Спектральная асимптотика неэллиптических псевдодифференциальных операторов и задачи рассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕЩЕНИЕ

§ А. Основные обозначения

§ Б. Основные сведения из спектральной теории линейных операторов в гильбертовом пространстве

ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНАЯ АСИМПТОТИКА НЕЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ДИФФЕ1ШЩШ1ЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

§ I. Классическая асимптотика спектра задачи Дирихле для ДО с постоянными коэффициентами.

§ 2. Оценки спектра модельной задачи в кубе

§ 3. Доказательство теорем I.I, 1.

§ 4. Спектральная асимптотика системы уравнений групповой диффузии нейтронов в ядерном реакторе.

§ 5. Оценки спектра оператора системы уравнений диффузии нейтронов в модельных ситуациях.

§ 6. Доказательство теорем 1.3, 1.

§ 7. Квазивейлевские асимптотики спектра в скалярной задаче Дирихле

ГЛАВА 2. ОЦЕНКИ ОСТАТКА В СПЕКТРАЛЬНОЙ АСИМПТОТИКЕ

ПСЕВДОДИШЕЕЕНЩАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО

ПОРЯДКА

§ I. Постановка задачи и формулировка теорем.

§ 2. Задача для ПДО с символом класса Х.^ в кубе

§ 3. Доказательство теоремы 2.

§ 4. Доказательство теоремы 2.2.

§ 5. Доказательство теорем 2.3, 2.4.

ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ФАЗ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ.

§ I. Постановка задачи и формулировки теорем.

§ 2. Редукция задачи к спектральной асимптотике ПДО на евклидовой области

§ 3. Доказательство теорем 3.2, 3.

§ 4. Примеры асимптотических оценок фаз рассеяния

Асимптотика дискретного спектра дифференциальных операторов (ДО) является одним из традиционных объектов исследования в анализе и математической физике. Результаты, относящиеся к этой области, нашли многочисленные физические применения. В последнее время спектральная теория ДО была дополнена исследованиями, относящимися к интегродифференциальным; точнее - к псевдодифференциальным операторам (ПДО). Другая важная тенденвдя последнего времени - ослабление ограничений на тип (отказ от эллиптичности) ДО и ПДО.

Распространенным методом получения асимптотики спектра ДО является вариационный метод. Он восходит к классическим работам Г.Вейля [1,23. К ПДО вариационная методика применялась в меньшей степени.

Исследования в области спектральной асимптотики ДО и ПДО наиболее продвинуты для эллиптических операторов. Большое число работ посвящено асимптотике спектра операторов с вырождением эллиптичности. Довольно полно исследован дискретный спектр гипоэлжп-тических операторов. В большинстве работ о эллиптических и гипо-эллиптических ПДО рассматриваются спектральные задачи на многообразии без края. Подробные литературные указания см. в [3-53.

Асимптотика спектра негипоэллиптических ДО исследована мало. Отметим здесь работу [6]. В ней классическая асимптотическая формула Вейля (см. напр. Г43) для функции распределения спектра установлена для широкого класса ДО с постоянными коэффициентами. Краевые условия в [63 соответствуют задаче Дирихле. Спектральная асимптотика получена в [63 с оценкой остатка курантовского (см.

7]) типа. В £83 эти результаты перенесены на линейные операторные пучки.

В L9J получена асимптотика спектра задачи Дирихле для ДО -аналогов квадрата оператора смешанного дифференцирования. Эти ДО негипоэллиптические, а их асимптотика спектра отличается от классической. В [10] для одной модельной существенно неэллиптической задачи установлена асимптотика дискретного спектра, накапливающегося слева к предельной точке ноль (положительный спектр в этой задаче не дискретен). Коэффициенты ДО в [9-10], вообще говоря, переменные.

В последнее время выяснилась важность изучения спектра неэллиптических матричных ДО. В частности, рассматривались операторы, имеющие непустой существенный спектр, расположенный на конечном промежутке, а также серию собственных значений, уходящих на-*-«=>. Общий метод исследования существенного спектра таких операторов предложен в [II]. Метод получения асимптотики собственных значений на +- осэ разработан в [12,13]. Ряд проблем механики и физики приводит к задачам такого типа на спектр неэллиптических матричных ДО. Это относится, например, к задаче решения уравнений баланса нейтронов в ядерном реакторе методом Фурье. В приближении групповой диффузии нейтронов (см. [14]) эта проблема приводит к спектральному анализу неэллиптического матричного ДО смешанного порядка. Спектр такого оператора частично исследован в Е12ДЗ] , [15,16]. В [12] получен главный член асимптотики серии собственных значений на + с?о .В [13] указан способ оценки остатка в этой асимптотике. При этом не рассматривался вопрос об асимптотике собственных значений вблизи существенного спектра. Заметим, что именно таким собственным значениям соответствуют медленно затухающие во времени слагаемые в Фурье-разложении решения.

Асимптотика спектра неэллиптических ЦЦО изучена опять-таки мало. Остановимся лишь на случае компактных самосопряженных ЦЦО на евклидовом множестве. Основную роль здесь играют работы [17, 18], где рассматриваются матричные ПДО с однородными (или анизотропно i-однородными) по двойственной переменной символами отрицательного порядка. Асимптотика спектра оператора получена в [I7,I8J без каких-либо предположений о знаке символа. Другие работы об асимптотике спектра компактных ПДО (или интегральных операторов) либо связаны со спецификой одномерной ситуации, либо с предположениями типа положительности символа (литературные указания см. в [3]). В частности, в tl9] получена асимптотика спектра компактного ЦЦО с неоднородным символом. Символ в [19 J предполагается неотрицательным, и подчинен ряду тяжелых ограничений (например, из рассмотрения исключаются однородные символы). Отметим, что в [17-191 устанавливается только главный член спектральной асимптотики ЦЦО без оценки остатка. Оценок остатка в асимптотике спектра общих ЦЦО отрицательного порядка в литературе практически не появлялось. Отметим работу [20J, где исследуется регуляризованная интегрированием функция распределения спектра ПДО отрицательного порядка на выпуклой области. Асимптотика этой функции получена в £20] с оценкой остатка. Некоторые результаты об оценке остатка для ЦЦО отрицательного порядка можно, по-видимому, извлечь из результатов статьи [21]. Эти оценки, однако, относятся только к ПДО целого порядка и требуют подробных сведений о характере вырождения главного символа.

Остановимся на задаче об асимптотике спектра матрицы рассеяния при фиксированной энергии. До недавнего времени такая асимптотика была известна лишь в случае квантового рассеяния на сферически-симметричном потенциале (см. [22]). В [23-25] спектр s-матрицы рассмотрен в случае рассеяния на асимптотически однородном, вообще говоря, знакопеременном потенциале без сферической симметрии. Задача об асимптотике фаз рассеяния сведена в [24] к описанию спектра компактного ПДО на евклидовом множестве. Символ ПДО при этом определяется интегральным преобразованием специального вида над потенциалом. Вообще говоря, он не удовлетворяет каким-либо условиям типа эллиптичности. Кроме задач потенциального рассеяния, метод [23-24] применим и к другим задачам рассеяния. Асимптотика предельных фаз получена в [23-25] без оценки остатка.

В настоящей работе получен ряд новых результатов в указанных направлениях. Исследуется асимптотика дискретного спектра полуограниченных снизу (вообще говоря, неэллиптических) ДО на евклидовой области при условиях Дирихле. Рассмотрены случаи бесконечной или конечной точки накопления дискретного спектра. Результаты применены к задаче о балансе нейтронов в реакторе. Изучена асимптотика дискретного спектра не только в бесконечности, но и вблизи конечных точек накопления (постоянных распада). Далее, на специально выбранном классе скалярных ДО выяснены точные пределы применимости классической спектральной асимптотики вейлевского типа. Для ДО этого класса описываются также все элементарные обобщения формулы Вейля - квазивейлевские асимптотики. Асимптотические формулы, упомянутые выше, получены с оценками остаточных членов. Далее, рассматривается спектр ПДО отрицательного порядка (без предположения о типе). Основной результат здесь - оценка остатка в спектральной асимптотике вейлевского типа. При этом не делается никаких предположений о характере вырождения символа.

Эта оценка затем применяется к исследованию спектра s-матрицы в задаче потенциального рассеяния. Потенциал здесь предполагается либо асимптотически однородным, либо состоящим из суммы двух таких однородных слагаемых различных порядков. Устанавливается оценка остатка в асимптотике функции распределения фаз рассеяния.

Для доказательства всех теорем о спектральной асимптотике в работе используется вариационный метод. Схема применения этого метода для ДО и ЦЦО единая. Сначала получаются оценки спектра модельной задачи в кубе стандартных размеров с последующим переходом к кубу произвольных размеров. Далее проводится процедура покрытия исходного евклидова множества кубами. В доказательствах существенно используется методика работ [26] и Гб].

Структура диссертации следующая. В начале работы помещены § А и § Б, в которых вводятся основные обозначения и приводятся необходимые сведения из теории линейных операторов. В главе I формулируются и доказываются результаты, относящиеся к спектру неэллиптических ДО. Эти результаты применяются к исследованию асимптотики дискретного спектра уравнений диффузии нейтронов. В главе 2 получены теоремы об оценке остатка в асимптотике спектра ПДО отрицательного порядка. В главе 3 сначала описывается редукция задачи об асимптотике предельных фаз потенциального рассеяния к спектральной теории ЦЦО отрицательного порядка. В основном мы следуем здесь схеме Е243. Затем, с использованием результатов главы 2, выводится требуемая оценка остатка в асимптотике спектра 5-матрицы.

Формулировки и доказательства некоторых утверждений технического характера вынесены в конец работы в виде "Приложений".

Нумерация теорем, лемм и формул в пределах одной и той же главы сквозная. Первый индекс в обозначении формулы (леммы, теоремы) указывает на номер главы; индекс "Б" указывает на утверждение, приведенное в § Б. Формулы раздела "Приложения" имеют индекс "4".

Основные результаты работы опубликованы в статьях [34-38]. Указанные результаты докладывались автором на семинарах по спектральной теории в ЛГУ им.А.А.Жданова (математико-механический факультет); МГУ им.М.В.Ломоносова (механико-математический факультет) ; Ленинградском отделении математического института АН СССР; а также на семинаре кафедры математической физики физического факультета ЛГУ, и на конференции молодых ученых НИИФ ЛГУ.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю проф.М.Ш.Бирману.

1. Weyl Н. Das asymptotische Vexteilungsgesetz der Eigen-werte linearer partieller Differentialgleichungen.- Math.Ann», 1912, vol.71, s.441-479.

2. Weyl H. ftber die Abhangigkeit der Eigenschraingungen einer Membran von der Begrenzung.- J.Heine Angew. Math., 1912, vol.141, s.1-11.

3. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории.- В кн.: Десятая математическая школа. Киев, 1974, с.5-189.

4. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений.- В.кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. М., 1977, т.14, с.5-58.

5. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М., 1978, 280 с.

6. Туловский В.Н. Определение собственных чисел для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.- Функц.анализ и его приложения, 1971, т.5, № 3, с.85-100.

7. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М., 1951, т.1, 476 с.

8. Туловский В.Н. Асимптотическое распределение собственных значений дифференциальных уравнений.- Мат.сборник, 1972, т.89, В 2, с.191-206.

9. Кароль А.И., Соломяк М.З. Об одном классе дифференциальных операторов с нестандартным поведением спектра задачи Дирихле.- Мат.заметки, 1982, т.31, № 5, с.747-751.

10. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Об одной "модельной" неэллиптической спектральной задаче.- Вестник Ленингр.ун-та, 1975, JS I,с.39-45.

11. Grubb G., Geymonat G. The essential spectrum of elliptic systems of mixed order.- Math.Ann., 1977, vol.227, 3, s.247-276.

12. Grubb G., Geymonat G. Eigenvalue Asymptotics forSelfadjoint Elliptic Mixed Order Systems with Nonempty Essential Spectrum.- Boll, della Unione Mat. Ital., 1979, vol.16-B, 3, p.1032-1048.

13. Левендорский С.З. Спектральные асимптотики нелинейных пучков и операторов с непустым существенным спектром.^ Докл. АН СССР, 1983, т.272, № 6, с.1314-1317.

14. Stacey W. Spase-time nuclear reactor kinetics.- Hew-York., 1969, 186 p.

15. Habetler G., Marbino M. Existence theorems and spectral theory for the multigroup diffusion model.- Appl.Math., 1961, vol.11, p.127-139.

16. Albertoni S., Danieri A., Geymonat G. Primi risultati sul trattamento numerico di un parbicolare sistema d'evoluzione nella teoria della diffusione dei nentroni.- Atti 8 Oongresso UMI., Trieste, 1967, p.321-323.

17. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра слабо полярных интегральных операторов.- Изв. АН СССР, 1970, т.34, Jg 5, c.II42-II58.

18. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра псевдодифференциальных операторов с анизотропно-однородными символами.-Вестник Ленингр.ун-та, 1977, В 13, с.13-21., Вестник Ленингр. ун-та, 1979, JS 13, с.5-10.

19. Widom H. Asymptotic behavior of eigenvalues of certain integral equations.- Trans. Amer. Math, Society., 1963, v.109» H* 2, p.278-295*

20. Лаптев А.А. Об оценке остатка в формуле спектральной асимптотики для одного класса интегральных операторов.- В сб.: Проблемы математического анализа. Вып.6. Л., 1977, с.67-72.

21. Левендорский С.З. Метод приближенного спектрального проектора как общий метод обоснования классической асимптотики спектра.- Докл. АН ССОР, 1983, т.271, 12, с.387-291.

22. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., 1948, 570 с.

23. Бирман М.Ш., Яфаев Д.Р. Асимптотика спектра s -матрицы при потенциальном рассеянии.- Докл. АН СССР, 1980, т.265, с. 1085-1087.

24. Бирман М.Ш., Яфаев Д.Р. Асимптотика спектра матрицы рассеяния.- Записки научн.семинаров ЛОМИ АН СССР, 1981, т.110, с. 3-29.

25. Бирман М.Ш., Яфаев Д.Р. Асимптотика предельных фаз при рассеянии на потенциале без сферической симметрии.- Теор. и мат. физика., 1982, т.51, J£ I, с.44-53.

26. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов, I.- Труды Моск. матем. общества, 1972, т.27, с.3-52.

27. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1966, 544 с.

28. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М., 1963, 340с.

29. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л., 1980, 264 с.

30. Шихов С.В. Вопросы математической теории ядерных реакторов. М., 1973, 375 с.

31. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.ГЛ. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., 1975, 480 с.

32. Кон Д., Ниренберг Л. Алгебра псевдодифференциальных операторов.- В кн.: Псевдодифференциальные операторы. М., 1967,с.9-62.

33. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. М., 1984, т.1, 360 с.

34. Андреев А.С. Асимптотика спектра задачи Дирихле для одного класса псевдодифференциальных операторов.- В сб.: Проблемы ма-тематич.физики. Вып.10, Л., 1982, с.7-20.

35. Андреев А.С. Асимптотика спектра задачи Дирихле для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.- Функц. анализ и его приложения., 1983, т.17, № 3, с.61-62.

36. Андреев А.С. Асимптотические оценки предельных фаз потенциального рассеяния,- Вестник Ленингр.ун-та, 1984, № 4, с. II7-II9.

37. Андреев А.С. Спектральная асимптотика компактных псевдодифференциальных операторов с "постоянным" символом.- Записки научн.семинаров ЛОМИ АН СССР, 1984, т.138, с.3-7.

38. Андреев А.С. О формуле Вейля спектральной асимптотики для неэллиптических операторов задачи Дирихле.- В сб.: Проблемы математич. анализа. Вып.9. Л., 1984, с.3-18.