Динамические модели наследственной теории упругости и задачи идентификации деформируемых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



С 'А и К ; -НЕТЕРНУ Р ГСК Н и 1 ДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

11,-1 Л|)'1!1.1\- ¡П'КШПК'И

НАРЬУ1 Михаил Александрович

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАСЛЕДСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Н ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Л К ФОРМ И Р У Е М Ы X СИ СТГ.У!

01.02.04 -Механики леформиругмого твердого тшй

АВТОРЕФЕРАТ

лш гортации на соискание ученой степени ликтора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Официальные оппоненты —

доктор физико-математических наук, профессор Бабич Василий Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Даль Юрий Михайлович

доктор технических наук,

профессор Морозов Евгений Михайлович

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный технический университет

дании диссертационное _ __________ ________________те диссертаций

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

-Петербург, Старый Петергоф. Библиотечная пл.. д.2

щи ей можно ознакомиться в Научной библиотеке име-

ни М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Университетская наб.л.7/9.

Защита состоится

часов на засе

Автореферат разослг " слл-^/^ 1995 г.

Й',

Ученый секретарь

диссертационного совета Д. 063.57.34 доктор физико-математических наук, профессор

С.А.Зегжда

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Результаты многочисленных теоретических и экспериментальных исследований не оставляют сомнений з том, чю механическое повеление полимерных материалов в широком диапазоне скоростей нагружения и температур удовлетворительно описывается в рамках наследственной т^орчи упругости. Применению наследственной теории при решении инженерных палач способствовали работы В.Н.Вугакова, А.А.Вакуленко, А.А.Ильюшина. М.А.Кол-тунова, В.В.Москвитина, Б.Е.Победри, Ю.Н.Работнова, Р.Кристен-сена и др. В последнее время важной областью применения наследственной теории становится биомеханика.

При решении динамических задач наследственной механики приходится преодолевать серьезные трудности технического характера, вслсдствии чего многие исследователи ограничивались анализом одномерных задач. Положение усугубляется сложностью получения экспериментальной информации о ядрах наследственно-упругих операторов в диапазоне времен, отвечающих импульсному нагружению. Поэтому во многих случаях интерпретация экспериментальных данных выполняется на базе более простых динамических моделей теории упругости или линейной акустики, дополняемых эмпирическим учетом поглощения волн. Однако систематическое применение асимптотических метлой — метода перевала при асимптотическом оценивании контурных интегралов, а также лучевого метода построения асимптотических разложений при высоких частотах.— позволяет су-гаестзонио расширить круг динамических задач, решаемых п рамках наследственной механики,, четко выявить основные закономерности волновых процессов в наследственно-упругих средах. В результате открываются новые возможности для решения задач идентификации сред с наследственно-упругими свойствами г. условиях динамически-:о чагрукеямя, чокшхаюпшх, например, при интерпретации ?усие-рлмсятальимх данных, получаемых методом фотоупругости или ;«•-толом ультразвуковой диагностики полимерных материалов и биоло-I цч(!Ских тканей.

Л»г>ааьиой является и задача прогнозирования долговечности элементов конструкций в условиях ползучести, непосредственно связанная с идентификацией моделей, описывающих процессы накопле-

ния повреждений. Известно, что процессы накопления повреждений, имеющие различную физическую природу и приводящие в конечном счете к разрушению образца или конструкции, являются случайными, и, соответственно, время до разрушения представляет собой случайную величину. Поэтому для оценки точности прогнозирования долговечности в экспериментах на ползучесть и длительную прочность необходимо обращаться к стохастическим моделям.

Основная цель диссертационной работы заключается в разработке динамических моделей наследственной теории упругости с приложениями к идентификации деформируемых систем. Для достижения указанной цели в работе используются аналитические, в частности, асимптотические методы решения задач теории упругости и наследственной механики, а также методы теории случайных процессов и математической статистики. Используя строгие математические методы исследования, а также сравнивая полученные результаты с доступными экспериментальными данными и результатами работ других авторов, удается с достаточной полнотой обосновать выводы и результаты диссертационной работы.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

- построение высокочастотной асимптотики волновых шлей в неоднородных наследственно-упругих средах с приложением к интерпретации данных ультразвуковой диагностики полимерных материалов и биологических тканей;

- исследование асимптотики дальнего поля в задачах теории упругости для клина и конуса при статическом и динамическом нагруже-нии в свете вопроса о выполнении принципа Сен-Венана для рассматриваемого класса задач;

- оценка точности метода динамической фотоупругости в рамках наследственной механики;

- асимптотическая оценка влияния памяти материала на формоизменение пластин из полимерных композиционных материалов в зависимости от характеристик режима отверждения;

- анализ стохастической динамики процесса накопления повреждений, разработка методов оценивания времени до разрушения элементов конструкций в условиях ползучести на основе байесовского подхода, последовательного анализа и оптимального планирования экспериментов.

Все перечисленные результаты являются новыми и получены автором диссертации.

Научное и практическое значение результатов диссертации определяется высокими требованиями современной инженерной практики к точности теоретических моделей, применяемых при идентификации деформируемых систем и интерпретации экспериментальных лалных. В работе поставлены и решены задачи, выдвигаемые практическими потребностями инженерного дела, задачи, возникающие в приложениях механики деформируемого тела к проблемам биологии и медицины, в естествознании и в технологии современных композиционных материалов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на VI и VII Всесоюзных конференциях по поляриза-ционно-оптическому методу исследования напряжений (Ленинград, 1970; Таллин, 1971), на семинаре "Моделирование при исследовании строительных конструкций" (Киев,1976), на VIII Всесоюзной конференции по методу фотоупругости (Таллин,1979), школе-семинаре "Теория упругости и вязкоупругости" (Цахкадзор, 19S2), на Всесоюзной конференции "Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений" (Киев, 1983), на 2 Всесоюзной конференции "Ползучесть в конструкциях" (Новосибирск, 1984), на Всесоюзном семинаре "Технологические задачи ползучести и сверхпластичности" (Новосибирск, 1986), Сибирской школе по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 1988), на Всесоюзной научно-технической конференции "Оптические зеркала из нетрадиционных материалов" (Москва, 1989), Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением" (Пермь, 1990), XXV Всесоюзном семинаре "Актуальные проблемы прочности" (Старая Русса, 1991), IV Межреспубликанском симпозиуме "Остаточные напряжения: моделирование и управление" (Пермь, 1992). на семинаре Института прикладного анализа и стохастики (Берлин, 1993). на семинаре "Современные проблемы механики и математической физики (Воронеж, 1994), Международной конференции "Асимптотика в механике" (С.Петербург, 1994), на 2 Всероссийской конференции по биомеханике (Нижний Новгород, 1994), Рабочем совещании "Биомеханика-95" (С.Петербург, 1995), на семинаре "Теоретические и прикладные проблемы механики разрушения" (ИПМаш РАН, С.Пе-

тербург, 1995), на научных семинарах Института проблем механики (Москва, 1994) и кафедры теории упругости Санкт-Петербургского университета (1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работал [1-25], в том числе в журналах "Доклады РАН". "Прикладная математика и механика", "Вестник Санкт-Петербургского «Ленинградского) университета", в сборниках "Исследования по упругости и пластичности","Актуальные проблемы прочности", "Механика разрушения".

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из семи глав, включающих 21 параграф, введения, заключения, списка литературы, содержащего 228 наименований, и приложения. Объем работы — 201 стр.. рисунков - 8.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы научного исследования, определяются цели и задачи работы, формулируются основные результаты, выносимые на защиту.

В первой ¿лаве диссертации рассматривается математическая постановка и аналитические методы решения динамических задач наследственной теории упругости. Основное внимание уделяется асимптотическим методам — методу перевала при асимптотическом оценивании контурных интегралов, а также лучевому методу построения асимптотических разложений при высоких частотах.

В §1 вводятся определяющие соотношения наследственной теории упругости. Связь между компонентами напряжений £Г„ и деформаций е;;- принимается в виде

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1>

где

интегральные операторы Больцмана-Вольтерра с ядрами \ii.r). 11{1.,х), зависящие, вообще говоря, от пространственных координат х и монотонно убывающие по t. Вводится понятие соответствующей З'ггругой среды, под которой понимается изотропная неоднородная идеально упругая среда с параметрами Ламе х) = .VD. х). ¡i ,\i ) = /'(О, х).

В задачах об одноосном напряженном состоянии определяющие соотношения записываются в виде

а-Ее, £= Г E(t - т,х)^-(-) dr, (4)

J-оо ОТ

~ ~ г* д

с = Da, D = I D(t — т,х)—(Adr, (5)

J-оо ОТ '

или ( после интегрирования по частям}

ait) = Ее. [iif> - f T<t - rï=M

Здесь

fi)

crit )+ / Ki t - г Ы г i dr

11 I

Е,, = ЕЮ), T(t)--~E' it), Ы

д, = D(Q) = Е~\К{1) = ~D'(t).

Du

В §2 рассматриваются пространственно одномерные задачи динамики наследственно-упругих сред и обсуждаются известные процедуры идентификации наследственных операторов в условиях импульсного нагружения. В зависимости от условий эксперимента идентификация может выполняться в частотном или во временном представлении.Рассмотренные алгоритмы идентификации реализованы в виде пакета прикладных программ.

В §3 построены решения пространственно двумерных динамических задач в слз'чае наследственно упругого полупространства. Рассмотрены задачи для волн горизонтальной и вертикальной поляризации. Зависимость от времени принимается в виде exp(tu.'<). Решение получено методом интегральных преобразований с последующим асимптотическим вычислением контурных интегралов. Этот

подход позволил выявить основные закономерности, связанные с поглощением и дисперсией волн. Полученные результаты не только иллюстрируют на сравнительно простом примере технику решения пространственно-двумерных динамических задач наследственной механики — они оказываются полезными, например, при обсуждении результатов оптического моделирования волн напряжений в пластинах из полимерных материалов , при идентификации мягких биологических тканей и в др.случаях.

В §4 рассматривается лучевой метод построения решений динамических задач наследственной теории упругости. Решение представляется в виде асимптотического разложения

(8)

где функция г = т(х) определяет положение волновых фронтов. Для

операторов (2),(3) вводятся разложения

= (10)

Подставляя разложения (8),(9),(10) в уравнения динамики неоднородной наследственно-упругой среды, приходим, как и в случае идеально упругого тела, к двум семействам лучей, соответствующих продольным и поперечным волнам. Показано,что интенсивность продольной волны }«0| в первом приближении лучевого метода определяется формулой

Ы^оМе'^^У^, (11)

где J — \та х Тф\ — геометрическое расхождение, акр — лучевые координаты на поверхности фронта волны,

_ 1 а\ 2 _ Л! + 2цх

Ка~2в1~ Т~

Таким образом, при распространении продольной волны вдоль луча интенсивность убывает по экспоненциальному чакону; для этого необходимо, чтобы Л; -I- 2/и < 0.

Для интенсивности поперечных волн \и0\ получело аналогичное выражение _

• - I о ~ С / 1 -О

;иг = о.п1 а. 1пе и——-. \12)

V

Начальные функции /п(а.в) и ^(л, /?) определяются из соображений локальности. В заключение §3 проводится анализ отражения продольной волны от криволинейной свободной поверхности. Падающая и отраженные волны задаются в виде лучевых разложений типа (8). Показано, что в первом приближении лучевого метода коэффициенты отражения продольной и поперечной волн определяются по формулам теории упругости, в которых роль параметров Ламе играют мгновенные модули А о, Но- Последующие коэффициенты лучевых рядов вычисляются из полученных в работе рекуррентных соотношений.

В §5 диссертации рассматриваются пространственно-временные разложения лучевого метода в наследственной теории упругости. Решение представляется в виде колебаний, модулированных по амплитуде и частоте:

,„ ЛЗ, Г.-1 X, > ) ¡Их,г) = е1р'"-" > —^—:—, (1Л|

где р 1 — большой параметр, характеризующий скорость изменения частоты и} = — рЦ и волнового вектора к = —рХ7в по отношению

к скорости изменения амплитуды. Для просто гы рассматривается интегро-дифференциальное уравнение

где/х = ц0(х,у)(1~Г) — интегральный оператор Еольцмана-Вольтер-ра, ядро которого Г(* — г) не зависит от пространственных координат. Показано, что поле пространственно-временных лучей совпадает с полем лучей идеально упругой задачи и описывается уравнением Гамильтона-Якоби

сой + IV*?! = о

Что же касается уравнения переноса, то оно приводится к виду

д <Е> ,. < Б> „. < Е>

-4-сЬи-- —2к--(,15)

о1 ш ш ш

где < Е >= ри>2иЦ/2 — усредненная по периоду Т = 2т:/р энергия волны, < 5 >= V < Е > — вектор штока энергии (Умова-Пойнтинга), распространяющейся с групповой скоростью

В пространственно-временных лучевых координатах уравнениие (15) приводится к виду

3 <£>) = -2к < Е > (16)

ц аз

где J — якобиан преобразования от декартовых координат к пространственно-временным, и интегрируется вдоль луча, в результате чего для амплитуды |С/0| имеем

\Щ = ^р^ехр(-Ь)

Таким образом, в первом приближении ПВЛМ волновое поле С10(х,у, I) соерв(х,у^) в наследственно-упругой среде распространяется вдоль лучей, определяемых по правилам теории упругости, причем роль упругих постоянных играют мгновенные модули наследственной среды, и затухает по экспоненциальному закону.

В §6 обсуждаются особенности решения динамических задач для случая наследственно-упругих сред с постоянным коэффициентом Пуассона. В этом случае ядра операторов (Л 4- 2/2)-1 и /¿-1 совпадают, т.е. Кг{1) = К2(1) = К{1). Решение динамических задач для наследственно-упругих сред с постоянным коэффициентом Пуассона было построено Е.И.Шемякиным в предположении, что на границе Г области Й задан вектор напряжений

£г^(х,<) = /(х)а(<), х € > 0 (17)

(часть границы может быть закреплена). Решение задачи имеет вид

ц(х,/)= йц(х, т)#(*, т)ёт, (184

Jo

где волновое ноле йп(х. г) является решением динамической задачи теории упругости для соответствующей упругой среды при условии, что на границе Г приложена импульсная нагрузка, т.е. в граничном условии (17) следует положить a(t) = 6{t). Вспомогательная функция R(t,r) представляется в виде интеграла Меллина

Д(Лг| * --il-,19) 2ЯЧ 7e-,'со 1 - r*(f)

где

roo roo

a'(s)= a(t)c-'d.s, T'(s)=

J o Jo

Поле напряжений в наследственно-упругой среде выражается формулой, аналогичной формуле (18):

<тф. t) = <т£(х, r)G(t. т) dr i 20 )

где

1 I" Г-И СО .

G(t.,r) = (1 - Dñ(í,г) = -—: / e*ís4e't-T,l+íl',,,,"*rfí

2лг Je-loo

Функция (7(í,r) имеет простой физический смысл: она определяет распространение плоской волны вдоль луча г > 0 при условии, что на границе г = 0 задано напряжение G(t,0) ~ a[t). Поэтому для ее определения могут быть использованы алгоритмы, описанные в S2.

Для рассматриваемых в диссертации материалов максвелловско-го типа, характеризующихся конечными скоростями распространения продольных и поперечных волн, R(t, т) = G(í, г) = О при t < т и верхний предел интегралов в формулах (18), (20) равен t.

Во второй главе диссертации рассматривается вопрос об идентификации граничных воздействий в областях с угловыми и коническими точками по измерениям в дальней зоне.Воздействие предполагается локализованным в окрестности особой точки. Исследование этого вопроса важно в том плане, что оно проливает свет на проблему обоснования принципа Сен-Венана для данного класса статических и динамических задач теории упругости и наследственной теории.

В §7 построена асимптотика дальнего поля в упругом клине при статических и динамических нагрузках, сосредоточенных в окрестности вершины. В случае антиплоского сдвига вектор перемещения

имеет только одну отличную от нуля компоненту и3 — ш(г,(?), которая удовлетворяет уравнению Лапласа в области П = {(г, 6, г)|г > О,—а < в < а,—оо < г < со}. На гранях клина задаются напряжения:

в = ±а, твг = цг~1<1и>1<16 = /(г) (21)

в предположении, что носитель функции /(г) сосредоточен в малой окрестности вершины клина (0,6), причем главный вектор сил равен нулю, а главный момент отличен от нуля. Решение статической задачи теории упругости построено при помощи интегрального преобразования Меллина:

I «+.СО м 8т(л0) ,,

= ~ ; г-'сЬ. 22

27г» Ус-!» ц» «»(за)

Главный член асимптотики решения при г>1 имеет вид

, .. Маъ\а{т:в1{2а))

где

Ма = [6 /(г)гт/(2а^г J о

Коэффициент Ма нельзя интерпретировать как момент сил, и следовательно, принцип Сен-Венана в его традиционном понимании в данном случае не выполняется, хотя интегральная зависимость от граничного воздействия (в смысле момента с дробным показателем) сохраняется. Сен-венановский характер решение имеет при а = ж¡2, т.е. для упругой полуплоскости.

Решение динамической задачи теории упругости в случае деформации антиплоского сдвига сводится к уравнению Гельмгольца (зависимость перемещений и напряжений от времени выражается множителем ех р(г'о4)):

Дш + к2ю = 0, к2 = с = уЛИГр (24) с *

при граничном условии (21). Решение было получено в виде ряда по функциям Бесселя

гу(г,<?) = ~ £(-1Гет [* /(хи,{кх)<£хН£икг) втМ, '251

2ац ■ Jo '

где рт = ^(2т 4- 1), е„ = 1. е„ ~ 2.т > О.г > д. Показано, что старший член асимптотики ряда (25) содержит коэффициент Ма — такой же, как в статике.

Решение этой же динамической залами было представлено в виде интеграла Зоммерфельда

к)(т\<? I :

— f [Ф\С + в)-Ф[С-в))е'*т":<1С (26)

1кг Jc1 "

где контур С ограничивает полунолосу 0 < Re( < т, 1т( > 0. Функция Ф(С) удовлетворяет функциональному уравнению Г.Д.Малгожинца

Ф(С + в) + Ф(С - 0) = <ПС), <т(0 = = - Г /(r)e~'kr^<dr.

tfiKsmt, ц Jt)

решение которого имеет вид

1 fioo Г If 1

ф(0=— / a\v) cos— к-9) (27)

-4ft J-ix 2a J

Решение (26),(27) может быть преобразовано к виду (25) по теореме о вычетах. Таким образом, асимптотика решения рассмотренной динамической задачи не сен-йенанова. Для перехода к нестационарному воздействию

в = ±Q, Те, = f(r)q(t)

используется представление функции q{t). в виде интеграла Фурье. В дальней зоне fcr > 1 решение нестационарной задачи имеет вид

/■со

юГг, в, о = Re Q(k)w(r, В, к)е~,м,

J а

dk

где функция ю(г,в,к) зависит от дробного момента внешних сил Ма. В заключение рассмотрен случай нестационарной динамической задачи для упругого полупространства (а = гг/2).

Пространственным аналогом задачи об антиплоской деформации клина является задача о кручении конуса. В §8 при помощи интегрального преобразования Меллина построено решение задачи кручения при статическом нагружении.

Для решения вводится функция перемещения щг.г) — г~Ч'(г, г), которая удовлетворяет известному уравнению

+ т + = а (28)

дг2 г дг дг2

и граничному условию

Г, =/(г) (29)

Момент, создаваемый граничным воздействием, равен

М = ~ Г r-(z)TAr(z))dz cos а Уо

В сферической системе координат (р, ф, $) уравнение (28) принимает вид

dp* + р dp + ? двг + дв ~

а граничное условие (29) сводится к следующему

. дф и sm а—— р дв

= f(p) (31)

Решение краевой задачи (30), (31) представляется в виде контурного интеграла Меллина

V U ' ' iTrusmejc-^ PL-, I cos a) v

Trji sin В J с- (Ъо P,._ 2! cos a)

(32)

/»= Г ЯрУ'1 ¿р.

Jo

Асимптотика решения (32) при р > р0 вычисляется по теореме о вычетах и имеет вид

= (зз)

где л* — корни уравнения

РД_2(соБа) = 0 (34)

Корень уравнения (34) с наименьшей положительной вещественной частью равен 3, а величина /(3) соответствует моменту внешних сил М. Таким образом, в статической задаче кручения принцип Сен-Венана выполняется.

В §9 анализируется слчай динамического нагружения конуса касательными усилиями, изменяющимися во времени по гармоническому закону exp(jwi). Имеем краевую задачу для перемещения v<р. Я) :

d~v 2dv I д-v I ,dv (,, 1 \ --!----1----h — dad--ь- k~--=- r ~ 0 ( 35>

W pdp ffldo* y дв V p-siift}

\дв

W {^-гадв) =fíp), (3fi>

которая решается при помощи интегрального преобразования

roo

v(s,e) = / p-^v^w^mdp J о

Для перемещения víp, 9) получено выражение

1

v(p,8) = — Г К(кр, кг. S)f(r)dr, 2р Jo

KiLp.hrJ) = 2тг /- У i—--

(37)

где

1. Р,1 {соsfí) ■ч - 1

ри — max{p,г}, pi = min{p,r}, s„ — корни уравнения

Д(5) = Pecosa) = 0. (39)

Асимптотика i 38) при р é.kó -С 1 имеет вид :

utu и п 3,r A'(cos^) (к\гП н$(кр) 3 ¿2

откуда следует, что если крутильные колебания конуса возбуждаются силами,сосредоточенными в малой по сравнению с длиной волны окрестностью вершины конуса, то главная часть генерируемого поля перемещений описывается выражением

. Л1 3 М /к\2 Н$(кр)Р{(сos в) "(Р,в)----- ----- ' ' —1-

\/2 Г(5/2)Д'(1) ) x/Wp

зависящим от суммарного крутящего момента М ~ /0Л f(r)r2dr.

Таким образом, и в динамической задаче о кручении упругого кругового конуса выполняется принцип Сен-Венана. Что же касается статических и динамических задач наследственной теории упругости, то для них все выводы, связанные с выполнением (или невыполнением) принципа Сен-Венана, сохраняют силу.

Третья глава диссертации посвящена проблеме идентификации динамических моделей в задачах фотоупругости. При исследовании динамических задач поляризационно-оптическим методом возникла необходимость в решении ряда методических вопросов, среди которых в работах В.Гольдсмита, Л.К.Малышева, Г.Л.Хесина и сотр., Е.И.Эдельштейна и др. на первый план был выдвинут вопрос о связи между измеряемыми оптическими величинами и напряжениями в модели. Принципиальное значение имеет также вопрос о влиянии вязких свойств полимерных материалов на характер распределения напряжений в модели.

В §10 показано, что если контроль за воздействием осуществляется по измерениям оптической разности хода, то в условиях динамического нагружения применим основной закон фотоупругости — закон Вертгейма, согласно которому оптическая разность хода 6 пропорциональна разности главных напряжений в модели. Обоснование этого утверждения основывается на свойстве коммутативности операторов наследственной теории упругости и дифференцирования по времени. Оптико-механические соотношения задаются в виде

<5 cos 2ср = С(<ти - <г22),

<5 sin 2^ = 2 Сап, (40)

где у? — параметр изоклины, С — наследственный оператор фотоупругости. Вводится вспомогательный тензор

9:; = ^-Сац (41)

с некоторой произвольной постоянной Cq, что позволяет переписать соотношения (40) в виде закона Вертгейма с фотоупругой постоянной С = Cq. Показано, что величинам ду; можно придавать смысл напряжений в модели при условии, что на границе приложено модифицированное воздействие

7гСР(х, Г)

В частности, при F(r,f} — f(¡r)a(f') имеем

F?(x,<) = f(r)a^(t), a,(t) = ~Ca(1).

Форма импульса aq(i) как раз и регистрируется отическим методом.

В §11. описан способ оценки изменения фотоупругой постоянной при динамическом нагружении в предположении, что связь оптической разности хода с напряжениями имеет вид закона Верхгейма с переменным коэффицг*егггом

6 = C(A,í)(^i -<r¡)d. f 12)

Величина C(A,í) в силу уравнений (40) является функционалом от истории нагружения.Предлагается производить регистрацию динамического процесса одновременно в свете двух длин волн Ai и А2. Введены абсолютные ДС\, ДС2 и относительные 7!, 73 характеристики изменения коэффициентов С(А;,<\ на промежутке [tr¡j)

ДС, = С\ A¡.n - Ci А,.

дс: = C(A;,n- ra:,í,,¡,

АС, ДСг

'м<п = ———.

Ci А]. i,, i " CÍA;. Для величины получены оценки

Rit)-Rit,)

1 ~ RU\

при условии,что R(í) — C(A1,¿j/C(A2,<) > R(to), и

R(to)~R{t)

Ъ(') >

R(t)

еаш R(t) < R(í0).

Описанная методика была использована при обработке экспериментальных данных, полученных Л.К.Малышевым для стержня из стиролдиметилакрилата в свете длин волн 467 и 670 нм. Оказалось, что относительное увеличение коэффициента в законе Вертгейма за период времени 3- 8 мкс составило величину порядка 100%.

В §12 рассмотрен вопрос о влиянии памяти материала на распределение напряжений в модели. Для оценки близости результатов, получаемых в рамках динамической теории упругости и наследственной теории используется формула (20). Ядро G(t,r) интерпретируется как решение одномерной задачи о распространении импульса в стержне или пластине и определяется численными методами или из эксперимента. Решение соответствующей упругой задачи имеет вид

<ri.(i,i)= £<r?.(x,r)a(t-r)dr.

Сравнивая величины G(i,T) и a(i — т), можно судить о погрешности аппроксимации решения динамической задачи теории упрзтости экспериментальным решением <7.™ . Эта погрешность может быть уменьшена в заданной подобласти Q' модели посредством выбора такой функции ai(i - т), что

i(7(i,r)-ai(i-r)| <e|ei(i-r)|

С учетом этого факта в работе вводится понятие локальной близости решений динамических задач <rf- и Решения считаются локально близкими, или близкими в широком смысле, если оценка

выполняется при условии, что переменные х я t изменяются в подобластях Я' С Я и С [0, оо). Проведенный анализ позволяет в каждом конкретном случае оценить границы области, в которой распределение напряжений в фотоупругой модели мало отличается от упругого.

В четвертой главе аппарат наследственной механики используется при обсуждении проблемы идентификации биомеханических структур методами ультразвуковой диагностики. Интерпретация сигналов ультразвуковой диагностики базируется на теоретических представлениях о распространении упругих волн в сплошных неоднородных средах. Разработчики программного обеспечения ультразвуковых томографов обычно исходят из теории распространения продольных волн в идеальной жидкости. Однако реологическое поведение мягких биологических тканей является более сложным и в принципиальном отношении важно выяснить, во-первых, насколько

тонными являются существующие алгоритмы интерпретации, а во-вторых, какую дополнительную информацию можно было бы извлечь из данных ультразвукового обследования на основе моделей, более адекватных реальности.

Используемые в медицине частоты ультразвукового излучения — 2-7,5 МГц — достаточно велики для того, чтобы корректное математическое описание процесса распространения волн проводить в рамках асимптотического подхода. Содержание §13 основано па результатах асимптотического анализа динамических уравнений наследственной теории упругости, проведенного в первой главе диссертации. Из них следует, что метод ультразвуковой диагностики позволяет идентифицировать границы раздела биологических тканей с различным волновым сопротивлением как наследственно-упругих сред.

В §14 рассматривается проблема идентификации напряженно-деформированного состояния биологических тканей. В настоящее время утверждается точка зрения, согласно которой информация о напряженно-деформированном состоянии билогических структур имеет большое значение для понимания физиологических процессов, а значит, и для практической медицины. В диссертации обсуждаются два возможных подхода к решению этой проблемы: на основе метода акустоупругости, который в случае биологических тканей следовало бы называть методом наследственной акустоу пру гости. поскольку определяющие уравнения метода содержат интегральные операторы Вольтерра. и с использованием обобщенной модели Максвелла, в которой предполагается, что время релаксации зависит от напряженно-деформированного состояния и температуры. Ранее обобщенная модель Максвелла использовалась в работах С.К.Годунова, Г.И.Гуревича и других авторов.

Пятам глава посвящена решению одной задачи наследственной термоупругости. Постановка задачи, данная в §15. возникла из потребностей оптического приборостроения, где предъявляются повышенные требования к стабильности формы конструкций. Рассматривается круглая пластинка из полимерного композиционного материала, обладающего трансверсально-изотропной симметрией по отношению к срединной плоскости пластины. Деформации выражаются

через напряжения по формулам

1 V1

ег = -фот ~ уо») - —гг. + аТ,

= - мт) - +*аГ.

г* = ~ ТГ^ + + Ь1 £-1

в которых Е, б), I/, , а, а 1 предполагаются постоянными величинами, а £а-1 — интегральным оператором

./о

Для термодинамического, или приведенного времени Л имеем известное дифференциальное соотношение ЛА = а{Т)И с некоторой монотонно возрастающей функцией температуры Т. Пластина находится в неоднородном поле поле температур Т{г,1) в течение ограниченного промежутка времени [<1,*21- Поверхности пластины нагружаются давлением <тг — -р(<),а на торце г = Я удовлетворяется условие отсутствия напряжений в смысле Сен-Венана. Получена формула для кривизны пластины

дст

Tz

верная при t > t2.

В §16 выполнена асимптотическая оценка выражения (43), в предположении, что давление p(t) — р0 постоянно и действует в промежутке времени [0, i»), а функция а{Т) изменяется экспоненциально и может быть представлена в виде

а(Т) = 10^) = Ю^г-го).

Экспериментальные данные по ползучести, соответствующей оператору /Jf1 аппроксимировались выражением

D(А) -

кш\

для получения выводов качественного характера использовалась одночленная аппроксимация

£>( А) =

Нн гегралы, входящие в формула !-13 I. вычислялись приближенно - с использованием квадратурной формулы Симнсона и метила Лапласа. В предположении <1 < I. < и получена формула

и,р0 С ДГ /1 а! Т.) ]

к=—----—а( Г,Лехр [---:---(14)

2 6 Ет Т. [г ф0 Ь ЮТ. )

где Г, — скорость Т — ЭТ/д1 в момент времени <„. ДТ—максимальный перепад температур по толщине пластины.

Если I. < t^ <1т.е. давление снимается прежде, чем возникает перепад температур по толщине, то оценка кривизны имеет вид

и,р0 С ЛТ ( 1 а,Г.) \

к—----:—ш/')ехр---— III))

2* Ет Г, V ' ¡Л, 1а ЮГ. /

В шестой главе диссертации рассматривается нестационарная задача наследственной гидроупругости с учетом последействия, обусловленного вихревым следом. Математическая постановка задачи обсуждается в <}17. Получена система интегро-дифферснниа.чьных уравнений Вольтерра и Фредгольма, связывающих прогиб профиля иНх. I) и разрыв скорости в следе при заданном порыве

И'ЧМ):

- <94и' д2и: +

д'ю 2р } ( дгс ди:\

—и

/а ( д2ю д2иЛ

I-

[ А*л<^ — г)и~({'п()с1г = Etx.ii. \ а~ х I "

и

'д 9 \

Здесь D = D{ 1—Г),— интегральный оператор наследственной теории упругости, т — погонная масса крыла, р(х, 1) — давление потока на профиль, Uo — скорость переносного движения,

Fi{x,t) = ?~ [г/оу"а И'(£,

/а ÜW

^ii.OWf,*)*],

Fz(t) = - £

£о(0 =

o + f'

£i(Î, Я =

(а - 0(а + х)

x) = ln

^(о - 0(а + х) + v/(a + Î)itt-i)

h', <0 =

у/(а - £)(а + - ^/(а + £)(а - х) 1

y/Ht -ta)'

г.... + i'O

. А2(Л = \/—:—,t~ = —•

1-

Ja

Система (46) дополняется начальными и граничными условиями. В §18 для решения поставленной задачи наследственной гидроупругости вводится разложение перемещения и'(х, 1) по собственным формам изгибных колебаний упругой пластины

©(X, /) = £ .адж*)

47)

и выполняется процедура Бубнова - Галеркина. Полученная система уравнений для функций Ti(t) и u2(U0t) решается с применением интегрального преобразования Лапласа. Лля изображений Т(р) и 1ь(р/{7о) но Лапласу имеем линейную систему

РиТ + Рий2 = Q.

Р~ЛТ+ Р^йг = д.

1

где

Рм = +рЛ, + Д2о ~ ^ГХр!. Р,2 = В\р/т; )'/гА',

р,2 = + С2, Р;г = А';|>>) . 14«!

Л|,Л1,Л211,Л21,5Х-1.С2 - заданные матрицы I векторы к

Основную роль играют корни определителя этой системы, на расположение которой существенно влияют наследственные свойства профиля. В случае переходного процесса, вызванного начальными возмущениями, величины <5 и ^ из (48) определяются из начальных условий.

Седьмая глава диссертации посвящена проблеме идентификации состояний предразрушения в условиях ползучести. Рассматриваются некоторые обобщения известных расчетных схем, позволяющие описывать случайный разброс экспериментальных данных по длительной прочности. Отмечается .что процессы накопления повреждений в случае неоднородного поля напряжений имеют характер автоволновых процессов, для описания которых предлагается использовать уравнение

— = (Ихп Иагаеи) + /и\сг). 49)

¿11.

Коэффициент В в общем случае зависит от уровня поврежленности и инвариантов тензора напряжений. В простейшем случае зависимости от одной пространственной переменной х уравнение I 19) сводится к уравнению

Ш их' ах'

Уравнение такого вида при специальным образом выбранной нелинейной функции /(и>, а) было получено и проанализировано в работах Е.В.Лобанова.

Уравнения для поврежленности могут иметь решения, не-

устойчивые по отношению к малым возмущениям исходных данных или траектории деформирования, результат будет таким же. как если бы мы анализировали ситуацию в рамках теории случайных процессов. Альтернативный подход заключается в постулировании стохастических моделей повреждаемости. Модели такого рода изучаются в §19. В частности, рассмотрен случай, когда начальное значение поврежленности и>а являемся случайной величиной с нормальным

распределением вероятности. Обсуждается также возможность моделирования накопления повреждений в рамках теории марковских процессов. Основой для анализа является кинетическое уравнение для скалярной функции ловрежденности ¿¡.'(О

сЬ■}

— = /(и\сг)-г сд(и.\а)£{1), (51)

а!

где е — малый параметр, а математические ожидания ££(/) = О,

= ¿>7- Изучены вероятностные оценки долговечности т — функция надежности Д(<) = Р(т > *) и интенсивность отказов

А(<) = -Д'(0/й(<).

В §20 рассматривается постановка задачи о нахождении оптимальных планов прогнозирования времени до разрушения при ползучести. В соответствии с данными многочисленных экспериментов предполагается, что в логарифмических координатах х = ^¿г, у = г усредненная диаграмма длительной прочности может быть аппроксимирована полиномом второй степени у = а0 + а(а; + а2х2, коэффициенты аа,а1,а2 которого являются функциями температуры. Испытания проводятся при значениях напряжений х,(г = 1,2,.... N. среди которых могут быть и повторяющиеся, что соответствует испытаниям ряда образцов при одинаковых нагрузках. По методу наименьших квадратов определяется величина дисперсии прогноза Оу и ставится задача определить план эксперимента (х^х»,..., хн), при котором дисперсия Бу будет наименьшей. Вычисляется дисперсия оптимального прогноза.

В §21 обсуждается методика построения байесовских и последовательных оценок времени до разрушения в условиях ползучести. Предполагается, что время до разрушения в условиях ползучести г при постоянном напряжении а и фиксированной температуре испытаний представляет собой случайную величину, подчиняющуюся двухпараметрическому распределению Вейбулла

<?(0 = Р(г<0 = 1-ехР(-ф1), (52)

где параметры Г и 7 зависят от напряжения и температуры. По измеренным значениям деформации ползучести си = г((п ) в некоторый момент времени 10 в соответствии с теоремой Байеса вычисляется плотность апостериорного распределения

Д/|£(1) = С/(г оЮч(П, 153)

где д(£) = С — нормирующий множитель. Оценивается услов-

ная плотность вероятности /(£о|<)- Рассматривается случай установившейся ползучести

(

е = е,-.

где г, и г — случайные величины с известными функциями распределения.

В рамках последовательного анализа по Вальду задача опенки параметра Т формулируется как задача проверки статистических гипотез: основной

{Но ■ Т = '/о (Т > Т0)}

и альтернативной

{Я,:Т=Т3 (Т < 71)}.

Значения То и Т\ < Г0 выбираются с учетом требований к средней долговечности образцов и. в конечном счете, величине назначенного ресурса работы элементов конструкций. Вводится вероятность ошибки первого рода а — Р(Н:/Но> — вероятность принятия альтернативной гипотезы Я;, когда справедлива основная гипотеза // н вероятность ошибки второго рода в — ]'\Нп/Л<) — вероятность принятия основной гипотезы, когда на самом деле верна альтернативная. В процессе испытаний определяются времена до разрушения образцов I, (?' = 1, 2,..., п), но обьем выборки т) заранее не оговаривается. Приводятся условия, при которых принимается основная гипотеза #0 и альтернативная гипотеза Нг. Практическое значение описанного подхода заключается в том, что число испытаний п в этом случае в среднем меньше, чем при использовании статистических рядов фиксированного объема.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы и результаты,полученные в работе:

1. На основе лучевого метода в его классическом (стационарном ) варианте и в варианте пространственно-временного подхода построены выражения для интенсивности волн в наследственно-упругих средах. Показано, что гголе лучей ( а значит, и волновых фронтов) в наследственно-упругой среде совпадает с полем лучей (фронтов) в соответствующей идеально упругой среде. Интенсивность волн в первом приближении лучевого метола затухает по экспоненциальному закону. Отражение волн от свободной поверхности — также в

нервом приближении, следует законам динамики идеально упругого тела.

2. Асимптотика дальнего поля в антиплоской задаче теории упругости и наследственной теории упругости для клиновидной области характеризуется дробным моментом напряжений, приложенных в окрестности особой точки как при статическом, так и при динамическом нагружении. В этом смысле принцип Сен-Венана для рассматриваемого класса задач не выполняется.

3. Асимптотика дальнего поля в статической и динамической задачах о кручении конуса определяется моментом внешних напряжений в точном соответствии с принципом Сен-Венана.

4. Описан алгоритм, позволяющий оценить изменение оптико-механического коэффициента в основном законе фотоупругости — законе Вертгенма — при динамическом нагружении.

5. Сформулирован и обоснован подход к интерпретации экспериментальных данных поляризационно-оптического метода исследования динамических напряжений, при котором погрешность, вносимая законом Вертгейма не является существенной.

6. Указан способ оценки точности результатов, получаемых методом динамической фотоупругости, который основан на общем решении динамических задач наследственной механики и экспериментальных данных при одноосном напряженном состоянии.

7. Па основе лучевого метода исследования волновых полей в наследственно-упругих средах проведен анализ результатов, получаемых в рамках ультразвуковой диагностики полимерных материалов и мягких биологических тканей. Предложены способы оценки напряженно-деформированного состояния биологических тканей, основанные на эффекте наследственной акустоупругости и нелинейной зависимости коэффициентов поглощения от напряжений и деформаций.

8. Исследовано влияние наследственно-упругих свойств материала на процесс формоизменения пластин, получаемых методами горячего прессования, и получены оценки, характеризующие кривизну пластины как функцию неоднородности температурного поля и скорости охлаждения.

9. Предложены наследственные модели для задач аэрогидроупру-гости, которые отличаются наложением эффектов последействия, обусловленных срывом потока и возникающим при этом вихревым сле-

лом с одной стороны и наследственно-упругими свойствами обтекаемого профиля с другой.

10. Предложены стохастические модели накопления повреждений, позволяющие оценить вероятностные характеристики долговечности материала.

11. Лапы оценки точности прогнозирования долговечности н тис-периментах на ползучесть и длительную прочность на основе составления оптимальных планов экстраполяции наилюлгиий.

12. Разработана методика построения апостериорных оценок времени до разрушения при ползучести. В рамках последовательного анализа получено решение задачи об оценке параметров вероятностной модели длительной прочности.

В приложение вынесены описания алгоритмов идентификации наследственно-упругих сред при динамическом ¡импульсном! наг-шружении, а также доказательства ряда математических утверждений, имеющихся в основном тексте диссертации.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТП\!Е

1. Будаев Б.В., Морозов Н.Ф.. Нарбут М.А. Кручение круговою конуса при статическом и динамическом нагружении// ПММ.1994. T.58.N6. С.152-155

2. Вакуленко A.A., Козлов Г.В.. Нарбут М.А.. Шихобалов Л.С. Влияние режима формования слоистых пластин из углепластика на их геометричесие характеристики// Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением. Пермь, 1990. С.137-138

3. Ершов Б.А., Нарбут М.А., Блинкова Н.В. Наследственная динамика тонкого гибкого профиля в дозвуковом несжимаемом потоке // Вестн. С.-Петерб.ун-та, 1.995. Cep.l.Nl. С.104-110

■1. Малышев Л.К., Нарбут М.А.. Эдельштейн Е.И. О значении оптической постоянной закона Вертгейма при динамических нагру-жениях// Моделювання при досл'шженш буд1вельних конструкшй. Киев: Знание.1970. С.9

5. Морозов Н.Ф., Нарбут М.А. О принципе Сен-Венана при антиплоской деформации упругого клина. // Докл.РАН. 1994. T.337.N3. С.328-329

6. Морозов Н.Ф., Нарбут М.А. О принципе Сен-Венана для упругих тел с негладкой границей// Соврем.проблемы механики и ма-тем.физики. Воронеж. Изд-во Воронежеск.ун-та. 1994.С.69

7. Морозов Н.Ф.. Нарбут М.А. Кинетика остаточных напряжений в композитах// Тез.докл.4 Межресп.симпоз.'Остаточные напряжения: моделирование и управление" Пермь. Изд-во Пермск.поли-техн.инст.1992. С.45

8. Морозов Н.Ф., Нарбут М.А. Антиплоская деформация упругого клина при воздействии, сосредоточенном в окрестности угловой точки// ПММ. 1995. Т.59. вып.2. С.327-330

9. Нарбут М.А. Об оптическом моделировании динамических задач теории упругости и вязкоупругости// VI Всес.конф.по поляриза-ционно-оптическому методу исследования напряжений. Л.Изд-во Ле-нингр. ун-та. 1970. С.30-31

10. Нарбут М.А. О применении закона Вертгейма в динамике// Tp.VU Всес. конф. по поляризационно-оптическому методу исследования напряжений. Таллин. 1971. Т.З. С.136-139

11. Нарбут М.А. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых полей в вязкоупругих средах// Вопросы длнамич.теории рас-простр.сейсм.волн. Вып.12. Л.: Наука, 1974. С.13-19

12. Нарбут М.А. О моделировании волн напряжений в упругих средах поляризационно- оптическим методом// Вестник Ленингр.ун-та. 1978. N1. С.116-122

13. Нарбут М.А., Эдельштейн Е.И. О постоянстве во времени коэффициента закона Вертгейма при динамических нагружениях // Исслед.по упругости и пластичности. Л.Изд-во Ленингр.ун-та, 1978. Вып.12. С.160-169

14. Нарбут М.А. О точности метода динамической фотоупругости. // Исслед.по упругости и пластичности. Л.Изд-во Ленингр.ун-та, 1978. Вып.12. С. 169-174

15. Нарбут М.А. О применении поляризационо-оптического метода к динамическим задачам//Механика твердого тела. 1979.N2. С.180

16. Нарбут М.А. О применении поляризационо-оптического метода к динамическим задачам. Дисс. на соиск.уч.ст.канд.физ.-мат.наук. Л.1979. 128 с.

17. Нарбут M.А. Расчеты на ползучесть и длительную прочность на основе кинетических уравнений, учитывающих пластическое разрыхление.// 2 Всес.конф."Ползучесть в конструкциях". Новосибирск, 1984. С.55

IS. Нарбут М.А. Лучевые представления решений динамических задач для вязкоупругих сред. /'/ Механика деформируемых гел и конструкций. Ереван. Изд-во АН Арм.ССР, 1985. C.32S-333

19. Нарбут М.А. Статистические аспекты проблемы экстраполяции данных о длительной прочности металлов в условиях ползучести.// Прогнозирование механического поведения материалов. Тр. XXV Всес.сем. "Актуальные проблемы прочности". Старая Русса. 1991. Т.1.С.118-121

20. Нарбут М.А. Стохастические задачи динамики и прочности конструкций. - Л. Изд-во Лешшгр.ун-та. 1991. 66 с.

21. Нарбут М.А. Асимптотический анализ волновых полей в биологических тканях с приложениями к медицинской томографии// 2 Всеросс.конф. по биомеханике. Т.2. Нижний Новгород. 1994. С.74

22. Нарбут М.А. Байесовские и последовательные оценки времени до разрушения в условиях ползучести.// Механика разрушения. Теория и эксперимент. С.П. Изд-во Санкт-Петерб.ун-та, 19H5. С.102-106

23. IlapGyi M.А.. Псхрашень Г.И. О моделировании динамических процессов методами фотоупругости.// Материалы VIII Псес. конф. по методу фотоупругости. Таллин. 1979. C.G2-67

24. Физико-механический анализ прочности композиционных материалов. - Отчет по НИР N г.р. 01*90046702.

HHB.N 02910020111. Л.: H И ИМ M ЛГУ. 1990, 35 с.

25. Morozov N.F., Narbut М.А. Far-field asymptotics in an elastic wedge and a cone: the validity of Saint Venant 's principle in statics and dynamics // Int.Conf.Asymptotics in Mechanics. St.Petershure;, St.P. Marine 'l'echn.Univ. 1994. P.74-75