института математики с вычислительным центром Уфимского НЦ РАН, семинаре по неклассическим уравнениям математической физики Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН (рук. проф. А.И. Кожанов), семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (рук. проф. Я.Т. Султанаев), семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала АН РБ (рук. проф. К.Б. Сабитов) и семинаре по дифференциальным уравнениям Стерли-тамакской государственной педагогической академии (рук. проф. И.А. Калиев).

Отдельные результаты диссертации представлялись автором на международных конференциях: "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 2000), "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 103 - летию со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2004), "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной 100-летию С.М. Никольского (Москва, 2005), "Тихонов и современная математика", посвященной 100-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова (Москва, 2006), "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007), "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007), "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика", посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007), "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 2008), "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященной 80-летию академика В.А. Ильина (Стерлитамак, 2008), "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2008), "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовнйчего (Москва, 2009).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда

фундаментальных исследований (гранты ,№05-01-979Г2-р_агидель_а, №06-01-00354-а, Ж)9-01-00440-а).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1] - [9]. Из совместных работ [1], [3], [6] Ф.Х. Мукминову принадлежат постановки задач.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 134 наименования. Нумерация теорем, лемм, утверждений, следствий, формул ведется отдельно в каждом параграфе. Общий объем диссертации — 251 страница.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному консультанту Ф.Х. Мукминову за внимание к работе и поддержку, а также всем участникам упомянутых семинаров за полезное обсуждение результатов.

Краткое содержание диссертации

Во введении даётся обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

Прежде чем перейти к обзору результатов диссертации введем некоторые обозначения. Через П будем обозначать область пространства = {у = (х,у) - (г/о,У) | х 6 Е, у = (у1,...,уп) 6 К„}, п > 1. Положим: || • ||(Э — норма в пространстве 1/2(<3), причем значение = П может быть опущено; = {у е К„+1 | х > 0}; 5 = {Ь > 0} х дП;

- {У € П | п < х < г2}, = (¿1 ,¿2) х причем значения

¿1 = 0, ¿2 = °о, гх = -оо, Г2 = оо опускаются; П(г) = {у € П | |у| < г}; 7(г) = {У € П | |у| = г}; 1г = {у € П | х = г}, г > 0.

В перечисленных выше работах авторы использовали следующие геометрические характеристики неограниченной области П: А(г) и г/(г), г > 0, — первые собственные значения задачи Дирихле для оператора — Д в П(г) и 7,., соответственно. Применялись также аналоги этих величин с заменой оператора Лапласа на эллиптический оператор в дивергентной форме на сечениях области П некоторым семейством гиперповерхностей .

В диссертации для неограниченных областей П, расположенных вдоль выделенной оси, вводится новая геометрическая характеристика, называемая А - последовательностью, и показывается, что эта характеристика позволяет получать в ряде случаев более сильные результаты, чем установленные другими авторами с использованием таких характеристик, как А (г), и (г). Обобщением А - последовательности для областей

более общего вида является понятие Л - разбиения.

Сначала изложим результаты для уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами. Предполагается, что неограничен-

оо

ная область П С Кп+1 представлена в виде объединения П = и

N=0

последовательности вложенных С областей, удовлетворяющих следующим требованиям. Дополнения распадаются на конечное число подобластей г = : = _

и N = 1,оо. Пересечения р| П = представляют со-

г=1

бой конечное число гиперповерхностей ~ дш^ П (Б^ могут быть несвязными), г — N — 1,оо.

Для множества <5 С О введем обозначение

д(у) £ С0°°(П), \\д\\д = 1

Определим векторы № = и Л^ = ..., А<Д) фор-

мулами ^ = dist(5^,5^), где = ¿Ц^П^"«, А™ =

Будем предполагать, что существует число 9 > 0 такое, что выполняются неравенства

^бА!"^)2, г = N = ТТоо. (1)

оо

Описанное выше представление П = у при выполнении Кера-

ла О

венств (1) назовем А - разбиением области Г}. Потребуем выполнения условия

А<о>=А{П<°>}>0. (2)

Для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси Ох (сечение 7Г не пусто при любом г > 0), множества = Я*" можно определить с помощью неограниченной возрастающей последовательности положительных чисел При этом последовательность называется А - последовательностью, а условие (1) для

оо

разбиения П = и ПЖЛГ принимает вид Л'=о

1 < в\(хк, хм+1)А%, N = 0, оо,

где \(xN,xN+i) = АN = z/v+i -xN.

После опубликования работ [4], [6], в которых было введено понятие Л - последовательности, обнаружилась работа O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна "О единственности решения смешанной задачи для уравнений теории упругости в неограниченной области"1. В ней авторы, по существу, использовали прототип такой последовательности для системы уравнений теории упругости. Однако, дальнейшего развития этот подход не получил.

Глава I имеет вспомогательный характер, в §1.1 доказываются утверждения, используемые в последующих главах. В §1.2, 1.3, в частности, установлены свойства А - последовательностей, приведено необходимое и достаточное условие существования А - последовательности:

при любом п > 0 найдется r2 > ri такое, что A(ri,r2) > 0. (3)

При этом А - последовательность можно построить начиная с любого х0 > 0.

Определим область вращения

с положительной функцией /(ж). От функции / требуется только, чтобы множество Г2(/) было областью.

Для областей вращения вида (4), не содержащих полупространства х > г, V г > 0, приведем способ построения А - последовательности. Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел определим индуктивно

Эту последовательность назовем П - последовательностью функции /. В §1.3 доказано, что П - последовательность функции / является А -последовательностью для области П(/). При этом можно считать выполненным условие (2), этого можно добиться сдвигом вдоль оси Ох. Если существует постоянная и > 1 такая, что

то найдутся постоянные с, ш > 1 такие, что справедливы оценки

ад = {(*,У) е Еп+1 | X > 0,1 у |< /(¡г)}

(4)

Xq — 1, Ждг_(_1 — SUp i{x)>r- Xn>, N = 0, 00.

sup{f(z)\ze[x-f(x),x + f(x)}}<u>f(x), X > 1, (5)

с

1 1

'УМН, 1976, Т. 31, №5, С. 247-248.

--1 , XN+2 — xN+ 1 . _ лг ö-

oj <- <CJ, N = 0, oo. (C)

xn+I _ xN

Приведем результаты главы II, установленные для решений задачи Дирихле

П 11

-ь2и = («у(уЮ„, = - ф(у)' У 6 (?)

ij~0 г=0

= • (8) SQ 19П

Действительные коэффициенты уравнения (7) считаем измеримыми в П, и для любых z £ ßn+i и п.в. у € П удовлетворяющими условиям

п

> 2a|z|2, (9)

ij'=0

|oü"(y)|<5, i,j=07ri, (10)

с положительными числами а, а.

Через Б2 = {?'., 0, а, а} обозначим набор положительных постоянных, зависимость других постоянных от этого набора будем указывать в круглых скобках. Далее в тексте {£jv}5v=o — произвольная последовательность положительных чисел.

В п. 2.2.1 диссертации выделен широкий класс единственности решений задачи (7), (8).

Теорема 1. Пусть для области Q существует Х-разбиение Q =

оо

U Q(N\ удовлетворяющее требованию (2). Тогда найдется положи-N-0 _

тельная постоянная «2(^2) такая, что, если для решения и(у) задачи (7), (8) с Ф(у) = (Ф0(у), -. •, Ф„(у)) = 0, Ф(у) = Ф(у) = 0 и некоторой последовательности {£n}n=o выполнено одно из условий

lim exp(-/t2i\r)eJv1||M|L(iv)+tJV = 0, (11)

jV—>00 (/v)

lim exp(-K2Ar)||Vu||0(jv+i) = 0,

N->00 "(ЛГ)

то и = 0 е П. Здесь = {у е П \ iW | dist(y, S^) < eN}.

Заметим, что для постоянной кг справедлива оценка к-2 < С/у/в. В теореме 2 для областей вращения вида (4) условие (11) переформулировано в терминах функции f(x):

lim exp

В диссертации показано, что, например, для области вращения fi(/o), fa{x) — max(l,a;n), х ф i,

fa{i) = гь, i 6 N, x > 0, 0 < b < а < 1, из теоремы 1 следует точный класс единственности

lim ехр(-КбГ1_6)||ы||о'-+1/Г1 = 0. (lit)

г—»oo

Для этой области, он является существенно более широким, чем ранее известные классы единственности (см., например, работу O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна "Энергетические оценки обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка и их приложения"2).

В п. 2.2.2 для уравнения Лапласа с однородным условием Дирихле

Ди = 0, u|an = 0 (12)

в области вращения íl(f) построен следующий пример неединственности решения.

Теорема 3. Пусть для функции /(х), х > 0, существует положительная функция f(x) < f(x), х > 0, такая, что П - последовательность {a;jv}^=0 функции f{x) удовлетворяет условию (6). Тогда в области вращения П(/) существует неотрицательное ненулевое решение и(у) задачи (12), подчиняющееся оценке

и (У) < exp (k*ÍV) , yen^(f), N > 1, (13)

с положительной постоянной к„, зависящей только огп п.

Для областей вращения fl(f) в условиях теоремы 3 при дополнительном требовании того, что существует постоянная > 1 такая, что для П - последовательности функции f(x) справедливы нера-

венства

inf f(x) <ojx&n, N = 0,со, (14)

получено следствие оценки (13)

\\u\\Q*N+i(n<Mexp{IÚN)AN, N > 1. (15)

2ДАН СССР, 1977, Т. 232, №6, С. 1257-1260.

Применим теорему 3 в ситуации, когда выполнено условие (14). Поскольку П - последовательность функции / является Л - последовательностью для области П(/), то сравнивая (11), которое при е^ = Адг, N = 0,оо, можно переписать в виде

lim exp(-/i2iV)A^1||w||n^+lfn = 0, (11')

jY—>оо

и (15), приходим к выводу, что в случае уравнения Лапласа постоянная к2 в классе единственности (11') для области П(/) не может быть заменена на неограниченно возрастающую последовательность {«wj^o-В этом смысле, построенный пример показывает, что найденный класс единственности для области П(/) нельзя существенно расширить.

Согласно теореме 3, существует ненулевое неотрицательное решение задачи (12) в области П(/п), подчиняющееся оценке (15), из которой следует неравенство

IMIn;+i(/.) ^ Мь ехР(Кы'1~Ь), г > 1.

Это доказывает точность класса единственности (Но) для области fi (/0) • Далее сформулируем результаты, характеризующие скорость убывания на бесконечности решения задачи (7), (8) в областях с некомпактными границами в зависимости от их геометрических свойств. Чтобы ограничить влияние функций Ф(у), Ф(у), Ф(у) на поведение решения, будем считать, что Ф, Ф и Ф имеют компактный носитель:

виррФсП^, supp$cn(0), зиррФсП(0). (16)

Теорема 4. Пусть для области П существует \-разбиение ii =

оо

U и выполнены условия (2), (16). Тогда найдутся положителъ-

N=О

ные постоянные «2(^2), Ai(S2, Ф, Ф, Ф) такие, что для решения и(у) задачи (7), (8) при N > 0 справедливы оценки

HVullfi\?K«) ^ МехР(-K2JV)»

||u||0(N+i, <Ai max exy(-K2N). (17)

(") (=1 ,pCV+D

Оценки теоремы 4 зависят от выбора А - разбиения. Установлено, что оптимальной является А - последовательность с минимально возможными интервалами (xjv,xn+i). Если выполнено условие (5), то П -последовательность {£./v}5y=o является оптимальной А - последовательностью для ii(/).

В качестве примера в п. 2.3.1 для области П(Л), 1ь(х) = оо, х ф i, ft(i) — ib, г € N, х > 0, 0 < b < 1, установлено следствие оценки (17)

11«11п;+1(/ь) - Мь ехр ' г>&ь,

и для неотрицательного решения задачи (7), (8) доказана ее точность

IMInr^Ä) - W>exP - г > гь.

Для областей с нерегулярным поведением границы оценка (17) может давать более высокий порядок убывания решения, чем ранее известные оценки (см., например, работу O.A. Олейник, Г.А. Иосифья-на "О поведении на бесконечности решений эллиптического уравнения второго порядка в областях с некомпактной границей"3).

В п. 2.3.2 для решения задачи (7), (8) получены оценки снизу, подтверждающие точность оценки (17).

Теорема 5. Пусть для функции /(х), х > 0, существует положительная функция f(x) < f(x), х > 0, такая, что П - последовательность функции f(x) удовлетворяет условию (б) и выполнены требования (16). Тогда для неотрицательного решения и(у) задачи (7), (8) в области вращения fl(f) существуют положительные числа К(й},п,а,а), р(п,а,0,/,/,Ф,Ф,Ф) такие, что справедливы неравенства

)ехр(-KN), N >1. (18)

Для широкого класса областей вращения ft(/) в условиях теоремы 5 при дополнительном требовании (14) оценка (18) доказывает точность оценки

ЦиЦа*»+1(л < MAjvcxp(-K2N), N — Ö7oo. (17')

Для широкого класса областей вращения П(/) оценка снизу неотрицательного решения задачи (7), (8) может быть установлена в терминах функции / (см. теорему 6).

Далее сформулируем результаты главы III, полученные для решений первой смешанной задачи

п

щ + L\u = ut - Y^ = 0. (*>У) e D, (19)

i,j=0

3Матем. сб., 1980, Т. 112, №4, С. 588-610.

и\s = О, (20)

"(0,y) = v(y)- (21)

Действительные коэффициенты a,ij(t, у), i,j = 0, п, уравнения (19) считаем измеримыми в D, для п.в. (t, у) Е D удовлетворяющими условиям (9), (10).

В п. 3.3.1 установлен геометрический класс единственности решений задачи (19) - (21).

Теорема 7. Пусть для области П существует \-разбиепие П =

ОС

У Тогда найдется положительная постоянная к2(Н2) такая,

N=О

что, если для решения u(t, у) задачи (19) - (21) с tp(y) = 0 е области DT и некоторой последовательности {ew}jv=o выполнено условие

(Т \ 1/2 [ Mt)}t(Nn*Ndt) =0, (22)

J S (ЛО I

то u(t,у) = 0 е £>т.

В следующей теореме выделен класс единственности в терминах функции /(.г-), определяющей область вращения fl(f).

Теорема 8. Существует положительная постоянная «2(Н2) легкая, что, если для решения u(t, у) задачи (19) - (21) с f{y) = 0 в области DT{f) = (0,Г) х П(/) выполнено условие

Hm exp 1 j^j ||и||вт.,+1(/) = 0, (23)

mou(t, у) =0 eDT(f).

В работе O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна "Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений"4 получен класс единственности в форме, близкой к (23). Выбирая достаточно быстро убывающую на бесконечности функцию f{x), получаем области, для которых класс единственности (23) решения задачи (19) - (21) содержит функции наперед заданного роста при х -> оо.

В диссертации показано, что для областей с нерегулярным поведением границы класс единственности вида (23) может становиться неточным. В качестве примера приведем области вращения

П(/_6), f-b{x) = min(l,x~6), i > 0,

4УМН. 1976, Т.31. №6, С. 142-166.

П(/-б), f-b(x) = /-ьО), ж Ф Xj, X > О,

f-b(xJ) = J = 0, оо, а > 1, 0 < 6 < а.

Здесь {я./} — П - последовательность функции /_0(ж) = min(l, х-0), х > 0. Классы единственности вида (23) для областей П(/-ь) и П(/_ь) совпадают. Однако для области П(/_ь) установлен существенно более широкий (и точный) класс единственности, такой же, как и для области "(/-а):

lim exp (-/c_ar1+a) |M|dt.,+i,7 , = 0, 0 < Ь < а. (22_а)

г—+оо r \J ~ь)

Точность класса единственности (22_а) доказана путем построения ненулевого неотрицательного решения для уравнения теплопроводности (см. п. 3.3.2).

В п. 3.3.2 для решения задачи

щ = Аи, и(0,у)=0, (24)

(20) в цилиндрической области DT{f) построен следующий пример неединственности.

Теорема 9. Пусть для функции f(x), х > 0, существует положительная функция f(x) < f(x), х > 0, такая, что

00

J J(x)dx - Со < 00, (25)

1

и Л-последовательность функции f(x) удовлетворяет усло-

вию (6). Тогда для любого Т > 0 в области DT(f) существует неотрицательное ненулевое решение u(t,у) задачи (24), (20), подчиняющееся при N > 1 оценке

u{t,y) < exp (k*N) , (t,y) e DT'XN{f) = (0,T) x n*N(/), (26)

с положительной постоянной к*, зависящей только от п.

В диссертации при помощи (26) показано, что в случае уравнения теплопроводности постоянная в классе единственности (22) для области DT(f) не может быть заменена на неограниченно возрастающую последовательность {/«лг}?/=о- Это означает, что найденный геометрический класс единственности для области DT(f) нельзя существенно расширить.

A.K. Гущиным5 установлено что, если для обобщенного решения u(t, у) второй смешанной задачи существует такая монотонно неубыва-

00

ющая на полуоси [1, оо) положительная функция Л(г), что f dr/h(r) =

1

оо, и для всех г > 1 выполнено условие

т

j\Ht)\\l{r)dt<e^\ (27)

о

то оно тождественно равно нулю. Ф.Х. Мукминов показал, что такой же класс единственности имеет место для первой смешанной задачи.

Существуют области, для которых геометрический класс единственности вида (23) шире любого теклиндовского класса единственности вида (27). Очевидно, что геометрические классы единственности тем шире, чем быстрее область "сужается" на бесконечности. В диссертации показано, что условие (25) при / = / является достаточным, чтобы класс единственности (23) был шире класса (27) с функцией h{r) — г, г > 1.

В п. 3.2.2 выявляется условие, при котором тэилиадовский класс единственности решений первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности становится точным.

Теорема 10. Для любого Т > 0 в области DT{f) существует неотрицательное ненулевое решение u(t, у) задачи (24), (20). Если положительная функция /(ж), х > 0, подчиняется требованию

lim fm(r)r = оо, /m(r) = inf f{x),

Г-+СО (l,r)

и h(r) — произвольная монотонно неубывающая на полуоси [1,оо) положительная функция, удовлетворяющая условию

оо

f dr п

J Щ = Со<0°> 1

то найдется число го(h,f,n) > 2 такое, что для построенного решения справедлива оценка

«(<,у)<ехр(гЛ(г)),' (t,7) е DT'r(f), г > г0. (28)

аМатем. сб., 1982, Т. 119(161), №(12), С. 451-508.

Установлено интегральное следствие оценки (28) вида т

/н*)11п(г)Л<егЛ(г), г > п,

о

что доказывает точность класса единственности (27) для решений задачи (24), (20).

Далее приведем результаты исследования поведения решения задачи (19) - (21) при t -> оо. Считаем, что начальная функция ip имеет ограниченный носитель:

Slippy С П(0). (29)

Отметим, что при отсутствии ограничений на носитель начальной функции скорость стабилизации решения зависит не только от области (Л, но и от начальной функции <pß.

Ф.Х. Мукминовым7 получены оценки, основывающиеся на одной характеристике неограниченной области, функции А (г). Для класса областей, удовлетворяющих условиям

lim r2A(r) = оо, lim А (г) = О,

г—too г—> ОС

им доказано, что решение задачи (19) - (21) с финитной начальной функцией (р подчиняется неравенству

sup |u(t, у)| < М ехр (-k\(r{t))t) |М1, t > 1, (30)

yen

в котором функция r(t) определяется из равенства A(r)t = г2/1. Кроме того, для одного класса областей вращения П(/) вида (4) при некотором ограничении на непрерывную монотонно неубывающую функцию f(x) Ф.Х. Мукминовым установлена точность оценки (30).

В работе [1] приводится пример, демонстрирующий недостаточность одной характеристики А (г) для описания поведения решения первой смешанной задачи в классе областей более широком, чем тот, который рассматривался в цитированной работе Ф.Х. Мукминова. Для получения точных оценок в классе неограниченных областей с немонотонным поведением границы в этой работе привлекается дополнительная характеристика г'(г).

''Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Дис. канд. физ.-мат. наук, М., 1980, 72с.

7Матем. сб., 1980, Т.111, №4, С. 503-521.

Несомненно, введение дополнительной характеристики позволило расширить класс областей, для которых удается установить точные оценки решения задачи (19) - (21). Однако, в п. 3.4.2 приведен пример области, для которой использование характеристик А(г), и(г) (как в совокупности, так и отдельно) не позволяет установить точную оценку решения.

В п. 3.4.1 получены оценки сверху скорости стабилизации при Ь -> оо решения задачи (19) - (21).

Определим невозрастающую последовательность

Л(ЛГ) = тш{Л(°), А^,, А<">,.... А^}, N = 0^3.

Положим N(t) — max j jV 6 0, oo N/A(N) <tj, t > 0. Очевидно, функция N(t) является кусочно - постоянной неубывающей функцией при t > 0.

Теорема 11. Пусть для области Q существует Х-разбиение fI =

оо

(J flW и выполнены требования (2), (29). Тогда найдутся положи-

N=О

тельные постоянные к'2(Е2), М'(S2) такие, что для решения u(t,y) задачи (19) - (21) справедливы оценки

||и(0||<М'ехр(-4^(0)||И1, i>0, (31)

sup|u(i,y)| < M'i-(,1+1'/4exp(-4iV(i))||^||, t> 0. (32) yen

Несколько загрубляя оценки (31), (32) теоремы 11, в случае области вращения их можно сформулировать в терминах функции J{x). Введем обозначение V(p,z) = {(х,у) 6 М2 | г < х < z + р, 0 < у < р}, для квадрата стороны р с левой нижней вершиной в точке 2- оси абсцисс. Для положительной функции f(x), х > 0, символ

г[(f) = {(*,!/) € ®2 \1<х<г,0<у< f(x)}

будет обозначать криволинейную трапецию. Пусть />* (г) — сторона наибольшего квадратаV(p„,z*) С Гi(/). Будем предполагать, что функция / удовлетворяет условию:

оо

lw)=°°- (33)

1

dx

Функцию r(t), t> О, определим равенством

/(ж) pl(rY 1

Теорема 12. Пусть выполнено требование (29), тогда существуют положительные постоянные ^(Нг), М(Ез) такие, что для решения u(t,у) задачи (19) - (21) в цилиндрической области D(f) = (0, оо) х П(/) с фунщией /, удовлетворяющей условию (33), справедливы оценки

НОИВД <Мехр -кг J

r(t) \

dx

Ж)

IMIci(/), t> О, (34)

/ r(t)

sup |M(i,y)|<Mr("+1)/4exp yefi(/)

\

-Й2 | щ IMIQ(/), i>0. (35)

Отметим, что естественный множитель f~(n+1)/4 в оценках (32), (35) во всех интересных примерах несуществен, поскольку экспонента убывает быстрее любой степени t.

В теореме 13 для широкого класса областей вращения для неотрицательного решения задачи (19) - (21) в области D(f) при t > to получены неравенства

||«(<) Ik/) > м' exp {-K'N(t)), sup u{t, у) > р! ехр (-K'N{t)),

уеп(/)

подтверждающие точность оценок (31), (32).

В следующей теореме для широкого класса областей вращения установлена точность оценок (34), (35).

Теорема 14. Пусть для функции f(x), х > 0, существует положительная функция f{x)<f(x),x> 0, подчиняющаяся требованиям

(5),

1 [ их

lim ;— / =— = 00, 1 г J

dx

г-Тос In Г J ~f(x)

f dx „ f dx _

lm-c°iwv ril- C°>(1

Тогда для неотрицательного решения и(Ь,у) задачи (19) - (21) в области £>(/) с неотрицательной начальной функцией ¡р(у) ^ 0 существуют положите-гьные чиыа^(/,/), К{п,а,а,Со,и)), р(а, а, п,/, /, ф) такие, что при £ > справедливы неравенства

11"№1!о(/) > /¿ехр

/ г(Ц \ / г(*) \

/ Ж)) ' -Дехр р /

Понятие А - последовательности, введенное для уравнений второго порядка, в диссертации обобщается на некоторый класс псевдодифференциальных уравнений, в том числе на уравнения высокого порядка. Выделяется некоторый класс операторов, которые являются дифференциальными по фиксированной переменной а; и псевдодифференциальными по остальным переменным пространства йп+1- Для таких псевдодифференциальных эллиптических и параболических уравнений рассмотрены задачи с первым краевым условием в неограниченных областях П, расположенных вдоль оси Ох.

Через В (г), г € будем обозначать непрерывные положительные при г ф 0 функции такие, что

£(2)<С|г|ь, 6,С>0, |г| > 1.

На множестве комплекснозначных функций д(у) = д(х,у) 6 Со°(®п+1) при каждом а; € Ж определим функционал

\ш\\к„ = ++ (36)

где — преобразование Фурье, к — натуральное число, q — целое

Г2

неотрицательное число, ^ < к. Положим \\д\\2Вк (Г1 Г2) = / 115(^)111,, индекс (—со, со) заменяем на К. Обозначим

1,г2) = М < (

Для неотрицательных р положим

5(у) е С2°(П), |Ы|п;? = 1 , п<г2.

>,6] _ Г /Л р < 1, . > п р \ Р\ Р> 1, а' ь -

Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел назовем А[Дь1?] - последовательностью области П, если

существует число В > 0 такое, что справедливы неравенства

1 <eX{Bk,q}(xj,xj+1)Af'9], / = 0, оо.

В главе I установлены свойства А[Вк>ч\ - последовательностей. Необходимое и достаточное условие существования А[Бй>д] - последовательности формулируется также, как и в случае операторов второго порядка (см. условие (3)). При этом А[Вкл] - последовательность можно построить, начиная с любого хо > 0.

Отметим, что при = 0 очевидное неравенство Н^зОЦ^ > ||<70е)||к„, ж £ К, влечет неравенство

поэтому А[0^1о] - последовательность можно построить всегда, начиная с любого хо > 0.

Ради некоторого упрощения формулировок; результатов потребуем выполнения условия:

В случае q — Q требование (37) выполняется всегда, поскольку, как уже отмечалось, Хх° > 1.

Для областей вращения вида (4), не содержащих полупространства х > г, V г > 0, приведем примеры А[Вк,д] - последовательностей. С этой целью определим понятие II[к, д, ф] - последовательности. При этом на функцию В(ъ) накладываются следующие ограничения.

Потребуем, чтобы функции В3(г8) = В{0,..., г8, ■ ■ ■, 0), г8 6 К, й = 1 ,п, были четными возрастающими при га > 0 и существовали положительные числа с\, сг такие, что

А^.оКгьГг) > 1, г: < г2

Хх° =Х{Вкл}(~оо,х0) >0.

(37)

Bs(hz) < ciBs(z) max Bs(h), h > 0, г > О,

(38)

s—l,n

Bs{z)<c2\zl \z\<l. Будем предполагать также справедливость неравенств

B(z) > Bs(zs), z e ln, s = I~n.

(39)

■n,

Положим

Потребуем, чтобы lim Bs(z) = оо, s = 1 ,п, следствием чего является

z—»oo

lim ф3(г) =0, s = l,n.

n

Например, для функции B2(z) — ^ {zsm' + ZV'} соответствующие функции определяются равенствами B2(z) — z2"1' + г2'*, ф~а{г) =

r'2(m,+(s) _

-т;-57-, г > 0, /s,ms £ N, ls < ms, s = 1,п. При этом выполняются

условия (38) - (40). Нетрудно показать, что < Ф(т) < г >

0, где т = таxms, I = min ls.

s=l,n s—l,n

При q > 0 неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {xj}JL0 определим индуктивно следующим образом:

£0

1, xJ+1= supjr inf ф(/(х)) > J = 0, оо.

Эту последовательность назовем П[/г, q, ф(г)\ - последовательностью функции /. Аналогично, при д = 0 для «/ = 0, оо полагаем

Ы Ф{f{x))>{r-XJ)k,r<XJ + l}.

х0 = 1, xj+i = sup < г

Эту последовательность обозначим через П[/с, 0, $(г)]. В §1.3 доказано, что при д > О П[к, д, ф{г)] - последовательность является Х[Вк,д] - последовательностью для области П(/).

Пусть существует положительная постоянная Сз такая, что справедливо неравенство

В(Нг) < сзВ(х) тахВв (И,), ъ е Еп, К > 0. (41)

Я —1,71

Если при этом найдется постоянная и > 1 такая, что

вир {/(г) | г е [х - + } < я > 1,

(42)

то существуют постоянные с, и; > 1 такие, что справедливы оценки (6),

с-1 /-^— <N<0 [--у^——у, * е N.

{ ф(/(хф'М { ф(Пхф^Я

Здесь а(д) — 0, если д = 0, и а(д) = 1/д в ином случае.

Сформулируем результаты главы II, полученные для решений псевдодифференциального эллиптического уравнения вида

Си= ¿2 = Ф, yen. (43)

a=(i,a),0=(i,0)es

Множество S индексов а = (г, а) имеет вид:

S = |а = (г,а) i-O^k, а = l,iV,:},

к е N. Псевдодифференциальные операторы Та с комплексными символами Аа(х, z) определяются равенствами Таи = [Аа{х, z)Fy^z[u]], а псевдодифференциальные операторы Та имеют комплексносопряжен-ный символ А®(х, z).

На измеримые комплекснозначные функции Аа(х, z), а — (г, се) £ S, наложим следующие условия. Существуют число А > 0 и функция B(z) такие, что для п.в. (x,z) е Kn+i справедливы неравенства

I А?(х z) К I ABl~i/kM> ПРИ * с44)

I ^ (z,z) |< | ABmax{o^i/q]{z)i при B(z) < L (44)

Здесь при q = О считаем, что дробь i/q равна оо.

Потребуем "эллиптичность" оператора С в следующем виде. Пусть существует положительное число а и функция B(z) такие, что в дополнение к (44) для формы д(д) = £

a=(i,a),0=(i,/3)eS

справедливо неравенство

Re J Q(g)dy>a\\g\\lKqM, д(у) 6 С?(П). (45)

Комплекснозначные функции у), a.fiGS, считаем измеримыми в продолженными нулем вне П, ограниченными для п.в. у G il так, что

! 1< 5. (46)

Для уравнения (43) с комплексиозначным функционалом Ф рассматривается комплекснозначное обобщенное решение задачи Дирихле.

Естественно, что вещественное уравнение

Lu= £ (-l)l^(a^(y)Zfu) = Ф, убП, (47)

a,/3es

является примером ггсевдодифференциального уравнения (43) с Аа(х, г) = = (1г1)«1(1г2)аз ■■■(«„)а", Т5 = £>£, Яр = В2(г) =

71

{г;"1' Здесь а = (г, а) = (г, а!,..., а„) — мультииндексы

«=1 _

с целыми неотрицательными числами г, а5, 5 = 1,тг, | а |= г + «1 + аг + • ■ • + ап. Множество 5 = определяется параметрами д,к, д < к, 1В, тв &N, 13 < т8, в — 1,п, следующим образом:

а ~ (г, а)

г , 01 I . ап ^ 1

д(а) = - + — + ■■• + —>1,

7 П 1п

г ах а2 ап

1/{а) = - ^---)---I-----I--< 1

к т \ т2 т?г„

(48)

При д = 0 считаем 1е = 1, в = 1,п.

Для уравнения (47) ставится задача Дирихле со следующими граничными условиями:

дП

еп

, * С А;

да

= 23?'Ф

Уа

дО.

, а« < 771,, <5 = 1, 71.

(49)

Потребуем, чтобы для коэффициентов уравнения (47) при действительных функциях д(у) 6 Со°(П) выполнялось следующее неравенство:

/5

^2(Ё{И^у^Н2 + НВД12) + И^И2 + •

В §2.1 установлено, что решение задачи (47) - (49) будет действительным.

В §2.1 доказаны существование и единственность решения задачи Дирихле для уравнения (43) с суммируемыми данными.

Далее, через 5 = {п, к, д, в, а, а, А} обозначим набор постоянных. В п. 2.2.1 выделен широкий класс единственности решений задачи Дирихле для уравнения (43).

Теорема 15. Пусть для области О существует - последо-

вательность {хлг}^=0, удовлетворяющая условию (37), и выполнены условия (44) - (46). Тогда существует положительная постоянная к(Е) такая, что, если решение и(у) однородной задачи Дирихле для уравнения (43) при Ф = 0 с некоторой последовательностью {£л?}дг=о подчиняется требованию

Нт £-[*'?1ехр(-к.А01!«11г

N->■00

Глг+глг

О,

(50)

то и — 0 в П.

Теорема 16. Пусть выполнены условия (44) - (46), (38) - (40), тогда суи^ствует положительная постоянная к(Е) такая, что, если решение и(у) однородной задачи Дирихле для уравнения (43) в области вращения П(/) с Ф = О подчиняется требованию

Ит ехр ( -к [-^ . -1 } ||«||п;+1 = 0, (51)

\ { )

то и = 0 в П(/).

Для областей П(/а), П(/-а) с функциями /а(х) = тах{1,ха}, /_а(х) тт{1,х~а}, а > 0, х > 0, классы единственности (51) решения задачи (47) - (49) при д > 0 приводятся, соответственно, к виду

Дт^ехр каг1~а1а(я)) ЦиЦп^1^) =0, а < д/1 при д > 0,

Дтехр^г1^) =

Таким образом, для расширяющихся областей младшие, а для сужающихся областей старшие члены уравнения (47) играют определяющую роль в формировании предлагаемого здесь класса единственности.

При п = 1 для уравнений и1Ш = иуу и ихх = и-уууу в области П(/а) классы единственности (51) принимают вид, соответственно,

Дт ехр (-«у-*/2) ||«||п;+1(/в) = 0, йп ехр (-«„г1-2") ||и||п,+.(/в)

Следовательно, классы единственности зависят от направления, в котором расположена область, то есть классы единственности для одного и того же уравнения анизотропны.

В п. 2.2.3 доказана теорема 17 о существовании решения задачи Дирихле для уравнения (43) с экспоненциально растущими данными, принадлежащего классу единственности, определяемому условием (50).

о

Гильбертовы пространства Нвц,,(П), ^е^ДП) определим как пополнения пространств комплекснозначных функций (П), С§° (Жп+х) по нормам |Н1в*.11г,к, (1М11», ,к + 1И2)1/2, соответственно. Пространство

о

комплекснозначных линейных непрерывных функционалов на Н

о

обозначим через Н.вк

В §2.3 получены результаты, характеризующие поведение на беско-

о

нечности решения и (у) 6 We^ уравнения (43) (Ф 6Н в^ Ф £

\\?в1.><ДО)) с граничным условием

«(у)-Ф(у)енвь„ («)• (52)

Считаем, что функционал Ф и функция Ф имеют ограниченный носитель так, что

виррФсП*0, эиррФ С (53)

В п. 2.3.1 установлены оценки сверху решения задачи (43), (52).

Теорема 18. Пусть для области О существует А[ВкуЯ] - последовательность {£дг}5у=0> удовлетворяющая условию (37), и выполнены требования (44) - (46), (53). Тогда существуют положительные постоянные к(Е), М(Е, Ф,Ф) такие, что для решения и(у) задачи (43), (52) при всех N > 0 справедливы оценки

1Нк,„(г„,оо) < М ехр(-к,Ы).

Теорема 19. Пусть выполнены условия (44) - (46), (38) - (40), (53). Тогда существуют положительные постоянные к{Е), М(Н, Ф,Ф) такие, что для решения и(у) задачи (43), (52) в области А(/) справедлива оценка

¡Мк„(,оо) < Мехр ' ^ ^

Для псевдодифференциального уравнения

(-1 )*1>**и + (-1 )*Б2х*и + ¿Х4у [{г2* + ¿ГК-М] =

6=1

д < к,д £ К, I < т, т,1 —- нецелые положительные, в областях вращения П(/) вида (4) оценка (54) принимает вид

п 00

+ 11ОД1пЛ/) + Е / /(**' + <

8 = 1 Г

' Г <1х

у I !'

< М ехр | -К J -п^т- I , Г > 1.

В областях П(/а), П(/-а) Для решения задачи (47) - (49) при г > 1, д > 0 справедливы оценки

1№Нпг(/.)+Е 11^'.«11п,(/а) < ^ ехР (-««г1-°"г(в)) , 9 > 0, а < д/

8=1

+ Е < М-аехр (-к-У*™'") .

8=1

Из последней оценки видно, что в случае сужающихся областей он; гарантирует большую скорость убывания решения для тех уравнений у которых отношение т/к больше. Предыдущая же оценка показыва ет, что в случае расширяющихся областей следует ожидать болыпу скорость убывания решения тех уравнений, для которых отношение I/ меньше.

Далее приведем результаты главы III, установленные для решенш псевдодифференциального параболического уравнения

щ + С* и = 0, (55

а=(г,а)Л=(1,/3)е5

Псевдодифференциальные операторы Та с комплекснозначными сим волами Аа(1,х, %) определяются равенствами Таи = Р^\у[Аа(1;,х,2)Еу Будем считать, что для измеримых комплекснозначных функцш Аа(1,х,т,), а = (г, а) 6 5, существуют число А > 0 и функция В{г такие, что для п.в. 4 > 0, (х, г) 6 1 справедливы неравенства

.)!<{«■ <»

Комплекснозиачные функции 6 5, считаем измеримым:

в £>, для п.в. (£,у) € удовлетворяющими условию (46).

На множестве д(у) = д(х, у) € Со°(Кп+1) комплекснозначных функ ций при каждом х € Е определим функционал

ЬШк = I №(* + ||ВДгу_«[д]||&п.

От оператора С1 будем требовать выполнения следующего услови Пусть существуют положительные числа а, А и функция В(г) таки что в дополнение к (56) при п.в. t > 0 для формы

Е

а=(г\а)„3=(»,;

Е а^ШТ^дТРЩд

справедливо неравенство

оо

А\\д\\2+Ке I д'(д)с1у>а I Ых)\\%кс1х, д(у)еС^(П). (57)

Для уравнения (55) рассматривается комплекснозначное обобщенное решение первой смешанной задачи с однородным граничным условием и начальным условием (21) с комплекснозначной начальной функцией р(у).

В качестве примера приведем вещественное уравнение

щ+Ь*и = щ + £ - 0, (*,у) 6 Б. (58)

Множество Я = определяется параметрами к, та € К) в = 1, п, следующим образом:

Зк = < а = (¿, а)

к т\ т-2 тп

Для уравнения (58) ставится первая смешанная задача с начальным условием (21) и граничными условиями

£>1и

= 0, г < к\ Оу'и = 0, ае < т3, в = 1,п.

(60)

Для уравнения (58) будем предполагать, что существуют положительные числа Ао, а такие, что для п.в. ( > 0 и действительных функций д(у) € Со°(П) справедливо неравенство

+/ Е > 23 (Е НВД12 + ИД^Н2)

(61)

Если при 1/(а), £/(/?) = 1 коэффициенты %■}(£, у) равномерно непрерывны по у £ для п.в. I > 0, то для выполнения (61) достаточно, чтобы существовала положительная постоянная оо такая, что для любых г 6 Кгс-и и (¿, у) 6 И было справедливо неравенство

Ке £ ¿М1(-1)На^(^,у)^>ао ^ + Е ^

Нетрудно заметить, что решение задачи (58) - (60), (21) будет вещественным. При этом уравнение (58) является частным случаем уравнения (55).

В §3.1 доказаны существование и единственность решений первой смешанной задачи (55), (21) с <р(у) £ Ьг(П).

В п. 3.2.1 установлен класс единственности теклиндовского типа для решений первой смешанной задачи (55), (21).

Теорема 20. Пусть выполнены условия (46), (56), (57). Если обобщенное решение у) первой смешанной задачи (55), (21) в ИТ с <р(У) — 0 подчиняется требованию: существует такая монотонно неубывающая на полуоси [1,оо) положительная функция Н{г), что

оо

I

dr

= 00,

h2*-l(r)

и для всех г > 1

||ti||DT.;+i < ехр(гЛ(г)), (62)

то и = 0 в

В классе единственности, определяемом условием (62), в п. 3.2.3 доказана теорема 21 о существовании решения первой смешанной задачи (55), (21) с экспоненцильно растущей начальной функцией у>(у).

Кроме класса единственности типа Тэклинда, в п. 3.3.1 установлен также класс единственности решения первой смешанной задачи (55), (21), зависящий от геометрии неограниченной области Q.

Теорема 22. Пусть {жлг}^_0 — некоторая А[#й,о] - последовательность области П и выполнены условия (46), (56), (57). Тогда найдется положительная постоянная к(Е) такая, что, если решение u(t, у) первой смешанной задачи (55), (21) в DT для <р(у) = 0 с некоторой последовательностью {елг}^=0 подчиняется требованию

lim e^M]exp(-*iV)|Ki)||nT,IN+£jv = 0, (63)

N-¥ оо u *n

то и = 0 в DT.

В теореме 23 для областей вращения условие (63) переформулировано в виде:

lim exp I -к [ Г1 fX- ) ¡|ы||пт,г+1,,> = 0. (64)

Для области П(/_с>) класс единственности (64) решения задачи (58) - (00), (21) приводится к виду

Из (64) следует, что для сужающихся областей класс единственности, определяемый условием (63), может быть шире, чем теклиндовский класс единственности, определяемый условием (62). В частности, это имеет место для области П(/_а) (см. (64_а) при а > то(2*-1) и ПРН

Л(г) =г1^2к-1>).

В л. 3.3.3 доказана теорема 24 о существовании решения первой смешанной задачи (55), (21) с экспоненциально растущей начальной функцией ¡р(у), принадлежащего классу единственности, определяемому условием (63).

В §3.4 исследована зависимость поведения при больших значениях времени Ьг(П)-нормы решения первой смешанной задачи (55), (21) с финитной начальной функцией </э(у) от геометрии неограниченной области (I.

Будем считать, что существуют числа А > 0, д 6 N и функция В (г) такие, что для функций Ла(£, х, г) при п.в. £ > 0, (х,ъ) € Кп+1 справедливы неравенства (44). Отметим, что условие (44) является достаточным для выполнения (56).

На оператор Сь будем накладывать требование эллиптичности в следующем виде. Пусть существует положительное число а и функция В (т.) такие, что в дополнение к (44) для формы О1 при п.в. Ь > 0 справедливо неравенство (45). Очевидно, условие (4-5) является достаточным для выполнения неравенства (57).

Считаем, что начальная функция </з имеет ограниченный носитель так, что

В п. 3.4.1 для решения задачи (55), (21) получены оценки сверху, характеризующие скорость убывания при Ь —> оо.

Для N — 0, оо определим невозрастающую последовательность

Цш ехр (-к_аг1+пт/*) |М!сг,,+1(/) = 0. (64_а)

Бирр (р С Ох°.

(65)

И ПОЛОЖИМ

= пхах ^ е о,00 N/\[Bkл}(N) 1> 0.

Теорема 25. Пусть для области П существует А- последовательность {жлг}^=0, подчиняющаяся требованию (37), ы выполнены, условия (44) - (46), (65). Тогда существуют положительные постоянные к'(3), М'(Е) такие, что для решения и(Ь, у) первой смешанной задачи (55), (21) при всех £ > 0 справедлива оценка

|!и^)Ц<М'ехр(-к']У[В)с>?](<))^!|. (66)

Через = {(«»У) б Ж2 | г < х < 2 + р, 0 < г/ < ф"1 (р[М)

обозначим прямоугольник ширины р с левой нижней вершиной в точке г оси абсцисс. Пусть р*[к, д, 0](г) — ширина наибольшего прямоугольника С ГК/).

Будем предполагать, что функция / удовлетворяет условию:

йх _

Функцию * > 0) определим равенством

г

/йх _ t

В теореме 26 для областей вращения установлено следствие неравенства (66):

(г[к,д,ф]{1) \

/ 1 1М1п(/)', (67)

Отметим, что если дополнительно выполнены условия (41), (42), то оценка (67) будет того же порядка, что и оценка (66).

В случае области вращения Г2(/а) с функцией /а(х) = тах(1, ха), х > 0, 0 < а < <?/7, оценка (67) для решения задачи (58), (48), (60), (21) при нимает вид

||«(011п(/.) < Маехр |М|П(Л), г > 0.

/

Публикации по теме диссертации

[1] Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при I -> со решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. - 2000. - Т. 191. - №2. - С. 91-131.

[2] Кожевникова Л.М. О классах единственности решения первой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области // Изв. РАН. Сер. матем. -2001. - Т. 65. - №3. - С. 51-66.

[3] Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Об убывании Ьг-нормы решения первой смешанной задачи для нелинейной системы параболических уравнений в области с нерегулярной границей // Дифферент уравнения. - 2002. - Т. 38. - №8. - С. 1079-1084.

[4] Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения / / Матем. сб. - 2005. - Т. 196. - №7. - С. 67-100.

[5] Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. - 2006. - Т. 70. - №6. - С. 93-128.

[6] Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Убывание решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка с младшими членами // ФПМ. - 2006. - Т. 12. - №4. - С. 113-132.

[7] Кожевникова Л.М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для уравнения щ = Аи с квазиэллиптическим оператором А в неограниченных областях // Матем. сб. - 2007. - Т. 198. - №1. - С. 59-102.

[8] Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. - 2008. - Т. 199. - №8. - С. 61-94.

[9] Кожевникова Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами // Уфимский матем. журн. Уфа: БашГУ, 2009. - №1. - С. 38-68.

Подписано в печать 21.10.09. Формат 60 х 841уг1е. Гарнитура "Times". Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ №^5^09. Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

Введение

1. Л - последовательности и их свойства

1.1. Неравенства.

1.2. Л - последовательности.

1.3. П - последовательности.

2. Задача Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений

2.1. Существование и единственность решения с суммируемыми данными.

2.2. Существование и единственность решения с локально суммируемыми данными.

2.2.1. Теоремы единственности.

2.2.2. Примеры неединственности решений для уравнения Лапласа.

2.2.3. Теорема существования.

2.3. Поведение решения па бесконечности.

2.3.1. Оценки сверху

2.3.2. Оценки снизу.

3. Первая смешанная задача для псевдодифференциальных параболических уравнений

3.1. Существование и единственность решения с начальной функцией из L2(£7).

3.2. Класс единственности теклиндовского типа.

3.2.1. Класс единственности теклиндовского типа.

3.2.2. Точность теклиндовского класса единственности

3.2.3. Теорема существования в классе единственное г и теклиндовского типа.

3.3. Геометрический класс единственности.

3.3.1. Геометрический класс единственности.

3.3.2. Примеры неединственности решений для уравнения теплопроводности.

3.3.3. Теорема существования в геометрическом классе единственности

3.4. Стабилизация решения

3.4.1. Оценки сверху

3.4.2. Оценки снизу.

Работа посвятцена фундаментальной проблеме изучения качественных свойств решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях. В диссертации рассматривается довольно широкий круг вопросов, взаимосвязанных как по постановке проблемы, так и по методам исследования. Не вдаваясь в детали, их можно разбить на следующие четыре группы: классы единственности и вопросы убывания при удалении аргумента на бесконечность решений эллиптических уравнений, классы единственности и вопросы стабилизации при t —у оо решений параболических уравнений в неограниченных областях. По каждой группе вопросов в диссертации получены новые результаты как для эллиптических и параболических уравнений второго порядка, так и для псевдодифференциальных эллиптических и параболических уравнений.

Обзор результатов по названным группам исследований будет проводиться в той последовательности, как они приведены выше. При этом работы других авторов не будут подробно цитироваться, поскольку это привело бы к неоправданному увеличению объема введения. Исключение могут составить лишь результаты, наиболее близкие к полученным в диссертации, когда необходимо привести их сравнение.

Известно большое число работ, в которых доказываются теоремы типа Фрагмена- Линделефа, устанавливается принцип Сен - Венана или выделяются классы единственности решений для эллиптических уравнений.

Перечисленные утверждения, несмотря на внешние различия, характеризуют близкие качественные свойства решений эллиптических уравнений.

Первоначально теорема Фрагмена - Линделефа [132] возникла как обобщение принципа максимума модуля для аналитических функций. В последующем теоремами Фрагмена - Линделефа для эллиптических уравнений стали называть утверждения следующего вида. Пусть, например, Q — угол раствора (р на плоскости Ж2 = {у = у) | х7 у £ М} и М — произвольное неотрицательное число. Если гармоническая в Q, функция на границе не превосходит М, то она либо ив Q не превосходит М, либо растет не медленнее, чем ^ где £ > 0. Отсюда сразу следует, что множество функций, удовлетворяющих условию lim = 0, jjyj—>-оо является классом единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в угле Q.

Эта теорема обобщалась многими авторами на решения эллиптических уравнений второго порядка и на области очень общего вида (см. [57], [23], [62], [21] и др.). Для решений линейных эллиптических уравнений высокого порядка в цилиндрических областях первое обобщение указанной теоремы было получено в [128].

В работе Е.М. Ландиса [58] установлены теоремы типа Фрагмена -Линделёфа, рассмотрены вопросы о классах единственности и существования решений задачи Дирихле для общих с гладкими коэффициентами линейных равномерно эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях, описываемых в терминах размера внутреннего диаметра. Для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка утверждения типа Фрагмена - Линделёфа получены А.Е. Шишковым [114].

В работах О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна [82], [83] доказана теорема Фрагмена - Линделефа для решений бигармонического уравнения с условием Дирихле на границе неограниченной области Q, лежащей в полуплоскости Rj = {(х,у) € М<2 | х > 0}. На ее основе в терминах геометрической характеристики, рассматриваемой на сечении области Q гиперплоскостью х = г, г > 0, установлена теорема единственности решения.

И.Н. Тавхелидзе в работах [101], [102] для полигармонического уравнения получены априорные оценки решений задачи Дирихле, на основе которых исследовано поведение решений и их производных вблизи нерегулярных точек границы и в окрестности бесконечности, доказаны теоремы единственности в неограниченных областях и теоремы типа Фрагмена - Линделефа.

А.Е. Шишковым в работах [105], [ИЗ], [115] установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях с некомпактными границами. На основе этих оценок доказываются альтернативные теоремы типа Фрагмена - Линделефа о поведении решений на бесконечности. Кроме того, в работе [119] тем же автором доказано существование решения задачи Дирихле в классе экспоненциально растущих функций для областей с некомпактными границами, относящихся к классу "узких" в окрестности бесконечности, при экспоненциальном росте правой части.

Принцип Сен - Венана, был впервые обоснован R. Toupin [134], J. Knowles [127] в следующей форме. Если деформировать один торец упругого цилиндрического стержня, то величина деформаций будет экспоненциально убывать при удалении от торца. После работ [134], [127] появилось много результатов, в которых принцип Сён-Венаиа. распространялся на уравнения эллиптического и параболического типов. С помощью энергетических оценок, аналогичных неравенствам, выражающим принцип Сен-Венана, может быть исследовано поведение решений краевых задач для эллиптических уравнений в неограниченных областях в окрестности бесконечности.

В работе [50] получен точный принцип Сен - Венана для решений бигармонического уравнения с условием Дирихле на границе неограниченной области О плоскости Мг- С его помощью доказана единственность решения в классе функций, имеющих степенной рост на бесконечности. При этом утверждается, что показатель степени не может быть увеличен, например, для областей типа угла. Там же установлена оценка, характеризующая поведение на бесконечности решения рассматриваемой задачи в неограниченной области Q.

В работах О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна [77], [80], [81] получена априорная оценка обобщенного решения смешанной задачи для линейного эллиптического уравнения второго порядка, аналогичная оценкам, выражающим принцип Сен - Венана в теории упругости. При этом рассматриваются области с конечным числом ветвей, достаточно произвольным образом уходящими в бесконечность. Граница области поделена на три части, на которых ставятся краевые условия первого, второго и третьего типа, соответственно.

В.А. Кондратьев и О.А. Олейник в работе [49] доказали принцип Сен -Венана для решений внешних краевых задач и на его основе установили соответствующую теорему о единственности решений.

В работе [51] доказано, в частности, что неравенство |и(у) | < С\ In ^Ц1-6, е > 0, при достаточно больших \у\ выделяет класс единственности решений линейного эллиптического уравнения второго порядка, пригодный для любой неограниченной области на плоскости и краевых условий первого, второго и третьего типов.

О.А. Олейиик, Г.А. Иосифьян рассматривали [84] вопрос о поведении на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области Q С = у = (х, у) | х > 0, у £ Кл}, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений в областях с некомпактными границами при х —У оо в зависимости от геометрических свойств области и поведения функции, стоящей в правой части уравнения, при х —> оо.

В работах [85], [86] этими же авторами изучалось поведение решения системы теории упругости в неограниченной области Г2, лежащей в полупространстве для случая неоднородных условий на границе, а также условий периодичности по ., уп. На основе априорных оценок, выражающих принцип Сен - Венана, установлено, что при самоуравно-вешанных внешних воздействиях на тело и при достаточно быстро затухающих на бесконечности внешних силах решение и(у) стремится при х —> оо к некоторому жесткому перемещению. В частности, найдены условия на граничные значения и внешние силы, при которых и(у) —> О при х —> оо.

О.А. Олейник, Н.О. Максимовой в [87] получены оценки решений неоднородных эллиптических систем с общими неоднородными граничными условиями в неограниченных областях.

В работе Е.М. Ландиса, Г.П. Панасенко [60] рассматривалось эллиптическое уравнение в Мп+1 = {у = (х, у) = (т/о, у) | х Е Ж, у G Мп}, коэффициенты у) и правая часть Ф(у) которого являются периодическими функциями по п

0.0.1) переменным yi,.-.,yn- Относительно правой части предполагается, что она экспоненциально быстро убывает при \х\ —»• оо. Доказано, что в этом случае периодическое по yi,. ,уп решение и(у) уравнения (0.0.1) либо столь же быстро стабилизируется к константе к\ при х —> +оо и к константе при х —^ — оо, либо неограниченно. Аналогичная задача рассматривалась для полупространства х > 0. В этом случае исследовано поведение решения при х —» +оо и доказана такая же теорема о стабилизации ограниченного решения или решения с grad и € -Z^Q&n+i)

Завершая обзор результатов для эллиптических уравнений, следует отметить, что цитированные выше результаты авторы не подтверждали доказательством их точности.

В диссертации для эллиптических уравнений исследованы вопросы корректности постановки задачи Дирихле в неограниченных областях Q в классах растущих функций и поведение на бесконечности решений этой задачи в зависимости от геометрии Q. Для эллиптических уравнений второго порядка выделен класс единственности решений задачи Дирихле. Показано, что для областей с нерегулярным поведением границы он может быть шире, чем ранее известные классы единственности. Для широкого класса областей вращения построены гармонические функции, подтверждающие точность найденного класса единственности. Получены оценки скорости убывания на бесконечности решения рассматриваемой задачи с финитными данными в широком классе неограниченных областей и установлена точность этих оценок.

Для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях впервые выделен широкий класс единственности решений задачи Дирихле и доказана теорема существования с экспоненциально растущими данными в этом классе единственности. Получены оценки сверху, характеризующие убывание на бесконечности решения рассматриваемой задачи с финитными данными.

К настоящему времени установлено большое количество разных классов единственности решений начально-краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений и систем. Здесь предлагается разделить эти классы единственности на две группы. Первую группу составляют тэклиндовские классы единственности, установленные для задачи Коши [133], но пригодные также для смешанных задач в неограниченных областях. Во вторую группу относятся геометрические классы единственности, определяемые ограничениями, выражающимися через геометрические характеристики области. Цитируемые ниже результаты уточнят довольно нечеткое разделение классов единственности на две группы. Как правило, геометрические классы уже тэклиндовских, и лишь в случае быстросужающихся неограниченных областей и краевого условия Дирихле первые могут оказаться шире вторых.

Теоремы единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в классах растущих функций были впервые установлены Е. Хольмгреном [125], А.Н. Тихоновым [107], С. Тэклиндом [133]. Предельно широкие классы функций, в которых имеет место единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности, были найдены в работе С. Тэклинда [133]. Он показал, что если решение u(t, у) задачи ut = Аи, (0.0.2)

Ч=о = 0, (0.0.3) в DT = (0,Т) х Mn+i удовлетворяет неравенству

И*,у)| <ехр(|у|Л(|у|)), (0.0.4) то u(t, у) = 0. Здесь h(r) неубывающая положительная функция такая, что оо

1щ = со- {Ш5] 1

Если же функция h{r) такова, что интеграл (0.0.5) сходится, то построены решения v(t, у) задачи (0.0.2), (0.0.3), отличные от тождественного нуля и удовлетворяющие условию (0.0.4). Аналогичные теоремы доказаны в дальнейшем и для некоторых классов параболических систем (см. [120], [121], [26], [96]).

Для параболического уравнения высокого порядка О.А. Ладыженской [56] получены теоремы единственности решения задачи Коши в классах экспоненциально растущих функций.

Обобщение теоремы С. Тэклинда на случай первой смешанной задачи и задачи Коши для общего вырождающегося параболического уравнения второго порядка и параболических систем методом введения параметра проведено О.А. Олейник, Е.В. Радкевичем в работе [90]. Для второй и третьей смешанных задач теоремы единственности установлены А.Г. Га-гнидзе [7], [8].

Л.И. Камыниным в [32] доказаны условные теоремы существования классических решений из обобщенного класса единственности Тэклинда как задачи Коши в DT, так и первой краевой задачи в неограниченной области ш С DT для параболического уравнения второго порядка, допускающего вырождение при |у| оо.

Для параболического уравнения второго порядка п щ + Ьь2и ЕЕ щ - ^ (aij(t, у)иу.)у = 0 (0.0.6) i,j=0 с симметричными по i,j измеримыми функциями у), i,j = 0,п, удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности, А.К. Гущиным [13] в случае второй смешанной задачи, Ф.Х. Мукминовым [71] для первой смешанной задачи, выделены классы единственности, близкие к классу С. Тэклинда. В работе [35] получен класс единственности тэклин-довского типа для некоторого вида квазилинейных параболических систем.

В работах [116] - [118]. [53] рассматриваются решения параболических краевых задач в неограниченных областях Q С M7J+i, п > 1, характеризующихся тем, что Q С {(£, у) | у G — а(|у|) < t < Т < оо}, где a(s) > —Т —- произвольная монотонно неубывающая при s > О функция. Для реи гений таких задач получены зависящие от образующем! a(s) априорные оценки, аналогичные принципу Сен - Венана в теории упругости, и на их основе установлены классы единственности решений, соответствующие классу Теклинда при a(s) = const.

Для нелинейных уравнений второго порядка типа нестационарной фильтрации А.С. Калашниковым [29], [30] доказана единственнос ть решения задачи Коши в классах функций, являющихся нелинейным аналогом классов А.Н. Тихонова.

Используя нелинейный аналог метода введения параметра, разработанного О.А. Олейник и ее учениками, В.Ф. Акулов, А.Е. Шишков [2] - [4], [119] получили оценки скорости роста обобщенных локально ограниченных решений задачи Коши и смешанных задач в неограниченных пространственных областях для различных классов квазилинейных вырождающихся параболических уравнений, как второго, так и высокого порядков. В [99] аналогичный результат установлен для некоторых квазилинейных эволюционных уравнений второго порядка.

В работе [79] для решений линейного параболического уравнения второго порядка со смешанными граничными условиями О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяном получены априорные оценки, соответствующие принципу Сен - Венана в теории упругости. Рассматривается смешанная задача с начальными и граничными условиями в неограниченной нецилиндрической области, когда на одной части задано условие Дирихле, а на другой ее части задано условие Неймана или третье краевое условие. Классы функций, в которых краевая задача в неограниченной области может иметь лишь единственное решение, определяются с помощью собственных значений некоторых эллиптических краевых задач, рассматриваемых на сечениях этой области некоторым семейством гиперповерхностей. Также получены априорные оценки решения, из которых вытекают теоремы единственности для задачи без начальных условий.

Указанной в [79] методикой М.И. Максимовой [63], А.Е. Шишковым [112] доказано существование решения с неограниченным интегралом энергии первой смешанной задачи в областях с некомпактными границами для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго порядка с экспоненциально растущей правой частью. Р.Я. Глаголевой [10] изучались асимптотические свойства решений линейных параболических уравнений второго порядка в неограниченных пространственных областях.

Для линейных параболических уравнений высокого порядка в дивергентной форме И.П. Слепцовой, А.Е. Шишковым [97] установлено существование решений в неограниченных цилиндрических областях вида DT = (О, Т) х Q. Этими же авторами в [98] построена теория разрешимости смешанных задач в неограниченных областях для широкого класса эволюционных линейных уравнений второго порядка. При этом геометрическая характеристика неограниченной области Г2, лежащей в основании цилиндра, определяется на сечениях сферой радиуса г.

В работе [81] О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяном доказаны теоремы об устранимых особенностях в точках границы области для решений краевых задач в случае линейного параболического уравнения второго порядка, а также теоремы единственности в классах функций с неограниченным интегралом энергии. А.Ф. Тедеевым, А.Е. Шишковым [106] для дивергентных квазилинейных параболических уравнений получены теоремы о поведении решений вблизи граничной точки.

О.А. Олейник в [76] построены примеры параболических уравнений второго порядка в неограниченной области, "сужающейся" не быстрее, чем экспоненциально, подтверждающие, что классы единственности решений второй смешанной задачи не шире класса единственности решений задачи Коши. Аналогичный пример построен А.Г. Гагнидзе [7], [8J для третьей краевой задачи. Тезис О.А. Олейник (см. [76]) о том. что "в случае задачи Неймана для параболического уравнения второго порядка полученные в [90] теоремы единственности не могут быть усилены в зависимости от геометрических свойств неограниченной области", не опровергается примерами работы [59] Е. М. Ландиса для второй начально-краевой задачи и работ [7], [8] А.Г. Гагнидзе для третьей начально-краевой задачи, если ограничения на рост функции формулировать в интегральном виде.

На основе априорной оценки аналитического продолжения по одному из независимых переменных решения некоторой специальной вспомогательной параболической системы, в работах О.А. Олейник [73], [74], в классах растущих функций, установлены теоремы единственности решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для общих параболических систем, рассмотренных В.А. Солонниковым [100].

Теорема единственности для задачи без начальных условий для общих параболических систем с общими краевыми условиями доказана в работе [75]. В работах [88], [89] О .А. Олейник, Е.В. Радкевич получили теоремы о поведении решений в неограниченных областях общих параболических систем дифференциальных уравнений, зависящих от комплекспого параметра, аналогичные классическим теоремам Лиувилля и Фрагмена - Линделефа.

Отметим, что точность тэклиндовских и геометрических классов единственности для начально-краевых задач ранее не была установлена.

В диссертации для параболических уравнений рассмотрены вопросы существования и единственности решений первой смешанной задачи в классах растущих функций в цилиндрических областях DT = (О, Т) хГ2 с неограниченной областью Г2, лежащей в основании цилиндра. Для параболических уравнений второго порядка установлен класс единственности решений первой смешанной задачи, зависящий от геометрии неограниченной области Q, который в ряде случаев шире известных. Для уравнения теплопроводности построены примеры неединственности, подтверждающие точность геометрического и теклиндовского классов единственности в широком классе областей вращения.

Для первой смешанной задачи в случае псевдодифференциальных параболических уравнений впервые выделен класс единственности теклиндовского типа. Установлен также другой класс единственности решений, зависящий от геометрии неограниченной области О,. Доказаны теоремы существования решений первой смешанной задачи с экспоненциально растущими начальными функциями в обоих классах единственности.

Проблеме изучения поведения при больших временах решений задачи Коши и смешанных задач для эволюционных линейных (и нелинейных) уравнений и систем посвящено очень большое число работ. Данная проблема ввиду многообразия свойств эволюционных систем имеет много аспектов. Важной является задача определения значений параметров, при которых решение задачи Коши существует в целом по времени (т.е. при t > 0), или, наоборот, взрывается (см. обзоры в работах [9], [31]). В тех же случаях, когда существует глобальное решение, возникает задача изучения его асимптотического поведения при больших временах. Этому направлению посвящены работы [72], [92] - [95], [123], [124] и ряд других.

В случае задачи Коши для линейного параболического уравнения второго порядка с ограниченной начальной функцией известны общие критерии поточечной стабилизации: для уравнения теплопроводности критерий стабилизации получен В.Д. Репниковым и С.Д. Эйдельманом [94], [95]; для некоторых частных случаев уравнений с переменными коэффициентами А.К. Гущиным, В.П. Михайловым [14], [15], S. Kamin [126]. Вопросы стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в случае неограниченной начальной функцией изучались в работах В.Н. Денисова [17], [18], [19]. Общий метод, связывающий задачу о стабилизации с задачей усреднения, предложен В.В. Жиковым [24], [25], [20]. Им решена задача о критерии равномерной стабилизации задачи Коши в предположении ограниченности начальной функции. Аналогичный критерий в неограниченной области для второй смешанной задачи был получен А.К. Гущиным, В.П. Михайловым, Ю.А. Михайловым [13], [16], и для первой смешанной задачи — Ф.Х. Мукминовым [71].

A.M. Ильиным в [27] выделены условия на границу нецилиндрической области и коэффициенты параболического уравнения второго порядка в недивергентной форме, достаточные для равномерной стабилизации к нулю решения первой смешанной задачи.

А.К. Гущин в работах [11], [12] положил начало изучению поведения решений смешанных задач с начальной функцией, ограниченной в одной из Lp - норм, для параболических уравнений в неограниченных областях. Здесь более подробно проанализируем работы данного направления, поскольку они наиболее близко примыкают к одной из рассматриваемых в диссертации задач. В случае линейного параболического уравнения поведение решения с неотрицательной финитной начальной функцией, грубо говоря, соответствует поведению функции Грина. Отметим, при этом, что поведение решений первой смешанной задачи в неограниченной области качественно отличается от поведения решений второй смешанной задачи. Если убывание решения второй смешанной задачи для уравнения теплопроводности обеспечивается "размазыванием тепла" по все большему объему, и убывание будет тем более быстрым, чем быстрее "расширяется область на бесконечности", то убывание решения первой смешанной задачи обеспечивается, в основном, оттоком тепла через границу, и убывание будет тем более быстрым, чем медленнее "расширяется область на бесконечности". При этом фактор "размазывания тепла" действует и в случае первой смешанной задачи. Естественно, что решающую роль в определении поведения решения играет геометрия области.

В случае второй смешанной задачи для уравнения (0.0.б) А.К. Гущиным выделена простая геометрическая характеристика v(r) — mesn+iQ(r), Q(r) = {у £ Q | |y| < г}, определяющая поведение решения при больших значениях времени. Как показано в работах А.К. Гущина [11], [12], А.В. Лежнева [61], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи с финитной начальной функцией происходит "равномерное распространение тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от ее носителя на расстояние y/t.

А.Ф. Тедеевым в работе [104] этот результат обобщен для вырождающегося квазилинейного параболического уравнения.

В работах [108], [109], [111], [79] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (0.0.6) в нецилиндрических областях. А именно, в [111] и [79] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях.

В работах [108J, [109] В.И. Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость результатов, близких к приведенным выше для случая третьей смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.

Ф.Х. Мукминовым, JI.M. Кожевниковой в работах [70], [34] в терминах некоторых геометрических характеристик получены точные оценки поведения решения первой смешанной задачи для уравнения (0.0.6). Кроме того, в [34], [37] этот результат обобщен на некоторый класс систем квазилинейных параболических уравнений второго порядка.

Для линейного параболического уравнения высокого порядка в дивергентной форме без младших членов Ф.Х. Мукминовым [69] установлена оценка сверху решения первой смешанной задачи. Этот результат распространен А.Ф. Тедеевым [103] на случай параболического квазилинейного уравнения высокого порядка.

Ф.Х. Мукминов, И.М. Биккулов в [5] исследовали стабилизацию решения задачи Риккье для уравнений 4-го и б-го порядков. Ими получена оценка L2 - нормы решения при t —> 00 и установлена ее точность по порядку стремления к нулю.

В диссертации для параболртческих уравнений в цилиндрической области D = {t > 0} X О исследована зависимость поведения решения первой смешанной задачи при больших значениях времени t от неограниченной области fi, лежащей в основании цилиндра. В случае уравнения второго порядка расширен класс областей, в которых установлены оценки скорости стабилизации решения и доказана их точность. Для псевдодифференциальных параболических уравнений впервые получены оценки сверху, характеризующие поведение решения при больших значениях времени рассматриваемой задачи с финитной начальной функцией.

Прежде чем перейти к более подробному обзору результатов диссертации введем некоторые обозначения. Через Q будем обозначать область пространства Kn+i = {у = (ж,у) = (уо,у) \ х Е М, у = (г/i, .,уп) Е п > 1. Считаем, что Г2 С Mn+i и имеет п - мерную границу. Положим: || • ||<з, (-j^g ~ норма и скалярное произведение в пространстве L2(Q), соответственно, причем значение Q = Q опускается; — {у Е

Rn+i | ж > 0}; S = {t > 0} X дП; Щ» = {у Е R,1+i | П < х < г2}, {У € ^ | ri < ж < Г2}, Df2^ = (ti, ^2) х причем значения ti = 0, = 00, гi = —00, Г2 = 00 могут быть опущены; Г2(г) = {у Е ^ I |у| < г}; 7W = {у е ft I |у| - г}; 7г - {у Е П \ х = г}; 5(r,z) -шар радиуса г с центром в точке z.

Следует отметить, что упомянутые в обзоре классы единственности и оценки, характеризующие скорость убывания решений, рассматриваемых задач для эллиптических и параболических уравнений перестают быть точными для областей с "нерегулярным" поведением границы. Поэтому актуальной является проблема получения точных результатов для более широкого класса неограниченных областей.

В перечисленных выше работах авторы использовали следующие геометрические характеристики неограниченной области A(r), v(r), г > 0, — первые собственные значения задачи Дирихле для оператора —А в 7г) соответственно ([84], [70], [34] и др.). Применялись также аналоги этих величин с заменой оператора Лапласа на эллиптический оператор в дивергентной форме на сечениях области некоторым семейством гиперповерхностей ([5], [69], [77], [79] - [83], [97], [98], [103], [113], [115] и ДР-)

Новизна предложенного в диссертации подхода заключается в установлении специальных априорных оценок на основе разработанного автором понятия лямбда - разбиения. Оно пригодно для исследования как эллиптических, так и параболических уравнений. Ниже в диссертации показывается, что это понятие позволяет получать в ряде случаев более сильные результаты, чем полученные другими авторами с использованием таких характеристик, как A(r), v{v). Для простоты сначала будут рассмотрены результаты для уравнений второго порядка в областях с некомпактной границами меры п.

Предполагается, что неограниченная область ^ С Мп+1 представлеоо на в виде объединения Q = [J Q^ последовательности вложенных

N=0

С Q(n+1) областей1, удовлетворяющих следующим требованиям.

Дополнения — ^^ распадаются на конечное число связpw ных подобластей г = 1 — U N = 1,оо. i=i

Пересечения [дО,^) р| = S^ представляют собой конечное число гиперповерхностей S^ = (S^ могут быть несвязными), г = l,p(W, N =

Для множества Q С Q введем обозначение

A{Q} = тЫ|| V<7||| g(y)eC^(Q), Ыд = 1 У (0.0.7)

Определим векторы t^ = ., t^) и А(лг> = (А^},., А^Д) формулами tf] = dist(S^Sf-1*), где = А™ =

Будем предполагать, что существует число в > 0 такое, что выполняются неравенства l^flA^f0)2, * = iV = I75o. (0.0.8)

00

Описанное выше представление Г2 = |J Q^ при выполнении нера

N=0 венств (0.0.8) назовем А - разбиением области £2. Понятие А - разбиения можно считать обобщением понятия А - последовательности, введенного оо Всюду далее представление ft = |J fiW предполагает указанную вложенность областей. v=o в [39], [42] для области, расположенной вдоль выделенной оси Ох (сечение тт не пусто при любом г > 0). Множества Q^ = QJ'X определяются неограниченной возрастающей последовательностью положительных чисел {xn}n=o- При этом последовательность называется Л оо последовательностью, а условие (0.0.8) для разбиения Q = U QXN при

N=0 ни мает вид

1 < 0\(xni %N+I)A%, AN = XN+I — %N, Af = 0, оо, (0.0.9) где Л(гьг2) = п < г2.

Суть оценок сен - венановского типа состоит в отслеживании убывания "энергии решения" при движении вдоль линии, составляющей "ось среды". Здесь предложен способ построения точек на этой линии (лямбда - последовательности) таких, что при переходе к следующей точке происходит спад "энергии решения" в фиксированное число раз. Доказательство точных сен - венановских оценок сводится к установлению верхней и нижней границы для этого числа.

Построение лямбда - последовательности основано на оценке первого собственного значения оператора, соответствующего уравнению, в области, заключенной между трансверсальиыми к "оси среды" поверхнос тями, проходящими через соседние точки последовательности. Грубо говоря, в случае оператора второго порядка, первое собственное значение оценивается обратным квадратом расстояния между соседними точками лямбда-последовательности.

После опубликования работ [39], [42], в которых было введено понятие А - последовательности, обнаружилась работа О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна [78]. В ней авторы, по существу, использовали прототип такой последовательности для системы уравнений теории упругости. Переформулируем результаты этой работы для одного уравнения (0.0.1) с непрерывными в Q симметричными коэффициентами, удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности.

В работе [78] определяется неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел такая5 что

1 < - RnYx(Rn, Rn+I), N = 0, оо, где

Х(гьг2) = inf |л{Q} fi(r2)\%jc Q С «(r2) j , п < га, число © зависит лишь от п и констант равномерной эллиптичности.

О.А. Олей пик, Г.А. Иосифьян доказали следующую теорему единственности. Если обобщенное решение и(у) уравнения (0.0.1) с Ф(у) = 0 и однородным граничным условием и 0 (0.0.10) on подчиняется оценке l|Vw||n(i?Ar) < s(Rn) ехР N, NGN, (0.0.11) где c(Rn) —> 0 при N —У оо, то и = 0 в Г2.

Однако, в работе [78] не выделен класс областей, для которых существует последовательность и не установлена точность класса единственности (0.0.11).

1. Агранович М.С., Вишик М.И. Псевдодифференциальные операторы. - М.: Наука, 1968. - с.

2. Акулов В.Ф., Шишков А.Е. Аналоги класса Тэклинда единственности решений смешанных задач для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. - №5. - С. 23-25.

3. Акулов В.Ф., Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделефа для уравнений тина нестационарной фильтрации // Докл. АН УССР. Сер. А. 1990. - №2. - С. 3-6.

4. Акулов В.Ф., Шишков А.Е. Об асимптотических свойствах решений смешанных задач для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. 1991. - Т. 182. - №8. - С. 1200-1210.

5. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. 2004. - Т. 195. -№3. - С. 115-142.

6. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. - 512 с.

7. Гагнидзе А.Г. О классах единственности решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка в неограниченной области // УМН. 1984. - Т.39. - №6(240). - С. 193-194.

8. Гагнидзе А.Г. О единственности решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. М.: МГУ, 1988. Вып. 13. - С. 123-126.

9. Галактионов В.А., Дородницын В.А., Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский А.А. // Итоги науки и техники. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Нов. достиж. 1986. - Т. 28. - С. 95-205.

10. Глаголева Р.Я. Теоремы Фрагмена-Линделефа и лиувиллевы теоремы для линейного параболического уравнения // Мат. заметки. -1985. Т. 37. - №1. - С. 119-124.

11. Гущгм1 А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка j j Тр. МИАН. 1973. Т. 126. - С. 5-45.

12. Гущгт А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. - Т. 101(143). - №4(12). - С. 459-499.

13. Гут/ин А.К. О равномерной стабилизации решении второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. -- 1982. -Т. 119(161). -№4(12). С. 451-508.

14. Гугцин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения j j Дифференц. уравнения. 1971. - Т. 7. - №2. - С. 297-311.

15. Гущин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации задачи Коши для параболического уравнения с одной пространственной переменной // Тр. МИАН. 1971. - Т.112. - С. 181-202.

16. Гущин А.К., Михайлов В.П., Михайлов Ю.А. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1985. - Т. 128. - №2(10).- С. 147-168.

17. Денисов В.Н. К вопросу о необходимых условиях стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности во всем пространствеenи на любом его компакте // Докл. АН СССР. 1981.- Т. 260. т. С. 780-783.

18. Денисов В.Н. О необходимых условиях равномерной на всем пространстве стабилизации решения задачи Коши в классе начальных функций, имеющих степенной рост // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 262. т. - С. 785-786.

19. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24. - С. 288-299.

20. Денисов В.Н., Л(иков В. В. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений j j Матем. заметки. 1985. - Т. 37.- т. С. 834-850.

21. Дончев Т. О поведении решения эллиптического уравнения второго порядка // Докл. Болг. АН. 1968. - Т. 10. - №10. - С. 1001-1004.

22. Дубинский Ю.А. Задача Коши и псевдодифференциальные операторы в комплексной области // УМН. 1990. - Т. 45. - №2(272). -С. 115-142.

23. Евграфов М.А. О теоремах, аналогичных теореме Фрагмена-Линделефа // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 126. -- №3. - С. 478-481.

24. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений j j Матем. сб. 1977. - Т.104(146). - №4(12). - С. 597-616.

25. Жиков В.В. Критерий поточечной стабилизации для параболических уравнений с почти-периодическими коэффициентами // Матем. сб. 1979. - Т.109. - №2. - С. 304-318.

26. Золотарев Г.Н. О единственности решения задачи Коши для систем, параболческих в смысле И.Г. Петровского // Изв. Вузов. Матем. -1958. №2. - С. 118-135.

27. Ильин A.M. Об одном достаточном условии стабилизации решения параболического уравнения // Матем. заметки. 1985. - Т. 37. - №6. - С. 851-856.

28. Иосида К. Функц. анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

29. Калашников А. С. О задаче Коши в классах растущих функций для некоторых квазилинейных параболических уравнений // Дифферент уравнения. 1973. ~ Т. 9. - №4. - С. 682-691.

30. Калашников А. С. Об условиях единственности обобщенного решения задачи Коши для одного класса квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1973. -Т. 9. - №12. - С. 2207-2212.

31. Калашников А. С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка / / УМН. 1987. - Т. 42. - №2(254). - С. 135-176.

32. Камынин Л.И. О существованиии решений задачи Коши и линейных краевых задач для параболического уравнения второго порядка внеограниченной области. I // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. -mi. - С. 1937-1948.

33. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t —> оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб.- 2000. Т. 191. - №. - С. 91-131.

34. Кожевникова Л.М. О классах единственности решения первой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области // Изв. РАН. Сер. матем. 2001.- Т. 65. №3. - С. 51-66.

35. Кожевникова Л.М. О паре характеристик неограниченной области, необходимой для оценки скорости убывания решения первой смешанной задачи для параболического уравнения // Ученые записки: Сб. научн. тр. Уфа: БГПУ, 2002. - Вып. 4. - С. 117-124.

36. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Об убывании Z-2-нормы решения первой смешанной задали для нелинейной системы параболических уравнений в области с нерегулярной границей // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38. - Ж. - С. 1079-1084.

37. Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. - Т. 70. - №6. - С. 93-128.

38. Кожевникова Л.М. Единственность решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в неограниченных областях // Труды СФ АН РБ. Сер. физ.-мат. и тех. науки.- Уфа: Гилем, 2006. Вып. 3. - С. 101-115.

39. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Убывание решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка с младшими членами // Фундамент, и прикл. матем. — 2006. Т. 12.- №4. С. 113-132.

40. Кожевникова Л.М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для уравнения щ = Аи с квазиэллиптическим оператором А в неограниченных областях // Матем. сб. 2007. - Т. 198.- т. С. 59-102.

41. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных уравнений в неограниченной плоской области // Ученые записки: Сб. научн. тр. Уфа: БГПУ, 2007. - Вып. 8. -С. 10-14.

42. Кожевникова Л.М. О единственности решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Ученые записки: Сб. научн. тр. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2008. -Вып. 8. - С. 5-10.

43. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. 2008. - Т. 199. - №8. - С. 61-94.

44. Кожевникова Л.М. Классы единственности решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Труды Междун. научн. конф. (Стерлитамак, 24-28 пюп. 2008 г.) Уфа: Гилем, 2008. - Т. 1. - С. 131-135.

45. Кожевникова Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для нсевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами // Уфимский матем. журн. Уфа: БашГУ, 2009. №1. - С. 38-68.

46. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Теоремы единственности решений внешних краевых задач и аналог принципа Сен-Венана / / УМН. -1984. Т. 39. - №4(238). - С. 165-166.

47. Кондратьев В.А., Копачек ИЛенвеншвим Д.М., Олейник О.А. Неулучнтаемые оценки в пространствах Гельдера и точный принцип Сен-Венана для решения бигармонического уравнения // Тр. МИ-АН. 1984. - Т. 166. - С. 91-106.

48. Кондратьев В.А., Олейник О.А. О единственности решении краевых задач в неограниченных областях и об изолированных особых точках решений системы теории упругости и эллиптических уравнений второго порядка // УМН. 1987. - Т. 42. - №4(256). - С. 189-190.

49. Кульеарина Н.А., Гилимшина В.Ф. Точная оценка скорости убывания решения параболического уравнения второго порядка при tоо // Изв. вузов. Матем. 2007. - №4. - С. 35-44.

50. Ладыэюенская OA., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.

51. Ладыженская, О А. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения // Матем. сб. 1950. - Т. 27(69). - т. - С. 175-184.

52. Ландис Е.М. О принципе Фрагмена-Линделефа для решений эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1956. - Т. 107. - №4. - С. 508-511.

53. Ландис Е.М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Докл. АН СССР. 1974.- Т. 31. С. 35-58.

54. Ландис Е.М. О зависимости классов единственности решения второй начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в неограниченной области от геометрии области // Докл. АН СССР. 1984.- Т. 275. С. 790-793.

55. Ландис Е.М., Панасенко Г. П. Об одном варианте теоремы Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной // Труды семинара им. И.Г. Петровского. М.: МГУ, 1979. Вып. 5. - С. 105-136.

56. Лео/снев А. В. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений втрой смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1986. - Т. 129(171). - №2. - С. 186-200.

57. Мазъя В. Г. О регулярности на границе решений эллиптических уравнений и конформных отображений // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 152. - №6. - С. 1297-1300.

58. Максимова М.И. Существование слабого решения параболической начально-краевой задачи в неограниченной области в классе быстро растущих функций // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1983. - Т. 127. - С. 152-157.

59. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957. - 256 с.

60. Михайлов В. П. О первой краевой задаче для одного класса гипоэл-липтических уравнений // Матем. сб. 1964. - Т. 63(105). - №2. -С. 238-264.

61. Михайлов В. П. Первая краевая задача для некоторых полуограниченных гипоэллиптических уравнений // Матем. сб. 1964. - Т. 64(106). - №1. - С. 10-51.

62. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. - 424 с.

63. Мукминов Ф.Х. О стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка: Дис. канд. физ,-мат. наук. М., 1980. - 72с.

64. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - №10. - С. 1172-1180.

65. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. -1980. Т. 111(153). - №4. - С. 503-521.

66. Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1990.- Т. 181. Ml. - С. 1486-1509.

67. Наумкин П.И., Шишмарев И.А. Асимптотика при t —V оо решения нелинейного уравнения со слабой диссипацией и дисперсией // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. - Т. 57. - №6. - С. 52- 63.

68. Олейник О.А. О единственности решения задачи Коши для общих параболических систем в классах быстрорастущих функций // УМН. 1974. - Т. 29. - №5(179). - С. 229-230.

69. Олейник О.А. О единственности решения краевых задач и задачи Коши для общих параболических систем // Докл. АН СССР. 1975.- Т. 220. №6. - С. 1274-1277.

70. Олейник О.А. О поведении решений линейных параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях // УМН. 1975. - Т.ЗО. - №2(182). - С. 219-220.

71. Олейник О.А. О примерах неединственности решения краевой задачи для параболического уравнения в неограниченной области // УМН. 1983. - Т.38. - №1(229). - С. 183-184.

72. Олейник О.А., Иосифълн Г.А. Аналог принципа Сен-Венана для эллиптического уравнения второго порядка и единственность решений краевых задач в неограниченных областях // УМН. 1976. - Т.31.- №4(190). С. 261-262.

73. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. О единственности решения смешанной задачи для уравнений теории упругости в неограниченной области // УМН. 1976. - Т. 31. - №5(191). - С. 247-248.

74. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений // УМН. 1976. - Т. 31(192). - №6. - С. 142-166.

75. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Энергетические оценки обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка и их приложения // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 232. - №6. - С. 1257-1260.

76. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Об устранимых особенностях на границе и единственности решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка // Функц. анализ и его прил. 1977. - Т. 11. - №3. - С. 54-67.

77. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. О принципе Сен-Венана в плоской теории упругости // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 239. - №3. - С. 530-533.

78. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Принцип Сен-Венана в плоской теории упругости и краевые задачи для бигармонического уравнения в неоганиченной области // Сиб. матем. журн. 1978. - Т. 19. - №5. -С. 1154-1165.

79. Олейник О.А. Иосифъян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптического уравнения второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. 1980. - Т. 112(154). - №4(8). - С. 588-610.

80. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Об условиях затухания и предельном поведении на бесконечности решений системы уравнений теории упругости // Докл. АН СССР. 1981. Т. 258. - №3. - С. 550-553.

81. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. О существовании и асимптотическом поведении решений системы теории упругости в бесконечной области // УМН. 1982. - Т. 37. - №4(226). - С. 157-158.

82. Олейник О.А., Максимова И.О. О поведении решений неоднородных эллиптических систем в неограниченных областях // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. Вып. 3. - С. 117137.

83. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Аналитичность и теоремы типа Лиу-вилля и Фрагмепа-Линделеффа для общих параболических систем дифференциальных уравнений // Функц. анализ и его ирил. 1974.- Т. 8. №4. - С. 59-70.

84. Олейник О.А. Радкевич Е.В. О поведении решений общих параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях // Докл. АН СССР. 1975. - Т. 220. - №5. - С. 1027-1030.

85. Олейник О. А., Радкевич Е.В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений // УМН. 1978. - Т.ЗЗ. - №5(203).- С. 7-76.

86. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // -М.: Наука, 1970. 332 с.

87. Порпер Ф.О. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 153. - С. 273-275.

88. Порпер Ф.О., Эйдельман С. Д. Теоремы о близости решений параболических уравнений и стабилизация решений задачи Коши // Докл. АН СССР. 1975. - Т. 221. С. 32-35.

89. Репииков В Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157.- С. 532-535.

90. Репников В Д., Эйдельман С. Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши // Докл. АН СССР. 1966.- Т. 167. №2. - С. 298-301.

91. Сабитов К.Б. Экстремальные свойства решений одного класса параболических систем и их применения // Дифферента,, уравнения. -1990. Т. 26. - №2. - С. 287-297.

92. Слепцова И.П., Шишков А.Е., О существовании растущих на бесконечности обобщенных решений краевых задач для линейных параболических уравнений высокого порядка // Изв. вузов. Матем. -1988. т. - С. 61-69.

93. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Классы единственности и разрешимости смешанных задач для некоторых эволюционных уравнений в неограниченных областях // Сиб. матем. журн. 1991. - Т.32. - №5. С. 166-178.

94. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделёра для некоторых квазилинейных эволюционных уравнений второго порядка // Укр. матем. журн. 2005. - Т. 57. - №2. - С. 239-249.

95. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. МИАН. -1965. Т. 83.

96. Тавхелидзе И.Н. О решениях полигармонических уравнений с граничными условиями Дирихле // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 274.- №2. С. 292-296.

97. Тавхелидзе И.Н. Аналог принципа Сен-Венана для полигармонического уравнения и его приложения // Матем. сб. 1982. - Т. 118(160).- №2(6). С. 236-251.

98. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка / / Дифференц. уравения. 1989. - Т. 25. - №3. - С. 491-498.

99. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при t —> оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27. - №10. - С. 1795-1806.

100. Тедеев А. Ф. Шишков А.Е. О качественных свойствах решений и -субрешений квазилинейных эллиптических уравнений // Изв. вузов. Матем. 1984. - №1. - С. 62-68.

101. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. Поведение решений и субрешений квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях и окрестности граничной точки j j Изв. вузов. Матем. 1985. - №9.- С. 77-79.

102. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Матем. сб. 1935. - Т. 42(84). - №2. - С. 199-216.

103. Ушаков В. II. О поведении решений третьей смешеанной задачи для параболических уравнений второго порядка, при t —> оо // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - №2. - С. 310-320.

104. Ушаков В.И. Стабилизация (решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. сб. 1980. - Т. 111(153). №1. - С. 95-115.

105. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

106. Черемных Ю.Н. О поведении решений краевых задач для пара бо-лических уравнений второго порядка при неограниченном возрастании t // Матем. сб. 1968. - Т.75(117). - №2. - С. 241-254.

107. Шишков А.Е. О существовании растущих на бесконечности обобщенных решений краевых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений // Укр. матем. журн. 1985. - Т. 37. - №4.С. 473-481.

108. Шишков А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Сиб. матем. журн. 1987. - Т. 28. -№6. - С. 134-146

109. Шишков А.Е. Квазилинейные дивергентные эллиптические уравнения в неограниченных областях // Дифференц. уравнения. 1988.- Т. 24. №8. - С. 1410-1423.

110. Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделера для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка // УМН.- 1988. Т.43. - №4(262). - С.231-232.

111. Шишков А.Е. Классы единственности обобщенных решений краевых задач для параболических уравнений в неограниченных цилиндрических областях // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26. - №9. - С. 1627-1633.

112. Шишков А.Е. Разрешимость граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях в классах функций, растущих на бесконечности // Укр. матем. журн. 1995. - Т. 47. - №2. - С. 277-289.

113. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

114. Эйдельман С.Д. Оценки решений параболических систем и некоторые их применения // Матем. сб. 1953. - Т. 33(75). - С. 359-382.

115. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

116. Galaktionov V.A., Varquez J.L. Asymptotic behavior of nonlinear parabolic equations with critical exponents 11 J. Fund. Anal. 1991. -V. 100. - m. - P. 435-462.

117. Gmira A., Veron L. Large time behaviour of the solutions of a semilinear parabolic equation in RN // J. Diff. Eq. 1984. - V. 53. - №2. - P. 258-276.

118. Holmgren E. Sur les solutions quasianalytiques d'l'equations de lachaleur // Arkiv for mat., astr., och fys. 1924. - V. 18. - №9. - P. 64-95.

119. Kamin S. On stabilisation of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A. 1976. -V. 7. - №1. - P. 43-53.

120. Knowles J.K. On Saint-Venant's principle in the two-dimensional linear theory of elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1966. - V.21. - P.l-22.

121. Lax P.D. A Phragmen-Lindelaf teoremin harmonic analysis and its application in the theory of elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1957. - V. 10. - №3. - P. 361-389.

122. Moser J.A. Harnack inequality for parabolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V. 17. - №1. - P. 101-134.

123. Moser J.A. On Harnack's theorem for elliptic differential equations j j Comm. Pure and Appl. Math. 1961. - V. 14. - P. 577-591.

124. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. - V. 80. - P. 931-953.

125. Phragmen E., Lindelof E. Sur une extension d'un princip classique de Г analyse // Acta math. 1908. - V. 31. - P. 381-406.

126. T&cklind S. Sur les class quasianalytiques des solutions des equations aux derivees partielles du type parabolique // Nova Acta Reg. Soc. Schi. Uppsaliensis. Ser. 4. 1936. - V. 10. - №3. - P. 3-55.

127. Toupin R.A. Saint-Venant's principle // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. - V.18. - P. 83-96.