Асимптотические методы построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО

ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§1. Асимптотическое решение автономного уравнения

§2. Асимптотическое решение неавтономного уравнения в нерезонансном случае

§3. Резонансный случай

ГЛАВА П. КВАЗШИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ

ПАРАМЕТРАМИ

§1. Автономное уравнение

§2. Неавтономное уравнение

ГЛАВА Ш. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ЗАПАЗДОАНИШ

§1. Автономное уравнение

§2. Неавтономное уравнение в нерезонансном случае

§3. Резонансный случай

В настоящее время в биологии, теории управляемых систем, радиотехнике и особенно в динамических упругих системах с учетом реальных свойств материала часто приходится иметь дело с такими колебательными процессами, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями высокого порядка.

Простым примером колебательной системы третьего порядка является тело с массой т , закрепленное на консольной балке, которая изготовлена из вязко-упругого материала типа 1ука-Максве-ла. Условная схема системы изображена на рис, I. Уравнения движения указанной системы имеют вид мое + сх + # (х-в) = р , # (¿-X) + где т - масса, $ - коэффициент вязкости, К и с - жесткости, р - внешняя сила. Смысл величин х и 2 показан на рис.1, инерция демпфера не учитывается.

Исключая переменную 2 , получим дифференциальное уравнение третьего порядка

С. " с Л , ' 1>

5 О ' т (0*1) т 1 и -Л

ОС

Рис. I

В'биологии при изучении таких важных явлений, как дифферен-цировка ткани или изоляции видов, необходимо изучение бифуркации стационарной точки. В некоторых случаях требуется изучение окрестности сложных особых точек, которые тесно связаны с дифференциальным уравнением вида [7] ос + со2х = е^сх^х) ^

Некоторые управляемые системы также описываются дифференциальным уравнением третьего порядка [25] х =о ; (0.3) в котором нелинейность обуславливается центральной восстанавливающей силой. Здесь периодические решения уравнения (0.3) представляются с помощью метода возмущений в виде гармонических функций.

Работы [11,12,13] посвящены исследованию дифференциальных уравнений типа

0.4) ос+ах + Ьх+х + (И^ос)^ совсоЬ )

Нелинейная функция представляется в виде разложения по ультрасферическим полиномам, в котором удерживается линейный член. Здесь рассмотрена зависимость амплитуды от частоты о> вынужденных колебаний [31,33] и устойчивость системы в случае х5 [34] .

В работе Осинского 3. и Боядаеева Г. [28] асимптотический метод, разработанный Митропольским Ю.А., применен для построения решений уравнения типа где Т= £■£ - медленно менящееоя время. Решение этого уравнения найдено в форме х =а + Ьсо5ср+бЦ£1:,олЬ,ч/) + . ; сИ

Мартышок Д.И. и Форчук В.й. [ 9] рассмотрели периодические решения дифференциального уравнения п -го порядка с запаздыванием типа г^(*,,., о*7"&) сДсо.7) где £ - малый параметр, функция 4 периодическая по ^ с перио дом яте и аналитическая по остальным переменным в области

Т , к , -некоторые положительные достоянные,х(-*--т) Авторы показали, что заменой переменных уравнение (0.7) можно привести к системе уравнений стандартного вида. Для исследования периодических решений такой системы можно использовать затем метод усреднения Боголюбова и Митропольского, но при таком приведении решения уравнения (0.7) зависят от дробных степеней б и исследование периодических решений затрудняется. Поэтому желательно построить алгоритм, позволяющий находить периодические решения уравнения (0.7), содержащие только целые степени ё Изложенный в [3] алгоритм для обыкновенных дифференциальных уравнений п -го порядка помог достичь этой цели.

Периодические решения уравнения (0.7), содержащие только целые степени I , строятся на основе следующей теоремы.

Теорема 9 . Для любого положительного Ь < й существует >о такое, что для каждой постоянной а , удовлетворяющей условию|а/<Ь»и каждого ее[-£1}6^] существует единственная функция 2 = Ъ (+ ,'а, 8 ) , аналитическая по а , £ и удовлетворяющая соотношению где I - тождественный оператор, В - оператор усреднения. Функцию ¿а) можно получить методом последовательных приближений по формуле сГ

0.8) сИп сИп

0.9)

Если существует о < < и аналитическая функция а(£) такие, что ал,а(в),£)у.у ,|од),£),е) =,о ь ^ к при ¡¿иег> (оло) то )Е) является периодическим решением уравнения (0.7) и, обратно, если уравнение (0.7) имеет периодические решение зс(и> с периодом ги , при ¡¿\<£2<е1 , то при условии, что Я(£) определяется выражением (ОЛО).

Исследование нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка можно найти также в некоторых других статьях, например, в [6,8,26,27,29,30,32] . В этих работах автора использовали различные методы отыскания решений нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка в конкретных случаях.

Предлагаемая работа посвящена применению асимптотического метода, разработанного Крыловым - Боголюбовым - Митропольским [1,6,12,15,16] , к исследованию квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными параметрами, с медленно меняющимися параметрами, и с запаздыванием. При этом основное внимание уделено построению семейства периодических решений указанных уравнений. Эти решения в ряде важных случаев обладают свойством сильной устойчивости, заключающимся в том, что любое решение при начальных значениях, близких к начальным значениям этих решений, стремится к последним при £->о

Построение приближенных решений указанных уравнений с помощью асимптотического метода имеет ряд преимуществ. Во-первых, наряду с исследованием стационарных решений этот метод дает возможность изучать переходные процессы, близкие к стационарным, как в системах с постоянными параметрами, так и в системах с медленно изменяющимися параметрами ГII ,12] . Во-вторых, исследование устойчивости стационарных решений очень просто, так как в первом приближении оно приводит к изучению устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами.

Работа состоит из введения и трех глав.

Первая глава посвящена изложению асимптотического метода построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными параметрами. В первом параграфе исследуется автономное уравнение вида

М) (N-0 • - • (N-1)

X = \Е)) (О.Ш где , с*. ,., -вещественные постоянные, £ малый параметр, функция р имеет достаточное число производных по всем ее аргументам. С помощью асимптотического метода для уравнения (0.11) построено семейство частных двухпараметричес-ких периодических решений как в одночастотном режиме, когда характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней, так и в многочастотном режиме, когда характеристическое уравнение имеет не одну, а несколько пар чисто мнимых корней и нет внутренних резонансов. В случае линейной системы многочастотные решения при наличии нескольких пар чисто мнимых корней характеристического уравнения получаются на основании принципа суперпозиции как линейная комбинация одночастотных решений. В случае квазилинейной системы принцип суперпозиции не имеет места, и мы не можем из одночастотных решений получить многочастотные. В этом случае многочастотное решение необходимо искать непосредственно.

Во втором параграфе рассматривается неавтономное уравнение где ^- = const ( i - 1,2,., г ), функция р яв-¿it ляется периодической по переменным ©1 ,., с периодом 271 для нерезонансного случая, когда между корнями характеристического уравнения и частотами ty не существуют соотношения типа + ) (0ЛЗ) т=-<]-ш , ij„ - целые числа).

В нерезонансном случае построение приближенных решений с помощью асимптотического метода аналогично автономному случаю. Отличие будет лишь в том, что приближенные решения содержат еще и , •., еу .

В третьем параграфе исследуется неавтономное уравнение (0.12) в резонансном случае. Здесь рассматриваются как простой, так и комбинационный резонансы. При простом резонансе внешняя сила является одночастотной (X) и резонирует лишь с одной из собственных частот ( -Я- ):

0.14) где , р небольшие целые числа. Комбинационный резонанс имеет место, когда выполняются равенства (0.13). Этот случай включает в себя овозможность внутренних резонансов вида

0.15)

В первой главе также излагаются в сжатой форме необходимые сведения из теории устойчивости стационарных решений системы уравнений для амплитуд и фаз, которые используются при изучении конкретных задач.

Вторая глава посвящена исследованию дифференциальных уравнений произвольного порядка с медленно меняющимися параметрами, В первом параграфе рассматривается автономное уравнение типа

1 Ц-1 N где ? = £-!: - медленное время.

Сначала изучается случай одночастотного решения этого уравнения, когда при некотором фиксированном значении -т характеристическое уравнение имеет пару простых чисто мнимых корней, а остальные корни имеют достаточно большую по величине отрицательную вещественную часть. Может случиться, что характеристическое уравнение не имеет чисто мнимых корней, но имеет корни с достаточно малой вещественной частью. Тогда в силу непрерывной зависимости корней уравнения от его коэффициентов мы можем изменить параметры уравнения (0.16) так, чтобы характеристическое уравнение имело чисто мнимые корни. Соответствующие поправочные члены относим к нелинейным членам уравнения (0.16).

В конце первого параграфа данной главы исследуется многочастотное решение уравнения (0.16), когда характеристическое уравнение имеет не одну, а несколько пар чисто мнимых корней, но при условии, что отсутствует внутренний резонанс.

Во втором параграфе рассматривается неавтономное дифференциальное уравнение с медленно меняющимися параметрами* Вначале исследуется одночастотное решение уравнения вида для простого резонансного случая, когда частота = на

Ыт ходится в следувдемм отношении с характеристическим корнем:

П(г) = ^(Х)+еб-(и)) (0.18) где у , р - небольшие целые числа. Второй параграф заканчивается исследованием многочастотных решений неавтономного дифференциального уравнения с медленно менявшимися параметрами вида оЛ- Чр» • ■ • + о(ы (т) СС +«ус)зс = £ ,.; (0.19) здесь правая часть содержит г угловых переменных ,., ег Предполагается, что в рассматриваемом промежутке изменения % выполняются условия резонансов о (0.20) т - 4,г,f )

Ът ' - небольшие целые числа, некоторые из них могут быть и нулями» Условия (0.20) включают в себя все возможные ре-зонансы.

Следует заметить, что построение высоких приближений решения по предложенному асимптотическому методу не представляет принципиальных затруднений. Однако в практике уже первых двух, а часто и одного первого или первого улучшенного приближения бывает вполне достаточно.

В третьей главе рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение третьего порядка с запаздыванием.

В первом параграфе дается способ построения приближенных решений для автономного уравнения вида

2 Дс 5 1 л 3 где 0(^,0^,0(3 , , /3Z , р , Л - постоянные, t - малый параметр, при предположении, что характеристическое уравнение ъ z % -ЛA

DIX) = X + <х4Х + + ос3+у^ £ ; имеет пару чисто мнимых корней Ту = ±iii и остальные корни имеют достаточно большую по величине отрицательную вещественную часть.

Во втором параграфе рассматривается неавтономное уравнение в нерезонансном случае, когда функцияр, стоящая в правой части уравнения (0.21), имеет вид

0 '

Нерезонансность заключается в отсутствии соотношений типа .рл -г ^т) — о , у , - целые числа.

Влияние внешнего возбуждения 0 в данном случае выражается в том, что решение уравнения будет содежать о

В третьем параграфе асимптотические разложения строятся в резонансном случае, когда выполняется следующее соотношение и V + £ бЯ здесь £ , с\ - некоторые взаимно простые числа, определяющие вид резонанса, £<г - расстройка частот. Устойчивость стационарных решений исследуется с помощью критерия Рауса-Гурвица.

В настоящей работе эффективность асимптотического метода для решения дифференциальных уравнений произвольного порядка демонстрируется на конкретных примерах, связанных с различными практическими задачами.

Как было отмечено в [1,12] практическая применимость асимптотического метода определяется не свойствами сходимости указанных рядов при увеличении до бесконечности числа членов разложения, а их асимптотическими свойствами для ю первых членов и £-> о . Поэтому здесь мы не будем изучать проблему сходимости при ©о и условимся рассматривать представленные разложения как формальные, необходимые для построения асимптотических приближений.

Основные результаты настоящей работы опубликованы в статьях [17,18,21-24,35] .

вывода

1. Асимптотический метод Крылова-Боголюбова-Митропольского обощен на исследование общих квазилинейных дифференциальных уравнений и -го порядка как с постоянными, так и с медленно меняющимися параметрами и уравнения третьего порядка с запаздыванием.

2. Построены асимптотические приближенные решения как автономного, так и неавтономного уравнений в нерезонансных и резонансных случаях.

3. Исследованы в практических примерах стационарные режимы и переходные процессы, близкие к стационарным, а также устойчивость стационарных амплитуд.

1. Боголюбов H.H., Митропольскии Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 503 с.

2. Боголюбов H.H. (мл), Садовников Б.И. О периодических решениях дифференциального уравнения п -го порядка с малым параметром. Киев: йн-т математики АН УССР, 1961. - 16 с.

3. Боголюбов H.H. (мл), Садовников Б.И. О периодических решениях дифференциального уравнения п -го порядка с малым параметром. Украинский математический журнал, 1961, том 13, J&3, с.3-10.

4. Кисляков B.C. Применение метода построения асимптотических приближений Крылова и Боголюбова для исследования систем с запаздыванием. Автомат, и телемех., I960, т.21, М, с.442-455.

5. Красовский H.H. 0 периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени. Доклады АН СССР, 1957, т.14, В 2, с.252-255.

6. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937. - 363 с.

7. Молчанов A.M. Экстремальные режимы. В кн.: Математические методы в биологии. - Киев: Наукова думка, 1977. - 192 с.

8. Мартынюк Д.И., Форчук В. И. Периодические решения дифференциального уравнения п -го порядка с запаздыванием. Матеммат.физика., 1968, вып.4, с.90-92.

9. Мартынюк Д.И. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Авторефереатдисс. на соискание учен, степени канд. физ.-мат. наук. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1967. II с.

10. Митропольский Ю.А. Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах Киев: изд-во АН УССР, 1955. - 284 с.

11. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М.: Наука, 1964. - 431 с.

12. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1969. - 309 с.

13. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Виша школа, 1979. - 247 с.

14. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. Киев: 1976. - 589 с.

15. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1981. 400 с.

16. Нгуен Ван Дао, Чан Ким Тьи. Асимптотический метод исследования квазилинейных колебаний динамических систем высокого порядка. Успехи техники, 1980, №4. с.3-21.

17. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальных уравнения. -М.: Наука, 1974. 331 с.

18. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием.- М.: Наука, 1969. 287 с.

19. Чан Ким Тьи. Асимптотический метод построения решений дифференциальных уравнений N -го порядка с медленно меняющимися параметрами (автономный случай). Украинский математический журнал, 1981, том 33, В 3, с.427-429.

20. Чан Ким Тьи. Асимптотический метод построения решений дифференциальных уравнений N -го порядка с медленно меняющимися параметрами в неавтономном случае. Украинский математический журнал, 1981, том 33, $ 4, с.567-570.

21. Чан Ким Тьи. Асимптотические решения уравнения в частных производных третьего порядка. Украинский математический журнал, 1982, том 34, J6 2, с.255-260.

22. Чан Ким Тьи. Построение асимптотический решении для квазилинейных дифференциальных уравнений третьего порядка с запаздыванием. Украинский математический журнал, 1983, том 35, № 3, с.392-397.

23. Mulholland R.J. Nonlinear oscillations of a third order differential equation. International Journal of Nonlinear Mechanics, 1971, №3, p.279-294.

24. Nguyen van Dao. Nonlinear Oscillations of third order system.- J. Tech. Physics, Poland, 1979, №4, p.5II-5I9.

25. Nguyen van Dao. Nonlinear Oscillations of third order system.- J. Tech. Physics, Poland, 1980, №1, p.I25-I37.

26. Osinski Z., Boyadjiev G. The vibrations of the system with nonlinear friction and relaxation with slawly variable coef-dicients. Proceedings of the fourth conference of nonlinear oscillations. Prague, 1967, p.399-404.

27. Srirangerajan H#R,, Srinivasan P. Ultraspherical polynomials approach to the study of third order nonlinear systems. -J. Sound and Vibration, 1975, v.40, №2, p.167-172,

28. Srirangarajan H.R., Kasarathy R,V. Study of third-order nonlinear systems variation of parameters approach. - J.Sound and Vibration, 1975, v.40, №2, p. 173-178,

29. Srirangarajan H,R., Srinivasan P. Application of ultrasphe-rical polynomials to forced oscillations of third order nonlinear system. J. Sound and Vibration, 1974, v.36, №4»1. Р.51З-519.

30. Tondl A. Excited vibration of fourth order nonlinear systems. Acta technica CSAV, Praha, 1977, №4, p.480-499.

31. Tondl A. Notes on the solution of forced oscillations of a third order nonlinear systems, J, Sound and Vibration, 1974, v.37, №2, p,273-279.

32. Tondl A. Additional note on a third order system. J. Sound and Vibration, 1976, v.47, №1, p.133-135.

33. Tran Kim Chi, Nguyen Van Dao, Construction of the solutions of nonlinear high order differential equations, Acta technica CSAV, Praha, 1980, №3, p,358-368.

34. Чан Ким Тьи. Применение асимптотического метода к решению квазилинейных дифференциальных уравнений третьего порядка с запаздыванием. Труды X Международной конференции по нелинейным колебаниям, Варна, 1984. София: издательство ЕАНД985, с.504-511.