Некоторые задачи теории упругости для тел с ромбоэдрической анизотропией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

005003415 На правах рукописи

Ватульян Карина Александровна

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ С РОМБОЭДРИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

- 1 АЕК 2011

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2011

005003415

Работа выполнена на кафедре теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Устинов Юрий Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Ляпин Александр Александрович

доктор технических наук, доцент Сметанин Борис Иванович Ведущая организация: Санкт-Петербургский

государственный университет

Защита состоится "20"декабря 2011 г. в 1545 на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, ул.Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд.211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г.Ростов-на-Дону, ул.Пушкинская, 148.

Автореферат разослан "18"ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Цилиндрические тела широко используются в качестве элементов конструкций. В строительстве это стержни, балки, колонны, элементы ферм и каркасов высотных зданий. В последние годы весьма часто они изготавливаются из композиционных материалов, обладающих анизотропией различного вида. Модели стержней применяются также в наномеханике с целью изучения свойств нанотрубок и других нанообъектов, что позволяет моделировать различные устройства и интерпретировать механизмы деформирования на наноразмерном уровне. В настоящее время актуальна задача определения эффективных упругих характеристик объектов наноразмерного масштабного уровня. Многими исследователями отмечалось несоответствие между значениями модулей упругости, полученными из микро- и макроэкспериментов, что требует дальнейшего изучения этого вопроса на основе решения некоторых модельных задач анизотропной теории упругости для цилиндрических тел, в том числе задач Сен-Венана.

В настоящее время существует несколько методов построения точного решения трёхмерных уравнений теории упругости для цилиндрических тел с произвольным поперечным сечением. Одним из наиболее эффективных методов является метод однородных решений.

В большинстве работ, посвященных решению задач Сен-Венана, рассматривались задачи для изотропных, трансверсально- изотропных или ортотропных цилиндрических тел.

Гораздо меньше изучены задачи Сен-Венана для неоднородных или анизотропных цилиндрических тел при отсутствии плоскостей упругой симметрии. Отметим, что соответствующие задачи Сен-

Венана для материалов, обладающих другими видами анизотропии, также представляют определенный научный интерес, как, например, задачи кручения и изгиба для цилиндрических тел с прямолинейной и винтовой анизотропией из неортотропных (с ромбоэдрической симметрией) материалов, которые часто являются связанными и требуют специального исследования.

Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.

Цель работы состоит в построении решений задач анизотропной теории упругости в случае ромбоэдрической симметрии для цилиндрических тел, в исследовании задач Сен-Венана о растяжении, кручений и изгибе, а также задач о винтовой дислокации и дисклинации для полого цилиндра.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:

1. на основе метода однородных решений исследованы задачи Сен-Венана (растяжения-сжатия, кручения, чистого изгиба и обобщенного изгиба поперечной силой) для призматических тел с ромбоэдрической анизотропией;

2. даны вариационные постановки краевых задач изгиба и кручения;

3. численно и аналитически построено решение задач Сен-Венана (обобщенные кручение и изгиб) для конкретных поперечных сечений (эллипс, прямоугольник), изучена структура поля напряжений;

4. решены задачи кручения-растяжения для цилиндра из материала с винтовой ромбоэдрической анизотропией для сечения в виде кольца, исследованы жесткости в зависимости от крутки;

5. для полого цилиндра решены задачи о дислокации и дискли-нации для цилиндра с винтовой анизотропией.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, основана на строгой математической постановке краевых задач анизотропной теории упругости, сведении их к плоским задачам, исследовании их разрешимости, сравнении результатов в частных случаях с известными.

Практическая значимость результатов настоящего исследования состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории упругости анизотропных тел со специальными видами анизотропии, при постановке и решении задач, связанных с изучением механических свойств и законов деформирования стержневых конструкций, в частности нанотрубок.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на X, XI, XIII, XIV международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды"(Ростов-на-Дону, Азов, 2006 г., 2007 г., 2009 г., 2010 г.), на III, IV, V всероссийских школах-семинарах "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете"(Дивноморское, 2007 г., 2008 г., 2009 г.), на V школе-семинаре "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика"(Ростов-на-Дону, 2006 г.), на международной научной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование" (Волгодонск, 2011 г.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (Ж№ 07-01-00254, 09-01-00065) и ведомственной целевой программой "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)"Рособразования, РНП.2.1.1/363.

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе две статьи представлены в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.

В совместных работах научному руководителю, профессору Ю.А. Устинову принадлежит постановка задач, основные идеи по построению решений, обсуждение результатов. Соискателю принадлежит формулировка и построение решений краевых задач, их исследование, составление программ, проведение расчетов и анализ результатов.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 86 наименований и приложения, включающего 32 рисунка и 3 таблицы общим объемом 105 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по теории стержней, полуобратному методу, задачам Сен-Венана, методам решения трёхмерных уравнений теории упругости для цилиндрических тел с произвольным поперечным сечением. Задачи Сен-Венана для цилиндрических тел с различными видами анизотропии изучались в работах Бердичевского В. Л., Гетмана И. П., Гольдштейна Р. В., Гомилко А. М., Городецкой Н. С., Городцова В. А., Гринченко В. Т., Джанелидзе Г. Ю., Ивановой Е.А., Илюхина А. А., Индейцева Д. А., Костюченко А. Г.,Кривцова A.M., Курбатовой Н. В., Лехницко-го С. Г., Лурье А. И., Лява А., Мелешко В. В., Морозова Н. Ф., Но-вацкого В., Папковича П. Ф., Саркисяна B.C., Семенова Б. Н., Ти-

мошенко С. П., Товстнка П.Е., Устинова Ю.А., Bors C.I., Horgan С. О., Khatiashvili G., Quan D., Toupin R. A., Yakobson В. I. и других отечественных и зарубежных авторов. В отмеченных исследованиях используется полуобратный метод, метод однородных решении, приводится обоснование принципа Сен-Вепана и его динамического аналога. Кроме того, для изучения свойств нанотрубок делаются попытки установления границ применения классической теории упругости на наноуровне.

Также во введении обоснована актуальность настоящего диссертационного исследования и сформулированы основные цели работы.

В первой главе приведены основные соотношения теории упругости анизотропных тел. Изложены общие основы метода однородных решений и основные свойства однородных элементарных решений. В первом параграфе дана постановка задачи Сен- Вешана для анизотропного цилиндрического тела V = S х [0,/], где S — поперечное сечение цилиндра, I — его длина, 0S — граница S, Г = öS х [0,/] — боковая поверхность цилиндра. Приведены уравнения равновесия, граничные условия на боковой поверхности и соотношения закона Гука.

Во втором параграфе рассмотрена постановка задачи Сен- Вена-на в случае ромбоэдрической анизотропии материала со следующей матрицей упругих постоянных:

С =

Си С12 С13

Си

о о

с 12 Си С13 -Си

о о

С13 См

С13 -Си

Сзз О

О с44

о о

О О

О О О О

О О О О

си Си си СС6

(1)

причем в операторном виде задача имеет вид: Ь (д) и = -д2Си - дВи + Аи — О

М (<9) и = (дС0 + С^Нг = 0.

(2) (3)

Здесь

А =

В =

с =

Сх =

с\\д1 + сб09| (с!2 + с^)д\д-2 2сид$2 (сп + с^дЛ Стд1 + спдI си{д\ — 9|) 2сид,д2 си{д1-Щ) си(д\ + д1)

2сид2 2014^

(2сид1 -2сид2 (С13 + С44)^1 (С13 + си)д2

(С13 + С44)^1 (С13 + си)д2

о

С44 О О О с44 О О О с33

<?о =

п2си ЩСи ЩС13 ЩСи -п2сы П2С13 ЩСи П2си О

щсцд^ + п2стд2 щс12д2 + п2стд1 си{щд2 + п2ду) П1С6сд2 + п2сх2д1 щс^дх + п2спд2 с^тг^ - п2д2) сы(щд2 + щдг) с^щ«^ - п2д2) с44(щ<91 + п2<92)

где щ,п2 -компоненты единичного вектора внешней нормали к Г.

Отметим, что в случае, когда си = 0, матрица модулей упругости (1) характеризует транверсально-изотропный материал.

В третьем параграфе введено понятие однородного элементарного решения

иа{х) = еъхаа{хъх2), (4)

соответствующего собственному значению 76. краевой задачи. Описан алгоритм построения жордановых цепочек для определения собственных векторов задачи и приведены общие свойства возникающих спектральных задач.

Вторая глава посвящена построению жордановых цепочек и определению интегральных характеристик элементарных решении для цилиндра с ромбоэдрической прямолинейной анизотропией.

В четвертом параграфе введены первые шесть элементарных решений, отвечающих смещению тела как твердого целого н поворотам. В винтовой системе координат эти представления необходимы для построения жордановых цепочек и отвечающих им элементарных решений, описывающих НДС Сен-Венана.

В следующем параграфе осуществлено построение жордановых цепочек для нулевого собственного значения на основе приведенного ранее алгоритма. Получены следующие краевые задачи:

Aa\ = F\, Gia\\dS = fl\as ,

F\ = Ba\ + Cal = (ci3,0,0)T, (5)

las = G"aílas = («iCi3^i,n2C13^,0)T|as

Aa\ = Fl, Gia\\os = fl\ds'

F\ = Ba\ + Ca\ = (0,0, (c33 - 2v{cu + cu))x if, (6)

/ cu(n2~(x

f\\os = G0al\ds = - ci4(ni

\[x

- x\) + n\UXiX2) \ X$) - n2VX\X2)

\ Сц{п\Цх1 - x'f) + n2VX\X2) J

os

Aa\ = Fl Gia¡\gs= f¡\os, (7)

F¡ = Bal + Ca¡ = (0,c13,0)r,

fl\dS = G°al| OS = (га1с13^2,И2С13Ж2,0)Т|да

Aa\ = F\, Gial\gs= fl\as,

F\ = Ba\ + Gal = (0> 0. (сзз - Md* + cu))x2)T, (8)

/ Cu(ni%(xl - X%) + n2UXiX2) \ fl\os = Gtial\dS = - cuímisx^ - n2%(xj - x$))

\ с^щг/х^ + n2f(xf - J gs

Аа1 = Р1 С1а1\08=^\вз,

= 0, /?|03 = (щей, п2с13,0)т| ^ (9)

= 0, (10)

(Си(щХ2 ~ ЩХх) \ си(щх2 + ЩХ\) , си(щх2 - п2х{) ! д8

где и = с13/(сп + С12).

Построены интегральные характеристики, соответствующие этим элементарным решениям и на основе их структуры сделан вывод о том, каким видам нагружения какие элементарные решения соответствуют, в частности, установлено, что для большинства элементарных решений Сен-Венана невозможно разделить задачи по типу напряженного состояния, как это имеет место для изотропного случая.

В шестом параграфе представлено общее решение трехмерной задачи в виде суммы элементарных решений Сен-Венана и решений типа погранслоя, локализующихся у торцов цилиндрического тела.

Седьмой параграф разбит на пункты. В пункте 7.1 приведено решение задачи о растяжении, основанное на методе однородных решений, совпадающее с известным.

В пункте 7.2 сформулирована краевая задача на сечении для кручения. Решение отыскивается в виде

и = ахаъ + а\, (Ц)

щ = (-х2,хь0)т, ах = (аьа2,аз)г, щ = щ(хъ х2), ¿ = 1,2,3,

где а — относительный угол закручивания (произвольная постоянная). аз - осевое смещение - описывает депланацию поперечного

сечения, а решения 01,02 - напряженно - деформированное состояние (НДС) плоской задачи. В общем случае, когда си ф 0, имеем связанную краевую задачу относительно трёх функций. Также в этом подразделе доказывается разрешимость полученной краевой задачи (10). Для произвольного поперечного сечения эта задача может быть решена лишь численно, однако в некоторых частных случаях удалось построить аналитическое решение.

В пункте 7.3 приведены решения для частных случаев задачи кручения. Для цилиндра эллиптического поперечпого сечения с полуосями (¿1 и (¿2 построено аналитическое решение вида

Компоненты тензора напряжений имеют следующий вид:

СТЦ = 0, 0*22 = 0, <7зз = 0, <712 = 0,

(т2з = 2аИ2си {-к+ 1) XI, <713 = 2аВхС44 {к - 1) х2,

где к = с^4(с44сбб)-1. Отметим, что из всех компонент тензора напряжений, как и в случае изотропного материала, ненулевыми являются только касательные напряжения <713 и а2з, линейным образом зависящие от соответствующих координат, однако коэффициенты пропорциональности имеют дополнительный вклад, пропорциональный квадрату с14] в формулах для смещений щ и и2 имеются дополнительные слагаемые, пропорциональные си и характеризующие полиномиальные добавки, зависящие от координат хх и х2, формула для смещения щ, характеризующего депланацпю

(12)

I

г/3 = а(П2 - -0.7 = + 3 =

и

сечения стержня, не зависит от си и имеет такой же вид, как и в случае стержня эллиптического поперечного сечения из изотропного материала, а у стержня с круговым сечением в рассматриваемом случае анизотропии депланация отсутствует. Таким образом, для поперечного сечения в виде эллипса скручивающие нагрузки не создают плоского напряженного состояния. Построенное аналитическое решение может служить для оценки точности КЭ пакетов. В качестве иллюстрации представлено сравнение полученного аналитического решения и численных результатов, полученных с помощью конечноэлементного пакета ИехРОЕ.

X, х2 10"Па, Р1ехРБЕ 10''Па, точное решение

и 0 -4.7е-8 0

2 0 1.64е-3 0

и 1 -3.02 -3.02

1.0 и.ь -1.51 -1.51

Таб лица 1: Сравнение значений <713

Х-2 10"Па, Е1ехРБЕ 10иПа, точное решение

и 0 8.54о-9 0

2 и 1.51 1.51

и 1 -1.42е-4 1.2е-3

1.0 и.ь 0.75 0.75

Таблица 2: Сравнение значений ощ

Также в данном подразделе представлено численное решение задачи о кручении для стержня с прямоугольным сечением. Изучены особенности напряженного состояния и влияние коэффициента С14: в случае, когда си = 0, ненулевыми являются только касательные напряжения, однако для ромбоэдрической анизотропии (сы ф 0) ненулевыми являются все шесть компонент тензора напряжений, причем касательные напряжения сг13 и сг23 на порядок больше остальных.

В пункте 7.4 решена задача о чистом изгибе, получено аналитическое решение, также совпадающее с известным. Показано, что в

этом случае коэффициент упругости си не влияет на решение.

В пункте 7.5 сформулирована задача об изгибе стержня поперечной силой Р, показано, что задачи об изгибных деформациях и плоской деформации не разделяются и связаны между собой. Доказана разрешимость полученной краевой задачи на сечении.

Пункт 7.6 содержит частные случаи задачи обобщенного изгиба. Задачи об изгибной деформации (и соответственно об отыскании касательных напряжений при изгибе) и тензор плоских напряжений связаны через граничные условия на боковой поверхности, а связующий коэффициент - сц. Соответственно, в силу этого свойства даже для поперечного сечения произвольного вида можно построить разложения по этому параметру и решать попеременно задачу изгиба и плоскую задачу с различными граничными условиями. В качестве начального приближения для такого разложения рассмотрена задача в случае, когда с\\ — 0:

где (3- параметр, пропорциональный изгибающей силе Р.

Построено решение для эллиптического сечения, которое может служить в качестве тестового для верификации результатов численного исследования с помощью КЭ пакетов.

В случае су ф 0 для эллиптического поперечного сечения компоненты тензора напряжений построены в виде полиномов второго порядка, зависящих от двух переменных Х1,Х2.

Да3 = -¡3—{2и(си + схз) - сзз)®! = РАПХ1 си

п^аз + п2д2а3\дз = -/3 (^{х1 - х1) + п2рхгх2)

1

(13)

дБ

р

033 =---Х2Х -

где А\ и Вх- постоянные, вид которых не приводится из-за громоздкости; отметим, что главная часть Д пропорциональна с14 и все компоненты плоского поля напряжений пропорциональны этому параметру.

Также в этом пункте приведено численное решение задачи обобщенного изгиба для прямоугольного поперечного сечения. Отличными от нуля являются все компоненты тензора напряжений. Проведен сравнительный анализ со случаем си = 0. Оказалось, что небольшой вклад ромбоэдрическая анизотропия вносит только в распределение напряжения <т33, для касательных напряжений и 023 влияние коэффициента си несущественно; компоненты плоского поля напряжений равны нулю.

В восьмом параграфе дается вариационная постановка задач о кручении и об изгибе поперечными силами на основе вариационного принципа Лагранжа. Такая постановка может быть использована для решения задач с помощью прямых методов типа МКЭ или метода Ритца.

Третья глава диссертации посвящена решению задач Сен- Ве-нана о кручении и растяжении, о винтовой дислокации и клиновой дисклинации для полого цилиндра с криволинейной анизотропией и винтовой ромбоэдрической анизотропией.

В пункте 9.1 исследована задача кручения кругового полого цилиндра с ромбоэдрической цилиндрической анизотропией. Решение

имеет вид:

2 , /V , ^

аг = —(—т + -А + q) Си г

*, = «« (г+ + +

О.,, = ас,4 (-г + ^ (я ~ 2г - К^) + (« - г 4- К)

а,-г = асп— — 3 г) Си

где п, г2- внутренний и внешний радиусы цилиндра соответственно, а - относительный угол закручивания,

(^1Г2)2 (г'1 + т\ + пг2) сц + сп

р —-, а =-, а —-

п + г> Г\ + г2 Сц - сп

Получена формула для жесткости на кручение:

С = ^ - г'}) (си - - аЛкР(г2 - п). (14)

2 \ сц/ сц

Первое слагаемое представления (14) есть традиционное произведение полярного момента инерции кольца на упругий модуль. Второе слагаемое также есть произведение некоторой геометрической характеристики сечения на упругую характеристику, пропорциональную квадрату с14. Построены графики жесткостей на кручение для трансверсально-изотропного и ромбоэдрического материалов, на основе которых можно сделать вывод, что наличие анизотропии, связанной с ненулевым модулем Си, уменьшает жесткость на кручение примерно на 5-10%.

Как и в задаче с прямолинейной анизотропией, отличны от нуля планарные напряжения агт и а во, пропорциональные модулю сц.

В пункте 9.2 представлено решение задачи о растяжении полого цилиндра с криволинейной анизотропией.

В десятом параграфе проанализированы задачи для цилиндра с винтовой анизотропией, описанные в монографии Ю.А.Устинова1. Закон Гука в базисе винтовой системы координат е^ имеет вид:

а' = С'е', С' = (су (и = 1,...,6) (15)

где модули упругости с'^ выражаются через сц, г, г.

Для растяжения и кручения решение может быть представлено в виде

4

«5 = ХМ

1=1

и1 = (0,0,1)Г, и2 = (0,г,0)Г, «3 = ги1 + аз, иА = ги2 + щ

а, = (аГ),,, ав,я, , 5 = 3,4.

Для нахождения векторов-функций ая имеем следующие краевые задачи:

Zar<s = К., /аг,в|г=га = /а, я-! (16)

где

й ,йа81 йа8 1 . , . с?а, 1 .

^ = Тг{гс^+~с«¿г" ;С22Й5' 1а°=^+г12а,?

<г - Ч • Р1 - ^ГС1з) , „/ Г / / N

5 - 3 . _--_ + с23, /а 3 = -с13(га)

5 = 4: ^ = + гс'24, /а>4 = -гиС'14(га)

Затем приведено решение задач методом малого параметра, где построено регулярное разложение по параметру, пропорциональному коэффициенту си. Главным членам разложений компонент

1 Устинов Ю. А. Задачи Ссн-Всшша душ исевдоцшшидрои. М.: Фюыатлит, 2003. 128 с.

напряжений отвечает решение задач растяжения и кручения цилиндра с цилиндрической ромбоэдрической анизотропией, построенное ранее. Для построения следующих членов разложения требуется процедура численного интегрирования.

Численное решение осуществлено на основе сведения к канонической системе дифференциальных уравнений первого порядка и далее с помощью метода прогонки в пакете Maple.

На основе численного интегрирования исследованы зависимости нормированных элементов матрицы жесткостей от параметра а = arctgro £ [0,90°] при различных значениях параметра а = п/г2

Dn = dn/<Pn, D22 = d22/42,

где

< = тг U - 1т\ - Г?),

V С11 + С12/

— жесткости цилиндра на растяжение и кручение при а = 0 соответственно.

Рис. 1:

На рис.1 изображены графики жесткости на растяжение Du и жесткости на кручение D22.

Кривые 1 на этих рисунках отвечают значению а = 0.1, кривые 2 — а = 0.4, кривые 3 — а = 0.8.

Отметим, что наибольшая жесткость на растяжение наблюдается при значении параметра а из диапазона [45°, 65°], положение максимума зависит от значения а. Для жесткости на кручение этот диапазон другой - от 10° до 25°. Жесткость на кручение имеет минимум в диапазоне от 50° до 65°. Положение минимума и максимума жесткости на кручение также зависит от значения а.

ЭО 40 30 «О 70 80 ОС

Рис. 2:

Проведен анализ влияния модуля упругости си на жесткость. На рис.2 приведены графики жесткости на кручение для случаев трансвсрсально- изотропной (кривая 1) и ромбоэдрической (кривая 2) анизотропии при а = 0.4. Отметим, что в случае трансверсально-изотропного тела жесткость на кручение не имеет максимума, однако положение минимума находится приблизительно в том л« диапазоне углов а. Таким образом, учет модуля с14 в случае винтовой анизотропии существенно влияет на наличие и положение экстремумов жесткости на кручение.

В пунктах 11.1 и 11.2 рассмотрены задачи о винтовой дисло-

-0 001 -0.0012 -0.0014 -0 001В

-Doom -0.002

\

\

PllC. 3: (Т22 И Ого

кащш и клиновой дисклинации Вольтерра в цилиндре с винтовой анизотропией. Показано, что получившиеся краевые задачи имеют такую же структуру, что и задача о растяжении-кручении; они решались численно в пакете Maple. На рис.3 приведены графики нормированных компонент напряжений azz и azg в задаче о дислокации в зависимости от параметра £ = ц при фиксированном угле крутки а.

Рис. 4: <тгг п <т20

Отметим, что результаты расчетов в первой задаче показали, что компонента тензора напряжений ст22 имеет экстремум, а компонента ого- монотонно убывает.

На рис.4 приведены графики нормированных компонент напряжений аг2 и ого в задаче о дислокации в зависимости от угла а при фиксированном параметре Отметим, что огх монотонно убыва-

ет, а компонента а::0 немонотонна. Аналогичный численный анализ проведен для задачи о дисклинации.

В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Решение задач Сен-Венана о растяжении, кручении, чистом изгибе и обобщенном изгибе цилиндра с прямолинейной ромбоэдрической анизотропией с помощью метода однородных решений, сравнительный анализ полученных аналитических и численных результатов.

2. Решение задачи кручения для цилиндра с криволинейной ромбоэдрической анизотропией, анализ жесткости в зависимости от крутки.

3. Решение задач растяжения-кручения для полого цилиндра с винтовой ромбоэдрической анизотропией.

4. Решение задач о дислокации и дисклинации для цилиндра с винтовой ромбоэдрической анизотропией.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ватульяи К. А. Задача Сен- Венана кручения цилиндрического анизотропного стержня.//Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды V школы-семина] Ростов-на-Дону, 18-21 декабря 2006 г. ЦВВР, 2007. С. 56-58.

2. Батулъян К. А., Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для графитовых нанотрубок.// Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды III Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 28 мая- 1 июня 2007 г. Ростов-на-Дону, Терра Принт, 2007. С. 25-26.

3. Ватульян К. А., Устинов 10. А.Задача Сеи-Венана о чистом изгибе цилиндра с ромбоэдрической анизотропией.// Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды IV Всероссийской школы-семинара. Дивномор-ское, 2- 6 июня 2008 г. Ростов-на-Дону, Терра Принт, 2008. С. 28.

4. Ватульян К. А., Устинов К). А. Решения задач Сен- Бенина для призмы с ромбоэдрической анизотропией.// Владикавказский математический журнал, 2008. Т. 10. Вып. 4. С. 23-30.

5. Ватульян К.А., Устинов К).А. Задача Сен- Венана для прямоугольной призмы с ромбоэдрической анизотропией.// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции. Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009

г. Издательство Южного федерального университета, 2009. С. 5256.

6. Ватульян К. Л.Задача о дислокации для цилиндра с винтовой ромбоэдрической анизотропией.// Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону, 2010. Том XV. С. 11-16.

7. Ватульян К. А., Устинов Ю. А. Задача Сен-Венана для тел с винтовой ромбоэдрической анизотропией. Задачи растяжения-кручения. // ПМТФ, 2010. Том 51. № 1. С. 125-133.

8. Ватульян К. Л.Дислокации в цилиндре с винтовой ромбоэдрической анизотропией.// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIV международной конференции. Ростов-на-Допу, Азов, 19-24 нюня 2010 г. Издательство Южного федерального университета, 2010. С. 91-95.

9. Ватульян К. А. Задача о кручении цилиндра с ромбоэдрической анизотропией// Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Все-

российской школы - семинара. Дивноморское, 30 мая -2 июня 2011 г. Ростов-на-Дону. Изд-во Южного федерального университета, 2011. С. 25.

10. Устинов К). А., Ваигулъяи К. А. Задача Сен-Венана для графитовых стержней и углеродных нанотрубок. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции. Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г. ЦВВР, 2007. II том. С. 299-303.

11. Устинов К). А., Ватульяп К. А. Задача Сен-Венана для призмы со сложной анизотропией.// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XI международной конференции. Ростов-на-Дону, 26-28 ноября 2007 г. ЦВВР, 2008. II том. С. 199201.

12. Устинов Ю.А., Ватульяп К.А. Задача Сен-Венана об изгибе поперечной силой призмы с ромбоэдрической анизотропией. // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды V Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 1 -5 июня 2009 г. Ростов-на-Дону. Терра Принт, 2009. С. 23 25.

Сдано в набор 15.11.2011. Подписано в печать 15.11.2011. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0. Бумага офсетная. Тираж 120 экз. Заказ 1511/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

Введение

Глава I. Элементы теории упругости анизотропных тел

1. Постановка краевой задачи для упругого анизотропного цилиндра

2. Задача Сен-Венана для тел с ромбоэдрической анизотропией.

3. Метод однородных решений. Однородные элементарные решения и их свойства.

Глава II. Задачи Сен-Венана для призмы с ромбоэдрической анизотропией.

4. Решение спектральной задачи для построения элементарных решений Сен-Венана

5. Построение жордановых цепочек и отвечающих им элементарных решений

6. Общее представление решения трехмерной задачи.

7. Построение решений для конкретных задач.

7.1 Задача растяжения

7.2 Задача кручения

7.3 Частные случаи задачи кручения

7.4 Задача чистого изгиба.

7.5 Задача изгиба поперечной силой

7.6 Частные случаи задачи обобщенного изгиба

8. Вариационная постановка краевых задач, определяющих элементарные решения Сен-Венана

Глава III. Задачи Сен-Венана для цилиндра с криволинейной анизотро

9. Случай цилиндрической ромбоэдрической анизотропии

9.1 Задача кручения

9.2 Задача растяжения

10. Случай винтовой ромбоэдрической анизотропии. Задачи растяжения и кручения

11. Задачи о дислокациях Вольтерра.

11.1 Задача о дислокации

11.2 Задача о дисклинации

Цилиндрические тела широко используются в качестве элементов конструкций. В строительстве это стержни, балки, колонны, элементы ферм и каркасов высотных зданий. Стержни и рамы являются основными несущими элементами в конструкциях кораблей, самолетов, ракет. Они используются в качестве образцов при исследовании физико-механических свойств различных материалов. Цилиндрические тела также используются в качестве волноводов и резонаторов в современных устройствах и приборах [53], причем формулировка простых моделей деформирования цилиндрических тел основана на некоторых гипотезах и упрощенных подходах.

Модели стержней применяются также в наномеханике с целью изучения свойств нанотрубок и других нанообъектов, что позволяет моделировать различные устройства и интерпретировать механизмы деформирования на на-норазмерном уровне. В последние годы большое количество исследований связано с созданием и изучением наноразмерных трубок. Наряду с исследованием электронных и оптических свойств таких наноструктур важным оказывается изучение их механических свойств и исследование законов деформирования.

В настоящее время актуальна задача определения эффективных упругих характеристик объектов наноразмерного масштабного уровня. Многими исследователями отмечалось несоответствие между значениями модулей упругости, полученными из микро- и макроэкспериментов, что требует дальнейшего изучения на основе решения некоторых модельных задач теории упругости.

Традиционные задачи теории стержней состоят в исследовании прочности, устойчивости, жесткости и несущей способности стержней и стержневых систем. Начиная с основополагающих работ Я.Бернулли и Л.Эйлера важную роль в решении этих задач играет математическое моделирование, которое включает в себя, во-первых, вывод основных уравнений с учетом физико-механических свойств материалов, из которых они изготовлены; во-вторых, в развитии аналитических и численных методов решения для исследования их поведения (прочности, деформационных свойств и др.) при воздействии на них внешних механических усилий, температуры, электромагнитного поля.

Развитие теории стержней и стержневых систем исторически осуществлялось в двух направлениях.

Первое направление связано с введением гипотезы плоских сечений, в рамках которой задача об исследовании напряженно-деформированного состояния цилиндрического тела сводится к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобные модели называются одномерными, а способ их построения - методом гипотез. На этом пути в XIX веке Кирх-гоффом, Клебшем, Брессом осуществлено построение теории криволинейных стержней, уточненной теории изгиба для коротких стержней, позволяющей учесть влияние дополнительных факторов на напряженно-деформированное состояние [53] в таких элементах.

Примером уточненной теории может служить математическая модель балки, предложенная С.П.Тимошенко [46]. В рамках этой модели, уточняющей техническую теорию изгиба стержней, предполагается, что поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформируемой срединной линии стержня: нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом поперечных сечений. Отметим также работы, выполненные в 70-х годах прошлого века [25]- [27]. Второе направление связано с развитием методов интегрирования уравнений теории упругости — системы уравнений в частных производных [21]. Первые исследования в этом направлении провели в XIX веке создатели теории упругости- Коши, Навье и Сен-Венан.

В 1855-1856 гг. были опубликованы работы Барре де Сен-Венана "Мемуар о кручении призм "и "Мемуар об изгибе призм" [44]. В этих работах Сен-Венан. основываясь на уравнениях теории упругости, дал общее решение поставленных ещё Галилеем и Кулоном проблем изгиба и кручения стержней. В мемуарах излагались три основных идеи: 1) создание полуобратного метода; 2) переход на торцах к интегральным граничным условиям и 3) установление принципа, носящего имя Сен-Венана.

Суть полуобратного метода состоит в том, что часть напряжений или перемещений задается, а оставшиеся напряжения и перемещения определяются из уравнений теории упругости. Этим достигается значительное облегчение решения задач, сводящихся в большинстве случаев в изотропном случае к хорошо изученным краевым задачам математической физики на поперечном сечении цилиндра.

Переход от точных граничных условий на торцах к заданию лишь главного вектора и главного момента распределенных там усилий был введен не только для упрощения постановки задачи, но и потому, что инженер, как правило, не знает точного распределения нагрузок, действующих на конструкцию [22, 44].

Формулировка принципа Сен-Венана наиболее четко дана Лявом [35]:

Если к небольшой части поверхности тела приложена система сил, приводящаяся по правилам статики к силе и паре, равным нулю, то деформации, производимые этой нагрузкой в точках, удаленных на расстояния, которые можно считать большими по сравнению с линейными размерами этой части поверхности, пренебрежимо малы."

Такое изложение принято, например, в курсах теории упругости С.П. Тимошенко [45], П.Ф. Папковича [39], Н.И. Мусхел ишвили [37]. Однако, как отмечено в [83], в этом случае возможны ситуации кажущегося нарушения принципа Сен-Венана (например, для тонкостенных стержней двутаврового сечения). Ясно, что в уточненной формулировке принципа необходимо требовать, чтобы размер области загружения торца был малым по сравнению со всеми характерными размерами стержня [19].

Сен-Венан исследовал задачи о кручении и изгибе призмы, один торец которой жестко заделан, ко второму приложена некоторая система внешних усилий, а боковая поверхность свободна от напряжений. При этом он исходил из математической постановки задачи, в которой призма (стержень) рассматривалась как трехмерное упругое тело.

Поставленная задача оказалась весьма сложной для исследования и Сен-Венан, понимая это, предложил новый приближенный метод построения решения трехмерных задач теории упругости для призматических тел. который сам назвал полуобратным, согласно которому часть компонент тензора напряжений полагается равной нулю, а оставшиеся компоненты определяются из более простых двумерных краевых задач на сечении.

Опираясь на полуобратный метод и свой принцип, Сен-Венан затем исследовал задачу об изгибе призмы, один из торцов которой жестко заделан, а ко второму приложена нагрузка, эквивалентная поперечной силе и получил аналогичные результаты, т.е. сложную задачу для трехмерных уравнений теории упругости свел к решению двумерных задач для более простых уравнений. При этом не ограничился теоретическими результатами, а опираясь на построенные им решения, провел серию расчетов и дал ряд важных рекомендаций по определению жесткости стержней канонической формы.

Успех в применении полуобратного метода для исследования напряженно - деформированного состояния цилиндра во многом был предопределен тем. что напряжения на площадках, параллельных образующей, в решении Сен-Венана равны нулю. Это обусловлено относительной простотой формы тела.

Попытки применения полуобратного метода к телам более сложной формы оказались малоэффективными.

Работы Сен-Венана совместно с исследованиями Коши и Пуассона по теории пластин заложили основу одного из научных направлений в теории упругости, которое 60-х годах нашего столетия академиком И.И. Воровичем было названо как "Проблема предельного перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным и одномерным".

Своими трудами Сен-Венан внес громадный вклад в развитие теории упругости и получил всеобщее признание среди специалистов.

Однако, каждое решение Сен-Венана хотя и удовлетворяет точно трехмерным уравнениям теории упругости, но. по сути, является приближенным, поскольку граничные условия на торцах удовлетворяются в интегральном смысле. В подходе Сен-Венана построение этих решений опирается на полуобратный метод, а невязка в граничных условиях компенсируется принципом Сен-Венана, согласно которому решение, соответствующее самоуравновешенной части нагрузки, локализуется у торцов стержня. Этот принцип наглядно иллюстрируется на частных задачах, для которых удается получить точное решение (например, в задаче о кручении стержня с круговым поперечным сечением [34]).

Принцип Сен-Венана привлекал внимание многих отечественных и зарубежных ученых. Его обоснованию посвящены работы [4, 49, 3, 59] и др. Работы [18, 19, 63, 71] посвящены формулированию и обоснованию динамического аналога принципа Сен-Венана. Работа [73] посвящена исследованию принципа Сен-Венана и концевых эффектов в анизотропной теории упругости.

В настоящее время существует несколько методов построения точного решения трёхмерных уравнений теории упругости для цилиндрических тел с произвольным поперечным сечением. Одним из таких методов является метод однородных решений. Он берет свое начало в работах Похгаммера [79] и Кри [66]. Этими учеными он был применен для изучения процесса распространения гармонических волн в бесконечном круговом цилиндре. Путем развития этого метода удалось, в частности, дать ответ и на те вопросы, которые оставались неясными после выхода работ Сен-Венана. В [15] дается современное изложение метода однородных решений для цилиндрических тел из произвольного анизотропного материала.

Впервые построение решений Сен-Венана для цилиндра с произвольным поперечным сечением на основе метода однородных решений было осуществлено в работе [28]. В ней было показано, что эти решения являются линейной комбинацией двенадцати элементарных решений, соответствующих двенадцатикратному нулевому собственному значению спектральной задачи на сечении, которая получается в результате разделения переменных. Ранее аналогичный подход был применен в [14]. В этих работах при исследовании трехмерной задачи для поперечно-неоднородной плиты было показано, что так называемые "бигармонические решения", с одной стороны, по своим интегральным свойствам являются аналогом решений Сен-Венана, а с другой -элементарными решениями, соответствующими кратным нулевым собственным значениям двух спектральных задач.

В большинстве работ, посвященных решению задач Сен-Венана для цилиндрических тел, рассматривались задачи для изотропных или ортотроп-ных цилиндрических тел [32, 53, 34]. Наиболее полным исследованием для анизотропного случая следует признать монографию С. Г. Лехницкого "Теория упругости анизотропного тела", где на основе использования обобщенных комплексных потенциалов изложена общая теория двумерных задач для анизотропных тел, приведены решения задач о растяжении, изгибе моментами и поперечными силами, кручении анизотропных (ортотропных) стержней, в частности с прямоугольным и эллиптическим сечениями, для анизотропных тел вращения. Отметим, что в этой монографии представлены решения для частных случаев анизотропии: ортотропный случай, трансверсально-изотропный, для которых решения представлены в виде простых формул. Кроме того, отметим монографию [42], где также решен ряд важных задач для анизотропных неоднородных тел. Гораздо меньше изучены задачи Сен-Венана для неоднородных или анизотропных цилиндрических тел при отсутствии плоскостей упругой симметрии [82]. Однако, соответствующие задачи Сен-Венана для материалов, обладающих другими видами анизотропии, также представляют определенный научный интерес, как, например, задачи кручения и изгиба для цилиндрических тел из неортотропных(ромбоэдрических) материалов, которые часто являются связанными и требуют специального исследования. В частности, таким типом анизотропии обладают углеродные нанотрубки.

Углеродные нанотрубки, интерес к которым сейчас очень сильно возрос в связи с многочисленными приложениями, состоят из одной или нескольких свернутых в трубку графитовых плоскостей и по своему молекулярному строению очень схожи с графитом. Монокристаллический графит обладает сильной анизотропией молекулярного строения, которая находит отражение в сильной анизотропии его макроскопических свойств.

По типу анизотропии структуры и свойств графит наиболее часто относится к гексагональному типу, который часто именуют также а-графитом. В природном графите наряду с такой основной гексагональной структурой порядка 30% составляет также /3-графит с несколько другой симметрией, относящейся к ромбоэдрической сингонии [43].

Элементарная ячейка в тригональной (или ромбоэдрической) сингонии имеет форму деформированного куба, который можно получить в резуль

Ъу, г „г

Рис. 1: Элементарная ячейка в ромбоэдрической сингонии тате растяжения или сжатия куба вдоль его главной диагонали [1] (Рис. 1).

Типичные представители такой сингонии - кристаллы кварца (£402 )•

Исследования в области наиоразмерных стержней имеют своей целью в первую очередь нахождение эффективных жесткостей наноструктур и установление границ применения классической теории упругости на ианоуровие [16. 17, 20, 23, 24, 29, 30, 33, 36, 69, 77. 80, 85, 86].

В работе [23] была сделана попытка разработать теоретическую основу экспериментального определения параметров жесткости нанообъектов. Отметим, что один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей, используемых в макромехаиике, основан на измерении собственных частот исследуемого объекта. В работе обсуждаются различные аспекты использования этого метода применительно к нанообъектам. Предлагается метод экспериментального определения параметров жесткости, основанный на явлении динамического гашения колебаний (антирезонанса).

В работе [24] на примере дискретной модели монокристалла разработана методика определения изгибной жесткости наиоразмерных структур с учетом моментного взаимодействия на паноуровне. Получены поправки, связанные с учетом моментного взаимодействия и позволяющие описать механические свойства однослойных наноструктур.

Отмечая несоответствие между значениями основных механических характеристик, полученных из микро- и макроэкспериментов, авторы статьи [33] объясняют это несоответствие противоречием между очевидной дискретностью рассматриваемого объекта и континуальностью его описания, принятого в классической механике деформируемого твердого тела. В этой работе для нанопластины и нанобруса определяются значения модулей упругости -коэффициентов Пуассона и модулей Юнга в трех направлениях и исследуется зависимость этих значений от размеров нанообъекта.

В статье [16] принимается концепция, согласно которой утверждается, что регулярность атомной структуры нанотрубок даёт возможность заменить систему атомов эквивалентной моделью упругих изотропных стержней.

В [30] методами молекулярной динамики было установлено, что масштабные факторы вносят существенный вклад в значения упругих характеристик нанокристалла, но это не означает, что классическая теория упругости неприменима на наноуровне. Она должна использоваться с учетом масштабных эффектов, а адекватность континуального подхода следует оценивать при рассмотрении конкретных задач.

В статье [85] изучается влияние надмолекулярных взаимодействий на механические процессы в наночастицах и нанотрубках, на возникновение в них деформаций изгиба, кручения. В силу особенностей строения нанотрубок супрамолекулярные взаимодействия в них оказываются значительными по сравнению с большинством молекулярных структур. Обсуждаются общие аспекты и проблемы супрамолекулярной механики, в том числе приводится краткий обзор механических свойств нанотрубок, особое внимание уделено обсуждению способов определения параметров в рамках линейной теории упругости. Обсуждение теоретических исследований дополняет краткое описание экспериментальных результатов для всего спектра амплитуд деформаций.

В диссертации [69] предложено эквивалентное ортотропное представление механических свойств многослойных углеродных нанотрубок для моделирования анизотропного механического поведения этих трубок при различных типах деформации. Также представлены разработки аналитических моделей микромеханического контакта и деформации углеродных нанотрубок. Модель была исследована на основе метода конечного элемента; проведено исследование задач о чистом изгибе, осевом сжатии и изгибе поперечными силами.

Работа [76] посвящена рассмотрению трех различных подходов к решению задач Сен-Венана в "слабой"постановке: в терминах смещений, в терминах напряжений и в терминах смещений-напряжений (смешанный подход). Различные типы задач приводят к формулировке двумерных краевых задач Неймана и Дирихле. Аналитически исследованы задачи для упругих цилиндров, поперечные сечения которых ограничены кусочно-гладкими кривыми.

В работе [67] для изучения деформаций призматического тела, изготовленного из пористого линейно-упругого изотропного материала, используется полуобратный метод. На торцах тела приложены самоуравновешенные силы. Как и в классической теории, задача сводится к решению плоских задач для эллиптических операторов. Авторами показано, что гипотезы Клебша-Сен-Венана и Фойхта для данной задачи не справедливы. Полуобратный метод применен и авторами работы [70] для исследования задачи Сен-Венана для цилиндров из пористых, но уже неоднородных анизотропных упругих материалов. Решения описаны в терминах пяти обобщенных плоских задач. Представлены результаты по применению такого подхода в задачах раздувания, изгиба и кручения правильных круговых цилиндров в случае изотропных материалов.

В статье [65] предлагается использование новых конечных элементов при расчете напряжений в задаче кручения и сдвига для стержней из анизотропных материалов. С использованием этого элемента представлены матрицы жесткости и векторы нагрузки.

В [75] изучены задачи Сен-Венана для однородных изотропных двухслойных эллиптических трубок и для изотропной эллиптической трубки с анизотропным стержнем. Для построения решения рассматриваемых задач использовались полиномы Фабера.

Работа [72] продолжает начатое в [48] и [55] исследование и имеет своей целью привлечь внимание к тому факту, что обычное применение принципа Сен-Венана в решении задач теории упругости для структур типа многослойного материала не оправдано. Это проиллюстрировано задачей об упругом равновесии многослойной полосы, составленной из двух различных изотропных материалов. Оценка расхождения результатов представлена в терминах комплексного собственного значения соответствующей спектральной задачи. Для случая многослойного пакета с относительно мягким заполнителем характерная область расхождения намного больше, чем для однородной изотропной полосы. Результаты аналогичны полученным ранее авторами для сильно анизотропных и композитных материалов.

Проведенный анализ литературы по теме диссертационного исследования свидетельствует о том, что изучение задач о кручении и изгибе анизотропных стержней различного поперечного сечения и для различных типов анизотропии представляет собой актуальную проблему теории упругости.

Цель диссертационной работы состоит в построении решений задач анизотропной теории упругости для цилиндрических тел, в исследовании задач Сен-Венана о растяжении, кручении и изгибе цилиндрических тел, а также задач о винтовой дислокации и дисклинации для цилиндра с прямолинейной, криволинейной и винтовой анизотропией из материала с ромбоэдрической анизотропией, имеющих существенное значение для развития анизотропной теории упругости. При этом важное значение имеет способ упрощения пространственной задачи теории упругости и сведение ее к набору плоских задач, исследование их разрешимости, построение аналитических и численных решений, исследование зависимости смещений, жесткостей от механических и геометрических параметров задач.

Задачи на сечении для тел с ромбоэдрической анизотропией решались как аналитически, так и численно, с помощью метода прогонки в пакете Мар1е, с помощью метода конечных элементов в пакете Р1ехРБЕ. Проведено сравнение результатов, полученных различными способами, обсуждены некоторые вопросы численной реализации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем:

1.на основе метода однородных решений исследованы задачи Сен-Венана (растяжения-сжатия, кручения и чистого и обобщенного изгиба) для призматических тел с ромбоэдрической анизотропией:

2.даны вариационные постановки задач изгиба и кручения;

3.численно и аналитически построено решение задач Сен-Венана (обобщенные кручение и изгиб) для конкретных поперечных сечений (эллипс, прямоугольник, изучена структура поля напряжений:

4.решены задачи кручения-растяжения для цилиндра из материала с цилиндрической ромбоэдрической анизотропией для сечения в виде кольца, исследованы жесткости в зависимости от крутки;

5.для полого цилиндра решены задачи о дислокации и дисклинации для цилиндра с винтовой анизотропией. 1

Заключение

1. Александров К. С., Рыжова Т. В. Упругие свойства кристаллов. Кристаллография, 1961. Т. 6. Вып. 2. С. 289-314.

2. Амбарцумяп С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 448 с.

3. Бабенкова Е.В., Каплунов Ю.Д., Устинов Ю.А. О принципе Сен-Венана в случае низкочастотных колебаний полуполосы // ПММ, 2005. Т. 69. Вып. 3. С. 445-457.

4. Бердичевский В. Л. К доказательству принципа Сен-Венана для тел произвольной формы// ПММ, 1974. Т. 38. Вып. 5. С. 851-864.

5. Ватульян К. А. Задача Сен-Венана кручения цилиндрического анизотропного стержня.//Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды V школы-семинара. Ростов-на-Дону, 18-21 декабря 2006 г. ЦВВР. 2007. С. 56-58.

6. Ватульян К. А., Устинов Ю. А. Решения задач Сен-Венана для призмы с ромбоэдрической анизотропией.// Владикавказский математический журнал, 2008. Т. 10. Вып. 4. С. 23-30.

7. Ватульян К. А.Задача о дислокации для цилиндра с винтовой ромбоэдрической анизотропией.// Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону, 2010. Том XV. С. 11-16

8. Ватульян К. А., Устинов Ю.А. Задача Сен-Венана для тел с винтовой ромбоэдрической анизотропией. Задачи растяжения- кручения. // ПМТФ, 2010. Том 51. № 1. С. 125-133

9. Ворович И. И., Кадомцев И. Г., Устинов Ю. А. К теории неоднородных по толщине плит// Изв. АН СССР, МТТ, 1975. №3. С. 119-129.

10. Гетман И. П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: изд-во РГУ, 1993. 144 с.

11. Гольдштейн Р. В., Ченцов А. В. Дискретно- континуальная модель на-нотрубки //МТТ, 2005. №4. С. 57-74.

12. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А., Лисовенко Д. С. К описанию многослойных нанотрубок в рамках моделей цилиндрически анизотропной упругости.// Физическая мехомеханика, 2009, Т. 12, №5. С. 5-14

13. Гомилко А. М., Городецкая Н. С., Мелешко В. В. Динамический принцип Сен-Венана для упругой полубесконечной полосы // Теор. прикл. мех., 1991. № 22. С. 40-46.

14. Городецкая Н. С., Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Динамический аналог принципа Сен-Венана для гармонических колебаний // Акустический вестник, 2006. Т.9. №1. С. 21-33.

15. Городцов В. А., Лисовенко Д. С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойных углеродных нанотрубок (кручение и растяжение)// МТТ, 2005. т. С. 42-56

16. Григорьян А.Т. Механика в России. М.: Наука, 1978. 192 с.

17. Джанелидзе Г. Ю. Прицип Сен-Венана (к столетию принципа) // Труды Ленингр. политехи, ин-та, 1958. №192. С. 7-20.

18. Иванова Е. А., Индейцев Д. А., Морозов Н. Ф. К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов // ЖТФ, 2006. Т. 76. Вып. 10. С. 7480.

19. Иванова Е.А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н., Фирсова А. Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов // МТТ, 2005. № 4. С. 75-85.

20. Илюхин А. А. О построении соотношений теории упругих стержней // Механика твердого тела (Киев). 1990. № 22. С. 82-92.

21. Илюхин А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка, 1979. 216 с.

22. Илюхин А. А. Определение параметров упругого анизотропного стержня и связи между ними. // Механика твердого тела, 1972, № 4. С. 156-160.

23. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки // Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1981. Вып. 6. С. 97-146.

24. Кривцов А. М., Морозов И. Ф. О механических характеристиках нано-размерных объектов // ФТТ, 2002. Т. 44. Вып. 12. С. 2158-2163.

25. Кривцов А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: Физматлит, 2007. 304 с.

26. Курбатова Н. В., Устинов Ю. А. Построение МКЭ решений для псевдоцилиндров //Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII Международной конференции, Ростов-на-Дону, 2003. Т.1. С. 91-95

27. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.:Наука, 1977. 415 с.

28. Лобода О. С., Кривцов A.M. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нанокристалла // МТТ, 2005. № 4. С. 27.

29. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука. 1970. 939 с.

30. Ляв А. Математическая теория упругости. М., 1935. 674 с.

31. Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н., Товсгпик П. Е. Моделирование методами механики сплошных сред процесса формирования нанообъектов. // Физ. Мезомеханика. 2002, Т. 5, № 3. С. 5-8.

32. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966. 707 с.

33. Новацкий В. Теория упругости. М.:Мир, 1975. 872 с.

34. Папкович П. Ф. Теория упругости. Л.-М.: Оборонгиз, 1939. 640 с.

35. Погорелое А.И. Дифференциальная геометрия.М.:Наука, 1974. 176 с.

36. Романова H. М., Устинов Ю. А. Задача Сен-Венана об изгибе цилиндра с винтовой анизотропией // ПММ, 2008. Т. 72. Вып. 4. С. 668-677.

37. Саркисян В. С. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1976. 536 с.

38. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979. 640 с.

39. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. «Классики естествознания». М.: Физматгиз, 1961. 518 с.

40. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. К.: Наук, думка. 1972. 507 с.

41. Тимошенко С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости. К.: Наук. Думка, 1975. 561 с.

42. Тимошенко С. П., Гудъер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.

43. Устинов Ю.А. О структуре погранслоя в слоистых плитах // Доклады Академии наук , Москва, 1976 , Т. 229, № 2, С. 325-328.

44. Устинов Ю.А. К обоснованию принципа Сен-Венана // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказского региона, 1994. С. 91-92.

45. Устинов Ю. А. Решение задачи Сен-Венана для стержня с винтовой анизотропией// Докл. РАН. 2001. Т. 360, № 6. С. 770-773.

46. Устинов Ю.А., Курбатова Н.В. Задачи Сен-Венана для стержней с физической и геометрической анизотропией // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав.регион. Мат. модел. Естеств. науки, 2001. Спецвыпуск. С. 154-157.

47. Устинов Ю.А. Решение задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией // ПММ, 2003. Т. 67. Вып. 1. С. 89-98.

48. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Физматлит, 2003. 128 с.

49. Устинов Ю. А. Некоторые задачи для цилиндрических тел с винтовой анизотропией // Успехи механики, 2003. № 4. С. 37-62.

50. Устинов Ю. А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит // Ростов-на-Дону. ЦВВР. 2006. 256 с.

51. Устинов Ю.А., Ватульян К. А. Задача Сен-Венана для графитовых стержней и углеродных нанотрубок. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции. Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г. ЦВВР. 2007. II том. С. 299-303.

52. Устинов Ю.А., Ватулъян К. А. Задача Сен-Венана для призмы со сложной анизотропией.// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XI международной конференции. Ростов-на-Дону, 26-28 ноября 2007 г. ЦВВР, 2008. II том. С. 199-201.

53. Устинов Ю. А. Обоснование принципа Сен-Венана для естественно-закрученного стержня.//Владикавказский математический журнал, 2010, Т. 12, Вып. 1. С. 53-67.

54. Шаскольская М.П. Кристаллы. М.:Наука, 1985. 208 с.

55. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:Наука, 1969. 424 с.

56. Alshits V. I., Kirchner О. К. Cylindrically anisotropic, radially inhomogeneous elastic materials.// Proc. R. Soc.,2001,London, A 457, P. 671-693.

57. Berdichevsky V., Foster D. J. On Saint-Venant's principle in the dynamics of elastic beams // Int. J.Solids Struct, 2003. № 40. P. 3293-3310.

58. Bors С. I. Saint-Venant problem for beams with general cylindrical anisotropy. // Bui. Inst. Politehn. lasi, 1974, Sec. I, V. 20, № 1-2, P. 167-176.

59. Brnic J., Turkalj G. New finite elements in shear stress analysis of Saint -Venant's torsional loaded beam structures.// J. Mater. Sci. Technol., 2003, Vol.19, Suppl.l, P. 151-153.

60. ChreeC. The Equations of an Isotropic Elastic Solid in Polar and Cylindrical Coordinares, their Solutions and Applications // Cambridge Phil. Transactions, 1889.

61. DelVIsola F., Batra R. C. Saint-Venant's problem for porous linear elastic materials.// Journal of Elasticity. 1997, Vol. 47, № 1, P. 73-81.

62. Dong S.B., Kosmatha J.B., Lin H. C. On Saint-Venant's problem for an inhomogeneous, anisotropic cylinder. Part I: Methodology for Saint-Venant solutions.// J. Appl. Mech., 2001, № 68, P. 376-381.

63. Ghiba I. D. Semi-inverse solution for Saint-Venant's problem in the theory of porous elastic materials.// European Journal of Mechanics A/Solids, 2008, № 27, P. 1060-1074.

64. Grandin H. T., Little R. W. Dynamic Saint-Venant region in a semi-infinite elastic strip //J. Elast, 1974, № 4, P. 131-146.

65. Horgan C.O., Carlsson L.A. Saint-Venant end effects for anisotropic materials. //Invited Chapter in Comprehensive Composite Materials (ed. by A. Kelly and C. Zweben), 2000, Vol.5, P. 5-21.

66. Horgan C. 0., Choi I. Saint-Venant's principle and end effects in anisotropic elasticity. //Journal of Applied Mechanics (Trans. ASME),1977, Vol.44, P. 424-430.

67. Horgan C. O.Some remarks on Saint-Venant's principle for transversely isotropic composites, Journal of Elasticity, 1972, Vol.2, P. 335-339.

68. Khatiashvili G. On Saint-Venant's problems for an isotropic two-layered elliptic tube.//AMIM, 2004, Vol.9, № 1. P. 72-93.

69. Lacarbonara W., Paolone A On solution strategies to Saint-Venant problem. // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007, Vol. 206, Issue 1. P. 473-497.

70. Liu J. Z. Zheng Q.-S., Wang L.-F., Jiang Q. Mechanical properties of singlewalled carbon nanotubes bundles as bulk materials //J. Mech. Phys. Solids. 2005, V.53, № 1, P. 123-142.

71. Mielke A. Saint-Venant's problem and semi-inverse solutions in nonlinear elasticity.// Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1988, Vol.102, № 3. P. 205-229.

72. Pochhammer L. Beitrag zur Theorie der Biegung des Kreiscylinders // Journ. Fur die reine uhd angew. Math., 1876.

73. Quan D., Wagner G. J., Liu W. K. at al. Mechanics of carbon nanotubes // Appl. Mech. Rev, 2002. V. 55, № 6, P. 495-533.

74. Pouya A. Ellipsoidal anisotropics in linear elasticity. Extension of Saint Venant's work to phenomenological modelling of materials.// International Journal of damage mechanics. 2007, Vol.16. P. 95-126.

75. Ting T. C. T. Anisotropic elasticity: theory and Applications (Oxford: University Press), 1996.

76. Toupin R. A. Saint-Venant's principle // Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1965. V. 18, № 2. P. 83-96.

77. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (Teubner), Leipzig- Berlin, 1928.

78. Yakobson B.I., Couchman L.S. Carbon Nanotubes: Supramolecular Mechanics. //Dekker Encyclopedia of Nanoscience and Nanotechnology. 2004 by Marcel Dekker, Inc, P. 587-601.

79. Yu M.-F. Fundamental mechanical properties of carbon nanotubes: current understanding and the related experimental studies.// Trans. ASME. J. Eng. Mater. Technol., 2004, V. 126, № 3, P. 271-278.