Адиабатические спектральные асимптотики для дифференциальных операторов на многообразиях со слоением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

АДИАБАТИЧЕСКИЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА МНОГООБРАЗИЯХ СО СЛОЕНИЕМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1111111111111

003165543

Уфа 2008

Работа выполнена в

Уфимском государственном авиационном техническом университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

доцент Кордюков Юрий Аркадьевич,

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

доцент Фазуллин Зиганур Юсупович, кандидат физико-математических наук, Савин Антон Юрьевич,

Ведущая организация Институт математики

им С Л Соболева СО РАН

Защита диссертации состоится 28 марта 2008 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д-002 057 01 при Институте математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН по адресу 450077, г Уфа, ул Чернышевского, 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН

Автореферат разослан

2008 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002 057 01, кандидат физико-математических наук

Попенов С В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы Настоящая диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения спектра оператора Лапласа для некоторых компактных римановых многообразий со слоением в адиабатическом пределе Под адиабатическими асимптотическими задачами в спектральной теории дифференциальных операторов понимаются задачи исследования асимптотического поведения спектра самосопряженного эллиптического дифференциального оператора в частных производных, зависящего от малого параметра, в случае, когда малый параметр входит только в коэффициенты, стоящие перед производными по отношению к выбранной груше переменных (см , например, х)

Асимптотические задачи такого рода впервые возникли в квантовой мо- • лекулярной физике в работе Борна и Оппенгеймера в 1927 г, в которой было предложено для описания квантовых уровней энергии молекулы использовать приближение, основанное на малости отношения массы электрона к массе ядра, что приводит к изучению асимптотического поведения спектра оператора Щредингера

описывающего квантовую теорию молекулы (квантового гамильтониана), в пределе т/М —> 0 Математическое обоснование приближения Борна-Оп-пенгеймера началось значительно позже, в начале 80-х годов прошлого века, и активно продолжается до настоящего времени (см , например, 2 и приведенные там ссылки) В дальнейшем, аналогичные задачи также изучались и нашли свое применение и в других областях механики и квантовой физики, таких как теория оболочек, физика анизотропных сред, квантовая механика кристаллов

В 1985 году Виттен применил метод адиабатических пределов при изучении глобальных гравитационных аномалий в теории струн 3 Исследование Виттена было математически строго обосновано и обобщено на общий случай римановых расслоений в работах Висмута, Фрида, Чигера, Дая и др В этих работах изучалось асимптотическое поведение спектра и спектральных инвариантов оператора Дирака и оператора Лапласа на компактном римаг новом многообразии, являющимся тотальным пространством расслоения над

:Маслон В П Асимптотический методы и теория возмущений М Наука, 1988

2Hagedarn G , Joye А , Mathematical analysis of Born-Oppenheimer approximations Spectral theory and mathematical physics a Festschrift m honor of Barry Simon's 60th birthday, 20a-226, Proc Sympos Pure Math , 76, Part 1, Amer Math Soc, Providence, RI, 2007

3Witten E, "Global gravitational anomalies", Comrn Math. Phys 100 2 (1985), 197 - 229

компактным многообразием, в случае, когда риманова метрика неограниче-но возрастает в направлениях, нормальных к слоям расслоения В 1988 году Маззео и Мельроуз обнаружили новые свойства адиабатических пределов на римановых расслоениях, установив связь так называемых малых собственных значений оператора Лапласа в адиабатическом пределе с топологическими инвариантами расслоений, а именно, со спектральной последовательностью Лере-Серра, что можно рассматривать как аналог теории Ходжа для римановых расслоений Адиабатические пределы в такой постановке нашли многочисленные применения в геометрии, в теории индекса эллиптических операторов и тд

В данной диссертации мы рассматриваем адиабатические пределы в более общей постановке Пусть М— замкнутое (т е компактное без края) гладкое многообразие со слоением Т, снабженное римановой метрикой д Касательное расслоение ТМ многообразия М представляется в виде прямой суммы

где Р = Х77 — касательное расслоение слоения Т т& Н ~ Р1 — ортогональное дополнение к Р Пусть др и дн обозначают ограничения метрики д на Р и Н' соответственно Тем самым, д = др + дн Определим однопараметрическое семейство римановых метрик на М по формуле

9г = 9Р + £~29н, £ > 0 (1)

Расстояние между локальными слоями слоения в любой расслоенной карте в метрике дс стремятся к бесконечности при е —» О

Для любого е > 0 рассмотрим оператор Лапласа на дифференциальных формах, определенный метрикой д£

Д е = +

где й С,оа(М,ЛкТ*М) Сж(М,Ли!Т'М) - дифференциал де Рама, ¿*е — оператор, сопряженный к оператору (I относительно гильбертовой структуры на С°°(М, АТ*М), индуцированной метрикой де Оператор Д£ является самосопряженным эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка с положительно определенным, скалярным главным символом в гильбертовом пространстве Ь2(М,кТ*М,дЕ) Для любого е > О спектр оператора Л£ состоит из собственных значений конечной кратности 0 < Ао(г) < < ,А7(е) •—> +оо при з —» оо В диссертации изучаются адиабатические спектральные асимптотики для оператора Д£, то есть асимптотическое поведение его собственных значений при е —+ О

Такие задачи изучались в случае римановых слоений на компактных многообразиях в работах Формана4, Кордюкова 5, Альвареса Лопеса и Кордю-кова 6, Лью и Жанга 7 и др Напомним, что слоение Т на компактном многообразии M называется римановым, если на M существует трансверсально проектируемая риманова метрика, то есть такая риманова метрика на М, что индуцированная метрика на нормальном расслоении г = ТМ/ТТ к слоению инвариантна при отображении линейной голономии, ассоциированным с Т Эквивалентно, можно сказать, что риманова метрика называется трансверсально проектируемой, если расстояние между слоями относительно этой метрики локально постоянно Полученные в случае римановых слоений результаты во многом похожи на то, что известно для римановых расслоений, хотя есть несколько принципиально новых идей, в частности, использование языка некоммутативной геометрии и методов теории операторных алгебр Данные результаты также нашли свои приложения

Однако методы исследования адиабатических пределов на римановых слоениях не переносятся непосредственно на произвольные слоения на римановых многообразиях К тому же исследования (в частности, проведенное в данной работе) простейших примеров показывают появление принципиально новых свойств, полностью отличных от того, что известно в случае римановых слоений Поэтому изучение адиабатических пределов для произвольных, необязательно римановых слоений, является актуальной и очень интересной задачей

Цель работы. Целью настоящей работы является изучение адиабатических спектральных асимптотик для оператора Лапласа на дифференциальных формах на некоторых конкретных замкнутых многообразиях со слоением

Методика исследования Б работе применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии, функционального анализа, теории чисел, теории операторов, некоммутативного гармонического анализа

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

4 Forman Е, "Spectral sequences and adiabatic limite", Commun Math. Phys 168 (1995), 57-116

EKonlyukov Vu A , "Adiabatic. limite and spectral geometry of foliations", Math. Ann 313 (1999), 763-783

5 Alvares López J , Kordyukov Yu A , "Adiabatic limits and spectral sequences for Riemannian foliations",

Geom Funct Anal 10 (2000), 977-1027

7 Liu К , Zhang W , Adiabatic limits and foliations Topology, geometry, and algebra interactions and new directions (Stanford, CA, 1999), 195-208, Contemp Math , 279, Amer Math Soc , Providence, Ш, 2001

1 Доказана асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора Лапласа-Бельтрами на двумерном торе в адиабатическом пределе, задаваемом линейным слоением

2 Доказана асимптотическая формула для преобразования Лапласа функции распределения спектра оператора ЛапласагВельтрами на римановом многообразии Гейзенберга в адиабатическом пределе, задаваемом одномерным инвариантным слоением

3 Получена адиабатическая асимптотика функции распределения спектра оператора Лапласа на римановом Боьшгогообразии с одномерным инвариантным слоением

4 Вычислен спектр оператора Лапласа на дифференциальных один формах на римановом многообразии Гейзенберга

5 Установлена связь «малых» собственных значений оператора Лапласа на римановом многообразии Гейзенберга в адиабатическом пределе, задаваемом одномерным инвариантным слоением, с дифференциальной спектральной последовательностью слоения

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений в частных производных, спектральной теории дифференциальных операторов, в дифференциальной геометрии и в теории чисел

Апробация работы. Основные результаты дисссертации докладывались

на

1 Семинаре "Дифференциальные уравнения математической физики" Института математики с ВЦ УфНЦ РАН, март 2005 г, ноябрь 2007 г,

2 Семинаре Университета Сантьяго де Компостела, Испания, Сантьяго де Компостела, сентябрь 2006 г,

3 Семинаре "Геометрия и топология" Института математики им С Л Соболева СО РАН, рук И А Тайманов, Новосибирск, сентябрь 2007 г,

4 Семинаре "Топология и анализ" МГУ, рук А С Мищенко, Е В Троицкий, В М Мануйлов, Москва, октябрь 2007 г,

5 Семинаре "Современные геометрические методы" МГУ, рук А Т Фо-' менко, октябрь 2007 г,

6 Семинаре кафедры математики УГАТУ, Уфа, ноябрь 2007 г,

7 IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ, БашГУ, Уфа, ноябрь 2004 г,

8 Международной Уфимской зимней школе-конференции по математике я физике для студентов, аспирантов и молодых ученых, ВашГУ, Уфа, декабрь 2005 г,

9 Международной конференции "С*-алгебры и эллиптическая теория", Польша, Бедлево, январь 2006 г,

10 Уфимской конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", Якты-Куль, декабрь 2006 г,

3.1 Международной конференции "Операторные алгебры и топология", МГУ, Москва, январь 2007 г,

12 Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И Г Петровского, Москва, май 2007 г,

13 Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А Ф Леонтьева, Уфа, июнь 2007 г,

14 Третьей Российско-германской конференции, посвященной 95-летию со дня рождения А Д Александрова, С -Петербург, июнь 2007 г,

15 Российской конференции "Математика в современном мире", посвященной 50-летию Института математики им С J1 Соболева СО РАН, Новосибирск, сентябрь 2007 г

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-13], в том числе, статьи [1],[4] опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК Из совместных работ [1-3] в диссертацию включены результаты полученные лично автором

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 70 наименований Общий объем диссертации - 105 страниц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении сделан краткий обзор литературы, описаны постановки задач, методы исследования и кратко изложены полученные результаты

В первой главе основным объектом исследования является простейший пример римановых слоений, линейное слоение (слоение Кронекера) на двумерном торе Т2 = M2/Z2 с координатами (ж, у) £ Ж2, рассматриваемыми по модулю целочисленных сдвигов, снабженном евклидовой метрикой

д = dx2 + dy'2

Слоями слоения являются образы параллельных прямых L{Xa.Sa) — {(жо + t, ya + ta) t £ К}, (ж0, у а) в Ш2 с угловым коэффициентом а при проекции

М2 —> Т2 В случае, когда а рационально, все слои слоения замкнуты и являются окружностями, а само слоение задается слоями расслоения Т2 над В1 В случае, когда а иррационально, все слои слоения всюду плотны в Т2

Основной результат первой главы состоит в вычислении главного члена асимптотики функции распределения спектра N¡>(1) оператора Лапласа-Бельтрами Де, задаваемого метрикой де, при е —► О,

1_(д_ д\2 е2 ( д_ д 1 + о?\дх+аду) 1 + а2\ адх ду,

Теорема 1 2.1. Имеет место асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора Д£ при фиксированном t € К

1 При a g Q,

Ne(t) = ~e-H + o(e-1), е —> О 4 ж

2 При а е Q вида а = где Н О Д (p,q) = 1,

* ^5fc2<4

В данном случае слоение риманово и метрика трансверсально проектируемая В диссертации приведены два доказательства этой теоремы Первое доказательство, приведенное в параграфе 12 1, основывается на общем результате об асимптотическом поведении функции распределения спектра оператора Лапласа, задаваемого трансверсально проектируемой метрикой, на компактном многообразии, наделенном римановым слоением, в адиабатическом пределе, полученном в работе 8 Второе доказательство, приведенное в параграфе 12 2, значительно проще и использует только элементарные факты анализа

Заметим, что собственные значения оператора Де на Т2 имеют вид

Ан = (2тг)2 (V^-ji* + cdf + + О2) , (k, I) € Z2,

\ i + or i + a j

таким образом, функция распределения собственных значений оператора Лап-ласа-Бельтрами задается формулой

Ne(t) = #{(М) е Z2 (2тг)2 + Odf + + о2) < *}

Мы приходим к следующей эквивалентной принципиально новой асимптотической задаче теории чисел

8Kordyukov Уц А , "Adiabatac limits and spectral geometry of foliations", Math Ann 313 (1999), 763-783

Задача 1.2 3. Найти асимптотику при е 0 числа целых точек-в-эмшпее

Несмотря на то, что эта задача формулируется в элементарных терминах, нам неизвестно ее элементарное решение в случае иррационального а Тем самым, использование методов спектральной теории дифференциальных операторов при исследовании данной задачи является существенным

В главе 2 мы исследуем поведение спектра оператора Лапласа-Бельтрами в адиабатическом пределе в двух случаях для одномерного слоения на компактном римановом многообразии Гейзенберга и одномерного слоения на компактном римановом 8о1-многообразии

В разделе 2 1 мы рассматриваем адиабатические пределы на римановых многообразиях Гейзенберга

Вещественной трехмерной группой Гейзенберга Н называется подгруппа Ли группы Ли СЬ(3, К), образованная всеми матрицами вида

Соответствующая алгебра Ли 1) — подалгебра Ли алгебры Ли д1(3, Ж), состоящая из матриц вида

Римановым многообразием Гейзенберга называется компактное многообразие Г\#, снабженное римановой метрикой д, где Г = {7(ж, у, г) х,у,г 6 Щ — дискретная подгруппа группы Ли Н и д — риманова метрика на Г\_Н", чей подъем на Н инвариантен при левых сдвигах на элементы группы Н (такие метрики мы будем называть локально левоинвариантными)

Нетрудно видеть, что локально левоинвариантная метрика д единственным образом определяется своим значением в единице 7(0,0,0) группы Н, и, тем самым, задается симметрической положительно определенной 3x3-матрицей

Пусть а € Ж Рассмотрим левоинвариантное векторное поле на Н, ассоциированное с

\ х г

7(а:,у,г)= 0 1 у , 0 0 1

0 £ 2

Х(х,у,г) =00 у , х,у,г е® ООО

0 1 0" Х(1,а,0)= 0 0 а €*) 0 0 0

Орбиты соответствующего векторного поля на М = Г\Н определяют одномерное слоение Т на М Слой, проходящий через точку Г7(х, у, г) е М, описывается следующим образом

Рассмотрим адиабатический предел, ассоциированный с римановым многообразием Гейзенберга (Г\#, д), в случае, когда локально левоинвариант-ная метрика д соответствует единичной матрице, и слоением Р Оператор Лапласа-Бельтрами Д£ на М, соответствующий метрике д£, определяемой по формуле (1), на М имеет вид

Обозначим через N^{1) преобразование Лапласа функции распределения спектра оператора Де

Основным результатом раздела 2 1 является следующая теорема

Теорема 2.1 1. Для любого t > 0 справедлива следующая асимптотическая формула

Доказательство теоремы 211 использует некоммутативный гармонический анализ и формулу Мелера для фундаментального решения параболического уравнения, задаваемого оператором Шредингера с однородным магнитным потенциалом

Аналогичный результат был получен для оператора Лапласа- Бельтрами трансверсально проектируемой метрики на замкнутом многообразии с произвольным римановым слоением в работе 9 Напомним, что слоение Т на многообразии М называется римановым, если существует такая риманова метрика на М (называемая трансверсально проектируемой) на М, что индуцированная метрика на нормальном расслоении т = ТМ/ТТ к слоению инвариантна при отображении линейной голономии, ассоциированным с Т

sKordyukov Yu A "Adiabatac limits and spectral geometry of foliations", Math Ann 313 (1999), 763-783

ЬтМзд.«) = (Г7(я + «, У + at, г + оЛх + —) 6 Г\Я t € Ж}

В рассматриваемом случае слоение не является римановым, поскольку, как это легко увидеть, например, в случае а = О, отображение линейной голо-

номии задается матрицами вида ^ j с а / 0 Формула, приведенная в

теореме 211, отличается от формулы, полученной для римановых слоений, дополнительным множителем который связан с изменением трансвер-

сальной составляющей метрики под действием потока

Отметим, что слоение, порожденное элементом Х(0,0,w), является римановым расслоением над двумерным тором Кроме того, при н / 0 или V ф 0 слоение, порожденное элементом X(u,v,w), переводится посредством изометрии в слоение, порожденное элементом Х(и, v, 0) Поскольку в данной работе нас интересует, прежде всего, вид формулы в случае нериманова слоения, мы ограничились рассмотрением слоения, порожденного элементами вида Х(1, а, 0)

В разделе 2 2 мы рассматриваем адиабатические пределы на римановых Sol-многообразиях

Группа Ли Sol есть разрешимая подгруппа Ли группы Ли GL(3, К), образованная всеми матрицами вида

íew 0 гЛ 7(u,D,w)=j 0 e~w V 1 , (ií,u,w)eM3 \0 0 1 /

Алгебра Ли sot группы Ли Sol — подалгебра Ли алгебры Ли gZ(3,E), состоящая из матриц вида

(w 0 и\

0 -vi V I , (и, V, w) € Ж3 ООО/

Пусть А е SL(2, Z) и (tr.A| > 2 Обозначим через А и А-1 собственные значения матрицы А и предположим, что А > 1 Определим вектора (cíi с?), (4! 4) уравнением

А _ fan а12\ _ (с\ 4V1 (X 0 \ fc¡ cj\

A~W a22J- [4 4J Vo А"7 Vcf 4)

Римановым 8о1-многообразием называется компактное многообразие Ш\ — Ga\SoI, снабженное римановой метрикой д, где Ga — равномерная дискретная подгруппа группы Ли Sol, состоящая из таких 7(и, v, w) е Sol, что

(u,v) е Г = {к(с{,4) + K4i<%)> fc.ieZ}, ги = mlnA, m 6 Z,

и g — риманова метрика на М\ , чей подъем на Sol инвариантен при левых сдвигах на элементы группы Sol (локально левоинвариантная риманова метрика)

Как и в разделе 2 1, локально левоинвариантная метрика g единственным образом определяется своим значением в единице 7(0,0,0) группы Sol, и, тем самым, задается симметрической положительно определенной ЗхЗ-матрицей

Пусть а 6 К Рассмотрим левоинвариантное векторное поле на Sol, ассоциированное с Х(1, а, 0) 6 soi Орбиты соответствующего векторного поля на М\ определяют одномерное слоение Т Слой слоения Т, проходящий через точку Gaj{u,v,w) е М\, имеет вид

LGj¡j(n,v,w) = {GaiÍu + ewt, V + ae~wt, w) € МД t e K}

Предположим, что локально левоинвариантная метрика g соответствует единичной матрице Рассмотрим адиабатический предел, ассоциированный с римановым Sol-многообразием (МД, д) и слоением Т

Оператор Лапласа-Бельтрами на М\, соответствующий метрике де, которая задается формулой (1), в координатах (и, v, ги) имеет вид

д£ = _l±fVe2«— - 2tt(1~ei) 82 _ _

1 + a2 du2 1 + a2 dudv 1 4- a2 dv2 dw2

Основным результатом данного раздела 2 2 является вычисление асимптотики функции распределения спектра Ne(t) оператора Д£ в адиабатическом пределе, то есть при фиксированном £б!и при е —* 0

Теорема 2.2 1 Для любого t > 0 справедлива следующая асимптотическая формула для функции распределения спектра Ne(t) оператора Лапласа-Бельтрами

1 При афй

A4Í) = ¿ÍV2 + 0(£-2), е-0

2 При а = 0

= + £ * 0

При a t¿ 0 доказательство теоремы 2 2 1 использует вычисление спектра оператора Лапласа на римановом Sol-многообразии, приведенное в работе 10, которая является продолжением исследований геодезических потоков на ри-мановых Sol-многообразиях п,12, и квазиклассические спектральные асимп-

I0Bolsmov А V , Dullm H R., Veselov A P , "Spectra oí Sol-manifolds arithmetic and quantum monodromy", Comm. Math Phys 264 (2006), 583-611

"Bolsmov A V , Taimanov I A , "Integrable geodesic flows with positive topological entropy", Invent Math 140 (2000), 638-650

12Болсинов А В , Тайманов И A , "Интегрируемые геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов", Тр МИАН 231 (2000), 42-58

тотики 13 для модифицированного оператора Матье

<Р

Не = -е2-^ + а cb(2fj,x), i6t

При а = 0 метрика является трансверсально проектируемой, тем самым применима асимптотическая формула, полученная в работе 14

Отметим, что в главе 2 во всех рассмотренных примерах порядок асимптотики в адиабатическом пределе равен е-2, но коэффициенты при е-2, как и методы их вычисления, различны

Глава 3 посвящена изучению спектра оператора Лапласа на дифференциальных формах на римановом многообразии Гейзенберга в адиабатическом пределе, задаваемом одномерным инвариантным слоением, введенным в разделе 2 1

В разделе 3 1 вычислен спектр оператора Лапласа на дифференциальных один формах на римановых многообразиях Гейзенберга (см теорема 318) Спектр оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии Гейзенберга был явно вычислен в работе 15 Ввиду того, что оператор Ходжа *, задаваемый метрикой д, определяет для любого к = 0,1,2,3 унитарный изоморфизм * L2(M,AkT*M) -> L2(M,A3-*T*M), причем *Д = Д*, спектр оператора Лапласа на 2-формах и 3-формах совпадает соответственно с его спектром на 1-формах и 0-формах, то есть на функциях Таким образом, в данном разделе завершено вычисление спектра оператора Лапласа на дифференциальных формах на римановых многообразиях Гейзенберга Отметим также работу 16, в которой были вычислены собственные значения оператора Дирака на римановых многообразиях Гейзенберга

Вычисление спектра оператора Лапласа основано на идеях работы 14 и использует некоммутативный гармонический анализ, а именно, теорию представлений нильпотентных групп Ли, развитую Кирилловым 17 Однако, в отличие от работы 14, использование этих методов позволяет свести вычисление спектра оператора Лапласа на один формах не к задаче вычисления спектра квантового гармонического осциллятора, а к более сложной задаче вычисления спектра матричного дифференциального оператора

В разделе 3 3 исследованы «малые» собственные значения оператора Лаг

13Helffei В , Martinez А , Robert D Ergodicite et limite semi-classique", Comm. Math Phys 109 (1987), 313-326

14Kordyukov Yu A , Adiabatie hmits and epectral geometry of foliations Math Ann 313 (1999), 763-783

läGordon С S , Wilson E N, The spectrum of the Laplacian on Riemanman Heisenberg manifolds, Michigan Math J 33 (1986), 253-271

1£i Amin aim В , Bai С , "The Dirac operator on mlmanifolds and collapsing circle bundles", Ann Global Anal Geom 16 (1998), 221 - 253

17Кириллов A A , "Унитарные представления нильпотентных групп Ли", Успехи мат -шщк 17 (1982), №4, с 53-104

пласа и установлена их связь с дифференциальной спектральной последовательностью слоения

Для произвольного компактного многообразия М со слоением Т обозначим, как и выше, через Д£ оператор Лапласа на дифференциальных формах, определяемый метрикой дЕ Пусть 0 < А5(е) < А[(е) < ХЦе) < обозначает его спектр на С°°(М, АГТ*М) с учетом кратности Хорошо известно, что собственные значения оператора Лапласа на дифференциальных формах изменяются непрерывно при непрерывных возмущениях метрики, и, тем самым, «ветви» собственных значений А[(е) зависят непрерывно от параметра е > О Мы будем рассматривать только те «ветви» АЦе), которые стремятся к нулю при е —> 0, назовем их «малыми» собственными значениями

Разложение TM — F © Я, где F = TT и Н — Fx, индуцирует биградуи-ровку пространства дифференциальных форм fi, определяемую по формуле qu,v = coo(Mj Д« н* Q д» р*} Положим пк = пи' Дифференциал де Рама d переводит каждое в себя, тем самым, мы получаем фильтрацию комплекса де Рама (О, d)

(fi,d) = (ii0,d) Э (f2j,d) D (П2,d) D

По данной фильтрации каноническим образом можно построить последовательность градуированных векторных пространств Ер* вместе с линейным отображением, дифференциалом dr Щл -» Е%+тл~т+1, $ — 0, в которой каждый последующий член изоморфен когомологиям предыдущего комплекса {Ер*, dr), называемую дифференциальной спектральной последовательностью слоения Данная спектральная последовательность сходится к когомологиям де Рама НГ(М, Ш) многообразия М при достаточно большом к = ^ = = ^ причем ^u+v= r Е^ = Нг{М: щ

Пусть М — риманово многообразие Гейзенберга со слоением Т (см раздел 2 1) с а = 0 и римановой метрикой д, соответствующей единичной матрице Основным результатом раздела 3 3 является следующая теорема

Теорема 3.3 1 Для г = 0 и г = 3

= й {г j = О (е2) при е 0} = оо , dim£E = j| {г j А[(£) = О (е2*) при е-*0} = 1, к>2

и для г = 1 иг — 2

dimÜ^ = й {г | А^е) = О (г2) тгрт е -> 0} = оо , dim££ = Ц {г j А^(с) = О (V) при е -* 0} = оо , dim Щ = § {г j Aj (е) = О (е2^) при е-»0}=2, к> 3

Доказательство основано на явном вычислении дифференциальной спектральной последовательности и «малых» собственных значений, используя результаты раздела 3 2

В случае римановых слоений аналогичный результат был получен в работе Альвареса Jloneca и Кордкжова 18, и для расслоений в работе 19

Публикации по теме диссертации

[1] Кордюков Ю А , Яковлев А А Спектр оператора Лапласа на дифференциальных формах на римановых многообразиях Гейзенберга // Вестник УГАТУ, 2006 г, Т 7 , № 2 С 209-212

[2] Кордюков Ю А , Яковлев А А Адиабатические пределы и некоторые задачи теории чисел // Вестник УГАТУ, 2007 г, Т 9 , № 3 С 20-23

[3] Kordyukov Yu А , Yakovlev А А , Adiabatic limits and the spectrum of the Laplacian on foliated manifolds // C*-algebras and elliptic theory II Trends Math , Birkhauser, Basel 2008 P123-144 , E-prmt arXiv math/0703785

[4] Яковлев А А Адиабатические пределы на римановых многообразиях Гейзенберга // Математический сборник, 2008 г, Т 199 , № 2 С 149160

(5} Яковлев А А. Адиабатические пределы на римановых Sol-многообразиях // E-pnnt arXiv 0802 1251 (Принято к печати в Математические заметки)

[6] Яковлев А А Спектр Sol-многообразий в адиабатическом пределе //Математика в современном мире, посвященная 50-летию Института математики им С Л Соболева СО РАН Материалы конференции Новосибирск, 2007 г С 111-112

[7] Яковлев А А Адиабатические пределы для некоторых многообразий со слоением // Третья Российско-германская конференция посвященная 95-летию со дня рождения А Д Александрова Материалы конференции С -Петербург, 2007 г С 44-45 (опубликована на английском языке)

[8] Яковлев А А Адиабатические пределы для некоторых многообразий со слоением // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы Мате-

lsÁlvarez López J , Kordyukov Yu A , "Adiabatic limits and spectral sequences for Riemanman foliations", Geom Pu.nct Ana¡ 10 (2000), 977-1027

19Melrose ft, Maxzeo R , "The adiabatic limit, Hodge cohomology and Leray's spectral sequence for a hbration", J Diff Geom. 31 (1991), 185 - 213

риалы международной конференции, посвященной памяти И Г Петровского Москва, 2007 г С 339-340

[9] Яковлев А А Адиабатические пределы для некоторых многообразий со слоением // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А Ф Леонтьева Уфа, 2007 г, Т 3 С 45

[10] Яковлев А А. Спектральная геометрия на некоторых неримановых слоениях и адиабатические пределы // Операторная алгебра и топология Материалы международной конференции Москва, 2007 г С 39

[11] Яковлев А А Спектральная геометрия риманова многообразия Гейзен-берга и адиабатические пределы // С*-алгебры и эллиптическая теория Материалы конференции Польша, Ведлево, 2006 г С 27 (опубликована на английском языке)

[12] Яковлев А А Спектр оператора Лапласа-Вельтрами на двумерном торе в адиабатическом пределе // Международная Уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых Материалы конференции БашГУ, Уфа, 2005 г С 35

[13] Яковлев А А Спектр оператора Лапласа на дифференциальных; формах на римановом многообразии Гейзенберга //IV Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ Материалы конференции Уфа, 2004 г С 24

Яковлев Андрей Александрович

АДИАБАТИЧЕСКИЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА МНОГООБРАЗИЯХ СО СЛОЕНИЕМ

Специальность 01 01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 18 02 2008 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме Уел печ л 1,0 Уел кр -отт 0,9. Уч -изд. л 0,9 Тираж 100 экз. Заказ № 26

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул К Маркса, 12

Введение

Глава 1. Адиабатические пределы для слоения Кронекера на торе

1.1. Основные определения и обозначения.

1.2. Слоение Кронекера на двумерном торе

1.2.1 Первое доказательство Теоремы 1.2.

1.2.2 Второе доказательство Теоремы 1.2. задача теории чисел)

Глава 2. Адиабатические асимптотики собственных значений.

2.1. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии Гейзенберга

2.1.1 Фундаментальное решение уравнения теплопроводности

2.1.2 Доказательство Теоремы 2.1.

2.2. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом 8о1-многообразии

2.2.1 Спектр оператора Лапласа и модифицированный оператор Матье

2.2.2 бинарные квадратичные формы и теория чисел

2.2.3 Доказательство теоремы 2.2.

Глава 3. Спектр оператора Лапласа на формах и спектральная последовательность слоения

3.1. Спектр оператора Лапласа-Бельтрами

3.2 Спектр оператора Лапласа на один-формах

3.3. Спектральные последовательности.

Настоящая диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения спектра оператора Лапласа для некоторых компактных рима-новых многообразий со слоением в адиабатическом пределе. Под адиабатическими асимптотическими задачами в спектральной теории дифференциальных операторов понимаются задачи исследования асимптотического поведения спектра самосопряженного эллиптического дифференциального оператора в частных производных, зависящего от малого параметра, в случае, когда малый параметр входит только в коэффициенты, стоящие перед производными по отношению к выбранной группе переменных (см., например, [14]).

Асимптотические задачи такого рода впервые возникли в квантовой молекулярной физике в работе Борна и Оппенгеймера в 1927 г., в которой было предложено для описания квантовых уровней энергии молекулы использовать приближение, основанное на малости отношения массы электрона к массе ядра, что приводит к изучению асимптотического поведения спектра оператора Шредингера описывающего квантовую теорию молекулы (квантового гамильтониана), в пределе т/М —> 0. Математическое обоснование приближения Борна-Оппенгеймера началось значительно позже, в начале 80-х годов прошлого века, и активно продолжается до настоящего времени (см.,например, [49, 54] и приведенные там ссылки). В дальнейшем, аналогичные задачи нашли свое применение и в других областях механики и квантовой физики, таких как теория оболочек (см., например, [2, 12]), физика анизотропных сред (см. [13]), квантовая механика кристаллов [8], и исследовались многими авторами (см., например, [14, 60, 1, 62, 32] и имеющиеся там ссылки).

В 1985 году Виттен применил метод адиабатических пределов при изучении глобальных гравитационных аномалий в теории струн [70]. Исследование Виттена было математически строго обосновано [35, 38] и обобщено на общий случай римановых расслоений в работах [34, 40, 41, 42, 63, 52, 53]. В этих работах изучалось асимптотическое поведение спектра и спектральных инвариантов оператора Дирака и оператора Лапласа на компактном римановом многообразии, являющимся тотальным пространством расслоения над компактным многообразием, в случае, когда риманова метрика неограничено возрастает в направлениях, нормальных к слоям расслоения. В 1988 году Маззео и Мельроуз [63] обнаружили новые свойства адиабатических пределов на римановых расслоениях, установив связь так называемых малых собственных значений оператора Лапласа в адиабатическом пределе с топологическими инвариантами расслоений, а именно, со спектральной последовательностью Лере-Серра [5, 64], что можно рассматривать как аналог теории Ходжа для римановых расслоений. Адиабатические пределы в такой постановке нашли многочисленные применения в геометрии, в теории индекса эллиптических операторов и т.д.

В данной диссертации мы рассматриваем адиабатические пределы в более общей постановке. Пусть М— замкнутое (т.е. компактное без края) гладкое многообразие со слоением Т, снабженное римановой метрикой д. Касательное расслоение ТМ многообразия М представляется в виде прямой суммы

ТМ = .Р © Я, где Р = ТТ — касательное расслоение слоения Т и Н = Р1- — ортогональное дополнение к Р. Пусть др и дн обозначают ограничения метрики д на .Р и Н соответственно. Тем самым, д = др + дн- Определим однопараметрическое семейство римановых метрик на М по формуле д£ = дР + £~2дн, е > 0. (0.0.1)

Расстояние между локальными слоями слоения в любой расслоенной карте в метрике д£ стремятся к бесконечности при е —^ 0.

Для любого е > 0 рассмотрим оператор Лапласа на дифференциальных формах, определенный метрикой д£: где ¿2 : С°°(М,ккТ*М) С°°(М, Ак+1Т*М) - дифференциал де Рама, — оператор, сопряженный к оператору й относительно гильбертовой структуры на С°°(М, АТ*М), индуцированной метрикой д£. Оператор Де является самосопряженным эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка с положительно определенным, скалярным главным символом в гильбертовом пространстве Ь2(М, АТ*М, д£). Для любого е > 0 спектр оператора Д£ состоит из собственных значений конечной кратности 0 < Ло(в) < А^е) < —> +оо при ] —> оо. В диссертации изучаются адиабатические спектральные асимптотики для оператора Де, то есть асимптотическое поведение его собственных значений при £ —> 0.

Такие задачи изучались в случае римановых слоений на компактных многообразиях в работах [44], [55], [30], [56], [61] и др. Напомним, что слоение Т на компактном многообразии М называется римановым, если на М существует трансверсально проектируемая риманова метрика, то есть такая риманова метрика на М, что индуцированная метрика на нормальном расслоении г = ТМ/ТТ к слоению инвариантна при отображении линейной голономии, ассоциированным с Т. Эквивалентно, можно сказать, что риманова метрика называется трансверсально проектируемой, если расстояние между слоями относительно этой метрики локально постоянно. Полученные в случае римановых слоений результаты во многом похожи на то, что известно для римановых расслоений, хотя есть несколько принципиально новых идей, в частности, использование языка некоммутативной геометрии и методов теории операторных алгебр. Данные результаты также нашли свои приложения.

Однако методы исследования адиабатических пределов на римановых слоениях не переносятся непосредственно на произвольные слоения на римановых многообразиях. К тому же исследования (в частности, проведенное в данной работе) простейших примеров показывают появление принципиально новых свойств, полностью отличных от того, что известно в случае римановых слоений. Поэтому изучение адиабатических пределов для произвольных, необязательно римановых слоений, является актуальной и очень интересной задачей.

Целыо настоящей работы является изучение адиабатических спектральных асимптотик для оператора Лапласа на дифференциальных формах на некоторых конкретных замкнутых многообразиях со слоением.

Для решения поставленной задачи применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии, функционального анализа, теории чисел, теории операторов, некоммутативного гармонического анализа.

В первой главе основным объектом исследования является простейший пример римановых слоений, линейное слоение (слоение Кроне-кера) на двумерном торе Т2 = К2¡1} с координатами (х,у) Е К2, рассматриваемыми по модулю целочисленных сдвигов, снабженном евклидовои метрикой g = dx2 + dy2.

Слоями слоения являются образы параллельных прямых L(XQ,yQ) = t, уо + ta) : t g m}, Уо) g к2 с угловым коэффициентом а при проекции R2 —> Т2. В случае, когда а рационально, все слои слоения замкнуты и являются окружностями, а само слоение задается слоями расслоения Т2 над S1. В случае, когда а иррационально, все слои слоения всюду плотны в Т2.

Основной результат первой главы состоит в вычислении главного члена асимптотики функции распределения спектра Ne(X) оператора Лапласа-Бельтрами Де, задаваемого метрикой д£, при е —»■ О, д 1(д ад\2 £2 Гд д\2

5 1 + а2 \дх ду) 1 + а2 \ дх ду)

Теорема 1.2.1. Имеет место асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора Де при фиксированном t g R:

1. При а Q,

Ne{\) = + о^Г1), е -> 0. (0.0.2)

4тг

2. При a g q вида а = где Н.О.Д.(р, q) = 1,

2 тгл/ V + Q Р + ?

0.0.3)

В данном случае слоение риманово и метрика трансверсально проектируемая. В диссертации приведены два доказательства этой теоремы. Первое доказательство, приведенное в параграфе 1.2.1, основывается на общем результате об асимптотическом поведении функции распределения спектра оператора Лапласа, задаваемого трансверсально проектируемой метрикой, на компактном многообразии, наделенном римановым слоением, в адиабатическом пределе, полученном в работе [55], второе доказательство, приведенное в параграфе 1.2.2, значительно проще и использует только элементарные факты анализа.

Заметим, что собственные значения оператора Д£ на Т2 имеют вид: к1 = (2тг)2 (—+ Ы)2 + -^—(-ак + О2) , (А, 0 е й2, 1 + от 1 + аг ) таким образом, функция распределения собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами задается формулой:

АГ£(А) = # {(*, I) € £2 : ^^ ((к + Ы)2 + е2(-ак + I)2) < А | .

Мы приходим к следующей эквивалентной принципиально новой асимптотической задаче теории чисел:

Задача 1.2.3. Найти асимптотику при е 0 числа целых точек в эллипсе к,и) € К2 : (27г)2 (^(С + + +<А} •

Несмотря на то, что эта задача формулируется в элементарных терминах, нам неизвестно ее элементарное решение в случае иррационального а. Тем самым, использование методов спектральной теории дифференциальных операторов при исследовании данной задачи является существенным.

В главе 2 мы исследуем поведение спектра оператора Лапласа-Бельтрами в адиабатическом пределе, ассоциированного с одномерным слоением на компактном римановом многообразии Гейзенберга и с одномерным слоением на компактном римановом 8о1-многообразии.

В разделе 2.1 мы рассматриваем адиабатические пределы на ри-мановых многообразиях Гейзенберга.

Вещественной трехмерной группой Гейзенберга Н называется подгруппа Ли группы Ли СЬ(3,М), образованная всеми матрицами вида

7 (я, У,

1 х г О 1 у О 0 1 ж, у, г 6 К.

Соответствующая алгебра Ли I) — подалгебра Ли алгебры Ли д1(3,М), состоящая из матриц вида

Х(х,у,г) = $ х г 0 0 у ООО х,у,г <е

Римановым многообразием Гейзенберга (Г\#, д) называется компактное многообразие Г\#, снабженное римановой метрикой д, где Г = {7(ж, у, г) : х, у, г Е Щ — дискретная подгруппа группы Ли Н и д — риманова метрика на Г\#, чей подъем на Н инвариантен при левых сдвигах на элементы группы Н (такие метрики мы будем называть локально левоинвариантными).

Нетрудно видеть, что локально левоинвариантная метрика д единственным образом определяется своим значением в единице 7(0,0, 0) группы Н, и, тем самым, задается симметрической положительно определенной 3 х 3-матрицей.

Пусть а Е М. Рассмотрим левоинвариантное векторное поле на Н, ассоциированное с

Х(1,а,0)

0 10 0 0а 0 0 0

Орбиты соответствующего векторного поля на М = Г\Н определяют одномерное слоение Т на М. Слой 1т7(а;,г/)2г), проходящий через точку

Г7(х,у,г) Е М, описывается следующим образом: аЬ2

Ьтф,у,г) = {Г70 + Ъу + ай,г + оЛх + —) 6 Г\Я : £ € М}.

Рассмотрим адиабатический предел, ассоциированный с римано-вым многообразием Гейзенберга (Г\Я, д), в случае, когда локально лево-инвариантная метрика д соответствует единичной матрице, и слоением Т. Оператор Лапласа-Бельтрами Де на М, соответствующий метрике <7е, определяемой по формуле (0.0.1), на М имеет вид: д,= 1

1 + а2 2 — + а Г—+ дх \ду дх ))

2 / д д д\ \ дх ду дг) 2 дг2'

Обозначим через N£(1;) преобразование Лапласа функции распределения спектра оператора Де: оо

7=0

Основным результатом раздела 2.1 является следующая теорема.

Теорема 2.1.1. Для любого £ > 0 справедлива следующая асимптотическая формула я--2 г+°° г>

Доказательство теоремы 2.1.1 использует некоммутативный гармонический анализ и формулу Мелера для фундаментального решения параболического уравнения, задаваемого оператором Шредингера с однородным магнитным потенциалом.

Аналогичный результат был получен для оператора Лапласа-Бельтрами трансверсально проектируемой метрики на замкнутом многообразии с произвольным римановым слоением в работе [55]. Напомним, что слоение Т на многообразии М называется римановым, если существует такая риманова метрика (называемая трансверсально проектируемой римановой метрикой) на М, что индуцированная метрика на нормальном расслоении т = ТМ/ТТ к слоению инвариантна при отображении линейной голономии, ассоциированным с Т. В рассматриваемом случае слоение не является римановым, поскольку, как это легко увидеть, например, в случае а = 0, отображение линейной голономии реме 2.1.1, отличается от формулы, полученной в [55], дополнительным множителем ¡щ^у, который связан с изменением трансверсальной составляющей метрики под действием потока.

Отметим, что слоение, порожденное элементом Х(0, 0, ги), является римановым расслоением над двумерном тором. Кроме того, при и ф О или уф 0 слоение, порожденное элементом X(u,v,w), переводится посредством изометрии в слоение, порожденное элементом Х(и, у,0). Поскольку в данной работе нас интересует, прежде всего, вид формулы в случае нериманова слоения, мы ограничились рассмотрением слоения, порожденного элементами вида Х(1, а, 0).

В разделе 2.2 мы рассматриваем адиабатические пределы на ри-мановых Sol-многообразиях.

Вещественная группа Sol есть разрешимая подгруппа Ли группы Ли GL(3, R), образованная всеми матрицами вида:

Алгебра Ли soi группы Ли Sol — подалгебра Ли алгебры Ли gl(3,M), задается матрицами вида с а ф 0. Формула, приведенная в теоfew 0 и\ 7(u,v,w)= 0 e~w у , (u,v,w) Е R3. 0 О l) состоящая из матриц вида w 0 гЛ

Х(и, v, w) = u,v,w) Е К3.

О —tu v

0 0 0J

Пусть А Е SL(2,Z) и |tr А[ > 2. Обозначим через Л и Л 1 собственные значения матрицы А и предположим, что Л > 1. Определим вектора (cj, с2), (с^, с2) уравнением v / л\ -1 д | «11 «12

Римановым Sol-многообразием называется компактное многообразие М\ = Ga\SoI, снабженное римановой метрикой д, где Ga — равномерная дискретная подгруппа группы Ли Sol, состоящая из таких 7(u,v,w) Е SoZ, что и, г?) 6 Г := {к(с{, с2) + l(cl, с|), /г, ¿ Е Z}, г<; = т1пЛ, meZ, ид — риманова метрика на , чей подъем на 5oZ инвариантен при левых сдвигах на элементы группы Sol (локально левоинвариантная риманова метрика)

Как и в разделе 2.1 локально левоинвариантная метрика д единственным образом определяется своим значением в единице 7(0, 0,0) группы Sol, и, тем самым, задается симметрической положительно определенной 3 х 3-матрицей.

Пусть a Е Ш. Рассмотрим левоинвариантное векторное поле на Sol, ассоциированное с Х(1,а, 0) Е sol. Орбиты соответствующего векторного поля на М\ определяют одномерное слоение Т. Слой v слоения т, проходящий через точку gaj(u, v, w) Е м\, имеет вид:

Lga1{u,v,w) = {Gaj{u + ewt, v + ae~wt, w) E M\:t E M}.

Предположим, что локально левоинвариантная метрика g соответствует единичной матрице. Рассмотрим адиабатический предел, ассоциированный с римановым Sol-многообразием (Мд, д) и слоением Т.

Оператор Лапласа-Бельтрами иа Мд, соответствующий метрике д£, которая задается формулой (0.0.1), в координатах (u, v, w) имеет вид: де = Ml-g2) & a2 + e*c2w d2 ^ 1 + a2 du2 1 + a2 dudv 1 + a2 dv2 dw2

Основным результатом данного раздела 2.2 является вычисление асимптотики функции распределения спектра Ne(t) оператора Де в адиабатическом пределе, то есть при фиксированном t G M и при ег —^ 0.

Теорема 2.2.1. Для любого t > 0 справедлива следующая асимптотическая формула для функции распределения спектра Ne(t) оператора Лапласа-Бельтрами:

1. При а ф 0

Ne{t) = + о(е~2), е 0. (0.0.4)

2. При а = 0

N£(t) = -^th~2 + o(e-2), s-ïO. (0.0.5)

При а ф 0 доказательство теоремы 2.2.1 использует вычисление спектра оператора Лапласа на римановом Sol-многообразии, приведенное в работе [36], являющейся продолжением исследований геодезических потоков на римановых Sol-многообразиях [37],[4], и квазиклассические спектральные асимптотики [50] для модифицированного оператора Матье d2

Не = + ach(2fix), х G M.

При а — 0 метрика является трансверсально проектируемой, тем самым применима асимптотическая формула поведения спектра оператора Лапласа в адиабатическом пределе в случае римановых слоений на компактных многообразиях [55].

Отметим, что в главе 2 во всех рассмотренных примерах порядок асимптотики в адиабатическом пределе равен е-2, но коэффициенты при е-2, как и методы их вычисления, различны.

Глава 3 посвящена изучению спектра оператора Лапласа на дифференциальных формах на римановом многообразии Гейзенберга в адиабатическом пределе, задаваемом одномерным инвариантным слоением, введенным в разделе 2.1.

В разделе 3.1 вычислен спектр оператора Лапласа на дифференциальных один формах на римановых многообразиях Гейзенберга (см. теорема 3.1.8). Спектр оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии Гейзенберга был явно вычислен в работе [47]. Ввиду того, что оператор Ходжа *, задаваемый метрикой д, определяет для любого к = 0,1,2,3 унитарный изоморфизм * : Ь2(М,АкТ*М) £2(М, А3~кТ*М), причем *Д = Д*, спектр оператора Лапласа на 2-формах и 3-формах совпадает соответственно с его спектром на 1-формах и 0-формах, то есть на функциях. Таким образом, в данном разделе завершено вычисление спектра оператора Лапласа на дифференциальных формах на римановых многообразиях Гейзенберга. Отметим также работу [31], в которой были вычислены собственные значения оператора Дирака на римановых многообразиях Гейзенберга.

Вычисление спектра оператора Лапласа основано на идеях работы [47] и использует некоммутативный гармонический анализ, а именно, теорию представлений нильпотентных групп Ли, развитую Кирилловым [9]. Однако, в отличие от работы [47], использование этих методов позволяет свести вычисление спектра оператора Лапласа на один формах не к задаче вычисления спектра квантового гармонического осциллятора, а к более сложной задаче вычисления спектра матричного дифференциального оператора.

В разделе 3.3 исследованы «малые» собственные значения оператора Лапласа и установлена их связь с дифференциальной спектральной последовательностью слоения.

Для произвольного компактного многообразия М со слоением Т обозначим, как и выше, через Ае оператор Лапласа на дифференциальных формах, определяемый метрикой д£. Пусть 0 < Ад(е) < Ai(e) < < •*• обозначает его спектр на С°°(М, АГТ*М) с учетом кратности. Хорошо известно, что собственные значения оператора Лапласа на дифференциальных формах изменяются непрерывно при непрерывных возмущениях метрики, и, тем самым, «ветви» собственных значений А[ (е) зависят непрерывно от параметра е > 0. Мы будем рассматривать только те «ветви» А[(е), которые стремятся к нулю при е —> 0, назовем их «малыми» собственными значениями.

Разложение ТМ = F®Ii, где F = TJ7 и Я = F1, индуцирует би-градуировку пространства дифференциальных форм f2, определяемую по формуле Qu>v - С°°(М, Д" Я* (2) Дv F*). Положим Пк = ®и>кПи>\ Дифференциал де Рама d переводит каждое в себя, тем самым, мы получаем фильтрацию комплекса де Рама (ft,d):

Q, d) = (Q0, d) D (Hi, d) D (Q2, d)D .

По данной фильтрации каноническим образом можно построить последовательность градуированных векторных пространств Е'*>* вместе с линейным отображением, дифференциалом dr : Е™ —> EP+r,q~r+1, dl = 0, в которой каждый последующий член Е*+г изоморфен когомо-логиям предыдущего комплекса (E*'*,dr), называемую дифференциальной спектральной последовательностью слоения. Данная спектральная последовательность сходится к когомологиям де Рама НГ(М,Ш) многообразия М: при достаточно большом к E%'v = = . = причем

Пусть М — риманово многообразие Гейзенберга со слоением Т (см. раздел 2.1) с а = 0 и римановой метрикой д, соответствующей единичной матрице. Основным результатом раздела 3.3 является следующая теорема:

Теорема 3.3.1. Для г = 0 и г = 3 днпЦ = Ц {г | ХЦ£) = 0(е2) при = сШпЯ^Й {г | Хг{(е) = О (е2к) при г->0} = 1, к > 2 . и для г — 1 и г — 2 с!ш1 Ё[ = Й {г | ХЦг) = О (е2) при е 0} = оо , &тЩ = Й {г | ХЦе) = О (е4) при е 0} = оо , д.ипЩ = % {г | ХЦе) = О (е2к) при г 0} = 2 , к> 3.

Доказательство основано на явном вычислении дифференциальной спектральной последовательности и «малых» собственных значений, используя результаты раздела 3.2.

В случае римановых слоений аналогичный результат был получен в работе Альвареса Лопеса и Кордюкова [30], и для расслоений в работе [63].

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10,11,20-29,58], в том числе, статьи [10],[20] опубликованы в журналах из перечня ВАК. Из совместных работ [10, 11, 58] в диссертацию включены результаты полученные лично автором.

Заключение

1. Алексеев А. Б. Асимптотика спектра эллиптических граничных задач по малому векторному параметру // Дифференциальные уравнения. Теория рассеяния. Проблемы математической физики. Том 11. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. С. 7 31.

2. Асланян А.Г., Лидский В. Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1974.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.З. М.: Наука, 1967.

4. Болсинов A.B., Тайманов И.А. Интегрируемые геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов.// Тр. МИ АН 231 (2000), 42-58.

5. Боттп Р., Ту Л.В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М.: Наука, 1989.

6. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986.

7. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1986.

8. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1971.

9. Кириллов A.A. Унитарные представления нильпотентных групп Ли.// Успехи мат. наук 17:4 (1962), 53 104.

10. Кордюков Ю.А., Яковлев A.A. Спектр оператора Лапласа на дифференциальных формах на римановых многообразиях Гейзенберга. // Вестник УГАТУ 7:2 (2006), 209-212.

11. Кордюков Ю.А., Яковлев A.A. Адиабатические пределы и некоторые задачи теории чисел. // Вестник УГАТУ 9:3 (2007), 20-23.

12. Крылов А. Л., Федоров Е. М. О собственных колебаниях ограниченного объема замагниченной холодной плазмы // Докл. АН СССР 231 (1976), 68 70.

13. Лифшиц А.Е. О колебаниях анизотропных резонаторов // Функц. анализ и его прил. 14:2 (1980), 62-63.

14. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

15. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 4. М.: Мир, 1981.

16. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

17. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

18. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990.

19. Шубин М.А. Плотность состояний самосопряженных эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами. // Труды сем. им И.Г. Петровского 3 (1978), 243 275.

20. Яковлев A.A. Адиабатические пределы на римановых многообразиях Гейзенберга. // Математический сборник 199:2 (2008), 149-160.

21. Яковлев A.A. Адиабатические пределы на римановых Sol-многообразиях. // E-print arXiv:math/0802.1251. (Математические заметки. Принято к печати.)

22. Яковлев A.A. Спектр Sol- многообразий в адиабатическом пределе. // Математика в современном мире, посвященная 50-летию Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН. Материалы конференции. Новосибирск, 2007 г. С. 111-112.

23. Яковлев A.A. Адиабатические пределы для некоторых многообразий со слоением. // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Материалы международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского. Москва, 2007 г., С. 339-340.

24. Яковлев A.A. Адиабатические пределы для некоторых многообразий со слоением. // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа, 2007 г., Т. 3. С. 45.

25. Яковлев A.A. Спектральная геометрия на некоторых неримановых слоениях и адиабатические пределы. // Операторная алгебра и топология. Материалы международной конференции. Москва, 2007 г., С. 39.

26. Яковлев A.A. Спектральная геометрия риманова многообразия Гей-зенберга и адиабатические пределы. // С*-алгебры и эллиптичеекая теория. Материалы конференции. Польша, Бедлево, 2006 г., С. 27.(опубликована на английском языке).

27. Alvarez Lopez J., Kordyukov Yu. A. Adiabatic limits and spectral sequences for Riemannian foliations. // Geom. Funct. Anal. 10 (2000), 977-1027.

28. Ammann В., Bär С. The Dirac operator on nilmanifolds and collapsing circle bundles.// Ann. Global Anal. Geom. 16 (1998), 221 253.

29. Belov, V. V.; Dobrokhotov, S. Yu.; Tudorovskiy, T. Ya. Operator separation of variables for adiabatic problems in quantum and wave mechanics.// J. Engrg. Math. 55 (2006), no. 1-4, 183-237.

30. Bismut J.M. Local index theory and higher analytic torsion. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998).// Doc. Math. 1998, Extra Vol. I, 143-162.

31. Bismut J.M., Cheeger J. 77-invariants and their adiabatic limits.///. Amer. Math. 2 (1989), 33-70.

32. Bismut J. M, Freed D.S. The analysis of elliptic families, II. Dirac operators, eta invariants and the holonomy theorem.// Comm. Math. Phys. 107 (1986), 103-163.

33. Bolsinov A.V. , Dullin H.R., Veselov A.R. Spectral of Sol-manifolds: Arithmetic and Quantum monodromy.// Comm. Math. Phys. 264 (2006), 583-611.

34. Bolsinov A. V., Taimanov I.A. Integrable geodesic flows with positive topological entropy.// Invent. Math. 140 (2000), 639-650.

35. Cheeger J. 77-invariants, the adiabatic approximation and conical singularities, I. The adiabatic approximation.// J. Differential Geom. 26 (1987), 175-221.

36. Cheeger J. Spectral geometry of singular Riemannian spaces.// Differential Geom. 18 (1983), 575 657.

37. Colbois B., Courtois G. Petites valeurs propres et classe d'Eiiler des S^-fibres.// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 33 (2000), 611-645.

38. Dai X. Adiabatic limits, non-multiplicity of signature and the Leray spectral sequence.// J. Amer. Math. Soc. 4 (1991), 265-231.

39. Dai X. APS boundary conditions, eta invariants and adiabatic limits.// Trans. Amer. Math. Soc. 354 (2002), 107-122.

40. Donnelly H. Asymptotic expansions for the compact quotients of properly discontinuous group actions.// Illinois J. Math. 23 (1979), 485496.

41. Forman R. Spectral sequences and adiabatic limits.// Comm. Math. Phys. 168 (1995), 57-116.

42. Furutani К. The head kernel and the spectrum of a class of nilmanifolds.// Comm. Partial Differential Equations 21 (1996), 423438.

43. Getzler E. A short proof of the local Atiyah-Singer index theorem.// Topology 25:1 (1986), 111-117.

44. Gordon C. S., Wilson E. N. The spectrum of the Laplacian on Riemannian Heisenberg manifolds.// Michigan Math. J. 33 (1986), 253271.

45. Gordon C. S., Wilson E. N. Isospectral deformations of compact solvmanifolds.// Differential Geom. 19 (1984), 241-256.

46. Helffer В., Martinez A., Robert D. Ergodicite et limite semi-classique.// Comm. Math. Phys. 109 (1987), 313-326.

47. Hua, Loo Keng Introduction to number theory. Translated from the Chinese by Peter Shiu. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982.

48. Jammes P. Sur le spectre des fibres en tore qui s'effondrent.// Manuscripta Math. 110 (2003), 13 31.

49. Jammes P. Effondrement, spectre et prorietes diophantiennes des flots riemanniens.// Препринт math.DG/0505417, 2005.

50. Klein M., Martinez A., Seiler R., Wang X.P. On the Born-Oppenheimer expansion for polyatomic molecules.// Comm. Math. Phys. 143 (1992), 607 639.

51. Kordyukov Yu. A. Adiabatic limits and spectral geometry of foliations.// Math. Ann. 313 (1999), 763-783.

52. Kordyukov Yu. A. Semiclassical spectral asymptotics on foliated manifolds // Math. Nachr. 245 (2002), 104 128.

53. Kordyukov Yu. A. Noncommutative geometry of foliations.// Препринт math.DG/0504095 (принято к печати в K-Theory.

54. Kordyukov Yu.A. , Yakovlev A.A. Adiabatic limits and the spectrum of the Laplacian on foliated manifolds. // C*-algebras and elliptic theory. II. Trends Math., Birkhauser, Basel 2008. P. 123-144; E-print arXiv:math/0703785.

55. Landau E. Elementary Number Theory. New York: Chelsea, 1958.

56. Levendorskii S. Z. Asymptotic Distribution of Eigenvalues of Differential Operators. Dordrecht: Kluver Acad. Publ., 1990.i

57. Martinez A. Développments asymptotiques et effet tunnel dans l'approximation de Born-Oppenheimer // Ann. Inst. Henri Poincaré 1989 V. 49. P. 239 257.

58. Mazzeo R. R., Melrose R. B. The adiabatic limit, Hodge cohomology and Leray's spectral sequence for a fibration.// J. Differential Geom. 31 (1991), 185-213.

59. McCleary J. A user's guide to spectral sequences. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 58. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

60. Nomizu Katsumi On the cohomology of compact homogeneous spaces of nilpotent Lie groups.// Ann. of Math. 59:2 (1954), 531-538.

61. Roe J. Elliptic operators, topology and asymptotic methods. Longman, Harlow, 1998.

62. Thurston W. Hyperbolic geometry and 3-manifolds.// Low-dimensional topology (Bangor, 1979), Cambridge Univ. Press, Cambridge-New York, 1982, 9-25.

63. Urakawa H. Baunded domains whith are isospectral but not congruent.// Ann. Sei. École Norm. Sup (4) 15 (1982), 441-456.

64. Whitteker E.T., Watson G.N. A Course in Modern Analysis, 4-th ed, Cambrige University Press, 1990.

65. Witten E. Global gravitational anomalies.// Comm. Math. Phys. 100 (1985), 197-229.