Идентификация неоднородных свойств стержней и пластин при изгибных колебаниях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Антенна Татьяна Александровна

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ СВОЙСТВ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ДПР Ш1

Ростов-на-Дону - 2012

005018673

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор, Ватульян Александр Ованесовпч

Официальные оппоненты:

Соловьев Аркадий Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент, Донской государственный технический университет, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов».

Зеленцов Владимир Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики им. И. И. Воровича, старший научный сотрудник.

Ведущая организация Кубанский государственный университет.

Защита состоится «24» апреля 2012 г. в 16:00 часов

на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, РГУ, факультет математики, механики компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «22» марта 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность .темы. Большой практический интерес в последние годы представляют задачи механики деформируемого твердого тела для неоднородных тел: полимеркомпозитов, функционально-градиентных материалов, геологических пород, биологических тканей. Изучение их структуры и механических свойств .. их идентификация стали объектом широких научных исследований.

Следует отметить, что использование непрерывно неоднородных моделей требует знания функций, характеризующих неоднородность. Их определение сводится к нахождению переменных коэффициентов линейных дифференциальных операторов, возникающих при исследовании задач для различных моделей упругости, пороупругости, вязкоупругости и др.. Прямые экспериментальные оценки таких функций требуют больших временных и материальных затрат.

Поэтому требуется разработка альтернативных методов идентификации неоднородных характеристик деформируемых твердых тел, описывающих их свойства (например, на основе концепции динамических модулей в рамках простейших неоднородных моделей вязкоупругости).

Эти методы в основном, опираются на акустическое зондирование и аппарат обратных коэффициентных задач в механике деформируемого твердого тела, позволяющий восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта. В настоящее время обратные коэффициентные задачи — бурно развивающаяся часть современной математической физики, в которой рассматриваются новые постановки, разрабатываются экономичные эффективные алгоритмы, строятся итерационные схемы. Все большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность как раз благодаря достижениям теории обратных задач. При этом отметим наиболее простой и в тоже время важный для приложений класс одномерных обратных задач для стержней и пластин.

Отметим, что к настоящему моменту методы решения задач о колебаниях неоднородных тел достаточно подробно разработаны и в основном опираются на метод конечных элементов (МКЭ), однако обратные задачи идентификации неоднородных свойств стержней и пластин по некоторой дополнительной информации при изгибных колебаниях исследованы недостаточно.

Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.

Цель работы заключается в решении задач идентификации неоднородных механических характеристик стержней и пластин (упругих и вязкоупругих) при изгибных колебаниях, причем важное значение имеет вывод операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции, подтверждение идентификационной значимости собственных частот и собственных форм колебаний в задачах определения механических характеристик.

Методика исследований прямых задач для неоднородных стержней основана на сведении исходных краевых задач к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода, решение которых осуществлено численно на основе метода коллокаций. Решение прямых задач для неоднородных пластин реализовано на основе метода Ритца. Обратные задачи идентификации неоднородных характеристик стержней сведены к решению системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода .Полученные системы решены на основании метода регуляризации А.Н. Тихонова в окрестности известного начального приближения, причем начальное приближение определяется из условия минимума функционала невязки. Решение обратных задач идентификации неоднородных характеристик пластин основано на применении проекционного метода Галеркина.

Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке методов решения и способов построения операторных соотношений и итерационных процессов в новых обратных задачах по идентификации неоднородных свойств для упругих и вязкоупругих стержней и пластин при анализе изгибных колебаний.

Достоверность результатов, полученных в настоящем исследовании, основана на строгом математическом аппарате краевых задач теории упругости и вязкоупругости, на корректном сведении краевых задач для неоднородного стержня к интегральному уравнению (системе) Фредгольма 2-го рода или использовании проекционных численных методов для неоднородных пластин, на их численном анализе, сравнении результатов, полученных в работе, с известными частными случаями; на большом количестве вычислительных экспериментов по решению обратных задач для различных типов неоднородностей.

Практическая ценность результатов исследования состоит в развитии методов идентификации неоднородных свойств стержней и пластин при изгибных колебаниях, а также исследовании возможностей процедуры идентификации механических свойств в зависимости от законов изменения неоднородностей и граничных условий.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации докладывались, на 111-VI всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2007-2011 гг.), на IX, X всероссийских конференция по биомеханике «БИОМЕХАНИКА-2008» (Нижний Новгород, 2008 г.), «БИОМЕХАНИКА-2010» (Саратов, 2010 г.), на акустическом симпозиуме «Консонанс 2009» (Киев, 2009 г.), на IX международной научно-технической конференции «Инновация, экология и ресурсосберегающие технологии на предприятиях машиностроения, авиастроения, транспорта и сельского хозяйства» (Ростов-на-Дону, 2010 г.), на XV международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2011 г.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе три статьи представлены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть

опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 109 наименований и приложений, включает 45 рисунков и 7 таблиц общим объемом 105 страниц машинописного текста.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований (фант № 05-01-00734, № 10-01-00194-а) и ФЦП " Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (госконтракт П596).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по идентификации неоднородных механических характеристик стержней и пластин и основным методам исследования прямых и обратных задач для неоднородных сред.

Отмечен значительный вклад, который внесли отечественные и зарубежные ученые в разработку методов исследования равновесия и колебаний неоднородных тел и вязкоупругих материалов: Д. Бленд, Г.А. Иосифьян, Г.Б. Колчин, М.А. Колтунов, Р. Кристенсен, В.А. Ломакин, A.B. Манжиров, В.П. Матвеенко, O.A. Олейник, Б.Е. Победря, Ю.Н. Работнов, Э. Санчес-Паленсия, H.A. Труфанов, Ю. А. Устинов, Дж. Ферри, А. Фрейденталь, И.Н. Шардаков. Коэффициентным обратным задачам и методам их исследования посвящены работы О.М. Алифанова, Ю.И. Аниконова, В.Я. Арсенина, Е.А. Артюхина, А.Б. Бакушинского, АЛ. Бухгейма, А.О. Ватульяна, A.B. Гончарского, И.С. Кабанихина, М.М Лаврентьева, В.А. Морозова, В. Г. Романова, А.Н. Тихонова, В.Г. Яхно, S.A. Avdonin, H.D. Bui ,М. Bocciarelli, , J-D. Chang, V.Isakov, I. Elishakff, P.D. Folkow, B-Z. Guo, S. Kim, K.L. Kreider, G. Li, C.K.S. Moy, S-S. Pang, P. Rikards, S. P. Ringer, T.L. Sheronova и других отечественных и зарубежных авторов.

Также во введении обоснована актуальность настоящего диссертационного исследования и сформулированы основные цели работы.

В первой главе диссертации изложены общие постановки обратных задач и использование вариационных трактовок для их решения. Кроме того, также сформулированы постановки обратных задач, рассмотренных в диссертации.

В параграфе 1.1 сформулированы общие постановки задач теории упругости и вязкоупругости, обратных коэффициентных задач. Представлен обзор вязкоупругих моделей и изложен принцип построения операторных соотношений для неоднородной вязкоупругой среды. Представлены вариационные трактовки, удобные для формулировки и построения итерационных процессов при решении обратных задач. Представлен вывод уравнений колебаний упругого стержня и пластины переменной жесткости на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

В параграфе 1.2 сформулирована постановка обратной задачи для упругой шарнирно опертой балки переменной жесткости при изгибных колебаниях.

(ОД./М)" - ЛАр(х)к = Р„3(х -х.)

и(0,А) = 0, УУ(1,А) = 0 У/(0,А) = 0, у/(1,Л)=0

н■1(х„А) = /,(А), А е [А,, А2 ]

п•2(х2,Л) = /М)

где А4 =ш - безразмерная частота колебаний. [А,,А2]. некоторый

интервал, не содержащий резонансных значений.

Здесь Е(х),Р(х)- неизвестные функции, характеризующие законы изменения модуля упругости и плотности, которые могут быть как гладкими положительными функциями, так и иметь конечное число разрывов первого рода, х,- точка приложения нагрузки, Р и J- соответственно площадь и момент инерции поперечного сечения стержня. /(А), /2(А) - дополнительная информация о смещениях в некоторых точках приложения нагрузки дг, ,лг2 е [0,1].

В рамках данной постановки представлена практически важная задача о диагностике степени консолидации костных отломков в месте перелома большеберцовой кости.

В параграфе 1.3 на основе принципа соответствия сформулирована постановка обратных задач для вязкоупругой балки переменной жесткости при изгибных колебаниях. В этом случае упругие характеристики заменены на комплексные функции частоты колебаний:

{0(хЛ)^{х,Л)) -А4ы(х,Л) = д

(3)

и(0,Л) = 0 и(и) = 0 и'(0,Д) = 0 и*(1,Я) = 0

к(х,Л) = МЛ) (4)

„. ., ; г%(х) + 1г(х)

где ь(х,и)--———. неизвестная функция, характеризующая изменения

безразмерного комплексного модуля, для неоднородного вязкоупругого тела, а £„=0(1,0), Цх) = //(<%(х), II(х) = И(0)1,(х) мгновенный и длительный модули упругости соответственно, которые могут быть как гладкими положительными

функциями, так и иметь конечное число разрывов первого рода, =

(огРр 14 Л1 (0)

безразмерная частота и т - 'и рр /4 - безразмерное время релаксации, /,№ -

характеризует дополнительную информацию о смещении в точке приложения нагрузки е [0,1] в некотором частотном диапазоне ГА-'У,

В параграфе 1.4 сформулирована постановка обратной осесимметричной задачи по определению переменной жесткости упругой пластины радиуса 1 при изгибных колебаниях под действием равномерно распределенной нагрузки Ч.

(О(г)п,''(,-))' + у(0'(г),/(г))' - (°(Г)*'(Г))' - к2гф) ~ кцг = 0 (5)

и (1) - IV (1) - О СЛуЧае жесткой заделки) (6) и{1) = О,

И1/(1) + >.-'(1) = О слУчае шарнирного опирания) (7)

»'('•> к») = /а(Г\ (8)

где В(г) = - цилиндрическая жесткость пластины (Д, =£>0)) , Л(') -

смещение пластины в наборе точек на фиксированной частоте Л'ое [л",,л-21

В парафафе 1.5 на основе принципа соответствия сформулирована постановка обратной осесимметричной задачи об изгибе вязкоупругой пластины радиуса 1 переменной жесткости под действием равномерно распределенной нагрузки 0. В этом случае упругие характеристики заменены на комплексные функции частоты колебаний £>('') 0(г,1к)г задача приобретает комплексную структуру. При этом в качестве дополнительной информации задается распределение смещений при фиксированной частоте колебаний.

Во второй главе изложены методы решения прямых задач для неоднородных структур, результаты решения которых используются в качестве входной информации для решения обратных задач - идентификации неоднородных свойств.

В парафафе 2.1 исходная краевая задача для стержня обезразмерена и

сведена к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода.

1

и(х) = Я4 ¡»(п)К(хМ + Дх) (9)

о

Интегральное уравнение решено численно на основе метода коллокаций и сведения к линейной алгебраической системе.

n

. мл <10>

атп ~ ^ СтнК{хт,Хя)

Здесь через *„ обозначены узловые точки, Сш . коэффициенты квадратурной формулы, н'„, - узловые неизвестные. В дальнейших расчетах использовалась квадратурная формула Симпсона.

Для задачи о диагностике переломов большеберцовой кости представлена серия расчетов, позволяющих дать количественную оценку влияния степени

регенерации костной ткани на строение АЧХ и на основе этого прогнозировать ее стадию. Исследована зависимость собственных значений от модуля упругости на различных стадиях консолидации костных отломков.

В параграфе 2.2 изложено разделение исходной краевой задачи для стержня на вещественную и мнимую части. Задача о колебаниях вязкоупругой неоднородной балки сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно вещественной и мнимой частей прогиба балки.

I I

Н-! (X) = Л4(//Ж, (х,/;)Л/ + Л4 (г])К2 (х.Мп + /, (*)

о о

и>2(х) = Л4 ]и>1(;/)^(х,г/)с/// + Л4 (х,?7)</;/ + /2(х)

<1 о

Отмечено, что ядра интегральных операторов представляют собой непрерывные функции независимо от того, являются ли жесткостные характеристики непрерывными или разрывными функциями координат. Система интегральных уравнений (11) решена численно на основе метода коллокаций аналогично упругому случаю.

В параграфе 2.3 представлена вариационная постановка задачи об изгибных колебаниях пластин. Краевая задача(5-7) сведена к задаче об отыскании стационарного значения квадратичного функционала Гамильтона-Остроградского

I

и

которое находилось с помощью метода Ритца. Решение отыскивалось в виде:

.V

и-(г) = £С,„р,„(г) (13)

где Сп — произвольные постоянные, а <Р„(Г) - координатные функции, удовлетворяющие геометрическим краевым условиям рассматриваемой задачи.

и '(г) г

+ 2у

\\"(г)п>\г)

I I

-с1г - 2 $кчи{г)п1г - Л2 |и>2 (г)ге/г

(12)

В рассматриваемом случае базисные функции <Р,А'') могут быть выбраны в форме

<Р,ЛГ) = 0 ~г2)2/-2""41 (в случае жесткой заделки) (14)

¥'„,('') = (1-''2)'"2"" "( в случае шарнирного опирания) (15)

Значения параметров Ст найдены из системы линейных алгебраических уравнений небольшой размерности N = 5 + 7, которая исследована численно.

Произведено сравнение результатов для однородной пластинки при к = 0 с известными аналитическими результатами. Относительная погрешность результатов, найденных методом Ритца, при N = 5 составила 1 (Г5 -И о-'', а при N = 10 - ю'' -НО 7. В таблице 1 приведен сравнительный анализ значений

1 -1

прогибов, полученных методом Ритца при и значении аналитических

решений.

Кроме того проведено сравнение результатов, полученных методом Ритца с результатами полученными методом пристрелки, при расхождение при N = 7 составило менее 1 %.

В параграфе 2.4 представлено решение прямой задачи о колебаниях вязкоупругой пластины переменной жесткости с помощью метода Ритца, основанного на нахождении стационарной точки квадратичного функционала Гамильтона-Остроградского; описаны особенности численной реализации предложенного подхода, связанные с комплексной структурой рассматриваемой задачи.

Таблица 1

г Жесткая заделка Шарнирное опирание

Метод Ритца Точное решение Метод Ритца Точное решение

N = 5 N = 10 N = 5 N = 10

г = 0 0,015626 0,015625 0,015625 0,072446 0,072444 0,072443

г = 0,5 0,008789 0,008789 0,008789 0,051404 0,051403 0,051403

г = 0,95 0,000149 0,000148 0,000148 0,005689 0,005688 0,005688

Третья глава диссертации посвящена методам решения коэффициентных обратных задач при изгибе стержней. Представлены способы получения операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции. В силу того, что дифференциальные операторы имеют переменные коэффициенты, в общем случае такие соотношения не могут быть получены аналитически. В работе сформулированы итерационные схемы, позволяющие преодолеть эту сложность. На каждом шаге необходимо решать прямую задачу и вычислять поправки, которые находятся с помощью регуляризованной схемы решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода Представлены численные способы преодоления некорректности промежуточных задач на основе процедуры регуляризации.

В параграфе 3.1 изложен метод линеаризации для формулировки операторных соотношений, связывающих искомые характеристики (модуль Юнга и плотность) упругой балки с заданными функциями (прогибом балки в фиксированной точке).

Искомые функции обезразмерены Е(х) = Е^(х) р{х) = р„г(х); на основе метода линеаризации, построены операторные соотношения в виде интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для определения функций поправок и »-, (л)

'г " 1

(х,Л))2ск+Л* $ г^х)м02(х,Л)е/х=ы,(х„,Л) (16)

II о

Проведены аналогичные построения для двух различных точек приложения нагрузки, получена система интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода для нахождения функций поправок gl(x) и г, (л), на основе которой построен итерационный процесс.

При этом ¡-тый шаг итерационного процесса описывается следующими операторными уравнениями:

Г " !

- ]М("шЛ) )2с\х +Л41 /•;(х)(<(х,Л))2с1х = 11',,(х|,Л) = (/,Л)- И',',,(л-,,Л)) о о

- ]е!(хХи{а(х,Л) )2</х+Л4 i Г1'(хХп^(х,Л))2,/х=11',2(х2,Л) = (/2(&уЛ)-,1]),(х2,Л))

. о о

На каждом шаге построенного процесса посредством решения системы интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода находились новые значения К и "и, с помощью которых вычислялись правые части интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода и их ядра. Результатом решения этой системы уравнений являются поправки к неизвестным функциям (х) и /) (*), и с их учетом производился следующий этап итерационного процесса

В параграфе 3.2 операторные соотношения, связывающие искомые вязкоупругие характеристики балки (комплексный модуль) с заданными функциями прогиба, построены с помощью слабой формулировки задачи и вариационного подхода и имеют вид

I _ _ _

\а1(хЛЫ)(хЛН(хМх = /}(Л)-Г„(Л) Ле[Л„Л2]

а

В задаче выделены вещественная и мнимая части и с использованием метода Тихонова построен итерационный процесс для решения системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.

'1 „ -Т,--- -

\{^{х)г1{Л)+1^х)х{(Л))и< (х,Л)%' (х,Л)ск= Яе(^(Л)-/'о(Л)),

„ —- - --(19)

{(¿VМ-/пМ)Гз(А)и'о (х,Л)иЬ' (хМх= \х\%(Л)-Гъ(Л)) .0

I д2

гДе г<(Л) = 77^7Г = . г,(Л) = -—— причем Л,;ч'(х) = /1„'(л-) + //|'(л) „

I -г Г л 1 + Т А 1 + Т А

Необходимо отметить, что первый этап итерационного процесса требует знания начального приближения Оа(х, ¿Л). > которое в настоящей работе строилось в классе линейных и экспоненциальных комплексных ограниченных функций, коэффициенты которых находились из условия минимума

функционала невязки на построенном исходя из априорной информации компактном множестве:

я, 2

ф= /|и{*0,Д)-/,(Д)| <а (20)

л

На каждом шаге построенного процесса посредством решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода находилось новое значение Ч, с помощью которого вычислялась правая часть интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода и его ядро. Результатом решения этого уравнения является поправка к неизвестной функции, и с ее учетом производился следующий этап итерационного процесса.

В параграфе 3.3 предложены два подхода для решения обратной задачи об определении функции, характеризующей изменение цилиндрической жесткости пластины по известной информации о прогибе пластины на некоторой фиксированной частоте.

Первый подход заключался в сведении обратной задачи к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка с переменными коэффициентами. Результаты вычислительных экспериментов на основе данного подхода показали, что нельзя осуществить восстановление исходной функции жесткости с приемлемой точностью, в силу обращения в некоторой точке в ноль коэффициента при старшей производной и нарушения теоремы существования для задачи Коши.

Второй подход заключался в применении проекционного метода Галеркина к исходной краевой задаче. Функция жесткости представлена в виде

м

) = где !"*(') = '"' ' - координатные функции.

I -о

Введено обозначение невязки Щг) = г\В{г)т\г)У + Угг (£>'(/>'(/•))' ~ /•(£>('>'(/'))' + (21)

Из требования её ортогональности системе координатных функций получена система линейных алгебраических уравнений для нахождения

коэффициентов разложения на основе решения которой найдено

приближенное решение сформулированной обратной задачи.

В параграфе 3.4 представлено решение обратной задачи об определении функции, характеризующей цилиндрическую жесткость С(/-,/л-) круглой вязкоупругой пластины при различных граничных условиях, на основе проекционного метода Галеркина, показавшего наибольшую эффективность в предыдущем параграфе. Описаны особенности численной реализации предложенного подхода, связанные с комплексной структурой рассматриваемой задачи.

В четвертой главе представлены результаты вычислительных экспериментов для всех рассмотренных задач. Приведены расчеты для различных граничных условий и законов распределения неоднородных характеристик. Обсуждены точность и границы применимости предложенного подхода.

На рисунке 1 представлены результаты восстановления модуля упругости и плотности упругого стержня для законов &(а') = 1.4+а-2, /-(а) =3-1.5т2. При расчетах полагалось*- =0.5> начальное приближение выбрано ';,(*) = 3.2-1.6д-;

(х) = 1.45 +0.85х( частотный диапазон [Л,,Д2] = [4.5,6.5]. Для достижения точности 10 4 в функционале невязки потребовалось 6 итераций. На рисунках сплошной линией показан график исходной функции, пунктиром- начального приближения, точками — восстановленной.

На рисунке 2 в качестве примера приведены результаты восстановления мгновенного и длительного модулей вязкоупругого стержня для законов ф) = 2 + 2х\ 1г(х) = 1 + соэ((х +1.5)тг). При расчетах полагалось*. = 0.25; время релаксации г = 0.1, начальное приближение выбрано в виде ¿'„(а) = 1.7л + 2) А|М = 1, частотный диапазон Г-^1 = [4.4,7.6]. Для достижения точности К)4 в функционале (20) потребовалось 20 итераций. На рисунках сплошной линией показан график исходной функции, пунктиром - начального приближения, точками — восстановленной.

Рисунок 1 - Восстановление £(*) и ' М

2.5

Рисунок 2 - Восстановление ё(х) и 'К*) Результаты вычислительных экспериментов по идентификации цилиндрической жёсткости !)(г) упругой пластины в случае жесткой заделки при £>(/•) = 1 + 5т(3/') представлены на рисунке 3. Вычисления проводились при следующем наборе параметров: V = 0,1; <? = 1; Л/ =15, при этом невязка имеет порядок Ю"1 -И(г\ На рисунке сплошной линией показан график исходной функции, точками - восстановленной.

На рисунке 4 представлены результаты вычислительных экспериментов по идентификации мгновенного.?*'') и длительного модулей вязкоупругой пластины пластины. Вычисления проводились для законов й('') = 1 + ^п(3г) н Л(/) = 1 + 3/-2, в случае шарнирного опиранпя, при следующем наборе параметров: у = 0,1; ? = 1; М = 15.

Рисунок 3 - Идентификация £>('') Время релаксации считалось известным и принято равным г = 1, при этом невязка имеет порядок КГ'+кг4. На рисунках сплошной линией показан график исходной функции, точками - восстановленной.

Рисунок 4 - Идентификация £(/•) и /;(/•) 17

Отмечено, что наибольшая погрешность результатов реконструкции наблюдалась на краю пластины.

В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработаны методы решения задач об изгибных колебаниях неоднородных упругих и вязкоупругих стержней и пластин

2. Представлены способы построения операторных соотношений и итерационных процессов в новых обратных задачах по реконструкции неоднородных свойств упругих и вязкоупругих стержней и пластин

3. Проведены вычислительные эксперименты по определению неоднородных характеристик (монотонных, немонотонных) стержней и пластин при изгибных колебаниях

4. Получено решение задачи об определении характеристик большеберцовой кости в месте перелома по данным акустического зондирования

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(фамилия соискателя: Аникина Т.А. - после вступления в брак, Морусова Т.А. - до вступления в брак)

1. Морусова Т.А. Моделирование диагностики сращивания бедренной кости // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды III Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 28 мая-1 июня 2007 г. Ростов-на-Дону. Терра Принт. 2007. С. 58-59.

2. Аникина Т.А., Ватульян А.О. Акустические методы контроля регенерации костной тканн // Экологический вестник Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №3. С.10-17.

3. Аникина Т.А., Бочарова О.В, Ватульян А.О. К идентификации сращивания костной ткани // БИОМЕХАНИКА-2008. IX Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докладов. Нижний Новгород: ИПФ РАН. 2008. С. 94-95.

4. Аникина Т.А. Моделирование процесса регенерации костной ткани // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды IV Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 2- 6 июня 2008 г. Ростов-на-Дону. Терра Принт. 2008. С. 11-12.

5. Аникина Т.А., Идентификация реологических свойств при изгибных колебаниях // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды V Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 1 -5 июня 2009 г., Ростов-на-Дону. Терра Принт. 2009. С. 11-12.

6. Аникина Т.А., Ватульян А.О., Шевцова М.С. Об идентификации локализованных и распределенных неоднородностей в упругих и вязкоупругих телах // "Консонанс 2009". Тезисы докладов Акустического симпозиума. Киев 29.09.2009-1.10.2009. Киев: Институт гидромеханики НАН Украины. С.15-16.

7. Аникина Т.А., Ватульян А.О., Шевцова М.С. Об идентификации локализованных и распределенных неоднородностей в упругих и вязкоупругих телах // Сборник трудов Акустического симпозиума "Консонанс 2009". Киев 29.09.2009-1.10.2009. Киев: Институт гидромеханики НАН Украины. С.115-121.

8. Аникина Т.А. Методы идентификации реологических свойств вязкоупругих материалов // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2010. Т. XV. С.7-11.

9. Аникина Т.А., Богачёв И.В, Ватульян А.О. Об идентификации характеристик костной ткани на основе акустических методов /У БИОМЕХАНИКА-2010. X Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докладов. Саратов. Издательство Саратовского университета. 2010. С.24-25.

10. Аникина Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Некоторые задачи идентификации неоднородных реологических свойств материалов // «Инновация, экология и ресурсосберегающие технологии на предприятиях машиностроения, авиастроения, транспорта и сельского хозяйства» Труды IX

Международной научно-технической конференции, г. Ростов-на-Дону: ИЦ ДГТУ. 2010. С. 1149-1152.

11. Анпкнна Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Об определении неоднородных реологических свойств балок И Вестник Донского Государственного Технического Университета. 2010. Т.10. № 7. С. 10161023.

12. Аникииа Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т.17. №1. С. 107-115.

13. Аникина Т.А. Об определении переменной жесткости круглой пластины // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 30 мая- 2 июня 2011 г. Ростов-на-Дону, Издательство Южного Федерального Университета. 2011. С. 12-13.

14. Аникина Т.А., Углич П.С. Обратная задача об определении переменной жесткости пластины при изгибных колебаниях // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XV Международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 4 декабря- 7 декабря 2011 г. Т.1; Южный Федеральный Университет. Ростов-на-Дону, Издательство Южного Федерального Университета. 2011. С. 16-20.

Для заметок

Сдано в набор 20.03.2012. Подписано в печать 20.03.2012. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 0,7. Бумага офсетная. Тираж 120 экз. Заказ 2003/02.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

61 12-1/1043

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

На правах рукописи

о

Аникина Татьяна Александровна

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ СВОЙСТВ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ватульян Александр Ованесович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................4

ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛ С НЕОДНОРОДНЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ..........................................................................................20

1.1 Общие постановки, использование вариационных трактовок для решения коэффициентных обратных задач........................................................20

1.2 Постановки обратных задач для упругой балки переменной жесткости при изгибных колебаниях..................................................................33

1.3 Постановки обратных задач для неоднородной вязкоупругой балки при изгибных колебаниях.....................................................................................35

1.4 Постановка обратной задачи для изгиба упругой пластины переменной жесткости...........................................................................................37

1.5 Постановка обратной задачи для изгиба вязкоупругой пластины переменной жесткости...........................................................................................37

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ...................................39

2.1 Сведение задачи о колебаниях упругой неоднородной балки к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода..............................................39

2.2 Сведение задачи о колебаниях неоднородной вязкоупругой балки к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода..............................................47

2.3 Решение осесимметричной задачи о колебаниях упругой круглой неоднородной пластинки.......................................................................................52

2.4 Решение осесимметричной задачи о колебаниях вязкоупругой круглой неоднородной пластинки........................................................................57

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ 4-ГО ПОРЯДКА........................................................60

3.1 Метод линеаризации...............................................................................60

3.2 Вариационный подход.............................................................................64

3.3 Обратная задача для упругой пластины переменной жесткости......67

3.4 Обратная задача для вязкоупругой пластины переменной жесткости ...................................................................................................................................69

ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ..................................71

4.1 Результат восстановления модуля Юнга и плотности неоднородной упругой балки.........................................................................................................71

4.2 Восстановление комплексного модуля неоднородной вязкоупругой балки........................................................................................................................77

4.3 Идентификация цилиндрической жесткости упругой круглой пластины..................................................................................................................81

4.4 Идентификация цилиндрической жесткости вязкоупругой круглой пластины..................................................................................................................85

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................................................................91

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................92

Приложение А..................................................................................................102

Приложение Б..................................................................................................103

Приложение В..................................................................................................105

ВВЕДЕНИЕ

Модели механики деформируемого твердого тела с постоянными коэффициентами достаточно апробированы и являются важным инструментом при исследовании практически важных задач на прочность, устойчивость и колебания. Эти модели формировались на протяжении более чем двух столетий, начиная с классических моделей теории упругости. Практическое использование простейшего варианта - (линейно-упругое изотропное однородное тело) базируется на определении двух упругих постоянных -модуля Юнга и коэффициента Пуассона на основе стандартных макроэкспериментов (опыты на растяжение и кручение стержней). Эта модель стала эффективным средством анализа многих научно-технических задач не только в механике деформируемого твердого тела, но и в смежных областях (машиностроение, геофизика, строительство). Для нее сформулированы строгие математические постановки краевых задач, доказаны теоремы существования решений, разработаны эффективные методы построения численных решений. В то же время отметим, что при исследовании ряда проблем эта модель оказывается недостаточно адекватной для описания динамического поведения деформируемых твердых тел и усложнение этой модели приводит к отказу либо от гипотезы однородности, либо от гипотезы изотропии. Отказ от гипотезы однородности приводит к тому, что деформирование даже для простейших объектов (стержни, пластины) описывается дифференциальными операторами с переменными коэффициентами. Теория упругости неоднородных тел начала развиваться относительно недавно. Основное внимание при анализе моделей неоднородной теории упругости уделялось как общим вопросам существования решений, разработке эффективных численных схем (в основном на базе конечноэлементных технологий), так и способам построения усредненных моделей с постоянными коэффициентами для описания деформирования в средах с быстро меняющимися коэффициентами. Такие подходы оказались

весьма важными с точки зрения механики композитов. Тем не менее, с практической точки зрения в последние годы значительный интерес представляет более детальное исследование механических свойств материалов со сложной неоднородностью [1-5]: полимеркомпозитов, функционально-градиентных материалов, геологических пород, биологических тканей. Их структура и механические свойства стали объектом широких научных исследований. Прямые экспериментальные оценки механических свойств таких материалов, обладающих сложной реологией и неоднородностью, требуют больших временных и материальных затрат.

Отметим, что для практического использования простейшей модели неоднородного тела - неоднородной изотропной теории упругости -необходимо знать три функции (модули Ламе и плотность среды), которые должны быть заданы при помощи некоторых функциональных зависимостей, предварительно определяемых из некоторых экспериментов или наблюдений. Наиболее часто такие зависимости предполагаются одномерными и исследование возможных проблем, возникающих при анализе таких задач, естественно начать с простых задач для стержней и пластин. Наиболее распространенный способ нахождения искомых характеристик - анализ отклика исследуемого объекта в виде амплитудно-частотных зависимостей некоторых граничных точек. При этом задача определения одной из функций при известных других приводит к исследованию довольно сложных нелинейных обратных задач для дифференциальных операторов второго и четвертого порядков. К настоящему времени задача об определении характеристик неоднородных упругих стержней подробно исследована в ряде работ.

Отметим, что существует путь, существенно упрощающий сформулированную задачу отыскания неизвестных характеристик. Он опирается на довольно часто принимаемый кусочно-постоянный характер изменения искомых характеристик. Для некоторых задач в заданном диапазоне

изменения параметров такой подход оправдан, поскольку это предположение существенно сужает область поиска неизвестных характеристик и значительно упрощает исследование обратных задач. В то же время отметим, что такое сужение поиска может привести к значительному искажению результатов идентификации.

Поэтому требуется разработка эффективных методов идентификации неоднородных характеристик деформируемых твердых тел, описывающих их свойства (например, на основе концепции динамических модулей в рамках простейших неоднородных моделей вязкоупругости).

Они опираются на акустические методы зондирования и аппарат обратных коэффициентных задач в механике деформируемого твердого тела [6-18], позволяющий восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта [19]. В настоящее время обратные коэффициентные задачи — бурно развивающаяся часть современной математической физики, в которой рассматриваются новые постановки, разрабатываются экономичные эффективные алгоритмы, строятся итерационные схемы. Все большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность как раз благодаря достижениям теории обратных задач.

Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. Решение таких задач проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и состоит в определении параметров математической модели по имеющейся экспериментальной информации.

Обратные задачи обладают рядом неприятных с математической точки зрения особенностей. Во-первых, они, как правило, нелинейны, то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или

функциональное уравнение, связывающее искомые и заданные функции, нелинейным образом. Во-вторых, решения обратных задач обычно не единственны. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать избыточности экспериментальной информации, например при определении формы полости в теле при помощи регистрации отраженных волн необходимо знание отраженного поля в некотором диапазоне изменения частоты. В-третьих, обратные задачи являются некорректными.

Основы теории условно-корректных задач, или некорректных задач, были заложены академиком А. Н. Тихоновым. В дальнейшем в рамках этого направления сформировалось несколько научных школ. К середине 60-х годов наука обогатилась публикациями А. Н. Тихонова и других отечественных ученых по некорректным задачам [20-35]. Все предложенные им методы имеют эффективную численную реализацию. Созданная А. Н. Тихоновым общая теория регуляризации некорректных, в частности, обратных задач использует сложный аппарат функционального анализа. Метод регуляризации был использован А. Н. Тихоновым для решения вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, линейных и нелинейных интегральных уравнений первого рода, задач математического программирования, оптимального управления, устойчивого суммирования рядов Фурье и многих других.

Представим небольшой обзор решенных задач для стержневых и пластинчатых структур, которые являются наиболее простыми и распространенными конструктивными элементами.

В работе [36] рассмотрена обратная задача о деформации для неоднородных колонн, суть которой заключается в нахождении распределения модуля упругости для неоднородной колонны постоянного поперечного сечения по ранее определенным деформациям, заданным многочленами. Обезразмеренная функция смещений и жесткость представлены в виде многочленов от некоторого безразмерного параметра; при этом коэффициенты

разложения жесткости считаются неизвестными. При подстановке этих функций в уравнение колебаний и с помощью приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях безразмерного параметра получена система линейных уравнений для определения коэффициентов разложения жесткости. Приведены результаты вычислений для различных граничных условий.

В статье [37] приведены некоторые новые классы обратных задач в нелинейной механике. Рассмотрены три класса задач: первая - об определении упругопластических свойств стержня из экспериментов на кручение; вторая -об определении упругопластических свойств 3-х мерного тела из экспериментов по сферическому вдавливанию; третья - об определении неизвестного модуля упругости из уравнения изгиба. Получены слабые решения всех прямых задач в соответствующих Соболевских пространствах. Доказано существование квазирешений всех сформулированных задач. Представлены некоторые численные результаты.

В [38] предложена новая аналитическая модель для анализа колебаний и идентификации параметров композитной балки переменной жесткости. Она основана на аппроксимации исходной балки другой балкой, имеющей кусочно-постоянные свойства. Показано, что жесткость каждой составляющей балки может быть восстановлена по спектральным данным. Для каждой однородной балки рассмотрены уравнения колебаний и удовлетворены условия сопряжения. Общая жесткость конструкции получена осреднением. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

В работе [39] рассмотрена задача идентификации коэффициентов уравнения балки при граничных измерениях смещений. Изучены крутильные колебания консольно-защемленного на одном конце стержня. В качестве входных данных для решения задачи идентификации использованы смещение и угловая скорость на свободном конце стержня. Показано, что плотность и изгибная жесткость стержня могут быть единственным образом определены в

классе непрерывных функций, если входные данные известны на бесконечном промежутке времени.

Статья [40] посвящена идентификации кусочно-постоянных коэффициентов, входящих в уравнение изгибных колебаний балки. С помощью разложения в ряды авторы сводят динамическую задачу к спектральной. Неизвестный коэффициент восстанавливают через заданное отображение Дирихле-Неймана. При этом в спектральной задаче считаются заданными собственные функции.

В работе [41] для идентификации механических свойств металлических материалов предложен анализ, основанный на данных экспериментальных результатов, полученных из испытаний индентирования. Входной информацией для идентификации считается кривая сила-внедрение. Отмечена необходимость дополнительного измерения максимальной глубины внедрения. Отмечена практическая применимость предложенного подхода в силу простоты испытания. Процедура решения состоит частично из детерминированного подхода и обычных алгоритмов оптимизации, использующихся для минимизации функционала невязки. Представленные результаты свидетельствуют об особых преимуществах предложенной методики в идентификации модуля упругости, основанной на минимальном количестве входной информации, собранной из экспериментальных данных. Метод апробирован на идентификации материальных свойств сплава А1 2024.

В работе [42] представлена обратная задача идентификации реологических параметров на основе конечно-элементной модели. Решение прямой задачи, моделирующее напряженно-деформированное состояние в процессе временных испытаний на ползучесть, основывалось на конечно-элементной модели объекта. Сформулирована обратная задача, цель которой состоит в том, чтобы определить вектор параметров, описывающий реологию. Способ его определения состоит в стандартной процедуре минимизации целевой функции с помощью метода наименьших квадратов , представляющей

собой сумму квадратов разностей между экспериментальными и числовыми данными в некотором наборе точек.

В статье [43] рассматривается идентификация механических свойств слоистых полимерных композитов, основанная на экспериментальных данных. Предложен метод, основная идея которого заключается в определении параметров простых математических моделей по отклику структуры в контрольных точках расчета, полученных из экспериментов. Отмечено, что по сравнению с обычными методами минимизации квадратичных функционалов, возникает существенное сокращение числа вычислений минимизируемого функционала. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

Следующие несколько работ посвящены идентификации механических характеристик пластин переменной жесткости.

В работе [44] рассмотрена задача об идентификации упругопластических механических свойств биметаллических листов гибридно-обратным способом. Для идентификации предложен подход, основанный на регистрации отклика. Сущность метода состоит в объединении экспериментального подхода, использующегося для получения исходных данных, числового моделирования и обратного метода поиска непосредственно для идентификации параметров. Приведен пример численной реализации представленного подхода на примере листа из нержавеющей стали, обшитой медью.

В работе [45] рассматривается задача идентификации упругих механических слоистых композитных пластин на основе данных

вибрационных измерений. Представлена методика неразрушающего контроля, использующая