Алгебра псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с гладкими ребрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Сарафанов Олег Васильевич

АЛГЕБРА

ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА МНОГООБРАЗИИ С ГЛАДКИМИ РЕБРАМИ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор Пламеневский Борис Алексеевич.

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н., профессор Осмоловский Виктор Георгиевич,

к. ф.-м. н., доцент

Тащиян Григорий Михайлович.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

р /Г с> ¿Г

часов в ауд.

Защита состоится ЛУ?.УЯЪ.Ул.^.г. 2004 года в часов в ауд.У^на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

.

Автореферат разослан 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета: д. ф.-м. н., профессор Щекин А. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Краевые задачи для псевдодифференциальных уравнений на гладких многообразиях с краем рассматривались М.И. Ви-шиком, Г.И. Эскиным, Л. Буте де Монвелем и др. в связи с различными вопросами теории дифференциальных краевых задач, в основном, для вычисления индекса эллиптических операторов. Впоследствии теория псевдодифференциальных краевых задач нашла приложения в спектральной теории, в теории сингулярных возмущений, к эволюционным задачам, к задачам управления. Различные варианты теоремы об индексе применяются в топологии, дифференциальной геометрии, функциональном анализе, теоретической физике. Например, в квантовой механике требование целочисленности индекса некоторых эллиптических операторов доставляет необходимое условие осуществимости деформационного квантования; с помощью теоремы об индексе изучаются свойства множества решений нелинейных уравнений квантовой теории поля; некоторые геометрические следствия теории индекса оказались полезными при исследовании гравитационных аномалий и т. д. В течение последних двух десятилетий усилия многих специалистов были направлены на то, чтобы обобщить достижения теории краевых задач на ситуацию, когда многообразие и (или) символы операторов имеют особенности.

Важным вопросом теории краевых задач является построение исчисления псевдодифференциальных краевых задач на многообразиях с негладкой границей. При этом непригодны способы определения краевых задач, используемые в гладкой ситуации. Разными авторами предлагались различные варианты построения теории псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с особенностями на границе (Дер-виз, Мелроуз и др.). Однако соответствующие классы операторов оказывались либо специфическими, либо не инвариантными относительно естественных диффеоморфизмов многообразия. В настоящее время в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО) наблюдается существенный прогресс: определены классы ПДО на особых многообразие

ях, включающие естественные операторы и инвариантные относительно достаточно широкой группы диффеоморфизмов (Пламеневский, Сенич-кин). Возникает вопрос о построении исчисления краевых задач для таких операторов.

В последние годы классические алгебры операторов (Теплица, Винера-Хопфа, ПДО и некоторые другие) рассматривались с точки зрения теории С*-алгебр. Такой подход позволяет выяснить структуру алгебры, получить критерий фредгольмовости ее элементов. Кроме того, для вычисления индекса фредгольмова элемента "существенно некоммутативной" алгебры (такой, например, как алгебры ПДО на негладком многообразии) используются результаты и методы операторной К-теории и некоммутативной теории гомологии, которые формулируются на языке С*-алгебр. Таким образом, изучение алгебры псевдодифференциальных краевых задач с точки зрения С*-теории является актуальной задачей.

Теория дифференциальных краевых задач на многообразиях с кусочно гладкой границей развивалась в 1970-80-х годах в работах ВА. Кондратьева, В.Г. Мазьи, Б.А. Пламеневского и др. Оказывается, что решения таких задач теряют гладкость в особых точках границы. Поэтому одним из центральных является вопрос о поведении решений вблизи особенностей. Асимптотика решения представляется линейной комбинацией специальных решений однородной модельной задачи. Формулы для коэффициентов таких комбинаций и методика их вычисления нашли многочисленные приложения в задачах математической физики. При этом сами коэффициенты часто приобретают физический смысл: матрица рассеяния — в теории дифракции, коэффициенты интенсивности напряжений — в теории трещин, емкость и тензор поляризации — в электростатике и т. д. Подчеркнем, что вид асимптотики определяется свойствами оператора задачи вблизи особой точки, а упомянутые коэффициенты зависят от данных задачи в целом. Аналогичные вопросы об асимптотике возникают и для решений псевдодифференциальных урав-

нений и краевых задач. В ряде работ изучалась асимптотика гармонических потенциалов на многообразиях с коническими точками, выводились и формулы для коэффициентов (Левин, Мазья). Для этого использовалась связь рассматриваемых уравнений с соответствующими краевыми задачами Дирихле и Неймана для оператора Лапласа. Однако этот способ непригоден в общем случае, и нужен новый метод исследования асимптотики и вычисления коэффициентов для решений общих псевдодифференциальных уравнений и краевых задач. Цель работы. Целью диссертации является:

1) построение исчисления операторов псевдодифференциальных граничных задач на многообразии с краем, содержащим гладкие замкнутые непересекающиеся ребра;

2) исследование С*-алгебры, порожденной операторами краевых задач "нулевого порядка"в пространстве квадратично суммируемых функций;

3) описание асимптотики решений эллиптических задач вблизи конических точек и вычисление коэффициентов.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Выше были названы некоторые области математики, механики сплошной среды и теоретической физики, в которых нашла приложения теория псевдодифференциальных краевых задач на гладких многообразиях. Появление особенностей на многообразиях приводит к разнообразным новым эффектам во всех указанных областях. Результаты диссертации создают аналитический аппарат для применения псевдодифференциальных краевых задач на многообразиях с ребрами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре факультета математических и информационных технологий Университета г. Ювяскюля, Финляндия (Jyvaskyla University, Faculty of Mathematical Information Technology, Finland), 2000 г; на семинарах ка-

федры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ (2001-2003 гг.); на семинаре по математической физике в Математическом Институте Университета Людвига-Максимилиана в Мюнхене, Германия (Mathematisches Institut, Ludvig-Maksimilian Univer-sitat, Munchen, Deutschland), 2004 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях автора, список приведен в конце автореферата. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации — 169 страниц. Список литературы содержит 29 наименований.

Введение. Постановка задач, рассматриваемых в работе, краткий литературно-исторический обзор, формулировка основных результатов.

Глава 1. Краевые задачи в полупространстве с "ребром". Моделями многообразия с гладкими ребрами вблизи особых точек являются подмножества полупространства

ще роль ребра играет плоскость х1 = 0. В этой главе вводятся и изучаются краевые задачи на Определение операторов на многообразии дается позже, во второй главе, после того как установлена инвариантность краевых задач относительно замен переменных.

Расстояние от точки х € Л^ до ребра обозначим через <1(х); <1(х) = |х'| = (г® + • • • + х2)1'2. Ниже границу множества =

{х £ '• 1 — (х\0)}, отождествляем с Н^1» вместо (х',0) пишем х';

Оператором краевой задачи на мы называем оператор вида

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

г+А + В Т

где г+А — ПДО на заданный на функциях и €

К — потенциальный оператор, он имеет вид К : V ►-+ г+Л(«®<5„) для некоторого ПДО г*А и переводит функции, заданные на границе в функции на

Т — оператор следа, он переводит функции, заданные на в функции на границе, и имеет вид ¿(х')г' о (г+Л), где (г'и)(х/) = иш1._м.0ы(х'>1п);

В — оператор Грина, класс операторов Грина содержит в себе композиции вида

Q — ПДО, действующий вдоль границы.

Каждый из названных операторов определяется с помощью "амплитуды". Обратимся сначала к оператору г+А. Его амплитуда а есть гладкая функция на х х Ш™, такая, что а{х,у,£) — а(х,у,<1(х)£),

причем

для всех мультииндексов а, /?, 7. Число р называется порядком амплитуды а. Оператор г+А (порядка ц) задается формулой

(т+Аи)(х) = (2п)-тг+11

где ]+ — оператор продолжения нулем по переменной уп с Н+ на К; г"1" — оператор ограничения по хп с R на П+.

Опишем еще, например, определение следового оператора Т. Его амплитуда задана на множестве х х Щт-1 х К и допускает представление в виде где раскладывается в ряд

гр.ъМО*.) = -

Функции т, и подчиняются неравенствам, аналогичным оценкам (1), с одним и тем же числом Кроме того, последовательность (<*) в некотором смысле быстро убывает. Число (¡1 называется порядком, а число (¡1 —

типом амплитуды t. Оператор Г (порядка ц\ и типа ¿1) задан формулой где П' = г* о Г~г.

Оператор г*А называется собственным, если его амплитуда удовлетворяет следующим условиям:

1) обе проекции 7Г1,7Г2 : вирр^а —► суть собственные отображения; зирр11(а есть замыкание в х множества {(х, у) 6 х :

при некотором

2) отношение d(x)/d(y) ограничено и отделено от нуля на множестве зиррх,„а.

Понятие собственных операторов вводится и для отображений К, Т, В и <2.

Основной результат этой главы состоит в том, что каждый собственный оператор может быть записан с помощью символа (амплитуды, "не зависящей от у"). Доказываются формулы, выражающие символы через соответствующие амплитуды в виде асимптотических рядов по символам убывающих порядков. ЭТОТ результат постоянно используется во второй главе при построении исчисления операторов краевых задач.

В дальнейшем символ <Уд оператора г+А дополнительно подчиняется условию трансмиссии. Именно, функции

(аЛ)м(*', £',£„) := ФТ^л (х',хп,фГЧ', (ГМ*)"^) к=о

при любом 7 € Ъ+ допускают разложение где и удовлетворяют неравенствам

для всех а и (}; /1 — порядок оператора г+А; последовательность (в*) "быстро убывает".

Глава 2. Исчисление псевдодифференциальных краевых задач. Проверяется, что собственные операторы краевых задам образуют алгебру с инволюцией и инвариантны относительно естественных замен переменных. Доказывается теорема об ограниченности собственных операторов краевых задач "нулевого порядка"в пространствах функций, квадратично суммируемых с весом.

Формально сопряженным оператором А' к собственному оператору краевой задачи А называется оператор, сопряженный к А относительно двойственности

= ¡^ <1(х)*1и1(х)1ф)<Ь +

где 7 е К, V, = € С7Г(Н^+) © С?^1), <-1,2.

Теорема 1. (г) Если оператор краевой задачи А —собственный, то формально сопряженный оператор .А* такжеявляетсяоператором краевой задачи; кроме того, оператор А' — собственный.

(И) Если Ах, Аг —собственныеоператорыкраевыхзадач,тогдаком-позиция А\°Аз естьсобственныйоператоркраевойзадачи.

Пусть П,Г)1 С — открытые множества. Отображение / : П П1 называется допустимым диффеоморфизмом, если 1) существуют такие постоянные С, с > 0, что

С |* - у| < 1/М - /Ы1 ^ С\х-у\, х,уе П, сф) < «¿(/(х)) £ Сс1(х), х € П;

2) элементы /у := дfi/дxj матрицы Якоби при всех а 6 Ж™ подчиняются оценкам

3) равенство /п(ж) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда хп = 0.

Пусть — взаимно обратные допустимые

диффеоморфизмы, Г = {х € П : х = (х1,0)}, Г1 = {1 £ : а: = (ж*, 0)) и

/г : Г Гь рг : Г\ Г — сужения диффеоморфизмов / и д. Положим Т = <Иаг {/, /г}, 5 = сПав {д,я-}.

Теорема 2. Пусть А — собственный оператор краевой задачи. Тогда операторАх, заданный на функциях У £ С^ (П1) ® С™(Г1) равенством А\11 = [А{и о У^оС}, является оператором краевой задачи. Кроме того, операторА\ —собственный

Пусть М — многообразие с ребрами на границе, а Г — его край. Введем пространство с нормой

||(«, V), Ц(М) © ¿}(Г)|| = ||«(-)<Г(-); МЛ4)|| + В»(.)«Г(.); Ь»(Г)Ц.

Теорема 3. Пусть (1„ — порядок ПДО г+А, ръ — порядок оператора Грина Вит. д., причем < 0, ^ —1/2 и Иь ^ —1- Тогда

операторА продолжается до непрерывного оператора в ЩМ) О ЩГ) при любом 7 £ К.

Ограниченность несобственных операторов в работе не обсуждается, но можно показать, что она имеет место, когда весовой показатель меняется в некотором интервале. Этот интервал существенно зависит от порядка операторов, входящих в краевую задачу, в то время как собственная краевая задача непрерывна при всех значениях весовых показателей.

Глава 3. Представления С*-алгебры псевдодифференциальных краевых задач. Вводится С'-алгебра А, порожденная собственными операторами краевых задач порядка 0 в пространстве отыскиваются все, с точностью до эквивалентности, ее неприводимые представления; указываются реализации этих представлений.

Для того, чтобы дать точную формулировку основной теоремы, введем некоторые обозначения.

Пусть А — собственный оператор краевой задачи и г+Л — ПДО, входящий в эту задачу. Главный символ оператора называется

главным внутренним символом краевой задачи А. Символ о° корректно определен на расслоении S*(SDt) единичных кокасательных векторов, где множество 3JI получается "подклеиванием"к Int MU Int Г трубчатых окрестностей 3; х 5"»"' ребер Sj (m = dim М, т - п} = dim

Кроме того, вводится главный граничный символ о0 краевой задачи. Он задан на расслоении 5'(i0ir), где Шг — множество, полученное из '1пйдклеиванием"окрестностей Sj х Sn,~2. Значениями граничного

символа являются операторы такого же типа, как и в случае многообразия с гладким краем.

Пусть i — ребро "коразмерности"п. Каждому оператору А краевой задачи сопоставим семейство граничных задач на п-

мерном коническом многообразии с краем. Это семейство получается после замораживания коэффициентов задачи А на ребре и применения к "замороженному"оператору преобразования Фурье вдоль ребра. При справедливо разложение

Л(0) = М;'2(А)МЛ.

Здесь МЛ = diag{M,^x+ifl/2,Jm»_fA+j(n_1)/j}, М — преобразование Мел-лина функций и € Cf(Rn\{0}),

Mr^xxi[rip) = (Aitt)(A, ф) = r-iX-lu{r<p)dT, A e С,

г = |i| и <p = i/|i| для x 6 Rn\{0}, M' — преобразование Меллина функций, заданных на Введем отображение

тг(г): А ►-+ о°(г), т 6 5*(ЗЛ); (2)

тг(0 о°(0. (3)

ж(г,в): А A{z,e), (г,в) е U¡S'fs,), (4)

где — множество ребер многообразия М, штрих у знака U означает, что объединение ведется только по ребрам положительной размерности;

наконец,

тг(г,Л) : Лк+а(г,А), (г, А) е х И. (5)

Следующая теорема — центральный результат этой главы. Теорема 4. (Отображения (2-5) продолжаются до неприводимых и попарно неэквивалентных представлений алгебры А,

(п) Каждое неприводимое представление алгебры А эквивалентно либо одному из представлений (2-5), либо тождественному представлению.

(т) А — алгебра типа I.

(ю) Оператор краевой задачи А нулевого порядка в пространстве ¿г(Л^) © ¿а(Г) тогда и только тогда фредгольмов, когда для каждого из представлений (2-5) оператор пА обратим

Глава 4. Асимптотика решений эллиптических псевдодифференциальных уравнений и краевых задач на многообразии с коническими точками. На многообразиях с коническими точками рассматриваются эллиптические псевдодифференциальные уравнения и краевые задачи. Описана асимптотика решений вблизи особенностей многообразия и выведены формулы для коэффициентов.

Пусть А — эллиптический псевдодифференциальный оператор на конусе К. Рассмотрим неоднородное уравнение Ач = /.

Теорема 5. (\). Решение и допускает асимптотическое разложение в виде

и{р,в) =

где — полярные координаты на сумма содержит конечное чис-

ло членов, функции и*,* являются решениями однородного уравнения, и при р—+0 остаток Я стремится к нулю быстрее любой функции (п) Функционалы с^а допускают представления

СЬ,А(Я =

где — решения "сопряженного"однородного уравнения, согласованные с функциями

Оператор на конусе играет роль модельного при описании асимптотики решений эллиптического уравнения на многообразии.

Пусть М — многообразие с конической точкой О.' Введем в окрестности точки О полярные координаты (р,б). Рассмотрим неоднородное уравнение Ли = /, где Л — эллиптический псевдодифференциальный оператор на многообразии М.

Теорема 6. ((). Всякоерешение и допускает асимптотическое разложение в виде

«(М) = |>(/Шр,«)+

где функции !/* совпадают вблизи точки О с решениями модельного однородного уравнения в бесконечном конусе К, и при р-¥ 0 остатокR стремится к нулю быстрее любой функции и

(И) Пустьразмерность пространства решений однородногоуравне-ния Ли = 0 на многообразии М равна d. Тогда "сопряженное''однородное уравнение имеет х — <1 линейнонезависимыхрешений.

- ба«исНпровтранств2решений однородного уравнения Ли =0 на многообразии М, удовлетворяющийравенствам

г3{Р,в) = ц(р,в) + £ с^ик(р,в) + я(Л0), (6)

и ,..., <р*} — базис в пространстве решений сопряженного уравнения, согласованный с базисом . Тогда для произвольных постоянньх существует решение и уравнения Ли = /, такое, что

«(/>.^=¿>,1/^,0)+ £ Ькик{р,в) + К{р,в).

Константы Ьц при <1 +1 ^ к ^ х определяются формулами'

Ьк = (/. т)м + £ СлС**'

где с/,] — коэффициенты из (6).

После очевидных изменений в доказательствах эти результаты легко могут быть перенесены на случай псевдодифференциальных краевых задач.

На защиту выносятся:

1) Исчисление псевдодифференциальных граничных задач на многообразии с краем, содержащим гладкие замкнутые непересекающиеся ребра.

2) Описание всех, с точностью до эквивалентности, неприводимых представлений -алгебры, порожденной операторами краевых задач нулевого порядка в пространстве квадратично суммируемых функций.

3) Асимптотические разложения решений эллиптических псевдодифференциальных уравнений и краевых задач вблизи изолированных особенностей многообразия, явные формулы для коэффициентов таких разложений.

Вынесенные на защиту результаты опубликованы в следующих работах:

[1{ Пламеневский Б.А., Сарафанов О.В., Об асимптотике решений псевдодифференциалъных уравнений в окрестности конических точек, Вестник С.-Петербургского университета, серия 1, 1 (2000), вып. 1,5867.

|2] Лаутер Р., Пламеневский Б.А., Сарафанов О.В., Коэффициенты асимптотических разложений решений псевдодифференциальных уравнений на многообразиях с коническими точками, Труды С.-Петербургского математ. общества, 8 (2000), 152 - 185.

|3] Сарафанов О.В., Исчисление псевдодифференциальных краевых задач на многообразиях с гладкими ребрами, Труды С.-Петербургского математ. общества 10 (2004), 191 - 244.

[4| Сарафанов О.В , Спектр С*-алгебры псевдодифференциалъных краевых задач на многообразии с гладкими ребрами, Проблемы математического анализа, 27 (2004), 213 - 276.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 30.04.04 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 127/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

* - 9 S г :

Глава 1. Краевые задачи в полупространстве с "ребром" 14 1.1пдов1::;^

1.2 Свойство трансмиссии

1.3 ПДО со свойством трансмиссии

1.4 Классы амплитуд

1.5 Определение краевой задачи

1.6 Классы символов

1.7 Символы собственных операторов

1.8 Операторы порядка —оо

1.9 Связь между операторами

Глава 2. Исчисление псевдодифференциальных краевых задач

2.1 Формально сопряженная задача —

2.2 Дуальные символы

2.3 Композиция краевых задач

2.4 Допустимые диффеоморфизмы

2.5 Инвариантность свойства трансмиссии

2.6 Замена переменных в краевой задаче

2.7 Операторы на многообразии

2.8 Ограниченность операторов краевых задач

Глава 3. Представления (7*-алгебры краевых задач

3.1 Краевые задачи на s многообразиях —

3.2 Принцип локализации

3.3 С*-алгебра краевых задач

3.4 Локальные алгебры

3.5 Локализация в алгебре С{9)

3.6 Специальное представление операторов из алгебры £(0)

3.7 Локализация в алгебре

3.8 Представления алгебры Л

Глава 4. Асимптотика решений псевдодифференциальных уравнений и краевых задач на многообразии с коническими точками

4.1 Мероморфные операторные функции и жордановы цепочки

4.2 Пространства и операторы в бесконечном конусе

4.3 Мероморфные псевдодифференциальные операторы

4.4 Степенные решения

4.5 Формулы для коэффициентов ci ''''

4.6 Доказательство теоремы

4.7 Псевдодифференциальные операторы на многообразии с коническими точками

4.8 Асимптотика решений

4.9 Свойства ядра и коядра оператора Л

4.10 Замечания об относительном индексе

4.11 Формулы для коэффициентов

4.12 Асимптотика решений краевой задачи

Краевые задачи для псевдодифференциальных уравнений на гладких многообразиях с краем рассматривались М.И. Вишиком, Г.И. Эскиным, Л. Буте де Монвелем и др. ([1], [2], см. также [3] — [5] ) в связи с различными вопросами теории дифференциальных краевых задач, в основном, для вычисления индекса эллиптических операторов. Впоследствии теория псевдодифференциальных краевых задач нашла приложения в спектральной теории, в теории сингулярных возмущений, к эволюционным задачам, к задачам управления. Различные варианты теоремы об индексе применяются в топологии, дифференциальной геометрии, функциональном анализе, теоретической физике.Например, в квантовой механике требование целочисленности индекса некоторых эллиптических операторов доставляет необходимое условие осуществимости деформационного квантования; с помощью теоремы об индексе изучаются свойства множества решений уравнений квантовой теории поля; некоторые геометрические следствия теории индекса оказались полезными при исследовании гравитационных аномалий и т. д. В течение последних двух десятилетий усилия многих специалистов были направлены на то, чтобы обобщить достижения теории краевых задач на ситуацию, когда многообразие и (или) символы операторов имеют особенности.Важным вопросом теории краевых задач является построение исчисления псевдодифференциальных краевых задач на многообразиях с негладкой границей. При этом непригодны способы определения краевых задач, используемые в гладкой ситуации. Разными авторами предлагались различные варианты построения теории псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с особенностями на границе (упомянем здесь работы [6], [7], где рассматривались краевые задачи на многообразии с коническими точками для псевдодифференциальных операторов из [8]). Однако соответствующие классы операторов оказывались либо специфическими, либо не инвариантными относительно естественных диффеоморфизмов многообразия. В настоящее время в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО) наблюдается существенный прогресс: определены классы ПДО на особых многообразиях, включающие естественные операторы и инвариантные относительно достаточно широкой группы диффеоморфизмов ([9] — [12]). Возникает вопрос о построении исчисления краевых задач для таких операторов. Он был решен в [13].В последние годы классические алгебры операторов рассматривались с точки зрения теории С*-алгебр. Отметим здесь работы [14] (ПДО с разрывными символами на гладких многообразиях), [10] (ПДО на многообразиях с ребрами), [12] (ПДО на стратифицированных многообразиях), а также обзор [15], где, кроме алгебр ПДО, рассмотрены алгебры операторов Теплица и Винера-Хопфа. Такой подход позволяет выяснить структуру алгебры, получить критерий фредгольмовости ее элементов. Кроме того, для вычисления индекса фредгольмова элемента "существенно некоммутативной"алгебры (такой, например, как алгебры ПДО на негладком многообразии) используются результаты и методы операторной К-теории и некоммутативной теории гомологии, которые формулируются на языке С*-алгебр. Таким образом, изучение алгебры псевдодифференциальных краевых задач с точки зрения С*-теории является актуальной задачей. Представления С*-алгебры псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с ребрами найдены в [16].Теория дифференциальных краевых задач на многообразиях с кусочно гладкой границей развивалась в 1970-80-х годах в работах В.А. Кондратьева, В.Г. Мазьи, Б.А. Пламеневского и др. (см. [17], [18], а также [19]). Оказывается, что решения таких задач теряют гладкость в особых точках границы. Поэтому одним из центральных является вопрос о поведении решений вблизи особенностей. Асимптотика решения представляется линейной комбинацией специальных решений однородной модельной задачи. Формулы для коэффициентов таких комбинаций и методика их вычисления нашли многочисленные приложения в задачах математической физики. При этом сами коэффициенты часто приобретают физический смысл: матрица рассеяния — в теории дифракции, коэффициенты интенсивности напряжений — в теории трещин; емкость и тензор поляризации — в электростатике и т. д. Подчеркнем, что вид асимптотики определяется свойствами оператора задачи вблизи особой точки, а упомянутые коэффициенты зависят от данных задачи в целом. Аналогичные вопросы об асимптотике возникают и для решений псевдодифференциальных уравнений и краевых задач. В ряде работ изучалась асимптотика гармонических потенциалов на многообразиях с коническими точками, выводились и формулы для коэффициентов [20]. Для этого использовалась связь рассматриваемых уравнений с соответствующими краевыми задачами Дирихле и Неймана для оператора Лапласа. Однако этот способ непригоден в общем случае, и в работах [21], [22] был предложен новый метод исследования асимптотики и вычисления коэффициентов для решений общих псевдодифференциальных уравнений. Он применим и для изучения асимптотики решений псевдодифференциальных краевых задач.Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе дано определение оператора краевой задачи. При этом исходным является определение ПДО, предложенное Сеничкиным в статье [9]. Вводится понятие собственной краевой задачи и каждому оператору, входящему в такую задачу, сопоставляется скалярный символ. Во второй главе проверяется, что класс собственных краевых задач инвариантен относительно композиции, сопряжения и замен переменных. Попутно строится исчисление скалярных символов, с помощью которого устанавливается ограниченность операторов краевых задач в пространствах функций, квадратично суммируемых с весом. Третья глава посвящена изучению С*-алгебры, порожденной собственными операторами краевых задач "нулевого порядка". Приведен полный список классов эквивалентности ее неприводимых представлений. В четвертой главе даны асимптотические представления для решений эллиптических уравнений и краевых задач вблизи изолированных особенностей многообразия и выведены точные формулы для коэффициентов.Перейдем к формулировке основных результатов диссертации.Формулировка результатов.

1. Вишик М. И., Эскин Г. И., Нормально разрешимые задачи для эллиптических систем уравнений в свертках. — Мат. Сборник, 74(116), 1967, сс. 326-356.2. Boutet de Monvel, L.

2. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. — М., Наука, 1973.

3. Ремпель Ш., Шульце Б.-В., Теория индекса эллиптических краевых задач. — М., Мир, 1982.

4. Grubb, G. Functional calculus of pseudo-differential boundary problems. — Progress Math, 65, Birkhauser, Boston. 1986.

5. Дервиз А. О. Краевые задачи для мероморфных псевдодифференциальных операторов. — Изв. вузов. Мат., 1985, 3, сс. 64-66.

6. Пламеневский Б.А. Алгебры псевдодифференциальных операторов. — М.: Наука, 1986.

7. Сеничкин В. Н. Псевдодифференциальные операторы на многообразиях с гладкими ребрами. — Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы, Пробл. мат. анал., вып. 13, С.-Петербург, ун-т, С.-Петербург, 1992, сс. 162-214.

8. Сеничкин В. Н. Спектр алгебры псевдодифференциальных операторов на многообразии с гладкими ребрами. — Алгебра и анализ, 8, 1996, N6, сс. 105-147.

9. Пламеневский Б.А., Сеничкин В. Н. О классе псевдодифференциальных операторов на Rm и на стратифицированных многообразиях. Мат. сб. 191, 2000, N5, сс. 109-142.

10. Пламеневский Б.А., Сеничкин В. Н. Представления С*-алгебр псевдодифференциальных операторов на кусочно гладких многообразиях. — Алгебра и анализ, 13, 2001, N6, сс. 124-174.

11. Сарафанов О. В. Исчисление псевдодифференциальных краевых задач на многообразиях с гладкими ребрами. — Труды С.-Петербург, мат. о-ва, 10, 2004, сс. 191-244.

12. Пламеневский Б.А., Сеничкин В. Н. О спектре С*-алгебр псевдодифференциальных операторов с особенностями в символах. — Math. Nachr., 1985, 121, сс. 231-268.

13. Пламеневский Б.А., Сеничкин В. Н. Разрешимые алгебры операторов. — Алгебра и анализ, 6, 1994, N5, сс. 895-968.

14. Сарафанов О. В. Спектр С*-алгебры псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с гладкими ребрами. — Проблемы математического анализа, 27, 2004, сс. 213-276.

15. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками — Труды Моск. мат. о-ва., 16, 1967, сс. 209-298.

16. Мазья В. Г, Пламеневский Б. А. Коэффициенты в асимптотиках решений эллиптических краевых задач в областях с коническими точками Math. Nachr., 76, 1977, S. 29-60.

17. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

18. Левин А-. В., Мазья В. Г. Об асимптотике плотностей гармонических потенциалов вблизи вершины конуса. — Zeitschr. fur Analysis und ihre Anwendungen, 1989, Bd 8, N 6, S. 501-514.

19. Пламеневский Б. А.,. Сарафанов О. В., Об асимптотике решений псевдодифференциальных уравнений в окрестности конических точек, Вестник С.-Петербургского университета, Сер. 1, №1, 2000, сс. 58-67.

20. Лаутер Р., Пламеневский Б. А.,. Сарафанов О. В. Труды С.Петербург. мат. о-ва, 8, 2000, сс. 152-185.

21. Диксмье, Ж. С*-алгебры и их представления. М.:Наука,1974.

22. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И., Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше — Матем.сб., 1971, 84, №3, сс. 607-629.

23. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. — Асимптотика решений эллиптических краевых задач в областях с сингулярновозмущенной границей, Тбилиси, Изд-во Тбилисского Университета, 1981, 208 с.

24. Пламеневский Б. А., Розенблюм Г. В., Об индексе псевдодифференциальных операторов с изолированными сингулярностями в символах — Алгебра и Анализ, 2, № 5, 1990, сс. 165-188.

25. Melrose, R. В., Mendoza, G. Elliptic operators of totally characteristic type. MSRI preprint, 1983.

26. Melrose R. B. The Atiyah-Patodi-Singer index theorem. Research Notes in Mathematics. Vol. 4. AK Peters, Wellesley, Massachusetts, 1993.