Идентификация неоднородных полей предварительных напряжений в плоских задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Недин Ростислав Дмитриевич

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛЕЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛОСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой стенеии кандидата физико-математических паук

1 7 АПР 2014

005547076

Ростов-па-Дону - 2014

005547076

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты:

Беркович Вячеслав Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент, филиал ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет технологий и управления им. К. Г. Разумовского» в г. Ростове-па-Дону, заведующий кафедрой «Математика, физика и информационные технологии».

Бочарова Ольга Витальевна, кандидат физико-математических паук, федеральное государственное бюджетное учреждение пауки Южный научный центр Российской академии паук, научный сотрудник.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Защита состоится «13» мая 2014 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ), расположенном по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных паук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке имени Ю. А. Жданова ЮФУ по адресу: 344103, г. Ростов-па-Допу, ул. Зорге, 21 Ж.

Автореферат разослан «9» апреля 2014 г. Ученый секретарь

диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Напряжения, которые существуют и теле при отсутствии внешних нагрузок, называются предварительными напряжениями (ПН). Подобное напряженное состояние возникает в процессе технологической обработки (литья, прокатки, сварки, крутки, закалки, термообработки и других), вследствие неоднородной пластической деформации, при жестком соединении разных материалов в контактной зоне, либо является результатом действия нагрузок при упругом или вязкоунругом деформировании и может достигать больших значений. Практически все структуры в человеческом теле находятся под действием предварительного напряженного состояния (ПНС), начиная от живых клеток на микроуровне и закапчивая кожей, костной и мышечной ткапыо па макроуровне. Особый практический интерес к подобным напряжениям начал проявляться в начале прошлого века после серии непредвиденных разрушений конструкций (мостов и фюзеляжей самолетов), причиной которых стало неучтенное ПНС. Компоненты поля ПН в конструкциях могут достигать больших значений, особенно и окрестности концентраторов (трещин, полостей, сварных швов, включений и т.н.), которые, как правило, недоступны для наблюдения и могут вызывать разрушение конструкции при нагрузках, значительно меньших допускаемых.

Одним из основных направлений развития современных методик численного моделирования (особенно метод конечных элементов) является выбор наиболее адекватной теоретической модели ПН для постановки и решения конкретной практической задачи; наиболее востребованными являются модели, позволяющие определять неоднородное ПНС но данным о полях смещений или деформациях на границе тела с использованием современных вычислительных алгоритмов. В связи с недостатками разрушающих и полуразрушающих методов, а также невозможностью использования их при исследовании объектов ответственного назначения (трубопроводов, оболочек реакторов, элементов самоле-

тов, судов, ракет и т.п.), сегодня отчетливо наблюдается ориентация последних научных разработок на развитие и совершенствование неразрушающих методов диагностики ПНС. Отдельного внимания заслуживает метод акустического зондирования, обладающий рядом существенных преимуществ над другими методами: возможность идентификации неоднородного ПНС во всей области тела; применимость к большому классу материалов и образцам различной формы; экономичность и оперативность получения результатов исследования.

Цель работы заключается в формулировке постановок краевых задач для предварительно напряженных пластин и стержней в рамках различных моделей, разработке теоретических основ реконструкции неоднородного ПНС в этих телах на основе акустического метода и проведении вычислительных экспериментов.

Методика исследования краевых задач об установившихся колебаниях предварительно напряженных тел основана на применении метода конечных элементов (МКЭ) с использованием слабых постановок исходных задач. Для вывода уточненных постановок краевых задач для стержней и пластин применен вариационный метод Лагранжа. Операторные уравнения обратных задач выводились из обобщенного соотношеня взаимности для предварительно напряженного упругого тела, на их основе строился итерационный процесс, па каждом шаге которого необходимо решать прямую краевую задачу и интегральное уравнение первого рода относительно поправок к неизвестным функциям. В случае двумерной обратной задачи предложены два подхода к решению этого уравнения, основанные либо на конечномерной аппроксимации функции напряжений Эри, либо на конечноэлемептной технике.

Научная новизна заключается в получении новых уточненных постановок краевых задач для предварительно напряженных пластин и стержней в рамках классических и неклассических моделей, проведении анализа влияния ПН на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), классификации распространенных моделей ПН, постановке новых обратных задач и формулировке

соответствующих соотношений взаимности, разработке теоретических основ реконструкции неоднородного ПНС в пластинах и стержнях, выявлению эффективных способов зондирования на основе вычислительных экспериментов.

Достоверность результатов, полученных в диссертационном исследовании, основана на строгом аппарате математического и тензорного анализа, использовавшемся при построении уточненных формулировок краевых задач, определяющих уравнений и соотношений взаимности, на проведении оценок точности получаемых численных решений на основе сравнения с аналитическими решениями в частных случаях и с другими моделями, на проведении вычислительных экспериментов, подтверждающих работоспособность и эффективность предложенных методов диагностики ПНС.

Практическая ценность. Разработанные методики идентификации неоднородных ПН могут быть использованы для совершенствования технологий неразрушающего контроля ПНС и внутренних дефектов на основе данных, снимаемых на поверхности тела, обеспечивая новый уровень точности и качества диагностики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на различных Всероссийских и международных конференциях, в том числе «EUROMECH Colloquim 527: Shell-like Structures - Nonclassical Theories and Applications» (Германия, Виттенберг, 2011 г.), «8th European Solid Mechanics Conference» (Австрия, Грац, 2012 г.), «38th Solid Mechanics Conference» (Польша, Варшава, 2012 г.), «The Second China-Russia Conference «Numerical Algebra With Applications» (Ростов-на-Дону, 2013 г.), «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2013 г.), «Shell and Membrane Theories in Mechanics and Biology: From Macro-to Nanoscale Structures» (Беларусь, Минск, 2013 г.), «Russian-Taiwanese Symposium «Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications» (Ростов-на-Дону, 2012 г.), Международная конференция «Современные проблемы МСС» (Ростов-на-Дону, 2009-2012 гг.), VII Всероссийская конференция но механике деформируемого твердого тела с международным участием

(Ростов-па-Дону, 2013 г.), Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дивноморское, 2011-2013 гг.) и др., на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 31 печатной работе [1-31], из них 4 статьи [1-4] в рецензируемых журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, н которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 152 наименований, 50 рисунков, 4 таблиц. Общий объем диссертации составляет 149 страниц машинописного текста.

Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, поддерживались грантами ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт от 18.05.2010 г. № П596), РФФИ (10-01-00194а, 13-01-00196-а), Южным федеральным университетом (НИР 213.01-24/2013-74).

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, дан обзор литературы по моделированию, классификации и анализу ПН, приведена краткая история развития линеаризованных теорий с учетом ПН. Сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе изучены вопросы теоретического моделирования ПНС в твердых телах. В параграфе 1.1 описаны две существующие системы тензорных обозначений, введенные К. Трусделлом и В. Ноллом и А. И. Лурье, приведены

определения и правила перехода от одной системы к другой. В параграфах 1.2 и 1.3 рассмотрено два подхода к описанию движения или равновесия предварительно напряженных тел. В первом из них в качестве отсчетной конфигурации выбирается естественное педеформироваппое состояние тела, и в уравнения входит начальная деформация в явном виде; этот подход предложен академиком А. Н. Гузем. В рамках второго подхода отсчетной конфигурацией считается начальное деформированное состояние, при этом причины образования ПНС не учитываются, таким образом, начальная деформация не участвует в уравнениях. Такой подход используется в моделях, ранее предложенных Е. Трефтцем, М. Био, К. Бицепо и X. Генки и Р. Саусвеллом и развитые впоследствии В. В. Новожиловым, Л.М. Зубовым, К. Васидзу, Л. Робертсоном, А. Хогер, К. Трусдел-лом и др. Линеаризованная краевая задача при этом имеет следующий общий вид:

д2и

V 0-Х + РоЬ = ро-^=, (1)

£ = (2) Уи • + М, = 0, (3)

а)к = /о. (4)

«к = о, п-Т\3гг = Р, (5)

где Уо . = ^ набла-оператор в метрике начального деформированного

состояния, ро, Ь() и Ь - соответственно начальная плотность (т.е. плотность тела в начальной конфигурации), начальная и добавочная массовая сила, Р,, и Р_ - соответственно начальная и добавочная поверхностная нагрузка, и - вектор добавочных малых перемещений, Т - несимметричный добавочный тензор напряжений Пиолы,^ - тензор ПН Коши, отнесенный к начальной конфигурации, Г - тензор, зависящий в общем случае от компонент тензора ПНд^, еиш, е = | (Уии + У оыт) - тензор малых деформаций, ш = | (Уимт — У ои) - тензор поворотов, Ь(е) - добавочный материальный тензор объективных напряжений, линейно зависящий от тензора деформаций.

Различные существующие модели ПН. используемых в настоящее время, отличаются структурой тензора Г.

В параграфе 1.4 описана теория, позволяющая связать модели друг с другом па основе общего представления для удельной энергии деформации, которая разбивается па энергию чистой деформации и энергию, обусловленную поворотом объема при малых смещениях, либо с помощью соотношения, связывающего добавочный объективный тензор напряжений с добавочными тензором напряжений Пиолы, тензором малой деформации и тензором конечной деформации. В параграфе 1.5 приведен способ построения определяющего соотношения для полулинейного упругого материала в метриках естественной педе-формированпой конфигурации и начальной невозмущенной конфигурации. В параграфе 1.6 приведен вывод вариационной трактовки и слабой постановки задачи (1)-(5) в случае установившихся колебаний

Р-и^-¿V-+ = 0, (6)

во V V V

причем пробные функции удовлетворяют главным граничным условиям задачи:

= О- В параграфе 1.7 осуществлено сравнение наиболее употребительных моделей ПН друг с другом на основе конечноэлементного анализа динамических характеристик (собственных частот и АЧХ) упругой изотропной пластины при планарпых колебаниях в различных случаях однородного ПНС; приведены постановки краевых задач для предварительно напряженного стержня в рамках всех рассмотренных моделей ПН. Выяснилось, что несмотря на различную структуру определяющих соотношений, в рассмотренных случаях распределения ПН в стержнях и пластинах модели 1-Ш весьма близки между собой с точки зрения АЧХ и СЧ. Всюду далее в диссертационной работе используется модель ПН, предложенная Е. Трефтцем и др., при которой Г^о^е,^) = д^ ■ Уои.

Во второй главе приводится вывод уточненных постановок краевых задач об установившихся колебаниях различных предварительно напряженных тел. В параграфе 2.1 рассмотрена общая постановка краевой задачи об уста-

повившихся колебаниях предварительно напряженного тела, на основе (1)-(5) приц£депа система уравнений движения и граничных условий. В параграфе 2.2 приведена аналогичная постановка в рамках плоского напряженного состояния.

В параграфе 2.3 на основе классических гипотез Кирхгофа для топкой пластины, занимающей область S, ограниченную кусочно-гладкой кривой dS = luDla, осуществлен вывод постановки краевой задачи об установившихся изгиб-пых колебаниях с помощью вариационного принципа Лагранжа, при наличии неоднородного двумерного поля ПН, распределенного в плоскости пластины:

DA2w + H(a^lfiw,am ),ар+Hpu2Aw - phw2w = О, ' 4„= 0,^|,u=0,G4 = 0, (7)

где h - толщина пластины, H = D = H(X* + 2p) = — const — цилиндрическая жесткость пластины, Gt = —Qapnarifj — изгибающий момент, Ht = Яърпрщ - Q\pnpn2 — крутящий момент, Nt = -D^^ - H(cr°npw,am),0na + ha^0naw— поперечная сила, н " соответственно нормальная производная и производная по касательному направлению к контуру (Э51. В параграфе 2.4 па основе гипотез Тимошенко

щ = Охз + С, U2 = о, и3 = w, (8)

(9 = в(х{) - угол поворота главной оси стержня, обусловленный изгибом, ( = C(a;i) - продольное смещение, w = w(xi) - прогиб, т.о. колебания включают в себя продольный и изгибный режимы) осуществлен вывод соответствующей

краевой задачи

(9)

[{Е2 + Y?u)ff + (Ег + Е^С + Е}30]' - Ми/ - Е[./ - Е?3С'-

[{Ег + Е1^ + (Ео + SS0C + ЗД' + w2(PoC + = 0.

[(М + Е °n)w' + Мв]' + w2P0w = 0, Ц0) = 0, 0(0) = О, С(0) = О, [(Е2 + Т?п)е> + (Ег + ЕМС + ЕЬ0] (0 = О,

[(Е, + Ц^в' + (Еп + £?,)<' + Е?30] (I) = О,

[(М + E?i)w' + М0] (I) = -Р

для предварительно напряженного стержня в рамках модели Тимошенко. Здесь введены следующие обозначения (F - плошадь поперечного сечения стержня, Е - модуль Юнга, р - плотность):

М =

1-idF, Ер = | Ex!¡dF, Efj = J a^x^dF,

F F

ja^dF, = Pp = J px^dF,

Е13 —

J J

^ г г

представляющие собой осредпепные характеристики соответствующих функций, зависящие от осевой координаты Х\. Таким образом, в постановку (9) входят б функций, выраженных через компоненты ПН. При этом рассмотрен самый общий случай неоднородности всех параметров задачи, включая объемное распределение ПНС.

В параграфе 2.5 на основе гипотез Тимошенко

Ul=0lX3 + (u и2 = в2х 3 + С2, ия=ю,

(10)

(ва = ва(хр) - углы поворота нормали вдоль осейгга, Со = С«(хд) ~ перемещения в плоскости пластины, ю = и)(хр) - прогиб пластины, а,/3 = 1,2) приведен

вывод краевой задачи

QaflJ - Sa + W2(Р20а + PiC«) = О,

Та, а + Р 0W2W = О, = О, 0„L = о, Са|/„ = О, Qnpnp\ia = 0, Rapnp\¡tr = 0, Tana\io = -Р

для предварительно напряженной топкой пластины в рамках модели Тимошенко в общем случае неоднородности всех параметров задачи. При этом обозначено

Qafi = RaP = Ф^/3,

= Sofito

) + M7_i(Ca,/3 + C/3,a) +

Л/2

A„

/i/2

-/i/2

Xx^dx 3, Mp =

-h/2

h/2

J fiaf3dx3,

h/2

Pp =

px^dxs,

-h/2

-h/2

llp^dx 3, Sa = M0(w,tt +0«) + E^flo,™ + £"l3C«,m + EgA,

Т„ = Мо(ш,а+0а) + С»,™, а,/3,7,ш = 1,2, р = 0,1,2.

Заметим, что если рассмотреть частный случай - изгибные колебания пластины, то при выполнении гипотез 0,у = —ю,г, выведенная постановка задача для модели Тимошенко преобразуется в постановку задачи для модели Кирхгофа

(7).

Третья глава посвящена решению краевых задач об установившихся колебаниях предварительно напряженных тел, рассмотренных во второй главе диссертации. В параграфе 3.1 рассмотрена задача о пленарных колебаниях предварительно напряженной пластины; описывается ее численное решение, полученное с помощью МКЭ в конечноэлементном пакете РгееРет-)—(-; проведена

оценка точности полученного решения па основе сравнения с аналитическим решением задачи с однородными характеристиками и рамках балочной теории. Сравнительный анализ решений двух задач показал, что для частот, находящихся ниже второго резонанса, относительная погрешность в узлах численного решения по сравнению с аналитическим составляет менее 0.15% при сетке разбиения 100x20, что свидетельствует о достаточно хорошей схеме дискретизации и позволяет в дальнейшем использовать пакет РгееРет-Н- для решения иных задач. Также исследовано влияния уровней ПН на АЧХ точек области. В параграфе 3.2 аналогичным образом приводится решение задачи об установившихся изгибпых колебаниях тонкой пластины в рамках модели Кирхгофа, оценка точности полученного численного решения и анализ влияния ПН на АЧХ. В параграфах 3.3 и 3.4 осуществлено сравнение моделей Бернулли и Тимошенко па примере изгибпых колебаний стержня и моделей Кирхгофа и Тимошенко на примере изгибпых колебаний тонкой пластины (сплошной и с круговым отверстием); все результаты сопровождаются графиками полей смещений и углов поворотов, полученных с помощью МКЭ. Поля решений краевых задач для двух моделей близки друг к другу, как для случая стержня, так и для случая пластины; расчеты показали, что наибольшее расхождение имеет место в узкой окрестности резонансных частот, а также при увеличении уровня ПН в пластине.

В четвертой главе исследованы обратные задачи об идентификации одноосного и плоского неоднородного ПНС в рассмотренных упругих телах. В параграфе 4.1 описана общая постановка обратной задачи об определении компонент тензора ПН в теле па основе метода акустического зондирования: к свободной поверхности тела Ба прикладывается периодически изменяющаяся во времени зондирующая нагрузка и осуществляется измерение поля смещений /|5„ = 13 заданном наборе точек под зондирующей нагрузкой, в конечном наборе частот щ е (к = 1,т). На основе это дополнительной инфор-

мации требуется идентифицировать неоднородное поле ПНС, распределенное

внутри тела. В рамках такой постановки обратная задачи нелинейна и некорректна, поэтому для ее решения требуется применять регуляризационпые алгоритмы; в настоящей диссертационной работе применялся метод регуляризации А.Н. Тихонова. В параграфе 4.2 приводится способ вывода обобщенного соотношения взаимности для предварительно напряженного тела, основанный па слабой постановке исходной краевой задачи.

В параграфах 4.3-4.5 рассмотрены задачи об идентификации одноосного ПНС в пластинах при нланарнмх и изгибных колебаниях в рамках модели Кирхгофа и в стержне в рамках модели Тимошенко при изгибных колебаниях. На основе линеаризации соответствующих соотношений взаимности, получены следующие интегральные уравнения Фредгольма (ИУФ) 1-го рода для определения поправок в итерационных процессах: для пластины при планарных колебаниях

,2 / , ,д2'

0(71)

'и

Кг1')'+ НГ'У

¿Б =

р, («{Г4 - /с.) (Н)

для пластины при изгибных колебаниях в рамках модели Кирхгофа

■а»

12

и для стержня в рамках модели Тимошенко I

¿Б =

(12)

0(п)

(./[0<в-1>]'1 + Я«/""1)]'2) Лхх = Р (ги(п-1](1) - /(/)) е (13)

Рассмотренные обратные задачи сведет,! к итерационным процессам, на каждом шаге которых решается прямая краевая задача для текущего приближения для ПН сг^ и вычисляется соответствующее поле смещений и деформаций, после чего из уравнений (11-13) находятся новые поправки к неизвестной функции ПН и в конце итерации текущее приближение уточняется с учетом вычисленной поправки: ст^ = сг^д + Поиск начального приближения к неизвест-

по» функции ПН осуществлялся в классе линейных функций па основе минимизации функционала невязки. Приведены результаты вычислительных экспериментов по реконструкции ПНС, сформулированы практические рекомендации к выбору частотного диапазона, на котором происходит измерение АЧХ (дли моделирования дополнительной информации о данных зондирования) и тина зондирующей нагрузки. Эксперименты проводились для прямоугольных пластин, жестко защемленных на части границы. Были рассмотрены различные классы восстанавливаемых функций - линейные, полиномиальные, экспоненциальные, тригонометрические и более сложные аналитические зависимости. При этом частоты колебаний ш прикладываемой нагрузки выбирались из первых двух частотных диапазонов АЧХ (до первой резонансной частоты и между первой и второй резонансными частотами). Во всех экспериментах уровни ПНа'^ (.г2)

(7° —г — 1

выбирались так, чтобы отношение тах изменялось и диапазоне 10 '' 4-10 .

Для большинства рассмотренных примеров рассмотрение второго частотного диапазона дало гораздо более качественные результаты восстановления, по сравнению с первым. На рис. 1 приведены некоторые примеры, иллюстрирующие эту особенность; рассматривалась пластина, занимающая область {'Х\ е [0,1];х2 € [0,6]} и защемленная на части границы Х\ = 0, со следующими характеристиками: I = 1м, Ь = 0.5 м, к = 0.1м, Е = 1.96 • 1011 Па, V = 0.28, р = 7.8 • 10!кг/м3. Сплошной линией па графиках показан точный закон распределения о-"! (хг), пунктиром - результат восстановления па первом частном диапазоне, кружочками - па втором.

В параграфах 4.6 и 4.7 рассмотрены обратные задачи об идентификации плоского ПНС в пластине при нланарпых колебаниях и изгибных колебаниях в рамках модели Тимошенко. Линейное интегральное уравнение для поправок ПНС в этих случаях имеет вид

■ ^(п)^-!) + атК(«-Ъ +а^к[п2~= Г(п"1), (14)

в

где в случае нланарпых колебаний ядра и правая часть интегрального уравне-

.....í.tk-h

Рис. 1. Реконструкция одноосного ПНС в пластине и режиме пленарных колебаний. Слева: а°1{х2)/Е = -2.5 • 1 (Г5е7*2 кш8ж2, справа: (т°11(х2)/Е = -2 ■ ИГ4(sin 4жх2 - 1.2). Шкала ПН приведена в 0.1 МПа.

ния имеют вид

K¡r] = («ÍT4)9 + (4?г1))2> i<tl) = («iT4)2 + («Sr4)2-^ír1' = 2 + «Sr4«^"4). = J - ш,

а в случае изгибных колебаний в рамках модели Тимошенко

К

(п-1)

к,

(п-1)

= н

= и

п(п-1) 1,1

■¡(п-1) 1.2

+ К 1

(п-1)

+ е

,(п-1)

'2,2

(п-1)

+ h (wj,""4

= 2 [я (eíx'^íx15 + ^Чг1') + Aw,

(п-1) (п-1)

РО

/)<й.

Предложено два подхода к реконструкции. Первый из них основан на выражении неизвестных поправок к ПН через функцию напряжений Эри:

о(п) _ ф (») _ ф (») _ _ф

"11 — '22 i 22 — 1 111 > 12 ~ 4 >12

(п)

0(п)

(«)

применении метода Галеркипа, состоящего в представленииФ^ в виде разложения по бигармопическим полипомам различных степеней и последующем применении метода коллокаций для сведении обратной задачи к плохо обусловленной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов разложения па текущей итерации; при этом следует провести измерения АЧХ в нескольких частотах (г = 1,т). Решение этой системы позволяет найти все три поправки к компонентам ПН на текущей итерации. Этот подход оказался удобен в качестве метода поиска начального приближения к неизвестным компонентам ПН, т.к. позволял с хорошей точностью восстанавливать ПНС в классе линейных функций, когда специальный поиск начального приближения не осуществлялся (оно всегда выбиралось нулевым).

Второй подход основан на предварительном разбиении области пластины па сетку суперэлемептов па каждом из которых задана функция Эри

Ф*:|б\ в виде бигармопических многочленов второго порядка. При этом подходе аналогичным образом уравнение (14) сводится к плохо обусловленной СЛАУ относительно ЗА неизвестных коэффициентов разложения.

На рис. 2 приведены результаты эксперимента по идентификации ПН в рамках второго подхода для прямоугольной стальной пластины с параметрами, описанными пас. 14. В качестве точных ПН выбраны аналитические функции, зависящие от двух переменных и удовлетворяющие уравнениям равновесия. Область пластины 5 была разбита на 30 суперэлемептов сеткой [6 х 5]. Для наиболее точной идентификации было проведено измерение АЧХ в 11 частотах колебаний из второго частотного диапазона (рассмотрение частот ниже первого резонанса снижало точность реконструкции). Таким образом построена. СЛАУ размерности 90 х 11. Результат реконструкции был сглажен с помощью кубической сплайн-аппроксимации. Относительная погрешность полученной реконструкции не превышает 13% (наибольшее отклонение наблюдается па границе пластины).

ню-

Рис. 2. Реконструкция трех компонент ПН в пластине в рамках модели Тимошенко. Сплошная поверхность - точный закон распределения ПН; сетка - результат реконструкции. Шкалы ПН приведены в 0.1 МПа. Количество итераций: 12.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Получены уточненные постановки краевых задач об установившихся колебаниях предварительно напряженных упругих стержней в рамках моделей Эйлера-Бернулли и Тимошенко и упругих пластин в рамках моделей Кирхгофа и Тимошенко.

2. Построено численное решение исследуемых краевых задач с помощью МКЭ; проанализировано влияние различных типов предварительного напряженного состояния (ПНС) на динамические характеристики рассмотренных тел. Проведено сравнение результатов, полученных па основе различных моделей.

3. Разработаны новые методы итеративной регуляризации для идентификации неоднородного ПНС в стержнях и пластинах на основе метода акустического зондирования.

4. Проведены вычислительные эксперименты по реконструкции ПНС. даны практические рекомендации по выбору частотного диапазона и режима зондирования для получения наилучшей точности реконструкции.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вагульяп А. О., Недин Р. Д. К идентификации неоднородных предварительных напряжении // Вестник СПбГУ. - 2011. - Т. 1. - С. 38-44.

2. Nedin R. D., Vatulyan А. О. Он the reconstruction of inhomogeneous initial stresses in plates // Advanced Structured Materials. Shell-like Structures. Non-classical Theories and Applications / Ed. by H. Altenbach, V. Ere-meyev. — Springer, 2011. — P. 165-182.

3. Дударен В. В., Недин Р. Д. О реконструкции остаточных напряжений и твердых телах // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. - 2011. - Т. 4, № 4. - С. 1473-1475.

4. Nedin R., Vatulyan A. Inverse problem of non-homogeneous residual stress identificationin thin plates // International Journal of Solids and Structures. - 2013. - no. 50. - P. 2107-2114.

5. Недин P. Д. Моделирование колебаний плоских упругих областей с переменными характеристиками // Экология. Экономика. Информатика. Материалы XXXVII конференции "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования". Изд-во СКНЦ ВШ, Ростов-па-Дону. —

2009. - С. 40-43.

6. Недин Р. Д. Анализ внутренних напряжений в областях с переменными характеристиками в режиме стационарных колебаний // Сборник тезисов "Неделя Науки", Ростов-на-Дону. - 2010. - С. 90-93.

7. Дударев В. В., Недин Р. Д. Идентификация неоднородного предварительного напряженного состояния в плоских упругих областях при установившихся колебаниях //VI научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН: тезисы докладов. Изд-во ЮНЦ РАН, Ростов-па-Дону. —

2010. - С. 216-217.

8. Недин Р. Д. Колебания двумерных областей с неоднородными остаточными напряжениями // Труды 8-ой Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь XXI века -будущее Российской Науки". Т.1. Ростов-на-Дону. — 2010.— С. 105-107.

9. Ватульян А. О., Дударев В. В., Недин Р. Д., Саакин Я. Г. О некоторых задачах идентификации предварительных напряжений // Труды XIV международной конференции "Современные проблемы МСС". Изд-во ЮФУ, Ростов-па-Допу. Т.1. - 2010. - С. 86-89.

10. Недин Р. Д. Восстановление закона изменения одноосных предварительных напряжений в плоских областях // Экология. Экономика. Информатика. Материалы XXXVIII конференции "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования". Изд-во СКНЦ ВШ, Ростов-па-Дону. - 2010. - С. 59-62.

11. Недин Р. Д. О восстановлении неоднородного предварительного напряженного состояния в тонких пластинах // Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара "математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-па-Дону. Изд-во ЮФУ. — 2011,— С. 71-72.

12. Nedin R., Vatulyan A. On the reconstruction of inhomogeneous initial stresses in plates // EUROMECH Colloquim 527 Shell-like Structures - Nonclassical Theories and Applications. Book of abstracts. — 2011. — P. 77. — URL: http : //tm.iw.uni-halle.de/euromech-201l/euromech-527_proceedings/.

13. Ватульян А. О., Недин P. Д., Дударев B.B. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Тезисы докладов II Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций». Новосибирск Изд. НГТУ. — 2011,- С. 21.

14. Дудареи В. В., Недии Р. Д. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. - 2012. - № 127. - С. 38-40.

15. Недин Р. Д. Прямые и обратные задачи для предварительно напряженных упругих пластин // Труды XV международной конференции "Современные проблемы МСС". Изд-во ЮФУ, Ростов-па-Дону. - 2011. - С. 174-178.

16. Недин Р. Д. Обратная задача реконструкции двухмерных неоднородных остаточных напряжений в пластинах // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семииара "математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-и а-До ну. Изд-во ЮФУ. — 2012.— С. 92.

17. Недин Р. Д., Углич П. С. Об обратной коэффициентной задаче для поро-упругой слоистой среды // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-па-Допу. Изд-во ЮФУ. — 2012. — С. 93.

18. A. A. Lyapin, R. D. Nedin, P. S. Uglich, A. O. Vatulyan. On the reconstruction of the properties of the non-homogeneous poroelastic media // Russian-Taiwanese Symposium "Physics & Mechanics of New Materials & Their Applications" , Rostov-on-Don, Russia. — 2012. — P. 38.

19. Nedin R. D., Vatulyan A. O. Analysis of 2-dimensional non-homogeneous residual stress state in plates // Abstracts of the 8th European Solid Mechanics Conference, Minisymposia #36 "Refined Theories of Plates and Shells", Graz University of Technology, Austria. CD-ROM. — 2012. — P. 36.

20. Nedin R. D., Vatulyan A. O. Determination of plane heterogeneous prestress field in plate // Book of Abstracts of the 38th Solid Mechanics Conference, IPPT of the Polish Academy of Sciences. — 2012. — P. 258-259.

21. Недип Р. Д. К обратной задаче реконструкции плоских неоднородных предварительных напряжений в пластине // Труды XVI международной конференции "Современные проблемы МСС". Изд-во ЮФУ, Ростов-иа-Допу. Т.1.-2012.-С. 168-172.

22. Ватульяп А. О., Недип Р. Д. О моделях неоднородного предварительного напряженного состояния и методах идентификации его свойств // Тезисы докладов XVIII Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь. — 2013. — С. 71.

23. Nedin R. D., Vatulyan А. О. On modeling heterogeneous residual stress // Advanced Problems in mechanics. Book of Abstracts of International Summer School-Conference. Saint Petersburg. — 2013. — P. 85.

24. Nedin R. D., Vatulyan A. O. On modeling heterogeneous residual stress // Advanced Problems in mechanics. Proceedings of the XLI Summer School-Conference. Saint Petersburg. — 2013. — P. 403-411.

25. Nedin R. D., Vatulyan A. O. Concerning approaches to modeling and restoration of inhomogeneous initial stress fields in plates // Shell and Membrane Theories in Mechanics and Biology: From Macro- to Nanoscale Structures. Proceedings of the International Scientific Conference. Minsk, Belarus. — 2013.- P. 53-54.

26. Недип P. Д. Об одном подходе к реконструкции плоских внутренних напряжений в пластине // Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Допу. Изд-во ЮФУ, - 2013.- С. 88.

27. Дудареп В. В., Недип Р. Д. Задача о радиальных колебаниях кольцевой области при наличии предварительного напряженного состояния // Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-семинара "Математическое моделиро-

вапие и биомеханика в современном университете". Ростов-па-Дону. Изд-во ЮФУ. - 2013. - С. 52.

28. Ватульян А. О., Недип Р. Д. Модели предварительного напряженного состояния и принципы его идентификации // Тезисы докладов международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования". Россия, Владикавказ. — 2013.— С. 19-20.

29. Недип Р. Д., Нестеров С. А. О некоторых обратных задачах при определении предварительного напряженного состояния // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Т.2. Изд-во ЮФУ, Ростов-па-Дону. - 2013. - С. 116-120.

30. Ватульян А. О., Дударев В. В., Недин Р. Д. Моделирование предварительного напряженного состояния и его реконструкция по данным акустического зондирования // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Т.1. Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. - 2013. - С. 130-134.

31. Dudarev V. V., Nedin R. D., Vatulyan A. O. Specifics of residual stress modeling in elastic bodies // Abstracts of Lecturers and Young Scientists of the second China-Russia Conference "Numerical Algebra with Applications" (CRC-NAA'13). SFU. - 2013. - P. 71-73.

Сдано в набор 03.04.2014. Подписано в печать 03.04.2014. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0. Бумага офсетная. Тираж 130 экз. Заказ 0304/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

На правах рукописи

04201457576

Недин Ростислав Дмитриевич

Идентификация неоднородных полей предварительных напряжений в плоских задачах

теории упругости

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор

Ватульян Александр Ованесович

Ростов-на-Дону - 2014

Содержание

Введение ........................................................................4

1. Классификация предварительных напряжений......................4

2. Природа предварительных напряжений (ПН) ......................5

3. Краткая история развития линеаризованных теорий..............8

4. Методы диагностики и идентификации ПН..........................12

Глава 1. Моделирование предварительного напряженного состояния ............................................................................21

1.1. Предварительные замечания..........................................21

1.2. Модели предварительного напряженного состояния (ПНС), не учитывающие начальную деформацию..............................24

1.3. Модель ПНС, учитывающая начальную деформацию..............28

1.4. Связь моделей ПНС....................................................31

1.5. Об определяющем соотношении для полулинейного материала . 35

1.6. Слабая постановка и ее следствие....................................38

1.7. Сравнительный анализ моделей ПНС................................43

Глава 2. Вывод уточненных постановок краевых задач..........53

2.1. Общая постановка краевой задачи об установившихся колебаниях предварительно напряженного упругого тела....................53

2.2. Планарные колебания предварительно напряженной пластины . 54

2.3. Изгибные колебания предварительно напряженной пластины в рамках модели Кирхгофа..............................................55

2.4. Колебания предварительно напряженного стержня в рамках модели Тимошенко........................................................64

2.5. Колебания предварительно напряженной пластины в рамках модели Тимошенко........................................................69

Глава 3. Решение краевых задач об установившихся колебаниях

предварительно напряженных тел.................. 74

3.1. Задача об установившихся планарных колебаниях предварительно напряженной пластины...................... 74

3.2. Задача об установившихся изгибных колебаниях предварительно напряженной пластины в рамках модели Кирхгофа........ 80

3.3. Сравнение моделей Эйлера-Бернулли и Тимошенко на примере установившихся изгибных колебаний стержня........... 86

3.4. Сравнение моделей Кирхгофа и Тимошенко на примере установившихся изгибных колебаний пластины.............. 87

Глава 4. Исследование обратных задач................ 93

4.1. Общая постановка обратной задачи об идентификации ПНС в теле 93

4.2. Обобщенное соотношение взаимности для тела с ПН....... 93

4.3. Идентификация одноосного ПНС в ленточной пластине при планарных колебаниях.......................... 96

4.4. Идентификация одноосного ПНС в ленточной пластине при изгибных колебаниях в рамках модели Кирхгофа..........107

4.5. Идентификация одноосного ПНС в стержне при изгибных колебаниях в рамках модели Тимошенко ................116

4.6. Идентификация плоского ПНС в пластине при планарных колебаниях .................................117

4.7. Идентификация плоского ПНС в пластине при изгибных колебаниях в рамках модели Тимошенко..................127

Заключение...................................130

Литература

131

Введение

Предварительными (или остаточными) напряжениями называются напряжения, которые существуют в теле при отсутствии внешних нагрузок. В литературе также встречаются и другие названия - начальные напряжения, остаточные напряжения, технологические напряжения. Анализ неоднородных полей предварительных напряжений (ПН) в телах представляет собой важнейшую задачу механики деформируемого твердого тела и имеет приложения в строительстве, авиа- и машиностроении, биомеханике, в изготовлении функционально градиентных материалов. Интерес к исследованию этой проблемы проявлялся учеными разных стран с начала XX века, но, несмотря на это, до сих пор не решен ряд фундаментальных вопросов: построение адекватных, экспериментально подтвержденных, теоретических моделей неоднородных ПН для конкретных материалов; создание математического аппарата, позволяющего достоверно идентифицировать внутреннее неоднородное распределение ПН в телах в рамках различных концепций неразрушающего контроля.

1. Классификация предварительных напряжений

ПН существуют в теле при отсутствии внешних тепловых или механических воздействий. С точки зрения масштабов измерения ПН в терминах характеристической длины £ их условно делят на 3 следующих типа [1, 2]. К первому типу относятся макронапряжения: £ равна масштабу самой структуры. При этом используется классические модели механики сплошных сред, игнорируются поликристаллическая или многофазная природа материала; часто рассчитываются с помощью конечноэлементных технологий. Ко второму типу относят ПН, которые уравновешиваются в пределах нескольких зерен (£ = Зд-г-100, где д - характерный размер зерна). Примером служат внутрифазовые тепловые ПН в металлическом матричном композите. Наконец, к третьему типу относят ПН,

которые уравновешиваются в пределах размеров атомов, внутри одного зерна (£ < д), например, появляющиеся за счет дислокаций и точечных дефектов.

2. Природа предварительных напряжений (ПН)

2.1. Технологические ПН

Наличие ПН в твердых телах характерно для всех реальных объектов. На сегодняшний день известно, что подобное напряженное состояние возникает в процессе технологической обработки (литья, прокатки, сварки, крутки, закалки, термообработки и других), вследствие неоднородной пластической деформации, при жестком соединении разных материалов в контактной зоне [3-5], либо является результатом действия нагрузок при упругом или вязкоупругом деформировании и может достигать больших значений. Особый практический интерес к подобным напряжениям начал проявляться в начале прошлого века после серии непредвиденных разрушений конструкций (мостов и фюзеляжей самолетов), причиной которых стало неучтенное предварительное напряженное состояние (ПНС). Компоненты поля ПН в конструкциях могут достигать больших значений, особенно в окрестности концентраторов (трещин, полостей, сварных швов, включений и т.п.), которые, как правило, недоступны для наблюдения и могут вызывать разрушение конструкции при нагрузках, значительно меньших допускаемых. Одна из главных задач технологов - снизить уровень ПН; однако выявить реальный уровень ПН в конструкции удается далеко не всегда. Учет ПН позволит корректно моделировать сложные системы и адекватно описывать их реальное поведение в режиме эксплуатации при наличии сложного термосилового нагружения, меняющегося во времени.

С другой стороны, нередко наличие особых типов ПНС в конструкции может, наоборот, повысить ее надежность и прочность при эксплуатации. Это, в свою очередь, служит причиной того, что иногда на этапе технологического изготовления тело намеренно подвергают действию ПН.

2.2. ПН в биомеханике

Одним из важнейших приложений задач анализа неоднородного ПНС в телах является биомеханика. Задачи неинвазивного мониторинга заболеваний человека всегда представляли собой трудно реализуемую, но жизненно необходимую задачу. Практически все структуры в человеческом теле находятся под действием ПНС, начиная от живых клеток на микроуровне и заканчивая кожей, костной и мышечной тканью на макроуровне. Методы анализа ПНС в биологических объектах могут быть положены в основу идентификации различного рода уплотнений, полостей, трещин, новообразований и прочих дефектов в костях, кровеносных сосудах и других биологических структурах в теле человека по найденной информации о поле ПН в этих органических структурах.

Множество отечественных и зарубежных работ посвящено изучению ПНС в твердых биологических структурах живого организма, в частности, в костной ткани. Существенный вклад в изучение механических свойств костей с учетом полей ПНС привнес И. Ф. Образцов, а также зарубежные исследователи А. Ахмед (А. Ahmed), Б. Маккормак (В. McCormack), С. Ямада (S. Yamada) и многие другие. Исследования продемонстрировали, что ПН в трубчатых костях человека могут достигать 22 МПа [6]. Отметим еще две работы, в которых приводится изучение дефектов в костях в условиях роста: [7, 8].

Много работ посвящено изучению механических свойств различных типов кровеносных сосудов; их теоретические, экспериментальные и клинические принципы содержатся в работах Дж. Хамфри (J. Humphrey), С. Коуина (S. Со-win), Г. Хольцапфеля (G. Holzapfel), Р. Огдена (R. Ogden) и др. [9, 10]. В частности, большую практическую значимость и интерес представляют исследования механических свойств артерий; некоторые результаты подобных исследований приводятся в работах [11, 12]. При рассмотрении мягких тканей с присущими им большими деформациями в основном для их моделирования используются гиперупругие (высокоэластичные) материалы в рамках нелинейной упругости.

В работах [10, 13] приводятся некоторые результаты подобных исследований. Одно из наиболее значимых открытий в области биомеханики сосудов гласило о том, что свободное от внешних нагрузок артериальное кольцо не свободно от внутренних напряжений (впервые этот результат был опубликован в работе [14]). ПН в сосудах влияют на распределения напряжений и деформаций в деформированных артериальных стенках в физиологическом состоянии, а также на толщину деформированных стенок. При этом, часто при моделировании таких ПН применяют гипотезу об их однородности (см., например, [15]). Обзоры по механике артериальных стенок приведены в [16]. В работе [17] проведено исследование связи осмотического разбухания с наличием ПНС в сердечно-сосудистых тканях. Два этих фактора существенно влияют на функции сердечнососудистых тканей и органов. Показано, что отёк сердечно-сосудистых тканей связан с наличием в них заряженных макромолекул протеогликана (белки, которые сильно гликозилированы1); этот отёк является определяющим фактором образования ПН. Такие напряжения в стенках сердца могут послужить причиной различных заболеваний, в частности, гипертрофии миокарда [18].

Таким образом, учитывая функциональную значимость ПН с точки зрения механического воздействия, при моделировании необходимо включать их в анализ напряжений сердечно-сосудистой системы.

2.3. ПН в горной механике

Кроме того, несомненный интерес представляют модели ПНС для горной механики и геофизики. Следует отметить, что в процессе проведения горных работ одной из основных проблем является достоверность описания механических характеристик горного массива. Учет ПНС позволяет более адекватно моделировать подземные сооружения, трубопроводы, а также полости, образующиеся при проходке горных выработок и при извлечении образца из скважины, и со-

1 Гликозилирование — ферментативный процесс, в ходе которого происходит присоединение остатков Сахаров к органическим молекулам.

здавать методы их диагностики на основе методов вибросейсморазведки. При проведении подобных процедур происходит изменение напряженно-деформированного состояния породы (в основном, разгрузка), находящейся вблизи места выработки. В работах [19, 20] приведены результаты исследований, продемонстрировавших, что одной из причин образования ПНС в горных массивах является предыстория формирования напряженно-деформированного состояния и связанное с этим появление внутренних полей напряжений в период генезиса. Также подобные вопросы, связанные с ПНС в горных породах, исследованы в работах [21-27].

3. Краткая история развития линеаризованных теорий

Одним из основных направлений развития современных методик численного моделирования (особенно метода конечных элементов) является выбор наиболее адекватной теоретической модели ПН для постановки и решения конкретной практической задачи. Исследования задач с учетом ПН в различных механических и биологических структурах, ведущиеся в настоящий момент учеными разных стран, почти всегда опираются на различные теоретические модели ПН, принципиально отличающиеся друг от друга видом определяющих соотношений в постановках прямых задач. Развитие моделей механики деформируемого твердого тела, описывающих поведение тела при наличии ПН, началось с начала XX века. Несмотря на существование различных с точки зрения механики сплошных сред подходов к моделированию ПНС в телах, на сегодняшний день в мировой литературе практически отсутствуют полноценные обзорные статьи или монографии (одной из немногих является работа [28]), в которых были бы собраны все известные или наиболее распространенные модели ПН, проведен анализ их сравнения друг с другом и выявлены наиболее эффективные модели, в рамках каких-либо постановок прямых краевых задач для конкретных материалов. В то же время, понимание того, какие именно модели адекватно

описывают наличие ПН в телах, представляет собой насущную проблему.

В настоящее время при моделировании и идентификации ПНС в рамках неразрушающего контроля часто используются модели с постоянными ПН. Одним из эффективных способов получения дополнительной информации о наличии поля напряжений в твердом теле является метод акустического зондирования; этот метод с успехом применяется для идентификации однородного ПНС. Вместе с тем наиболее востребованными моделями, описывающими напряженное состояние в текущей конфигурации, являются модели, позволяющие определять неоднородное ПНС по данным о полях смещения или деформациях на границе тела с использованием современных вычислительных алгоритмов [29-31].

Развитие трехмерной линеаризованной теории деформируемых тел при наличии ПН началось с начала XX века, когда в 1913 г. Р. В. Саусвелл в своей работе [32] получил соотношения линеаризованной теории устойчивости для однородного случая докритического состояния тела при малых деформациях. Впоследствии эта теория была доработана и развита К. В. Бицено и X. Генки [33], М. А. Био [34], Е. Трефтцем [35] и X. Нейбером [36], А.Е. Грином, P.C. Ривли-ном и Р. Т. Шилдом [37]. Полученные ими модели были впоследствие дополнены и использованы В. В. Новожиловым [38], К. Трусделлом [39], А. И. Лурье [40], Л. М. Зубовым [41], К. Васидзу [42], А. Н. Гузем [43], А. Хогер [44], Ч.-С. Маном [45], Л. Робертсоном [46], 0.3. Кравчишиным и В.Ф. Чекуриным [47] и др.

На сегодняшний день в научной литературе представлено несколько таких моделей, использующихся при рассмотрении той или иной конкретной прикладной задачи. Как известно, при создании пленок и нанесении тонких покрытий в их структуре всегда присутствует ПНС, причем пагубное проявление такого напряженного состояния обычно проявляется в виде отслоения или образования трещин. Для учета и оценки изгибных ПН в тонких пленках удобно использовать модифицированную формулу Стони (Stoney formula) [5], при этом учитываются следующие параметры: модуль Юнга, толщина подложки (основания),

толщина пленки, кривизна подложки с покрытием, кривизна самой подложки без покрытия и коэффициент Пуассона. Для описания поведения объемных тел на основе структуры материала и гипотез о природе ПНС созданы современные модели, каждая из которых отличается количеством неизвестных параметров и компонент, характеризующих распределение ПНС. Например, модель, используемая Дорфи (H.R. Dorfi) в своих работах (см., например, [48]), применяется для описания ультразвуковых волн, распространяющихся в гиперупругом материале при наличии остаточных напряжений, при этом текущее напряженное состояние характеризуется компонентами тензора напряжений Пиолы, тензора шестого ранга (определяемыми гиперупругими свойствами материала) и линейного упругого тензора в недеформированном состоянии. В рамках этой модели решение обратной задачи об определении неизвестных компонент ПНС для ортотропных или изотропных материалов сводится к решению системы нелинейных уравнений; в частности, в работе [48] на основе способа обобщенных акустических соотношений (generalized acoustic ratio method) представлено решение для определения локального плоского тензора ПН. Отдельно стоит отметить модель Ч.-С. Мана [45], в которой основное соотношение, определяющее текущее напряженное состояние, является достаточно сложным и включает 7 констант, характеризующих поликристаллическое тело. Модель представлена как модификация модели, впервые предложенной JI.M. Зубовым [41] и А. Хо-гер [44].

В качестве модели ПНС, получающей все большее распространение в наши дни, используется модель, предложенная Е. Трефтцем и доработанная впоследствии В. В. Новожиловым, К. Васидзу, А.Н. Гузем и P. JI. Робертсоном [46, 49-52]. Модель приведена в рамках линеаризованной трехмерной нелинейной теории упругости и получена с помощью наложения малых деформаций на конечные. При это�