Убывание на бесконечности решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Каримов Руслан Халикович

УБЫВАНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

4856115

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 4 0;3 23:1

Казань - 2011

4856115

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Стерлитамакская государственная педагогическая академия им, Зайнаб Биишевой", ГАНУ "Институт прикладных исследований"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Кожевникова Лариса Михайловна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Рамазанов Марат Давидович

кандидат физико-математических наук, доцент Ушаков Владимир Игнатьевич

Ведущая организация: Институт математики

им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 24 февраля 2011 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.018.10 при Казанском федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С текстом диссертации можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан " января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Липачев Е.К.

(

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Поведение на бесконечности решений краевых и смешанных задач для линейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях хорошо изучено. Менее исследованной является эта задача для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений. Данное направление весьма обширно и включает в себя целый класс задач. В настоящей работе для квазилинейных эллиптических уравнений при удалении аргумента на бесконечность и для квазилинейных параболических уравнений при больших значениях времени исследована скорость убывания решений в зависимости от геометрии неограниченной области.

Изучением поведения на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений занимались O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян, Е.М. Лан-дис, Г.П. Панасенко, В.А. Кондратьев, И. Копачек, Д.М. Леквеишвили, O.A. Олейник, Ф.Х. Мукминов, Л.М. Кожевникова и др.

O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян1 установили оценки сверху скорости убывания на бесконечности решений краевой задачи для линейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях. Л.М. Кожевникова2 получила оценки решений задачи Дирихле для уравнений высокого порядка в более широком классе областей с некомпактными границами и доказала их точность для областей вращения в случае уравнений второго порядка. Для квазилинейных эллиптических уравнений исследования в этом направлении до сих пор не проводились.

А. К. Гущин положил начало изучению поведения решений смешанных задач с начальной функцией, ограниченной в одной из Lp - норм, для параболических уравнений в неограниченных областях. Для линейного параболического уравнения второго порядка в широком классе неограниченных областей в терминах простой геометрической характеристики (мера пересечения области лежащей в основании цилиндра, с шаром радиуса г) А.К. Гущиным3 установлены точные оценки решений второй смешанной задачи.

1 Олейник O.A. Иосифьян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптического уравнения второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. - 1980. - Т. 112(154). - №4(8). - С. 588-610.

Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальяых эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. - 2008. - Т. 199. - №8. - С. 61-94.

3Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. - 1976. - Т. 101(143). - №4(12). - С. 459-499.

Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t —» оо посвящены работы A.B. Лежнева, В.И. Ушакова, Ф.Х. Мукминова, J1.M. Кожевниковой, И.М, Биккулова, В.Ф. Гилимшиной и др.

А,Ф. Тедеев4 получил оценку сверху ¿г-нормы решения первой смешанной задачи для параболического слабо нелинейного уравнения высокого порядка в дивергентной форме. Ранее, аналогичный результат для линейного параболического уравнения высокого порядка был установлен Ф.Х. Мукминовым5. Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминовым6 в более широком классе неограниченных областей для полулинейных параболических уравнений второго порядка получены оценки сверху и доказана их точность в классе областей вращения.

А.Ф. Тедеевым7 для решения первой смешанной задачи в случае модельного квазилинейного параболического уравнения в дивергентной форме установлены оценки сверху, не зависящие от геометрии неограниченной области.

Следует отметить, что для квазилинейных параболических уравнений оценка, характеризующая зависимость скорости стабилизации решения первой смешанной задачи от геометрии неограниченной области, ранее не была установлена в общем виде.

Цель работы:

• исследование поведения на бесконечности решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченных областях Q в зависимости от геометрии О;

• изучение зависимости поведения при больших значениях времени решений первой смешанной задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка в цилиндрических областях D = {t > 0} х Q от неограниченной области П, лежащей в основании цилиндра.

4Тедеев А.Ф, Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравения. - 1989. - Т. 25, - №3. - С. 491-498.

йМукмннов Ф.Х, Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, - №10. - С. 1172-1180.

Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х, Оценки скорости стабилизации при t —* оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка / / Матем. сб. - 2000. - Т. 191. - №2. - С. 91-131.

7Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат, журн. - 1992. - Т. 44. - ЛЧ0. - С. 1441-1450.

(

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично.

1. Для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка получены оценки скорости убывания на бесконечности решений задачи Дирихле с финитными данными в областях с некомпактными границами. В широком классе областей вращения впервые установлена точность этих оценок.

2. Для квазилинейных параболических уравнений второго порядка установлены оценки скорости стабилизации при больших значениях времени решений первой смешанной задачи с финитной начальной функцией и доказана их точность. Показано, что в нелинейном случае убывание решений имеет степенной характер, в то время как в линейном случае может быть экспоненциальным.

Методика исследования. Для исследования поведения на бесконечности решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка использован метод, который основывается на разбиении неограниченной области на ограниченные части. Выделение таких частей связано с построением точных оценок первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора через геометрические характеристики области.

Точность оценок, характеризующих скорость убывания решений рассматриваемых задач, доказывается с помощью неравенства Гарнака.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в качественной теории эллиптических и параболических уравнений. Разработанные в диссертации методы могут применяться при расчетах диффузионных и тепловых процессов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором и обсуждались на семинаре по дифференциальным уравнениям кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии, семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Института прикладных исследований АН РБ, семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета, семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского федерального университета, а также на следующих научных

конференциях: "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2007), "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2007), "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна" (Воронеж, 2008), "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Эльбрус, 2008), "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященной 80-летию академика В.А. Ильина (Стерлитамак, 2008), "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2010), "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", посвященной 110-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010), "Лобачевские чтения - 2010", посвященной 50-летию механико-математического факультета Казанского университета (Казань, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [11]. Из совместных работ [7]- [11] Л.М. Кожевниковой принадлежат постановки задач.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 84 наименования. Нумерация теорем, лемм, утверждений, предложений, следствий, замечаний, формул ведется отдельно в каждой главе. Общий объем диссертации — 104 страницы.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю Л.М. Кожевниковой за предложенную тематику исследований, полезные замечания, постоянное внимание к работе и поддержку-

Краткое содержание диссертации

Во введении даётся обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

Прежде чем перейти к формулировке результатов диссертации введем некоторые обозначения. Через О будем обозначать область пространства Е„ = {х = (зс1, хг,.. ■ ,х„)}, п > 2. Положим: || • ||Р)<з — норма в пространстве Ьр{0), причем значения р = 2, <3 = П опускаются; 5 = {Ъ > 0} х дО.\ 9.Ц - {х е О | п < ху < г2}, значения г\ = 0, г2 = оо могут опускаться; 7Г == {х е Л | х\ = г}.

Л.М. Кожевниковой8 для областей с некомпактными границами предложено новое понятие, называемое А-разбиением, которое позволяет получать точные оценки решений краевых задач для линейных эллиптических и параболических уравнений. Это понятие является обобщением понятия А - последовательности, введенного ранее9 для областей, расположенных вдоль выделенной оси Ох\, где показано, что использование этой геометрической характеристики позволяет в ряде случаев устанавливать более сильные результаты, чем ранее известные. В настоящей работе техника А-разбиений адаптирована на некоторый класс квазилинейных операторов.

Предполагается, что неограниченная область П С Мп представлена в

00

виде объединения = и П-л') последовательности вложенных П^ С

N=0

ограниченных областей, удовлетворяющих следующим требованиям. Дополнения = А(ЛГ)\П(ЛГ-1) распадаются на конечное число

__р'

связных компонент г = : = и N = 1,оо. Пе-

_ ¿=1

ресечения N = 0, оо, представляют собой конечное

число липшицевых гиперповерхностей = (~| (¿^ ф 0 могут быть несвязными), г = N = 1,оо.

Для множества С О. введем обозначение

5(х) е ¿70°°(О), ||<?||тп+1,<2 = 1

Определим векторы № = ..., ) и А™ = (А^,..., А™) формулами ^ = (Кз^.Д^-Ц), где ^ ^ = д4М) П + 0, А-^ — А{ш-Л'}, г = N — 1,оо. Будем предполагать, что существует число в > 0 такое, что выполняются неравенства

1 < ¿ = 1^0, = (1)

оо

Описанное выше представление П = и при выполнении нера-

ЛГ=0

венств (1) будем называть А-разбиением области П.

Кожевникова Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псевдоднф-ференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами // Уфимский матем. журн. - 2009. - Т. 1. - №1. - С. 38-68.

Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. - 2005. - Т. 196. - №7. - С. 67-100.

Для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси Охх (сечение 7Г не пусто при любом г > 0), множества = можно определить с помощью неограниченной возрастающей последовательности положительных чисел При этом последовательность {-гд^^о называется Л - последовательностью, а условие (1) для

оо

разбиения П = у принимает вид

1 < 0\(гы-и г*г)ДЗ}+1, Ал = ^ - гц-и N = Т^Б, (2)

где Л(гьг2) = А{П£}, п < г2.

Глава I имеет вспомогательный характер, в §1.1 приводятся неравенства, используемые в последующих параграфах, в §§1.2, 1.3 установлены свойства и приведены примеры построения Л - последовательностей. По сути эти параграфы посвящены распространению результатов Л.М. Кожевниковой с линейного на квазилинейный случай.

Приведем необходимое и достаточное условие существования А - последователь ности:

для любого г 1 > 0 найдется г2 > г\ такое, что А(гь гг) > 0.

При этом А-последовательность можно построить начиная с любого 20 > 0.

Рассмотрим область вращения

ВД = {(хьх') € М„ I X! > 0, |х'| < /(ц)} (3)

с положительной функцией /(х\) < оо. От функции / требуется только, чтобы множество П(/) было областью.

Для областей вращения вида (3) приведем способ построения А - последовательности. Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {г.у}дг=0 назовем П-последовательностью функции /, если справедливы равенства

го = 1, г^ = зир<г т£ /(х) > г — г^-г ?, ЛГ = 1,оо.

^ I [гл/-1,г) J

Эту последовательность назовем П - последовательностью функции /. Установлено, что П - последовательность функции / является А - последовательностью для области Г2(/).

Если существует постоянная и) > 1 такая, что

8ир{/(г)\г€[х-/(х),х + /(х)}}<ш/{х), х > 1, (4)

то справедливы неравенства ,-2

1

__1 . 2ЛГ+1 ~

о>

и)~ N < / -гу-г < N. N = 0,00,

а=1 а=1

с однородным граничным условием

гдг-г^-!

Приведем результаты главы II, установленные для решений задачи Дирихле в случае квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка

п п

£>а(х, = ^(Фа(х)к, X € П; (6)

=1

= 0- (7)

Предположим, что функции, входящие в уравнение (6) удовлетворяют следующим требованиям. Функции аа(х, £), а = 1,п, измеримы по х е П и для всех г] <£ Е„ при п.в. х £ П подчиняются условиям:

71

^Ы^О-аа^^^-^^Щ-пГ*1, т> 1; (8)

а—1

|а(х,0 - а(х, ?7)| < о|£ - т?|(|£| + М)т~\ а = (аь ..., а„); (9)

аа(х, 0) = 0, а = Т~п, (10)

с положительными числами а, а.

Очевидно, функции аа(£) = |£|т_1£а, а = 1,п, удовлетворяют условиям (8) - (10) и уравнение (6) принимает вид

Е =¿(Фа(Х)к,

а—1 а=1

В §2.1 доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи (б), (7).

Далее, приведем результаты, характеризующие скорость убывания решения задачи (6), (7) на бесконечности в областях с некомпактными границами в зависимости от их геометрических свойств. Чтобы ограничить влияние вектор-функции Ф(х) = (Фх(х),..., Ф„(х)) на поведение решения, будем считать, что Ф имеет компактный носитель:

зиррФсГ2(0). (11)

В п. 2.2.1 получены оценки сверху решения задачи (6), (7).

оо

Теорема 2.6. Пусть для области ft существует Л -разбиение ft = |J

jV=0

и выполнено условие (11). Тогда найдутся положительные числа кт (О,а, а), Мт(9,а,а, ||Ф||(т+1)/т) такие, что для решения и(х.) задачи (6), (7) при N > О справедливы оценки

l|Vtx||ra+1AflW < Mmexpi-KmN), (12)

IML-м n(JV+l> ^ Mm max t|W1exp(-iimjV). (13)

Оценки (12), (13) зависят от представления ft = (J Задача

N=0

оптимизации Л - разбиения достаточно сложная и здесь не решалась, однако для Л - последовательностей этот вопрос рассмотрен. Для областей, расположенных вдоль оси Oxi, в случае, когда разбиение осуществляется с помощью А - последовательности °Денкн (12), (13) принима-

ют вид

||Vu||m+lii4 < Mmexp(—KmN), (12')

IML+i,n$+1 < MmAN+lexp{-KmN). (13')

Установлено, что оптимальной является Л-последовательность с минимально возможными интервалами (zs-i, zn), при которых условия (2) Не нарушаются. Если выполнено условие (4), то П-последовательность (z/v}w=o является оптимальной А - последовательностью для области

ад.

Следствием теоремы 2.6 для областей вращения ft(/) вида (3) с функцией /, удовлетворяющей условиям

lim М = о, (14)

г—»оо Г

f(x) >1, X > 1, (15)

является оценка

IML+W+V) - М™ехР ^-«m j jjrjyj , г > R. (16)

В области ft(/*) с функцией f*(x) = х°, 0 < а < 1, х > 0, для решения задачи (6), (7) справедлива оценка

IML+1,n?«(/-) ^ м* ехР (-«V1-0), г > л*. (160

В области П(/") с функцией/** (г) = е, 0 < х < е, Г*(х) = х/\пх, х > е, для решения задачи (6), (7) установлена оценка

Ци|1т+1,п;+1(/») < М** ехр (-К» 1п2 г) , г > Д**. (162)

В п. 2.2.2 для решения задачи (6), (7) получены оценки снизу, подтверждающие точность оценок (12'), (13').

Теорема 2.7. Пусть П - последовательность {"Л'}/^ функции /(х), х > 0, удовлетворяет условию (5) и выполнено требование (11). Тогда для неотрицательного решения и(к) задачи (6), (7) в области вращения Г2(/) существуют положительные числа Кт(р,п, а, а), цт(п,а,а, /, Ф) такие, что для N > 2 справедливы неравенства

1М1т+1,^+1(/) ^ МпАЛГ+1 ехр(-^тЛГ),

Н^«||т+1Ля(/) > ртехр(-Кт^.

Кроме того, для неотрицательного решения м(х) задачи (6), (7) в области вращения 0(/) с функцией /, удовлетворяющей условию (4), получена оценка

IML+W+'C/} - Мтехр ( -Кт J "Т7~Т ] , Г >Г.

dx

ш

В частности, для неотрицательных решений задачи (6), (7) в областях П(/*), П(/**) справедливы неравенства

'!и!Ц+1,п;:+1(/*) ll«IL+i,«-'(/••) ^ ехР г)' г ^

которые доказывают точность оценок (16i), (I62), соответственно.

Далее сформулируем результаты главы III, касающиеся первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка

п

ut = 53(ae(tfx,Vu)),e (*,х) € D; (17)

^//expf-irr1-"), r>r*,

Q=1

«(i,x)s = 0; (18)

Ц0,х) = ^(х), <p(x) 6 La(n). (19)

Предполагается, что функции, входящие в уравнение (17), удовлетворяют следующим требованиям. Функции aa(t. х, £), а = 1,п, измеримы по (í, х) £ D и для всех £ ®,г при п.в. (t, х) £ D подчиняются условиям:

п

^(ae(í,x>0~aa(tlx,j?))($e-íb)>S|$-77|m+1, т> 1; (20)

о=1

<a|e-»?l(ie| + МГ~\ a = (аь ... ,а„); (21)

aa(í, X, 0) =0, а = T~ñ. (22)

Функция a(í,x, s) измерима по (t,x) С D и для всех s.r G S при п.в. (í, х) £ D подчиняется условиям:

(a(t, х, s) — a(t, х, г)) (s — г) > 0; (23)

|«(í,x, s)-a(t,x, r)| < a|s-íÍ(H+H)4"-1> m < qt < q, q — +

(24)

a(f,x, 0) = 0. (25)

Здесь a, a, a — положительные числа.

Очевидно, функции aa(£) = а = l,n, a(s) = Isl7*-^ удо-

влетворяют условиям (20)-(25) и уравнение (17) принимает вид

ut = ¿(¡Vur1uXa)Xa-lu¡«'-1u. (17')

a—l

Следует отметить, что в случае a(t,x, и) = 0 уравнение (17) запишется в виде

п

Uí = SWí,X,Vu))x<l. (26)

a=l

В §3.1 доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи (17)-(19).

В §3.2 установлены оценки L^ít) - нормы решения задачи (17)- (19), характеризующие скорость убывания решения при t —* оо.

А.Ф. Тедеевым10 изучалась допустимая скорость стабилизации решения первой смешанной задачи для квазилинейного параболического

'"Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. - 1992. - Т. 44. - ДЧО. - С. 1441-1450.

уравнения высокого порядка частного вида. С целью полноты изложения следуя цитированной работе в п. 3.2.1 для неотрицательного решения задачи (17'), (18), (19) с финитной неотрицательной функцией ц> установлена оценка

1К*)||>1И№)« + 1Г1/(т-1), *>о. (27)

Заметим, что наилучшая скорость убывания решений ¿-1/(т-1) может достигаться в сужающихся неограниченных областях. Например, для решения задачи (17)—(19) в области П(/) с функцией /(х) = х~а, а > 1/(п — 1), х > 0, справедлива оценка

ШЛ

< Ii"1/'"1-11, тп > 1, t > 0.

В п. 3.2.2 получены оценки сверху, характеризующие скорость убывания решения задачи (17)- (19) при |х| —> оо. Предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель такой, что

supp <р С П(0). (28)

Будем считать, что выполнено условие

Л(0) = Л {ii(0)} > 0. (29)

Теорема 3.3. Пусть для области П существует А - разбиение fl =

оо

и выполнено условие (28). Тогда найдутся положительные чис-N=О ^ л

ла кт(а,а,в), М(т,а,а,в) такие, что решение u(t, х) задачи (17) - (19) при всех t > 0, N > 0, удовлетворяет оценке

1Н*)!1п\п<»> < Me~*"NM. Для т > 1 определим последовательность

Fm(N) = 1/ Inf {||| ff(x) e C0°°(Q), \\g\\aw = l} , N = ÜT^.

Пусть Nm(t),m > 1, ATi(t) — произвольные неотрицательные функции, удовлетворяющие, соответственно, неравенствам

Fm(Nm(t)) ехр{кт(т - 1 )Nm(t)) >t, m > 1, t > 0;

ВДВД(*))<*, t> о.

Например, можно положить

Nm(t) = min {N € 0, оо | Fm(N) ехр(кт(т - l)N) > t} , m > 1, t > 0; Nx{t) = max {N € Ü~öö | NFX{N) < t} , t> 0.

oo

Теорема 3.4. Пусть для области О, сущехтвует Х-разбиепией = (J

Л'=0

и выполнены условия (28), (29). Тогда найдутся положительные числа ki(e,ä,a), Мт(в,а,а, ||^[[) такие, что для решения u(t, х) задачи (17)-(19) справедливы оценки

при т> 1 ||u(t)|| < M^^F^-^iNmit)), t> О, (30)

при т= 1 \\u(t)\\ < Miexp(-kiNi(t)), t> 0. (31)

Заметим, что практически всегда можно устроить разбиение с выполнением условия; существует b > 0 такое, что

Fm{N)<Cexp{bN), N> 0. (32)

Если выполнено условие (32), то для t > 0 можно положить ехр(JVm(t)) = fVWm+l)+«n.(m-l))) m > 1;

ехр(М(«))=*1/(2Н,е). ее (0,1), и оценки (30), (31) принимают вид

iiu(i)|| < MmrK'"/(6(m+1)+K^m-1)), т>1, t > 0; (33)

||«(i)|| < Mri,/(Ät<» т=1, i>0. (34)

Если определить множества = {х е Rn ! > 0, |х| < 2Л'}, N =

_ 00

О, оо, то П = (J является Л - разбиением полупространства =

N=О

{х 6 R„ | ц > 0}. При этом справедливы неравенства (32) и имеют место оценки (33), (34).

Если же выполнено условие

.. In Fm{N)

Ä-lv-^0' (35)

то можно выбрать

exp{Nm{t))=t1/Mm-^\ т> 1, t > О, (36)

и оценка (30) принимает вид

\НЬ)\\ьт < т>1, ££(0,1), t>0. (37)

Выбор функции Лгт(£) формулой (36) является оптимальным, поскольку оценка (37) имеет показатель степени близкий к показателю 1 /(т — 1) оценки снизу (27).

Предположим далее, что функция / удовлетворяет условию:

lim

г—оо In

1

г

1 f dx .„„.

Очевидно, что требование (14) является достаточным для выполнения (38). Для областей вращения, удовлетворяющих условию (14), справедливо соотношение (35). Таким образом, для областей вращения, удовлетворяющих условию (14), выбор функции Nm(t), т > 1, формулой (36) оправдан и справедлива оценка (37). Однако, для областей вращения можно получить более тонкие оценки.

Пусть V(p, z) = {(£1,2:2) € R2 I z < xi < z+p, 0 < < p} — квадрат со стороной p и левой нижней вершиной в точке 2 оси абсцисс. Для положительной функции f(xx), х\ > 0, символ T\(f) будет обозначать криволинейную трапецию

Г[(/) = {(®1,Я2) € R2 | 1 < < Г, 0 < ®2 < f(xi)}.

Через р*(г) обозначим сторону наибольшего квадрата V{p*, z*), содержащегося в Г J (/).

Определим функцию ri(i), t > 0, равенством

п

/dx t

Ш = Ш)' [ }

1

г

/dx

-77—г, г > 1, равенство (39) одно-

f(x)

1

значно определяет монотонно возрастающую функцию r\(t), t > 0.

Следствием теоремы 3.4 для областей вращения вида (3) являются следующие оценки

при т> I ||u(i)|| < Mmrl/{m-1]gm(t), t > 1; (40)

при т — 1 ||и(£)|| < М\ехр I — к\ J

п№ \

¿х

. №. 1 /

t > 0, (41)

где функция дт{Ь) растет медленнее любой степенной функции Р, 7 > 0.

В области П(/*) для решения задачи (17)- (19) оценки (40), (41) принимают вид

|Кг)|[П(/.) < М^^Ш)^1-^, т> 1, « > е,

то + 1 п-1 1 (40г)

7П — 1 / 2

||«(01|П(/.) < ^ ехр , то = 1, *>0. (411)

В области П(/**) для решения задачи (17)- (19) оценки (40), (41) принимают вид

1К011п(/") < МХГ^-'Цшу^ехр , т > 1, г > е,

то + 1 п — 1

а =-- + ——, (? > 0;

то - 1 2

(402)

11«(*)11п{/") < МГетр (-ЛГ(Ь02) » т = 1, « > 1. (412)

В п. 3.2.3 для широкого класса областей вращения доказана точность полученных оценок для уравнения (26) при то = 1. Теорема 3.5, Пусть П - последовательность {¿¿у}^о положительной функции /(х), х > 0, подчиняется неравенствам (5). Тогда для неотрицательного решения х) задачи (26), (18), (19) при то = 1 в области £>(/) = > 0} х П(/) существуют положительные числа (а,а,/, п, такие, что при £ > ¿1 справедливо

неравенство

1К*)||П(/)>м1ехр (-яда*)).

Из теоремы 3.5 следует, что оценка (31) для неотрицательного решения задачи (26), (18), (19) при т = 1 в области -0(/) для широкого класса областей вращения П(/) является точной.

Кроме того, для неотрицательного решения «(¿,х) задачи (26), (18), (19) при то = 1 в области £>(/) с функцией /, подчиняющейся условиям (4). (38) установлена оценка

^пМ \ / ^

доказывающая точность оценки (41).

В частности, для неотрицательных решений и(Ь,х) задачи (26), (18), (19) при т. = 1 в областях £>(/*), £)(/**) справедливы неравенства

||«(0 ||п(/.) > ехр , Ь > £*,

1М*)||П(/») < дГ ^Р (-^Г(1п ¿)2) , Ь > Г, доказывающие точность оценок (41х), (412), соответственно.

Публикации по теме диссертации

[1] Каримов, Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейного эллиптического уравнения в неограниченной области. / Р.Х. Каримов // Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара: Из-во "Универс групп", 2007. - С. 65-66.

[2] Каримов, Р.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка. / Р.Х. Каримов // Тезисы докладов Всероссийской школы-конференции для студентов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естесствознаниии". - Уфа: РИО БашГУ, 2007. - С. 23-24.

[3] Каримов, Р.Х. Поведение при больших значениях времени первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка. / Р.Х. Каримов // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна. - Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 64-66.

[4] Каримов, Р.Х. Поведение при больших значениях времени первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка. / Р.Х. Каримов // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г Крейна. - Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 143-152.

[5] Каримов, Р.Х. Теоремы существования и единственности задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в неограниченной области. / Р.Х. Каримов // Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". - Эльбрус: КБГУ, 2008. - С. 212-213.

[6] Каримов, Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений в областях с некомпактной границей. / Р.Х. Каримов // Труды международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". - Уфа: Гилем, 2008. - С.116-120.

[7] КаримовР.Х. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях. / Р.Х. Каримов, Л.М. Кожевникова // Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара: СамГТУ, 2010. - С. 140-143.

[8] Каримов, Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях. / Р.Х. Каримов, Л.М. Кожевникова // Уфимск. матем. журн. - 2010. - Т. 2. - №2. - С. 53-66.

[9] Каримов, Р.Х. Убывание решений квазилинейного параболического уравнения в областях с некомпактными границами. / Р.Х. Каримов, Л.М. Кожевникова // Труды Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", посвященная 110-летию академика М. А. Лаврентьева. - Новосибирск: Институт гидродинамики, 2010. С. 29-30.

[10] Каримов, Р.Х. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами. / Р.Х. Каримов, Л.М. Кожевникова // Матем. сб. - 2010. -Т. 201. - №9. - С. 3-26.

[11] Каримов, Р.Х. Точные оценки решений квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченной области. / Р.Х. Каримов, Л.М. Кожевникова // Труды международной молодежной научной конференции "Лобачевские чтения - 2010". - Казань: КФУ, 2010. - С. 160-164.

Подписано в печать Формат 60 х 84i/16. Гарнитура "Times". Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № £ Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

Введение

1. Л - последовательности и их свойства

1.1. Неравенства.

1.2. Л - последовательности.

1.3. П - последовательности.

2. Задача Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений

2.1. Корректность постановки задачи Дирихле.

2.1.1. Существование решения.

2.1.2. Единственность и непрерывная зависимость решения от правой части уравнения.

2.2. Поведение решения на бесконечности.

2.2.1. Оценки сверху

2.2.2. Точность оценок.

3. Первая смешанная задача для квазилинейных параболических уравнений

3.1. Корректность постановки первой смешанной задачи

3.1.1. Единственность решения

3.1.2. Существование решения.

3.2. Убывание решения при t —> оо.

3.2.1. Допустимая скорость убывания решения

3.2.2. Оценки сверху.

3.2.3. Точность оценок Литература

Работа посвящена фундаментальной проблеме изучения качественных свойств решений краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка в неограниченных областях. В частности, в диссертации исследуется поведение на бесконечности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в неограниченных областях Q С = {х = (жъ Х2, ■ • ■, жп)}, п > 2, и первой смешанной задачи для параболических уравнений в цилиндрических по временной координате областях D = {t > 0} х Данное направление весьма обширно и включает в себя целый класс задач. В настоящей работе для квазилинейных эллиптических уравнений при |х| —> оо и для квазилинейных параболических уравнений при t —» сю исследована скорость убывания решений рассматриваемых задач в зависимости от геометрии неограниченной области Q.

Обзор результатов по названным направлениям исследований будет проводиться в той последовательности, как они приведены выше. При этом работы других авторов не будут подробно цитироваться, поскольку это привело бы к неоправданному увеличению объема введения. Исключение могут составить лишь результаты, наиболее близкие к полученным в диссертации, когда необходимо привести их сравнение.

Изучением поведения на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений занимались O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян [49], Е.М. Ландис, Г.П. Панасенко [42], В.А. Кондратьев, И. Копачек, Д.М. Лекве-ишвили, O.A. Олейник [37], Л.М. Кожевникова [33], В.Ф. Гилимшина, Ф.Х. Мукминов [6] и другие.

В работе O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна [49] изучался вопрос о поведении на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений в областях с некомпактной границей при |х[ —» оо в зависимости от геометрических свойств области и поведения функции, стоящей в правой части уравнения, при |х| —оо. В частности, в работе [49] для области О С лежащей в полупространстве х\ > 0 с непустыми ограниченными при любом г > 0 сечениями 7Г = {х = (я^х') 6 ( х\ = г} установлено, что решение задачи Дирихле для уравнения п

Y^ (<м(х) иХр)Ха = Ф(х) (0.1) а,/3=1 с финитной функцией Ф(х) при любом г > Tq и е 6 (0,1) удовлетворяет оценке

J A(xi)u2dx. < J A{u)dx < Cexp i -(1 - г) J A 1^{x1)dx1 I , С > 0. ílrr+1 [ r/2 J n

Здесь A(g) = E o-ap{p^9xa9x0, = (x = ОъхО £ & I r < xi < a,/3=1

00 r + 1}, A(r) — измеримая на (0, oo) функция такая, что f A 1//2(r)dr = оо 1 и

О < А (г) < vA(r) = inf \J A(g)dx.' g(x) e J g2dx' = 1 I , r > 0.

V7r 7r )

JI.M. Кожевникова [33] получила оценки решений задачи Дирихле для уравнений высокого порядка в более широком классе областей с некомпактными границами и доказала их точность для областей вращения в случае уравнений второго порядка.

Имеется ряд работ (см., например, работы Е.М. Ландиса [41], Ю.В. Егорова, В.А. Кондратьева, O.A. Олейник [17], A.B. Иванова [20], A.A. Конькова [38]), в которых исследуется поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в неограниченных областях в зависимости от вида нелинейных функций, входящих в оператор.

Для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка

-1)1а| £>"а«(х, и, Du,., Dpu) = ^ р > 1,

Щ<р |а| <р а где Иа = -а = ., а-п), \а\ = +. + ап, в неограниченных областях с некомпактными границами А.Е. Шишковым, А.Ф. Тедеевым в работах [58], [62] установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле. На их основе доказываются альтернативные теоремы типа Фрагмена - Линделефа о поведении решений на бесконечности.

Каратеодориевы функции в*(х, £),<£ = (£(0), ., <£(г'} = (Ф), |а:| = г, удовлетворяют неравенствам

Мх.Й^а^^П а>0, ш> 0, а|<р |3|<р а\ =р \Щ=Р

В качестве геометрической характеристики неограниченной области С используется функция нелинейной частоты сечений ит{г): ит(г) = ц* | I IУ70|т+1Ж» Р(х) е I \д\т+Чз I , г > 0, гС'") J где — проекция \7д на плоскость, касательную к 7(г) (например, 7(г) = {х 6 | |х| = г».

Отметим, что автору настоящей работы не известны результаты для квазилинейных эллиптических уравнений, в которых исследуется зависимость поведения решений на бесконечности от геометрии неограниченной области.

В диссертации для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка получены оценки, характеризующие скорость убывания на бесконечности решения задачи Дирихле с финитными данными и установлена точность этих оценок в широком классе областей вращения.

А.К. Гущин положил начало изучению скорости убывания при больших значениях времени решений смешанных задач с начальной функцией, ограниченной в одной из Ьр - норм, для параболических уравнений в неограниченных областях. Для линейного параболического уравнения второго порядка в широком классе неограниченных областей в терминах простой геометрической характеристики v{r) = mes f2(r), Щг) = {х G ii | |x| < r} в работах [10], [12] A.K. Гущиным установлены точные оценки решений второй смешанной задачи.

Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t —> оо посвящены работы A.B. Лежнева [45], В.И. Ушакова [60], [61], Ф.Х. Мук-минова [47], [48], Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминова [30], [32], И.М. Биккулова, Ф.Х. Мукминова [1], В.Ф. Гилимшиной [5] и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [29], [30]. Здесь остановимся лишь на некоторых результатах для квазилинейных параболических уравнений.

А.Ф. Тедеев [53] получил оценку сверху ¿2-нормы решения первой смешанной задачи для параболического квазилинейного уравнения вып

0.2) a,ß=l сокого порядка в дивергентной форме щ + (~1)р х, и, Du,., Dpu) = 0, р > 1, (t,x) G D.

Ц=р

0.3)

Здесь <%(£, х, £) — каратеодориевы функции, удовлетворяющие условиям 0, т>1, р |а|=р

Y, <%(«. х, t)&> > s £ iç^r1, s> о, щ=р n=p

И=Р для любого вектора £ - (£(°), £(*),., £&>)), = (¿*}), \а\ = г. Для решения (ограниченного при т > 1) уравнения (0.3) с граничным условием

Dau(t,x) 0, |а?| <р— 1; и начальным условием с финитной функцией </?(х) м(0,х) = </?(х), <р(х) Е £г(&) для I > 0 при г > Го установлена оценка г Го)р(Ш+1)1 1/(Р(™+1)-1)'

0.4)

0.5)

К^И^ВДг)) < Ciexp < -6i

0.6)

На основе неравенства (0.6) для т = 1 при достаточно больших t получена оценка

K£)IU2(ÎÎ) < Сгехр } -Ьг r2?(ty 1/(2р-1Г V, t

Здесь и ниже все константы (С*, Ьг и др.) положительны. Функция г(£), t > 0, определяется из равенства А2р-1(г)£2 = г2; А(г), г > 0, — первое собственное значение задачи Дирихле для оператора — А в О(г). Ранее, аналогичный результат для линейного параболического уравнения высокого порядка был получен Ф.Х. Мукминовым [48].

При т > 1 в работе [53] показано, что для ограниченного решения задачи (0.3), (0.4), (0.5) в области вращения

ОД = {(si,:>0 eRJai >0, М </(*!)} (0.7) с функцией f(xi) = xf, а > 0, при достаточно больших t имеет место неравенство

При этом положительный показатель а определяется постоянными n, а, т, р (точное значение не приводится).

А.Ф. Тедеевым в работе [56] для решения задачи ut + (-1)" Y1 Dpu\m-lD«u) = 0, р > 1, т > 1, (t, х) 6 .D, =р

0-8)

0.4), (0.5) при t > 0 установлены оценки сверху ыт^п) < СаГ13, п < р(т + 1); (3 = п{п(т - 1) + 2(m + ОД"1;

IKOIIm«) < «-(r"2)/3/r, n > p(m + 1), r > 2.

Следует отметить, что последняя оценка является тривиальной при г = 2. Поэтому можно ожидать, что она не является точной и при других значениях г.

J1.M. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминовым [29] в широком классе областей с некомпактными границами в терминах двух геометрических характеристик Л (г), V\ (г) получена оценка решения первой смешанной задачи для слабо нелинейных систем и доказана ее точность. Сформулируем результат для полулинейного уравнения частного вида п ut=Y< Mt^)uXp)Xa-\u\(^u, q* > 1, (i,x) G D{f) = {t > 0 }xQ(/). a,/3=1

В широком классе областей вращения вида (0.7) для неотрицательного ограниченного решения задачи с неотрицательной ограниченной начальной функцией (х) для достаточно больших t справедливы неравенства

4х

С6 ехр I -Ь3 [ I < вир иН, х) < С? ехр -Ь4 [

I У /(ж) ) хещл •/

V 1 /

Здесь функция £ > 0. определяется из равенства Л(/?)£ = ] у/щ (г) йг. 1

В работе [57] для областей конкретного вида А.Ф. Тедеевым получены двусторонние оценки в равномерной метрике решения первой смешанной задачи многомерного уравнения пористой среды. В работах [54], [55] рассматривались вторая и третья смешанные задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка и получены точные оценки скорости стабилизации решений при £ —> со. Отметим еще, что большое число работ посвящено исследованию скорости убывания решения задачи Коши для нелинейных параболических уравнений (см., например, [13] и имеющиеся там ссылки).

Основная идея из работы Ф.Х. Мукминова [47] получения оценки сверху решения первой смешанной задачи для линейного параболического уравнения в неограниченной области заключается в следующем. Сначала устанавливается оценка убывания решения по мере удаления на бесконечность области О. Затем, для фиксированного значения t, выбирается ограниченная часть области Г2 за пределами которой решение "пренебрежимо мало и в этой ограниченной части устанавливается оценка убывания решения по времени. В настоящей работе такой же метод применяется для квазилинейного уравнения.

В диссертации для квазилинейных параболических уравнений второго порядка получены оценки скорости стабилизации при больших значениях времени решения первой смешанной задачи с финитной начальной функцией и установлена точность этих оценок в широком классе областей вращения.

Прежде чем перейти к формулировке результатов диссертации введем некоторые обозначения. Через Г2 будем обозначать область пространства

Mn, n > 2. Положим: || • \\p}q — норма в пространстве LP{Q), причем значения р = 2, Q = Cl опускаются; MJ = {х Е Mn | х\ > 0}; S = {t > О}х0Г2; = {х е Шп | п < Ж! < r2}, = {х € q | п < хг < г2}, при этом значения ri = 0, Г2 = оо опускаются; = (ti, ¿2) х значения ¿1 = 0, ¿2 = оо могут быть опущены; 7r = {х £ | .-ci = г}; B(r,z) — шар радиуса г с центром в точке z, значение z = 0 опускается.

Для краткости изложения могут использоваться обозначения: (s,r) = f srdx, (£, 77) = f £ ■ rjdx, для функций s, г, rj со значениями в R, Rn, о о соответственно.

J1.M. Кожевниковой [34] для областей с некомпактными границами предложено понятие, называемое А-разбиением, которое позволяет получать точные оценки решений краевых задач для линейных эллиптических и параболических уравнений. Л-разбиение является обобщением понятия Л - последовательности, введенного ранее в работах [30] - [33], [35] для областей, расположенных вдоль выделенной оси Охi, где показано, что использование этой геометрической характеристики позволяет в ряде случаев устанавливать более сильные результаты, чем ранее известные. Следует отметить, что в работе [50] O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна авторы, по существу, использовали прототип такой последовательности для системы уравнений теории упругости. Однако, дальнейшего развития этот подход не получил. В настоящей работе техника А-разбиений адаптирована на некоторый класс квазилинейных операторов.

Предполагается, что неограниченная область Q С Шп представлена в оо виде объединения Q = \J последовательности вложенных Q,^ С n=0 ограниченных областей, удовлетворяющих следующим требованиям. Дополнения ^[^-Li) — распадаются наконечное число р(ло связных компонент i = l,p(W : i^jy-^ = [J u)jN\ N — l,oo. Пег=1 ресечения

N = 0,00, представляют собой конечное число липшицевых гиперповерхностей S^ = Q S^ (S^ ф 0 могут быть несвязными), г = 1 N = 1, 00.

Для множества С введем обозначение = т£ <

Определим векторы № = и А<"> = (А^\) формулами = ^где З}^ = ди™ П ^ 0, г = N = 1,оо. Будем предполагать, что существует число 9 > 0 такое, что выполняются неравенства

1 < >Г+\ г = 1^0, N = 17Б5. (0.10) оо

Описанное выше представление О. = У при выполнении нералг=0 венств (0.10) будем называть А-разбиением области О.

Для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси Ох\ (сечение 7Г не пусто и ограничено при любом г > 0), множества — можно определить с помощью неограниченной возрастающей последовательности положительных чисел {¿м}^-о- При этом последовательность называется А - последовательностью, а услооо вие (0.10) для разбиения О, — У О,** принимает вид

N=0

1 < 6>А(^-ъ AN = zN~ гя-и N = 17^, (0.11) где А(гьг2) = п < г2.

1. Виккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. - 2004. - Т. 195. -№3. - С. 115-142.

2. Вишик М.И. Краевые задачи для квазилинейных сильно эллиптических систем уравнений, имеющих дивергентную форму // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 138. - №3. - С. 518-521.

3. Вишик М.И. О краевых задачах для квазилинейных параболических систем и уравнений и о задачи Коши для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 140. - №5. - С. 998-1001.

4. Вишик М.И. Квазилинейные эллиптические системы уравнений, содержащие подчиненные члены // Докл. АН СССР. — 1962. Т. 144. -№1. - С. 13-16.

5. Гилимшина В. Ф. Об убывании решения неравномерно параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2010. - Т. 46 - №2. -С. 235-250.

6. Гилимгиина В.Ф., Мукминов Ф.Х. Об убывании решения неравномерно эллиптического уравнения // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. - Т. 74. - №6. - С.

7. Гладков А.Л. Задача Дирихле для некоторых вырожденных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Дифференц. уравн. 1993. - Т. 29. - С. 267-273.

8. Гущин А.К., Михайлов В. Л. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. - Т. 7. - №2. - С. 297-311.

9. Гущин А.К., Михайлов В. П. О стабилизации задачи Коши для параболического уравнения с одной пространственной переменной // Тр. МИАН. 1971. - Т. 112. - С. 181-202.

10. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка // Тр. МИАН. 1973. - Т. 126. - С. 5-45.

11. Гущин А.К. Некоторые свойства обобщенного решения второй краевой задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1975. -Т. 97(139). - №2(6). - С. 242-261.

12. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. - Т. 101(143). - №4(12). - С. 459-499.

13. Дегтярев С.П., А.Ф. Тедеев А.Ф. Ь^ оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. - 2007. - Т. 198. - №5. - С. 45-66.

14. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сб. 1965. - Т. 67(109). -№4. - С. 609-642.

15. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1976. - Т. 9. - С. 5-130.

16. Дубинский Ю.А. Нелинейные параболические уравнения высокого порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1990. - Т. 37. - С. 89-166.

17. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник O.A. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Матем. сб. 1998. - Т. 189. — т. - С. 45-68

18. Иванов A.B. Неравенство Харнака для обобщенных решений квазилинейных параболических уравнения второго порядка //Тр. МИ АН СССР. 1967. - Т. 102. - С. 51-84.

19. Иванов В.А. Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка // Тр. МИАН СССР. 1982. - Т. 160. - С. 3-285.

20. Иванов A.B. Поведение ограниченных решений квазилинейных эллиптических уравнений // УМН. 2006. - Т. 61(372). - №6. - С. 7-8.

21. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз. — 1959. - 684 с.

22. Каримов Р.Х. Поведение при больших значениях времени первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Труды воронежской зимней математической школы С.Г Крейна 2008. - Воронеж: ВорГу. - 2008. - С. 143-152.

23. Каримов Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений в областях с некомпактной границей // Труды международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Уфа: Гилем. - 2008. - С. 116-120.

24. Каримов Р.Х., Кожевникова JI.M. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. жури. — 2010. — Т. 2. — №2. 53-66.

25. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. 2010. - Т. 201. - №9. - С. 3-26.

26. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях // Труды Седьмой Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара: СамГТУ. - 2010. - С. 140-143.

27. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Точные оценки решений квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченной области // Труды международной молодежной научной конференции "Лобачевские чтения 2010". - Казань: КФУ. - 2010. - С. 160-164.

28. Качуровекий Р. И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // УМН. 1968. - Т. 23. - №2. - С. 121-168.

29. Кооюевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при £ —* оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. 2000. - Т. 191. - №2. - С. 91-131.

30. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. 2005. - Т. 196. - №7. - С. 67-100.

31. Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. - Т. 70. - №6. - С. 93-128.

32. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Убывание решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка смладшими членами // Фундамент, и прикл. матем. 2006. - Т. 12. - №4. - С. 113-132.

33. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. 2008. - Т. 199. - №8. - С. 61-94.

34. Кожевникова Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами // Уфимский матем. журн. 2009. - Т. 1. - Ш. - С. 38-68.

35. Кооюевникова Л.М. Стабилизация решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. - Т. 74. - №2. - С. 109-130.

36. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука. - 1989. - 623 с.

37. Кондратьев В.А., Копачек И., Ленвеншвим Д.М., Олейник O.A. Неулучшаемые оценки в пространствах Гельдера и точный принцип Сен-Венана для решения бигармонического уравнения // Тр. МИ-АН. 1984. - Т. 166. - С. 91-106.

38. Коньков A.A. Поведение решений эллиптических неравенств, нелинейных относительно старших производных // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. - Т. 71. - т. - С. 17-54.

39. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. — 1967. - 736 с.

40. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического тина. М.: Наука. - 1973. - 576 с.

41. Ланд ас Е.М. Оценка решения квазилинейного эллиптического уравнения в неограниченной области // Труды семинара имени И.Г. Петровского. 1983. - т. - С. 45-62.

42. Ландис Е.М., Паиасснко Г.П. Об одном варианте теоремы Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1979. - №5. - С. 105-136.

43. Лаптев Г. Г. Априорные оценки и существование сильных решений полулинейных параболических систем // Дифференц. уравнения. — 1998. Т.34. - №4. - С. 518-522.

44. Лаптев Г. Г. Существование решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений в R2y без условий на бесконечности // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. - Т. 12. - №4. - С. 133-147.

45. Лежнев A.B. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1986. - Т. 129(171). - №2. - С. 186-200.

46. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. - 1972. - 596 с.

47. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. -1980. Т. 111(153). - Ш. -г С. 503-521.

48. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - №10. - С. 1172-1180.

49. Олейник O.A. Иосифьян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптического уравнения второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. 1980. - Т. 112(154). - №4(8). - С. 588-610.

50. Олейник O.A., Иосифъян Г.А. О единственности решения смешанной задачи для уравнений теории упругости в неограниченной области // УМН. 1976. - Т. 31. - №5(191). - С. 247-248.

51. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука. - 1990. - 448 с.

52. Солотьиков В.А. О дифференциальных свойствах слабых решений квазилинейных эллиптических уравнений // Записки научн. семинаров ЛОМИ. 1974. - Т. 39. - С. 110-119.

53. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравения. 1989. - Т. 25. - №3. - С. 491-498.

54. Тедеев А. Ф. Оценки скорости стабилизации при t —» оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27. -№10. - С. 1795-1806.

55. Тедеев А.Ф. Стабилизация решения третьей смешанной задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрической области // Изв. вузов. Математика. 1991. - №1. - С. 63-73.

56. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. -1992. Т. 44. - №10. - С. 1441-1450.

57. Тедеев А.Ф. Оценка скорости стабилизации решения первой начально-краевой задачи для уравнения пористой среды в неограниченной области // Матем. заметки. 1995. - Т. 57. - №3. - С. 473-476.

58. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. О качественных свойствах решений и субрешений квазилинейных эллиптических уравнений // Изв. вузов. Матем. 1984. - №1. - С. 62-68.

59. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. - 1980. - 496 с.

60. Ушаков В. И. О поведении решений третьей смешеанной задачи для параболических уравнений второго порядка при t —> оо // Дифферент уравнения. 1979. - Т. 15. - №2. - С. 310-320.

61. Ушаков В. И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. сб. 1980. - Т. 111(153). - №1. - С. 95-115.

62. Шишков А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Сиб. матем. жури. 1987. - Т. 28. -№6. - С. 134-146.

63. Adams R.A. Sobolev space. New York: Academic Press. - 1975.

64. Alikakos N., Ro&tamian R. Gradient estimates for degenerate diffusion equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. -1981. V. 91. - №3. - P. 335346.

65. Aronson D. G. and Serrin J. Local behaviour of solutions of quasilmear parabolic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1967. - V. 25. - P. 81-123.

66. Bernis F. Existence Results for Doubly Nonlinear Higher Order Parabolic Equations on Unbounded Domains // Math. Ann. 1988.- V. 279. P. 373-394.

67. Brezis H. Semilinear equation in RN without condition at infinity // Appl. Math. Optim. 1984. - V. 12. - P. 271-282.

68. Chiarenza F. M. and Serapioni R. P. Harnack inequality for degenerate parabolic equations / / Communications in Partial Differential Equations. 1984. - V. 9. - №. 8. - P. 719-749.

69. DiBenedetto E. Intrinsic Harnack type inequalities for solutions of certain degenerate parabolic equations // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1988. - V. 100. - №2. - P. 129-147.

70. DiBenedetto E. Degenerate Parabolic Equations. New York: Springer Verlag. - 1993.

71. DiBejiedetto E., Urbano J.M., and Vespri V Current issues on singular and degenerate evolution equations // Handb. Differ. Equ. 2004. - V. 1. - P. 169-286.

72. DiBenedetto E., Gianazza U., and Vespri V. Intrinsic Harnack estimates for nonnegative local solutions of degenerate parabolic equatoins // Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society. 2006. - V. 12. - P. 95-99.

73. Dun ford N., Schwartz J. Linear operators. Part I: General Theory. -New York: Interscience Publishers. 1958. - 858 p.

74. Gianazza U. and Vespri V. A Harnack inequality for a degenerate parabolic equation // Journal of Evolution Equations. 2006. V. 6.- №. P. 247-267.

75. Gianozza U. and Vespri V. Parabolic De Giorgi classes of order p and the Harnack inequality // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2006. - V. 26. - №3. - P. 379-399.

76. Leray JLions J.L. Quelques résultats de Visik sur les problèmes elliptiques non lineaires par les methodes de Minty-Browder // Bull. Soc. Math. France. 1965. - V. 93. - P. 97-107.

77. Minty G. Monotone nonlinear operators is Hilbert space // Duke Math. 1962. -V. 29.'- P. 341-346.

78. Moser J.A. Harnack inequality for parabolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V. 17. - №1. - P. 101-134.

79. Moser J.A. On Harnack's theorem for elliptic differential equations // Comm. Pure and Appl. Matt- 1961. - V. 14. - P. 577-591.

80. Oleinik O. Some Asymptotic Problems in the Theory of Partial Differential Equations //Cambridge Univ. Press. 1996. - 213 p.

81. Serrin J. Local behaviour of solutions of quasilinear elleptic equations 11 Acta Math. 1964. - V. 111. - P. 101-134.

82. Trudinger N.S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic partial differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1967. - V. 20. - P. 721-747.

83. Trudinger N.S. Pointwise estimates and quasilinear parabolic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1968. - V. 21. - P. 205-226.