Влияние электромагнитных полей на несимметрию тензора напряжений в теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

I. ВВЕДЕНИЕ.

II. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ УПРУГОСТЬ.

Общие уравнения электромагнитной упругости.

Частный случай магнитной теории.

Дополнительные предположения.

III. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Зависимость напряжений от дисторсий.

Уравнения совместности тензора дисторсий.

Постановка краевых задач в перемещениях и напряжениях.

Корректность постановки задачи в напряжениях.

IV. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

V. ВАРИАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ.

Теорема о минимуме потенциальной энергии дисторсий.

Теорема о потенциальной энергии дисторсий.

VI. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ.

VII. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ В НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И АНАЛОГ ФУНКЦИИ ЭРИ.

Плоская деформация.

Функции напряжений.

VIII. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

IX. ЗАДАЧА О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ ДЛЯ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

В данной работе предложен вариант несимметричной теории упругости при наличии электромагнитных полей. Впервые вопрос о несимметрии тензора напряжений был рассмотрен Фойхтом в 1887 году [ 70]. Он ввел в рассмотрение не только объемные и поверхностные силы, но и моменты, и получил две группы уравнений равновесия сплошной среды. Эта идея получила свое развитие в теории Е. и Ф. Коссера в 1909 году [55]. Ими была предложена моментная теория упругости, согласно которой сплошная среда состоит не из точек, характеризующихся только вектором перемещения, а из элементарных зерен, характеризующихся вектором перемещения и вектором поворота. Соответственно в качестве реакции на поле векторов перемещений и поле поворотов рассматривались несимметричный тензор напряжений и тензор моментов. Немного позднее, в 1911 году, Леру [ 64] подошел к этой проблеме с другой стороны. Рассматривая свойства сплошной среды, он указал на необходимость учета производных более высокого порядка, чем градиент перемещений. Этот вопрос после развивался более подробно в последующих работах [ 61] и [68].

В середине нашего века теория Коссера получила новое развитие в связи с появлением работ по континуальной теории дислокаций Гюнтера [ 60] и Крёнера [ 63], по теории пластин и оболочек Эриксена и Трусдела [ 56], а также по классической теории поля Трусдела [ 69]. Кроме того теория Коссера развивалась в работах Аэро и Кувшинского [ 3],[ 4],[ 21], Пальмова [ 33],[ 34],[ 35], Савина [ 39],[ 40],[ 41], Эрингена [ 53], Григорьева [ 16], Горского 13],[ 15],[ 14], Гордона [ 10],[ 11],[ 12], Белосточного [ 7], Белоносова [ 6].

Также получила развитие теория псевдоконтинуума Коссера, в которой тензор моментов считается зависящим только от тензора вращений. Эта теория подробно рассматривалась в работах Миндлина [ 28], Муки [ 66], Савина [ 41], Стренберга [ 54], Новацкого [ 32].

Второй путь - учет более высоких производных и обобщение классической теории получил свое развитие в работах Гриоли [ 59], Коитера [ 62],[ 20] и Миндлина [ 65],[ 28].

В данной работе предложен вариант несимметричной линейной теории упругости, в которой несимметрия тензора напряжений обусловлена наличием электромагнитных полей. К настоящему моменту существует несколько теорий, учитывающих несимметрию тензора напряжений. Однако, эти теории, как теория континуума Коссера, так и теория псевдоконтинуума Коссера, для учета распределенных объемных моментов предусматривают введение дополнительного тензора реакции - тензора распределенных моментов. В данной работе для описания деформированного состояния тела используется тензор дисторсий, а для описания напряженного состояния - несимметричный тензор напряжений.

X. Основные результаты и выводы.

1. Показано, что при взаимодействии жестко магнитного материала или электрета с электрическим или магнитным полем, в материале возникают антисимметричные компоненты тензора напряжений. А в случае постоянных однородных полей компоненты антисимметричной составляющей тензора напряжений прямо пропорциональны компонентам тензора дисторсий.

2. Получены уравнения равновесия в перемещениях, подобные уравнениям Ламе.

3. Поставлена корректная задача в напряжениях, включающая в себя 9 уравнений в области второго порядка и 9 граничных условий при 9 неизвестных функциях.

4. Доказано, что для линейной несимметричной постановки выполняются основные теоремы: теорема единственности, теорема о минимуме потенциальной энергии дисторсий и теорема о потенциальной энергии дисторсий.

5. Указан экспериментальный метод нахождения констант, характеризующих механические свойства изотропного материала и трансверсально-изотропного материала в случае плоской деформации.

6. Показано, что главный момент поверхностных и объемных сил равен объемному интегралу от несимметричной части тензора напряжений.

7. В случае плоской деформации компоненты тензора напряжений представлены через две функции напряжений, удовлетворяющих уравнениям, подобным уравнениям Ламе. Также получено еще одно представление компонентов тензора напряжений через одну бигармоническую функцию.

8. Решена задаче о растяжении бесконечной пластины с отверстием в несимметричной линейной постановке. Показано, что при рассмотрении несимметричной части тензора напряжений коэффициент концентрации уменьшается. Этот результат качественно совпадает с результатами расчетов по моментным теориям. Л л* л€гбвв о^4 г оЛ и

0\

1. Акорян, Саркисян, Задачи моментных сред для анизотропных тонких цилиндрических оболочек.// Инж.-физ. проблемы новой техники. 12 всес. совещание-семинар, Москва, 1992.

2. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубенян М.В., Магнитоупругость тонких оболочек.//М. "Наука" 1977

3. Аэро Э. JL, Кувшинский Е. В., Основные уравнения теории упругих сред с вращательным взаимодействием частиц.// Физика твердого тела, т. 2, в. 7,1960.

4. Аэро Э.Л., Кувшинский Е. В., Континуальная теория ассимметрической упругости// ФТТ, т.6, в.9,1964.

5. БеловП.А., Лурье С.А. Модели деформирования твердых тел и их аналоги в теории поля.// Известия РАН. Механика твердого тела. N3,1998

6. Белоносов С.М. Моментная теория упругости//Дальнаука, 1993

7. Белосточный Г.Н., Гущин В.А., Рассудов В.М., Континуум Коссера в случае нагретых пластин со скачкообразно изменяющейся толщиной.// Механика деформируемых сред, 1993, N11.

8. Белубенян М.В., Галпчян П.В., Об особенности электроупругого поля в окрестностях угловой точки при антиплоской задаче.// Инж.-физ. проблемы новой техники. 12 всес. совещание-семинар, Москва, 1992.

9. Богородицкий Н.П. Электротехнические материалы. 1985

10. Гордон В.А. Некоторые задачи моментной теории упругости. //Тула, 1968

11. Гордон В.А., Толоконников Л.А. Уравнения равновесия моментной теории упругости.//Прикладная механика. т4, в1,1968.

12. Гордон В.А., Толоконников Л.А. О построении плоской моментной теории упругости. //Сб. "Исследования по теории пластин и оболочек". 6, из-во Казанского университета. 1968.

13. Горский Б.В. Некоторые задачи теории несимметричной упругости. //ЛПИ, 1972

14. Горский Б. В., Некоторые задачи теории несимметричной упругости.// Прикладная механика, вып.1, т. 4,1968.

15. Горский Б. В., Кручение и изгиб бруса с учетом моментных напряжений.// Труды ЛПИ N307,1969.

16. Григорьев Ю. М., Аналитическое решение некоторых основных задач классической и моментной теории упругости для прямоугольного параллепипеда.// Моделирование в механике, 1992,6,N4.

17. Ильюшин A.A. Несимметрия тензоров деформаций и напряжений в механике сплошной среды//Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996 N5 стр.6-14

18. Калашников С.Г. Электричество.

19. Козицын A.C., Определяющие соотношения несимметричной теории упругости и функция Эри// Деп. В ВИНИТИ 16.11.98 N3299-B98

20. Койтер B.T. Моментные напряжения в теории упругости. //Механика. Сб. переводов иностранных статей. N3(91), 1965.

21. Кувшинский Е. В., Аэро Э.Л., Континуальная теория несимметричной упругости// ФТТ, 5,1963.

22. Кудрявцев, Б.А., Партон В.З., Магнитотермоупругость.// Итоги науки и техники. Сер. Механика твердого деформируемого тела, T14, М, 1981.

23. Ландау Л.Д., Лившиц Е. М., Теоретическая физика. Электродинамика сплошной среды.// Москва. 1982. T.8.

24. Ляв А., Математическая теория упругости//Москва, 1935.

25. Малюгин Д.В., К теории магнитоупругого взаимодействия в магнитострикционных материалах.// Прикл. Мех. (Киев) 1992 т.28 N7

26. Малюгин Д.В., Бородин В.И., Термодинамическое описание магнитомеханического взаимодействия в ферромагнетиках при деформации кручения.//Физика металлов и металловедение. Свердловск. 1990. N7.

27. Миндлин Р. Д., Влияние моментных напряжений наконцентрацию напряжений// Механика, Мир, N4, 86,1964.

28. Миндлин Р. Д., Тирстен Г. Ф., Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости. // Сб. переводов "Механика", N4(86), 1964/

29. Миндлин Р. Д., Микроструктура в линейной упругости.// Механика, N4,1964

30. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. 1991

31. Морозов Н.Ф., Математические вопросы теории трещин.//М.,1984

32. Новацкий В. Теория упругости. //"Мир", 1975

33. Пальмов В. А., Основные уравнения теории несимметричной упругости.// ПММ, т.28, в.3,1964

34. Пальмов В. А., Плоская задача несимметричной теории упругости.// ПММ, т.26, в.6,1964

35. Пальмов В. А., Фундаментальные уравнения теории ассиметрической упругости. //ПММ, 28,1964.

36. Партон В.З., Перлин И.П. Методы математической теории упругости// Наука, 1981

37. Победря Б. Е. Задача в напряжениях. //Ташкент, 1988

38. Победря Б.Е., Определяющие соотношения связанных полей.// Известия РАН. Мех. тв. тела. 1992 N3

39. Савин Г. Н., Лекции по моментной теории упругости.// Киев.1966

40. Савин Г. Н., Основы плоской задачи моментной теории упругости.//Киев. 1965.

41. Савин Г. Н., Распределение напряжений около отверстий// "Наукова думка", Киев, 1968.

42. Саркисян С. О., Магнитоупругость электропроводящих анизотропных оболочек.// Технологические проблемы прочн. несущ, конструкций. Тр.1 Всес.Конф. 1991, т2, ч1, Запорожье.

43. Саркисян С. О., Общая двумерная теория магнитоупругости электропроводящих анизотропных оболочек.//Известия АН РА. Механика. 1992.

44. Смолин И. Ю. Об одной модели среды с некомпенсированными моментами. //Сиб. Шк.-сем. "Математические проблемы механики сплошной среды"// Новосибирск 1997

45. Стоян Ю.Г., Эльнин B.C., Тугаев A.C., Воробьева JI.H., Метод граничных интегральных уравнений в прикладных задачах механики связанных полей.// Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Сб. тр. Всес. Конф., Владивосток, 1990, ч.1.

46. Тареев Б. Н. Электротехнические материалы. 1969

47. Тареев Б. Н. Справочник по электротехническим материалам.//Ленинград. "Энергия" 1976

48. Трусделл К., Рациональная механика сплошной среды.// Механика, Мир, N4,1965.

49. Тупин Р.А., Теория упругости, учитывающая моментные напряжения.//Механика. М., 1965, N3.

50. Угодников А. Г., Об уравнениях моментной динамики твердого деформируемого тела.// Прикладные проблемы прочности и пластичности. 53,1995

51. Угодчиков А. Г., Моментная динамика линейно-упругого тела.// ДАН, 1995, т. 340, N1.

52. Штерцер А.В. О ротационных компонентах деформации при динамических нагружениях металлических тел.// Физика горения и взрывов. Т34, N2,1998

53. Эринген А. К., Теория микрополярной упругости.// Разрушение. Т.2. М. Мир, 1975.

54. Bogi D. В., Sternberg Е., The effect of couple-stress on the corner singularity due to an ansymetric shear loading// Int. J. Solids Structures, 4, N2, 1968.

55. Cosserat E. Cosserat F. Theorie des corps deformables.//Paris.l909.

56. Ericksen JL , Truesdell C. Exact theory of stress and strain in rods and shells.// Arch. Ration. Mech. And Analysis, vl, 1958.

57. Eringen A. C., Suhubi E. S., Nonlinear theory of micro-elastic solids, part 1, 2, Int. J. Eng. Sci., 2,1966

58. Grioli G., Elasticita asimetrica// Ann. Di Math. Рига ed appl., ser.4, 50,1960.

59. Grioli G. Mathematical theory of elastic equilibrium (recent results).// Berlin. Springer. 1962.

60. Gunther W. Zun Statik und Kinematic des Cosseratschen Kontinuums.// Abhundle. Braunschw. Wiss. Ges., B.d.10,1958.

61. Jaramillo T.J. A generalization of the energy function of elasticity theory.// Diss. Univ. Chicago. 1929

62. Koiter WT Couple Stresses in the theory of elasticity. - Proc. Konkl. nederl. Akad. wetensch., v. B67, N1,1964.95

63. Kroner E. Kontinuums theorie der Verstzungen und Eigenspannungen.// Ergebn. Angew. Math., H.5, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1958.

64. Le Roux. Etude geometrique dela torsion et delta flexion.// Ann. L'Ecole Norm, supper, Paris, 28,1911.

65. Mindlin RD. Tiersten H.F. Effects of couple stress in linear elasticity.// Arch. Ration Mech. And Analysis, v. 11, N5,1962.

66. Muki R., Sternberg E., The Influence of Couple-Stress on Singular Stress Concentrations in Elastic Solids// ZAMP, 16, N5,1965.

67. Svedsen B., Objective frame derivatives for the hyperstress and couple stress// Arch. Mech. 1994-46 N5

68. Tiffen R., Stevenson A.C. Elastic isotropy with body force and couple.//Quart. J. Mech. And Appl. Math., v.9,1956.

69. Truesdell C., Toupin R. The classical field theories.//Encyclopedia of Physies vIII/11960.

70. Voight W. Theoretische Studien under die// Elasticitatserhaltnisse der Kristalle.//Abhandl. Ges. Wiss. Gottingen, 8d. 34,1887.