Анализ дифференциальных операторов на многообразиях со слоением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КОРДЮКОВ Юрий Аркадьевич

АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА МНОГООБРАЗИЯХ СО СЛОЕНИЕМ

01.01.02 -дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Уфа 2004

Работа выполнена в Институте математики с ВЦ Уфимского Научного Центра Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Доброхотов С. Ю.; член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Тайманов И. А.; доктор физико-математических наук, профессор Троицкий Е. В.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится 10 сентября 2004 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 в Институте математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН.

Автореферат разослан " " августа 2004 года. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория слоений берет свое начало в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и геометрической теории уравнений в частных производных первого порядка. Общее понятие слоения было введено в середине 40-х годов Эресманном и Ри-бом. С того времени появилось огромное количество работ, посвященных различным аспектам теории многообразий со слоением. Прежде всего, это относится к исследованию топологических, геометрических и динамических свойств слоений, а изучение аналитических свойств многообразий со слоением является малоисследованной областью.

Понятие слоения можно рассматривать как обобщение понятия динамической системы с многомерным временем, при котором акцент делается на траекторном разбиении, задаваемом орбитами динамической системы. Например, орбиты локально свободного действия группы Ли на многообразии определяют слоение. В общем случае каждый слой слоения не имеет такой жесткой однородной структуры, какую имеют орбиты действия группы Ли. Тем не менее, каждый слой слоения на компактном многообразии имеет каноническую равномерную структуру. Например, если выбрать ри-манову метрику на компактном многообразии со слоением, то каждый слой является полным римановым многообразием ограниченной геометрии относительно индуцированной римановой метрики. Более того, любые две римановы метрики на слое, которые индуцированы римановыми метриками на объемлющем многообразии, квазиизометричны.

Другим интересным геометрическим объектом, связанным со слоением, является множество слоев слоения. Это множество, вообще говоря, является очень сингулярным пространством, и его изучение связано с изучением трансверсальной структуры слоений. Для исследования подобного рода объектов А. Конн в 1979 году ввел понятия С*-алгебры и алгебры фон Неймана, ассоциированных со слоением. Идея Конна, лежащая в основе некоммутативной геометрии, состоит в том, что эти некоммутативные операторные алгебры можно рассматривать как аналоги алгебр функций (непрерывных, измеримых и т.п.) на пространстве слоев слоения. Установленная таким образом связь между слоениями и операторными алгебрами позволила применить методы теории операторных алгебр и некоммутативной

геометрии к исследованию геометрических и динамических свойств слоений и, в свою очередь, построить новые интересные примеры С*-алгебр и алгебр фон Неймана.

На многообразиях со слоением имеются естественные примеры геометрических дифференциальных операторов. Прежде всего, это — послойный оператор сигнатуры и послойный оператор Лапласа, задаваемые римано-вой метрикой на слоях, которые являются примерами касательно эллиптических операторов. Изучение свойств касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением является далеким обобщением теории дифференциальных операторов со случайными и почти-периодическими коэффициентами в К", а также тесно связано со спектральной теорией динамических систем (в частности, с некоммутативным временем).

Другими примерами геометрических дифференциальных операторов на многообразиях со слоением являются трансверсальный оператор сигнатуры £># и трансверсальный оператор Лапласа Дя, задаваемые рима-новой метрикой на объемлющем многообразии. Эти операторы являются примерами трансверсально эллиптических операторов. В случае, когда слоение имеет голономно инвариантную трансверсальную риманову структуру, т.е. является римановым, множество слоев слоения мож-

но в некотором смысле рассматривать как сингулярное риманово многообразие, а операторы как аналоги эллиптических операторов на этом многообразии. Естественно возникает очень интересный вопрос об исследовании спектральной геометрии пространства и ее связи с трансверсальной геометрией слоения. Этот вопрос, в частности, имеет непосредственное отношение к спектральной геометрии фрактальных множеств, актуальной и быстро развивающейся области современной математики. Идея описания сингулярных геометрических объектов, исходя из спектральных свойств естественных операторов на данных объектах, лежит в основе некоммутативной дифференциальной геометрии А. Кон-на. Пример пространства слоев слоения и связанные с ним спектральные тройки, ассоциированные с трансверсально эллиптическими операторами, является одним из фундаментальных примеров в некоммутативной геометрии. Исследование свойств трансверсально эллиптических операторов на многообразиях со слоением позволяет заложить основы некоммутативной геометрии слоений и ее приложений к исследованию трансверсальной

геометрии слоений.

Тем самым, исследование свойств дифференциальных операторов, естественно ассоциированных со слоением, является актуальной и перспективной областью математики, лежащей в основе аналитического подхода к исследованию многообразий со слоением.

Цели работы. Разработать методы исследования касательно эллиптических и трансверсально эллиптических операторов на многообразиях со слоением. Исследовать асимптотическое поведение спектра эллиптических операторов, зависящих от малого параметра, которые в пределе вырождаются к касательно эллиптическому оператору, в частности, спектра оператора Лапласа в адиабатическом пределе. Установить связь между малыми собственными значениями оператора Лапласа в адиабатическом пределе и спектральной последовательностью слоения. Доказать формулу Лефшеца для потоков на компактном многообразии, сохраняющих слоение.

Методы исследования. В диссертации применяются и развиваются методы теории псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, микролокального анализа, теории обобщенных функций и пространств Соболева, теории уравнений в частных производных, теории топологических векторных пространств, спектральной теории линейных операторов в гильбертовых пространствах, трории-операторных алгебр, дифференциальной геометрии, в частности, геометрии многообразий, геометрии слоений, некоммутативной дифференциальной геометрии, гомологической алгебры, алгебраической топологии.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Основными из них являются следующие.

Исследованы различные аспекты функционального исчисления для касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением, в частности, псевдодифференциальное функциональное исчисление и функциональное исчисление в С*-алгебре слоения. Установлены взаимосвязи различных характеристик (например, функций от оператора или его спектра) для касательно эллиптических операторов в глобальном представлении с их аналогами в послойном представлении. Построена функция распределения спектра самосопряженного касательно эллиптического оператора.

Исследовано поведение решений послойного уравнения теплопроводно-

сти на римановом слоении при больших временах. Доказаны аналоги теорем Ходжа для редуцированных послойных С°°-когомологий риманова слоения.

Построены аналоги стандартного псевдодифференциального исчисления и эллиптической теории для трансверсально эллиптических операторов на многообразиях, снабженных действием группы Ли, и на многообразиях со слоением. Доказано существование и основные свойства спектральных инвариантов трансверсально эллиптических операторов на многообразиях, снабженных действием группы Ли. Установлены основные факты трансверсальной спектральной геометрии римановых слоений: аналоги теоремы Егорова и теоремы Дюйстермаата-Гийемина. Построены спектральные тройки, задаваемые трансверсально эллиптическими операторами на римановых слоениях, описан их спектр размерностей и ассоциированный геодезический поток.

Доказана асимптотическая формула для функции распределения спектра некоторых классов эллиптических операторов на компактных многообразиях со слоением, зависящих от малого параметра к > О, которые при к > О вырождаются в трансверсальном направлении таким образом, что в пределе получается касательно эллиптический оператор. Доказана асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, в адиабатическом пределе.

Установлена связь числа малых собственных значений оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, в адиабатическом пределе с дифференциальной спектральной последовательностью слоения. Исследовано асимптотическое поведение собственных форм оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, соответствующих малым собственным значениям в адиабатическом пределе.

Дано определение размерности редуцированных послойных когомоло-гий (послойных чисел Бетти) для транзитивных слоений коразмерности один как обобщенных функций на вещественной прямой и доказана формула типа Лефшеца для соответствующей Эйлеровой характеристики.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут иметь применения в различ-

ных областях математики: прежде всего при исследовании аналитических, геометрических, топологических и динамических свойств многообразий со слоениями, а также в спектральной теории дифференциальных операторов на многообразиях, теории индекса эллиптических операторов, теории динамических систем, теории операторных алгебр, некоммутативной геометрии, теории чисел.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Международный семинар «Современный групповой анализ» (Уфа, 1991), Воронежская школа «Понтрягинские чтения-IV» (Воронеж, 1993), Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», посвященная И.Г. Петровскому (Москва, 1994), XXVI Воронежская Зимняя Математическая Школа (Воронеж, 1994), VII Международный Коллоквиум по Дифференциальной Геометрии (Сантьяго де Компостела (Испания), 1994), семинар по глобальному анализу в Бонне (Германия) (1995, рук. W. Müller), семинар по глобальному анализу в Аугсбурге (Германия) (1995, рук. J. Brüning), семинар кафедры геометрии и топологии в Сантьяго де Компостела (Испания) (1996, 1997, 2000, 2002), семинар по глобальному анализу и спектральной теории в Берлине (Германия) (1996, рук. J. Brüning), семинар Института математической физики имени Шредингера в Вене (Австрия) (1998, программа «Спектральная геометрия»; 2002, программа «Аспекты теории слоений в геометрии, топологии и физике»), Международный семинар по геометрии и топологии (Тель-Авив (Израиль), 1998), Международная конференция «Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы» (Стерлитамак, 1998), Международная конференция «L-инварианты и K-теория» (Мюнстер (Германия), 1999), Международная конференция по геометрии, посвященная 70-летию Топоногова (Новосибирск, 2000), Международная конференция Института математики (Уфа, 2000), Международная конференция «Тенденции в некоммутативной алгебре и геометрии» (Бонн (Германия), 2000), семинар по эргодической теории и динамическим системам (Чикаго, США, 2001, рук. Hurder), семинар по эргодиче-ской теории (Бостон, США, 2001, рук. Hasselblatt), семинар по глобальному анализу (Бостон, США, 2001, рук. Braverman), Вторая российско-германская конференция по геометрии, посвященная 90-летию А.Д. Александрова (Санкт-Петербург, 2002), семинар по геометрическому анализу

(Колумбус, США, 2003, 2004), а также на семинарах: МГУ (1996, 2002, 2003; рук. Мищенко, Соловьев, Троицкий; 2000, рук. Аносов, Степин, Гри-горчук), Института математики имени Соболева СО РАН (Новосибирск), отделов дифференциальных уравнений и математической физики Института математики Уфимского научного центра РАН (1992,1997, 1999, 2001, 2004), общеинститутском семинаре Института математики Уфимского научного центра РАН (2002), семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского госуниверситета (1991,1993), семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета (1994, 1996, 1997).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-16]. Результаты совместных работ [7,8,9] принадлежат авторам в равной мере.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, семи глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 293 страницы, библиография содержит 123 наименования.

Содержание диссертации

Глава 1 носит вспомогательный характер. В разделе 1.1 приведена сводка необходимых сведений из теории слоений. В разделе 1.2 вводится алгебра Ф*,-со(М, Т) трансверсальных псевдодифференциальных операторов на многообразии со слоением (М, Р). Эту алгебру можно рассматривать как аналог (с точки зрения некоммутативной геометрии) алгебры псевдодифференциальных операторов на замкнутом многообразии для пространства слоев М(Т. Неформально говоря, оператор А € Фт,-о0(М, Т) — это непрерывный оператор в С°°{М), имеющий порядок т в трансверсальных направлениях к слоению и сглаживающий вдоль слоев. Затем вводится шкала анизотропных пространств Соболева Нг,к{М, Т) и ассоциированная с ней алгебра псевдодифференциальных операторов Фт,/1(М, Т). При А: € N пространство Н''к{М, Т) можно описать как множество всех таких и 6 Х>'(М), что Аи принадлежит пространству Соболева Н'{М) для любого послойного дифференциального оператора А порядка к. Изучаются основные свойства введенных объектов.

Глава 2 посвящена исследованию касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением. Дифференциальный оператор на компактном многообразии со слоением называется касательно эллиптическим, если он ограничивается на слои слоения, причем ограничения на слои являются эллиптическими операторами вдоль слоев. Изучение касательно эллиптических операторов было начато А. Конном I в контексте некоммутативной теории интегрирования. А. Конн рассматривал касательно эллиптические операторы как семейства эллиптических операторов вдоль слоев (т.е. можно сказать, как случайные операторы на многообразии со слоением, или, другими словами, в послойном представлении). В данной главе, прежде всего, изучаются спектральные свойства касательно эллиптических операторов как дифференциальных операторов на объемлющем многообразии М (другими словами, в глобальном представлении). Также исследуются взаимосвязи различных спектральных характеристик касательно эллиптических операторов в глобальном представлении с их спектральными характеристиками в послойном представлении.

Следует отметить, что некоторые из результатов данной главы являются улучшением результатов, полученных ранее для послойных операторов Дирака (см., например,2, 3, 4,5 и приведенные там ссылки). В данных работах авторы, в-основном, используют рассуждения, основанные на конечной скорости распространения для решений гиперболических уравнений, и, поэтому, рассматривают только случай касательно эллиптических дифференциальных операторов первого порядка. В отличие от приведенных выше работ, разработанные в данной главе методы применимы к касательно эллиптическим операторам произвольного порядка.

Раздел 2.1 посвящен псевдодифференциальному функциональному исчислению для касательно эллиптических операторов в глобальном представлении. Точнее, в этом разделе приведена конструкция операторов вида f(A) для касательно эллиптического оператора А с положительных касательным главным символом, исследованы свойства непрерывности операторов вида /(А) в пространствах H*,k(M,J-) и дано описание этих опе-

1Connee A. Lecture Notes in Math. V. 725. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1979. P. 19 - 143.

2Roe J. Math. Proa Cambridge Philos. Soc. 1987. V. 102. V. 459 - 466

'Douglas R. G., Harder S., Kaminker J. J. FW*. AnaL 1991. V. 101. P. 120 - 144

4Heitsch J., Lazarov С Topology. 1990. V. 29. P. 127 - 162

"Heitsch J., Lazarov С Illinois J. Math. 1994. V. 38. P. 653 - 678

раторов как псевдодифференциальных операторов классов явля-

ющихся естественным пополнением классов Ф"1^) послойных псевдодифференциальных операторов.

Напомним, что функция / на R принадлежит классу S'(R), g € К, если для любого натурального j существует такая постоянная Cj > 0, что

|/<')(01<с,-(1 + ИГЛ teR.

Далее, скажем, что функция / на R принадлежит классу SJ(R, Ж), g G К, W > О, если / продолжается до такой голоморфной функции в полосе {z € С : |Imz| < W}, что для любого r¡ 6 R с < W функция /(• + ¿7?) принадлежит 5Î(R), и все ее полунормы в S?(R) равномерно ограничены на компактных множествах, содержащихся в интервале J < W.

Теорема 2.11. Пусть А — касательно эллиптический дифференциальный оператор на Л/ порядка тп с положительным касательным главным символом. Тогда для любого s € R существуют такие постоянные W > О и с > 0, что для любой функции f на вещественной оси, такой, что функция g(t) = f(tm — с), i G R, принадлежит пространству 5'(R, W), оператор f(Ä) = g ((А + с)1/"1) определяет непрерывное отображение

/(Л) : H'*{M,F) -> Я5'*-?(М,:Г)

для любого к 6 R. Более того, существует такая постоянная с > О, что для любой функции / на вещественной прямой, такой, что функция g(t) = f(tm — с), i € R, принадлежит классу S4(R, +оо), оператор f(A) принадлежит классу Ф'(^).

Эта теорема является значительным улучшением результата Роу6, утверждающего, что если функция / на вещественной прямой продолжается до целой функции на комплексной плоскости, причем для любого компактного подмножества К С R функции {х f(x + iy) : у G К} образуют ограниченное подмножество в пространстве Шварца S(R), то оператор f{Djr) определяет непрерывное отображение в пространстве С°°(А/, S), где Djr обозначает послойный оператор Дирака, действующий в пространстве сечений спинорного расслоения S.

В случае, когда слоение является римановым, теорема 2.11 имеет следующее уточнение.

•Roe J. Math Proc. Cambridge Philos. Soc. 1987. V. 102. V. 459 - 466.

Теорема 2.15. Предположим, что слоение Т риманово и А — формально самосопряженный касательно эллиптический дифференциальный оператор на М порядка т с положительным касательным главным символом. Тогда для любого збЕ существует такая постоянная с> 0, что для любой функции / на вещественной оси, такой, что функция д(Ь) = /(¿т—с), < € К, принадлежит пространству оператор /(А) принадлежит

классу и, в частности, определяет непрерывное отображение

/(А): Нг*{М, Т) -> Н''к-"(М,

для любых з Е Е и к € К.

В разделе 2.2 исследуются взаимосвязи операторов типа функции от касательно эллиптического оператора в глобальном представлении с их послойными аналогами и глобальное поведение ядер этих операторов в послойном представлении. Всюду в этом разделе предполагается, что слоение Т имеет голономно инвариантную меру. В разделе 2.2.1 развивается подход к функциональному исчислению для касательно эллиптических операторов, основанный на теории С'-алгебр. Обозначим через С'(С) и Су (б) полную и редуцированную С'-алгебры группоида голономии (7 слоения Т. Имеется естественное представление С*-алгебры С* (О) в пространстве Ь2{М) (глобальное представление), которое в случае, когда слоение имеет голономно инвариантную меру, является »-представлением. Образ С'-алгебры С'(С) в этом представлении обозначим через СдД^О- Для любого I € М пусть С обозначает накрытие голономии слоя, проходящего через точку х. На С1 имеется выделенный класс положительных гладких плотностей, задаваемый равномерной структурой слоя. Этот класс корректно определяет гильбертово пространство ¿2((71) квадратично интегрируемых функций на й*. Имеется естественное представление алгебры С* (С) в пространстве Ь2(СХ), обозначаемое через Их (послойное представление).

Если А — касательно эллиптический оператор на М, то через Ах будем обозначать соответствующий послойный оператор, действующий в пространстве ((?*).

Теорема 2.17. Пусть А — формально самосопряженный касательно эллиптический'оператор порядка т > 0 с положительным касательным символом. Тогда оператор /(А) принадлежит алгебре С"м{(}) для любой

функции f из пространства C¿(R) равномерно ограниченных непрерывных функций на R, и для любого х (Е М имеем

R*W№) = f(Ax),

где 7г: C^(G) C*(G) — естественная проекция.

В разделе 2.2.2 исследуется так называемая задача о совпадении спектров, используя результаты раздела 2.2.1 и теорию С*-алгебр. Скажем, что слоение 7 аменабелъно, если естественная проекция п : C'M{G) -» C*(G) иньективна (и, следовательно, является изоморфизмом). Например, слоение аменабельно, если все его слои имеют субэкспоненциальный рост.

Теорема 2.18. Пусть А — касательно эллиптический оператор порядка ш > 0.

(1) Спектр ом{А) оператора А в пространстве L2(M) содержит его послойный спектр

о А А) = \JHAX) : х € М},

где а(Ах) — спектр оператора Ах в ¿2(GT).

(2) Если слоение Т аменабельно, то сгм(А) совпадает с а?{А).

Подход к задаче о совпадении спектров, примененный в данном разделе, был предложен в работе 7 для эллиптических дифференциальных операторов, ассоциированных с динамической системой (Л, R, а) (см. также 8).

Назовем оператор Р : С°°(М) —> С°°(М) касательным оператором, если существует такое семейство операторов {Рх : Cg°(Gx) ->C^°{GX) : х € М}, что следующая диаграмма коммутативна:

Ст(М) С°°(М)

4 4

где отображение s* : С°°(М) -> Cj¡°(Gx) задается ограничением функции из С°°(М) на слой, проходящий через точку х, с последующим подъемом ее

'Baaj S. С. R. Acad. Sei. Paris, serie 1.1988. Т. 307. P. 663 - 666. 'Baaj S. С. R. Acad. Sei. Paris, serie 1.1987. T. 307. P. 581 - 586.

t ' Г

12

до голономно инвариантной функции на Gx (C£°(GX) обозначает пространство Фреше С°°-ограниченных гладких функций на Gx как многообразии ограниченной геометрии 9).

Другими словами, оператор Р называется касательным, если он допускает ограничения на слои слоения Т. В этом случае, Рх есть ограничение оператора Р на слой, проходящий через точку х. Заметим также, что любой касательно эллиптический оператор А является касательным оператором, и его ограничения на слои совпадают с операторами Ах.

Пусть А — касательно эллиптический оператор на М с положительным касательным главным символом. В разделе 2.2.3 найдены условия на функцию /, при которых оператор f{A) является касательным оператором.

Теорема 2.19. Пусть А — касательно эллиптический дифференциальный оператор на М порядка т с положительным касательным главным символом. Тогда существуют такие постоянные W > 0 и с > О, что для любой функции f на вещественной оси, такой, что функция g(t) = f(tm — с), t € К, принадлежит пространству S7(R, W), оператор f(A) является касательным оператором на М, и его ограничение на слой, проходящий через точку х, совпадает с f{Ax).

В раздел 2.2.4 исследуется вопрос об измеримости касательных ядер операторов вида /(Л) для касательно эллиптического оператора А с положительным касательным главным символом. Таким образом, оператор f(A) рассматривается как семейство {f(Ax) € C(L7(GX)) : х б М} операторов вдоль слоев. Семейство ядер Шварца операторов f(Ax) определяет обобщенную функцию kj^j) на G, которая называется касательным ядром оператора f(A).

Теорема 2.21. Пусть f —.ограниченная борелевская функция на R, удовлетворяющая оценке

|/(А)| < с,(1 + |А|Г/т, А ек, при некотором s > р = dim.?7 с постоянной С, > 0, не зависящей от А. Тогда касательное ядро kf[A) оператора f(A) является ограниченной, послойно гладкой, измеримой функцией на G, удовлетворяющей оценке

sup \km{l)\ < С sup ¡(1 + |А|)'/"7(А)|,

1üG AeR

»Kordyukov Yu. A. Acta Appl. Math. 1991. V. 23. P. 223 - 260.

где С > 0 не зависит от f.

В работе10 доказано, что касательное ядро оператора /(Д) является измеримой послойно гладкой функцией в случае, когда Д — послойный лапласиан, / — ограниченная борелевская функция, являющаяся поточечным пределом равномерно ограниченных гладких функций с равномерно компактным носителем.

Наконец, раздел 2.2.5 посвящен доказательству существования и простейшим свойствам функции распределения спектра касательно эллиптических операторов. Для послойного лапласиана аналогичные результаты

и

получены в .

Раздел 2.3 посвящен изучению поведения решений послойного уравнения теплопроводности на римановом слоении при больших временах. Будем обозначать через П(М) (или просто П) алгебру дифференциальных форм на М. Зафиксируем риманову метрику на М. На П имеется естественная биградуировка, задаваемая формулой

Дифференциал и кодифференциал де Рама имеют разложения в сумму биоднородных компонент

где ¿од ~ касательный дифференциал де Рама, который является касательно эллиптическим оператором первого порядка и не зависит от выбора ри-мановой метрики, — трансверсальный дифференциал де Рама, который является трансверсально эллиптическим оператором первого порядка, ¿2,-1 — дифференциальный оператор нулевого порядка.-Пусть П — ортогональный проектор на ядро неограниченного оператора в £2П = L2(M,T*M), определенного послойным оператором Лапласа До = ¿од ¿0,-1 + ¿0,-1^0,1-Риманова метрика на М называется расслоенноподобной, если ее транс-версальная часть голономно инвариантна.^ Эквивалентно, можно сказать, что расстояние между слоями относительно расслоенноподобной метрики

'"Heitsch J., Lazarov С. Illinois J. Math! 1994. V. 38. Р. 653 - 67S.

"Heitsch J., Lazarov C. Illinois J. Math. 1994. V. 38. P. 653 - 678.

d = ¿0,1 + ¿1,0 + ¿2,-1, 5 = ¿0,-1 + <5-1,0 + ¿-2,1

локально постоянно. Если расслоенноподобная метрика существует, то слоение называется римановым.

Теорема 2.23.' Пусть Т — ргшаново слоение на замкнутом многообразии М, снабженное расслоенноподобной метрикой. •Тогда П определяет непрерывный оператор на П, имеет место послойное разложение Ходжа

= кег Д0фил Д0 = (кег¿од П кег¿0,-1) Ф ф ¡тЛо_1,

и соответствие а) М- е~<Доа определяет непрерывное отображение [О,оо] хП->П.

В качестве непосредственного следствия теоремы 2.23 получается теорема типа Ходжа для послойного комплекса де Рама слоения Т. Сформулируем соответствующий результат в случае произвольных коэффициентов.

Пусть V — векторное расслоение, снабженное плоской римановой связностью вдоль слоев слоения Т, и ЩТ, V) — С°°(М, Д ТТ* ® V). Рассмотрим послойный комплекс де Рама V), (1?) с коэффициентами в V. Его когомологии Н{Т, V) называются послойными когомологиями слоения Т с коэффициентами в V. (ЩЗ-, V), является топологическим комплексом относительно С°° топологии, которая индуцирует структуру топологического векторного пространства на Н{Т,У). Факторпространство пространства Н(Т, V) по замыканию тривиального пространства называется редуцированными послойными к огомологиями слоения 7 и обозначается через Н{Т, V): _ _

Можно проверить, что оператор на V), определяемый кодиффе-ренциалом де Рама вдоль слоев, сопряжен к оператору в пространстве V) = Ь2(М, Д ТТ' ® V). Рассмотрим послойный оператор Лапласа Д^- = ¿г5? + Обозначим через П ортогональный проектор из ЬV) на ядро оператора Д^ в V).

Теорема 2.42. Пусть 7- — риманово слоение на замкнутом многообразии М иУ — любое риманово векторное расслоение, наделенное плоской римановой Т-частичной связностью. Зафиксируем любую риманову метрику вдоль слоев, гладкую на М. Тогда П определяет непрерывный оператор на К), имеет место послойное разложение Ходжа

П^.У) = кегД^ф!тД7= (кег <1? П кег 6г) ф \rndf ф ¡т ,

о (t, а) >-> e~türa определяет непрерывное отображение [0, oojxfî^, V) -> V). Таким образом, V) канонически отождествляется с кег Д f и, если Т ориентировано, то послойный *-оператор Ходжа на кег Дя индуцирует изоморфизм Я°(T, V) = HP~V(F, V*).

Применение теоремы 2.42 в случае, когда коэффициенты принимают значения в симметрической тензорной степени S2((TM/7\F)*), дает решение задачи, предложенной Э. Масиасом (см.12).

Теорема 2.43. Пусть Т — риманово слоение на замкнутом многообразии M. Тогда пространство расслоенноподобных метрик на M по отношении к С°° топологии является деформационным ретрактом пространства всех римановых метрик на М.

Из теоремы 2.42 также вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.45. Пусть F — риманово слоение на замкнутом многообразии M, uV — любое риманово векторное расслоение, наделенное плоской связностью вдоль слоев слоения Т. Зафиксируем риманову метрику вдоль слоев, гладкую на М. Если на некотором слое существует нетривиальная интегрируемая гармоническая r-форма с коэффициентами в V, то пространство £lr(!F, V) П кег à.? бесконечномерно.

Теорему 2.45 можно применить для построения примеров римановых слоений на замкнутых римановых многообразиях с плотными слоями и бесконечномерным пространством гладких послойных гармонических форм.

В главе 3 начинается изучение свойств трансверсально эллиптических операторов. Понятие трансверсально эллиптического оператора было введено Атьей и Зингером в работах 13 14 . Атья и Зингер понимали под трансверсально эллиптическим оператором такой псевдодифференциальный оператор Л, действующий в пространстве гладких сечений векторного G-расслоения Е на компактном G-многообразии X (G — компактная группа Ли), который коммутирует с действием группы G, и эллиптичен

12Section "Open Problems", Problem 4.12. In: Analysts and Geometry in Foliated Manifolds. Proceedings of the VII International Colloquium on Differential Geometry, Santiago de Compostela, 26-30 July, 1994. Singapore: World Scientific, 1995.

13Atiyah M F. Lecture Notes in Mathematics. V. 401. Berlin Heidelberg New York- Springer, 1974. P. 1 -93.

"Singer I. M Proc. Symp. Pure Appl. Math. V. 23. Providence: Amer. Math. Soc, 1973. P. 11 - 31.

в направлениях, нормальных к (7-орбитам на X. Атья и Зингер определили индекс трансверсально эллиптического оператора А как обобщенную функцию indo А на группе G. Хорошо известно, что представление Т(д) группы G в гильбертовом пространстве L2(X, Е) 1<2-сечений расслоения Е стандартным образом продолжается до представления групповой алгебры Ll(G,dg) и, более того, до представления ¿'-скрещенного произведения Li{G,C(X)). В частности, любая функция tp € Cf{G X X) определяет ограниченный линейный оператор Те{<р) в L2(X, Е). Значение обобщенной функции indo А на пробной функции tp € C™{G) задается формулой

(indG А, <р) = ÍTPK^ATEÍ^PkctA - ЪРкетА-ТЕ(<р)Рке,А-,

где РкетА и Ркег А' — ортогональные проекторы в L2(X,E) на КегЛ и КегЛ* соответственно. Данное определение основывается на аналитической теореме, утверждающей, что оператор РкетА^Е{<р)РкпА является ядерным для любого трансверсально эллиптического оператора А и для любой функции <р 6 C™(G). Эту теорему можно рассматривать как аналог теоремы о фредгольмовости эллиптического оператора на компактном многообразии без края. Результаты работы 15 переформулированы на языке .ЙГ-теории в работе 1б, где построен индекс трансверсально эллиптического оператора как элемент группы K°{C{G,C(X))) = KK(C'{G,C(X)),C) (здесь C*(G, С(Х)) — С*-скрещенное произведение алгебры С(Х) непрерывных функций на X на группу G относительно естественного действия, группы G на С(Х)).

В работе17 установлен аналог факта о дискретности спектра эллиптических дифференциальных операторов на замкнутом многообразии и доказано существование функции распределения спектра для формально самосопряженных трансверсально эллиптических операторов. Наконец, в работе 18 определена формальная дзета-функция трансверсально эллиптического оператора на компактном G-многообразии и построено мероморфное продолжение С-функции на всю комплексную плоскость.

Доказательства упомянутых выше результатов опираются на теорию представлений компактных групп Ли и существенно используют условие

"Atiyah M. F. Lecture Notes in Mathematics. V. 401. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1974. P. 1 -93.

16Julg P. С. г. Acad. sci. Paris. 1982. T. 294. P. 193 - 196.

"Шубин М. А. Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1982. Т. 8. С. 239 - 258.

"Смагин С. А., Шубин М. А. Сиб. мат. ж. 1984. Т. 25. J0 6. С. 158-166.

G-инвариантности операторов и компактность группы G. В обзоре 19 Зингер описал доказательство существования индекса трансверсально эллиптических операторов для произвольной (не обязательно компактной) группы G, принадлежащее Хермандеру. Заметим также, что индекс операторов, трансверсально эллиптических по отношению к слоению на компактном многообразии, изучался в 21), 21.

Развитая в главе 3 аналитическая техника, в основе которой лежит микролокальный анализ и теория псевдодифференциальных операторов, является существенным развитием идей Хермандера. Она позволяет доказать существование и простейшие свойства спектральных инвариантов транс -версально эллиптических операторов при значительно более общих предположениях, чем это было сделано ранее.

Прежде всего, в главе 3 предполагается, что X — многообразие ограниченной геометрии (и, поэтому, может быть некомпактным) и G — произвольная группа Ли, действующая на X. Предполагается, что инфините-зимальные генераторы действия С°°-ограничены (в этом случае X называется G-многообразием ограниченной геометрии). Рассматриваются псевдодифференциальные операторы на X, которые равномерно (в некотором смысле) эллиптичны в направлениях, нормальных к (7-орбитам на X, и которые, вообще говоря, не коммутируют с действием группы. Точнее, в каждом конкретном случае накладываются дополнительные ограничения на данные операторы, которые можно рассматривать как ослабленные условия типа инвариантности (см. ниже более точные утверждения).

В разделе 3.1 приведены необходимые сведения о многообразиях ограниченной геометрии. В частности, следуя работе 22, мы напоминаем определения и основные свойства пространств Соболева и классов псевдодифференциальных операторов с ограниченными символами на многообразиях ограниченной геометрии. В разделе 3.2 дано определение G-многообразия ограниченной геометрии и введены некоторые связанные с ним понятия.

Для простоты изложения приведем формулировки основных результатов, ограничившись случаем, когда X — компактное многообразие. Тем самым, предположим, что X — компактное G-многообразие и Е — эрмитово

"Singer I. М. Proc Symp. Pure Appl. Math. V. 23. Providence: Amer. Math. Soc., 1973. P. 11 - 31.

20Connes A. PuW. Math. 1986. V. 62. P. 41 - 144.

21ffilsum M., Skandalis G. Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 1987. V. 20. P. 325 - 390.

22Kordyukov Yu. A. Acta Appl. Math. 1991. V. 23. P. 223 - 260.

векторное С?-расслоение на X. Предположим также, что действие группы О на X сохраняет гладкую положительную плотность ц и действие группы О в слоях расслоения Е сохраняет эрмитову структуру на Е.

Разделы 3.3 и 3.4 содержат основные технические результаты данной главы. Прежде всего, доказывается аналог теоремы о действии псевдодифференциальных операторов в пространствах Соболева (теорема 3.16) и аналог неравенства Гординга в рассматриваемом случае (теорема 3.18). В разделе 3.4 введено понятие трансверсально эллиптического оператора и описывается конструкция параметрикса, т.е., оператора, обратного к трансверсально эллиптическому оператору, по модулю операторов, сглаживающих в направлениях нормалей к G-орбитам. Из существования па-раметрикса и теоремы 3.16 стандартным образом следует аналог теоремы об эллиптической регулярности для трансверсально эллиптических операторов (предложение 3.22). Наконец, устанавливается существенная самосопряженность формально самосопряженных трансверсально эллиптических операторов, коммутирующих с действием группы по модулю операторов нулевого порядка. Результаты, полученные в разделах 3.3 и 3.4, полностью аналогичны соответствующим результатам стандартной теории псевдодифференциальных операторов (например, см. 23) с той только разницей, что в нашем случае необходимо использовать срезку при помощи операторов вида Те{<р).

В разделе 3.5 установлен аналог теоремы о компактности псевдодифференциальных операторов отрицательного порядка. Для оператора Р € Ф® I(X, Е) будем понимать под сто{Р) представитель класса в факторпро-странстве

^(П, Нот(тг'Я))/5-^-,/2)(Г*> Нот(тг*Я)).

задаваемого его главным символом.

Теорема 3.27. Пусть Р е Е) — такой оператор, что

Цтгар ||а0(Р)И|| = 0.

Тогда для любого <р € х X) операторы Те{ф)Р и РТе(<р) являются

компактными операторами в Ь2(Х,Е).

23Шубин М. Л. Псевдодафферевциальные операторы н спектральная теория. М.: Наука, 1978.

Затем строится фредгольмов модуль над алгеброй С*(G, С(Х)), ассоциированный с трансверсально эллиптическим оператором с инвариантным трансверсальным главным символом, и доказывается инвариантность соответствующего класса в K®(C*(G, С(Х))) при гомотопиях трансверсального главного символа (под трансверсальным главным символом оператора Р понимается ограничение его главного символа на множество TqX конор-малей к орбитам действия группы G на X). Из результатов данного разделалегкополучаетсяопределениеиндексатрансверсальноэллиптического оператора как обобщенной функции на

Раздел 3.6 посвящен изучению свойств функции распределения спектра трансверсально эллиптических операторов. Прежде всего, для любого самосопряженного трансверсально эллиптического оператора порядка т > О доказано существование функции распределения спектра как обобщенной функции на G х X.

Теорема 3.33. Пусть А 6 Ф™s(X,E),m > 0, — существенно самосопряженный трансверсально эллиптический оператор. Для любого Л > 0 обозначим через Е* спектральные проекторы оператора А, соответствующие интервалам (О, Л] (соответственно, [—A,0]j. Тогда для любой функции tp е C£°(G X X) и для любого А > 0 оператор = Те{<р)Е% является ядерным оператором в 1?{Х,Е).

Для операторов с положительным трансверсальным главным символом справедливо следующее, более сильное утверждение (установленное нами только в случае, когда X компактно).

Теорема 3.34. Пусть А € Е) — существенно самосопряженный

трансверсально эллиптический оператор порядка т > 0, перестановочный с действием группы G. Предположим, что существует коническая окрестность U множества TqX и постоянная С > 0, такие, что в любой системе координат полный символ оператора А удовлетворяет условию Rea(x,£) ^ C¡£|m при больших (х,£) 6 U. Для любого А > О обозначим через Е\ спектральный проектор оператора А, соответствующий интервалу (—оо, А]. Тогда для любой функции tp £ C£°(Gх X) и для любого А €Е R оператор Е\{<р) — Те{ц>)Е\'является ядерным оператором eL2{X,E).

"Coimes А. РпЫ. Math. 1986. V. 62. Р. 41 - 144.

Согласно теореме 3.34 корректно определены функции распределения спектра оператора А на соответствующих интервалах как обобщенные функции на б? х X по формулам

= <р€С?(СхХ).

Для функций (А) и А) установлены аналоги свойств целочислен-ности и монотонности обычной функции распределения собственных значений. Спектр оператора А, для которого функция ЛГс(А) корректно определена, совпадает с множеством точек роста этой функции. Аналогичное описание спектра можно дать, используя функции Если X ком-

пактно, то обобщенные функции распределения спектра, введенные в 25, получаются из наших ограничением на пространство которое вло-

жено в х X) как пространство функций <¿>(<7,2:) е х X), не

зависящих от х € X.

В разделе 3.7 изучаются свойства дзета-функции трансверсально эллиптического оператора с трансверсальным главным символом, удовлетворяющим стандартному условию эллиптичности с параметром. Следует заметить, что из условия эллиптичности с параметром для трансверсального главного символа, вообще говоря, не следует обратимость операторов вида А — А и стандартная оценка для резольвенты типа || (А — А)-11| < С/| А| при больших А, как это имеет место для эллиптических операторов. Поэтому, дополнительно предполагается справедливость последнего утверждения (данное условие можно рассматривать как условие типа инвариантности оператора). При этих условиях на оператор Л, используя технику, разработанную в разделах 3.3 и 3.4, строятся комплексные степени А' оператора Л и доказывается, что оператор Те(<р)А* является ядерным оператором для любой функций <р € С£°(СхХ) и любого г с достаточно большой по абсолютной величине отрицательной вещественной частью. Это позво-' ляет дать определение дзета-функции Сс?(г) 6 2У(С? х X) оператора Л по формуле

(0з(г)> <р) = *ТЕ(<р)А', <р € С?(0 х X). Как в работе 2б, можно построить параметрикс трансверсально эллиптиче-

"Шубин м. А. Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1982. Т. 8. С. 239 - 258.

"Смагин С. А., Шубин М. А. С*б. мат. ж. 1984. Т. 25. № 6. С. 158-166.

ского оператора А, рассматриваемого как оператора с параметром, и при помощи этой конструкцию определить формальные комплексные степени В« и формальную (^-функцию ^ото1(г) £ Р'((? х X) оператора А:

<Сь,ш(г), ¥>) = 1*1^)5«, V € С?(О х X).

Доказано, что построенная в данном разделе С-функция Сб(г) отличается на целую функцию от формальной ^-функций. В частности, этот факт позволяет установить связь между формальной ^-функцией и спектром оператора А, оставшуюся открытой в работе 27, и при помощи результатов этой работы доказать существование мероморфного продолжения функции (с(г) на всю комплексную плоскость.

Глава 4 посвящена исследованию свойств трансверсально эллиптических операторов на компактных многообразиях со слоением. В этом случае можно значительно улучшить и расширить результаты, полученные в главе 3 для трансверсально эллиптических операторов на многообразиях, наделенных действием некомпактной группы Ли. При этом важную роль играет трансверсальное псевдодифференциальное исчисление на многообразиях со слоением, развитое в разделе 1.2.

В разделе 4.2 доказывается уточненный результат о мероморфном продолжении дзета-функции трансверсально эллиптических операторов на многообразиях со слоением.

Назовем трансверсальным главным символом оператора А € Фт(М, Е) на многообразии со слоением (М,Т) ограничение его главного символа на конормальное расслоение к слоению Т.

Теорема 4.14. Пусть {М,Т) — компактное многообразие со слоением, Е — эрмитово векторное расслоение на М, А 6 Фт(М, Е) — трансверсально эллиптический псевдодифференциальный оператор с положительным трансверсальным главным символом. Предположим, что оператор А, рассматриваемый как неограниченный оператор в гильбертовом пространстве 1?{М,Е), существенно самосопряжен на исходной области определения С°°(М, Е), и его замыкание является обратимым и положительно определенным оператором. Для любого С} й Ф'-°°(М, Т, Е), I € Ъ, функция г ^ {С}А~г) голоморфна при Иег > (I + д)/тп (д — со&тп?) и

"Смаган С. А , Шубин М. А. Сиб. мат. ж. 1984 Т. 25 № 6 С. 158-166.

допускает (единственное) мероморфное продолжение на С сне более чем простыми полюсами в точках z* = к/т с целыми к < I + q. Ее вычет в точке z — Zk равен

res tr (QyT*) = qr{QA~k'm).

В этой теореме г обозначает сингулярный след (след типа Гийемина-Водзицкого) на алгебре Ф*,-00(Л/, J", £), построенный в разделе 1.2.5.

Основным результатом раздела 4.3 является версия теоремы Егорова для трансверсально эллиптических операторов на компактных многообразиях со слоением (теорема 4.25). Классическая теорема Егорова 28 является одним из фундаментальных результатов микролокального анализа, связывающим квантовую эволюцию псевдодифференциальных операторов с классической динамикой главных символов. Напомним формулировку этой теоремы. Пусть Р — положительный самосопряженный псевдодифференциальный оператор первого порядка на компактном многообразии М с положительным главным символом р. Пусть /( — бихарактеристи-ческий поток оператора Р, т.е., гамильтонов поток на Т*М, задаваемый гамильтонианом р. Теорема Егорова утверждает, что для любого псевдодифференциального оператора А нулевого порядка с главным символом а € S°(T*M \ 0) оператор Л(£) = e>tpAe~,tp является псевдодифференциальным оператором порядка 0. Главный символ at € S°(T*M \ 0) этого оператора задается формулой

atM = a(ftM), (*,0ет-м\ 0.

Рассмотрим теперь компактное многообразие со слоением (Л/, F) и формально самосопряженный трансверсально эллиптический псевдодифференциальный оператор D первого порядка в L2(M), имеющий голономно инвариантный трансверсальный главный символ. По спектральной теореме, оператор (D) = (I -f- D2)1/2 определяет сильно непрерывную группу е"^ ограниченных операторов в [?(М). Введем однопараметрическую группу Ф* »-автоморфизмов алгебры £(L2(M)) по формуле

Ф,(Г) = е"<°>Ге-{'<°>, Т 6 C{L\M)).

"Егоров Ю. В. УМН. 1969. Т. 24. № 5. С. 149-150.

Теорема 4.25 утверждает, что для любого К € Фт,-00(М, J7) существует такой оператор K(t) € Фт~°°(М, Т), что семейство $i(K) - K(t),t 6 R, есть гладкое семейство операторов, сглаживающих в шкале пространств, задаваемой оператором (D). Более того, если, в дополнение, субглавный символ оператор D равен нулю, то можно описать главный символ оператора K(t). Он получается из главного символа оператора К при помощи действия трансверсального бихарактеристического потока, определяемого трансверсальным главным символом оператора D.

Основной целью раздела 4.4 является обобщение формулы следов Дюй-стермаата-Гийемина на случай трансверсально эллиптических операторов на компактном многообразии со слоением. Сначала, напомним вкратце содержание классической формулы.

Пусть Р - положительный самосопряженный эллиптический псевдодифференциальный оператор первого порядка на замкнутом многообразии М. Можно показать, что, для любой функции / € оператор Uf =

/ f[t)eltpdt является ядерным оператором, и отображение в : / i-» tri/) является обобщенной функцией на К. Согласно теореме Колин де Вердье и Шазарена 2Э, 30, особенности функции в содержатся в множестве периодов замкнутых траекторий бихарактеристического потока ft. Более того, Дюйстермаат и Гийемин показали 31, что, в предположении, что бихарак-теристический поток является чистым, можно выписать асимптотическое разложение для функции в вблизи данного периода замкнутой бихарактеристики. Формула для главного члена этого асимптотического разложения и есть упоминавшаяся выше формула следов Дюйстермаата-Гийемина. Она включает в себя геометрию бихарактеристического потока в виде отображения Пуанкаре и индексов Маслова и является далеко идущим обобщением классической формулы Пуассона и формулы следов Сельберга на гиперболических пространствах.

В разделе 4.4 доказана формула типа Дюйстермаата-Гийемина для оператора P = vÄ, где А - положительный самосопряженный трансверсально эллиптический псевдодифференциальный оператор второго порядка с положительным, голономно инвариантным трансверсальным главным сим-

"Colrn de Verdure Y. Comp. Math. 1973. V. 27. P. 159 - 184.

30СЬагагаш J Invent. Math. 1974. V. 24. P. 65 - 82.

31Dmstermaat J J , Guillemin V. Invent Math. 1975. V. 29. P. 39 - 79.

волом на компактном многообразии со слоением (M,!F). Рассмотрим обобщенную функции вк £ 2У(К), задаваемую формулой

(вы, /) = tr R(k) J f(t)eltPdt, f ее? (R),

где к £ C¡?(G, \TQ\X!2) — фиксированная произвольная плотность и R(k) — соответствующий касательный оператор в L2(M). Формула типа Дюй-стермаата-Гийемина (см. теорему 4.34; в силу громоздкости формулировки мы не приводим ее здесь) дает описание особенностей функции при естественных дополнительных условиях на трансверсальный бихарактери-стический поток.

Если рассматривать оператор Р как эллиптический оператор первого порядка на сингулярном пространстве М/Т слоев слоения Т, то формула следов, установленная в этом разделе, является примером формулы следов для эллиптических операторов на сингулярных пространствах. Эта формула будет полезна при дальнейшем изучении общей формулы следов в некоммутативной геометрии (см., например,32,33 по поводу некоммутативной формулы следов). Следует также отметить, что формулу следов, установленную в разделе 4.4, можно рассматривать как относительную версию формулы следов Дюйстермаата - Гийемина.

В разделе 4.5 полученные выше результаты применяются для исследования некоммутативной геометрии римановых слоений (в смысле А. Конна). Прежде всего, построены спектральные тройки (А, И, D), ассоциированные с трансверсально эллиптическими операторами на компактном многообразии со слоением (М, J-). Они имеют следующий вид:

1. А — алгебра Cf{G), где G обозначает группоид голономии слоения;

2. Я — гильбертово пространство L2(M,E) квадратично интегрируемых сечений голономно эквивариантного эрмитова векторного расслоения Е, на котором алгебра А действует посредством естественного ♦-представления Re',

3. D — такой самосопряженный трансверсально эллиптический оператор первого порядка с голономно инвариантным трансверсальным глав-

иСоппез A. Selecta Math. (N S) 1999. V. 5. Р. 29 - 106

"Golse F., Leichtnam E. J. Fünct. Anal. 1998. V. 160. P. 408 - 436.

ным символом, что оператор D2 самосопряжен и имеет скалярный главный символ.

Теорема 4.36. Для любого замкнутого многообразия со слоением (Л/,.?-") описанная выше тройка (Л, И, D) является конечномерной спектральной тройкой.

В контексте некоммутативной дифференциальной геометрии трансвер-сально эллиптические операторы на многообразиях со слоением появились в 34. Именно, там доказано, что любой трансверсально эллиптический оператор нулевого порядка с голономно инвариантным трансверсальным главным символом определяет конечномерный фредгольмов модуль над алгеброй C™(Gjr) (см. также 35 , 3 6 ). Теорема 4.36 распространяет этот результат на случай трансверсально эллиптических операторов первого порядка.

Затем дано описание спектра размерностей (см. 37) спектральных троек, ассоциированных с римановыми слоениями.

Теорема 4.40. Спектральная тройка (Л, 7Í,D), описанная в теореме 4-36, имеет простой дискретный спектр размерностей Sd, содержащийся в множестве {г 6 N : v < g}, q = codim T.

Наконец, используя теорему 4.24, дано частичное описание некоммутативного геодезического потока, задаваемого данными спектральными тройками (см. теорему 4.49).

Глава 5 посвящена изучению спектральных асимптотик для эллиптических операторов на многообразиях со слоением, зависящих от малого параметра h > 0, которые при h -> О вырождаются в трансверсальных направлениях таким образом, что в пределе получается касательно эллиптический оператор.

Простейший пример такой задачи рассмотрен в разделе 5.1. Рассмотрим гладкое замкнутое многообразие со слоением (M, Т). Предположим, что Т имеет голономно инвариантную меру и, задаваемую положительной гладкой плотностью на гладких трансверсалях. Зафиксируем гладкое семейство А = {A¿ : L S V/T} гладких положительных плотностей на слоях

"Coimes А РиЫ. Math. 1986. V. 62 Р. 41 -144.

35Connes A. Noncommutative geometry. London- Academic Press, 1994.

"Hilsum M , Skandal is G. Ann. scient. Ее. Norm. Sup. 1987. V. 20. P. 325 - 390

"Connes A., Moscovici H. Geom and Funct. Anal. 1995. V. 5 P. 174 - 243

слоения F. Комбинируя v и А, получим гладкую положительную плотность dx на М.

Пусть А — формально самосопряжегганый в L2(M, dx) касательно эллиптический оператор порядка ц > 0, такой, что его касательный главный символ положителен, и В — формально самосопряженнный в L2(M,dx) классический псевдодифференциальный оператор порядка m > 0 на М, такой, что главный символ оператора В положителен, если ц < т, и транс-версальный главный символ оператора В положителен, если fi>m.

Рассмотрим псевдодифференциальный оператор

Ah = A + hmB

на М, зависящий от параметра h > 0. При сделанных выше предположениях, для любого достаточно малого h > 0 оператор А), является формально самосопряженным псевдодифференциальным оператором на М с положительным главным символом в любой системе координат, который эллиптичен, если ц < т, и гипоэллиптичен, если ц > т. Таким образом, А^ определяет самосопряженный полуограниченный снизу оператор в L2(M, dx) с дискретным спектром.

Основным результатом раздела 5.1 является асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора Ah при h -> 0 при дополнительном предположении, что трансверсальный главный символ &в оператора В голономно инвариантен.

Пусть е(7,А),7 G G, А € R, обозначает касательное ядро спектрального проектора касательно эллиптического оператора А, соответствующего полуоси (—оо, А), и е(х, А),х € М, А € R — его ограничение на М. Как доказано в главе 2, функция е(х, А) является ограниченной измеримой функцией на М при фиксированном А б R.

Трансверсальная плотность v определяет положительную плотность vx на iV'jF для любого х G М. Введем функцию V 6 С°°(М), значение которой в точке х € М равно объему множества всех таких (х, rj) € N*!F, что

Теорема 5.1. Для любого А € К имеет место асимптотическая формула:

Nh(X) = h~9 jf (J* (А - г)7/т^е(х, г)) V{x) dx + о(Л"«), Л 0,

где q обозначает коразмерность слоения Т.

Локально данная задача является асимптотической спектральной задачей для (гипо)эллиптического оператора Ah в случае, когда его главный символ содержит малый параметр h только в коэффициентах, стоящих перед производными по отношению к некоторой выбранной группе переменных. Точнее, оператор А^ есть псевдодифференциальный оператор в R" = RP х R« вида

m

Ah = ^h'aj{x,y,Dx,hDy), х е Rp, у е R?.

Его можно рассматривать как Л-псевдодифференциальный оператор по переменной у £ Ж" с операторнозначным символом. Асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора такого вида в R" была получена в 38, используя технику псевдодифференциальных операторов с операторнозначными символами. Глобально оператор Аь не имеет такой хорошей структуры, и не вполне ясно, применима ли в данном случае техника операторов с операторнозначными коэффициентами. Данная асимптотическая задача является полулокальной в том смысле, что она локализуется только в направлениях, трансверсальным к слоям слоения. Сложность при исследовании этой проблемы связана с достаточно сложной глобальной структурой слоения.

Спектральные задачи данного типа имеют много приложений в различных областях механики и квантовой физики, физике анизотропных сред, квантовой механике кристаллов, молекулярной физике и исследовались многими авторами. В разделе 5.2 результаты раздела 5.1 применяются для изучения асимптотического поведения спектра оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, в адиабатическом пределе.

Пусть (М, Т) — замкнутое многообразие со слоением, codim^7 = q, наделенное римановой метрикой дм- Предположим, что слоение Т риманово и метрика дм расслоенноподобна. Пусть F = ТТ — интегрируемое распределение в ТМ, и Н = FL — ортогональное дополнение к F. Тем самым, имеем разложение расслоения ТМ в прямую сумму ТМ = F 0 Я и соот-

"Balasard-Konlem А. С R.Acad Sc. Paris, Sene I. 1985. V. 301. P. 903 - 906.

ветствующее разложение метрики дм = 9f + 9h- Определим однопарамет-рическое семейство дь метрик на M по формуле

9h = 9F + h~2gH, 0 < h < 1.

Адиабатическим пределом называется «предел» римановых многообразий (М,дь) при h 4- 0. Заметим, что при,Л 4- 0 локальные слои слоения в любой расслоенной карте бесконечно удаляются друг от друга. Такая форма адиабатического предела была введена Э. Виттеном в 39 для римановых расслоений над окружностью. Виттен исследовал адиабатический предел эта-инвариантов оператора Дирака в связи с рассмотрением гравитационных аномалий в теории струн. Это исследование было продолжено в работах 40, 41 и 42 и обобщалось на общий случай римановых расслоений в 43 и 44

Для любого h > 0 рассмотрим оператор Лапласа на дифференциальных формах, определенный метрикой <?/,:

где d : Cœ(M,AkT*M) ->• C°°{M,Ak+lT*M) - дифференциал де Рама, d"% — оператор, сопряженный к оператору d относительно гильбертовой структуры на С°°(М,АТ*М), индуцированной метрикой ди- Оператор Адк является самосопряженным эллиптическим дифференциальным оператором с положительно определенным, скалярным главным символом в гильбертовом пространстве ¿2(М, АТ*М,дь). Основным результатом раздела 5.2 является асимптотическая формула для функции распределения собственных значений уУд(А) оператора ДЗА при h -> 0.

Обозначим через Ayr : С°°(М,АТ*М) -» С°°{М, АТ*М) касательный оператор Лапласа: А? — d*Tdf + djrd'j; (здесь dj обозначает касательный дифференциал де Рама). Пусть N?(X) — функция распределения спектра касательно эллиптического оператора введенная в главе 2.

"Witten Е. Comm. Math. Phys. 1985. V. 100. P. 197 - 229.

"Bismut J. M., Freed D.S. Commun. Math. Phys. 1986. V. 106. P. 159 - 176.

"Bismut J.M., FVeed D.S. Commun. Math. Phys. 1986. V. 107. P. 103-163.

"Cheeger J. J. Diff. Geom. 1987. V. 26. P. 175 - 221.

"Bismut J. M., Cheegei J. J. Amer. Math. Soc. 1989. V. 2. P. 33 - 70.

"Dai X. J. Amer. Math. Soc. 1991. V. 4. P. 265 - 321.

Теорема 5.17. Пусть [M, J7) — риманово слоение, наделенное расслоен-ноподобной римановой метрикой дм. Имеет место следующая асимптотическая формула для функции N¡,(Л):

ВД = jTja - гГ'ЧМг) + o(h~<), Л -> 0.

Соответствующая асимптотическая формула для следа оператора /(Дл) имеет место для любой функции / G Cc(R) (см. теоремы 5.24 и 5.31). Данную задачу естественно рассматривать как задачу о квазиклассических спектральных асимптотиках для эллиптических операторов на сингулярном многообразии M¡T слоев слоения Т. Использование языка некоммутативной геометрии в теореме 5.24 позволяет записать асимптотическую формулу для следа оператора /(Дь) в форме, полностью аналогичной квазиклассической формуле Вейля для следа функций от оператора Шредин-гера на компактном многообразии.

В работе 45 Маззео и Мельроуз обнаружили новые свойства адиабатических пределов для римановых расслоений. Они установили связь адиабатических пределов со свойствами спектральной последовательности Ле-ре. Можно сказать, что использование адиабатических пределов позволяет дать описание типа теории Ходжа для спектральной последовательности Лере, т.е. описать ее члены в терминах спектра оператора Лапласа на ри-мановом расслоении по аналогии с тем, как классическая теория Ходжа дает описание когомологий компактного многообразия в терминах спектра оператора Лапласа (точнее, его нулевых мод). Результаты Маззео и Мельроуза были развиты в работе 46 и далее Форманом в работе 47. Форман изучал адиабатические пределы в очень общей постановке, связанной с произвольной парой трансверсальных распределений. Тем не менее, самые интересные аналитические результаты получены только для слоений, удовлетворяющих очень ограничительным условиям, а, именно, для рима-новых слоений, все слои которых компактны.

Целью главы б является распространение результатов Формана на случай произвольного риманова слоения на компактном многообразии. Для

45Melrose R., Mazzeo R. J. Diff. Geom. 1991. V. 31. P. 185 - 213.

"Dai X. J. Amer. Math. Soc 1991. V. 4. P. 265 - 321.

47Forman R. Commun. Math. Phys. 1995. V. 168. P. 57-116.

общего С°°-слоения Т на М роль (дифференцируемой версии) спектральной последовательности Лере играет дифференциальная спектральная последовательность (Ек,с1к), сходящаяся к когомологиям де Рама многообразия М. Определение последовательности (Ек, <1к) дается при помощи той же самой фильтрации комплекса де Рама (П, в.) многообразия М, как и в случае расслоения: дифференциальная форма и степени г имеет степень фильтрации > к, если ее значение на любом наборе векторов, г — к + 1 из которых касаются слоев слоения, равно нулю; то есть, грубо говоря, и имеет трансверсальную степень > к. Кроме того, С00 топология на Ф индуцирует структуру топологического векторного пространства на каждом члене Ек дифференциальной спектральной последовательности слоения, относительно которой оператор й* непрерывен. В данном случае сложной проблемой является тот факт, что пространства Ек могут быть нехаусдор-фовыми. Тем самым, имеет смысл рассматривать подкомплекс, задаваемый замыканием тривиального подпространства, О* С Ек, а также факторком-плекс Ек = Ек/Ок- Как показано в главе 6, для римановых слоений член Ек является хауедорфовым конечномерным пространством при к > 2, и Я(бх) = 0. Поэтому Ек = Ек при к >2.

Обозначим как и выше через Д"л оператор Лапласа на дифференциальных формах, определяемый метрикой дн- Пусть 0 < Ад(/») < < ^г(Л) < • • • обозначает его спектр на Пг с учетом кратности. Хорошо известно, что собственные значения оператора Лапласа на дифференциальных формах изменяются непрерывно при непрерывных возмущениях метрики, и, тем самым, «ветви» собственных значений А[(Л) зависят непрерывно от параметра Л > 0. Мы будем рассматривать только те «ветви» А •'(Л), которые стремятся к нулю при Л | 0; грубо говоря, «малые» собственные значения.

Теорема 6.69. Для любого риманова слоения на замкнутом римановом многообразии

«ШпЕ? = Й {* | АГ(Л) €0(Г12) при Л |0} ,

сНтЕ£ = Ц {г | А[(Л) еО(Ь2к) при Л |0} , к> 2.

Исследован также вопрос о поведении собственных форм оператора Дгь, соответствующих малым собственным значениям (это исследование используется при доказательстве теоремы 6.69, но оно, несомненно, представляет

собой самостоятельный интерес). Предположим, что слоение Т риманово, и метрика дм является расслоенноподобной. Используя естественный изоморфизм 0h гильбертовых пространств L2(M, AT*М, дь) и L2{M, ЛТ*М, д) можно перенести рассматриваемые объекты в фиксированное гильбертово пространство L2(M,AT*M,g) = L2il. Оператор AJk переходит при этом в оператор Дл = 9/,Др> Вд1. Для простоты обозначений положим тп\ = dim Е[, и mTk— dim Е% для любого к = 2,3,..., оо. В теореме 6.70 доказывается, что собственные подпространства оператора Дд, соответствующие «малым» собственным значениям, сходятся при h 4- 0, и их предел задается вложенной последовательностью биградуированных подпространств (определение которых приведено в разделе 6.3.1)

П DUi Э-Н2Э-«зЭ--0^оо.

Точнее, для каждого h > 0 рассмотрим вложенную последовательность градуированных подпространств

О Э Thih) Э n2{h) Э H3{h) Э • • О ЯГО(Л) ,

где 7irk(h) есть подпространство, порожденное собственными формами оператора Дд, соответствующими собственным значениям AJ(/i) с t < тптк\ в частности, Wk(h) = fioo(h) — ker Да при достаточно больших к. Положим также ?4(0) = Пк-

Теорема 6.70. Для любого риманова слоения на замкнутом многообразии, снабженном расслоенноподобной метрикой и при любом к = 2,3,..., оо, соответствие h >-> Hrk(h) определяет непрерывное отображение из [О, оо) в пространство конечномерных линейных подпространств пространства L2Slr для любого т > 0. Если dim£^ < оо, то это утверждение верно также при k = 1.

В разделе 6.5 построены примеры слоений, для которых отображение h 1-4 ЩХЩ, определенное в теореме 6.70, не является С°°-отображением из [0, оо) в пространство конечномерных линейных подпространств пространства L2ÜT.

Глава 7 посвящена изучению редуцированных послойных когомологий транзитивных слоений коразмерности один. Используя послойную теорию

Ходжа и методы теории индекса трансверсально эллиптических операторов, дано определение размерности послойных когомологий (послойных чисел Бетти) как обобщенных функций на вещественной прямой и доказана формула для соответствующей эйлеровой характеристики. Эту формулу можно рассматривать как простейший пример теоремы об индексе для трансверсально эллиптических операторов относительно некомпактной группы Ли.

Пусть М — замкнутое многообразие и 7 — гладкое слоение на М коразмерности один. Слоение Т называется транзитивным, если существует векторное поле X на М, которое трансверсально к слоям, т.е. ТХМ — К Х{х) ф ТХТ для любого х € М, и соответствующий поток Х1: М М, * € К, отображает каждый слой слоения Т в (возможно, другой) слой. В этом случае, орбиты потока í 6 К, невырождены и трансверсальны к слоям.

Напомним, что редуцированные когомологии Н{Т) слоения Т определяются по формуле Н(7) — кег^/шае^, где (П(^), обозначает послойный комплекс де Рама слоения Т, наделенный <7°°-топологией.

Определение размерности пространства Н{7) как обобщенных функций на вещественной прямой опирается на тот факт, что послойный комплекс де Рама является трансверсально эллиптическим комплексом по отношению к потоку Х%. При этом используется послойная теория Ходжа, развитая в разделе 2.3, и методы исследования трансверсально эллиптических операторов, развитые в главах 3 и 4.

Рассмотрим такую риманову метрику на М, в которой вектор X имеет единичную длину и ортогонален к слоям. Данная метрика является расслоенноподобной метрикой на М, и, тем самым, слоение Т является римановым слоением. Рассмотрим индуцированную риманову структуру на слоях. .Пусть 5?, Д^- — послойный кодифференциал и послойный лапласиан на Они являются ограничениями на П(^) кодифференци-ала и лапласиана вдоль слоев. Ядро оператора Д^- есть пространство гладких послойно гармонических форм на Л/. Рассмотрим Д^ как неограниченный оператор в гильбертовом пространстве Ь2И(Т) квадратично интегрируемых послойных дифференциальных форм па М с гильбертова структурой, задаваемой римановой метрикой на М, определенный на Щ7). Поскольку метрика расслоенноподобна, оператор Д^ формально

»

ГОС. НАЦИОНАЛЫМ СИБЛИОТЕКА С. Петербург О» МО акт

самосопряжен в L2Q.{F), и поэтому его замыкание Ajr является самосопряженным оператором "в L2íl(!F). Пусть П — ортогональный проектор Ь2П(?) ker A jr. Согласно теореме 2.23, ограничение оператора П на определяет оператор П : П(^) -»■ и имеет место ортогональ-

ное разложение = %(•?-") ф imd?- ф im<5^. В частности, включение И(З-) С kerd>- индуцирует изоморфизм %{?) Н(!F).

Для любой функции / £ С£°(К) определим оператор Aj на ЩР) по формуле

А} = По f X;-f(t)dt оП.

Jul

Пусть А® обозначает ограничение оператора Л/ на ÍÍ'(,F).

Теорема 7.1. Для любой функции f € Cf(R) оператор A¡ является ядерным оператором. Более того, для любого i функционал f tr А^ определяет обобщенную функцию на R.

Будем называть обобщенную функцию ß^S{!F) i-м обобщенным числом Бетти слоения Т. Мы также определим обобщенную эйлерову характеристику слоения Т по формуле

Функцию Xd.»(-^) можно также рассматривать как число Лефшеца потока Xt.

В работах 48, 49, Конн дал определение конечных Л-чисел Бетти ß\{3-) и эйлеровой Л-характеристики Хл(^) для слоений с голономно инвариантной трансверсальной мерой А. Л-числа Бетти определяются как величины типа среднего по М относительно трансверсальной меры Л от «локальной размерности» пространства квадратично интегрируемых гармонических форм вдоль слоев в каждой степени г. Технические проблемы, возникающие при реализации этой идеи, решаются при помощи некоммутативной теории интегрирования Конна. Заметим, однако, что, если слои некомпактны, то формы, входящие в рассматриваемое нами пространство И{Т), являются гладкими на М и не являются квадратично интегрируемыми вдоль слоев.

"Connes A. Lecture Notes ¡d Math. V. 725. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1979. P. 19 - 143.

"Connes A. Publ. Math. 1986. V. 62. P. 41 - 144.

Тем самым, априори, Л-числа Бетти не связаны непосредственно с редуцированными послойными когомологиями.

В нашем случае, в качестве голономно инвариантной трансверсальной меры А можно взять элемент трансверсального риманова объема, соответствующий мере Лебега dt на EL Теорема 7.4 дает описание особенности функции Xd»[3~) в 0 в терминах эйлеровой A-характеристики Тем

самым, эта теорема устанавливает связь Л-числа Бетти с редуцированными послойными когомологиями. Аналогичный результат был получен в 50 в случае, когда поток изометричен.

Теорема 7.4. В некоторой окрестности 0 в R справедливо равенство

= ЫЛ • ¿о ,

где <5о обозначает дельта-функцию в 0.

. Напомним, что замкнутая орбита с длины I потока Xt на (M, Т) называется простой, если det(id— X¡ : ТХТ* TX!F*) ф 0 для любого х G с. Следующая теорема доказывает для данного типа слоений гипотезу, поставленную Денингером в пленарном докладе на Международном Математическом Конгрессе в Берлине в 1998 году 51. При некоторых дополнительных предположениях она была также доказана в 52, 53

Теорема 7.16. Предположим, что все замкнутые орбиты потока Xt на (M,!F) просты. Тогда

оо

xU?) = ]Г ¿(с) sign det (id -X¡(c) : ТХГ Txr) ■ 8Щс)

с к=1

на R+, где с пробегает множество всех примитивных замкнутых орбит потока Xt, 1(c) обозначает длину с, их — произвольная точка на с. Имеет место также симметричная формула для Xoai^) на К—

Формулу, полученную в теореме 7.16, можно также рассматривать как формулу типа Лефшеца для потока Xt-

wLazarov С. Geom. and Funct. Anal. 2000. V. 10. P. 124 - 159.

"Deninger С. Doc. Math. J. Extra Volume ICM98. V. 1. 1998. P. 163 - 186

"Deninger C-, Smghof W. Dynamical, spectral, and arithmetic zeta functions (San Antonio, TX, 1999). Contemp. Math. V. 290. Providence: Amer. Math. Soc., 2001. P. 41 - 55.

"Lazaro* C. Geom. and Funct. Anal 2000. V. 10. P. 124 - 159.

В качестве непосредственного следствия теоремы 7.4 получается следующее утверждение, дающее необходимое условие конечномерности редуцированных послойных когомологий в терминах эйлеровой Л-характеристики

ып

Следствие 7.17. Если ¿\тгН(^7) < оо, то Хла(^) и Хл(^) обращаются в нуль.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Кордюков Ю. А. Теорема о совпадении спектров для касательно эллиптических операторов на расслоенных многообразиях // Функц. анализ и его прилож. 1985. Т. 19. Вып. 4. С. 90 - 91.

[2] Кордюков Ю. А. О квазиклассических асимптотиках спектра эллиптических операторов на многообразиях со слоением // Матем. Заметки. 1993. Т. 53. Вып. 1. С. 157 - 159.

[3] Кордюков Ю. А. О квазиклассической асимптотике спектра гипоэл-липтических операторов на многообразии со слоением // Функц. анализ и его прилож. 1995. Т. 29. Вып. 3. С. 98 - 100.

[4] Кордюков Ю. А. Спектр трансверсального Лапласиана и длины ортогональных геодезических // Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы. Сб. научн. Трудов. Междунар. Науч. Конф. 22-25 сентября 1998 г. Ч. 1. Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. ин-т, 1998. С. 22 - 24

[5] Кордюков Ю. А. Теорема типа Егорова и некоммутативный геодезический поток на римановых слоениях // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. III. Дифференциальные уравнения и анализ. Уфа: Институт математики с ВЦ РАН, 2000. - С. 117 - 120.

[6] Кордюков Ю. А. Формула следов для трансверсально эллиптических

операторов на римановых слоениях // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. Вып. 3. С. 81 - 105.

[7] Alvarez L6pez J., Kordyukov Yu. A. Adiabatic limits and spectral sequences for Riemannian foliations // Geom. and Funct. Anal. 2000. V. 10. P. 977 - 1027.

[8] Alvarez L6pez J., Kordyukov Yu. A. Long time behavior of leafwse heat flow for Riemannian foliations // Compositio Math. 2001. V. 125. P. 129 -153.

[9] Alvarez Lopez J., Kordyukov Yu. A. Distributional Betti numbers of transitive foliations of codimension one // Foliations: Geometry and Dynamics. Proceedings of Euroworkshop held in Warsaw, Poland 29 May - 9 June 2000. Singapore: World Scientific, 2002. P. 159 - 183.

[10] Kordyukov Yu. A. Transversally elliptic operators on G-manifolds of bounded geometry // Russian J. Math. Phys. 1994. V. 2. N. 2. P. 175 -198.

[11] Kordyukov Yu. A. Transversally elliptic operators on G-manifolds of bounded geometry (contunued) // Russian J. Math. Phys. 1995. V.3. N 1. P. 41-64.

[12] Kordyukov Yu. A. Functional calculus for tangentially elliptic operators on foliated manifolds // Analysis and Geometry in Foliated Manifolds, Proceedings of the VII International Colloquium on Differential Geometry, Santiago de Compostela, 1994. Singapore: World Scientific, 1995. P. 113 - 136

[13] Kordyukov Yu. A. Noncommutative spectral geometry of Riemannian foliations // Manuscripta Math. 1997. V. 94. P. 45 - 73.

[14] Kordyukov Yu. A. Adiabatic limits and spectral geometry of foliations // Math. Ann. 1999. V. 313. P. 763 - 783.

[15] Kordyukov Yu. A. Semiclassical spectral asymptotics on foliated manifolds // Math. Nachr. 2002. V. 245. P. 104 - 128.

[16] Kordyukov Yu. A. Egorov's theorem for transversally elliptic operators on foliated manifolds and noncommutative geodesic flow // Препринт math.DG/0407435. Math. Phys. Anal. Geom. (в печати).

КОРДЮКОВ Юрий Аркадьевич

АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА МНОГООБРАЗИЯХ СО СЛОЕНИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано к печати 27.07.2004. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 2,25. Усл. кр.-отт. 2,25. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ № 455

Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12

»15620

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Некоторые сведения из теории слоений.

1.1.1 Слоения.

1.1.2 Голономия

1.1.3 Трансверсальные меры.

1.1.4 Связности.

1.1.5 Инфинитезимальные преобразования.

1.1.6 Римановы слоения.

1.1.7 Дифференциальные операторы на многообразиях со слоением

1.1.8 Геометрические операторы на многообразиях со слоением

1.1.9 Группоид голономии

1.1.10 Голономно эквивариантные векторные расслоения

1.1.11 Операторные алгебры слоения.

1.2 Трансверсальное псевдодифференциальное исчисление.

1.2.1 Классы Ут-°°(М,Т,Е).

1.2.2 Анизотропные пространства Соболева и классы

1.2.3 Символическое исчисление в классах ф"1--00.

1.2.4 Непрерывность символьного отображения.

1.2.5 Остаточный след.

2 Функциональное исчисление для касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением

2.1 Псевдодифференциальное функциональное исчисление

2.1.1 Комплексные степени.

2.1.2 Действие в пространствах Соболева.

2.1.3 Оператор вида f(A) как псевдодифференциальный оператор

2.1.4 Случай финслеровых слоений.

2.2 Глобальные аспекты функционального исчисления.

2.2.1 Функциональное исчисление в С*-алгебрах

2.2.2 Совпадение спектров для аменабельных слоений.

2.2.3 Свойство касательности операторов f{A).

2.2.4 Глобальная регулярность касательных ядер.

2.2.5 Функция распределения спектра для касательно эллиптических операторов

2.3 Поведение при больших временах послойного уравнения теплопроводности

2.3.1 Теорема Ходжа для касательно эллиптических комплексов

2.3.2 Доказательство теоремы 2.24.

5.1.2 Параболическая полугруппа, порожденная оператором Ah 192

5.1.3 Асимптотика следа операторов параболической полугруппы .196

5.1.4 Самосопряженный случай.200

5.2 Адиабатические пределы и спектральная геометрия слоений . . 202 5.2.1 Введение.202

5.2.2 Оценки для геометрических операторов в адиабатическом пределе.203

5.2.3 Асимптотическая формула для функций оператора Лапласа .205

5.2.4 Формулировка в терминах послойных спектральных характеристик .209

5.2.5 Пределы собственных значений.210

6 Спектральные последовательности и малые собственные значения 212

6.1 Спектральные последовательности слоения.212

Заключение

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Основными из них являются следующие.

Исследованы различные аспекты функционального исчисления для касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением, в частности, псевдодифференциальное функциональное исчисление и функциональное исчисление в С*-алгебре слоения. Установлены взаимосвязи различных характеристик (например, функций от оператора или его спектра) для касательно эллиптических операторов в глобальном представлении с их аналогами в послойном представлении. Построена функция распределения спектра самосопряженного касательно эллиптического оператора [131, 142].

Исследовано поведение решений послойного уравнения теплопроводности на римановом слоении при больших временах. Доказаны аналоги теорем Ходжа для редуцированных послойных С°°-когомологий риманова слоения [138].

Построены аналоги стандартного псевдодифференциального исчисления и эллиптической теории для трансверсально эллиптических операторов на многообразиях, снабженных действием группы Ли, и на многообразиях со слоением. Доказано существование и основные свойства спектральных инвариантов трансверсально эллиптических операторов на многообразиях, снабженных действием группы Ли. Установлены основные факты трансверсальной спектральной геометрии римановых слоений: аналоги теоремы Егорова и теоремы Дюйстермаата-Гийемина. Построены спектральные тройки, задаваемые трансверсально эллиптическими операторами на римановых слоениях, описан их спектр размерностей и ассоциированный геодезический поток [134, 135, 136, 140, 141, 143, 146].

Доказана асимптотическая формула для функции распределения спектра некоторых классов эллиптических операторов на компактных многообразиях со слоением, зависящих от малого параметра h > 0, которые при h 0 вырождаются в трансверсальном направлении таким образом, что в пределе получается касательно эллиптический оператор. Доказана асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, в адиабатическом пределе [132, 133, 144, 145].

Установлена связь числа малых собственных значений оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, в адиабатическом пределе с дифференциальной спектральной последовательностью слоения. Исследовано асимптотическое поведение собственных форм оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, соответствующих малым собственным значениям в адиабатическом пределе [137].

Дано определение размерности редуцированных послойных когомологий (послойных чисел Бетти) для транзитивных слоений коразмерности один как обобщенных функций на вещественной прямой и доказана формула типа Леф-шеца для соответствующей эйлеровой характеристики [139].

1. Алексеев А. Б. Асимптотика спектра эллиптических граничных задач по малому векторному параметру // Дифференциальные уравнения. Теория рассеяния. Проблемы математической физики. Том 11. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. С. 7-31.

2. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1974.

3. Атья М. Лекции по К-теории. М.: Мир, 1967.

4. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самоспряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.

5. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Том 1. М.: ИЛ, 1962.

7. Егоров Ю. В. О канонических преобразованиях псевдодифференциальных операторов// УМН. 1969. Т. 24. № 5. С. 149-150.

8. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1971.

9. Каспаров Г. Г. Операторная /^-теория и ее приложения / / Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 27. Москва: Всесо-юзн. Инст. Научн. и Техн. Информ., Акад. Наук СССР, 1985. С. 3-31, 232.

10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

11. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

12. Крылов А. Л., Федоров Е. М. О собственных колебаниях ограниченного объема замагниченной холодной плазмы // Докл. АН СССР. 1976. Т. 231. С. 68 70.

13. Левендорский С. 3. Спектральные асимптотики для дифференциальных операторов с операторными коэффициентами и некоторые приложения // Доклады АН СССР 1985 Т. 280. N 6. С. 1303 1306.

14. Лифшищ А.Е. О колебаниях анизотропных резонаторов // Функц. анализ и его прил. 1980. Т. 14. Вып. 2. С. 62-63.

15. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

16. Меладзе Г. А., Шубин М. А. Собственные равномерные псевдодифференциальные операторы на унимодулярных группах Ли // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1986. Т. 11. С. 74-97, 244, 246-247.

17. Смагин С. А., Шубин М. А. Дзета-функция трансверсально эллиптического оператора // Сиб. мат. ж. 1984. Т. 25. № 6. С. 158-166.

18. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

19. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциадьных операторов и интегральных операторов Фурье. Том 2: Интегральные операторы Фурье. М.: Мир, 1984.

20. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965.

21. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I. М.: Мир, 1986.

22. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными III. М.: Мир, 1987.

23. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными IV. М.: Мир, 1988.

24. Цикон X., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990.

25. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

26. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

27. Шубин М. А. Плотность состояний самосопряженных эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами // Труды сем. им И.Г. Петровского. 1978. Т. 3. С. 243 275.

28. Шубин М. А. Спектральные свойства и функция распределения спектра трансверсально эллиптического оператора // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1982. Т. 8. С. 239 258.

29. Alvarez L6pez J. A. Duality in the spectral sequence of Riemannian foliations // American J. Math. 1989. V. 111. P. 905 926.

30. Alvarez L6pez J. A. A finiteness theorem for the spectral sequence of a Riemannian foliation // Illinois J. of Math. 1989. V. 33. P. 79 92.

31. Alvarez L6pez J. A. The basic component of the mean curvature of Riemannian foliations // Annals of Global Anal, and Geom. 1992. V. 10. P. 179 194.

32. Alvarez L6pez J. A., Hurder S. Pure-point spectrum for foliation geometric operators // Preprint. 1994.

33. Alvarez L6pez J.A., Tondeur Ph. Hodge decomposition along the leaves of a Riemannian foliation // J. Funct. Anal. 1991. V. 99. P. 443 458.

34. Analysis and Geometry in Foliated Manifolds. Proceedings of the VII International Colloquium on Differential Geometry, Santiago de Compostela, 26-30 July, 1994. Singapore: World Scientific, 1995.

35. Anantharaman-Delaroche C., Renault J. Amenable groupoids. Geneva: L'Enseignement Math6matique, 2000.

36. Arraut J.L., dos Santos N. M. Linear foliations of T" // Bol. Soc. Bras. Mat. 1991. V. 21. P. 189 204.

37. Atiyah M. F. Elliptic operators and compact groups. Lecture Notes in Mathematics. V. 401. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1974. P. 1 -93.

38. Atiyah M.F., Bott R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. I // Ann. of Math. 1967. V. 86. P. 374 407.

39. Attie O., Hurder S. Manifolds which can not be leaves of foliations // Topology. 1996. V. 35. P. 335 353.

40. Avron J., Simon B. Almost periodic Schrodinger operators. II. The integrated density of states // Duke Math. J. 1983. V. 50. P. 369 391.

41. Baaj S. Calcul pseudo-diff6rentiel et produits crois£s de C*-algebres. I // C. R. Acad. Sci. Paris, serie I. 1987. T. 307. P. 581 586.

42. Baaj S. Calcul pseudo-diff6rentiel et produits crois6s de C'-algebres. II // C. R. Acad. Sci. Paris, serie I. 1988. T. 307. P. 663 666.

43. Baker G. A., Dodziuk J. Stability of spectra of Hodge-de Rham Laplacians // Math. Z. 1997. V. 224. P. 327 345.

44. Balazard-Konlein A. Asymptotique semi-classique du spectre pour des operateurs a symbole operatoriel // C.R.Acad.Sc. Paris, Serie I. 1985. V. 301. P. 903 906.

45. Bismut J. M., Cheeger J. ^-invariants and their adiabatic limits // J. Amer. Math. Soc. 1989. V. 2. P. 33 70.

46. Bismut J. M., Freed D.S. The analysis of elliptic families. I. Metrics and connections on determinant bundles // Commun. Math. Phys. 1986. V. 106. P. 159 176.

47. Bismut J.M., Freed D.S. The analysis of elliptic families. II. Dirac operators, eta invariants and the holonomy theorem // Commun. Math. Phys. 1986. V. 107. P. 103 163.

48. Bott R. On topological obstructions to integrability // Congrfes Intern. Math. Nice, 1970, tome 1. Gauthiers-Villars, 1971. P. 27 36.

49. Bott R. Lectures on characteristic classes and foliations // Lecture Notes in Math. V. 279. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1972. P. 1 94.

50. Candel, A., Conlon, L. Foliations. I. Providence: American Mathematical Society, 2000.

51. Candel, A., Conlon, L. Foliations. II. Providence: American Mathematical Society, 2003.

52. Chazarain J. Formule de Poisson pour le vari4t4s riemanniennes // Invent. Math. 1974. V. 24. P. 65 82.

53. Cheeger J. Spectral geometry of singular Riemannian spaces // J. Diff. Geom. 1983. V. 18. P. 575 657.

54. Cheeger J. Eta invariants, the adiabatic approximation and conical singularities // J. Diff. Geom. 1987. V. 26. P. 175 221.

55. Cheeger J., Gromov M., Taylor M. Finite propagation speed, kernel estimates for functions of the Laplace operator and the geometry of complete Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1982. V. 17. P. 15 53.

56. Chernoff P.R. Essential self-adjointness of powers of generators of hyperbolic equations // J. Func. Anal. 1973. V. 12. P. 401 414.

57. Colin de Verdifcre Y. Spectre du Laplacien et longeurs des g4od€siques periodiques // Сотр. Math. 1973. V. 27. P. 159 184.

58. Connes A. Sur la th4orie non-commutative de l'int£gration // Algfebres d'op6rateurs. Lecture Notes in Math. V. 725. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1979. P. 19 143.

59. Connes A. Noncommutative differential geometry // Publ. Math. 1986. V. 62. P. 41 144.

60. Connes A. Noncommutative geometry. London: Academic Press, 1994.

61. Connes A. Geometry from the spectral point of view // Lett. Math. Phys. 1995. V. 34. P. 203 238.

62. Connes A. Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function // Selecta Math. (N.S.) 1999. V. 5. P. 29 106.

63. Connes A., Moscovici H. The local index formula in noncommutative geometry // Geom. and Funct. Anal. 1995. V. 5. P. 174 243.

64. Dai X. Adiabatic limits, non-multiplicity of signature and the Leray spectral sequence // J. Amer. Math. Soc. 1991. V. 4. P. 265 321.

65. Deninger C. Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces // Doc. Math. J. Extra Volume ICM98. V. 1. 1998. P. 163 186.

66. Deninger C., Singhof W. A note on dynamical trace formulas // Dynamical, spectral, and arithmetic zeta functions (San Antonio, TX, 1999). Contemp. Math. V. 290. Providence: Amer. Math. Soc., 2001. P. 41 55.

67. Douglas R. G., Hurder S., Kaminker J. The longitudinal cocycle and the index of the Toeplitz operators // J. Funct. Anal. 1991. V. 101. P. 120 144.

68. Duistermaat J.J., Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics // Invent.Math. 1975. V. 29. P. 39 79.

69. Duistermaat J.L., and Hormander L. Fourier intergal operators II // Acta Math. 1972. V. 128. P. 183 269.

70. Fack Т., Skandalis G. Sur les rep^sentations et ideaux de la C-algfebre d'un feuilletage // J.Operator Theory. 1982. V. 8. P. 95 129.

71. Fedida E. Sur les feuilletages de Lie // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A-B. 1971. T. 272. P. A999 A1001.

72. Forman R. Spectral sequences and adiabatic limits // Commun. Math. Phys. 1995. V. 168. P. 57 116.

73. Ge Z. Adiabatic limits and Rumin's complex // C. R. Acad. Sci., Paris. 1995. T. 320. P. 699 702.

74. Gilkey P. B. Invariance Theory, the Heat Equation and the Atiyah-Singer Index Theorem. Berkeley: Publish or Perish Press, 1984.

75. Godbillon C. Feuilletages. Etudes g£om6triques. Basel: Birkhauser Verlag, 1991.

76. Golse F., Leichtnam E. Applications of Connes' geodesic flow to trace formulas in noncommutative geometry // J. Funct. Anal. 1998. V. 160. P. 408 436.

77. Greiner P. An asymptotic expansion for the heat equation // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1971. V. 41. P. 163 218.

78. Gromov M., Shubin M. Von Neumann spectra near zero // Geom. and Funct. Anal. 1991. V. 1. P. 375 404.

79. Guillemin V. A new proof of Weyl's formula on the asymptotic distribution of eigenvalues // Adv. Math. 1985. V. 55. P. 131 160.

80. Guillemin V. Gauged Lagrangian distributions // Adv. Math. 1993. V. 102. P. 184 201.

81. Guillemin V. Residue traces for certain algebras of Fourier integral operators // J. Funct. Anal. 1993. V. 115. P. 391 417.

82. Guillemin V., Sternberg S. Some problems in integral geometry and some related problems in microlocal analysis // Amer. J. Math. 1979. V. 101. P. 915 959.

83. Guillemin V., Uribe A. Circular symmetry and the trace formula // Invent. Math. 1989. V. 96. P. 385 423.

84. Haefliger A. Vari6t6s feuillet6s // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1962. V. 16. P. 367 397.

85. Haefliger A. Some remarks on foliations with minimal leaves // J. Diff. Geom. 1980. V. 15. P. 269 284.

86. Heitsch J. A cohomology for foliated manifolds // Comment. Math. Helvetici. 1975. V. 50. P. 197 218.

87. Heitsch J., Lazarov C. A Lefschetz theorem for foliated manifolds // Topology. 1990. V. 29. P. 127 162.

88. Heitsch J., Lazarov C. Spectral asymptotics of foliated manifolds // Illinois J. Math. 1994. V. 38. P. 653 678.

89. Hilsum M., Skandalis G. Morphismes K-orient6s d'espaces de feuilles et fonctorialite en th£orie de Kasparov // Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 1987. V. 20. P. 325 390.

90. Julg P. Induction holomorphe pour le produit d'une С*-а^ёЬге par une groupe de Lie compact // C. r. Acad. sci. Paris. 1982. T. 294. P. 193 -196.

91. El Kacimi-Alaoui A., Hector G. D6composition de Hodge sur l'espace des feuilles d'un feuilletage riemannien // C. R. Acad. Sci., Paris. 1984. T. 298. P. 289 292.

92. Kamber F., Tondeur P. De Rham-Hodge theory for Riemannian foliations // Math. Ann. 1987. V. 277. P. 415 431.

93. Klein M., Martinez A., Seiler R., Wang X.P. On the Born-Oppenheimer expansion for polyatomic molecules // Comm. Math. Phys. 1992. V. 143. P. 607 639.

94. Kontsevich M., Vishik S. Determinants of elliptic pseudo-differential operators// Preprint MPI/94-30. 1994.

95. Kontsevich M., Vishik S. Geometry of determinants of elliptic operators // Functional analysis on the eve of the 21st century. Vol. I. (Progress in Mathematics. Vol. 132). Boston: Birkhauser, 1996. P. 173 197.

96. Kordyukov Yu. A. ZAtheory of elliptic differential operators on manifolds of bounded geometry // Acta Appl. Math. 1991. V. 23. P. 223 260.

97. Kordyukov Yu. A. .//-estimates for functions of elliptic operators on manifolds of bounded geometry // Russ. J. Math. Ph. 2000. V. 7. P. 216 229.

98. Lazarov C. Transverse index and periodic orbits // Geom. and Funct. Anal. 2000. V. 10. P. 124 159.

99. Levendorskii S. Z. Asymptotic Distribution of Eigenvalues of Differential Operators. Dordrecht: Kluver Acad. Publ., 1990.

100. Martinez A. Dёveloppments asymptotiques et effet tunnel dans 1'approximation de Born-Oppenheimer // Ann. Inst. Henri Ротсагё 1989 V. 49. P. 239 257.

101. McClearly J. User's Guide to Spectral Sequences. Mathematics Lecture Series. Vol. 12. Berkeley: Publish or Perish, Inc., 1985.

102. Masa X. Duality and minimality in riemannian foliations // Comment. Math. Helvetici. 1992. V. 67. P. 17 27.

103. Melrose R., Mazzeo R. The adiabatic limit, Hodge cohomology and Leray's spectral sequence for a fibration // J. Diff. Geom. 1991. V. 31. P. 185 213.

104. Moerdijk I., MrCun J. Introduction to foliations and Lie groupoids. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

105. Molino P. G£om6trie globale des feuilletages Riemanniens // Proc. Nederl. Acad. Al. 1982. V. 85. P. 45 76.

106. Molino P. Riemaimiaii foliations. Progress in Math., vol. 73. Boston: Birkhauser, 1988.

107. Moore С. C., Schochet C. Global Analysis of Foliated Spaces, Math. Sci. Res. Inst. Pub-, vol. 9. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1988.

108. Nestke A., Zickermann P. The index of transversally elliptic complexes // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1985. V. 34. Suppl. 9. P. 165 175.

109. O'Neill. The fundamental equations of a submersion // Mich. Math. J. 1966. V. 13. P. 459 469.

110. Peetre J. ТЬёогётеэ de r6gularit6 pour quelques classes d'op6rateurs differentiels // Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. 1959. V. 16.

111. Peetre J. Another approach to elliptic boundary problems // Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14. P. 711 731.

112. Reinhart B. Foliated manifolds with bundle-like metrics // Ann. Math. 1959. V. 69. P. 119 132.

113. Reinhart B. Harmonic integrals on foliated manifolds // Amer. J. Math. 1959. V. 81. P. 529 536.

114. Reinhart B. L. Differential Geometry of Foliations. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1983.

115. Roe J. Finite propagation speed and Connes' foliation algebra // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1987. V. 102. V. 459 466.

116. Roe J. An index theorem on open manifolds. I // J. Diff. Geom. 1988. V. 27. P. 87 113.

117. Roger. C. Mёthodes Homotopiques et Cohomologiques en ТЬёопе de Feuilletages. Paris: Universit6 de Paris XI, 1976.

118. Rumin M.Sub-Riemannian limit of the differential form spectrum of contact manifolds // Geom. Func. Anal. 2000. V. 10. P. 407 452.

119. Rummler H. Quelques notions simples en g£om6trie Riemannienne et leur applications aux feuilletages compacts // Comment. Math. Helvetici. 1979. V. 54. P. 224 239.

120. Sanmartin E. The manifold of bundle-like metrics // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1997. V. 48. P. 243 254.

121. Schrader R., Taylor M. E. Semiclassical asymptotics, gauge fields and quantum chaos // J.Funct.Anal. 1989. V. 83. P. 258 316.

122. Schwarz G. W. On the de Rham cohomology of the leaf space of a foliation // Topology. 1974. V. 13. P. 185 187.

123. Seeley R. T. Complex powers of an elliptic operator // Proc. Symp. Pure Math. V. 10. Providence: Amer. Math. Soc., 1967. P. 288-307.

124. Sergiescu V. Sur la suite spectrale d'un feuilletage riemannien // Proc. of the XlXth Nat. Congress of the Mexican Math. Soc, Vol. 2 (Guadalajara, 1986). Comun., 4. Mexico City: Soc. Mat. Mexicana, 1987. P. 33 39.

125. Singer I. M. Recent applications of index theory for elliptic operators // Proc. Symp. Pure Appl. Math. V. 23. Providence: Amer. Math. Soc., 1973. P. 11 31.

126. Sullivan D. A homological characterization of foliations consisting of minimal surfaces // Comment. Math. Helvetici. 1979. V. 54. P. 218 223.

127. Tondeur, Ph. Geometry of foliations. Basel: Birkhauser Verlag, 1997.

128. Winkelnkemper H.E. The graph of a foliation // Ann. Glob. Anal. Geom. 1983. V. 1. P. 53 75.

129. Witten E. Global gravitational anomalies // Comm. Math. Phys. 1985. V. 100. P. 197 229.

130. Wodzicki M. Noncommutative residue. Part I. Fundamentals // K-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984-86), Lecture Notes in Math. V. 1289. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1987. P. 320 399.

131. Кордюков Ю. А. Теорема о совпадении спектров для касательно эллиптических операторов на расслоенных многообразиях // Функц. анализ и его прилож. 1985. Т. 19. Вып. 4. С. 90 91.

132. Кордюков Ю. А. О квазиклассических асимптотиках спектра эллиптических операторов на многообразиях со слоением // Матем. Заметки. 1993. Т. 53. Вып. 1. С. 157 159.

133. Кордюков Ю. А. О квазиклассической асимптотике спектра гипоэллип-тических операторов на многообразии со слоением // Функц. анализ и его прилож. 1995. Т. 29. Вып. 3. С. 98 100.

134. Кордюков Ю. А. Формула следов для трансверсально эллиптических операторов на римановых слоениях // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. Вып. 3. С. 81 105.

135. Alvarez L6pez J., Kordyukov Yu. A. Adiabatic limits and spectral sequences for Riemannian foliations // Geom. and Funct. Anal. 2000. V. 10. P. 977 -1027.

136. Alvarez L6pez J., Kordyukov Yu. A. Long time behavior of leafwise heat flow for Riemannian foliations // Compositio Math. 2001. V. 125. P. 129 153.

137. Kordyukov Yu. A. Transversally elliptic operators on G-manifolds of bounded geometry // Russian J. Math. Phys. 1994. V. 2. N. 2. P. 175 198.

138. Kordyukov Yu. A. Transversally elliptic operators on G-manifolds of bounded geometry (contunued) // Russian J. Math. Phys. 1995. V.3. N 1. P. 41 64.

139. Kordyukov Yu. A. Noncommutative spectral geometry of Riemannian foliations // Manuscripta Math. 1997. V. 94. P. 45 73.

140. Kordyukov Yu. A. Adiabatic limits and spectral geometry of foliations // Math. Ann. 1999. V. 313. P. 763 783.

141. Kordyukov Yu. A. Semiclassical spectral asymptotics on foliated manifolds // Math. Nachr. 2002. V. 245. P. 104 128.

142. Kordyukov Yu. A. Egorov's theorem for transversally elliptic operators on foliated manifolds and noncommutative geodesic flow // Препринт math.DG/0407435. Math. Phys. Anal. Geom. (в печати).