Асимптотика решения начальной задачи для квазилинейного параболического уравнения с малым параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ЗАХАРОВ Сергей Викторович

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 01.01.02. — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург, 2006

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ЗАХАРОВ Сергей Викторович

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 01.01.02. — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург, 2006

Работа выполнена в отделе уравнений математической физики ЙММ УрО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, академик А. М. Ильин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В. И. Максимов

доктор физико-математических наук, профессор Р. Р. Гадыльшин

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ

Уфимского научного центра РАН

Защита диссертации состоится ' ' июня 2006 года в С> часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан "К" 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, с.н.с.

А. А. Успенский

~Ш6

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Современные асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений развивались благодаря работам H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, А.Н. Тихонова,

A.Б. Васильевой, JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова, O.A. Олейник, М.И. Ви-шика и JI.A. Люстерника, O.A. Ладыженской, В П. Маслова, а также работам М С. Аграновича и М.И. Вишика, A.B. Васильевой, В.Ф. Бутузова, A.B. Нестерова по теории экспоненциальных пограничных слоев.

В ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие степенные особенности. Такие бисингулярные задачи характерны для областей с негладкими границами, а также при наличии малых полостей, тонких щелей и тел и i и. Их исследование является одним из направлений научной школы A.M. Ильина. В частности, изучаются решения задачи Коши для нелинейных уравнений в частных производных с малым параметром при различных начальных данных.

Основным методом построения равномерных асимптотик бисингулярных задач является метод согласования асимптотических разложений. И, хотя идеи метода высказаны Прандтлем еще 1904 году, а процедура согласования использовалась Ван-Дайком, Л. Френкелем и В. Экхаузом, однако строгое обоснование асимптотических разложений, построенных таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами, появился сравнительно недавно в работах В.М. Вабича и B.C. Булдырева, A.M. Ильина, А.Р. Данилина, P.P. Гадылышша, Л.А. Калякина, Е.Ф. Леликовой, Т.Н. Нестеровой,

B.Ю. Новокшенова и др.

В моделях, описывающих движение вещества со скоростью и, зависящей от плотности и, возникает нелинейное уравнение первого порядка

Такие модели строятся в задаче о движении автомобильного потока, в задаче о паводковых волнах и в некоторых других.

Простейшая модель, учитывающая взаимодействие частиц, описывается уравнением Бюргерса с малой вязкостью

где и — плотность вещества.

Объектом исследования в диссертации является задача Коши для более общего квазилинейного параболического уравнения:

где е > 0, V е С°°( R), iff (и) > 0.

Интерес к данной задаче объясняется как наличием физической интерпретации, так и тем, что ее решения позволяют получить вязкостные обобщенные решения предельного уравнения. Эту задачу с различных точек зрения изучали Е.Хопф, Н.С. Бахвалов, В.Н. Богаевский, И.М. Гельфанд, A.M. Ильин, Т.Н. Нестерова, O.A. Олейник, Е.А Лапшин, А.Я. Повзнер В.И. Пряжинский, В.Г. Сушко и др.

Отметим некоторые важные случаи данной задачи, в которых была найдена равномерная асимптотика решения с точностью до произвольной степени_малого параметр.а_£,.

иt + {uv(u))x = 0.

ut + иих — еихх, е —> 0,

щ + Vp{v))x = £ Итх, и{х, to, s) = u(i),

>iH HAUHOSs Mibr: \Я БИБЛИОТЕКА

с . Пе-ор,Г,..г,Г ( _

В работе А М. Ильина1 был исследован случай, когда в полосе {(®,i) : to $ t < Т, х е В} предельное (е = 0) решение задачи является функцией, гладкой всюду кроме одной гладкой линии разрыва i = {(x,t) : ii t ^ Г, а; = s(t)}.

Равномерное асимптотическое разложение решения было получено методом сращиваг ния, основаном на рассмотрении разных масштабов в различных областях2.

В работе Т.Н. Нестеровой3 задача рассмотрена в случае, когда предельное решение на конечном отрезке времени имеет две гладких линии разрыва х — Si(t) и х = ,s2(i), сливающиеся в момент t = t* в одну х = вз(4)

В работе В.Г. Сушко4 задача исследована в случае, когда начальная функция и(х,0,е) является гладкой всюду кроме одной точки, в которой она непрерывна, а разрыв имеет первая производная. Тогда в некоторой полосе ta ^ t ^ ti предельное решение и{х, t, 0) будет непрерывным, но при этом оно будет иметь разрыв производной — слабый разрыв. Было показано, что разложение решения в пограничном слое линии слабого разрыва имеет вид ряда по полуцелым степеням малого параметра с коэффициентами, зависящими от времени и растянутой пространственной переменной:

Цель работы. Исследовать асимптотическое поведение решения задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения с малым параметром при старшей производной в случае, когда решение предельной задачи имеет слабый разрыв, переходящий в сильный.

Методы исследования. Основным инструментом является метод согласования асимптотических разложений. В диссертации также используются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений в частных производных.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем.

1. Исследована структура асимптотики решения задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения с малым параметром при старшей производной в случае, когда решение вырожденного уравнения имеет слабый разрыв, переходящий затем в сильный. Изучены особенности коэффициентов разложения решения в пограничном слое слабого разрыва при приближении к точке градиентной катастрофы.

2. Решена вспомогательная задача рассеяния для квазилинейного параболического уравнения и его линеаризации — по известному разложению при больших отрицательных временах в плоскости растянутых переменных получена асимптотика при больших положительных временах.

'Ильин A.M. Задача Коши для одного квазилинейного параболического уравнения с малым параметром // Докл АН СССР 1985. т. 283 № 3. С. 530-534.

'Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989, 334 с.

'Нестерова Т.Н. Об асимптотике решения уравнения Бюргерса в окрестности слияния двух линий разрыва // Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1980 с.бб-86.

4 Суш ко В Г. Об асимптотических разложениях решений одного параболического уравнения с малым параметром // Дифференц уравнения. 1985. т. 21. И» 10 с.1794-1798.

3. Для уравнения Бюргерса исследовано поведение решения задачи в пограничном слое вблизи разрыва решения предельного уравнения Показано, что асимптотика решения представляет собой многомасштабное разложение.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть применены при исследовании начальных задач для нелинейных уравнений в частных производных с малыми параметрами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях "Day on Diffraction'99" (С -Петербург, 1999) и "Differential and Functional Differential Equations" (Москва, 1999), международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам "International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems" (Суздаль, 2000), и дрзтих, а также на семинаре отдела уравнений математической физики в ИММ УрО РАН (Екатеринбург).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7], список которых приведен в конце автореферата.

В совместных работах [1,2,4,5] научному руководителю A.M. Ильину принадлежит постановка задачи и общая схема исследования. Все результаты этих работ получены автором самостоятельно. Из работы [6] в диссертацию вошли только результаты автора.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 85 страниц, включая библиографический список из 91 ссылки.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рассмотрим уравнение

ди д<р(и) д2и

с начальным условием

и(х,-1) *=Ш(х), а; € К. (2)

Будем предполагать, что <р € С°°(К) и <р"(и) > 0, а и — ограниченная кусочно гладкая функция.

Тогда, как известно,5 при е > 0 данная задача Коши имеет единственное решение в классе С°°(5) П С (5), где

5 = {(х,^ : ¡ген, -1<*<Т}.

Нас будет интересовать случай, когда решение и0(х,€) вырожденной задачи (г = 0) при { < 0 является гладкой функцией всюду за исключением линии

1. = {(х,г): х = 0,

в точках которой само решение щ(х, 4) непрерывно, а его производная по х имеет разрыв первого рода (предполагается, что выполняется неравенство 0) < «'(-(-О))

Возьмем в качестве начальных данных, воспроизводящих описанную ситуацию, ограниченную непрерывную функцию общего положения

й(х) = -(а; + ах2) в(-х) (1 + д(х)),

5Ладыженскал О А , Солонников В.А , Уральцева Н Н Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.- Наука, 1967, 736 с.

где а > 0, 0 — функция Хевисайда, а носитель гладкой функции ц лежит вне некоторой окрестности нуля (для простоты й'(—0) = —1, т?(+0) = 0).

Кроме того, пусть начальная функция такова, что характеристики вырожденного уравнения не пересекаются при ( < 0, а для сколь угодно малого t > 0 существуют пересекающиеся характеристики (см. Рис. 1). Чтобы это выполнялось, параметр а должен удовлетворять неравенству

Ь = а - ч>"\0)/2 > 0

х = я(<)

Рис. 1. Ударная волна, порожденная слабым разрывом.

Отметим, что при t < 0 для решения вырожденной задачи справедлива формула

Uo(x,t) =5(j/),

где у выражается через х и t с помощью уравнения характеристик

x = y + V'(ü(y)) (t + 1). Из выражения для й{х) и уравнения характеристик вытекает, что

lim = i, li«®!M=0.

i-f-o дх t x-t+o ox

Таким образом, на линии решение uo(i, t) имеет слабый разрыв, за которым при 4 = 0 следует градиентная катастрофа:

lim hm —\-= oo.

H-Ox-t-O ox

При t > 0 решение «0(т, t) разрывно на гладкой кривой х = s(t), определяемой из условия Гюгонио.

Цель диссертации — построить и обосновать равномерное асимптотическое разложение решения и(я, i, е) при е —► +0.

В данной задаче асимптотическое поведение решения и(х, t, е) при малых е имеет значительно более сложный характер, чем в задаче Коши с гладкой начальной функцией.

Проще всего построить внешнее разложение решения, то есть разложение в областях, не содержащих особенностей функции щ{х, t). В области

iT = {(x,t): -1 < t < 0, х < 0<ß< i/2>,

(слева от линии слабого разрыва) асимптотика решения и(х, t, с) имеет вид ряда по степеням е с гладкими коэффициентами, зависящими от х и t

и(х, t,e) = £пип(х, i).

п=0 6

Главный член этого разложения — рассмотренная выше функция uo(x,t).

В области

П+ = {(ж, t) : -1 < i < 0, х > çf'-W2} (справа от линии слабого разрыва) решение экспоненциально мало:

В области П° — {(x,t) : -1 < t < -£<1+W3, х2 < асимптотика решения u(x,t,s)

при е -> +0 имеет вид ряда по полуцелым степеням е с гладкими коэффициентами, зависящими от внутренней переменной С = же-1/2 и переменной t:

оо

t»(*,t,e) = ][V/4(Ç,t).

В первой главе (содержание которой соответствует работе [5]) детально исследовано поведение коэффициентов t)t(£, t) при t —> -0, то есть при приближении к момент}' градиентной катастрофы Асимптотические ряды, описывающие это поведение, имеют существенно различный вид в следующих трех областях:

DJ = {(С,t) -- С < -1 < t < 0} (о < р < 1/2),

Di = {(С, t) ■■ ICI < |i|f, -1 < f < 0} (0 < <5 < p), ¿>,+ = {(C,*).- С>1*Г -Kt<0}.

Основной результат первой главы заключается в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 1. Для любого к > 1 при t —> — 0 справедливы разложения

«Ж. t) = те t) + о (ехр {-ад2'"1}), (С, t) 6 Dr, h > О,

W оо

MC, t) = E In' |t| £ ir3t/2+'+1+m/2fl*.s,m(0), (С, *) e

5=0 m=0

00

m=0

в этих формулах. V^ — это функции из класса C°°(R х (-1,0)), имеющие особенности при t —► —0, порядок которых растет при k -» оо, Rk,t,m — это 0°°-гладкие функции на оси автомодельной переменной 8 = С/(2\/—t), а S*,ra — это функции из класса С'°°(0, +оо), имеющие особенности при С —> +0, порядок которых растет при к+т. -4 оо

Во второй главе (содержание которой частично соответствует работе [4]) на основе результатов первой главы построено и обосновано асимптотическое разложение решения задачи (1)- {2) в окрестности точки перехода линии слабого разрыва (решения предельного уравнения) в сильный разрыв с точностью до любой степени е.

Поведение первых двух коэффициентов полученного асимптотического решения исследовано во всей плоскости растянутых переменных

£ = е_2/3х, r = £-V3i.

Делая такую замену переменных в разложениях Теоремы 1 и группируя выражения при одинаковых степенях е и in г, получим следующие ряды:

оо \р/гJ-i

1>/6 Е ^tW-M.r),

р=2 в—-О

оо [р/21-1

Е^6 £ ln'eW^.r),

р—2 s-О

со [р/2]-1

Е6"" Е Ib'eKA^h

V-2 s-О

1де и т) — формальные асимптотические ряда при -ч оо, т —f —оо

Очевидно, что асимптотику решения задачи (1)-(2) в окрестности начала координат следует искать в виде такого же ряда

оо [р/2]-1

р=2 j=0

Переписывая уравнение (1) в переменных т и подставляя в него ряд W, получаем рекуррентную систему уравнений

dw2fl dv)2,o d2w2n

-g^+W 2,0—---^=0,

dw3lQ Э (w2flw3fl) dïwjfl

+ —щ---щг-о* W

dwp,c д (w2fiwPi>) _ d2wPiS _ dEPjl dr dÇ de % '

m=3 1=0 ç=3 tn-p+"j=l

(считается, что при s — [p/2] - 1 сумма по q равна нулю).

Основной результат второй главы заключается в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 2. В классе C°°(R2) существуют решения wPiS уравнений (*) такие, что при т —оо эти решения разлагаются в асимптотические ряды т), W~t(Ç,r) и

И£«,г) в областях, соответственно,

X° = {(Ç,r): |Î|<|r|1-', т < 0}, Х- = {(?, T):Ç<Q, -|f|2-a < т] и {(f, т) : т > О, 1Щ < Зт2 - га~1}, А'+ = {(i,r) : Ç > О, -Ç2-" < г ^ 0} U {(£,т) : г > О, 166Ç > Зг2 + г«"1},

где

О < 7 < 1/2, 0 < а < (1-27)/(1-7) < 1.

где

й_. = -

2

Главный член разложения W имеет вид

2 &Ф (*,г)

*(f,r) flf '

Ф«,г) = /ехр^-^ + т*2-,^, Ь = а-в>0 о

Таким образом, в первых двух главах диссертации методом согласования построено асимптотическое разложение решения u(x,t,e) задачи Коши (1)-(2) для квазилинейного параболического уравнения в виде следующих рядов: внешнее разложение U, разложение V в пограничном слое линии слабого разрыва (решения предельного уравнения), разложение W в окрестности точки перехода слабого разрыва в сильный разрыв. Составное асимптотическое разложение t, е), полученное из рядов U, V и W, по принципу

максимума приближает решение задачи (1)-(2) с точностью 0(eN) в полосе, включающей точку опрокидывания волны.

При t > 0 вышеуказанное (обобщенное) решение невозмущенной задачи t) имеет разрыв на линии х = s(t), определяемой из условия Гюгонио

ds __ <p{ua{s(t)+0,t)) - <p{u0(s(t) - 0,t)) dt ~ ua{s(t) + 0,t)~ u0(s(t) - 0,t) '

Как известно,6 решение u{x,t,e) возмущенной задачи (1)-(2) сходится к функции щ(x,t) при е 0. Для ряда задач была обоснована асимптотика решения u(x,t,e) в окрестности линии i = s(f); она представляет собой разложение по степеням £ и 1пе с гладкими коэффициентами, зависящими от внутренней переменной о = (х — s(t})/е и переменной t.

В третьей главе (содержание которой соответствует работе [7]) исследовано поведение решения уравнения Бюргерса (т. е. уравнения (1) с tp(u) = us/2) с малым параметром при старшей производной и негладкой начальной функцией вблизи линии разрыва х = s(t) решения предельного уравнения. В этом случае для решения начальной задачи имеется явное интегральной представление.

Основной результат третьей главы заключается в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 3. В области

Па = (И < ¿V-1, £1~а < t3 < const, 0 < a < 1}

для решения задачи

ди ди &и , „ . , . , _

Ж + Чдх u(x,-he) = -{x + ax2)Q{-x), х g R,

справедлива асимптотическая формула

N-1

р—о

Тельфаид И.М Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений// УМН 1959. т. XIV вып 2 (86) с. 87-158.

где

х - s(t) (3f + 4)3/>2 — 9t — 8 x

e ' 5(t) =-МГТТ)-'

N —» оо при N—¥00. Главный член этого разложения умеет вид

2 МО

h0{a,(,t) = ■

-</(2v/T+j)

1 + 1 f e~z 1 + ViF J -OO

г<?е

-ш

Ч-| + 0<0

•О,

_ (3t + 1)\/ЗГ+4 — 2 3i Ш* Э) 18а(1 + <)2 8а 128а

i —> О.

Таким образом, для частного случая уравнения (1) — уравнения Бюргерса — на основе точного решения построено асимптотическое разложение решения и(х, е) в пограничном слое линии сильного разрыва.

Как видно из явной формулы для главного члена, в окрестности зарождения ударной волны асимптотика решения носит сложный характер (более сложный, чем в случае возникновения возмущенной ударной волны из гладкого решения). Асимптотика представ вляет собой многомасштабное разложение, коэффициенты которого — это функции от трех переменных:

х — , х

t,

а = ■

С-'

е " V?

Видимо по этой причине пока не удается построить асимптотику решения при всех * > О для произвольной выпуклой функции <р{и).

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Захаров С. В., Ильин А. М. Асимптотика решений квазилинейного параболического уравнения вблизи линии слабого разрыва // Тезисы докладов международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения". Челябинск: ЧГУ, 1999. С. 53.

[2] Захаров С. В., Ильин А. М. Asymptotics of a solution of a quasilinear parabolic equation near the line of weak discontinuity // Тезисы международной конференции "Differential and Functional Differential Equations". Москва, 1999.

[3] Захаров С. В. О влиянии малой диссипации на эволюцию слабого разрыва решения транспортного уравнения // Тезисы международной конференции "International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems". Владимир: ВГУ, 2000. С. 133-134.

[4] IFin A. M., Zakharov S. V. On the influence of small dissipation on the evolution of weak discontinuities // functional Differential Equations. 2001. N. 3-4. P. 257-271.

[5] Захаров С. В., Ильин А М. От слабого разрыва к градиентной катастрофе // Матем сб. 2001. Т. 192. № 10. С. 3-18.

[6] Данилин А. Р., Захаров С. В., Ильин А. М. Применение метода согласования асимптотических разложений к решению краевых задач //Современная математика и ее приложения Т. 5. Асимптотические методы анализа- Академия Наук Грузии, Институт Кибернетики. 2003. С. 33-78.

[7} Захаров С. В. Зарождение ударной волны в одной задаче Коши для уравнения Бюр-герса // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. № 3. С. 536-542.

Подписано в печать 27.04 2006 г. Формат 60 х 84/16 Бумага офсетная Усл. печ л 1,0 Тираж 100 экз. Заказ № 463

Отпечатано в ИПЦ «Издательство УрГУ» г Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

J

fcJÏS

05 16

Введение

Постановка задачи.

Краткое содержание работы

1 Структура асимптотического разложения решения вблизи линии слабого разрыва

1.1 Асимптотический ряд.

1.2 Асимптотика первого коэффициента.

1.3 Асимптотика второго коэффициента.

1.4 Асимптотика остальных коэффициентов.

2 Асимптотика вблизи точки градиентной катастрофы

2.1 Анзац.

2.2 Решения первых двух уравнений.

2.3 Существование решений остальных уравнений.

3 Пограничный слой вблизи линии сильного разрыва для решения уравнения Бюргерса

3.1 Точное решение.

3.2 Асимптотика функций Ф+иФ"

3.3 Асимптотика функции

3.4 Асимптотика решения задачи.

Работы автора по теме диссертации

Современные асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений развивались благодаря работам H.H. Боголюбова и Ю.А. Митро-польского [7], А.Н. Тихонова [77], А.Б. Васильевой [13], JI.C. Понтряги-на [72], Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова [62], O.A. Олейник [69], М.И. Ви-шика и JI.A. Люстерника [17], [18], O.A. Ладыженской [48], В.П. Масло-ва [57], [58], [59], [60] (и др. [10], [И], [12], [14], [53], [61], [64], [71], [80], [86]), а также работам М.С. Аграновича и М.И. Вишика [1], A.B. Васильевой, В.Ф. Бутузова, A.B. Нестерова [8], [9], [14], [15], [16] по теории экспоненциальных пограничных слоев.

В ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие степенные особенности. Такие бисингулярные задачи характерны для областей с негладкими границами, а также при наличии малых полостей, тонких щелей и тел и т.п. Их исследование является одним из направлений научной школы A.M. Ильина. В частности, изучаются решения задачи Коши для нелинейных уравнений в частных производных с малым параметром при различных начальных данных.

Основным методом построения равномерных асимптотик бисингуляр-ных задач является метод согласования асимптотических разложений. И, хотя идеи метода высказаны Прандтлем еще 1904 году [91], а процедура согласования использовалась Ван-Дайком [12], Л. Френкелем [89] и В. Экхаузом [88], однако строгое обоснование асимптотических разложений, построенных таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами, появился сравнительно недавно в работах В.М. Бабича и B.C. Булдырева [2], [3], [4], A.M. Ильина [34], [35], [36], [37], [38], [40], [41], А.Р. Данилина [24], [25], [26], [27], P.P. Гадылынина [19], [20], [21],

Л.А. Калякина [43], [44], [45], Е.Ф. Леликовой [52], Т.Н. Нестеровой [65], [GG], [67], В.Ю. Новокшенова [68] и др.

Несколько иными методами исследовались бисингулярные задачи в работах В.Г. Мазьи, С.А. Назарова [55], [56], [63], М.В. Федорюка [81], [82].

Постановка задачи

В моделях, описывающих движение вещества со скоростью г», зависящей от плотности и, возникает нелинейное уравнение первого порядка щ + (uv(u))x — 0.

Такие модели строятся в задаче о движении автомобильного потока, в задаче о паводковых волнах и в некоторых других.

Простейшая модель, учитывающая взаимодействие частиц, описывается уравнением Бюргерса с малой вязкостью ut + иих — £UXX, е 0, где и — плотность вещества.

Объектом исследования в диссертации является задача Коши для квазилинейного параболического уравнения: щ + [р(и)]х = еихх, u(x,to,e) =й(х), где е > 0, ip G C°°(R), <р"(и) > 0. Эту задачу с различных точек зрения изучали Е.Хопф [90], Н.С. Бахвалов [5], В.Н. Богаевский и А.Я. По-взнер [6], A.M. Ильин, Т.Н. Нестерова, O.A. Олейник [32], [33], [67], [70], Е.А. Лапшин, В.И. Пряжинский, В.Г. Сушко [73], [75], [76].

Отметим некоторые важные случаи данной задачи, в которых была найдена равномерная асимптотика решения с точностью до произвольной степени малого параметра £.

В работе A.M. Ильина [33] был исследован случай, когда в полосе {{x,t) : to ^ t ^ Т, х G К} предельное (е = 0) решение задачи является функцией, гладкой всюду кроме одной гладкой линии разрыва I = {(ж, t):ti^t^T,x = s(t)}.

Рис. 1. Расположение характеристик.

Равномерное асимптотическое разложение решения было получено методом сращивания, основаном на рассмотрении разных масштабов в различных областях. Подробное изложение этого исследования приводится в монографии [42].

В работе Т.Н. Нестеровой [71] задача рассмотрена в случае, когда предельное решение на конечном отрезке времени имеет две гладких линии разрыва х — 51 и х = сливающиеся в момент £ = в одну х = бз(^).

Рис. 2. Слияние двух линий разрыва.

Интересно отметить, что если решение имеет разрыв в начальный момент времени, то задача перестает быть по существу бисингулярной [36]. В этом случае разность между различными асимптотическими разложениями имеет характер функций пограничного слоя, экспоненциально быстро стремящихся к нулю.

В работе В.Г. Сушко [79] задача исследована в случае, когда начальная функция и(х, 0, б) является гладкой всюду кроме одной точки, в которой она непрерывна, а разрыв имеет первая производная. Тогда в некоторой полосе ¿о ^ ^ ^ ¿1 предельное решение и(х,1,0) будет непрерывным, но при этом оно будет иметь разрыв их — слабый разрыв. Было показано, что разложение решения в пограничном слое линии слабого разрыва имеет вид ряда по полуцелым степеням малого параметра с коэффициентами, зависящими от времени и растянутой пространственной переменной:

00 и ^

Теперь перейдем непосредственно к постановке задачи. Рассмотрим уравнение ди , Ми) д2и с начальным условием и(х, -1) = й(х), яеМ. (2)

Будем предполагать, что (р Е С°°(М.) и <р"(и) > 0, а и — ограниченная кусочно гладкая функция.

Тогда, как известно (см. [54, гл. V]), при е > 0 данная задача Коши единственным образом разрешима в классе С°°(5) П С(5), где

5 = {(я,: -1 < * < Г}.

Нас будет интересовать случай, когда решение щ{х,£) вырожденной задачи (е = 0) при £ < 0 является гладкой функцией всюду за исключением линии

- = {(х,г): ж = 0, -1^г<0}, в точках которой само решение щ(х, £) непрерывно, а его производная по х имеет разрыв первого рода, то есть должно выполняться неравенство й'(-О) < й'(+0).

Возьмем в качестве начальных данных, воспроизводящих описанную ситуацию, ограниченную непрерывную функцию общего положения

Щх) = -(х + ах2) ©(-ж) (1 + я(х)), где а > 0, 0 — функция Хевисайда, а носитель гладкой функции q лежит вне некоторой окрестности нуля (для простоты й'(—0) = —1, й'(+0) = 0).

Кроме того, пусть начальная функция такова, что характеристики вырожденного уравнения не пересекаются при £ < 0, а для сколь угодно малого £ > 0 существуют пересекающиеся характеристики (см. рис. 3). Чтобы это выполнялось, параметр а должен удовлетворять неравенству

Ъ = а- <р"'(0)/2 > 0.

X = s(t)

Рис. 3. Ударная волна, порожденная слабым разрывом.

Отметим, что при £ < 0 для решения вырожденной задачи справедлива формула иоОМ) = Чу), где у выражается через х и t с помощью уравнения характеристик х = у + ц/{и(у)) (* + 1) •

Из выражения для й(х) и уравнения характеристик вытекает, что дщ(х^) 1 lim limöuoM = 0 t z->+0 ох i-»—о дх

Таким образом, на линии I решение uo(x,t) имеет слабый разрыв, за которым при t = 0 следует градиентная катастрофа: du(x,t) lim lim —-—1 = со. f->-01->-0 ox

При £ > 0 решение щ{х,Ь) разрывно на гладкой кривой х = я(£), определяемой из условия Гюгонио.

Цель диссертации — построить и обосновать равномерное асимптотическое разложение решения и(х, е) при е —> +0.

Краткое содержание работы

В данной задаче асимптотическое поведение решения при малых £ имеет значительно более сложный характер, чем в задаче Коши с гладкой начальной функцией [42, гл. VI].

Проще всего построить внешнее разлооюепие решения, то есть разложение в областях, не содержащих особенностей функции щ{х,Ь). В области

1Г = {(ж,*) : -1 < Ь < 0, х < 0 < (3 < 1/2}, слева от линии слабого разрыва) асимптотика решения и(х^,е) имеет вид ряда по степеням е с гладкими коэффициентами, зависящими от х и и

00 п=о

Главный член этого разложения — это рассмотренная выше функция гг0(М).

В области

О*" = {(.х, г): -1 < £ < 0, х > с*1-«/2} (справа от линии слабого разрыва) решение экспоненциально мало: и(х,Ье) = О (ехр + > е-++0.

В области О,0 = : -1 < ^ < х2 < £12/3} асимптотика решения и(ж,£,е) при е —> 4-0 имеет вид ряда по полуцелым степеням е с гладкими коэффициентами, зависящими от внутренней переменной

С = хе 1!2 и переменной t (см. [79]): оо u{x,t,e) = ^ekl2vk{Ç,t). к=1

В первой главе (содержание которой соответствует работе [5*]) детально исследовано поведение коэффициентов Vk{Ç,t) при t —> —0, то есть при приближении к градиентной катастрофе. Асимптотические ряды, описывающие это поведение, имеют существенно различный вид в следующих трех областях:

D- = {(С, t) : С < -1 < t < 0} (0 < р < 1/2),

D°s = {(СО = ICI < \t\s, "I < t < 0} (0 <5<р), Ц = C>\t\p, — l<t< 0}.

Основной результат первой главы заключается в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 1. Для любого к ^ 1 при t —ï —0 справедливы разлоэюеиия

Vk(Ct) = Vk-(U) + О (ехр {-ЛИ2'"1}), (с,о е £Г, h > о,

Щ оо о = £ \t\ £ ir3fc/2+s+1+m/2^,s,m(0), (С, t) e ni

S=0 771=0

OO

C), m=0 в этих формулах: V^ — это функции из класса С°°(М х (—1,0)), имеющие особенности при t —> —0, порядок которых растет при к —> оо, Rk,s,m — это С™-гладкие функции на оси автомодельной переменной 0 = a Sk,m ~~ это функции из класса С°°(0, +оо), имеющие особенности при ( —> +0, порядок которых растет при к + m —> оо.

Во второй главе на основе результатов первой главы построено и обосновано асимптотическое разложение решения задачи (1)-(2) в окрестности точки перехода линии слабого разрыва (решения предельного уравнения) в сильный разрыв с точностью до любой степени е.

Поведение первых двух коэффициентов полученного асимптотического решения исследовано во всей плоскости растянутых переменных = т = е-^Н.

Делая такую замену переменных в разложениях Теоремы 1 и группируя выражения при одинаковых степенях е и Ins, получим следующие формальные ряды:

ОО [р/2]-1 Е р=2 s=0 оо [Р/2]-1 Е р=2 s=0

00 Ь/2]-1

Е£"/6 Е р=2 5=0

Очевидно, что асимптотику решения задачи (1)-(2) в окрестности начала координат следует искать в виде такого же ряда оо [р/2] —1

И^ = ]>У/6 £ Ь-е^К.г). р=2 в=0

Переписывая уравнение (1) в переменных т и подставляя в него ряд получаем рекуррентную систему уравнений дт2,о , дгп2>о д2и)2,о п дш^р д (^2,0^3,о) д2и>3,о п ( ) дт + ое ' и дшр,8 д д2ыр>3 дЕр,3 дт д? ~ ' где

1 Р-1 а [p/2]-e+l (9)/q\ ч

Ep,s = -^Y^Y,Wm'iwp+2-m>s-i~ Y1 —¡¡г ПwM m=3 /=0 <7=3 pi+-+p9=p+2 j=l

S|H-----= i считается, что при б = [р/2] — 1 сумма по д равна нулю).

Основной результат второй главы заключается в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 2. В классе С°°(М2) существуют решения гир>3 уравнений (*) такие, что при т —> —оо эти решения разлагаются в асимптотические ряды г), т) и г) в областях, соответственно,

0 = {(£,т): т< 0}, {К,г) : £ < о, < г} и {К, г) : г > 0, 1< Зг2 - г«"1}, {(£,т) : е > 0, Ч2-а < т ^ 0}и{(£,т) : Г > 0, 166^ > ЗгЧг0"1}, где

0 < 7 < 1/2, 0 < а < (1 - 27)/(1 - 7) < 1.

Главный член разложения \¥ имеет вид с \ 2 г) -*(«, г) * '

00

Ф(€, г) = / ехр (-|53 + Г52 - <1з, Ь — а — ^ > 0. О

Таким образом, в первых двух главах диссертации методом согласования построено асимптотическое разложение решения и(х,1,е) задачи Коши (1)-(2) для квазилинейного параболического уравнения в виде следующих рядов: внешнее разложение II, разложение V в пограничном слое линии слабого разрыва (решения предельного уравнения), разложение \¥ в окрестности точки перехода слабого разрыва в сильный разрыв. Составное асимптотическое разложение полученное из рядов и, V и V/, по принципу максимума [88] приближает решение задачи (1)-(2) с точностью 0{ем) в полосе, включающей точку опрокидывания волны.

При Ь > 0 вышеуказанное (обобщенное) решение невозмущенной задачи имеет разрыв на линии х = определяемой из условия

Гюгонио ds = (p{uo(s{t) + 0, t)) - ip{u0(s{t) -0, ¿)) dt u0(s(t) + 0,t)-u0(s{t)-0,t) Как известно [22], решение и{х, t, е) возмущенной задачи (1)-(2) сходится к функции uo(x,t) при е —> 0. Для ряда задач была обоснована асимптотика решения u(x,t,£) в окрестности линии х = s(i); она представляет собой разложение по степеням £ и Ine с гладкими коэффициентами, зависящими от внутренней переменной а = (х — s(t))/£ и переменной t.

В третьей главе (содержание которой соответствует работе [7*]) исследовано поведение решения уравнения Бюргерса с малым параметром при старшей производной и негладкой начальной функцией вблизи линии разрыва х = s(t) решения предельного уравнения. Показано, что в этом случае в окрестности зарождения ударной волны асимптотика решения носит сложный характер — она представляет собой многомасштабное разложение.

Основной результат третьей главы заключается в доказательстве следующего утверждения. Теорема 3. В области

Па = {\а\ < t2£4a~\ £l~a < t3 < const, 0 < а < 1} для решения задачи du ди д2и * V , i\ г~\! \ ™ U—= и{х,-1,£) = -(аг + ааГ)в(-ж), xGl, справедлива асимптотическая формула

N-1 и{х, е) = £р/Х(е, С, 0 + 0{£% р=о где х - s(t) , . (3t + 4)3/2 -91-8 . х а = -г-> s{t)==—ЩГП)—' с =

N оо при N -» оо. Главный член этого разлоэ!сепия имеет вид

2 fi(t) h (о-,С,<) =

Г ~C/(2vT+i) ]

1 + 1 f е л / ** — 00 где

4 2у/ЗГГ4 <+3 3 г -> о,

Таким образом, для частного случая уравнения (1) — уравнения Вюр-герса — на основе точного решения построено асимптотическое разложение решения и(х,1,е) в пограничном слое линии сильного разрыва.

Результаты диссертации опубликованы в работах [1*]-[7*].

Автор выражает свою глубокую признательность научному руководителю академику РАН А.М.Ильину за внимание к работе, поддержку и обсуждение полученных результатов.

Автор благодарит всех участников научного семинара отдела уравнений математической физики ИММ УрО РАН за конструктивные замечания и внимание, проявленное при обсуждении данной работы.

1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. // Успехи матем. наук, 1964, т.19, № 3, с.153-160.

2. Бабич В.М. Об асимптотике функций Грина некоторых волновых задач. II. // Матем. сб., 1972, т.87, вып.1, с.44-51.

3. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, 456 с.

4. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974, 125 с.

5. Бахвалов Н.С. Об асимптотике при малых е решения уравнения ut + (tp{u))x = еихх, соответствующего волне разрежения // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1966, т.6, J№ 3, с.521-526.

6. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987, 254 с.

7. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 501 с.

8. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах гиперболического типа с переходными слоями. // Дифферент уравнения, 1986, т.22, № 10, с. 1739-1744.

9. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотической теории контрастных пространственных структур. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т.28, № 3, с.346-361.

10. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968, 464 с.

11. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982, 294 с.

12. Ван-Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967, 310 с.

13. Васильева A.B. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 г.г. // Успехи матем. наук, 1976, т.31, вып.6, с.102-122.

14. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

15. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978, 106 с.1G. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990, 208 с.

16. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // Успехи матем. наук, 1957, т.12, вып.5, с.3-122.

17. Вишик М.М., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями. // Успехи матем. наук, 1960, т.15, вып.4, с.3-95.

18. Гадылыпин Р.Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения, 1986, т.22, № 4, с.640-652.

19. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия. // Матем. заметки, 1992, т.52, № 4, с.42-55.

20. Гадыльшин P.P. Метод сращивания асимптотических разложений в задаче об акустическом резонаторе Гельмгольца. // Прикладная матем. и механ., 1992, т.56, вып.З, с.412-418.

21. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений// Успехи матем. наук, 1959, т.14, вып.2, с.87-158.

22. Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью. // Матем. сб., 1998, т. 189, № 11, с.27-60.

23. Данилии А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи. // Доклады академии наук, 1999, т.369, № 3, с.305-308.

24. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий. // Изв. РАН. Техн. киберн., 1994, К0- 3, с.96-103.

25. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотическое поведение решения задачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных. // Доклады академии наук, 1996, т.350, № 2, с. 155157.

26. Данилин А.Р., Ильин A.M. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия. // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, т.4, № 3, с.905-926.

27. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М: ИЛ, 1962, 895 с.

28. Дмитриев М.Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления. // Дифференц. уравнения, 1985, т.21, № 10, с.1693-1698.

29. Ильин A.M., Нестерова Т.Н. Асимптотика решения задачи Коши для одного квазилинейного уравнения с малым параметром // Докл. АН СССР. 1978. т. 240. № 1. С. 11-13.

30. Ильин A.M. Задача Коши для одного квазилинейного параболического уравнения с малым параметром // Докл. АН СССР. 1985.• т. 283. № 3. С. 530-534.

31. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелыо. I. Двумерный случай. // Матем. сб., 1976, т.99, № 4, с.514-537.

32. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелыо. II. Область с малым отверстием. // Матем. сб., 1977, т. 103, № 3, с.265-284.

33. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1981, вып.6, с.57-82.

34. Ильин A.M. Пограничный слой. // В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.34 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М.: ВИНИТИ, 1988, с.175-214.

35. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989, 334 с.

36. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Успехи матем. наук, 1962, т.17, вып.З, с.3-146.

37. Ильин A.M., Насиров К.Х. Метод согласования асимптотических разложений для одной эллиптической краевой задачи с малым параметром. //В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.8-15.

38. Ильин A.M., Сулейманов Б.И. Асимптотика функции Грина для эллиптического уравнения второго порядка вблизи границы области. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1983, т.47, № 6, с.149-165.

39. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с.

40. Калякин Л.А. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. I. Прямолинейное течение в прямоугольном канале. Сверхпроводящая стенка, перпендикулярная магнитному полю. // Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 4, с.668-680.

41. Калякин Л.А. Метод сращиваемых асимптотических разложений в эекоторых линейных задачах МГД с сингулярным возмущением. //В кн.: Уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.16-43.

42. Калякин Л.А. Асимптотика решения системы двух линейных уравнений МГД с сингулярным возмущением. I. Стандартная задача в эллиптическом слое. // Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 10, с.1724-1738.

43. Карлсроу Г.С. Теория теплопроводности. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947, 288 с.

44. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972, 274 с.

45. Ладыженская O.A. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными. // Вестник ЛГУ, 1957, т.7, № 2, с.104-120.

46. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964, 538 с.

47. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с.

48. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: ГИФМЛ, 19G3. 358 с.

49. Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных. // Диффереиц. уравнения, 1976, т.12, № 10, с.1852-1865.

50. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981, 400 с.

51. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520 с.

52. Мазья В.Г., Назаров O.A. Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981, 206 с.

53. Мазья В.Г., Назаров O.A. Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1984, т.48, № 2, с.347-371.

54. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Из-во МГУ, 1965, 549 с.

55. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1987, 406 с.

56. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988, 309 с.

57. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение дляФ уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976, 296 с.

58. Митропольский Ю.А., Хома Г.П., Громяк М.И. Асимптотические методы исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа. Киев: Наукова думка, 1991, 232 с.

59. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975, 247 с.

60. Назаров С.А. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравне• ния с быстро осцилирующими коэффициентами в прямоугольнике. // Матем. сб., 1991, т. 182, № 5, с.672-722.

61. Найфэ А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976, 455 с.

62. Нестерова Т.Н. О решении параболического уравнения с малым па-рараметром в прямоугольнике. //В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.66-86.

63. Нестерова Т.Н. Метод сращиваемых асимптотических разложений для решения гиперболического уравнения с малым параметром.• // Матем. сб, 1983, т.120(162), № 4, с.546-555.

64. Нестерова Т.Н. Об асимптотике решения уравнения Бюргерса в окрестности слияния двух линий разрыва // Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1980. с.66-86.

65. Новокшенов В.Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями. // Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 10, с.1625-1637.

66. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных. // Матем. сб., 1952, т.31, вып.1, с.104-117.

67. Олейник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. // Успехи матем. наук, 1957, т.12, вып.З, с.3-73.

68. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1987, 375 с.

69. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1957, т.21, с.605-626.

70. Пряжинский В.И., Сушко В.Г. Асимптотика по малому параметру некоторых решений задачи Коши систем для одного квазилинейного параболического уравнения // ДАН СССР, 1979, т.247, № 2, с.283-285.

71. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JI.: Изд-во ЛГУ, 1950, 255 с.

72. Сушко В.Г. Об асимптотических разложениях решений одного параболического уравнения с малым параметром // Дифференц. уравнения. 1985. т. 21. 10. с.1794-1798.

73. Сушко В.Г., Лапшин Б.А. Асимптотические разложения решений некоторых задач, связанных с нелинейной акустикой. // Взаимодействие нелинейных волн в средах без дисперсии. М.: Изд-во МГУ, 1983, с. 118-151.

74. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. // Матем. сб., 1952, т. 31(73), № 3, с.575-586.

75. Тихонов А.H., Самарский A.A. Асимтотическое разложение интегралов с медленно убывающим ядром. // ДАН СССР, 1959, т.12, № 1, с.26-29.

76. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966, 724 с.

77. Треногии В.А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика. // Успехи матем. наук, 1970, т.25, вып.4, с.123-156.

78. Федорюк М.В. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Гельмголъца во внешности тонкого цилиндра. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, т.45, № 1, с.167-186.

79. Федорюк М.В. Уравнения с быстро осцилирующими решениями. //В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. т.34 (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1988, с.5-56.

80. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

81. Фридман А. Уравнения в частных производных параболического типа. М: Мир, 1968, 427 с.

82. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970, 720 с.

83. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М.: Мир, 1988, 247 с.

84. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962,127 с.

85. Eckhaus W. Boundary layers in linear elliptic singular perturbation problem. // SIAM Review, 1972, v.14, № 2, p.226-270.

86. Fraenkel L.E. On the method of matched asymptotic expansion. Parts I-III. // Proc. Cambridge Phil. Soc., 1969, v.65, p.209-231, 233-251, 263284.

87. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = ¡iuxx // Comm. Pure and Appl. Math. 1950. V. 3. N 3. P. 201-230.

88. Prandtl L. Uber Flussingkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. // Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker Kongresses, Heidelberg, 1904, Leipzig, 1905, s.484-491.