Асимптотические решения уравнений квантовой динамики электрона в нанопленках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Некрасов Роман Владимирович

Асимптотические решения уравнений квантовой динамики электрона в нанопленках

Специальность 01.01.03 — Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

003456156

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук им. А.Ю. Ишлинского (ИПМех РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Доброхотов Сергей Юрьевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Чеботарев Александр Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Орлов Александр Георгиевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится 23 декабря 2008 г. в 16

часов на заседании диссертационного совета Д 212.133.07

в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан « ^_» —МОЯ г^/? -Я.__ 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 ,

к.ф.-м.н, доцент "ХШш^***. П. В. Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Прогресс в нанотехнологии позволил создавать тонкие протяженные квазиодномерные и квазидвумерные структуры сложной геометрии - напотрубки и кинопленки. В одних направлениях эти структуры имеют атомные масштабы, в других - могут быть достаточно протяженными и состоять из сотен, тысяч и более атомов(таким же свойством обладают длинные белковые молекулы). В силу этого и других обстоятельств во многих физических и математических статьях используют сложные квантовомеханические уравнения в качестве моделей для описания электронных свойств (электронный спектр, магнитные свойства наноструктур, электрические свойства наноструктур и т.д.),Эти уравнения имеют малый параметр, равный отношению поперечных и продольных масштабов; кроме того в продольном направлении решения также могут быть узколокализован-пыми или сильно осциллировать (с малой длинной "продольной" волны), что дает возможность решения исследовать соответствующие решения (квантовые состояния) при помощи асимптотических методов. В связи с этим нахождение асимптотических решений уравнений квантовой динамики электрона в нанопленках и нанотрубках представляется весьма актуальным.

Целью работы является построение квазиклассических асимптотических решений трехмерного стационарного и нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом Паули-Рашбы, заданным в тонкой пленке и трехмерного уравнения Хартри с нелокальным нелинейным потенциалом заданным в тонкой трубке.

Общая методика исследования основана на сочетании адиабатического и квазиклассического приближений, методов аналитической теории динамических и га-мильтоновых систем, топологических подходов в теории гамильтоновых систем.

Научная новизна определяется следующими основными результатами:

• Построены асимптотические решения для задачи Коши с узколокализованными начальными данными для уравнения Шредингера с гамильтонианом Паули-Рашбы, заданного в искривленной тонкой пленке;

• Выведены эффективные продольные уравнения для исходно трехмерного уравнения Хартри с нелокальной нелинейностью, заданного в искривленной тонкой

• Построены асимптотические решения для задачи Коши с узколокализованными начальными данными для уравнения Хартри с нелокальной нелинейностью, исследована динамика распространения и ширины локализации, возможность баллистического транспорта;

• Построены квазиклассические спектральные серии и собственные моды для стационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом Паули-Рашбы заданным в торичсской и сферической тонкой пленке;

Научная и практическая ценность. Работа косит теоретический характер. Асимптотические методы решения задач математической физики сами по себе представляют теоретический интерес. Асимтотические решения могут объяснять и даже

трубке;

/

предсказывать некоторые ключевые свойства точных решений получаемых численно или в ходе эксперимента. Приложением такого рода задач может быть расчет некоторых физических характеристик (намагниченность, плотность состояний) наноструктур со сложной пространственной геометрией, оценка возможности баллистического транспорта электронов через узкие нанотрубки или длинные биологические молекулы. Автор надеется, что рассчитанные эффекты "свсрхлокализашш "связанные с распространением возбуждений в тонких трубках с нелинейным нелокальным потенциалом, реально имеют место в определенных ситуациях.

Личное участие автора. Результаты диссертации, касающиеся редукции уравнений в низкоразмерных структурах получены совместно с научным руководителем С.Ю.Доброхотовым, Й.Брюнингом (Гумбольдтовский университет, Берлин), А.И. Шафаревичем (МГУ), Т.Я. Тудоровским. Построение асимптотических решений редуцированных уравнений и их анализ, а также доказательства об оценках невязок проведены автором.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на Международных конференциях "Дни Дифракции" (в 2007,2008 годах, Санкт-Петербург), на международной конференции"Классические и квантовые интегрируемые системы" (в 2008г, Протвино), на семинаре "Математические проблемы физики" (ПОМИ РАН, рук. В.М.Бабич), семинаре "Асимптотические методы в математической физике" ИПМех РАН, семинаре "Математическое моделирование в биологии" (Лионский Университет, рук. В.Вольперт), на математическом семинаре Дижонского Университет (рук. В.Матвеев), па семинаре "Квантовой и классической динамики"(центр теоретической физики, Марсель).

Публикации. Основное содержание работы отражено в четырех публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Они опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий и журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата и доктора наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложений и списка литературы. Материал диссертации изложен на 90 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 52 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются основные результаты работы, а также вводятся два типа операторов Шредингера, изучаемые в диссертации:

1)Оператор Паули-Рашбы

Р2 рК ~

При = — + уь,(г) + У„,(Г) - —(*, В) + П50, (1)

где г - радиус-вектор точки в трехмерном пространстве, Р = — гКФ — (е/с)А(г), Н,т,е - физические постоянные (постоянная Планка и эффективная масса, заряд электрона), у^Дг) - потенциал конфайнмента, ограничивающий движение частицы

областью, занятой наноструктурой, vext(r) и А(г) = (-Вхг/2, Sxi/2,0) - потенциалы внешних электрического и магнитного полей, В = rot А - однородное магнитное поле, (т = {cri, о2,03} - матрицы Паули, Hso = а(сг, [Vi>i„t, Р]) - оператор взаимодействия спина электрона с электрическим полем кристалла. Постоянная а зависит от типа рассматриваемого кристалла. Жирными буквами обозначены векторы и векторные операторы с компонентами в декартовой системе координат.

2) Нелинейный оператор Хартри

«И.Г = + vin,(r) + jf С(г,г')|Ф(г'д)|^г', (2)

здссь G - гладкая функция (ядро нелинейного потенциала), Ф(г, i) - волновая функция на которую должен действововать оператор Нцаг (уже как линейный оператор).

В качестве граничных условий для этих уравнений рассматривается либо условие Дирихле Ф|т = 0 ("жесткие стенки"), либо роль граничного условия выполняет быстро растущий в поперечном к пленке или трубке направлении потенциал конфай-нмента vint ("мягкие стенки"). Начальные условия (в случае задачи Коши) пригодные для построения асимптотик имеют довольно общий вид и будут описаны ниже.

В первой главе при помощи варианта адиабатического приближения- "метода операторного разделения переменных" проводится редакция изначально трехмерных уравнений квантовой мехалики заданных в областях вида тонких искривленных пленок и тонких искривленных трубок к уравнениям заданным на предельных поверхностях (в случае пленок) и кривых (в случае трубок).

В рассматриваемых задачах имеются различные масштабы в продольном и поперечном направлениях, мы ограничимся рассмотрением квантовой частицы (электрона) в трубках и пленках с медленно (адиабатически) меняющимися геометрическими характеристиками. Их малые сегменты с продольными масштабами порядка толщины d с большой точностью можно считать прямым цилиндром и ровным слоем. Из физических соображений ясно, что эффективная динамика электрона в таких структурах должна быть одно- и двумерной, по крайней мере для нижних подзон размерного (поперечного) квантования, и определяться уравнениями с эффективными гамильтонианами ¿" на оси трубки или на поверхности пленки для волновой функцией ■ф

гЩ = (3)

Здесь V - номер подзоны размерного квантования. Такая точная редукция может быть проведена точно только для малого-числа моделей, и обычно редукция проводится в приближенном, или более точно, асимптотическом смысле. Как правило, полное асимптотическое разложение довольно сложно и имеет скорее академический интерес: для физических приложений достаточно построить главный член разложения, и иногда несколько поправок к нему. С "асимптотической точки зрения" редукция связана с наличием малого параметра /х = djl и может быть реализована в рамках адиабатического приближения, которое мы применяем в виде "операторного разделения переменных" ("обобщенного адиабатического принципа") 1. Такой подход,

'В.В. Белов, С.Ю. Доброхотов, Т.Я. Тудоровский, Теор. Мат. Физ., том 141, N 2 (2004); В.В.Белов, С.Ю.Доброхотов, В.П.Маслов, Т.Я.Тудоровоош, Успехи физ.паук, т. 175, N 9 (2005); V. Belov, S. Dobrokhoiov, T. Tudorovskiy, Journal of Engineering Mathematics, v. 55, N 1-4 (2006).

представляет собой объединение классического приближения Ворна-Оппенгеймера, теории уравнений с операторнозначными символами и операторные методы, а также "подстановку "Пайерлса" в физике твердого тела.

Первым шагом редукции является введение удобных координат - продольных х и поперечных у, таких что матрица метрики принимает простой блочно-диагональный вид. Приведем явный вид редуцированных уравнений. Обозначим через £х собственные значения и собственные функции Хо вспомогательной задачи на "поперечные моды" :

ДуХо + у)хо = е±(х)хо, 1Ы1» = 1, А^хо = 0, (4)

и через б = —(щ — ^г)2/® ~ геометрический потенциал Маслова, зависящий от главных кривизн К1, Х2 в точках на предельной поверхности. Обозначим также через А„ нормальную составляющую вектроного потенциала в точках на предельной поверхности: Ап — Ап(х) — (А(х),п(х)}; через шс циклотронную частоту: тс = Фо = 2к%с/е - квант магнитного потока. При выполнении достаточно общих условий, сформулированных в утверждениях 1-3 главы 1, редуцированные уравнения имеют вид

- нестационарное редуцированное уравнение для гамильтониана Паули-Рашбы:

дф± 1

Щ-^- = (~2 + Увл(х) + Е±(Х) + ^{х})^, (5)

- стационарное редуцированное уравнение для гамильтониана Паули-Рашбы:

(-^2Да/ + + ех(а;) + ¡120{х))ф = Еф(х), (6)

- редуцированное уравнение для уравнения Хартри:

{-Щ^ - + е±{х) + 1^а{х,х')\ф(;х',1, ¡м)^х'}ф{х, I, р) = 0. (7)

Если найдены их решения с длинами волн К > то по ним можно построить по крайней мере формальные асимптотические решения исходных уравнений. Для главной части этих асимптотических решений формула "восстановления" имеет соответственно вид

Ф = (хо{Х;У) + рх^-Щ^Лу,^ ехр(гг/Ап/Ф0)ехр(-ш„4о-3/2) , (8)

Ф+(а:,у) = \Хо{х,у) + МХ1) ехр(гуА„/Ф0) МП , £+ = + ^Е

> < >о< 2 О)

= ( Хо{х,у) +цЪ) ехр(гуА„/Ф0) М, £~ = +^Е

у, í, ß) = (Хо(х, у) + 11ЪЖХ, t, /О

(10)

Вид всех уравнений координатно инвариантен, предельная поверхность для уравнений (7),(6) может быть произвольной римановой поверхностью с метрическим тензором gij. Такую поверхность обозначаем Г.

"Поправочный" оператор xi определен в главе 1 диссертации. Хотя он вносит вклад в асимптотику 0(/¿), его учет позволяет установить факт разумной малости невязки, полученной при подстановке (8), (9),(J0) в исходное уравнение.

Редуцированные уравнения (5)-(7) имеют вид дифференциальных уравнений (в третьем случае интегро-дифференцального) с малым параметром ц при каждом операторе дифференцирования. Поэтому для решения этих уравнений можно использо-бэть различные асимптотические методы.

Во второй главе при помощи канонического оператора Маслова и комплексного ростка Маслова строятся квазиклассичсские асимптотические решения задач Коши для редуцированного уравнения (5) с начальными условиями в виде узколокализо-ванных пакетов. Там же с помощью метода комплексного ростка, обобщенного на нелинейный случай В.В.Беловым, А.Ю.Трифоновым и А.В.Шаповаловым2 построены асимптотические решения специальной задачи Коши для нелинейного уравнения (7) типа Хартри.

Имеет место следующий простой, но малоизвестный факт3. Узколокализованные функции вида ■фо = f(xfoi),f 6 СЦ°(Г) могут быть представлены при помощи конструкции канонического оператора:

= п!/(«)] (11)

на лагранжевом многообразии (плоскости) Al = {р = а, х = 0, | а 6 R2}, где / -преобразование Фурье функции /. Это в свою очередь означает, что если начальные условия имеют вид (11), то и решение может быть приближенно представлено при помощи конструкции канонического оператора.

Такие конструкции дают наглядный механизм делокализации решений задачи Коши с начальными условиями вида (11) на временах порядка единицы (в обезраз-меренных единицах описанных в первой главе). Для следующих случаев эти конструкции были упрощены до явных формул (примеры 1-4, глава 2):

Утверждение 1. Пусть предельная поверхность является плоскостью с координатами 12 о пространстве в однородном магнитном поле (исходная пленка -плоский слой), тогда функция

■ф(хих2,г) = - 2 е"" т f Ы ctgM/2) ~ х7), |(х2 ctgM/2) + ii))

2В.В. Белов, А.Ю. Трифонов, A.B. Шаповалов, КвазиклЕкхическоетраекторио-когерентное приближение дан уравнения типа Хартри. Тсор. Мат. Физтом 130, N 3 (2002),

3С. Ю. Доброхотов, Б. Тироцци, А. И. Шафаревич, Представления быстроубывающих функций каноническим оператором Маслова, Матем. заметки, том 82, N 5, 792-796 (2007).

является асимптотическим решением уравнения (5) с начальными условиями вида (11). Здесь циклотронная частота w = ^ соответствует нормальной составляющей магнитного поля (Вп — (В, п)).

Утверждение 2. Пусть предельная поверхность является сферой, тогда функция

налл ha , о м 7,в +Ш \0 + 2тгк.

= - v + 27rfc|e /(——cos ф,-—-—sm ф)

к—-оо

удовлетворяет уравнению (5) и начальным условиям вида (11), сосредоточенным в полюсе 9 = 0 (используются сферические координаты в, ф), с точностью до невязки по норме в Li(r) не превышающей 0(fi2).

Квазиклассическим асимптотическим решением с локализованным начальным условием другого рода является решение построенное методом комплексного ростка. В этом случае начальное условие имеет вид гауссовой экспоненты, положим с центром в точке х = 0:

ф\ы = Аех(12)

здесь квадратичная форма В0 имеет положительно определенную мнимую часть: Irai?0 > О, А - нормировочная константа. Такая функция отличается от функций вида (11) своей степенью локализации (в этом случае функция ф имеет вид Тогда решение уже не делокализуется на временах порядка единицы, а лишь медленно расплывается, сохраняя локализацию. В этом случае решение имеет следующий вид:

Ф( ХЛ) = Л AH<PMMr)>~«(X(r),Pjr))drv

vAlet C(t)

е

\<р{г)&-х{ь)>е^<х-х{(),вс-1(х-х[е))> ^gj

Здесь

1) X(t),P(t) - решения классической гамильтоновой системы

OA

где Я = (р — A)2/2+vext (х, f)-i-ei(x) - старший символ гамильтониана уравнения (5). В качестве начальных условий выбирается Х[1=0 = P|t=o = 0;

2) B(t),C(t) - решения системы в вариациях, отвечающей траектории X(t),P(t):

B = -HFX(P(t),X(t))B-Hxx(P(t),X(t))C, =

С= H„{P{t),X{t))B + Hpx{P{t),X{t))C, G\t=0 = E. 1 '

где Е - единичная 2 х 2-матрица.

Утверждение 3. Функция (13) являются асимптотическим mod 0(///2) решением задачи Коши для уравнения (5) с начальными условиями вида (11).

Рис. 1: е±(х) = -0.1 сое я, Р0 = 1, я = 0 (граница), В0 = г/10

Решения с начальными условиями в виде гауссовой экспоненты изучены так же для нелинейного уравнения типа Хартри (7) (впервые такое решение найдено в работе В.В.Белова. А.Ю.Трифонова, А.В.Шаповалова4). В этом случае вместо гамиль-тоновой системы (34) используется так называемая система Гамильтона-Эренфеста:

ВС

Х = р, Р = -е'±(Х)--^(Х,Х), Р|ы, = Ро, Х|{=0 = Х0 (16)

и вместо системы в вариациях (15) следующая линейная система

гРС

С=В, В = -е'[(ХЦ))С--д-£(Х{1),Х(г))С, 3|4=0 = В0. С1(-о = 1, (17)

отличающаяся от системы (15) слагаемым ^{Х{1),ХЦ))С. Тогда уравнение (7) имеет следующее формально асимптотическое тоё 0(д3//2) решение:

ф(Х, и,) = -А=ехр {1 [*<*,М) + РШх - *(*)) + } ,

*(*>/») = /о ~еЛХ{т)) - О0(Х(т),Х(т)) - &^(Х(т),Х(т))}Ат.

(18)

Решения такого типа исследованы для случая, когда £±(х) - периодическая функция с периодом а, ядро бо траисляционно инвариантно и симметрично Оо(х,х') = Сй{\х — х'|). Тогда вспомогательная задача (17) становится периодической задачей Штурма-Лиувилля со спектральным параметром к = Поведение решения кардинально зависит от того, принадлежит ли спектральный параметр х зоне, лакуне, либо лежит на границе, что продемонстрировано на рисунках 1-4.

На первом рисунке мы имеем типичную ситуацию для линейного уравнения квантовой механики - медленное расплывание волного пакета при распространении, что как раз соответствует случаю х = 0.

На втором рисунке параметр у. попадает в зону и мы имеем баллистический транспорт - пакет не расплывается.

4В.В. Белов, А.Ю. Трифонов, A.B. Шаповалов, Квазиклассическое травкторно-когерентное приближение для уравнения типа Хартри. Теор. Мат. Физ., том 130, N 3 (2002).

На третьем рисунке параметр х - отрицателен и мы имеем экспоненциально быстрое расплывание пакета.

На четвертом рисункс представлен самый интересный случай положительной лакуны - пакет в основном экспоненциально расплывается, но периодически но времени и в пространстве вновь локализуется, причем степень локализации экспоненциально возрастает (таким образом возникает т.н. "сверхлокализация").

В третьей главе при помощи канонического оператора и комплексного ростка Маслова построены квазиклассические асимптотические решения спектральной задачи (6) для некоторых пленок специального вида. В начале главы приводятся общие формулы канонического оператора и комплексной!о ростка Маслова. Затем рассматриваются примеры.

В первом примере редуцированное уравнение (б) задано на поверхности сферы 5 в ®3 в однородном магнитном паче:

-^^м'Ф = Еф, 21 ц2 д аа ¡г- а2 . о 1 2

V Ам =-о та COS0M + —ГЗ ЯГ2 - - lw cos ^

cos 9 ад 89 cos2 в дф2 дф 4

В отсутствии магнитного поля w — 0, это есть классическая задача на собственные функции и собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Ответ выражается в сферических функциях, а спектр Еп = ц2п(п +1)/2. Однако при наличии поля ответ не выражается ни в элементарных, ни в специальных функциях.

Квазиклассически такое З'равнеяие было исследовано в публикации 1 (эта работа была мотивирована работами с численным рассчетом5). Для построения квазиклассического приближения сначала исследуется классическая система движения точечной заряженнной частицы на поверхности сферы в однородном магнитном поле.

Соответствующий гамильтониан в сферических (конфигурационных в,ф и сопряженных импульсных рв,Рф) координатах фазового пространства T'S имеет вид

тлл л \ Рв : 1 i РФ , ii'cos^N2

Гамильтонова система интегрируема, вторым интегралом является рф. Фазовое пространство расслаивается на инвариантные изотропные подмногообразия, являющиеся линиями уровня Н = const = Е, рф = const = М. Отображение фазового пространства на плоскость значений Е, М называется отображением момента. Критические значения этого отображения образуют бифуркационную диаграмму0. Кривые бифуркационной диаграммы разбивают (Е, А/)-плоскость на области, внутри которых каждая точка в качестве прообраза имеет объединение некоторого числа торов Лиувилля (теорема Лиувилля-Арнольда). Этот прообраз непрерывно зависит от точки внутри области и число его связных компонент зависит только от выбора области. Бифуркационная диаграмма для движения на сфере в однородном магнитном паче приведена на рисунке 5 слева.

5Phys. Rev. А46, 3, R1163 (1992); Phys. Rev. В 46, 9501 - 9504 (1992)

■'Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем, М.: Наука (1997).

Р'ис. 5: Бифуркационные кривые и множество связных компонент лиувиллева слоения для движения на сфере в однородном магнитном поле

Точки области 1 соответствуют одной компоненте связности (одному тору Лиу-вилля). Точки области 2 соответствуют двум (один тор расположен целиком в верхней полусфере 0 > 0, второй симметрично ему в нижней в < 0). В этих областях можно использовать условия квантования Бора-Зоммерфельда и конструкции канонического оператора для построения асимтпотических решений.

Парабола Е = ~(М + ограничивает область 1 и соответствует движениям но экваториальной окружности. Ее точки \М\ > ги/2 отвечают устойчивым вращениям. Для них строятся асимптотики метода комплексного ростка Маслова:

(19)

где Н„. полиномы Эрмита, О = у М2 -

Два отрезка ограничивающие область 2 извне также отвечают устойчивым замкнутым инвариантным кривым в фазовом пространстве. Первый горизонтален и соответствует окружностям состоящим из точек покоя, находящихся на одинаковом удалении от вертикальной оси Ъ, Второй отрезок имеет наклон Е = Мхи и соответствует циклотронному вращению по окружностям секущим сферу ортогонально оси Ъ. Соответствующие асимптотики имеют вид

Епт = ¡№\1\ - 2т^/т(п + п ~ 1, т ~ -М/ц, (20)

и

Епт = т/ш 4- - 2т/а/т(п + п~1,т~М/д, (21)

соответственно.

Точка (0,0) плоскости (Е, М) отвечает двум точкам покоя в полюсах сферы. Для обоих применимо осцилляторное приближение, что в первом приближении дает так называемые уровни Ландау:

Еп = цю{п+^У, п~1,т~1. (22)

Эта серия определяет асимптотику нижних состояний спектра7, вырождение по номеру т снимается в поправочных членах.

Множество связных компонент слоения фазового пространства образует много-листную поверхность (см. рисунок 5). Листы отвечают непрерывным семействам лиувиллевых торов. Границы листов отвечают критическим инвариантным подмногообразиям гамильтновой системы - сингулярным множествам (сепаратрисам), и вырождениям на торы меньшей размерности (окружности и точки).

Прообразы листов этой поверхности соответствуют максимальным областям в фазовом пространстве, где можно ввести переменные действие-угол. И правила квантования Бора-Зоммерфельда единообразно записываются на каждом листе как

А = цт, 12 = fj.il +1 /2), т,/ е 2. (23)

Оказывается8, спектральные серии (19)-(22) получаются как частный случай (23) при приближении торов Лиувилля к соответствующим границам листов.

Итак, правилам квантования (23) удовлетворяет дискретное множество точек на указанной поверхности, соответствующей множеству связных инвариантных подмногообразий фазового пространства. На каждом листе это своя серия. Проекция всевозможных серий на энергетическую ось определяет асимптотический спектр исходной редуцированной задачи.

Аналогично рассматривается второй пример - когда редуцированное уравнение задано на стандартном торе в К3 с осью вращения вдоль линии однородного магнитного поля. В этом случае, также используется аксиальная симметрия дающая классическую интегрируемость задачи.

Резюмируем содержание третьей главы.

Утверждение 4. Гамилътоново уравнение с гамильтонианом Н интегрируемо. Фазовое пространство расслаивается на инвариантные изотропные подмногообразия. Множество различных связных компонент этого слоения образует много-листную поверхность. На ее листах условия квантования Бора-Зоммерфельда (23) выделяют наборы торов Лиувилля. Соответствующие этим торам энергии образуют квазиклассические спектральные серии, которые приближают серии собственных значений оператора р?Ам ■

7M.V. Karasev, Geometric dynamics on quantum Kano-sutfaces and low-energy spectrum in a homogeneous magnetic Geld, Russian Journal of Mathematical Physics, v. J 4, N 4 (2007).

8тем не менее, асимптотические собственные функции (23) не переходят в (19)-(22) и не являются асимптотическими решениями, если они соответствуют торам Лиувилля в окрестности границ листов

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• Построены асимптотические решения для задачи Коши с узколокализованными начальными данными для уравнения Шредингера с гамильтонианом Паули-Рашбы, заданного в искривленной тонкой пленке;

• Выведены эффективные продольные уравнения для исходно трехмерного уравнения Хартри с нелокальной нелинейностью, заданного в искривленной тонкой трубке;

• Построены асимптотические руления для задачи Коши с узколокализованными начальными данными для уравнения Хартри с нелокальной нелинейностью, исследована динамика распространения и ширины локализации, возможность баллистического транспорта;

• Построены квазиклассические спектральные серии и собственные моды для стационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом Паули-Рашбы заданным в торической и сферической тонкой пленке;

Автор благодарит своего научного руководителя С, Ю. Доброхотова за постановки задач и внимание к работе, а также А. И. Шафаревича за полезные дискуссии.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Р. В. Некрасов, "Квазиклассические спектральные серии оператора Шредингера на поверхностях в магнитном поле", Математические заметки, т.80, №1, стр. 69-76 (2006).

2. Й. Брюгашг, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, "Квантование периодических движений на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле", Математические заметки, т.81, №1, стр. 32-42 (2007).

3. Й. Брюнинг, С. Ю. Доброхотов, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, "Распространение гауссовых волновых пакетов в квантовых тонких периодических волноводах с нелокальной нелинейностью", Теоретическая и Математическая Физика, т. 155, Jf'2, стр. 215-235 (2008).

4. J. Bruening, S. Dobrokhotov, R. Nekrasov, T. Tudorovskiy, "Quantum Dynamics in a Thin Film, I. Propagation of Localized Perturbations", Russian Journal of Mathematical Physics, vol.15, №1 (2008).

Подписано в печать 20.11.2008 г. Исполнено 21.11.2008 г. Печать трафаретная. Заказ № 2188. Тираж 100 экз. Типография "Витекс", г. Москва, ул. Молодогвардейская, 23.

Введение

1 Редукция квантовомеханических уравнений заданных в тонких структурах к эффективным уравнениям заданным на предельных низкоразмерных структурах

1.1 Операторно значное разделение переменных.

1.2 Уравнение Паули-Рашбы заданное в тонкой искривленной пленке находящейся во внешнем однородном магнитном поле 13 1.2.1 Оператор И. в криволинейных координатах.

1.2.2 Редукция к уравнению на двумерной поверхности

1.3 Спектральная задача для гамильтониана Паули-Рашбы

1.4 Уравнение Хартри заданное в тонкой искривленной трубке

1.4.1 Постановка задачи в криволинейных координатах

1.4.2 Редукция к пространственно одномерному уравнению

1.4.3 Случай параболического потенциала конфайнмента

2 Квазиклассические решения задачи Коши редуцированных уравнений

2.1 Задача Коши с локализованными начальными данными

2.2 Квазиклассические сосредоточенные решения уравнения

Хартри

2.2.1 Волновые пакеты в периодических структурах: не расплывание пакетов и сверхлокализация.

3 Квазиклассический спектр и собственные состояния

3.1 Интегрируемый случай. Примеры.

Прогресс в нанотехнологии позволил создавать тонкие протяженные квазиодномерные и квазидвумерные структуры сложной геометрии - на-нотрубки и нанопленки. В одних направлениях эти структуры имеют атомные масштабы, в других — могут быть достаточно протяженными и состоять из сотен, тысяч и более атомов (таким же свойством обладают длинные белковые молекулы).

Нас интересует поведение одного электрона (как квантовой частицы, или квазичастицы) в одочастичном приближении, что определяет некоторые электрические свойства наноструктур. В рассматриваемых нами моделях (приближение эффективной массы) указанные структуры представляют собой "сплошные" области типа тонкой трубки и тонкой искривленной пленки. Вне этих областей волновая функция Ф(г. £) квантовой частицы "экспоненциально" быстро убывает (модель "мягких стенок"), либо равна нулю (модель "жестких стенок").

Поведение электрона определяется оператором Шредингера, члены которого в свою очередь определяется потенциалами сил. Мы рассмотрим два типа потенциалов:

1) Как и в [18, 24], мы полагаем, что (трехмерная) квантовая динамика электрона в наноструктурах, помещенных во внешнее электромагнитное поле, описывается т.н. гамильтонианом Паули-Рашбы [36]:

- Р2 eh ~

Hpr = — + vint(г) + «<«t(r) - В) + Hso, (1)

V. где г - радиус-вектор точки в трехмерном пространстве, Р = — г'/iV — (e/c)A(r), fi,m,e - физические постоянные (постоянная Планка и эффективная масса, заряд электрона), v;nt(r) - потенциал конфайнмента, ограничивающий движение частицы областью, занятой наноструктурой, Vcxt(r) и A(r) = (—Bx-2j"2, Bxi/2,0) - потенциалы внешних электрического и магнитного полей, В = rot А - однородное магнитное поле, (т = {cri,cr2,<7;i} - матрицы Паули, Hso = а(ст, [Vuint, Р]) - оператор взаимодействия спина электрона с электрическим полем кристалла. Постоянная а зависит от типа рассматриваемого кристалла [20]. Жирными буквами обозначены векторы и векторные операторы с компонентами в декартовой системе координат.

2) Мы также рассмотрим другую модель, когда потенциалы внешних полей равны нулю, но присутствует нелинейный потнециал. В нелинейной теории известно много моделей, где используются уравнения типа Хартри (с нелокальным нелинейным взаимодействием) в трехмерном евклидовом пространстве:

Пнаг=-~A + vint(r)+ / С(г,г')|Ф(г',t)\2dr': ret3, (2) rn JR 3 здесь нелинейный потенциал fR3 G(r, г')|Ф(г')|2<й-' зависит от волновой функции Ф(г, £) на которую должен действововать оператор 'Ннаг (уже как линейный оператор). Этот потенциал учитывает возможные деформации трубки под действием электрона, или возможное самодействие электронов (является эффективным потенциалом самосогласованного поля в одночастичном приближении). Для Возе-Эйнштейновского конденсата, такой же член дает обобщение уравнения Гросса-Питаевского на случай нелокального нелинейного взаимодействия. Если поперечные размеры волновода периодически меняются вдоль его оси, то в грубом приближении, их можно так же использовать в задачах моделирования распространения внутримолекулярных возбуждений вдоль длинных молекулярных цепочек (ср. с [42]). формулировка задачи

В представляемой работе изучаются задача Коши и спектральная задача для Уравнений Шредингера с гамильтонианом Паули-Рашбы заданных в областях имеющих вид тонкой пленки, а также задача Коши для Уравнения Хартри с нелокальным нелинейным членом в областях имеющих вид тонкой трубки в пространстве (рис.1).

Квантовые состояния электрона в трехмерном пространстве (в том числе стационарные) Ф(г,t) удовлетворяют нестационарному уравнению i№t = Ш>. , (3)

В качестве граничных условий для этих уравнений рассматривается либо условие Дирихле Ф|гп = 0 ("жесткие стенки"), либо роль граничного условия выполняет быстро растущий в поперечном к пленке или трубке направлении потенциал (потенциал конфайнмента) Vint —► +оо ("мягкие стенки"). Начальные условия (в случае задачи Коши) имеют вид узколокализованных волновых пакетов и будут описаны ниже.

Решение поставленных задач проводится в два этапа. Сначала, при помощи одного из вариантов теории адиабатического приближения, "метода операторного разделения неременных", проводится редукция изначально трехмерных уравнений заданных в тонких областях к уравнениям заданным на предельных поверхностях (в случае пленок) и и на предельных кривых (в случае трубок). Затем к выведенным редуцированным уравнениям применяется квазиклассическое приближение.

Редукция

В рассматриваемых задачах имеются различные масштабы в продольном и поперечном направлениях, мы ограничимся рассмотрением квантовой частицы (электрона) в трубках и пленках с медленно (адиабатически) меняющимися геометрическими характеристиками. Pix малые сегменты с продольными масштабами порядка толщины cl с большой точностью можно считать прямым цилиндром и ровным слоем. Из физических соображения ясно, что эффективная динамика электрона в таких структурах должна быть одно- и двумерной, по крайней мере для нижних подзон размерного (поперечного) квантования, и определяться уравнениями с эффективными гамильтонианами L1' на оси трубки или па поверхности пленки для волновой функцией ф": гГгфЧ = Luipu. (4)

Здесь и - номер подзоны размерного квантования. Конечно, такая точная редукция может быть проведена точно только для очень малого числа моделей, и обычно редукция проводится в приближенном, или более точно, асимптотическом смысле. Как правило нолное асимптотическое разложение довольно сложно и имеет скорее академический интерес, для физических приложений достаточно построить главный член разложения, и иногда несколько поправок к нему. С "асимптотической точки зрения" редукция связана с наличием малого параметра ß = cl/l и может быть реализована в рамках адиабатического приближения, которое мы применяем в виде "операторного разделения переменных" ("обобщенного адиабатического принципа") [13],[4],[2], см. также [33],[12]. Такой подход, представляет собой объединение классического приближения Борна-Оппенгеймера [5], [6], теории уравнений с онераторнозначны-ми символами [27] и операторные методы [46], а также "подстановку "Пайерлса" в физике твердого тела [34],[23].

Первым шагом редукции является введение удобных координат - продольных х и поперечных у, таких что матрица метрики принимает простой блочно-диагональный вид. Приведем явный вид редуцированных уравнений. Обозначим через е± и хо собственные значения и собственные функции вспомогательной задачи на "поперечные моды":

-^ДуХо + v-mt(x, у)хо = е±(ж)хо, 1М1з/ = 1, Arg^o = 0, (5) и через Q = —(щ — ж2)2/8 - геометрический потенциал Маслова, зависящий от главных кривизн Х2 в точках на предельной поверхности. Обозначим также через Ап нормальную составляющую вектроного потенциала в точках на предельной поверхности: Ап = Ап(х) = (А(х),п(х)); через wc циклотронную частоту: wc = Фо = 2nhc/e - квант магнитного потока. При выполнении достаточно общих условий, сформулированных в утверждениях 1-3 главы 1, редуцированные уравнения имеют вид

- нестационарное редуцированное уравнение для гамильтониана Паули-Рашбы: дф± 1 (~2 /*2дм + vext(x) + + ft2G(x)) (6) где "2Ам = + 2«"^н^ -

- стационарное редуцированное уравнение для гамильтониана Паули-Рашбы:

-i/i2 Дм + Vertía:) + е±(х) + = Еф{х), (7)

- редуцированное уравнение для уравнения Хартри: niWt + + L °о{х' Х'ШХ>'£' V) = 0- (8)

Если найдены их решения с длинами волн h> ц, то по ним можно построить по крайней мере формальные асимптотические решения исходных уравнений. Для главной части этих асимптотических решений формула "восстановления" имеет соответственно вид

Ф = \ Хо{х,у) + ехР(щАп/Фо)exp(—iwctегз/2) j ,

9)

Ф+(ж, у) = í Хо(х,у) + А»:XI ) ехр(гуАп/Фо) Í ¡Л , Е+ = +\hwe + ^Е ф-(ж, у) = \ хо(х, у) + (ixi J ехр(гуАп/Ф0) ГУ £~ = -\hwe + ¿E

10)

Н)

Вид всех уравнений координатно инвариантен, предельная поверхность для уравнений (8),(7) может быть произвольной римановой поверхностью с метрическим тензором д^. Такую поверхность обозначаем Г.

Поправочный" оператор XI определен в главе 1 диссертации. Хотя он вносит вклад в асимптотику О(ц), его учет позволяет установить факт разумной малости невязки, полученной при подстановке (9), (10),(11) в исходное уравнение.

Квазиклассические асимптотики решений для редуцированных уравнений.

Редуцированные уравнения (6)-(8) имеют вид дифференциальных уравнений (в третьем случае интегро-диффиринцального) с малым параметром ¡и, стоящим перед каждым дифференцированием. Существует много конструкций, восходящих к методу ВКБ, осцилляторному приближению и пространственно-временому лучевому методу, для коротковолновых асимптотик в задачах с такими уравнениями [30],[43],[16],.

Во второй главе при помощи методов канонического оператора, комплексного ростка Маслова строятся квазиклассические решения задач Коши для редуцированного уравнения (6) с начальными условиями в виде узколокализованных пакетов; а также для уравнения (8) при помощи обобщенного в [40] на случай нелинейного уравнения типа Хартри метода комплексного ростка.

Имеет место следующий простой, но малоизвестный факт1. Узколо-кализованные функции вида г'п = /(х/ц),/ £ С™(Г) могут быть представлены при помощи конструкции канонического оператора: на лагранжевом многообразии (плоскости) Ац = {р — а, х = 0, | а е М2}, где / - преобразование Фурье функции /. Это в свою очередь означает, что если начальные условия имеют вид (12), то и решение может быть приближенно представлено при помощи конструкции канонического оператора.

Такие конструкции дают наглядный механизм делокализации решений задачи Коши с начальными условиями вида (12) на временах по

1С. Ю. Доброхотов, Б. Тироцци, А. И. Шафаревич, Представления быетроубы-вающих функций каноническим оператором Маслова, Матем. заметки, том 82, N 5, 792—796 (2007).

0 = ^[/И X

12) рядка единицы (в обезразмеренных единицах описанных в первой главе). Для следующих случаев эти конструкции были упрощены до явных формул (примеры 1-4, глава 2):

Пусть предельная поверхность является плоскостью с координатами XI, Х2 в пространстве в однородном магнитном поле (исходная пленка - плоский слой), тогда функция к* = 1х

2зт(и;£/2) { ) х/(|(®1 сЬё(иЛ/2) - х2), |(х2 аё(оЛ/2) + Х1)) является асимптотическим решением уравнения (6) с начальными условиями вида (12). Здесь циклотронная частота и> = соответствует нормальной составляющей магнитного поля (Вп = (В. п)). Пусть предельная поверхность является сферой, тогда функция п л 1 ^х^0 /\п , г. 71 + 2тгк , 6 + 27Гк . ф(в,ф,Ь) = - у/\в + 2тгк\е* *>•< /(---соз ф,---зш ф) к—~оо удовлетворяет уравнению (6) и начальным условиям вида (12), сосредоточенным в полюсе 0 = 0 (используются сферические координаты в, ф), с точностью до невязки по норме в Г) не превышающей 0(р2).

Квазиклассическим асимптотическим решением с локализованным начальным условием другого рода является решение построенное методом комплексного ростка. В этом случае начальное условие имеет вид гауссовой экспоненты, положим с центром в точке х — 0: ф\ы = Аек (13) здесь квадратичная форма В0 имеет положительно определенную мнимую часть: 1тВ° > О, А - нормировочная константа. Такая функция отличается от функций вида (12) своей степенью локализации (в этом случае функция ф имеет вид /(-—)). Тогда решение уже не делокали-зуется на временах порядка единицы, а лишь медленно расплывается, сохраняя локализацию.

В этом случае решение имеет следующий вид: ; у/ШЩ

Здесь

1) Х(£), Р(£) - решения классической гамильтоновой системы дН(х,р) дН (ж, р)

Х ~ % ' Рг ~ Вх* ' (15) где Н = (р — А)2/2 + усх1(ж) + (:г) ~ старший символ гамильтониана уравнения (6). В качестве начальных условий выбирается = П=о = 0;

2) -£?(£), С(£) - решения системы в вариациях, отвечающей траектории в = -нрх(Р(г),х(1))в - нхх(р^),х(г))с, ви=0 = в0, , . с = н^р^.х^в + нрх(Р(г),х^)с, с|<=0 = е. где Е - единичная 2 х 2-матрица.

Функция (14) являются асимптотическим тос! 0(ц3^2) решением задачи Коши для уравнения (6) с начальными условиями вида (12).

Решения с начальными условиями в виде гауссовой экспоненты изучены так же для нелинейного уравнения типа Хартри (8) (впервые такое решение найдено в [40]). В этом случае вместо гамильтоновой системы (15) используется так называемая система Гамильтона-Эренфеста:

ВС

Х = Р, Р = -е'±(Х) - -^-(Х, X), Р|4=0 = Р0, = Х0 (17) и вместо системы в вариациях (16) следующая линейная система

В2 С

С = В, В — -е1(Х(1))С - В|4=0 = В0, С\ыо = 1,

18) отличающаяся от системы (16) слагаемым X(£), Х{Ь))С. Тогда уравнение (8) имеет следующее формально асимптотическое тос! 0(/13^2) решение: ф(х, Ь, ¡л) Л у/С® ехр

I1

19) где

8М = {%-е±(Х) - Оо(Х,Х) x=х(т),р=р(т)

Решения такого типа исследованы для случая, когда е±(х) - периодическая функция с периодом а, ядро С?о трансляционно инвариантно и симметрично х') = С?о(|ж — х'\). Тогда вспомогательная задача (18) становится периодической задачей Штурма-Лиувилля со спектральным параметром ус = ^г- Поведение решения кардинально зависит от того, принадлежит ли спектральный параметр ус зоне, лакуне, либо лежит на границе, что продемонстрировано на рисунках 2.1-2.4

На первом рисунке мы имеем типичную ситуацию для линейного уравнения квантовой механики - медленное раснлывание волного пакета при распространении, что как раз соответствует случаю ус = 0.

На втором рисунке параметр ус попадает в зону и мы имеем баллистический транспорт - пакет не расплывается.

На третьем рисунке параметр х - отрицателен и мы имеем экспоненциально быстрое раснлывание пакета.

На четвертом рисунке представлен самый интересный случай положительной лакуны - пакет в основном экспоненциально расплывается, но периодически но времени и в пространстве вновь локализуется, причем степень локализации экспоненциально возрастает (таким образом возникает т.н. "сверхлокализация").

В третьей главе при помощи канонического оператора и комплексного ростка Маслова построены квазиклассические асимптотические решения спектральной задачи (7) для некоторых пленок специального вида. В начале главы приводятся общие формулы канонического оператора и комплексногно ростка Маслова. Затем рассматриваются 2 примера.

В первом примере редуцированное уравнение (7) задано на поверхности сферы 5в13в однородном магнитном поле:

-^/¿2ДлГ</' - Еф,

9л а2 д ,д и? д2 . д 1 2 2 л

ГДм =-д ™ соб0— + —Та ~ ~лш СО£5 в> созвав дв соя2 в иф аф 4

В отсутствии магнитного поля ы = 0, это есть классическая задача на собственные функции и собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Ответ выражается в сферических функциях, а спектр Еп = //2п(п + 1)/2. При наличии поля численно задача исследовалась в [47] ,[48].

Для построения квазиклассического приближения сначала исследуется классическая система движения точечной заряженнной частицы на поверхности сферы в однородном магнитном поле. Соответствующий гамильтониан в сферических (конфигурационных 0,ф и сопряженных импульсных рв,рф) координатах фазового пространства T*S имеет вид

N Рв 1 ( Р<Ь WCOsd\2

-1 + 5 (5*, + —) •

Гамильтонова система интегрируема, вторым интегралом является рф. Фазовое пространство расслаивается на инвариантные изотропные подмногообразия, являющиеся линиями уровня Н = const = Е, рф = const = М. Множество связных компонент слоения фазового пространства образует многолистную поверхность (рисунок 3.1). Листы отвечают непрерывным семействам лиувиллевых торов. Границы листов отвечают критическим инвариантным подмногообразиям гамильтновой системы — сингулярным множествам (сепаратрисам), и вырождениям на торы меньшей размерности (окружности и точки).

Прообразы листов этой поверхности соответствуют максимальным областям в фазовом пространстве, где можно ввести переменные действие-угол. И правила квантования Бора-Зоммерфельда единообразно записываются на каждом листе как

Ix = fim, h = + 1/2), m,l£ Z. (20)

Соответствующие этим торам энергии образуют квазиклассические спектральные серии, которые приближают серии собственных значений оператора /х2Д м ■

Во втором примере, редуцированное спектральное уравнение задано на поверхности тора с магнитным полем направленным вдоль оси тора. В этом примере сначала проведено точное разделение переменных, а затем построено квазиклассическое приближение уже для одномерной системы. Используемый квазиклассический подход позволяет качественно понять структуру спектра и вид собственных функций.

Благодарности

Результаты диссертации были получены в рамках проектов грантов БРС-РАН, РФФИ 05-01-00968а, РФФИ 05-01-22002-НЦНИ. Также работа была поддержана стипендией "лучшие аспиранты РАН".

Автор благодарит за дискуссии А. И. Шафаревича. Автор также благодарит Т.И. Круглову и С.Я. Секерж-Зеньковича за моральную поддержку.

Особую благодарность автор выражает научному руководителю и наставнику С.Ю. Доброхотову за неоценимую помощь и внимание.

1. M. Gutzwiller, Chaos in classical and quantum mechanics, Springer, 1990

2. M. Born, J. R. Oppenheimer, Ann. Phys., 84, 457, (1927).

3. M. Born, K. Huang, Dynamical Theory of Crystall Lattices, Oxford, Clarendon Press, 1954.

4. B.C. Буслаев, M.B. Буслаева, Сингулярности функции Грина нестационарного уравнения Шредингера, Функц. анал. и его прил. т. 32, 1998, № 2, 80-83

5. А.И. Ведерников, А.В. Чаплик, ЖЭТФ, 117, 2, (2000), 449-451.

6. V.P. Maslov, Perturbation Theory and Asymptotic Methods, Moscow, Izd. MGU, (1965).

7. S. Yu. Dobrokhotov, RJMP, 1999, Vol 6, N3 , 282-313.

8. Н. Aoki, Н. Suezawa, Phys. Rev. А46, 3, R1163 (1992).

9. Ju H. Kim,I. D. Vagner, B. Sundaram, Phys. Rev. В 46, 9501 9504 (1992).

10. P. В. Некрасов, "Квазиклассические спектральные серии оператора Шрё-дингера на поверхностях в магнитном поле", Математические заметки, т. 80 (2006), N 1, стр. 69-76.

11. И. Брюнинг, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, Квантование периодических движений на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле, Матем. заметки, 2007, 81:1, 32-42

12. Й. Брюнинг, С. Ю. Доброхотов, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, Распространение гауссовых волновых пакетов в квантовых тонких периодических волноводах с нелокальной нелинейностью, ТМФ, 2008, 155:2, 215-235

13. J. Bruening, S.Yu. Dobrokhotov, R.V. Nekrasov, T.Ya. Tudorovskiy, Quantum Dynamics in a Thin Film, I. Propagation of Localized Perturbations, Russian Journal of Mathematical Physics, vol.15, №1, 2008.