Численный и экспериментальный анализ напряженно-деформированного состояния в задачах несимметричной теории упругости

Корепанов, Валерий Валерьевич

Численный и экспериментальный анализ напряженно-деформированного состояния в задачах несимметричной теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Корепанов, Валерий Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Пермь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Численный и экспериментальный анализ напряженно-деформированного состояния в задачах несимметричной теории упругости»

Автореферат диссертации на тему "Численный и экспериментальный анализ напряженно-деформированного состояния в задачах несимметричной теории упругости"

На правах рукописи

Корепанов Валерий Валерьевич

ЧИСЛЕННЫЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ЗАДАЧАХ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 — механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени

Пермь — 2004

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, г.Пермь.

Научный руководитель: доктор технических наук,

академик РАН Матвеенко В.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ерофеев В.И.

доктор физико-математических наук, профессор Труфанов H.A.

Ведущая организация: Пермский государственный университет

Защита состоится 24 декабря 2004 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, г.Пермь, ул. Академика Королёва 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан 2*5 ноября 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного еойёта

доктор технических наук KL Березин И. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. На сегодняшний день существуют модели механики деформируемого твёрдого тела, в которых деформация среды описывается не только вектором перемещений, но также вектором поворота В этих моделях, в отличие от классической (симметричной) теории, напряжённое состояние описывается несимметричным тензором напряжений.

Первое упоминание об изучении вращения в трёхмерном пространстве было сделано У.Гамильтоном в 1848г. в его фундаментальной работе, посвящённой теории кватерниона.

О важности учёта моментных напряжений говорилось в работе В.Фойхта (1887г.).

Э. и Ф Коссера обобщили и развили работы Г Кирхгофа, А.Клебша, П Дюгема, В.Фойхта, и в 1909г. появилась теория, согласно которой каждая материальная точка континуума наделяется свойствами твёрдого тела путем учёта ротационных степеней свободы Согласно концепции братьев Коссера, при изучении напряжённого состояния твёрдого деформируемого континуума необходимо наряду с обычными напряжениями (сила на единицу площади) вводить в рассмотрение моментные напряжения (момент силы на единицу площади).

Сегодня можно выделить несколько направлений развития этой теории, отличающихся способом описания поворота частиц: теория псевдосреды Коссера со "стеснённым вращением" (Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинский, Р.Д.Миндлин и Г.Ф Тирстен, Ю.Н.Немиш, В Т.Койтер, Н.Ф Морозов, Г.Н.Савин, А И.Каландия и др), теория среды Коссера (В.Новацкий, В.А Пальмов, Н ЗсЬаеГег, Э.Л.Аэро и Е.В Кувшинский, В И.Ерофеев и др), микроструктурная теория (Р.Д Миндлин), континуум Леру (Леру, В.И.Ерофеев).

В теории среды Коссера для описания перемещения частиц наряду с обычным полем перемещений й вводится кинематически независимое поле векторов и. характеризующих малые повороты частиц; в этой теории для изотропного случая присутствуют две ;тные Упру-

гое поведение изотропной среды Коссе ;тью физи

че-

скими константами.

В рамках несимметричной теории упругости рассмотрены различные модели учёта вращательных степеней свободы в материале, получен ряд аналитических и численных результатов, более правдоподобных физически по сравнению с классической теорией упругости. Однако все эти решения в большинстве случаев не могут претендовать на количественное сравнение с классической теорией из-за отсутствия значений материальных констант или параметров, определяющих вклад моментных составляющих

Поэтому на сегодняшний день остаются открытыми вопросы об идентификации материальных констант или параметров, определяющих вклад моментных составляющих ("моментное" поведение среды), и вопрос об экспериментальном обнаружении "моментного" эффекта при деформировании упругих тел.

В связи с этим актуальным является решение новых задач, демонстрирующих различие моментных и классических решений и позволяющих предложить возможные эксперименты по идентификации неизвестных параметров в модели среды Коссера, постановка и отработка методик экспериментов, с помощью которых можно будет зафиксировать факт "моментного" поведения упругих материалов. Целью работы является

1 Разработка конечно-элементного алгоритма и построение численных решений для двумерных краевых задач несимметричной теории упругости.

2 На основе аппарата метода анализа чувствительности оценка "информативности" решений двумерных краевых задач несимметричной теории упругости с точки зрения экспериментального определения материальных констант.

3. Постановка и отработка экспериментов, позволяющих зафиксировать факт "моментного" поведения упругих материалов.

Научная новизна работы состоит в том, что:

1 Разработан конечно-элементный алгоритм для решения двумерных

краевых задач несимметричной теории упругости и на его основе рассмотрен ряд примеров, демонстрирующих более "яркое" по сравнению с известными аналитическими решениями различие результатов, полученных в рамках моментной и классической теорий

2. Разработана методика по вычислению коэффициентов анализа чувствительности, позволяющая оценивать "информативность" решения соответствующих задач несимметричной теории упругости для экспериментального определения материальных констант.

3. Оценена "информативность" полученных численных решений с точки зрения проведения эксперимента для определения неизвестных констант в модели среды Коссера.

4. Предложены и отработаны схемы экспериментов по регистрации фактов "моментного" поведения упругих материалов, и получены предварительные экспериментальные результаты

Достоверность полученных результатов подтверждается-

1 Сравнением отдельных численных результатов с известными аналитическими решениями

2. Анализом реализованных экспериментов методами численного эксперимента.

Практическая значимость полученных результатов определяется

1 Разработанным конечно-элементным алгоритмом для решения задач несимметричной теории упругости.

2. Расширением вычислительной базы для постановки экспериментов связанных с идентификацией материальных констант несимметричной теории упругости.

3 Созданием новых экспериментов, направленных на установление фактов "моментного" поведения упругих материалов

Апробация работы Основные положения и результаты работы докладывались на: Всероссийской конференции молодых учёных "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2000г), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001г.), XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg, 2002г), Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2002г.), конференции молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2002г), Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2003г.) III Всероссийской конференции по теории упругости (Ростов-на-Дону, 2003г), European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (Jyvaskyla, Finland, 2004г.), XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Warsaw, Poland, 2004r.).

Публикации Результаты работы освещены в 16 публикациях

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержит 42 рисунка и 8 таблиц Объём диссертации составляет 113 страниц.

Во введении приводится обзор литературы, посвящённый несимметричной теории упругости, обосновываются актуальность темы диссертационной работы, используемые методы исследования, научная новизна и практическая значимость

В первой главе приводятся основные положения теории среды Коссе-ра - уравнения равновесия относительно тензоров напряжения и момент-ного напряжения, геометрические и определяющие соотношения.

- уравнения равновесия:

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

V • <т + X = 0, дт : Ё + V ■ ß + Y — 0.

(1) (2)

- геометрические соотношения-

7 = Vи- Ё-ш, (3)

X = V«* (4)

- физические уравнения-

а = {ц 4- 4- {¡л - а)7Т )- (у)ё, (5)

А = (7 + + (7 - е)хТ + РЬ(х)ё. (6)

В (1)-(6) Ё - тензор Леви-Чивиты третьего ранга; У(-) - набла-оператор; 1\(-) - первый инвариант тензора, X - вектор массовых сил; У -вектор массовых моментов: й - вектор перемещения; й - вектор поворота, 7 и х ~ несимметричные тензоры деформаций и изгиба-кручения; а и Д - несимметричные тензоры напряжений и моментных напряжений; ц. А -постоянные Лямё; а, /?, 7, £ - физические постоянные материала в рамках среды Коссера

Вариационное уравнение для моментной среды

+ 5й+т • ёй) ¿V. (7)

V V 5

Во второй главе рассматривается численная реализация двумерных плоских задач несимметричной теории упругости на основе метода конечных элементов, преследующая две цели: с одной стороны, развить алгоритмические основы, связанные с использованием этого метода в задачах несимметричной теории упругости с другой - получить решение конкретных задач, позволяющих наметить экспериментальные схемы для идентификации упругих постоянных и поиска эффектов "момептного" поведения различных материалов. С целью выбора оптимальной схемы метода конечных элементов рассматривалось три варианта треугольных конечных элементов.

На основе вариационного уравнения Лагранжа для несимметричной упругости (7) получена разрешающая система уравнений метода конечных элементов-

[К№ = {Р} + {2), (8)

где [К] - глобальная матрица жёсткости, - глобальный вектор-столбец узловых сил, {Z} - глобальный вектор-столбец массовых сил, {¿} - глобальный вектор-столбец узловых неизвестных

Проведена апробация конечно-элементного алгоритма несимметричной теории упругости на ряде двумерных задач, имеющих аналитические решения.

1 Задача о растяжении бесконечной полосы (пластины), ослабленной центральным круговым отверстием (задача Кирша, рис. 1.а) При численной реализации рассматривалась квадратная пластина Граница кругового отверстия свободна от внешних нагрузок, а на двух гранях действует растягивающее усилие Р в направлении оси У (рис 1.Ь)

Рис 1 Задача Кирша (а), задача о растяжении квадратной пластины с отверстием (Ь); задача о кручении кольца (с).

Расчёты проводились при следующих размерах пластины. Ь = 0.8 м, И — 0.01 м. Численные эксперименты показали, что при таком соотношении размеров пластины Ь и радиуса отверстия /? напряжённо деформированное состояние на контуре отверстия может быть сопоставлено с решением задачи Кирша для бесконечной пластины

Выполнены исследования, связанные с оценкой сходимости численных решений для компонент вектора перемещений и тензора напряжений при увеличении степени дискретизации расчётной области

2 Задача о кручении жёстко закреплённого по внешнему контуру кольца за счёт поворота внутреннего контура на фиксированный угол Кручение кольца осуществляется за счёт поворота внутреннего контура р — Яо

на угол <р0 (рис 1.с).

В тестовых задачах принимались следующие модельные значения материальных физических констант и внешней нагрузки: Л = 1.5 Н/м2, р = 1 Н/м2, а = 0.2 Н/м2, 7 = 0.01 Н, е - 0.01 Н, Р = 1 Н/м2

Сопоставление аналитических и численных решений рассмотренных тестовых задач в рамках несимметричной теории упругости показали, что наиболее предпочтительным вариантом аппроксимации является квадратичная аппроксимация компонент вектора перемещений и линейная аппроксимация компонент вектора поворота Поэтому этот тип аппроксимации используется в дальнейших численных расчётах.

Далее рассматривается ряд двумерных статических задач в рамках несимметричной теории упругости с позиций нахождения "ярких" различий моментных и классических решений по сравнению с известными аналитическими результатами.

1. Задача о растяжении пластины с пятью отверстиями (рис. 2.а). Радиусы всех отверстий равны, внешний размер пластины Ь — 20- (ЗД+й), где й - расстояние между отверстиями.

В качестве характеристики различия решений используется величина:

ит -"у 4е1 иУ

„ с1

и,,

где и™ - решение в рамках несимметричной теории упругости (момеш нос решение), Пу - решение в рамках симметричной теории упругости (классическое решение).

На рис 2 Ь представлена зависимость 5 от изменения радиусов отверстий при й = 0.25Я.

Аиализируя результаты решения задач с одним и пятью отверстиями, можно отметить следующее.

— сопоставление вариантов задач с одним и пятью отверстиями показывает, что во втором случае при одном и том же диаметре отверстия различия между классическим и моментным решениями существенно больше;

— при уменьшении расстояния между отверстиями <5 увеличивается

-точка1

— — точка2 —•- точкаЗ

нишш

00 0) 02 03 04 05

Я, м

Рис 2 Задача о растяжении пластины с пятью отверстиями (а): различие моментного и классического решений 6 при изменении радиусов отверстий (Ь). й = 0.25Я.

2 Задача о растяжении пластины с трещиной расположенной в центре пластины (рис 3 а)

ИНГ

Ь) 16

ъ,%

ИННИН

-точ ка (С >;0)

00 02 04 06 08 10

Ы/2,

Рис 3 Задача о растяжении пластины с трещиной (а), различие моментного и классического решений 8 при изменении размера трещины й в юч-ке (0,0) (Ь)

Найдена зависимость различия моментного и классического рен^ний 5 для различных значений размера трещины с1 в точке (0;0)

Расчёты показали, чю раскрытие трещины, полученное на основе несимметричной теории упругости, больше, чем в классическом упругом

решении

3. Рассмотрена задача о растяжении пластины с одним и пятью круговыми абсолютно жёсткими включениями

Для всех рассмотренных выше задач, внешний размер пластины Ь = 40Я: величина нагрузки Р = 1 Н/м2, значения материальных физических констант принимались следующими (К.Ьакев)' Л = 2.096-109 Н/м2 ц= 1.033-109 Н/м2. а- 1.148 аО8 Н/м2, <> = 4.1 -106 Н, е= 1 312 • 105 Н Проведённые численные эксперименты показали, что ожидаемые различия между классическим и моментным решениями в наибольшей степени проявляются в зонах концентрации напряжений (в рассмотренных случаях - в окрестности отверстий и трещин)

Наиболее ярким примером проявления "моментных" эффектов является задача о растяжении пластины с пятью отверстиями

В дополнение к задачам, имеющим аналитические решения, полученные результаты могут быть использованы для построения экспериментальных схем, позволяющих установить факты "моментного" поведения упругих материалов

В третьей главе рассматривается метод анализа чувствительности в задачах несимметричной теории упругости Пусть гд 6 Яп вектор полных (глобальных) перемещений й и поворотов г?, называемый вектором

состояния, Ь — [¿>1,____Ьк\т - вектор переменных проектирования, гд есть

функция от переменных проектирования:

= Ф). (10)

Цель анализа чувствительности определить полную зависимость

некоторой функции цели Ф = Ф(6, гд{Ь)) от переменных проектирования. ЛФ

то есть ^ ~ или производные чувствительности

Анализ чувствительности рассматривается здесь в приложении к статическим краевым задачам в рамках несимметричной теории упругости

Уравнение поведения упругого тела при сташческих нагрузках записывается в следующем виде

К(Ь)г — Рд{Ь).

(11)

где К{Ь) - приведённая глобальная матрица жёсткости, К,(6) - приведённая нагрузка. В данном случае понятие приведённая подразумевает учёт граничных условий.

В данной работе при вычислении производных чувствительности ^ используется метод сопряжённых переменных, с помощью которого выражение для ^ определяется следующим образом-

е№ <9Ф д

(12)

ЛЬ дь дЬ

здесь и далее значок ~ обозначает переменную, которая должна в процессе частного дифференцирования быть постоянной; £ определяется из уравнения:

0ФТ

(13)

Нахождение коэффициентов анализа чувствительности для задач несимметричной теории упругости осуществляется на основе метода конечных элементов.

В качестве переменных проектирования рассматриваются упругие характеристики материала в рамках несимметричной теории упругости Вектор проектирования обозначается как Ь — {Л, а. 7, е} В качестве целевой используется следующая функция' n

Ф - £ [<ц« - г&)2 + а2 « - О2 + аз (чс - 4е)2] , (14) 1=1

где аь а2, аз - весовые коэффициенты; символы сие обозначают значения перемещений и поворотов соответственно при расчётных модельных константах материала Ас, //, ас, ес и "экспериментальных" модельных константах Ае,//,ае,7е,£е; N - число точек, в которых вычисляется значение целевой функции (14).

Во всех численных расчетах константы материала нормировались относительно "экспериментального" значения модуля сдвига це Значения "экспериментальных" физических констант задавались следующими (Н.Ьакея): Л = 2.096 • 109 Н/м2, /г = 1.033 • 109 Н/м2, а = 1.148 • 108 Н/м2, 7 = 4.1 • 106 Н, е = 1.312 • 105 Н

В качестве приложения метода анализа чувствительности к выбору экспериментов по идентификации неизвестных параметров несимметричной теории упругости была рассмотрена серия двумерных задач:

1. Задача о растяжении пластины с одним центральным круговым отверстием (рис 1 Ь) Внешний размер пластины Ь = 407?, Я - радиус отверстия;

2. Задача о растяжении пластины с пятью круговыми отверстиями (рис 2 а). Внешний размер пластины Ь = 40/?, радиусы отверстий Я равны между собой, расстояние между отверстиями й = Я.

3. Задача о растяжении пластины с трещиной (рис. 3 а). Внешний размер пластины Ь = 20с?, й - размер трещины

Для каждой из задач были определены значения коэффициентов анализа чувствительности для двух вариантов начальных приближений

Значение целевой функции (14) в задачах о растяжении пластины с одним и пятью отверстиями определялось в точках на контуре центрального отверстия, в задаче о растяжении пластины с трещиной - в точках на линии трещины

При реализации экспериментальных схем на основе рассмотренных задач наиболее предпочтительным выбором для определения а является задача о растяжении пластины с пятью отверстиями при Я < 0.001 м Для определения ■у предпочтительным является реализация экспериментальных схем на основе любой из трёх рассмотренных выше задач при Я = <¿/2 — 01 м. Для определения е рассмотренные задачи являются малоинформативными

В четвертой главе рассматриваются вопросы экспериментального поиска эффектов "моментного"поведения упругих тел Отмечается, что начиная с первых работ братьев Коссера по моментной теории упругости и до настоящего времени, практически отсутствуют надежные экспериментальные результаты, подтверждающие факт "моментного" поведения упругих материалов, а также результаты экспериментов по идентификации неизвестных параметров несимметричной теории упругости

В качестве основы для экспериментальной схемы была выбрана задача Кирша о растяжении бесконечной пластины, ослабленной круговым отверстием Из анализа решения данной задачи были установлены макропараметры, которые откликаются на "моментные" свойства материала В качестве таких параметров выбраны величины, которые могут быть измерены в эксперименте доступными и достаточно надёжными методами.

1. Величина характеризующая степень искажения контура кругового отверстия от действия одноосной нагрузки:

цр(Д, тг/2) ир(Я,0)

(15)

В классическом случае для плоского напряжённо-деформированного состояния эта величина не зависит от материальных констант, радиуса отверстия и всегда равна трём.

Величина £>2, характеризующая степень неоднородности деформации поверхности в окрестности отверстия:

£>2 =

7«(Я,0)-7«(Я,*Г/2)

(16)

Для подтверждения факта "моментного" поведения материалов предлагается два варианта проведения эксперимента на основе предложенной выше задачи Кирша

Рис. 4 Схема испытываемого образца

Первый вариант эксперимента основан на измерении искажения контура отверстия (рис. 4) Для реализации эксперимента разработано нагружающее устройство. Измерения осуществляются с помощью 10х (десятикратного) оптического микроскопа, оснащённого цифровой фотокамерой.

Обработка полученных снимков производилась на ПЭВМ с использованием соответствующего программного обеспечения.

Размеры испытываемого образца были следующими: диаметр отвер-С1ия -2 мм, L = 335 мм W — 50 мм, Я = 3 мм, начальная база деформирования - Lq — 175 мм Для используемого в эксперименте материала (органическое стекло) коэффициент Пуассона и — 0.33, модуль упругости Е 4.44 • 108 Н/м2

Результаты эксперимента показали, что величина D\ отличается от классического значения, равного трём Вместе с тем. полученный результат следует считать предварительным. Для того, чтобы утверждать, что отличие D\ от трёх есть проявление "моментного" поведения материала необходимо

- увязать влияние на конечный результат эксперимента (величину D]) отклонения реального контура отверстия от идеальной окружности;

- оценить влияние на конечный результат эксперимента отклонения реального напряжённо-деформированного состояния от плосконапряжённого состояния.

Второй вариант эксперимента основан на измерении величины D^. В конкретной реализации эксперимента использовался нагружающе-измерительный комплекс, включающий растягивающее устройство и электронный микроскоп-интерферометр "New View 5000".

Испытываемые образцы из органического стекла имели следующие размеры-

L — 120 мм, W = 45 мм Н = 1 мм. начальная база деформирования -Z-o = 50 мм (рис 4) Для различных уровней деформированного состояния сканировался профиль поверхности и фиксировалось изменение высоты z{ip) на различных окружностях р > R Для полученных экспериментальных зависимостей z(ip) осуществлялось сглаживание (фильтрация) с использованием прямого и обратного Фурье-преобразований.

В рамках гипотезы о плоско-напряжённом состоянии по экспериментальным данным об изменении профиля поверхности можно определить значение деформации 7« и вычислить величину D2 при различных значениях макродеформации на захватах 7уу.

Для анализа предлагается использовать полученную экспериментальную зависимость Ог от значения ■ууу. На рис 5 а данная зависимость приведена для различных значений радиуса отверстия. Анализ теоретических результатов показывает, что для классической теории упругости отсутствует зависимость /Л от радиуса отверстия, а в моментной теории упругости зависимость от радиуса имеет место.

В эксперименте получен веер прямых Однако, прежде чем утверждать, что получен результат, количественно подтверждающий наличие "моментного" эффекта, необходимо оценить, реализуется ли в эксперименте плоско-напряжённое состояние

а)'

- ---11-0 22 ----11=0 32

- -- 11=0 42 9.-0 55 А

¿г (/ г у '

Ь)<

й2,%

- • - 2х мерный расчет Зх мерный расчет

— Эксперимент

11имм

Рис 5 Зависимость экспериментально измеряемого макропараметра Дг от различных уровней деформирования образца (а); зависимость изменения деформации £>2 от радиуса окрестности отверстия для Н. — 0.32 мм (Ь)

Для рассматриваемых образцов на основе метода конечных элементов были выполнены расчёты в трёхмерной постановке в рамках классической теории упругости.

Расчёты показали, что решение в трёхмерной постановке совпадает с решением двумерной задачи (плоско-напряжённое состояние) с приемлемой для эксперимента точностью (« 5%) при отношении радиуса отверстия к толщине пластины больше двух.

В выполненной серии экспериментов не удалось выдержать это соотношение. Вместе с тем экспериментальные данные (рис. 5 Ь) не совпадают с решением трёхмерной задачи классической теории упругости Поэтому можно сделать предварительный вывод, что эксперимент выявил количе-

ственное отличие от решения, полученного в рамках классической теории упругости

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Разработан конечно-элементный алгоритм для решения двумерных краевых задач несимметричной теории упругости и на его основе рассмотрен ряд примеров, демонстрирующих более "яркое" по сравнению с известными аналитическими решениями различие результатов полученных в рамках моментной и классической теорий

2 Разработана методика по вычислению коэффициентов анализа чувствительности, позволяющая оценивать "информативность" решения соответствующих задач несимметричной теории упругости для экспериментального определения материальных констант.

3 Оценена "информативность" полученных численных решений с точки зрения проведения эксперимента для определения неизвестных констант в модели срсды Коссера.

4. Предложены и отработаны схемы экспериментов по регистрации фактов "моментного" поведения упругих материалов и получены предварительные экспериментальные результаты

5 Выполнен анализ экспериментальных данных и приведены численные расчёты, определяющие программу экспериментальных работ по установлению фактов "моментного" поведения упругих материалов

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих основных публикациях:

1 Корепанов В.В Конечно-элементная реализация двумерных задач несимметричной теории упругости // Тезисы докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001 Екатеринбург УрО РАН 2001 С 354

2. Корепанов B.B. О возможностях метода конечных элементов при решении задач несимметричной теории упругости // Молодежная наука Прикамья. Пермь. ПГТУ, 2001 Вып.1. С 111-118.

3 Korepanov V.V., Matveenko V.P. Application of numerical methods to the problem of identification of mechanical characteristics in the context of asymmetric elasticity theory. // Proceedings of XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg, 2002. P.368-374.

4 Корепанов В В., Матвеенко В П Численный анализ некоторых двумерных задач несимметричной теории упругости. // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 8. Выпуск 2. Механика Тула, 2002. С.101-107.

5. В В. Корепанов, В.П. Матвеенко, И Н. Шардаков. Экспериментально- теоретические исследования особенностей деформационного поведения упругих тел в рамках несимметричной теории упругости. // XIII зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов Пермь, 2003 С.226

6. Корепанов В В , Кулеш М.А., Матвеенко В.П , Шардаков И.Н. Несимметричная теория упругости: аналитические и численные решения, эксперимент. // Научно-Образовательный Центр "Неравновесные переходы в сплошных средах". Итоги работы за 2002 год. Пермь, 2003. С 100-102.

7 Korepanov V.V., Kulesh М.А., Matveenko V.P., Shardakov I.N Analytical and numerical solutions of two-dimensional problems of asymmetric elasticity theory. // Abstracts of European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering Jyvaskyla, Finland, 2004. Volume I. P.88.

8 Korepanov V.V, Kulesh M.A, Matveenko V.P, Shardakov I.N. Investigation of couple-stress effects in elastic bodies under deformation // Abstracts of XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Warsaw, Poland, 2004 P.241.

Лицензия ПД-11-0002 от 15.12.99

Подписано в печать 19.11.2004. Набор компьютерный 1,0 печ.л Бумага ВХИ Формат 60X100/16 Заказ № 901/2004 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе в отделе Электронных издательских систем ОЦНИТ Пермского государственного технического университета 614000, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к.113, т.(3422) 198-033

- 602 I

РНБ Русский фонд

2006-4 4120

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Корепанов, Валерий Валерьевич

Введение

1 Основные соотношения несимметричной теории упругости

1.1 Геометрические соотношения.

1.2 Физические уравнения.

1.3 Вывод уравнений равновесия и движения для напряжений и моментных напряжений.

1.4 Вариационная постановка задач несимметричной теории упругости.

1.5 Двумерные задачи несимметричной теории упругости. Плоско-деформированное и плоско-напряженное состояния

2 Численная реализация двумерных задач несимметричной t' теории упругости

2.1 Основные соотношения метода конечных элементов для двумерных задач несимметричной теории упругости.

2.2 Разрешающие уравнения метода конечных элементов в рамках несимметричной теории упругости.

Ъ 2.3 Апробация конечно-элементного алгоритма для решения двумерных задач несимметричной теории упругости.

2.4 Задача о растяжении пластины с пятью отверстиями

2.5 Задача о растяжении пластины с трещиной.

2.6 Задача о растяжении пластины с одним и пятью абсолютно жесткими включениями.

3 Метод анализа чувствительности в задачах несимметричной теории упругости

3.1 Конечно-элементная реализация анализа чувствительности

3.2 Апробация конечно-элементного алгоритма для вычисления коэффициентов анализа чувствительности

Введение диссертация по механике, на тему "Численный и экспериментальный анализ напряженно-деформированного состояния в задачах несимметричной теории упругости"

На сегодняшний день существуют модели механики деформируемого твердого тела, в которых деформация среды описывается не только вектором перемещений, но также вектором поворота. В этих моделях, в отличие от классической (симметричной) теории, напряжённое состояние описывается несимметричным тензором напряжений. Как отмечено в работе [47], модель классической теории упругости хорошо совпадает с экспериментами, проводимыми с конструкционными материалами (сталь, алюминий, бетон) при напряжениях, остающихся в пределах упругости материала. Значительное различие между теорией и экспериментом возникает в тех случаях, когда существенными являются градиенты напряжения. Это имеет основное значение при концентрации напряжений вокруг отверстий и выточек. Расхождение между экспериментом и классической теорией упругости появляется также в задачах о колебаниях, при распространении волн и при вынужденных высокочастотных (ультразвуковых) колебаниях. Это происходит из-за того, что при высокочастотных колебаниях и достаточно малых длинах волн неизбежно сказывается влияние микроструктуры материала. Наконец, классическая теория упругости не описывает с необходимой точностью явления, происходящие в зернистых средах и при прохождении акустических волн через кристаллы, поликристаллические структуры и полимеры [47].

История развития учёта вращения в деформируемых телах рассматривается в монографии [15].

Первое упоминание об изучении вращения в трехмерном пространстве было сделано У.Гамильтоном в 1848г. в его фундаментальной работе [94], посвящённой теории кватерниона.

О важности учёта моментных напряжений говорилось в работе В.Фойхта (1887г.) [126].

Э. и Ф.Коссера обобщили и развили работы Г.Кирхгофа, А.Клебша, П.Дюгема, В.Фойхта и в 1909г. появилась теория, согласно которой каждая материальная точка континуума наделяется свойствами твёрдого тела путем учёта ротационных степеней свободы [72]. Согласно концепции братьев Коссера, при изучении напряжённого состояния твёрдого деформируемого континуума необходимо наряду с обычными напряжениями (сила на единицу площади) вводить в рассмотрение моментные напряжения (момент силы на единицу площади).

В 1911 году появилась работа Леру [108], в которой материальная точка наделялась способностью к микродеформации.

Отдельные работы по теории микрополярных сред публиковались в 20-е, 30-е и 40-е годы, но наибольшее развитие эти теории получили в конце 50-х - 60-х годов прошлого столетия в работах Дж.Эриксена и К.А.Трусделла [79], Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинского [1], В.А.Пальмова [49], В.Новацкого [116], [117], А.Г.Ерингена и Е.С.Сухуби [80].

Сегодня можно выделить несколько направлений развития несимметричной теории упругости, отличающихся способом описания поворота частиц:

1. Псевдосреда Коссера. Теория среды со "стеснённым вращением".

Такую среду часто называют псевдоупругой средой Коссера или псевдосредой Коссера.

Описание основных положений данной теории можно найти в работах Э.Л.Аэро и Е. В. Ку вши некого [1], Р.Д.Миндлина (R.D.Mindlin [111]), Р.Д.Миндлина и Г.Ф.Тирстена (R.D.Mindlin and H.F.Tierstin [112]), Ю.Н.Немиша ([44], [45]), В.Т.Койтера (W.T.Koiter [100]), Н.Ф.Морозова ([42], [41]) Г.Н.Савина ([58], [55]), А.И.Каландии [20] и др.

В теории псевдосреды Коссера считается, что перемещения й точек этой среды и их жёсткие малые повороты со связаны зависимостью: - \rotu. 2

Таким образом, для псевдосреды Коссера имеется одна независимая кинематическая неизвестная - перемещения гГ, и в рассмотрение вводятся несимметричные тензора напряжений а и моментных напряжений Д.

Этот вариант несимметричной теории понижает её полноту, так как число физических констант для изотропного упругого тела сокращается до четырёх. Например, часто используются Е - модуль Юнга, 7 - коэффициент Пуассона, I - постоянная, имеющая размерность длины и В -безразмерная постоянная, называемая модулем изгиба ([111], [42], [41], [55], [20], [67]).

Кроме этого, получаемая структура уравнений такова [47], что если, в частности, на поверхности упругого тела заданы перемещения, то не удаётся произвольно задать нормальную составляющую вектора поворота.

Несмотря на эти недостатки, имеется достаточно большое число работ, посвящённых псевдосреде Коссера. Предложено несколько общих теорем, методов интегрирования и дано решение ряда задач. Так, Миндлин и Тирстен [112] обобщили представление Папковича-Нейбера для статических задач, а также получили фундаментальное решение в бесконечном упругом пространстве. Их теоретические выводы были проиллюстрированы несколькими примерами.

Боджи и Стернберг (D.В.Bogy and E.Sternberg [70]) рассматривали задачи для случая плоско-деформированного состояния. Были обобщены решения Файлона и задача о штампе на континуум псевдосреды Коссера. Особенно интересными являются следствия полученных в [70] результатов, касающихся сингулярных решений для плоско-деформированного состояния.

Можно отметить также решение задачи об изгибе кругового цилиндра [67], плоской граничной задачи о действии сосредоточенной силы на бесконечной плоскости с круговым отверстием [97], задачи для бесконечной упругой изотропной области, ослабленной конечным числом произвольно расположенных несоприкасающихся круговых отверстий [46], задачи о деформировании плоского кольца [82].

2. Теория среды Коссера. Эта теория была развита в 60-70-х годах прошлого столетия независимо несколькими исследователями: В.Новацким (W.Nowacki [47]), В.А.Пальмовым [49], H.Schaefer [122], Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинским [2] и др.

В теории среды Коссера для описания перемещения частиц рассматриваемой среды наряду с обычным полем перемещений и вводится кинематически независимое поле векторов ш, характеризующее малые повороты частиц. Таким образом, в этой теории присутствуют две независимые кинематические неизвестные, а тензоры напряжений а и моментных напряжений Д являются несимметричными.

В этом варианте упругое поведение изотропной линейной среды характеризуется шестью упругими константами ([47], [49], [50]): две постоянные Ляме и четыре новые константы, характеризующие микроструктуру В случае квадратично-нелинейной среды количество новых констант увеличивается до девяти [15].

Во многих работах (напр. [50], [120], [115]) отмечается, что псевдосреда Коссера является следствием среды Коссера при условии стремления одной из новых упругих констант к бесконечности.

Известны точные аналитические решения ряда задач для среды Коссера, несмотря на значительные трудности при разрешении получающихся дифференциальных уравнений равновесия или движения. Например, найдена концентрация напряжений вблизи кругового отверстия [50], решены задачи о действии сосредоточенной силы и сосредоточенного момента в безграничном упругом пространстве ([120], [114]), о равновесии полупространства ([110], [76], [77]), изгиба пластины под действием сосредоточенной силы, представленной в виде распределенного на небольшой поверхности давления [8]. Рассмотрены неоднородная задача изгиба пластины из материала Коссера и материала с ограниченными локальными поворотами по модели Гриоли-Тупина [90] и задача для прямоугольного параллелепипеда [12].

Также следует отметить работу [6], в которой получено решение уравнений термоупругости, содержащих произвольные постоянные, работу [91], в которой рассмотрена обобщённая задача плоско-напряжённого состояния для упругого слоя, и построены решения для вектора перемещений и вектора бесконечно малого поворота в случае упругого слоя из материала Коссера и работу [59], где в случае тонкой пластинки для решения поставленной краевой задачи трёхмерной несимметричной теории упругости излагается асимптотический метод интегрирования определяющих уравнений трёхмерной несимметричной теории упругости.

В работе [103] предложен подход к построению точных аналитических решений некоторых одномерных и двумерных статических краевых задач в рамках несимметричной теории упругости для среды Коссера. С использованием данного подхода получены точные аналитические решения для следующего ряда задач: задача о сдвиге плоского бесконечного слоя (пластины), закреплённого по обоим краям, под действием силы тяжести; задача о растяжении бесконечной полосы (пластины), ослабленной центральным круговым отверстием (задача Кирша); задача о кручении жёстко закреплённого по внешнему контуру кольца за счёт поворота внутреннего контура на фиксированный угол; задача о деформировании жёстко закреплённого по внешнему контуру кольца за счёт сдвига внутреннего контура на фиксированную величину. На основе анализа полученных решений введены экспериментально измеряемые макропараметры, откликающиеся на "моментное" поведение среды. Безразмерная форма записи полученных в [103] аналитических решений позволила наглядно установить принципиальное различие безразмерных моментных и классических решений. А именно, безразмерное моментное решение зависит от характерного геометрического размера, а классическое - нет.

3. Континуум Jlepy (градиентная модель). К понятию моментных напряжений приводит и учёт зависимости энергии деформаций от высших градиентов вектора перемещений. Впервые на целесообразность учета высших градиентов перемещений указал Jlepy [108]. Деформированное состояние при этом определяется двумя тензорами: тензором макродеформации второго порядка и градиентом микродисторсии третьего порядка. Градиент микродисторсии связан с вектором перемещений и не связан с вектором поворота. Следовательно, вращение частиц среды в этом случае является стеснённым [15]. Напряжённое состояние определяется объёмной плотностью внутренней энергии, через которую вычисляются тензор напряжений и тензор третьего порядка "двойных напряжений", антисимметричная часть которого является тензором моментных напряжений Д [57].

В случае физической нелинейности в определяющие соотношения этой модели входят, помимо констант Ляме, семь констант Ландау, определяющих нелинейность, и две новые константы, характеризующие микроструктуру [15]. Для линейной среды общее количество констант сокращается, как и в случае псевдосреды Коссера, до четырёх.

4. Микроморфная среда Миндлина-Эрингена. Данная теория развита Р.Д.Миндлиным в работе [113] и А.К.Эрингеном [80].

В качестве кинематических неизвестных в этой теории в общем случае принимаются вектор перемещения и несимметричный тензор микросмещений; деформированное состояние определяется тензором макродеформаций, характеризующим относительные перемещения центров масс макрообъемов (он совпадает с тензором деформации Грина), тензором относительной дисторсии, характеризующим перемещения структурных элементов относительно центра масс макрообъёма и градиентом микродис-торсии третьего порядка, характеризующим относительные перемещения структурных элементов одного и того же макрообъёма. Для описания напряжённого состояния вводятся тензоры напряжений первого и второго порядков и тензор моментных напряжений.

Меры деформаций микроморфной среды являются обобщением деформационных характеристик двух вышеназванных моделей - континуума Коссера и континуума Jlepy.

В этой теории упругое поведение материала характеризуется восемнадцатью физическими постоянными. В работе [101] проведено некоторое упрощение этой теории, что допускает сокращение числа констант до десяти и простую трактовку оставшихся.

5. Прочие теории. Среди прочих можно выделить работу Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинского [2], где развита 45-константная теория. В работе [80] предлагается мультиполярная теория, количество физических констант которой определяется её степенью. Обобщение несимметричной теории на случай анизотропии было сделано H.Neuber [115], где упругое поведение новой анизотропной (в самом общем случае анизотропии) среды будет характеризоваться 171 упругой постоянной.

Различные аспекты моделей несимметричной среды можно найти также в работах [5], [9], [18], [37], [40], [54], [60], [92], [93], [100], [61], [124], [89], [86], [19], [119], [60], [65], [66], [68], [73], [75], [78], [81], [87], [88], [95], [98], [99], [121].

Известны обобщения несимметричной теории на случай термоупругости и больших деформаций. Также известны решения ряда динамических задач, например, систематическое изложение современной теории распространения и взаимодействия упругих волн в твёрдых телах с микроструктурой можно найти в работе В.И.Ерофеева [15].

Имеется всего несколько работ по реализации процедур идентификации моделей такого типа для нескольких конкретных материалов. Измерение констант упругости на основе статических экспериментов проводилось в работе [83]. Более точные динамические (в частности, ультразвуковые) эксперименты использовались в работах: [16], [57], [56] для идентификации моделей Леру и псевдосреды Коссера, [84], [14], [104] для идентификации линейной среды Коссера, [51] и [52] для нелинейной среды Коссера (для смеси).

Так в работах [57], [56] указывают на экспериментальную возможность оценить численное значение одной из новых констант моментной теории путем измерения скорости ультразвука в зависимости от частоты колебаний. Такие измерения были проделаны на лабораторной установке, использующей известный метод наложения ультразвуковых импульсов, модулированных высокой частотой. Поперечные ультразвуковые колебания (в виде радиоимпульсов) вводились нормально в прямоугольные образцы из поликристаллических металлов технической чистоты и принимались с противоположной стороны образца. С помощью электронно-счётного частотомера в опыте фиксировалась частота повторения радиоимпульсов, обратная величина которой была равна двойному времени пробега ультразвукового импульса в образце. Отсюда при известной базе прозвучивания (длине пути пробега луча) подсчитывались значения скорости звука с точностью порядка Ю-4.

С помощью динамических экспериментальных методов в [104] делается попытка определить механические характеристики несимметричной упругости. Используется так называемый метод размерного эффекта, основанный на зависимости от размера жёсткости при кручении и жёсткости при изгибе, которые имеют место при изгибе и кручении балок с круговыми поперечными сечениями. Экспериментальная аппаратура, используемая в эксперименте, содержит дисковидный постоянный магнит (для приложения крутящего момента к образцу), специальное кольцо Гельмгольца, которое производит однородное магнитное поле в результате протекания электрического тока. Крутящий момент образца пропорционален току в кольце Гельмгольца. Изгиб и кручение достигаются с помощью определённым образом ориентированного кольца Гельмгольца. Измерение угловых перемещений выполнялось с помощью интерференционного метода.

Что касается вопроса об экспериментальном обнаружении "момент-ного" эффекта, то в некоторых работах (напр. [111], [50]) сопоставление решений несимметричной теории с классическими решениями осуществляется на основе анализа показателя концентрации напряжений и его зависимости от характерного размера концентратора. Иллюстрируется факт возрастания (или убывания) показателя концентрации напряжений по сравнению с классической теорией при уменьшении характерного размера. Необходимо отметить, что данный факт представляется интересным, однако использование показателя концентрации в качестве экспериментально измеряемого параметра является весьма проблематичным. Так, например, попытка зафиксировать изменение показателя концентрации методом фотоупругости не увенчались успехом, так как разрешающая способность этого метода слишком низка на необходимом характерном размере концентратора [48]. Как установил Миндлин [111], порядок характерной постоянной материала /, появляющейся в теории псевдосреды Коссера и имеющей размерность длины, для идеальных кристаллов и аморфных материалов такой же, как длина трещины; для поликристаллов и зернистых материалов она несколько больше размеров толщины. Несмотря на то, что фактор концентрации напряжений, измеренный методами фотоупругости, совпадает с расчётным значением, выполненным по методике классической теории упругости, максимальное напряжение из-за присутствия моментных напряжений в образце с надрезом должно быть меньше, чем то, которое получается без учёта этих напряжений. Причина в том, что величина I для оптически активных материалов, применяющихся в фотоупругости, достаточно мала. Обычно это не учитывается.

Имеется ряд работ, в которых получены аналитические решения в рамках несимметричной теории упругости применительно к изгибу [100] и кручению [102] стержней различного поперечного сечения. Койтер [100], рассмотрев задачу изгиба бруса, имеющего прямоугольное сечение, с учётом влияния моментных напряжений, пришёл к выводу, что эффективным методом экспериментального определения новых характеристических постоянных упругого материала являются испытания на изгиб. Сопоставление моментного и классического решений осуществлялось на основе анализа изменения жёсткости на изгиб или кручение в зависимости от характерного размера. Да, жесткость с точки зрения экспериментальной реализации является хорошо измеряемым параметром. Но полагать, что экспериментальные измерения жёсткости при изгибе (кручении) позволят продемонстрировать "моментный" отклик среды, не приходится. Это связано с тем, что в этих задачах отсутствует одно из необходимых условий яркого проявления "моментного" поведения среды, а именно отсутствие высокого градиента напряжений. Эксперименты, описанные в [48], подтверждают это.

Так, в работе [123], учитывающей влияние толщины пластины на жёсткость, проведено несколько испытаний балки на изгиб. Исследовались пять балок разной толщины, изготовленные из дисперсноупрочнённого алюминиевого сплава. Полученные экспериментальные данные позволяют заключить, что влияние толщины на значение модуля Юнга почти незаметно, а влияние крутящего момента находится в пределах погрешности измерений.

В других экспериментах с целью установления влияния моментных напряжений анализировалось приращение модуля сдвига в зависимости от толщины пластины при кручении упругого слоя [102], оценивались новые характеристические постоянные материала [69], [83], появляющиеся в теории несимметричной упругости. Однако удовлетворительных результатов, которые бы явились добавочными аргументами в пользу моментной теории упругости, получить не удалось.

Такое незначительное количество экспериментальных работ связано с тем, что для практического подтверждения несимметричной теории нужны экспериментальные исследования локальных характеристик напряжённо-деформированного состояния образцов материала в условиях нагружения с обязательным наличием градиентов напряжений.

Для расширения поиска наиболее ярких случаев проявления "моментных" свойств упругих тел с целью предложить возможные экспериментальные схемы по обнаружению "моментного" эффекта и по реализации процедуры идентификации неизвестных материальных констант несимметричной теории упругости необходимо наличие соответствующих задач, решённых в рамках данной теории. Число задач, для которых может быть получено аналитическое решение, ограничено. Поэтому для расширения круга задач, решаемых в рамках несимметричной теории упругости, естественно использование численных методов, в частности, метода конечных элементов.

Метод конечных элементов является одним из базовых численных методов, успешно применяемый в классической теории упругости. В настоящее время этот метод прочно вошел в расчётную практику. Наличие большого числа монографий, например [11], [17], [53], [118], а также обзоров по различным аспектам метода конечных элементов в рамках классической теории упругости позволяет в рамках данной работы не приводить обзора литературы в этой области с позиций анализа достоинств и недостатков этого метода. Поэтому остановимся на обзоре литературы по методу ко нечных элементов в рамках несимметричной теории упругости.

Идея распространить этот метод на решение задач моментной теории упругости появилась в 80-х годах прошлого столетия в работах R.S.Lakes, R.L.Benedict, N.Nakamura [105], [106]. В качестве конечных элементов выбирались плоские треугольные напряжённые элементы [105], а так* же постоянные по деформации трёхузловые треугольные элементы и че-тырёхузловые изопараметрические элементы [106]. Программа тестировалась на примере вычисления коэффициента концентрации напряжений в окрестности отверстия изотропного микрополярного материала, для которого существует точное аналитическое решение [105]. В [106] исследовалась задача о деформировании эллиптического контура в полосе упругого материала Коссера (микрополярного материала) под действием растягивающего усилия.

В последующих работах рассматривались вопросы применения различных типов конечных элементов для задач несимметричной теории упругости. В [109] применялись четырёхугольные конечные элементы для решения задач линейной теории упругости по определению показателей напряжённо-деформированного состояния в случае микрополярного упругого материала. Применение плоских конечных элементов с вращательными степенями свободы можно найти в работах [71], [13], [85], [96]. В [71] рассмотрены вопросы эффективности и точности применения треугольного конечного элемента с тремя узлами, в каждом из которых присутствуют две поступательные степени свободы и одна вращательная. В [13] приводится матрица жёсткости плоского треугольного элемента с вращательными степенями свободы в узлах, а численные примеры показывают достаточно высокую сходимость предлагаемого элемента. Линейно-упругий анализ в исследовании четырёхугольных смешанных конечных элементов проводился в [96] для моментной теории упругости в плоском случае. Новая сеточная конечно-элементная модель типа Вороного разработана в [85] для анализа микрополярного термоупругого напряжённого состояния в произвольно неоднородных материалах. Приведено несколько иллюстрирующих численных примеров для подтверждения эффективности данной модели в анализе полей температур и напряжений для микрополярных упругих материалов.

Ряд работ посвящен решению различных задач в рамках несимметричной теории упругости с применением метода конечных элементов. В [107] рассматривается локализация концевых нагрузок, действующих на плоскую полосу микрополярного материала. Конечно-элементный подход для реализации плоских и осесимметричных задач моментной теории упругости рассмотрен в [7]. При моделировании горного массива применялась модель континуума Коссера, а элементы Коссера представлены традиционными конечными элементами [74].

В ряде работ отмечается, что для определения наиболее "информативных" экспериментов с точки зрения идентификации материальных констант материала в различных разделах механики и физики оказывается эффективным аппарат анализа чувствительности.

Анализ чувствительности конструкций, изучающий взаимосвязь между переменными проектирования, имеющимися в распоряжении исследователя, и переменными состояния, которые определяются законами механики, то есть реакцией конструкции, нашёл применение в целом ряде инженерных дисциплин - от теории автоматического управления до анализа крупномасштабных физиологических систем.

Математические достоинства такого подхода заключаются в том, что нелинейная задача анализа чувствительности рассматривается при помощи методов, которые обладают преимуществами математических свойств линейных (при фиксированных переменных проектирования) операторов состояния [62].

В [3] изложены и проанализированы три метода расчёта чувствительности по проектным переменным: метод виртуальных нагрузок, пространства состояний, проектного пространства. На основании этого исследования авторы делают вывод о предпочтительном использовании метода пространства состояний.

В большинстве задач проектирования конструкций должна минимизироваться (или максимизироваться) некоторая функция цели при удовлетворении ограничений на напряжения, перемещения и переменные проектирования.

Анализ чувствительности при наличии ограничений рассмотрен Э.Дж.Хогом и Я.Аророй в [4], обзор методов вычисления производных чувствительности применительно к конечно-элементным моделям конструкции приведён в работах [64], [125].

Анализ обзора литературы позволяет сделать следующие выводы.

В связи с этим актуальным является решение новых задач, демонстрирующих различие моментных и классических решений и позволяющих предложить возможные эксперименты по идентификации неизвестных параметров в модели среды Коссера, постановка и отработка методик экспериментов, с помощью которых можно будет зафиксировать факт "мо-ментного" поведения упругих материалов. Целью работы является:

1. Разработка конечно-элементного алгоритма и построение численных решений для двумерных краевых задач несимметричной теории упругости.

2. На основе аппарата метода анализа чувствительности оценка "информативности" решений двумерных краевых задач несимметричной теории упругости с точки зрения экспериментального определения материальных констант.

Научная новизна работы состоит в том, что:

1. Разработан конечно-элементный алгоритм для решения двумерных краевых задач несимметричной теории упругости и на его основе рассмотрен ряд примеров, демонстрирующих более "яркое" по сравнению с известными аналитическими решениями различие результатов, полученных в рамках моментной и классической теорий.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

1. Сравнением отдельных численных результатов с известными аналитическими решениями.

2. Анализом реализованных экспериментов методами численного эксперимента.

Практическая значимость полученных результатов определяется:

1. Разработанным конечно-элементным алгоритмом для решения задач несимметричной теории упругости.

2. Расширением вычислительной базы для постановки экспериментов, связанных с идентификацией материальных констант несимметричной теории упругости.

3. Созданием новых экспериментов, направленных на установление фактов "моментного" поведения упругих материалов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на: Всероссийской конференции молодых учёных "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2000г.), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001г.), XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg, 2002), Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2002г.), конференции молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2002г.), Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2003г.), III Всероссийской конференции по теории упругости (Ростов-на-Дону, 2003г.), European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (Jyvaskyla, Finland, 2004г.), XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Warsaw, Poland, 2004r.).

Структура работы. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

В первой главе приведены основные положения несимметричной теории упругости: уравнения равновесия, геометрические и определяющие соотношения, вариационные уравнения.

Во второй главе приводятся основные конечно-элементные соотношения для двумерных плоских задач несимметричной теории упругости, проводится сравнительный анализ результатов для различных типов конечных элементов и рассматриваются результаты апробации конечно-элементного алгоритма на задачах, имеющих аналитические решения. Приводятся результаты решения ряда задач и даётся их сравнительный анализ с результатами решения аналогичных задач в рамках классической теории упругости.

В третьей главе рассматривается аппарат метода анализа чувствительности и его конечно-элементная реализация для задач несимметричной теории упругости. Найдены значения коэффициентов анализа чувствительности для ряда двумерных краевых задач. На основе полученных результатов предложены возможные схемы для реализации экспериментов по идентификации материальных констант несимметричной теории упругости.

В четвёртой главе даётся описание экспериментов для регистрации эффектов "моментного" поведения упругих материалов, приводятся и обсуждаются предварительные экспериментальные результаты.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Выводы по работе

В данной работе получены следующие новые результаты:

1. Разработан конечно-элементный алгоритм для решения двумерных краевых задач несимметричной теории упругости, и на его основе рассмотрен ряд примеров, демонстрирующих более "яркое" по сравнению с известными аналитическими решениями различие результатов, полученных в рамках моментной и классической теорий.

4. Предложены и отработаны схемы экспериментов по регистрации фактов "моментного" поведения упругих материалов и получены предварительные экспериментальные результаты.

5. Выполнен анализ экспериментальных данных и приведены численные расчёты, определяющие программу экспериментальных работ по установлению фактов "моментного" поведения упругих материалов.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Корепанов, Валерий Валерьевич, Пермь

1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметричной упругости. Учет внутреннего вращения. // ФТТ. 1964. т.6. вып.9. С.2689-2699.

2. Арора Дж.С., Хог Э.Дж. Методы расчета чувствительности по проектным переменным при оптимизации конструкций. // РТиК. 1979. N.9. С.52-58.

3. Арора Дж.С., Хог Э.Дж. Прикладное оптимальное проектирование.-М.:Мир, 1983.-478с.

4. Велоносов С.М. Моментная теория упругости. Владивосток: Дальна-ука, 1983.

5. Белосточный Г.Н., Гущин Б.А. Точное решение некоторых краевых задач несимметричной термоупругости ребристых пластин. // Совр. пробл. теплофиз., мех. и термомех. в электрон, приборостр.: Матер, регион. совещ./Сарат. политехи, ин-т. Саратов, 1991. С.3-6.

6. Бояндин B.C., Козак A.JI. Конечный элемент для решения плоских и осесимметричных задач моментной теории упругости. // Сопротивление матер, и теория сооруж. 1991. N58. С.49-57.

7. Буланов Э.А. К вопросу о моментной теории упругости. Плоская деформация. // Пробл. прочн. 1998. N4. С.106-115.

8. Ванин Г.А. Градиентная теория упругости. // Изв. РАН. МТТ, 1999, N1. С.46-53.

9. Введение в нелинейную механику. 4.1. Необходимые сведения из тензорного исчисления. Сост. проф. П.В.Трусов, проф. Ю.И.Няшин. -Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1992. 104 с.

10. Галлагер Ф. Метод конечных элементов. Основы. М.:Мир, 1984.-428с.

11. Григорьев Ю.М. Аналитическое решение некоторых основных задач классической и моментной теории упругости для прямоугольного параллелепипеда. // Модел. в мех. 1992. вып.6. N4. С.21-26.

12. Григорьева И.А., Пиочкевич Е.В., Ручьева Г.Н., Белозеров А.А. Применение плосконапряженного конечного элемента с вращательными степенями свободы. // Нелинейн. задачи мех. токостен. конструкций Л., 1989. С.24-31.

13. Динамика и устойчивость слоистых композитных материалов. Киев: Наук, думка, 1992.

14. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микровструкту-рой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. - 328 с.

15. Ерофеев В.И. Редюшкин В.М. Наблюдение дисперсии упругих волн в зернистом композите и математическая модель для ее описания. // Акуст. журнал, 1992, Т. 38, N6. С. 1116-1117.

16. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.:Мир, 1975-542с.

17. Ильюшин А.А. Ломакин В.А. Моментные теории в механике твердых деформируемых тел. // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С.54-61.

18. Индин. Н.М. Анизатропные сплошные среды, энергия в которых зависит от градиентов тензора деформаций и других тензорных величин. // ПММ. 1966. Т.ЗО. N.3. С.531-541.

19. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973, 303 с.

20. Корепанов В.В. Конечно-элементная реализация двумерных задач несимметричной теории упругости. // Тезисы докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С.354.

21. Корепанов В.В. О возможностях метода конечных элементов при решении задач несимметричной теории упругости // Молодежная наука Прикамья. Пермь: ПГТУ, 2001. Вып.1. С.111-118.

22. Korepanov V.V. Application of numerical methods to the problem of mechanical characteristics identification of nonsymmetric elasticity theory. // Abstracts of XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg, 2002. P.58-59.

23. Корепанов В.В., Матвеенко В.П. Численный анализ некоторых двумерных задач несимметричной теории упругости. // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Тула: ТулГУ, 2002. С. 107.

24. Корепанов В.В., Матвеенко В.П. Численный анализ некоторых двумерных задач несимметричной теории упругости. // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 8. Выпуск 2. Механика. Тула, 2002. С.101-107.

25. Корепанов В.В., Матвеенко В.П. Конечно-элементный анализ некоторых двумерных задач несимметричной теории упругости. // Конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Тезисы докладов. Пермь, 2002. С.72.

26. Korepanov V.V., Kulesh M.A., Matveenko V.P., Shardakov I.N. Investigation of couple-stress effects in elastic bodies under deformation. / / Abstracts of XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Warsaw, Poland, 2004. P.241.

27. Короткина М.Р. Моментные теории упругости и их связь с полевыми теориями, построенными на дискретных структурах. // Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. N4. С.225-240.

28. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости // Извес-тия РАН, Механика твердого тела. 2002. Вып. 5. С. 69-82.

29. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера // ПМТФ. 2001. Т. 42. Вып. 4. С. 145-154.

30. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975.

31. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 182с.

32. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

33. Н.И.Мусхелишвили. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 707 с.

34. Немиш Ю.Н. Плоская задача моментной теории упругости для области с круговым отверстием. // Прикл. мех. 1965. т.1, вып.5.

35. Немиш Ю.Н. Подкрепленное круговое отверстие в упругом поле несимметричным тензором напряжений. // Прикл. мех. 1966. т.2, вып.7.

36. Немиш Ю.Н., Третяк В.П. К решению плоской задачи моментной теории упругости для многосвязных областей. // В сб. "Концентрация напряж. Вып. 3". Киев: Наук, думка, 1971, С.94-100.

37. Новацкий В. Теория упругости. Пер. с польск. Победря Б.Е. М.: Мир, 1975. 872 с.

38. Онами М., Ивасимидзу С., Гэнка К., Сиодзава К., Танака К. Введение в микромеханику. Пер. с япон. М.: Металлургия. 1987. 280 с.

39. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости. // Прикладная математика и механика. 1964. т.28, вып.З. С.401-408.

40. Пальмов В.А. Плоская задача теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 6. С. 1117-1120.

41. Рущицкий Я.Я. Элементы теории смесей. Киев: Наук, думка, 1991.

42. Рущицкий Я.Я. Взаимодействие волн сжатия и сдвига в композитном материале с нелинейно-упругими компонентами в микроструктуре. // Прикл. механика. 1993. т.29, N4. С.23-30.

43. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин.-Рига: Зинатне, 1988.-284с.

44. Сабодаш П.Ф. Филиппов И.Г. О воздействии подвижной нагрузки на упругое полупространство с учетом моментных напряжений. // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С.317-321.

45. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наук, думка, 1968.

46. Савин Г.Н. Лукашов А.А. Лыско Е.М. Времеенко С.В. Агасьев Г.Г. Распространение упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением. // Прикл. механика. 1970. т.6. N6. С.37-41.

47. Савин Г.Н. Лукашов А.А. Лыско Е.М. Распространение упругих волн в твердом теле с микроструктурой. // Прикл. механика. 1970. т.6. N7. С.48-52.

48. Савин Г.Н. Механика деформируемых тел. Киев: Наук, думка, 1979. 465с.

49. Саркисян С.О. Асимптотический анализ уравнений несимметричной теории упругости в области тонкой пластинки. //2 Межуднар. научн.-техн. конф. "Инж.-физ. пробл. авиац. и косм. техн."Егорьевск 3-5 июня 1997: Тез. докл. 4.1. Егорьевск, 1997. С.248.

50. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. // ПММ, 1968. Т.32. N5. С.771-785.ф, 61. Ту пин. Р. А. Теории упругости, учитывающие моментные напряжения.

51. Механика / Сб. переводов, 1965. N3. С. 113-140.

52. Хог Э.Дж., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций.-М.:Мир, 1988.-428с.

53. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск: Наука,I1988.

54. Adelman Н.М., Haftka R.T. Sensivity analysis of discrete structural systems. // AIAA Journal. 1986. V.24. No.5. P.823-832.

55. Albas J.B. The Cosserat continuum with elastic spin. // Mechanics of4*

56. Genetalised Continua, ed. E. Kroner. Springer Verlag. 1967. P.350-354.

57. Allen S.J., Silva C.N.de., Kline K.A. Theory of simple deformable directed fluids. // Phys. Fluids. 1967. V.10. P.2551-2555.

58. Anthonie A. Effect of couple-stress on the elastic bending of beams. // * Int. J. of Solid and Structures. 2000. V.37. P.1003-1018.

59. Anthony К., Essman U., Steeger A., Traube H. Discilination and the Cosserat-continuum with incompatible rotations. // Mechanics of Generalized Continua, ed. E. Kroner. Springer Verlag. 1967. P.355-358.

60. Askar A. Molecular crystals and the polar theories of the continua (Experimental values of material coefficients for KNO3). Int. J. Eng. Sci. 1972. V.10. P.293.

61. Bogy D.B. Sternberg E. The effect of couple-stress on the corner singularity due to an asymmetric shear loading. // Int. J. of Solid and Structures. 1968. V.4. P. 159-174.

62. Cook R. Some options for plane triangular elements with rotational degrees of freedom. // Finit. Elem. Anal, and Des. 1990. V.6. No.3. P.245-249.

63. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables, Paris, 1909.

64. Crochet M.J. Compatibility equations for a Cosserat surface. //J. Mecanique. 1967. V.6. P.593-600.

65. Dai C., Muhlhaus H., Meek J., Duncan F. Modelling of Blocky Rock Masses Using the Cosserat Method. // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. and Geomech. Abstr. 1996. V.33. No.4. P.425-432.

66. Dahler J.S., Scriven L.E. Angular momentum of continua. // Nature. 1961. V.192. P.36-37.

67. Dhaliwal Ranjit S., Chowdhury Kashmiri L. The axisymmetric Reissner-Sagoci problem in the linear micropolar elasticity. // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci techn. 1971. V. 19. No. 9. P. 661-668.

68. Dyszlewicz J. Stress formulation of the "second" axially symmetric problem of micropolar theory of elasticity. // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci techn. 1973. V. 21. No. 2. P. 87-97.

69. Drobot S. On Cosserat continua. // Zastosowania Matematyki. 1971. V.12. P.323-345.

70. Ericksen J.L., Truesdell C. Exact Theory of Stress and Strain in Rods and Shells // Arch. Rat. Mech. Anal., 1958. V.l, N4. P.295-323.

71. Eringen A.G. Suhubi E.S. Nonlinear theory of micro-elastic solids-II. // Int. J. Engng. Sci. 1964. V.2. P.389-404.

72. Ferrarese G. Intrinsic formulation of Cosserat continua dynamics. // Trends in Application of Pure Mathematics to Mechanics, ed. H. Zorski, Pitman, London. 1977. V.2. P.97-113.

73. Kobayashi Shoichi, Fukui Takio. Effects of couple stresses on stress distribution in a ring test specimen. // Mem. Fac. Eng. Kyoto Univ. 1971. V.33. No.4. P.233-242.

74. Gauthier R.D., Jahsman W.E. A quest for micropolar elastic constants // Trans. ASME. 1975, V. E42. No. 2. P. 369-374.

75. Gauthier R.D., Jahsman W.E. A quest for micropolar elastic constants. Part 2. // Arch. Mech. 1981, V.33. No.5. P.717-737.

76. Ghosh S., Liu Yu. Voronoi cell finite element model based on micropolar theory of thermoelasticity for heterogeneous materials. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1995. V.38. No.8. P.1361-1398.

77. Green A.E., Rivlin R.S. Simple force and stress multipoles. // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. V.16. No.5. R325-353.lk

78. Green A.E. Micro-materials and multipolar continuum mechanics. // Int. J. Engng. Sci. 1965. V.3. P.353-357.

79. Green A.E., Naghdi P.M., Wainwringt W.L. A general theory of a Cosserat surface. // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V.20. P.287-308.

80. Grioli G. Elasticita asimmetrica. // Ann. Math. Pur. Appl. Ser.IV. 1960.1. V.50. No.4. P.389-405.

81. Gunter W. Zur Statik und Kinematik das Cosseratschen Kontinuum // Abn. Abn. Braunschweig. Wiss. Ges., 1958. V.10. P. 195-213.И

82. Gunter W. Uber einige Randintegrale der Elastomechanik // Abn. Braunschweig. Wiss. Ges., 1962. V.14. P.53-72.

83. Hamilton W.R. Researches Respecting Quaterions, First Series // Trans. Roy. Irish Acad., 1848. V.21. P.199-296.

84. Hehl F. Space-time as a generalized Cosserat continuum. // Mechanics of

85. Generalized Continua, ed. E. Kroner, Springer Verlag. 1967. P.347-349.

86. Herrmann L.R. Mixed finite elements for coupled-stress analysis. 1981.

87. Hsu Y.C., Wang W.J. Couple-stress effects near an interior hole of an infinite elastic plane subjected to a concentrated force. // J. Franklin Inst. 1973. V.295. No.5. P.411-421.

88. Huang C.L. The energy function for crystal materials with couple stresses. // Int. J. Engng. Sci. 1969. V.7. P.1221-1229.

89. Kaliski S. On a model of the continuum with essentialy non-symmetric tensor of mechanical stress. // Arch. Mech. Stosow. 1963. V.15. P.33-45.

90. Koiter W.T. Couple-stress in the theory of elasticity // Proc. Koenicl. Acad. Wet. 1964. V.B67. No.17. Русск. перевод, в кн. "Механика", 1965, вып.З (91), С.89-112.

91. Koh Severino L. A special theory of microelasticity. // Int. J. Eng. Sci. 1970. V.8. No.7. P.583-593.

92. Kroener E. On the physical reality of torque stresses in continuum mechnics // Int. J. Eng. Sci. 1963. V.l. P.261.

93. M.A. Kulesh, V. P. Matveenko, I. N. Shardakov. Parametric analysis of analytical solutions to one- and two-dimensional problems in couple-stress theory of elasticity // Z. Angew. Math. Mech, 83(4), P.238-248, (2003).

94. Lakes R. Cosserat micromechanics of structured media experimental methods. // Third technical conference "Proceedings of the American society for composites". September 25-29, Seatle, Washington, 1988. P.505-516.

95. Nakamura S., Benedict R.L., Lakes, R.S. Finite element method for orthotropic micropolar elasticity. // International Journal of Engineering Science. 1984. No.22. P.319-330.

96. Nakamura S., Lakes R.S. Finite element analysis of stress concentration around a blunt crack in a Cosserat elastic solid. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1988. No.66. P.257-266.

97. Nakamura S., Lakes R. Finite element analysis of Saint Venant end effects in micropolar elastic solids. // Engineering Computations. 1995. No.12. P.571-587.

98. Le Roux. Etude geometrique de la torsion et de la flexion // Ann. Scient. de L'Ecole Normale Sup., Paris, 1911. V.28.

99. Manole D. Finite element for linear theory of micropolar elastisity. // Bui. Inst. Politehn. Iasi. Sec.l. 1997. V.43. No.1-2. P.87-93.

100. Marinescu С. О problema la limita deelasticitate asimetrica plana. // Bui. Univ. Brasov. 1972. V. C14. P.25-28.

101. Mindlin R.D. Influence of couple-stress on stress concentrations // Experimental Mechanics, 1963. V.3. No.l. P. 1-7. Русск. перевод, в кн. "Механика", 1964, вып.4 (86), С.115-128.

102. Mindlin R.D. Tierstin H.F. Effects of couple-stress in linear elasticity. // Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1962. V.ll. No.5. P.415-488. Русск. перевод, в кн. "Механика", 1964, вып.4 (86), С.80-114.

103. Mindlin R.D. Microstructure in Linear Elasticity. // Arch. Rational Mech. Anal. 1964. V.16. P.51-78.

104. R.D.Mindlin. Stress function for a cosserat continuum // Int. J. Engng. Sci. 1965. V. 1. P. 265-271.

105. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua. // Lecture at the 11-th International congress of Applied Mechanics. Munchen: Technical University of Munich, 1964.

106. Nowacki W. Couple-stresses in the theory of thermoelasticity // Bull. Acad. Pol on. Sci., ser. Sc. Techn. 1966. V.14. P.505-512.

107. Nowacki W. Theoria niesymetrycznej sprezystosci. Warszawa. PWN. 1981.

108. Noor A.K. Books and monographs on finite element technology. // Finite Elements in Analysis and Design. 1985. No.l. P.101-111.

109. Reissner E. On kinematics and statics in finite-strain force and moment stress elasticity. // Stud. Appl. Math. 1973. V.52. No.2. P.97-101.

110. Sandru N. On some problems of the linear theory of the asymmetric elasticity. Int. J. Engng. Sci. 1966. V.4. P.81-94.

111. Sawczuk A. On yielding of Cosserat continua. // Arch. Mech. 1967. V.19. P.471-480.

112. Schaefer H. Das Cosserat-Kontinuum. // ZAMM. 1967. V.47. No.8. P.485-498.

113. Schijve J. Note on couple stresses. // Journal of mechanics and physics of solids. 1966. No.14. P.113.

114. Toupin R.A. Elastic materials with couple-stress. // Arch. Rat. Mech. Anal. 1962. V.ll. No.5. R385-399.

115. Vergleich verschniedener Verfahren der dynamischen Empfindichkeits-analyse. / / Weiterbildungs Zentr. Festkor per mech. Konstr. und ration. Werkstoffeinsatz. / Tech. Univ., Dresden Veroff.. 1990. Teil3. No.2. P.199-205.

116. Voigt W. Theoretische Studien uber die Elastizitatsverhaltnisse der Krystalle // Abn. Ges. Wiss. Gotingen, 1887. V.34.