Аналоги принципа Сен-Венана и их приложения в качественной теории граничных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УССР ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

Д5

На правах рукописи

Шишков Андрей.Евгеньевич

УДК 517.9

Аналоги принпипе Сен - Венана и их приложения в качественной теории граничных задач

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков - 1990

Работа выполнена в отделе нелинейного анализа Института прикладной математики и механики АН УССР

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Кондратьев,

доктор физико-математических наук,

профессор Н.М.Ивочкина, *

доктор физико-математических наук, профессор Л.И.Ронкин.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита состоится "__19 г. в час._мин.

на ааседанда специализированного Совета Д 016.27.02 со присуждению ■ученой степени доктора физико-математических наук в Фиэико-техни -ческом институте низких температур АН УССР по адресу: 310164, Харьков-164, проспект Ленина, 47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физико-технического института низких температур АН УССР

Автореферат разослан "__19 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор фаз.~мат. наук профессор

б?с&'(.со

Б.А.Ткаченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акт^альност^темы^. В работе рассматривается ряд вопросов , связанных в основном с описанием поведения обобщенных решений краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений высокого порядка в ограниченных и неограниченных областях с слоят эй структурой геометр™ границы, разрешимостью и единственностью решений граничных задач в классах растущих на беско -печиости функций. В истоках этой тематики находятся среди других классические в теории функций комплексного переменного результаты по асимптотическим свойствам аналитических функций, такие как теоремы Фрагмена-Линделёфа, Лиувилля, Вимаиа и другие . Обобщение этих теорем на решения эллиптических уравнений второго порядка проводилось в работах М.А.Евграфова, Е.М.Ландиса, В.Г.Мазьи ,

B.М.Миклюкова. Первый результат типа теоремы Фрагмена-Линделёфа для решений некоторых эллиптических уравнений высокого порядка был получен П.Лвксом, в работах Е.М.Ландиса1^ , О.А.Олейник и Е.В.Рад-кевича эта теорема обобщалась на решения более общих эллиптических уравнений и систем.

В последние десятилетия после работ 2).3) ШИрОКОд раопрост -ранение в исследованиях по качественным свойствам решений граничных задач приобрели методы, основанные на установлении специфических априорных оценок, аналогичных известному в механике принципу Сен-Венана . На основе такого рода априорных оценок в работах _

C.О. Horgan'a,. З.К. Knowlea'a , J. J.Rogemanfe, Г.Фикера, И.И.Воро-вича, О.А.Олейник, Г.А.Иосифьяна, В.А.Кондратьева, И. Копачёка , И.Н.Тавхелмдзе, В.Калантзрова, Б.Б.Оразова, А.К.Тю/лной и ряде других изучалось поведение в неограниченных областях и в окрест -ности негладких участков границы области решений различных краевых

^Ландис Е.М. О-поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Труды ММО.- 1974 . -

• 31.- С. 35-58.

2)тоир1п H.A. S'iint - Venant'э principle // Arch. Rat, Mech.Anal.

- 1,965.- IS.- Г.83-96.

3jKnowlefi Г.К. On Saint - Venant's principle in the two - dlmen -oional . líntíar t!;oory of elasticity // Arch. Rat. Kech. Anal, -

- 1r)(':.~ 21.- F. 1

задач для уравнений теории упругости, линейных и некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, уравнений высокого порядка специальной структуры (например, полигармонического). Ii работе4^ таким методом установлены некоторые зависящие от reo -метрик области интегральные и равномерные опенки скорости убывания в окрестности конечной граничной точки произвольного обобщенного решения задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения высокого порядка. Возможности метода априорных опенок типа пршшипа Сен-Венава в изучении различных асимптотических свойств решений задачи Дирихле для общего квазилинейного дивергентного эллиптического уравнена высокого порядка анализируются в первой главе дис сертации.

Для линейных параболических уравнений проблематика, связанная о асимптотическими свойствами решений в неограниченных областях , соответствует в первую очередь исследованиям по единственности решений задачи Коши и смешанных задач в классах растущих на беско -иечности функций. Первые такие классы единственности задачи Коши для уравнения теплопроводности были найдены Е.Б.Леви, Е.Хольмгре-ном. Точные классы единственности порчены в работах А.Н.Тихонова, С.Тэклинда. Аналоги этих классов для параболических уравнений и систем,, а также сметанных задач в общих ииындрических областях устанавливались в работах O.A.Ладыженской, С.Д.Эйдельмана, Я.И.Житомирского, П.Г.Аронеона, Е.Хилле, И.М.Гельфанда и Г.Е. Шилова , Г.Н.Золотарева, Н.И.Чауса, 0.Арена, С.Д.Ивасишена, О.А.Олейник и Б.В.Рвдкевичв и многгх других математиков. Большое количество исследований связано с изучением смешанных задач для линейных пара -болических 1равнений в нецилиндрических областях. В некоторых гладких ограниченных существенно нецилиндрических областях разрешимость и гладкостные свойства решений параболических задач изучались в работах В.П.Михайлова , В.А.Кондратьева. Поведение решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка в существенно нецилиндрических областях в окрестности конечных граничных точек (условия регулярности по Винеру-Келдышу) и на бесконечности (теоремы типа Фрэгмена-Линделефэ) рассматривалось в работах Л.Н. Тихоичпа, И.Г.Петровского, Е.М.Ландиса, Л.С.Эванса, Е.Лянконелли ,

^Кондратьев В.Л., ОлоЙник O.A. О поведении обобщенных pemeiuui nn-дочи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядки и ок -рестностп гранипи// Зпл. iinyji.семин. ЛОШ.-.J982.- <;;1!.'М;.'!:

Ц.Т.Мамедова, Р.Я.Глаголевой и других. Во второй главе диееертйпш) изучается поведение обобщенных решений смешанных задач для общи;,-дивергентных параболических уравнений высокого порядка в неоилии-дрических областях, геометрия которых описывается наряду с традиционными частотными характеристиками, также нижними огибающими поверхностями.

Активному изучению в последние десятилетия подвергаются краевые задачи для различных классов квазилинейных вырождающихся параболических уравнений, что определяется важностью такого типа уравнений в описании различных диффузионных , фильтрационных и других физических процессов. Вопросы разрешимости и единственности решений задачи Коши и смешанных задач для различных классов таких уравнений в классах растущих на бесконечности фущший изучали Г.И.Баренблатт, А.С.Калашников, В.А.Галактионов, О.П.Курдюмов , А.А.Самарский, А.П.Михайлов, Н.О.Максимова,м.йакао, р.е.sacks , A.Bamberger, H. Bréala, M.a.Crandali.B.H.Gllding.L.A.Peletier , M.A.Herrero , s. Kamin . В работах5^получены принципиальные результаты о единственности неотрицательных решений задачи Кош для уравнения нестационарной ньютоновской фильтрации в классах функций произвольного роста на бесконечности. Актуальным представляется ' ^деление классов единственности решений смешанных задач и задачи Коши для достаточно широких классов нелинейных параболических уравнений, развитие таких методов изучения асимптотических свойств решений, которые были бы применимы к уравнениям высокого порядка. Ряд результатов в этом направлении устанавливается в третьей главе.

Вопросы разрешимости краевых задач в неограниченных областях в классах растущих на бесконечности функций рассматриваются раз -личными методами в работах многих авторов. Для эллиптических уравнений второго и высокого порядков разрешимость граничных задач вариационным методом в весовых соболевских пространствах изучалась В работах Л.Д.Кудрявцева, V.Bencl.M.Cantur, R.Janaaen, S.Owen и других.

^ Dahlberg В.К., Kenig C.B. IJon-negative solutions uf the porous medium equation // Comm.part .Di ff. Squat .-1904 .-9, №5. -P. 409-437.

^ Herrero К.A., Pierre M. The Cauchy ptoblem for tl(-AlT=0 when i // Trann.Arer.KatJi.Soc. - 1985.- 29J, ,'№ I. -

- P.I45-Î5B.

На основе априорных оценок' типа принципа Сен-Шнана сущоство-нание растущих на бесконечности обобщенных ремений задачи ддохле для линейных эллиптических уравнений устанавливалось в работах Е.М.Ландиса^, О.А.Олейник и Г.А.Иосифьяна. Разрешимость задачи Кошя и смешанных задач для параболических уравнений в классах растущих функций исследовали С.Д.Ивасишец, В.П.Лавренчук, М.Л.Маринов, В.Боданко, Л.И.Камынин. В диссертации теория разрешимости' смешанных задач в неограниченных пространственных областях строится для широкого класса эволюционных уравнений второго порядка по £

1]елыо_2аботы является развитие методов получения априорных опенок типа принципа Сеа-Венана решений краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений различных типов и на основе таких оценок: изучение поведения решений граничных задач для квазилинейных дивергентных эллиптических и параболических уравнений как второго так и высокого порядков,в неограниченных областях и в окрестности нерегулярных участков грашкш области; исследование разрешимости смешан -них задач для эволюционных уравнений второго порядка по Ь в классах растущих при ос-^оо функций.

Установлены зависящие от геометрии области , описываемой либо частотными либо емкостными характеристиками, интегральные и равномерные оценки поведения обобщенных решений за -дачиДщшгле для дивергентного квазилинейного эллиптического уравнения высокого порядка в окрестности как конечной так и бесконечно удаленной граничной точки. Для решений с неограниченным интегралом Дзжхле эти оиенки дают новые утверждения типа теоремы Фрагмена -Линделефа и об устранимых особенностях решений на границе области.

Дано описание классов единственности, аналогичных классам Ти-хонова-Тэклинда, решений смешанных задач для линейных параболических уравнений второго и высокого порядков в существенно неиилиндри-ческих областях б- К^С-*"0>Т") ^Т^'^*3 , в терминах нижних оги -бающих поверхностей.

Установлена единственность обобщенного локально ограниченного решения смешанной задачи для широкого класса квазилинейных вырож -дающихся параболических уравнений (в том числе для уравнений типе нестационарной фильтрации) в новых, более широких, чем известные ранее, классах растущих на бесконечности функций.

Изучена зависимость пг^едения обощенных локально не ограни -ченных решений смешанных задач для различных классов квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях £гс1? Х(А~0, 7<сх=> / от структуры нелинейности соответствующего уравнения .

Установлен новый класс утверждений типа теорема Фрзгменэ-Линделе-Фа. Разработан нелинейный аналог метода введения параметра , позволяющий исследовать асимптотические свойства также и обобщенных ■решений квазилинейных параболических уравнений высокого порядка.

В неограниченных цилиндрических областях рассмотрена смешанная задача для эволюционных уравнений вида U.H-i-$Ut + Bu - FC^ío, где А и В - линейные дивергентные эллиптические операторы порядков, соответственно, itTV и 2frv-t2, t^^i, с измеримыми ограниченными коэффициентами. При определенных интегральных ограничениях на скорость роста F(x,-t) при! ocl-»oo установлена разрешимость задачи в классах растущих на бесконечности функций, содержащих аналоги класса Тихонова в случае задачи Гоши.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докла -дывались в Институте прикладной математики и механики АН УССР но семинаре академика АН УССР И.В.Скрыпника, на семинарах профессора О.А.Олейник и профессоров В.А.Кондратьеьа и Е.М.Ландиса в МГУ им. М.В.Ломоносова, на семинаре чл.-корр.АН СССР 0.А.Ладыженской в ЛОМИ АН СССР, на семинаре академика В.А.Марченко в Харьковском государственном университете, на семинаре чл.-корр.АН СССР С.И. Похожаева и профессора Ю.А.Дубинского в Московском энергетическом институте, на семинаре профессора А.Куфнера в Институте' математики ЧСАН, на семинаре профессоров Г.Раевского и К.Грегера в Институте математики АН ГДР, а также:

на совместном заседании семинара им.И.Г.Петровского и Московского математического общества (1986 г.);

на IX Советско-Чехословацком семинаре по дифференциальным уравнениям (1986 г.);

на Всесоюзном семинаре по математической физике в ЛОМИ АН СССР (1986 г.);

на Всесоюзных школах по теории операторов в Новосибирске (1985 г.) и Челябинске (1987 г.); .

на 5 (Львов, 1985 г.), 6 (Донецк,-1987 г.) , 7 (Черновцы, 1989 г.) Республиканских конференциях по нелинейным задачам математической физики;

на Всесоюзной школе молодых ученых по комплексным методам в математической физике (Донецк, 1984 г.).

Публикации.'Но теме диссертации-опубликовано 16 работ. &£?£I3£E'2_S_5&y¿!_5!í££íCX2íIiHíi Робота состоит из введения и ■1-х глов, V .".глершвч .29? страниц машинописного- текста. Список ли -" '/ - - оп-'-г'-'лт Kif': Ч"j 'oí; ог; г - п!' í;,

- и -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к дисссртсшии обосновывается актуальность темы диссертации и приводится аннотация основных результатов,полученных в ней. В первой главе изучается зависимость от геометрии области Qcß*' поведения обощенных решений квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений Еида

Lu^IC-^'lta^rar/a,..^)^;

toU^n.

, I ÄnC' i f!-4l:irf-fs(i),

Ul^m. ' ' I > м . ■ 1

удовлетворяющих граничному условию дирйхле

а\г --- 0 .-loLl * т.- i, .

В § 1,1 '"станавливаютсл используемые на протяжении всей ра -боты технические лемма, позволяющие получать явные опенки псведе -ния функши I(/fc) >0 ,' удовлетворяющей функциональному нерзвенст-. ву вида .'-.-'".■

Обозначим Q(i) = Q ^-{'X : gCfc)4*/<t] .. Одной из характеристик геометрии , используемых в работе, является АьО.-)- нелинейная основная р - частота сечения S (Я*) = (Я) ^ г^ ...

)РД> Chf( ^ IVsuf IVI^O"1 * проек-

oft) * S№

ияя вектора vufx) на плоскость, касательную k ^(i4) в тсчкех«^), нижняя грань берется по всём гладким обращаго'!.*'''" в нуль в окрест-' иссти 'S S&) функциям - U(X) . По поведению-функшш )-р(1) раз --личадм два широкйх пересекаюьшхся класса/областей:

A) области,-для которых, существует постоянная С>0 такая , чю i AP(i) > С V/teCto,!^ ("узкие" области); •

B) области, дял которых существует пестсякнзл такая' что i Vt^tcif4) .("широкие" -области).■. -'. - • • •' •

Пусть точка о'с.'ЬЗ , пре-дпслотиш, .что.в окрестности.»той точки ; принсдлеккт кляеоу Л) .(4,,.= о,> . 'ЗпЛикснру-ei:

произвольную постоянную о : С ft.p>0 . , и выберем функции} Ч^С^хЗ таким образом, чтобы выполнялись неравенства

(Если ^рфмонотонно. не, возрастает V^^-C0Д=>), что имеет место для типичных моделей областей, то можно положить .

"Неоднородные" члены уравнения (I) описываются функцией

Gffi-Л U

Тео£ем§_1. Пусть U.(x)fe Vvp 0Q) -обобщенное решение уравнения (I) в области класса А) в окрестности точки OeDQ . Тогда существует постоянная С, О^С^с*3 , зависящая пть от известных параметров, задачи,такая, что в случае, если для (у СО выполняется условие .

G (i) * с4 wc^c, £ <00' Cl<°°>

при любам %>0 имеет, место априорная опенка

fi.(t) Ч ^

Тео£ема__2х Пусть область Q принадлежит классу В) в окрестности. точки 0^2. Зафиксируем тогда постоянную d ' 0<d< i , и определим функцию ЛР(40,• Пусть снова

u(x)<£ Хх/р С&) - обощенное решение уравнения (I). Тогда существует постоянная С,.' 0<С1<»о _ зависящая лишь от из -вестннх параметров, такая, что в случае выполнения условия

\fl<l0, с,<оо,

щ;и любом £>о имеет кости огедомвая оценка скорости убывания интеграла оперши в окрестности точки 0 :

1(1)*с3](-С)ехрКс,-^ ^¿С) VWA!.tt\ c^Uc^y™

i у

Замечанис_1ь Еыбор постояньых и сС можно производить оптимальным способом так, чтобы постоянная принимала максимальное пачение. Для областей, попадающих одновременно в оба класса (например, конические области) априорные оценки из теорем I и 2 оди -наковы по порядку.

На основе интегральных оценок теорем 1,2 с использованием теорем вложения Соболева устанавливаются некоторые равномерные оценки решения и его производных в окрестности точки О^'дО. ,

В линейной ситуации для некоторых видов областей оценки,близ -кие к установленным в теоремах 1,2, весовым методом получены в работе-4'.

В § 1.3, 1.4 изучаются растущие в окрестности, соответственно конечной и бесконечно удаленной граничной точки решения уравнения (I). В цервом случае устанавливаются оценки, приводящие, в частности, к теореме об устранимой особенности решения на границе .области, во втором - утверждения типа теоремы Фрагмеца-Линделефа. Например

Теорема 3, Пусть ограниченное шокество Г0С "52 является подмножеством С"1" - гладкого компактного многообразия Г^

; семейство подобластей П {х: ( где

= - расстояние от точки Ос до Г, , Пусть 2. в окрест-

ности П, г>является областью класса А) и а(х)ё: ^р7(рс(52,П>')

обобщенное решение уравнения (I). Тогда существует постоянная >0 такая, что имеет место альтернатива: либо при сколь угодно малом £>>0 выполняется неравенство

из (2) ; либо для некоторой последовательности —

, Х- .'ГУУИ г ,

оаъми

Следствие I. Если в обозначениях.теоремы 3 при некотором £=>-0 имеет место оценка

3(Ъ^<сФ6а) ум.,С<оо,

а функция ограничена при , то особое множество Г^, ре-

шения И.СХ) устранимо, то есть и.(:х)€ \*/Р С2) .

В § 1.5 устанавливаются утверждения типа теоремы Фрагмена -

- лД -

Линделефа о поведении на бесконечности решений задачи Дирихле для уравнения (I) в областях, геометрия которых адекватно описывается в терминах введенных в работе внешней (О и внутренней

(Ъ функций внутреннего диаметра области £2 с точностью до множества (}тг,р) - емкости $>0 , Доказательство этих утверждений вполне аналогично доказательству соответствующих утверждений для областей, характеризуемых частотной функцией Лр^О . Понятие внутреннего диаметра области О. точностью до множества(Ьч,2) -емкости было введено Е.М.Ландисом. Им же в линейной ситуации

впервые доказана теорема типа Фрагмена-Лгшделефа при

В § 1.6 рассматривается обобщенное рзшение и£с)е уравнения (I) при дополнительных известных условиях на функции а/Х,^) . обеспечиватощих, как показано М.И.Вишком,ограниченность

^| ¡У17!'! ¿X для любой ограниченной строго внутренней

подобласти 2 с 2 , а тате , в силу результата М.Мюллера и И.Нечаев, ограниченность

для произвольной ограниченной подобласти 2' , примыкающей к достаточно гладкому участку границы 1)2 .

ТеоЕ£ма_4. Пусть ^^ (О) - обобщенное решение

уравнения (1), в слое 2 |эс„|<:'ь], п.>3 .Тогда существует 15>0 таксе, что при яябыхТХЯ» справедтава сведущая априорная опенка типа принципа Сен-Венака

1(1>5 »с, VI,,

дЙ^Йфс'КЦ'

в случае, если Сх) =

Во второй главе исследуется зависимость от геометрии области Поведения решений смешанных задач для линейных дивергентных параболических уравнений. Качественно иной по сравнении с эллиптическими уравнениями.характер зависимости поведения решений от геометрии области определяется специфическим влиянием Ь -геометрии области , я т'еипо на.этом влияния делается аниент зо второй главе. Рассматривается область 6е- К^д -П.{(хЛ) ■' Т> X (X) .и.«

(tx/t) ; ^-¿jO)], ^ (х) :> -T Vtcc-K14- -поверхность в

:, называемая нижней огибающей области G . В диссертации проанализирована зависимость поведения решения смешанной задачи в G в случае - ^ 05е1) . В § 2.1 это. делается в случае обще-

го линейного дивергентного параболического уравнения второго порядка:

"Irr0' ^ <«■

*

Здесь Г - параболическая часть Гранины области Gc : % сЯ , -{< Т< ob'J ,_ произвольная непрерывная монотонно не убы-Еаювдя функция. В терминах функции = ^ |

где SCO^GCt^VöG, &ft)- б ^ffc^lxUxJ орт внеш-

ней нормали к "Ъ Ь-Ст) в точке(х,Ъ , при определенных ограничениях на младшие'коэффициенты уравнения (3) устанавливается общее утверждение (теорема 2,1.1) oci априорной опенке типа принципа Сен-Венана для произвольного обобщенного решения задачи (3),.(4). Из него вытекает ряд следствий, явно характеризующих влияние огибаицей ij (г) . Следствие 2. Пусть является. пологой кривой в том смысле,

что функция (2, (т) е Y(t) ' ^ ^Cs^ds, YfO(t) , монотонно не

убывает Vt>T0 . Тогда при определенной подчиненности младших чле-ной старшим имеет место следующая опенка снизу на рост произволь -кого обобщенного решения однородной задачи (3), (4):

К?И (аЧ^^и^^ЬсадрСсЛ11

GCt)

г.ие л

С>о, с{>о,у(г)- V(tj.(+ ^ fCv'd-s),/'^0.

r&c'rL = k = l>-;огибающая

ij(r) является быстро растущей функцией г. том смысле, что j?iCt) мо-нотгннс не возрастает. Тогда если з некоторым выполняется

ограниченно сверху на рост ¿(00

Vr>?0 (5)

то рост произвольного решения однородной задачи (3), (4) следующий

Эти опенки непосредственно дают некоторые классы единственности растущих при ог оэ решений задачи (3) , (4). При ^СО^еои.^ -это обычный класс Тихонова.

Далее- на протяжении второй глави- речь идет о смешанной задаче для дивергентного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка '

Ри = + 1_и_ -О- , (Х,Ье (з, (6)

где Го {фД^ Г :

- оператор из (I) с В § 2.2 устанавливается общее утверждение типа интегральной леммы возрастания (в терминологии Е.М.Лавдксв) для произвольного обобщенного решения задачи (6), (7). По произвольно бафиксированным" функции п.(Ь) а и постоянной ( а также функции

- основной 2-чаототе сечения б^ОУ БСг) Л {(?.+).' {н огибающей ^Сг) выбираются непрерывные функции Н'Ст};»! и*ул(г)>1 так, что выполняются соотношения

< ъфк^укА) vu<WT)l (8)

т.ах(1, ^(Т)^ (ту(т)У) -2.ц\г)'

Н0. > -^(гуСс)")^ "Ь-Т. (5)

Пусть и.(-х,{)- произвольное обобщенное решение задачи (6), (7). Тогда для произвольной постоянной Яо>0 существуют постоянные £(>о и НоО < Но^ск? , зависящие кроме тркясз и от других известных величин, такие, что при выполнении условий (8), (9), а также

О^У/Дт)) > УГ>Г., 1<Ууг),Т) (Г0)

вь'по яняе тся с оотн огаение

£ 9 [(гп'т^+К НСгч'Сг'О Л/т>Гх>, «<с-=>, о< (11)

ю

Из функционального неравенства (II) в силу технических лемм из § 1.1 вытекают явные опенки поведения ](т> при Т^оо . При этом характер зависимости от сгибающей ^Ос) вполне аналогичен тому, что имел место для уравнений второго порядка (следствия 2,3). Так предельной огибающей для которой еще имеет место квалифицированный (степенной) рост интеграла энергия при любой частотной функции ^(^Т) является у« (г) = {Кх'^ЬО . Полученные оценки дают в случае линейности Ь . обобщенные классы Тихонова единственности решения задачи (6), (7). Б § 2.4 исследуется вопрос об описании обобщенных классов Тэклинда в нецилиндрических областях.

Пусть имеется некоторая последовательность^-»^ , удовлет -Боряющея условию

а также монотонно не убывающая фгунтаия ■^-(т:') , такая, что для В -Йй

ив(с)=(Ы$\ выполняется следующее условие на скорость роста : для > 4 гео ' , т

произвольного Т-о^ I и любого номера 0 существует такой номер Е = ' ч,го шеет место соотношение

JU.CS) > У(те^ (К)

'

Тео£§ма__5. Пусть и("Х.,{;)- произвольное обобщенное решение лилейной однородной задачи (С), (7). Тогда существует постоянная О" > О такал, что если для выполняются соотношения

ад #

с какой-либо постоянной , то .

СТ, о<С<<х> , удовлетворяет условию. (12) при любой огибающей ¿|СО , фигурировавшей выше. Для достаточно поло гих ¿|(г) условию (12) удовлетворяют также функции такие,..что .:

.Г'ЯС« —* оо прих-Ч'ьо ., ггпроадаиаие некоторые, обобщенные классы

- 1Ь -

эклинда. Близкой к предельной здесь является пора:

^Ст)" (с, И(г) = С,

В § 2.5 изучается поведение решений параболических граничных адач в окрестности конечной граничной точки области с петривиаль-ой - геометрией. Пусть точка (о,Т) & Гг. ВС и у(о)=-Т< Для роизвольного обобщенного решения задачи (6), (7) устанавли-

ается общее утверждение типа теоремы 5 о поведении интеграла. нергии ^ | VуЪи2)&х/Дт)(I~Т>) ¿хЛ в окрестности точ-

и (о.Т) ,из которого вытекает, например,

Следствие 4, Существует постоянная такая, что, в случае,

ели для огибающей ^(т) выполняется соотношение

[ри соответствующем ограничении на функцию прописывающую неод-юродные члены уравнения (6) (Условие (13) является ограничением ¡верху на рост У(г) . предельной огибающей, удовлетворяющей (13) 1вяяется УоСг^А

Наконец, рассмотрено поведение решения с особенностью в гра-шчной точке (о,Т) .

Теорема^ Щсть для любогоХ>о и(Ьс,4.) является обобщенным юшением уравнения (6) в 0(т:)= 6\&(х) > удовлетворяющим гранич-щм условиям (7) на ГЛ~1>0(т) , а. область £с{(ссД);-дС^<1<Т}, 'не УСт) г У(г)+Т Цт е(р,Ха*) , . Пусть функция

(г V 2т 4ц 1)1 ||

(Т-^ ~ ограничена при Т-* О .

Тогда существует постоянная такая, что имеет место альтер-

эатива: либо:

(13)

о для произвольного обобщенного решения и.^^) задачи. (6), (7) меет место априорная оценка

<Со«*> УоО,

либо Зарастет при х-* О столь быстро, что

оо

Полученные'интегральные опенки роста решений с особенностью е граничной точкеС^'") можно использовать также дл доказательства существования таких решений,

В Третьей главе изучается поведение в неограниченных облает решений смешанных задач (а также и задачи Коши)для различных под! классов существенно нелинейных дивергентных параболических ураы: ний, анализируется зависимость поведения- от структуры нелинейное! уравнения. Устанавливаются как утверждения типа теоремы Фрагке'ш Динделефа о поведении индивидуальных локально не ограниченных ре шений, так и опенки разности двух возможных локально ограничен!« решений, приводящие к новым классам единственности растущих на с конечности решений. В §ЗЛ рассматривается смешанная задача в ш ограниченной цилиндрической области (п задача -Коли) для вырожда] щегося многомерного параболического уравнения

Х'г УТ">Те>о, &„>0 ; а монотонно не убывавшая'функояя удовлетворяет условиям

Тогда единственность обобщенного локально ограниченного решеши указанной задачи при естественных (сформулированных в диссерта ограничениях ив коэффициенты уравнения -(14) имеет место в клас функции '17*(ас,4") , рост которых на бесконечности ограничивается

X + Г>С*,Ь)=о. (14

к.

условият:

I « с:°0 ^ ^о, ^

где 5' зависит лишь от известных параметров.

Например, следующие пары функций удовлетворяют условиям теэ -ремы 8: =001 $1;, Оо-Сс+Г) приводят к классу един-

ственности более широкому , чем найденный А.С.Калашниковым; пара й-(?с)-= приводит к классу, полученному И.О.

Максимовой; пара рС*)-приводит к экспоненциальному

^^ХрО^О, С-С.-.^.к^о, > о,

классу, единственности для уравнения (14) при =^&(с.+(Р1),

пара ЯС^)" ^'с'4, дзет класс А.Н.Тихонова для

уравнения с подлинейной нелинейностью; { Ь) < . В

силу этого назыввем классы.единственности, определяемые теоремой 8, обобщенными классами Тихонова. Как л в линейной ситуации эти классы расширяются до некоторых классов "тэклиндсвского" типа .Например, имеет'место

Теорема 9. При ш5пй неотрицательной монотонно не убывающей функции-й-Ст) , удовлетворяющей условию

единственность рассмотренной в теореме 8 задачи имеет место в классе функций ^('г-Д) , удовлетворяющих при каком-либо <^<0^ условиям

П. _ д .

* 1 .

В § 3 .'2-найдены аналогичные обобщеннее классы Тихоно;зл-Тэк -линда единственности.,локально ограниченных решений смешанной задачи в.ирогрччичениой цилиндрической области для уравнения типа ке-стааионзрггой фитетра'"ля .

(16)

••• В 5 -3.3' изучался ■ локально'" че ог^п'ч:чениыв. овоЗшешше рояечия огачпчныт- згдеч для чв^йплпнейпах гпргч5ояктесюос -уравнений различных т'ппор; "Лрпс-'-гп^г^чл .:шрп?да^^:е.ся'угг;з:-!ег--.;ш.Г1йдг;' '

Теодема 10. Пусть при некотромБ*2 имеет место соотношение .....

^ Г 1г.

пЫС^У- произвольное обобщенное решение однородной смешанной задачи для урввн°ния (17) с р^.2. в какой-либо неограниченной области

= 2с., такое, что для любой ограниченной подоб-

ласти .

Тогда имеет место следующая интегральная априорная оиенка

1(тУ 5) ((и1г+|и|^"1|иГ(Уха|р)>сг* Vг>t0, }

п, Взк следствие, следующая равномерная ■

ъа(э |и|>с,Т... -с^р;, при

вСт) .

Сле^ствир^. Если в условиях-теоремы 10 для какой-либо последовательности Тс —» о°

ТО и(X,1)20 .

Теорема .II. Для произвольного обобщенного решения однородной смешанной задачи для уравнения (17) при Р< 2 и (для

формулироЁки усложняются)имеет место априорная оиенка

I(Й- \ (агчТ-¿х(И>[1^--^- ^кЩ*

г, '

- IS -

Если область Ст таком, что ыг

^ (ftus, Sit)4) 5 ils-'®0 при t-» (19)

с

'о нулевое решение рассматриваемой в теореме II смешанной задачи

дарственно. В случае задачи Кош условие (19) эквивалентно

J___L с J_

Р 2 /г -

Близкие результаты получены о поведении локально не ограничении решений смешанных задач для уравнений типа нестационарной фильтрации вида

•>0, d^co

Замечание^ Утверждения типа теорем 10, II имеют место для зубрешений уравнений (17), (20), удовлетворяющих некоторым неоднородным граничным и начальным условиям.

Дальнейшее продвижение в описании классов единственности локально не ограниченных обобщенных решений смешанных задач для нелинейных параболических уравнений связано в работе с методом,являющимся и определенном смысле нелинейным аналогом метода введения параметра, разработанного в работах О.А.Олейник и ее учеников.Простейший вариант этого метода основан на установлении специФичес -¡шх интегральных "леда возрастания" для решений соответствующих задач, таких как, например, следующая

lewua^I^ Пусть U(X,l)- произвольное обобщенное решение однородной смешанной задачи для уравнения (20) с О в произвольной неограниченной области Q-—Q. ХС°,Т) такое,, что при неко -тором S max: (а, р-а)

S (M +|U|VP Vxl^*)ch;c(t coo

Grfrt

Тогда при любом ТУоо имеет место соотношение

I Гт\ = ^ H^^ocbfi/Col)¿xdh e<t) ] irv(t)) ' ' (21)

ьЧ GCt) ' w s , '

где О, 4'(/t)>i - произвольные непрерывные функции.Причем

при выполнении условия, связывающего функции JU(т) и YÇt) ,

f tw))-/^z)é TJ (jl H0 Yr^oo ? к H0< ck»,

лфааедлша следующая оценка для &(т) :

•О* С^с-о)/, [(щЧтА ,

Соотношение (21) с использованием специального выбора весовой функции и сдвиговой Ч(Т) , а также технических лемм из § 1.1 приводит к следующему утверждении типа теоремы Фрагмена-Линделефа.

Теорема 12. Для любого решения ЦСХ,{)40 в условиях и обозначениях леммы I существует последовательность Т^-»00 такая, что

( ^ I иГЗх ^ 00. (22)

Класс единственности, определяемый оценкой (22),соответствует как это видно при ^-»оо , обобщенному классу Тихонова из § 3.1 . Более сложные рассмотрения приводят к справедливости в условиях теоремы 12 также априорной оценки "тэклиндовского" типа структуры (22) с заменой Ъп.% на произвольную функцию ЯСС) , удовлетворяющую условию (15). Вообще же использованный нелинейный вариант метода введения параметра достаточно универсален. Он позволяет находить соответствующие обобщенные классы Тихонова-Тэклинда как для полных уравнений вида (17), (20), так и для различных квазилинейных дивергентных параболических уравнений высокого порядка.

В заключении главы 3-коротко рассмотрены некоторые вопросы , связанные с поведением решения краевых задач для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в неограниченных по 4 областях &сс ограниченными сечениями = у : - ао < {;< оо . Для цилиндрических областей эти вопросы изучались многими математиками. Б § 3.4 обсуждается влияние неии-линдричности & на поведение решений как при-!-»00 так и при (задача Фурье). Например, имеет место

Тео£ема__13^ Пусть ЦСС,Ъ - произвольное обобщенное решение уравнения (17) с К 2 и ^¿СЬ^нО такое, что для некоторого 5>2 [и^Щ^ е. I ^(Т, Л; П |» ¿Т

- со ^Т<< Гх &о . Тогдр дгя произвольная Т, Т, <Тг<ГП,

выполняется соотношение

15 ^

0< С < оо . в частности, если область &■ такова, что

—>оо при Т—* оО

а 1аСго")= с1<0° , то и_СхД)нО ,где Т' определяется

как. решение уравнения

■е.

В четвертой главе метод, основанный на интегральных априорных оценках тип^ принципа Сен-Венана, использован для изучения разрешимости смешанной задачи (и задачи Копт) для широкого класса эвото -иионных уравнений второго порядка по {.

Ри = ии <23)

и1 =0; иЛ-0=°>' =0 (24)

в случае растущей при Тс-^оо правой части уравнения (23\ Здчст,

Г. М'г^,,^»'-). б^^Г^У*,^') '

равномерно эллиптические опер торы с действительными.измеримнми ограниченными коэффициентами

ад = 2 &).

Теорема _14. Пусть , а также ЬлрС^Л)-

И =ик-|. Тогда в случае ограниченности области задача (23), (24) при любых е 1_г (&) разрешима в простран-

стве У^ССг) • Здесь под У"' '(&). понимается банахово пространство, состоящее из элементов !>"(*,"{:_) е LÍ(Q) , имеющих конечную норну

I^¿тлх Г 5) (Л2 (Х>1тг|г) ¿х Ч-

-Л 1 ¡К^^хсП:.

О-

(При дополнительной г,'¡пакости коэффициентов й^^С1 Д) "о I рз'зре--

"кт.'ооть 1Я/1Г.ЧН (ЯЗ), (24) п 'ицггрх пространствах янтегаг-т пэ резу-

льтатов работ М.И.Вяшка, О.А.Ладыкенекой по краевым задачам для общих эволюционных уравнений второго порядка(по"£ .

Терема -15. В условиях теоремы 14 найденное обобщенное реше-шге имеет дополнительную гладкость по "Ь , а именно, и(х,{)<

V/;*'''0 СО) , ТО есть С(о,Т; , 6 С(о,Т;

Теорема 16. Пусть и(Х,-1)ё (&) - произвольное обобщенное решение однородной £ Р(х,4;) = о) задачи (23), (24) в неограниченной области &=-2. *(0,~О . Пусть зафиксированы постоянные &.о>0, &ч>0,1< Нв <<х> и выбраны непрерывные функции р(Т)>0 у(х)>о > Удовлетворяющие соотношениям:

Т 4>(г) 6,(т) +V г >тс

г ф (г) > Уг>т0 //(га+ТСЛУ) - /с-г) *(2Т)"-I*. И0 Ут >х0

Тогда для и (Х,^) имеет место следующая априорная оценка типа принципа Сен-Венана

I (ч) = ^ ( |у:

Т / С1* ¿5 \ (2С)

еосрС2/^гСсН).

В частности, в случае задачи Кошя оценка (25) приводит к "тихоновскому" росту интеграла энергии

. N.

I>С 1(г<)^¡эСс^Г'-^Г")), С3>0

Для классических решений однородной задачи (23), (24) при донг мнительном предположении на структуру уравнения

(^и^ - эллиптические дифференциальные операторы.) априорные оченки типа принципа Сен-Вонана в терминах поведения вектщ-Ф.унк-пии (и,Рги ) установлены О.Л.Олейник и Е.В.Радкевтсг. И § -1.2 докг-?нпэе?ся основная теорега существования

Теорема 17. Пусть рост функций из правой части урав-

нения 123) ограничен неравенствами

К'«-

где функции jUfr), f(t) и постоянная С, из теоремы 16, а последовательность удовлетворяет условию

(Тогда задача (23), (24) разрешима.

Основные результата диссертации опубликованы в следующих рабо -тах:

1. Щишков А.Е. Условия устранимости особых множеств решений общих квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений на границе области//Докл.-АН УССР, сер.А.-1986.-Г 9.- С. 23-26.

2. Шишков А.Е. Поведение обобщённых решений задачи Дирихле для общих квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений в окрестности границы // Диф.уравн.-1987.-23, № 2,- С,308-320.

3. IL. ликов А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Cátí.,штеыатич,курн,-1987.-28,Ж5.-С. 134-146.

4. Шишков А.Е. Пришил Фрагмена-Линделёфа для квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка // УМН.-1988.-43, № 4.-

С. 131-132.

5. Шшков А.Е, Квазилинейные эллиптические уравнения в неогра -ниченных областях // Диф.уравн.-1988.- 24, № 8.- C.I4IO-I423.

6. Шишков А.Е. Принцип Фрагменэ-Линделёфа для дивергентных параболических уравнений // Сиб.матем.журн.-1989.- 30, № 2,- C.203-2I2.

7. Шишков А.Е. Поведение об ;щённнх решений смешанных задач для квазилинейных параболических уравнений высокого порядка в неограниченных областях I/ Укр.матем.журн.-1987.-39, № 5.-С.624-631.

8.. Шишков А.Е. Принцип Сен-Венана для квазилинейных дивергент -ных параболических уравнений и его приложения.- Киев.-1987.23.-40 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т математики).

9. Шишков А.Е. Поведение обобщённых решений эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях.- Г ¡ев.-1987,-№ 24.- 40 с. (Препринт / АБ УССР. Ин-т математики).

10. Шишков А.Е. Поведение решений дивергентных параболических уравнений в окрестности граничной точки.-В кн.: Функп. и числ. методы матей. физики.- Киев: Наукова думка,- 1988.- С.250-253.

/ II. Шишков A.B. Классы единственности решений смешанных задач, для параболических уравнений в нешлиндр"ческих областях // Докл. АН УССР, сер.А.- 1988.- »II.- С.35-37.

12. Шишков А.Е., Акулов В.Ф. Аналоги класса Тэклинда единственности решений смешанных задач для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН УССР, сер. А.-1989.-Jé 5. - С.23-25.

13. Шишкоь А.Е., Слеппова И.П. Смешанная задача для уравнения распространения возмущений ч вязких средах в неограниченных областях // Докл. АН УССР, сер.А.-1988.II.-С.28-31.

14. Шишков А.Е., Сдешова И.П. Существование растущих на бес -конечности решений смешанной задачи для некоторых эволюционных уравнений // Докл. АН УССР, сер.А.-1989.-№ 12.- С. 20-23.

15. ShlshkoT A. Phragmen-LindeltJf principle for parabolic equations in non-cylindrical regions // 5-th Conference on complex Analysis. Abstracts.-Halle.- 1988,- i>*79.

16. Shishkov A. Phragmen-LindelBf principle for qusilinear parabolic equations // BQUADIFF 7. Abstracts Il.-Praha.- 1989.-P.?8.

Подписано в печать 2.02.90. БП 04875.

Форм т б0x84/16. Бумага писчая. Офсетная печать.

Усл.п.л. 1,5. Заказ 2267. Тираж ЮОэкэ. Бесплатно.

Р-т НЭП АН УССР. 340048,г.Донецк, ул.Университетская,77.