Негладкие задачи теории представлений С*- алгебр псевдодифференциальных операторов на многообразиях с краем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

7 ' д 1-г 32

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ?! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОКОТОВ Алексей Юрмяшч

НЕГЛАДКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ С* — АЛГЕБР ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ¡МНОГООБРАЗИЯХ С КРАЕМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Л В ГОРЕФЕРЛ Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сгш.г-ПегерЙург

те

Работ.! ~.лпол1!е1;а в О.-екгротсхиитсгком иистчтуте связи ьмсгш проф. Л1. Д. Бсн1'[-Бруев[гча.

Цаучмий рхкоьпдш е. ;ь: диктор фи 'пко-маic.Maiпческнх паук профессор П. Л ПЛАДШПЕВСКПП

Оф1шна.л.а1.;с улйшемш- доктор фи яц;о-.мат«:маi ичи-кнд пагк профессор Л С. ЛШЩППКО кап.U1 лат фн ^(ьи-иагедашчссьпч nayi. доиеш А. 11 КЛРОЛЬ

Ведущая организация: Ростовский государственный университет

/,0С> Защита состоится *: 5" » ____ __ 1992 года и

часов на заседании специализированного совета К 063.57.49 по присуждению ученом степени кандидата i|mi <•>:<'>.>•:> гриятичесым паук а Санкт-Петербургском университете но адресу: 19890-1, Саикт-Пе тербург, Старый Петергоф, Биб.шогечиан плота,ц,. д. 2. матечатико-механический факультет СПбУ.

С диссертацией можно uiiuti-.ni.ini.^u в библиотеке СПбГУ. Уаагсросче icicas; наб.. 7/9

Дв]o;jL'ipq)a [ pa.ioc.iau Ч , ¿^¿Л^ОА^ 19у2_)'ода

А ч. ный if-K/vj ttpt> шчциа.шзирооинноги ¿vecra, кандидат физики-ласс.исиачгских наук

1. /I. Шепелчвыч

ОБЩАЯ ХШКТЕГИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Работа посвящена изучение негладких ситуаций в -теории псевдодифференциальных операторов (Щ£) на компактных многообразиях с краем. Рассматриваются С -алгебры, порожденные классическими ЦЦО с гладкими (скалярными) символами на многообразиях с кусочно-гладким краем ("полиэдрах"), и алгебры ПДО на обычных гладких многообразиях с краем, порожденные операторами, символы которых могут терпеть разрыв вдоль подмногообразия края.? Главная задача - изучение спектра этих алгебр (множества классов эквивалентных неприводимых представлений, снабженного естественной топологией).

Вопросы, связанные с изучением строения и представлений конкретных, операторных алгебр, вызывают в последнее время 5олыоой интерес. Назовем, например, работы Дугласа, Гохберга л Крупника, Алмайера об алгебрах тешшцевых операторов, ста-гьи Мэли и Рено, Дынина, посвященные алгебрам многомерных операторов Винера-Хопфа, большое число исследований по алгебрам одномерных сингулярных интегральных операторов, серию статей Зламеневского и Сеничкина об алгебрах ПДО. Несомненны тесные гвязи этих вопросов с актуальной проблематикой теории индекса и граничных задач для псевдодифференциальных уравнений.

ЦЕПЬ РАБОТЫ - отыскать списки всех (с точностью до экви-аалентности) неприводимых представлений С* -алгебр, породненных ЦЦО на многообразиях с краем. (Операторы действуют 0 пространстве , допускаются многомерные разрывы символов

зператоров или особенности края многообразия.) Попутно изуча-зтея С*-алгебр*» порожденные операторами свертки с однород-гой функцией в выпуклых конусах пространства К и обсужда-этея ситуации, возникающие после замены пространства раз-вдчными весовыми классами. Описывается топология Джекобсона ю множестве классов эквивалентных неприводимых представлений.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы теории С -алгебр, теории функций многих комплексных переменных I техника мероморфных псевдодифференциальных оператор-функций, разработанная Б.А.Ппаменевским для изучения ПДО с особенностями.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.. В работе получены следующие новые результаты:

1) Найдены все (с точность» до эквивалентности) неприводимые представления С*-алгебры, порожденной операторами свертки ^с однородной функцией в выпуклом конусе К простран ства К . (Операторы действуют в пространстве ■. 1_г(К) или

» Где ? - степень расстояния да максимального линейного подмногообразия ЪК ("ребра").)

2) В случае, если К - острый выцуклый гладкий конус, описана топология Дкекобсона на спектре соответствующей алге( Ры. г*

3) Найдены все неприводимые представления С -алгебры порожденной классическими ПДО в компактном полиэдре (диффео-ыорфном образе выпуклого конечного многогранника в^вК ).

4) Найдены все неприводимые представления С -алгебры , порожденной ЦДО на гладком многообразии с краем. Симво

лы операторов терпят разрыв вдоль подмногообразия •У края

5) Описана топология Дпекобсона на спектре алгебры, порожденной '¡иокальными представителями" ЦДО из алгебры в точке многообразия -/С разрыва символов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретический харан тер. Ее результаты могут быть использованы в теории индекса ЦДО с особенностями« с помощьо списков представлений, приведенных в работе, можно подучить необходимые и достаточные ус ловия фредгольмовост^ ЦДО. Связь между граничными теоремами единственности в С и неприводимостью найденных в работе представлений алгебр ПДО может быть использована для доказательства соответствующих теорем неприводимости в теории многомерных операторов Винера-Хопфа и Тёплица.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре по теории операторных алгебр в ЛЭИС (рук. Б.А.Плв-меневский) и на геометрическом семинаре в МГУ (рук. А.С.Мищ/

ПУБЛИКАЦИИ. По материалам диссертации опубликовано 3 работы. ,

ОБЪЕМ1 И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация объемом в ПО страниц машинописного текста состоит из введения и трех глав. Библиография содержит 33 наименования.

- 5 -

СОДЕтШЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации, при-ны постановки задач и описаны основные результаты; , В первой главе начинается изучение С -алгебры м^ , денной операторами веда

, К - конус в R

■^-г. 1 VVx.-*^ конус в К , удовлетворявдиЯ сдедуицим уоло-

I) К = C.onv К

3) * . где Uefc \ V<xe К

4) $>=■« , N/Ьо «tCtxb

• 0 /^v J e

o - диффеоморфизм сферы Ъ » ЧЛ-*1 ) -» > где полупространство R+ или выпуклый многогранный (порох--*й конечным числом точек) конус в $чП , м

Р - прямое и обратное преобразования Фурье в R ,, щия Vt(0 считается продолженной нулем вне конуса К • ,, - оператор умножения на характеристическую функцию мно-аа 1С , г .^l*) пространство с нормой

Ы - ( Kwf ы^'и)* ; UU w/г , к

- функция из

ПГчсО , однородная степени О Применение преобразования Меллина сводит изучение алгебры ^ к изучению С -изоморфной ей алгебры * ) «

еденной оператор-функциями ?

-PiC,«^Е „W: UtfV)- Ц(П>.

>) - ойаритор, определяемый равенством

_ б -

Г/ ч-сх-п/г

, и . О» О

- оператор

умножения на характеристическус функцию О.

Операции в алгебре ) поточечные, а норма раз-,

номерная Ц(П(-) ; г

Обозначим через ^^("х) алгебр порожденную в \_г(Г0 значениями оператор-функций из в ФИИСИР0ВВКН°Й точ-

ке .

Устанавливаются следующие утгэрждения. Т0ЭРЕМА. I. Алгебра неприводима и содержит

идеал компактных операторов К .

ТЕОРЕМА 2. Если , то отображение

продолжается до неприводимого представления алгебры в пространстве ^(-£1) . Вели «- К^ , ^-ф. > , то представления и Г(р) неэквивалентны.

ТЮРШ. 3. Имеет место включение Здесь - алгебра непрерывных на К., функций, стремя-

щихся к нулю на бесконечности. . ^ ^

ТЕОРЕМА 4. Обозначим через (А) спектр С -алгебры А (множество классов эквивалентных неприводимых представлений). Пусть и

. -конус,

■ касательный к конусу К в точке ы & 'й £1 с 'Э К . Имеет место равенство

Теорема 4 сводит изучение спектра алгебры к изучению спектра аналогичных алгебр, но уже без веса ( £>=0 и в конусе, содержащем линейное подмногообразие. Применение преобразования Фурье вдоль этого многообразия позволяет пони-

зить размерность задачи. «

Вторая глава начинается с изучения и -адгебры П^л > юрожденной операторами

це К - конус в , удовлетворяющий тем же условиям,

го и в главе I, , - пространство с

ормой

1С

т - функция из

Г(Г. о)

однородная степени о , г -реобразование Фурье в . (Алгебра такого вида (с ^=0 )

зомор^на алгебре (^^У из теоремы 4 в случав, если

а - особая (негладкая) точка границы

.). Эта алгебра называется изоморфной алгебре оператор-функций

де \, 1, "Х- * , - преобразование Фурье в ^

Операции в алгебре ¿^ поточечные, а норма равномер-

ТЕЮРЕЫА 5. Если

е.« ъ

, то отображение

<*(&>. А(-)

родолхается £0 неприводимого, представления алгебр« 3-£ . 1сли € т*" 1 , Ф & . то представления X {у) и С (в,4) неэквивалентны. . в

Изучение полного спектра алгебры сводится к изу-

;ению спектра алгебр», порожденной оператор-функциями

^yV*) UST"1 сГ(й-кпГ\

рассмотренной в главе I и спектров аналогов алгебры меньших размерностях. Спуск во размерностям позволяет выписа все неприводимые представления алгебр Г \ ^ и JA IL . Cps представлений будут представления типа и t W я их

аналоги в меньших размерностях, представления тёплицевыыи он раторами в пространстве Харци =V R+)) н однс

мерные представления. Число представлений зависит от глубинь решетки граней конуса К . Списки представлений, полученные в работе, в общем случае довольно длинны и мы не имеем возможности привести их здесь. В качестве иллюстрации рассм< рим простейший случай гладкого конуса К . Предположим, что к - - конус в , удовлотворящий всем условиям

из главы I и такой, что граница

m множества -Ц=К А S гладкая и нигде локально не совпадает с подмногообразием^сф о вида

1 INS*4" ( I - гиперплоскость в (Г проходящая через О )

ТЮРЕМА б. Пусть h-W^r . Тогда еле

ющие представления прододяаатся до неприводимых, попарно э валентных представлений алгебры Г\у- :

2)р(ч ¿у. А •>

Здесь П - проектор L^Cß")—; - комш

ция отображения X шлиндра ST в сферу

-t/ilT? ) и поворота переводящего экватор = ^ ^ « e S**"

сферы в -о^реру «* (f) А (

гиперплоскость' в V- . касательная к конусу к в точк

? -

3) ¿H'.A •• С1 ; w é S' .

fc C"*-,^ > S _ северный и южный

юсы сферы S .

якое неприводимое представление алгебры эквивалентно

ному из перечисленных. i к

Георема 6 дает удобную параметризацию спектра ; .

анно

исывается топология Джекобсона на (/А^-4) . (В работе юсмотрен несколько более общий случай гладкого конуса К * я условия неупдощения границы.) Это описание довольно диин-ie, поэтому приведем здесь, в качестве примера, лишь вид среогности в топологии Джекобсона у точки oJ е iv\T (_ 1 \

ilM-Sl*))) с С,*-1 С . где К * AST"4

гать \7 , Т/ - окрестность точки Ъ в топологически пространстве Т . Тогда

Л*, =К, v\7(w, гl) - - :

ид окрестности

меняется, если точка VJ дви-ается по сфере . Например, если w é Iwt (£1*) , „

о прямая J^» в С*4) заменяется на луч [\é ^ V <■«*■ \ ; ели w , то к правой части ^^ добавляются точ-

ииз(-1,1>^. Л* ' шТ

Рассматривается L -алгебра 1 \ , порожденная в L4(T) операторами вида ; здесь Т - коы-

¡актный полиэдр в (диффеоморфный образ выпуклого много-

'ранника), - оператор умножения на характеристическую

зункцию Т , - классический псевдодифференциаль-

шй оператор в ft"4 порядна не выше 0.

Пусть Ъ Л , = Л^ (*) , где \cj-t

нанимальный замкнутый конус с вершиной в ^ , содержащий 1 жество Т А £) - шар с центром в "Ь и р<

са €.

Устанавливается следующая теорема. .

ДЕОРЕМА 7. Пусть (Ц "¿-Т? /

главный символ оператора рСх^Ф) . Следующие отображения продолжаются до неприводимых представлений алгебры ^

, где ^ еТ , у - неприводимое представле алгебры М0^ , - пространство представления £

Всякое неприводимое представление алгебры экв:

лентно одному из перечисленных.

Третья глава посвящена изучению алгебр ЦДО с разрывным символами на гладком многообразии с краем.

Пусть 1Л - гладкое компактное риманово многообразие краем ¡^ , Ж - гладкое подмногообразие ^ М разме ности гл-лл •> о , ^^СА^4) расслоение единичныхукЬсаталь векторов.

Рассмотрим ПДО с символами , гладкими вне

Предположим, что при подходе к К . символы Я5 имеют пределы , гладко зависящие от точки -Хе!^ , нал

ления подхода 4 «^(¿О-с л ^ 6 (&*(ММЛОх . Е(десь - расслоение единичных векторов, нормальны

к К и направленных в сторону . Алгебру олвояторов > поровденную ПДО с такими свойствами и компактны операторами в 1_0 (г\) , обозначим через

- С -алгебра. порожденн

в \_г( к") операторами веда где

N0)) . функция

0ДН01

и -

ная нулевой степени по второму аргументу; Ч, \ ) ^ * / £ V*4 ; Р -1" - прямое и обрат-

ное преобразования Фурье в - оператор умноже-

ния на характеристическую функцию «¿Т .

Алгебра ' возникает в качестве алгебры локалышх

представителей ПДО из и- м 4 в' точке многообразия разрывов символов ЛГ . Исследование спектра алгебры сводится

к изучению спектра .

ТЕОРЕМА 8. Пусть Х^Ч-»^ .

Зледущие отображения продолжаются до неприводимых попарно неэквивалентных представлений алгебры ч •,

в « . Здесь ^ + - оператор умножения на характерис-

тическую функцию ;

2)Х ^: * -П"»-V,

4): к - Р+Г^Жч,^^С^;1)-* г4-' р

цесь % £ Ъ / - оператор умножения на характерис-ическую функцию

А—; (гч) € -6) 2 (ц>Д") ^ Ч ОС^-^/а V А/ ¿)

Всякое неприводимое представление эквивалентно од-

ному из перечисленных. , Л

Описана топология Джекобсона на спектре j

Доказательство не приведено, поскольку оно отличается от доказательств сходных результатов в работах Пламеневского и Сенишеина лишь незначительными и малоинтересными изменениями, Соответствующая теорема сформулирована в работе только для полноты.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях:

I« Кокотов A.D. Представления, спектральная топология и разр ишмость алгебр ПДО в полупространстве // Изв. вузов. Мат. 1988 - » 2 - с.73-75.

2. Кокотов A.B. Спектр алгебры мультипликаторов Фурье в. конусе // Изв. вузов,- Мат. - 1990 - * II - с.80-82.

3. Кокотов А.Ю. Представления алгебр ПДО в полиэдре // Алге< и анализ. 1991 - т.З - в.З - с.57-77.