Асимптотическое поведение решений нелинейных эволюционных уравнений при больших временах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Формальное решение уравнения Кдф

ГЛАВА II. Решение уравнения Шредингера вдали от резонансной точки л

§ I. Построение формального решения

§ 2. Построение формального решения Ц

§ 3. Оценки решений Р и £

§ 4. Асимптотические свойства решений | и ^

ГЛАВА III. Решение уравнения Шредингера в окрестности резонансной точки

§ I. Построение формального решения ^

§ 2. Поведение формального решения при ЦТ л)-» о

§ 3. Оценка решения

§ 4. Асимптотические свойства решения ^

ГЛАВА 1У. Сращивание решений. Обратная задача

§ I. Сращивание решений | и ^

§ 2. Коэффициенты прохождения и отражения

§ 3. Формальная обратная задача рассеяния

§ 4. Задача Коши

ГЛАВА У. Асимптотическое поведение системы типа

КдФ при больших временах

§ I. Постановка задачи

§ 2. Данные обратной задачи

§ 3. Гипотеза о поведении решения системы типа

- Э

Кд$ при больших временах

§ 4. Асимптотические решения спектральной задачи

§ 5. Резонансная область

§ 6. Сращивание решений

§ 7. Обратная задача

В последнее время достигнут значительный прогресс в теории нелинейных уравнений в частных производных. Установлено, что нелинейные уравнения, например, уравнение Корте'вега - де Фриза (Кд$), уравнение Буссинеска, нелинейное уравнение Шре-дингера, уравнение ^¿пе- СгоъЫоп. и другие - являются "интегрируемыми" уравнениями. Одной из наиболее трудных аналитических задач, возникающих в связи с этими уравнениями, является построение временных асимптотик несолитонной части решения задачи Коши. Только в 1976г в этом направлении были сделаны решающие шаги. Мы имеем в виду работу В.Е.Захарова и С.В.Манакова [I], где была на качественном уровне, т.е.без строгих оценок,решена задача нахождения асимптотики решения в физически интересной области х = 0(±) для нелинейного уравнения Шредингера, уравнения Кдф и уравнения 5

6-оас/огь . Далее, в работе М.Аблевича и Н.Сегура[2] была найдена структура асимптотического разложения при t л-о решения уравнения Кд$ без связей коэффициентов этого разложения между собой и с коэффициентами начальных данных задачи Коши. В [ 2] было выявлено также наличие ударного слоя в области х (± У/з = 0(1) .в работе В.С.Буслаева и автора Г 3] результаты [1,2] для уравнения Кдф были строго обоснованы и доведены до полных асимптотических рядов. В процессе исследования установлены новые связи между асимптотическими решениями нелинейного уравнения Кдф и решениями спектрального уравнения Шредингера. Паралельно в несколько более простой ситуации в работе f4] были получены строгие результаты для нелинейного уравнения Шредингера. В дальнейшем в работах [5,б] было проведено асимптотическое исследование ряда других нелинейных уравнений. А.Р.Итсом предложен новый метод асимптотического исследования нелинейных эволюционных уравнений, который не требует априорной информации о поведении решения. С помощью этого метода.в работах [7,8] были получены старшие члены асимптотических разложений для уравнения нелинейного Шредингера и уравнения Si,* е - G01 don . Не претендуя на исчерпывающий обзор, отметим также работу В.С.Буслаева [ 9] , в которой асимптотические формулы извлекаются из точной детерминантной формулы для решения, а также работу C.B.Манакова, Р- N. и Л.А.Тахтаджана

Ю], в которой рассматривается асимптотическое поведение пространственно двумерного уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

Первая часть диссертации (главы I - JY ) посвящена строгому асимптотическому исследованию уравнения Кд£>

Ut = ^ ххх + 6 UUy } и, * и (X,t) , X tt 6 R t и соответствующей спектральной задачи для уравнения Шредингера и. г 4 г - О .

В этой части получены следующие результаты:

1. Построено формальное решение уравнения Кд£ в виде ряда, обладающего асимптотическим характером при £ «*» .

2. Проведено строгое асимптотическое исследование решений уравнения Шредингера с потенциалом, имеющим вид формального решения уравнения КдФ.

3. Установлено, что формальное решение уравнения Кд£ выделено в классе рядов одинаковой структуры следующими требованиями: а) асимптотическое решение спектральной задачи имеет единственную особую в некотором смысле точку ) б) формальный ряд для коэффициента отражения, соответствующего формальному решению системы типа Кд£>, обрывается на старшем члене.

4. Как следствие точных асимптотических результатов для уравнения Шредингера получено асимптотическое разложение решения уравнения Кд$ при 1: -> «о # Для старших порядков приведены явные асимптотические формулы, которые в существенном совпадают с формулами работы [ I].

Основные результаты первой части опубликованы в работах [11-13].

В первой главе показано, что уравнение КдФ имеет формальное решение вида ч у- т 0 ¿«г*

А 6Р

0& Ч ^ + |т| <Р ^

Г 1<Р - -¿1*7 Л , \ Т в котором г = х/х ? Ьрч^-т * ^»И,

Чъ Л

Решение и. определяется однозначно рекуррентным образом, если фиксировать (произвольно) гладкую функцию

Во второй главе изучается решение формального уравнения Шредингера

РХХ + и. У + , л - к^ сг) Л

При этом предполагается, что и, имеет вид (4 ) , хотя А и не требуется, чтобы и, удовлетворяло уравнению Кдф.

- ч

Рассматривается решение вида кх т ^ е£,"% М (ъ) о £ < р ; 1 + 1*»1 & Р

Первоначально считается, что коэффициенты к-р^т • С независимые функции, удовлетворяющие условиям: А) К-ррО аО , ир7р-<}0 - 0 1

- во в) £ V. ;

С) существует такой интервал (+>&) <= Со,—), что и-рут (ъ) = О при "2: 6

13):

О) и^рс^т ~ М-р с], - т .

Обозначим класс рядов, подчинённых условиям А - О), через К. А

Решение вида У" существует всюду, кроме точек

2 = = V*.* , ж = .

В классе ^ будет выделен подкласс К л , состо

А Л ящий из рядов ^ , дня которых решение ^ существует и обладает асимптотическим характером всюду, кроме некоторой окрестности точки 2 = "г. н - А . В этом классе коэффициенты х 1 = 4 » выражаются рекуррентно некоторыми элементарными явными формулами через коэффициенты и рч^ч ,

I Л

Р < р . Как будет видно из дальнейшего, решения иуравнения Кд$ принадлежат классу К^ .

В главе II подробно изучаются два специальных решения виЛ да ( 3) : решение $ (*, к) определено при А < г и а фиксировано условием £(х,к)=ехрС-с-х) , если а 2 решение й С * , к) определено при ъ < А и фикси Л ровано условием: й Сх, к) = е х р (-1 ^х), если г ^ «I, я4 Л

В § 3 изучаются свойства решений / и Ц и, в частности, характер их особенностей в точке 2 - * # Помимо этого в главе II исследуется возможность использования реше

Л Л. ний % и И для асимптотического описания при т точных, т.е. не формальных, решений V* (х, к) "урезанного" уравнения Шредингера ^Ч-щ. * V* ^ = О. (*)

Здесь и, и. - трансформированный урезанный потенциал

Игь = ^»г - Д / ,

А ^ • + к1А * *«. .

Л Г а Зч и и-*. - отрезки рядов и и- при

БМ V третьей главе диссертации изучается формальное решение вида

ПР /л Г 1 т ь 1

5 = ^ и-л), 0Н- / »

2К С 0 , т * О , которое обладает асимптотическим характером в некоторой Л окрестности точки "Н. ~ А , Рассматривая решение £ , мы будем предполагать, что потенциал я £ К удовлетворяет следующим дополнительным условиям : Е) и.р,„ = /\ы\м9 о ; = К+л//¡ъП"-■>

Здесь К - собирательный символ для дифференциального многочлена в И ж., и , наименьшая степень мономов которого равна к , а коэффициенты которого гладкие функции г .В условии Е) М - некоторое неотрицательное число, в условии Р ) у - произвольное натуральное, £ - произвольное положительное.

- 9

Охарактеризованный клаос потенциалов обозначается К ъ. Решения уравнения Кдф принадлежат классу К ъ , если U - u-ioi удовлетворяет условию . л

В главе III подробно изучается поведение решений ^ л при -> О .Мы покажем, что для потенциалов и>, удовлетворяющих условиям £ ) и F) коэффициенты ряда J ограничены при U (л) О . Б § 4 главы III исследуется л возможность использования решения £ для асимптотического описания при т точных решений уравнения Шредингера (4 ).

Первая часть четвёртой главы (§§ 1,2) посвящена детальному исследованию коэффициентов прохождения S^ и отражения а п для уравнения ( 4) . Эти коэффициенты определяются соотношением

Sn. i и = & а + ^ , где ^"»г и & л. - точные решения уравнения ( 4) , удовлетворяющие тем же дополнительным условиям,что и функции л л f и ß, . Б конечном счёте мы даём для коэффициентов S ^ и а ^ асимптотическое описание при т — ~=> в терминах некоторых рядов вида

Р Т" ^^ s ,к\ о scj < р 6 К

3 л ? -с 5 г 7" ^ х„ (к).

А А

Старшие члены рядов Б и о. выражаются через функцию " и даётся рекуррентная процедура для их полного описания. §3 главы Ы посвящён формальной обратной задаче рассеяния. Показано, что потенциал и, а К ^ , где К* = ^л А

-поможет быть восстановлен по заданному коэффициенту отражения А

1 который сводится к старшему члену

• г (к ,т) = %00 (*).

В этом случае во множестве потенциалов и. £ К^ выделяется класс К5" потенциалов, все коэффициенты ^р^т которых могут быть рекуррентно элементарными явными формулами выражены через произвольно заданный коэффициент и -В конечном счёте будет показано,, что класс К 5- при ъЛ удовлетворяющих В) и С) »совпадает с множеством решений уравнения КдФ, принадлежащих К ( если выполнено техническое условие Р).

В § 4 главы Ту рассматривается задача Коши для уравнения иххх + 6 ииж , м. ГУ, ьо) » И.о .

Предполагается, что и0 - гладкая быстро убывающая функция, причём оператор Шредингера

Ч> ^ - - и0сх) ч* не имеет дискретного спектра, а соответствующий этому оператору коэффициент отражения %00 удовлетворяет условиям типа гладкости и финитности. Будет показано, что ряд и. 6 К5 построенный по коэффициенту 1лГ , восстановленному по г00 даёт асимптотическое разложение решения и-(х,Ь) при t .

Исследование опирается на тот факт, что коэффициент отражения х (к,г) , отвечающий потенциалу «¿(х,^), имеет вид ('см. [М]) ъ г(х,г) -- -г0о (к) е .

В ходе доказательства используется интегральное уравнение

- Л 1

Марченко обратной задачи рассеяния.С помощью этого уравнения будут связаны две близкие при 1 спектральные задачи с потенциалами и~(хЛ) и , поэтому ядро уравнения Марченко оказывается малым. Малость ядра будет следствием результатов предыдущих параграфов.

Итак, мы найдем коэффициенты асимптотического разложения решения задачи Коши для уравнения КдФ, произведем асимптотическое исследование соответствующей спектральной задачи и установим новые связи между решениями этих задач.

Вторая часть диссертации (глава V ) посвящена асимптотическому исследованию существенно более широкого класса нелинейных уравнений - систем типа КдФ. Эти системы возникают как естественное обобщение уравнения Кд£, если в представлении Лакса

Ц = П-,Р], (5)

В качестве оператора Ь взять линейный дифференциальный оператор порядка п. / с1х + Ык + . + Но.

Система для функций , ¿ = О, -1. к-г ) вытекающая из операторного равенства, называется системой типа Кдф. Из физически интересных уравнений в эту схему помимо уравнения КдФ, вкладывается нелинейное уравнение Буссинеска

К 'Ст ' и к* + *х * % и-хххх = О.

В диссертации получены следующие результаты: I. Указан набор данных обратной задачи для линейного дифференциального оператора порядка к» ж вычислена динамика данных в случае, когда коэффициенты дифференциального оператора удовлетворяют системе типа Кд$.

- 12

2. Проведено асимптотическое исследование при t решений спектральной задачи с потенциалом, удовлетворяющим системе типа Кд£.

3. Установлены связи между решениями системы типа КдЗ? и решениями спектральной задачи.

4. Получены явные формулы для старших членов асимптотического разложения решения задачи Коши для системы типа Кд£.

Все построения главы Т производятся с формальными рядами без доказательства их асимптотичности. План исследования систем типа Кдф в значительной степени повторяет схему. развитую в главах I, II, III и . Поэтому мы в основном j остановимся на отличиях в асимптотическом исследовании этих I задач.

На первом этапе необходимо выбрать гипотезу о поведении решения при t . Для системы типа Кд£ построение формального решения с помощью явной рекуррентной процедуры, предложенной для уравнения КдФ в главе I, является слишком громоздким ввиду громоздкости самой системы. Гипотезу с поведении решения при больших временах мы получим из асимптотического решения линеаризованной на нуле системы типа ВДВ, используя аналогию с уравнением Кд§. Для нечетного п : й, = t"2 Z (ei<Pm IS U) +

J kvl = Л « J

УЛ=\ eJt i )

Z —'г 6 ]>

2 i P , NUp

0 < я S P

CRx . + 9» жг * + Рп4мп< , ^ = - *

- 4Ъ '

А т - I / ч^О^О I

У о

Функции 'Ц-^ и и мы будем считать бесконечно дифференцируемыми, причём ^¿^ и равны нулю при с (0,°°) , При нечётном А/ функции и-.**

1 и и ^руйГ , кроме того, равны нулю на одной из полуосей: 2>о ; либо 1<0

При исследовании систем типа Кд$ возникает^дополнительный этап, связанный с выбором данных обратной задачи § 2 .В работе 8. ВеаР ] данные обратной задачи были получены в терминах множителей Стокса матричной задачи Римана. Мы выразим эти множители Стокса через коэффициенты матрицы перехода для решения дифференциального уравнения

I Г - к* Г = 0) С ? ) удовлетворяющего граничным условиям = ехр (кех) + ехр (Кекех ) • оЦ) ^ х ^ <*>, ^ = ехр(кех) аЕ (к) + ехр (кех) Ве(к) + ехр(%екех)-о«)^

X -ъ - во 1 £ = к Со ^ и>~ ехр (2Я1/ц). Подобный выбор стандартных решений уравнения С ?) связан с наличием экспоненциально возрастающих и убывающих решений. Отношения (*) = о.^ мы назовём коэффициентами отражения назад. Набор коэффициентов ^ определяет несолитонную часть потенциалов и,• Пусть функция и^- (х,±) удовлетворяет системе ( 6 ) тогда коэффициент отражения назад т. ^ подчиняется следующему соотношению ге с к, £) - %е (к,о) ехр (-ц к^Х

- ^

Далее,(§ 4) мы обратимся к асимптотическому исследованию уравнения (?) . Изложение будет проводиться для двух случаев: четного и нечетного N . Параметр гь мы будем считать нечетным

Рассмотрим дифференциальное уравнение (?) с потенциалом в виде ряда (в) • Если искать его решение в виде ряда о Я

Л Кр х — сп t р ее И —"гДя^-О.

О $ 1&1 4 Р то для коэффициентов ряда возникает система рекуррентных соотношений, которую можно разрешить до порядка р при всех Л и к за исключением точек, где т1 А, =• ъТт кР |г«| <• р ¥ 1 и окрестности к ~ о . Как будет видно из дальнейшего, для решения системы типа Кд£ все особые точки сокращаются, за исключением точки г^где = - 2 Тж к^

В § 5 мы покажем, что в окрестности точки существует решение вида 0 1+ • ср

Г1л I, Ь» * Щ

О $ С] <■ р ; | £ РМ где 5е - (ъ-г^'г^ ¿е = 2» коэффициенты которого являются гладкими функциями ОТ И к.

Построенное решение обладает асимптотическим характером при |5е| < С*"«.

В параграфе 6 будет построено глобальное С при всех х) решение уравнения ( 7) , В результате мы получим ряд для коэффициента отражения назад следующей структуры:

О ¿у ¿р

- 15

О р

Функции гь1 и выражаются рекуррентным образом через коэффициенты исходного потенциала, причем старшие члены можно найти явно.

Таким образом, будет установлена связь решения системы типа КдФ со спектральной задачей. Решения системы типа КдФ имеют единственную особую точку, а ряды для соответствующих коэффициентов отражения назад обрываются на первом члене и имеют нулевой коэффициент

В § 7 мы дополним систему начальными условиями вида

Ы^о0<) . Пусть коэффицинты отражения назад, соответствующие потенциалу > финитны, равны нулю в окрестности нуля, бесконечно дифференцируемы и удовлетворяют неравенствам | 1 ^ | <\ ,8 = 1.Чтобы найти старшие члены асимптотического разложения решения задачи Коши,необходимо обратить упомянутые выше выражения для и . для четного А/ такое обращение возможно и в результате мы получим явные асимптотические формулы для решения при любых начальных данных, удовлетворяющих условиям типа гладкости и финитности. Б случае нечетного IV обращение невозможно, о так как соотношение = 0 оказывается противоречивым.

Противоречие устраняется только при специально выбранных начальных данных, для которых все коэффициенты отражения назад равны нулю на одной из полуосей : к > О или К<0. Противоречие связано с тем, что в общем случае для нечетного V система типа КдФ не имеет формального решения вида

Основные результаты второй части диссертации опубликованы в работе [ 18^].

1. Захаров В.Е., Манаков С.Б. Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемы методом обратной задачи рассеяния. - ЖЭТФ, 1976, т.71, в.1, ö.209-215.

2. AßßovHlt?. M.J. , Se^tta H. As^m,ptotùcSoEictùons of t&e Koat^e^. oie l/%ie<âe<ju,at{.e>kt.- St. Appt. Matfc uo l 5* p .

3. Буслаев B.C., Суханов Б.В. Асимптотическое поведение решений уравнения Кортевега-де Фриза при больших временах.-В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 3. Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1982, т.120, с.35-59.

4. Новокшенов В.Ю. Асимптотика при t «» решения задачи Коши для нелинейного уравнения Щредингера. Докл. АН СССР, 1980, т.251, 164, с.779-802.

5. Новокшенов В.Ю. Асимптотические формулы для решений системы нелинейных уравнений Шредингера.- УМН, 1982, т.37, i2, с.215-216.

6. Новокшенов В.Ю. Асимптотика решения при t о© двумерного обобщения цепочки Тоды. Докл. АН СССР, 1982, т.265, №6, с.1320-1324.

7. Итс А.Р. Асимптотика решений нелинейного уравнения Шредингера и изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, X98I, т.261, Ж, с. 14-18.

8. Суханов -о.В. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза при больших временах.- В кн.: Труды 1-ой конференции молодых ученых ШШ ЛГУ. ВИНИТИ от 24 августа 1981г., lb 4213-81, деп., Л., 1981, с.2-9.

9. G <х-i, cí и е х С. В. , Сгтеею. J.M. , М.П.,Mli^xct R.M. he tP-vool fox bolviK^ tfceRet/.1.tt. И , arof.rg, p. 103 5-iOdl.

10. BeaE R. T ft e Airease рч,с8£ет -foa- oxoiühCL-L^ Ctf 0/эега{ог5 OPI tP^-etCw^r. ра-epxünt Uniirti Si t^ ,тг , р. -f- ss.

11. Гельфанд K.M., Дикий Л.А. Дробные степени операторов и гамильтоновк системы. УМН. 1976, т.10, вып.4, с.13-30.

12. MckfUiiW А.1/. T(U 'veoiUxC tcon ßT,oUenit^-e unire^se sca, t- и ^ € t&ool . Pfx^blCGL, <381, l/.ЪО, A/i-Z,

13. Суханов B.B. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для системы типа Кд£ при больших временах. Докл. АН СССР, 1983, т.269, №5, с.1091-1094.