Асимптотические методы для части компонент решений дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

I V,.)

- .

НЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ'ИМЕНИ Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи

Мамедова Татьяна Фанадовна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДНЯ ЧАСТИ КОМПОНЕНТ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

, 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ •

.-диссвртадаи на соискание учёной степени-, каидвда"та физико-математических наук

.Г-ГКИЙ НОВГОРОД - 19ЭЗ

Работа выполнена на кафедре прикладной матеедтгкп Шрдог-сого государственного университета имени Н.П.Огарева'

Научный руководитель - доктор физико-математических.Наук,

профессор Е.В.Воскресенский

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор и •

М.В.Долов

кандидат физико-математических наук, доцент В.З.Гринес

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет ■

Защита диссертации состоится " 23 * 1993 г.

М }0

в часов на заседании Специализированйого Совета К 063.77.01 в Нижегородском государственном университете имени Н.И.Лобачевского по адресу:. 603600, т. Н.Новгород. ГСП-20. проспект Гагарина, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нкгегород-ского государственного университета.имени Н.К.Лобачевского

Автореферат разослан " " 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного

Совета, доцент В.И.Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Математические модели многих реальных процессов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, поэтому одной из важнейших задач является задача изучения асимптотических свойств решений таких уравнений. Причем очень часто бывает достаточно знать о свойствах лишь отдельных компонент решений дифференциальных уравнений.

Как известно, регулярный случай, то есть, когда характеристические показатели, первого приближения для нелинейного дифференциального уравнения .отличны от нуля, для дифференциальных уравнений с гладки».® возмущениями исследовался многими авторами, в том числе классиками А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым. Однако даже регулярный случай, когда все характеристические показатели отрицательны, не гарантирует устойчивость тривиального решения. Здесь необходима равномерность экспоненциальных оценок решений по начальной точке. Только в этом случае можно говорить о примени-кости первого метода Ляпунова для нелинейных дифференциальных уравнений. Если же имеются нулевые характеристические показатели, то непосредственно через характеристические показатели-проблема устойчивости не решается.

В диссертационной работе асимптотические методы получаются по следующей схеме. Для исследуемого уравнения строится так называемое уравнение сравнения. Предполагается, что поведение решения уравнения сравнения известно. Затем через эталонную Функцию сравниваются решения этих двух уравнений. Удачный подбор уравнения сравнения к эталонной функции сравнения дает возможность для решения са»чх различных задач качественной теории дифференциальных уравнений, исследования поведения решений лиффе- .

ренциальных уравнений и, что самое важное, позволяет решать задачи теории устойчивости в критических случаях.

Первый метод Ляпунова, касающийся теории характеристических показателей, имеет широкое применение в теории и практике. Характеристический показатель решения Х1х1 достаточно хорошо харак-. теризует изменение решения % , если ХСх.1 *■ О . Если же ХМ'Ц то в этом случае характеристический показатель не характеризует изменение реяеяая. Эта трудность является не единственной в первом методе. Крите того,- применение теории характеристических показателей к решении проблем устойчивости решений нелинейных систем не всегда яает желаемый результат. Это показано в монографии Б.Ф.Былова. Р.Э.Винограда, Д.М.Гробмана.В.В.Немыцкого.В отличие от линейного случая, здесь не всегда можно гарантировать равномерность экспоненциальных сценок решений. Отсюда следует, что не всегда верны и получающиеся, из йих выводы об устойчивости, например, нуля. Если равномерность по начальной точке имеет место выводы делаются аналогично, что,и для линейных систем. Именно при помощи ляпуновских преобразований системы приводятся к простершим, известным системам. Для ляпуновской группы преобразований на множестве всех линейных однородных дифференциальных уравнений с непрерывной ограниченной матрицей, "в состав инвариантов входят спектр и устойчивость решений. Уравнения, которые друг в друга переводятся при помощи ляпуновского преобразования, называются асимптотически эквивалентными. Другими словами," понятие асимптотической эквивалентности позволяет переводить одно уравнение в другое с сохранением важней;них качеств. Однако, если спектр содержит нуль, то даже ляпуновское преобразование не всегда позволяет решить задачу о поведении решений. Здесь имеется ' в.виду, что в соответствующем классе эквивалентности простейшее

уравнение может содержать проблему нулевых характеристических показателей. Ясно, что в этом случае группа преобразований Ляпунова не может решить задачу о поведении решений. Если хе изменить эталонную функцию сравнения решений, которой будет не экспоненциальная функция, то в этом случае может удаться дальнейшее упрощение уравнения. Именно такая идея содержится в работах В.З. Немыцкого, Б.П.Демидовича, Р.3.Винограда, Е.В.Воскресенского, Ф.Брауера-, В.Левинсона и других..

Цель работы. Получить асимптотические формулы, связывайте отдельные компоненты решений исследуемого уравнения и уравнения • сравнения. Затем применить полученные результаты для решения проблем устойчивости отдельных компонент тривиального решения возмущенного линейного однородного дифференциального уравнения, а-тайке.для решения вопроса асимптотического равновесия для отдельных компонент решений дифференциальных уравнений.

Методика исследований. В работе используются следующие методы:- 1) метод сравнения, основанный на применении принципа Ва-жевского; 2) метод вариаций произвольных постоянных Лагранжа; 3) первый метод Ляпунова; 4) метод; основанный на теоремах о неподвижной точке; 5) методы асимптотической эквивалентно чти дифференциальных уравнений Е.В.Воскресенского.

Научная новизна. 1. Получены новые асимптотические горлу-™ для отдельных компонент решений дифференциальных уравнений. 2. Приведены достаточные условия покомпонентной асихптотпческо.'1. эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений. 3. Рассматривается асимптотическое интегрирование диф£ерош:;:альн!Г( ¡^равнений типа Эмдена - Фаулера. 3. Получены нов:;" лоптлт.-«::!».-¡геловия устойчивости решений по части переменных и '/ст^^-'иес-ти

рёзенкй при постоянно действующих возмущениях в части уравнений системы для возмущенных линейных однородных дифференциальных уравнений. 4. Исследуются асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений электрических цепей. 5. Показана возможность применения асимптотического равновесия дифференциальных уравнений в задачах экономической динамита.

Практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены при реше-. нии задач математической физика, экономической динамики, управления движением. ■ V, - '' "'с- " *

Апробация работы. Результаты диссертационной работы"докла-дывались и обсуждались на заседаниях семинара по дифференциаль-. гам уравнениям Мордовского госуниверситета (1988-1993 гг.), на Огаревских чтениях Мордовского госуниверситета (1990-1992 гг.), на международной конференция "Дифференциальные' и интегральные уравнения" в г.Самаре (май, 1992 г.), на семинарах по дифферен- .'. циальным уравнениям в Санкт-Петербургском (декабрь, 1992 г.) и Нижегородском (октябрь, 1993 г.) госуниверситетах.

Публикации. По результатам исследований опубликовано семь работ. Все результаты автором диссертации получены самостоятельно. Соавторам принадлежит постановка задач, и Е.В.Воскресенским указаны методы их решения. -

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 110 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 69 наименований.

, СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ-

Во введении содержится обзор результатов по теме исслс.ювз-"ний, обосновывается актуальность решаемых задач. Сформулирована постановка задачи'.

Пусть дано уравнение

где С([)*£>0 Я") Ъ0 - область из Я".

I 1 ' г V ь

Каким условиям должны удовлетворять функции 1^>£С([Т*'а)>1)а И) и С(СТ, И1+) .чтобы

хн:10х0)=уа■■Ь;/2х0)+оГуи))г (0.0.2)'

■ уЫо.у.ух<ьы:рлч.)+«ть ю.о.з)

при -Ь-***3 и любых ЗГо, Цо е , , ^ - область ,

г

Функция ч>(€\ называется эталонной функцией сравнения. угаг.к*к:!-' (0.0.4) - уравнением сравнения.

В первой главе доказывается теорема об асимптотическом ич-тегрировакии дкфференшальннх' уравнений с ноглэлкоЯ пгпг.0.*. -п-т

В первом параграфе в качестве уравнения сравнения г.юсуг. тягается лшойнсе однородное дифференциальное урапнение

а исследуемое уравнение имеет пил

где А(')'1Х*°о)—Нст(&\11)- непрерывнее стоорак^кис. ,

,]}-[Т)*м)"И" . и выполняются оснозчне условия. Пусть ?...., <*). /4 С//2Д, -/г: х-со?сп(:г,... , ГЛ/);

' К), а.I..........

Будем считать, что фундаментальная матрица уравнения (1.1.1) нормирована в точке ¿'{„¿^К,*'**), Тв > Г и . У * (¿) * (у** Ш) . Лусть непрерывные функции

удовлетворяют неравенствам:у^ ({)*■ твшу.^ (I) /"„^■/■„^¿^во, ¿сМо, ¿е Ло , если А£ 1* р ; и-

¿е/%

если М0 - <р ; тс ({)>'/7?о7с/гг>спе (Щ, 7„ ¿еМ0.

Пусть © - •• уеЛг^—Х Чп\ ¡»О, /£ ЩкС, (¿1 (£)кО£ ¿'-рТл, Ь. сге/¡!] - линейное, нормированное пространство,

Допустим, выражение

1 ' ¿гей « ^ '.

°

, существует при любых ¿¿гЛ^ее/?/, и ^^

равномерно по при 1-**°о и всех СеМа . Кроме того,

несобственные интегралы из (1.1.3) сходятся равномерно по Р на любом компакте из _ ■ .

Теорема 1.1.1. Пусть для уравнений (1.1.1) и (1.1.2) выполняется условие (1.1.3). Тогда при достаточно большом для ре-сркття у^''-,У»)- есуществует решение х0е£0

такое, что выполняется асимптотическое равенство

х-при (1.1.4;

4 ¿'«А .

Теорема 1.1.2. Если решения уравнения

Ж-Г и,

сИ ^ ' *

ке

где £ ме . определены-при всех ^Т.^Т^

г0е#1, ¿»-¿о . то каждое решение уравнения (1.1.2) х(£гХо) определено на СТ, . .

Теорема 1.1.3. При условиях теоремы 1.1.2 и условии (1.1.3) для каждого решения уравнения (1.1.2) хС^'-Ъх,), й0 г

справедливо асимптотическое равенство х1 (¿- ¿о, г,) - (¿)) > при *°<> . Теорема 1.1.4. Пусть выполняется условие (1.1.3) и условия теорем 1.1.2 и 1.1.3. Тогда для каждого решения уравнения (1.1.2) существует решение уравнения

(1.1.1), такое, что справедливо асимптотическое равенство (1.1.4).

Теорема 1.1.5. При условиях теорем 1.1.1 и 1.1.4 уравнения (1.1.1) и (1.1.2) покомпонентно асимптотически эквивалентны по Брауеру относительно функций ^ а) при + .

Во втором параграфе первой главы рассматривается понятие асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений л,г> случая равномерно ограниченных решений.

В третьем параграфе первой главы рассматривается -дифференциальное уравнение П. -го .порядка

Г*/,- -Ь>Ол .л» / //сС(С?,*^!),

и доказывается теорба о' его Есм^лготп^еокой эквивалентности пи Брауеру уравнения в^да ^ . ■

а также указываются условия, при которых существует решение этого уравнения, которое при имеет вид

у И). а, { "" * ч ' . + ла.г ± * ап.{ * °«):

Во второй главе показано применение теорем из первой глаь;

для решения задач устойчивости тривиального решения возмущенного линейного однородного дифференциального уравнения.

В первом параграфе второй главы доказываются теоремы. скЗой щающие известные методы решения задач об устойчивости по. линейному приближению, в первую очередь за счет'общности эталонных функций сравнения. В методе Ляпунова, касающемся применения характеристических показателей, эти функции являются экспонентам!

Теорема 2.1.1. Если выполняются условия теоремы 1.1.4, а условие (1.1.3) имеет место равномерно относительно 0<с*Со>

О при С. -* о равномерно по ttf^í НУ*T<,*t<+oo

то> если уравнение (1.1.1) устойчиво по части переменных ¿, й е , то тривиальное решение уравнения (1.1.2) обладает этим же свойством.' _

Теорема 2.1.2. Если в формулировке теоремы 2.1.1 сицрол с всюду заменить на символ О и уравнение .(1.1.1) устойчиво по части переменных ¿, ¿е Н, . то этим же свойством обладает .тривиальное решение уравнения (1.1;2). /

Теорема 2.1.3. Если при условиях теоремы 2.1.2 уравнение (1.1.1) неустойчиво по части переменных * е , то этим ж свойством обладает тривиальное решение, уравнения (1.1.2).

Во втором параграфе второй главы получены новые теоремы о устойчивости решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений системы. Причем все результаты сформулированы лишь для отдельных компонент решений.

3 первом параграфе второй главы рассматриваются уравнения (1.1.1) и (1.1.2). Предполагается, что все основные условия теоремы 1.1.4 выполняются. Пусть множество /,/,,■••.</? / с Ма .

•

Для мажорант Л-/,..., /) индекс / пробегает некоторое подмножество множества На . Допустим, для всех } множества

одинаковы. Тогда будем считать, что /у,.....^ }"//,...£/

(>*Д.... 'К/ е /И \ / /.....£ ) . . где / -

сколь угодно малое положительное число. Кроме того, пусть = 0 при всех' .Ь+Т, I

а,^/.....лу)./-^. г/, а. *„)/<-< ^.

Теорема 2.2.1. Если состояние равновесия .2 - о уравнения

(2.2.8)

где ^ ¿)* ^ и, ..., г) , устойчиво, то тривиальное решение системы уравнений (1.1.2) устойчиво при постоянно действующих возмущениях в последних уравнениях.

Теорема 2.2.2. Если состояние равновесия уравнения (2.2.8) гстойчиво, то тривиальное решение уравнения (1.1.2) устойчиво го части переменных , ¿е Мо , при постоянно действующих газмущениях в последних уравнениях.

Теорема 2.2.3. Если для уравнений (1.1.2) и (1.1.1). выполнится условия теоремы 1..1.5, где {/.2...., $ }, ^ довлетворяют основным условиям.теоремы 1.1.4 равномерно относи-ельно о<е<с0 для всех ¡еЛГ и .Л- <<С при ¿еУ\Мо , .

\< е*' для всех /О ** ,

огда, если однородная дифференциальная система уравнений (1.1.1) стойчива по части переменных у;, ¿6//«> то тривиальное реще-не системы (1.1.2)-устойчиво по части, переменных ри постоянно действующих возмущениях в последних О- урав-гниях.

Все полученные теоремы*могут быть применены для исследования

любой математической модели, если она сводится к дифференциальному уравнению типа

Так, например, они могут быть применены к исследованию поведения решений дифференциальных уравнений электрических цепей, что и показывается в следующем параграфе.

В третьем параграфе второй главы рассматривается асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений электрических цепей. Дифференциальные уравнения токов.в электрических цепях имеют разрыьаые правые части, а уравнения падения напряжения -негладкие. Поэтому в общем случае обычными методами задачу решить нельзя. В диссертационной работе получены асимптотические ■ формулы для отдельных компонент решений дифференциальных уравнений электрических цепей. Эти результаты позволяют судить о состоянии элементов в цепи не только в течении конечных интервалов времени, но и-при неограниченном увеличении времени £ .

В третьей главе рассматривается теория и приложения, асимптотического равновесия систем дифференциальных уравнений, исходя из результатов первой главы.

В первом параграфе третьей главы доказываются теоремы о #

достаточных условиях существования асимптотического равновесия дифференциального уравнения (1.1.2) для отдельных компонент решений. -

Теорема 3.1.1. Пусть уравнения (1.1.1) и (1.1.2) покомпонентно асимптотически эквивалентны по Брауеру на многообразии Но относительно функций * * , и На этом многооб-

разии уравнение (1.1,1) имеет асимптотическое равновесие по ком-

гонентам ¿, ib М0) тогда, если М„ t

'О уравнение (1.1.2) также имеет асимптотическое равновесие на по компонентам L, I е Ма, Во втором параграфе третьей главы решается задача о ста-шшзации рынка. Рассматривается экономическая модель рынка, писываемая специальными дифференциальными уравнениями,'для ко-орах доказывается теорема- об асимптотической устойчивости в.це-:ом по части переменных тривиального решения.

В третьем параграфе третьей.главы доказывается теорема, озволяющая сделать вывод о стабилизации рынка 'за конечный про-¡ежуток времени и указать множество значений цен в конечный ромежуток времени.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

. Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Равномерная ограниченность решений и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений // TP» семинара по диф. ур-ям / Мордов. ун-т, Саранск, 1989. - С. 29-39. - Деп. в ВИНИТИ 30.08.89, * 5658-В89.

. Артемьева E.H., Мамедова Т.Ф.. Асимптотическое поведение решений .нелинейного' дифференциального уравнения // Тр. семинара по лиф.- урия» / Мордов. ун-т, - Саранск. - 1989. - С. 2-6. -Деп. в ВИНИТИ 06.09.90, * 4892-В90. "

. Мамедова Т.Ф. Асимптотика решений нелинейного дифференциального уравнения // Методы сравнения и методы Ляпунова: Межвуз." сб. науч. тр. / Мордов. ун-т. - Саранск. - 1990. - С. 98-101. ' . Мамедова Т.Ф. Дифференциальное уравнение математической модели

" u -

стабилизации рынка // Дифференциальные и интегральные уравнения: науч. конф. Тез. докл. - Самара, - 1992, - С. 160-161.

5. Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Асимптотические методы-для части компонент решений дифференциальных уравнений // Тр. семинара по диф. ур-ям. / Мордов. ун-т. - Саранск, - 1992. -

С. 6-112. - Деп. в ВИНИТИ 07.09.92, Ч 2734-В92.

6." Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Асимптотическое равновесие

и его приложения // Тр. семинара по диф. ур-ям / Мордов. ун-т. - Саранск," - 1993. - С. 5-14. - Деп. г ВИНИТИ 22.07.93,' № 2076-В93. " *

7. Мамедова Т.Ф. Об устойчивости решений по части компонент // Тр. сешшара по диф. ур-ям. / Мордов. ун-т. - Саранск, -1993. - С. 30-39. - Деп. в ВИНИТИ 2207.93, № 2076-В93.

Мордовское республиканское управление статистики

Заказ Н52. Тираж 100 экз.

16.11.93г.