Математическое моделирование очагового механизма пластичности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В.ЛОМОНОСОВ А

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Молодцов Игорь Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОЧАГОВОГО МЕХАНИЗМА ПЛАСТИЧНОСТИ

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Москва—2003

Работа выполнена на кафедре теории упругости мехами ко-математнческого факультета Московского государственно го университета им. М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты' доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

П.В.ТРУСОВ А.А.МАРКИН Д 5. ГЕОРГИЕВСКИЙ

Ведущая организация:

Институт машиноведения РАН

Защита состоится 17 октября 2003 г. в 16 час, ка заседании диссертационного совета Д 501.001.91 Московского государственного университета им. М.ВЛомоносова по адоесу: 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 17 сентября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного советаД501.001.91 вМГУ, доктор физико-математических наук,

профессор С. В.ШЕ ШЕНИН

МЯ9

¿ЭЭ^ЖЬ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность исследования. В теории механики деформируемых юл вопросы введения уравнений состояния с целью описания териомеханических свойств тел и сред являются важным и наиболее сложным этапом адекватного отражения в математической модели физических свойств реальных объектов. Открытие в последние годы и теоретико -экспериментальное изучение сложных процессов экстремального деформирования твердых тел. подобных сверх - и электро - пластичности, эффекту памяти формы и других, а также использование их в современных технологиях ставит задачу создания математических моделей процессов и явлений, отражающих упругие и пластические (термодинамически обратимые и необратимые) свойства тел при больших деформациях, структурных преобразованиях, накоплении повреждений и т.п. в сложных условиях физико - механических воздействий. Разработка подобной теории представляет существенный интерес для развития нелинейной механики сплошных сред, т.к. несмотря на большое количество работ, выполненных в этом направлении, некоторые принципиальные вопросы к настоящему времени остаются открытыми Это, например, создание физической модели, имеющей в своей основе механизмы, вызывающие наблюдаемые в экспериментах и сопровождающие процесс формоизменения материала эффекты (ступенчатая диаграмма состояния, акустическая эмиссия и др.), отражение на уровне кинематики свойств физической модели в рамках математической модели обратимых и необратимых деформаций и введение (или нахождение) непротиворечивых и термодинамически обоснованных уравнений состояния. Реализация такого подхода к построению физической модели может привести к математическим моделям, более адекватно отображающим физическую суть процессов или явлений и. следовательно, более точно описывающим поведение тел и конструкции в реальных условиях воздействий, подобных сложным условиям, реал изукэтц имея в современных промышленных технологиях Это особенно важно, т.к. в экспериментах и технологиях известен ряд эффектов, не имеющих обоснованного механико - физического толкования и поэтому неучтенных (или недостаточно учтенных) в математических моделях.

Поэтому вопросы развития общей теории механики деформируемою тела, построения математически у моделей, имеющих конкретные физические источники и адекватно отражающих по веде

ций в реальных условиях, изучение свойств таких моделей и рамок их использования делают исследование по данным вопросам актуальным Цель работы. Целью настоящей работы является, установление общих для широкого класса материалов закономерностей деформирования при больших V пру го «ласти чес к их деформациях позволяющих объяснить известные и наблюдаемые в экспериментах и технологиях эффекты;

разработка математической модели необратимого деформирования материалов при больших упру гоп ласти чес к их деформациях, имеющей в основе физическую модель - очаговый механизм пластичности:

определение из основного термодинамического тождества сопряженных пар термодинамических переменных и соответствующих этим парам типов временных вариаций переменных;

построение вариационных функциональных уравнений, связывающих сопряженные термодинамические переменные;

решение функциональных уравнений и получение явных зависимостей между напряжениями и деформациями для широкого класса процессов деформаций, удобных для реализации теоретико - экспериментальной процедуры динамической калибровки уравнений состояния;

классификация определяющих соотношений, описывающих термомеханические свойства материалов, по типам их функционалов состояния;

разработка замкнутых термомеханических моделей, пригодных для описания структурных изменений в материалах при больших деформациях, с получением результатов в виде формул, удобных для использования в вычислительных алгоритмах.

Научная новизна работы. С целью построения классов определяющих соотношений, физически более адекватно описывающих поведение тел и конструкций под действием нагрузок, в рабше предложена и изучена математическая модель очагового механизма динамической пластичности, в рамках которой:

Проведено математическое моделирование одномерных деформаций материала со ступенчатой диаграммой состояния.

Построена теоретико - экспериментальная процедура определения параметров в уравнениях состояния материала (динамическая калибровка) по результатам измерений акустических сигналов на его поверхности Найдены новые классы точных решений в нелинейном волновом континууме Орована. пригодные для динамической калибровки уравнений со-

стояния математического описания физической модели очагового механизма пластичности и описывающие ступенчатую диаграмму состояния материалов при конечных деформациях.

Разработана новая математическая модель необратимого деформирования материалов при больших упругопластических деформациях.

Построена кинематика деформаций материала с у пру го пластическим поведением, сопровождающимся структурными изменениями Первая фаза структурных изменений заканчивается образованием некоторого термодинамически неустойчивого состояния, во второй фазе - фазе необратимых деформаций происходит образование очагов пластических деформаций (локализованных зон необратимости), накопление и слияние очагов Из основного термодинамическою тождества определены сопряженные пары термодинамических переменных и соответствующие этим парам типы временных вариаций переменных. В рамках математической модели построены основы кинематики и термомеханики процессов, сопровождающихся изменением структуры материалов при деформировании.

Предложена методика изучения классов эквивалентных по скорости совершения работы процессов деформаций и нагру-жений.

Введено понятие эквивалентных по скорости совершения работы процессов. Построены и проинтегрированы в квадратурах по траекториям процесса функциональные уравнения состояния процессов деформаций и нагружений, эквивалентных по работе основному процессу. Такой подход уменьшает число неизвестных функционалов, частично определяет их структуру, а при задании изоморфизмов пространств напряжений и деформаций во многом определяет вид функционалов состояния процессов деформаций сколь угодно сложной геометрии, и в качестве базовых предполагает использование экспериментальных измерений следов запаздывания свойств в зависимости от основных геометрических характеристик траектории (длины дуги, кривизн).

Предложен способ классификации определяющих соотношений, описывающих термомеханические свойства материалов, по типам их функционалов состояния.

Разработана классификация моделей, описываемых явными зависимостями тензоров напряжений от деформаций с аналитическими функ-

ци опалам и состояния Функционалы предс1авлсны разложениями в ряды по интегралам возрастающей кратности по пространству - времени. Классификация локальных и нелокальных теорий проведена по типу сингулярных функций в соответствующих представлениях ядер Исследованы классы локальных и нелокальных уравнений состояния в вариациях и способы их интегрирования.

Обоснованность и достоверность напученных результатов обеспечивается строгостью использованных подходов и методов, применением фундаментальных принципов нелинейной механики и термодинамики деформируемых тел. сравнением с результатами других авторов, совпадением аналогичных результатов, полученных разными методами, сравнением теоретических результатов с экспериментальными.

Практическая ценность работы и перспективность использования ее результатов состоят в предоставлении новых возможностей описания свойств материалов при больших деформациях, особенно при экстремальных течениях процессов, таких как сверхпластическое поведение и электропластичность, память формы, накопление повреждений, состояние предразрушения и разрушения. Новые уравнения состояния в вариациях являются эффективным инструментом изучения сложных (по геометрическим свойствам) процессов упрутопластического поведения твердых тел. Явные формулы связи между параметрами состояния, содержащие интегралы, взятые по траекториям процессов, удобны при решении задачи идентификации определяющих операторов и функционалов Основные результаты приводятся в виде соотношений, допускающих удобную процедуру приближенного вычисления при создании вычислительных алгоритмов. Описание в рамках предложенной математической модели известных из экспериментов эффекта "акустического затишья", предшествующего разрушению материала, эффектов, сопровождающих нагружение тел высокочастотными поверхностными силами. эффекта прерывистости диаграммы состояния позволяет использовать модель как основу в приборах неразрушаю ще го контроля прочности конструкций при интенсивных динамических воздействиях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

V Всесоюзная конференция по механике полимерных и композитных материалов. Рига, октябрь 1983 г.

Ломоносовские чтения МГУ. Москва. 1998 г. 1999 г.. 2000 г, 2001 г.

2002 г, 2003 г

Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел посвященный девяностолетию со дня рождения А А Ильюшина. Москва 22-23 января 2001 г

Совместный научный семинар МГУ и ТулГУ по проблемам механики деформируемых тел Тула, июнь 2001 г.

Научно - исследовател ьский семинар кафедры теории упругости МГУ под руководством члена - корреспондента РАН А.А.Ильюшина 1990 г . 1995 г.

Научно - исследовательский семинар имени А.А.Ильюшина кафедры теории упругости МГУ под руководством профессора И.А.Кийко 2000 г.

2001 г.

Научно - исследовательский семинар по проблемам механики деформируемых тел, МГУ, Берлинский ТУ, Инсгитут Вейерштрасса (Берлин). Берлин, 30 ноября 2001 г.

5 международный конгресс по математическому моделированию. Дубна, 30.09-6.10 2002 г.

Всероссийская конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики". ТулГУ. Тула, 20-22 ноября 2002 г.

Научно - исследовательский семинар по математическому моделированию систем и процессов под руководством профессора П.В.Трусова, Пермский государственный технический университет. Пермь, 6 декабря

2002 г.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 14 работах автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения, библиографии и Приложений Основное содержание и библиография включают 260 страниц Работа содержит список литературы 307 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во Введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, дан краткий анализ современного состояния исследуемых проблем, перечислены положения диссертации, обладающие научной новизной и практической ценностью, сформулированы основные научные положения, которые представляются к защите

В создан км основ и теоретическом обосновании современной т^ори:; определяющих соотношений механики деформируемых тел. в трактовке

и новых взглядах на сг постулаты и фундаментальные понятия в разработке принципов теории и практики эксперимента основополагающая роль принадлежит фундаментальным работам А А Ильюшина (1948.1954, 1963) и его работам последних лет где заложены основ г,г современного подхода к построению уравнений (ххтоянин материалов при малых и конечных деформациях сформулированы принципы детерминизма и причинности, локальности и независимости от системы отсчета

Дальнейшее развитие теории, включающее изучение и решение принципиальных вопросов представления механических характеристик при больших деформациях сделано У.Ноллом (1958, 1967, 1972) Р Хиллом Р. Огденом. Е. Ли, К. Трусделлом. Л.И. Седовым, А И. Лурье, В. Пра-гером, А Грином, П. Нахди. Б. Колманом, Б.Е. Победрей, П.В. Трусо-вым, ЕИ. Шемякиным, П.М. Огибаловым, И.А. Кийко, Л.В. Никитиным, Л А. Толокон ни ков ы м. А.А Маркиным, РА. Васиным и другими. Именно благодаря этим исследованиям теория определяющих соотношений к сегодняшнему дню преобрела очертания в целом законченной математической теории. Однако, требования новых технологий ставят новые задачи и вызывают новые проблемы корректного термодинамического описания новых эффектов, явлений. Отсюда - незатухающий интерес к проблемам выбора сопряженных термодинамических координат, построению возможных форм связи между кинематическими и динамическими переменными и следующие за этим новые постановки классических и новых задач. Решение этого вопроса - ключевого для механики деформируемых тел - во многом определяет практическую значимость любых теоретических построений и область применения теорий, лежащих в их основе. Такие вопросы в последние годы в разных аспектах рассматривались в работах Т.Лемапиа, В.В.Новожилова, К.Ф.Черных, Б.Е.Победри. Л.А.Толоконникова, П.В. Трусова, А.А.Маркина и многих других авторов.

Глава 2 посвящена описанию и математическому моделированию очагового механизма пластичности в наиболее простом одномерном случае Однако, все результаты этого раздела используются в последующих разделах для введения понятия очага пластической деформации (ОПД) в общем случае.

В первом параграфе для одномерных деформаций введены основные кичематнчрекио поля для эйлеропа и лагранжева способов описаний, выписаны системы основных уравнений, произведено разделение дефор-

маций на обратимую и необратимую части, обсужден вопрос о сопряженных парах термодинамических переменных и их соответствии при разных способах описаний. Во втором параграфе упоминаются первые экспериментальные наблюдения эффекта прерывистости диаграммы состояния при конечных деформациях, описанные Дюло 8 1813 году, а впоследствии регистрируемого многими учеными Саваром (1837г.). Массовом (1841г), Мак-Рей нольд сом (1949г), Дж Беллом (1973г.) и др. на кинематических а затем на динамических испытательных машинах. Момент появления очередной ступеньки на диаграмме состояния сопровождается треском. Отсюда родилась физическая концепция очагового механизма пластичности, согласно которой необратимое деформирование материала сопровождается возникновением и движением отдельных син-гулярностей - очагов пластической деформации, внезапно рождающихся в случайных центрах эмиссии в случайные моменты времени. Моделирование такого процесса начато (Огибалов П.М., Тамбовцев Е.П., Молодцов И.Н., 1985) с исследования континуума Орована, описываемого при малых деформациях и скоростях системой уравнений:

где приняты обычные в МДТТ обозначения величин. Кроме классического решения а = аг, v = vi(x), е = ei(i) системы уравнений, на котором основана практика ускоренного испытания материалов на основе температурно - временной аналогии (ТВА), в определенном интервале температур найдены новые классы возмущенных решений â, v, i с масштабами эффектов £, V, Е, не следующим закономерностям, обычным для ТВА, например:

и другие Полученная множественность процессов в континууме приводит к необходимости определения характеристик процессов (одного из многих допустимых), реализующихся в конкретных экспериментах. Поэтому далее следует переход к теоретике - экспериментальной процедуре динамической калибровки уравнений состояния. В основе ее незамкнутая система дифференциальных уравнений одномерных деформаций (с неполностью заданным определяющим соотношением), приводящаяся к волновому уравнению с источником очагового типа (разделенные между

a = <?i + £<г, v = v\ + Vv, f = е\ + Её, â = In

2(t-h) (x - ¿i)2

собой очаги, моделируемые сингулярное™ми)

1 д2а д% _ д'2а с2dt2 +Р ЭР ~ Эх2'

^М = £ e°{í _ tk)S{x _ Xk) + £ - tk)S'(x - xk) + - - ■.

01 к к Принимается, что na ранних стадиях пластичности очаги пластической деформации (ОПД) возникают на фоне упругих деформаций основной части материала, а диссипативные процессы, происходящие в них, характеризуются неизвестными (калибруемыми) точками пространства Галилея {ar*,íjt},A: — 1,2, ••• и функциями времени ejj(f),e*(i) • • •. Анализ даламберовых решений уравнения

<7 = Ох +<J2 + • ■ •, 0-1 = A\{t-xfc)${x) + Ai(t + xfc)9{-x), a-i = A-¿(t - х/с)в(х) - A2(t + х/сЩ-х), ■ ■ -

на границе области (на концах отрезка) позволяет определить место и время рождения ОПД и неизвестную (калибруемую) скорость диссипации энергии в ОПД

4(* ~ = --м* - «*). - '*) = -м* - ■ ■ ■

у рс р

и, тем самым, доопределить уравнение состояния. В этом смысл динамической калибровки - процедуры прямого включения экспериментальной информации в теорию механики деформируемого твердого тела (МДТТ).

Третий параграф содержит статистическое обоснование теории динамической пластичности, строящейся на основе континуума Орована Показано, как очаговый механизм необратимого деформирования приводит к волновому континууму Орована, в основе которого - квазилинейное волновое уравнение вида:

д „ , д2а

с f{a) =5 ехр(<т) при а > 0, /(<?) = —ехр(—о) при а < 0 или f{a) = 2Sh((x). Замена независимых переменных (х, t) на z = -Jt — х + \/t + х, г -- \¡t — х — + х приводит к уравнению

&о ¿д , , гд

d?+2d¡eXPÍa)==W + m€XPÍ^

допускающему точные решения в виде г— и z—волн. зависящих только от одной из независимых переменных-

Такие решения пригодны для математического моделирования одномерных ОПД - точек разрыва производных скорости и смещения (в ОПД обычные условия согласования полей скорости и перемещения не выполнены) приводят к ступенчатой диаграмме состояния. Изучены групповые свойства решений волнового континуума Орована.

Четвертый параграф содержит анализ условий появления ОПД Показано, что переходы с постоянного решения волнового континуума Орована на частные решения в виде и г— волн сопровождаются разрывами ускорения. Найдена дополнительная сила инерции (сила трения) в ОПД:

определены дополнительные поля скорости и деформаций, показано, что раскрытие ОПД (появление ступенчатого решения в виде г— или z— волны на плоскости <т ~ z) соответствует образованию сглаженной ступеньки на диаграмме состояния. Таким образом, очаговый механизм пластичности естественным образом согласуется с теорией ТВА в одномерном континууме Орована. Модель континуума Орована описывает образование термодинамически неустойчивого состояния очагового вакуума, соответствующего постоянным решениям <7 = const в уравнении волнового континуума Орована, его распад и заселение очагами пластической деформации (образование г— и z— волн в случайных точках пространства Галилея), а также процесс взаимодействия и слияния ОПД, т.е конденсации особенностей в регулярную составляющую поля скорости пластической деформации дэp/dt — э°ехр{ (-ycr$ — Q)/kT} ~ э° (<т6— предел текучести). Линеаризованное уравнение континуума Орована в области высоких частот имеет решения с характерной длиной затухания волны Л = с/С1. экспоненциально зависящей от напряжений:

Поэтому с ростом напряжений пробег волн до затухания уменьшается и деформирование при больших напряжениях перед разрушением гштро-

а

= ln\ — \. А[а.С): А + 2ln А = сг - ехр(<?) + С.

пождиется интенсивным само поглощением энергии, излучаемой ОПД на высоких частотах Высокочастотные волны переносят энергию от очагов пластической деформации в пространстве, которое представляет собой среду с сильным поглощением высокочастотных волн Известный в экспериментах эффею акустического зат ншья перед разрушением материала свидетельствует что именно из-за резкого уменьшения длины А энергия внутри частицы масштаба Л не покидает ее. а поглощается в ней и разрушает материал Масштаб Л связан с характерными размерами нелокальных взаимодействий в материале Изучена модель с определяющими уравнениями:

+ 00

= + + J exp(-\\x-x'\)^(x',t)dx'.

-00

Установлено, что введение малой и слабой нелокальное™ вносит существенные изменения в свойства модели Появление в процессе конденсации особенностей регулярной составляющей скорости пластической деформации изменяет мощность ОПД Процедура динамической калибровки уравнения состояния в этом случае сведена к задаче деконволюции

В пятом параграфе изучаются вопросы математического моделирования одномерных деформаций со структурными изменениями в материале, что является характерным в очаговой модели пластичности. Принята аддитивная схема разделения логарифмических деформаций на составные части I ^с ^г* "Ь "Ь lps с выделением структурных деформаций 1еа и 1рц и их конденсации в регулярные компоненты 1е и 1р. Введено понятие структурной энтропии, характеризующей компенсированную увеличением внутренней энергии часть работы внутренних сил на структурных деформациях: TdSstr — о(dlu + dipt).

Глава 3 посвящена изучению с точки зрения очагового механизма пластичности основных постулатов классической механики. Одномерный ОПД характеризуется в модели только энергией, что было принято в статистической теории очагов и нашло отражение в виде уравнения состояния континуума Оровапа {или волнового континуума) В трехмерном случае возможностей больше Здесь естественно моделировать отдельный ОПД как малый объем, в котором происходит диссипация механической энергии, приписывая ему. кроме энергии также импульс и момент, что приводит к несогла со ванн ости кинематических полей необратим остям и их накоплению. Эти вопросы нуждаются в изучении е точки

зрения классической МДТТ,

В первом параграфе представлены все основные постулаты классической МДТТ. сформулированные в эйлеровом (пространственном) описании в виде интегральных законов баланса и их дифференциальные следствия в виде уравнений неразрывности, движения, моментов, внутренней энергии. Отмечено, что в локальную формулировку основной системы (не замкнутой уравнениями состояния) дифференциальных уравнений МДТТ тензор напряжений Коти входит в виде дивергенции и поэтому может быть доопределен слагаемыми, имеющими нулевую дивергенцию (дивергентными) Для математического моделирования заранее неизвестного процесса сложного контактного взаимодействия частиц в материале используется подход, при котором фиксируется вариационное уравнение Лагранжа, а плотность лагранжиана изменяется, путем добавления в уравнение обобщенных сил, в свою очередь, добавляющих к напряжениям члены с нулевой дивергенцией. Этим осуществляется переход к обобщенному тензору напряжений, в то время как внутренняя энергия остается зависящей от деформаций и состояние в материале описывается симметричным тензором напряжений. За счет введения в тензор напряжений этих слагаемых изменяется характер внутренних силовых взаимодействий в материале. Ненулевой главный момент системы сил, с которой выделенный элемент сплошной среды взаимодействует со своим окружением, в очаговой модели уравновешивается (по А,А.Ильюшину) неизвестным объемным дисторсийным моментом, отражающим сложный характер внутренних контактных взаимодействий в материале. Изучены дивергентные слагаемые, зависящие от градиентов перемещений. Линейные дивергентные слагаемые имеют вид: щ = дщ - дьщбц. При математическом моделировании пространственных ОПД в классический постулат баланса моментов по А.А.Илыошину вводится дисторсийный момент. При уравновешенной по моментам системе внешних нагрузок в теле допускается уравновешенный в объеме тела дисторсийный момент, равный несимметрии тензора обобщенных напряжений. Это позволяет моделировать с помощью несимметричного тензора напряжений сложный моментиый характер внутреннего взаимодействия отдельных частей тела друг с другом и использовать "дивергентную неоднозначность "при определении структуры возможных (непротиворечивых) уравнений связи термодинамических параметров в несимметричной теории.

Во втором параграфе подробно рассмотрены пространственный и ма-

териальный способы описания движений Подробно изучено полярное разложение градиента деформации Впервые по. н'чены прямые и обратные явные формулы выражающие аддитивные теторы деформаций (правые и левые) и поворотов (е и Г?) через тензоры малых деформаций и поворотов (э и и) В приближении произвольных деформаций, но малых поворотов предложены удобные для программ и ровани я представления в виде рядов. В пространственном описании:

е = э - ^(эи> - ш) - - шэ2) - + э2ип - эиа2 - шг) - • ■ •,

2 4 о

2 4 о

Доказано, что ш 0 Л -)■ 0. Полученные формулы исполь-

зуются при нахождении дисторсийного момента из дифференциального следствия постулата моментов Выписаны представления ядер групп ин-финитезимальных преобразований Галилея - Эйлера

К = - дрчк)дхг -

и Галилея Лагранжа. Здесь д, обозначает производную по пространственным переменным. Из условий интегрируемости этих преобразований получены условия согласованности полей скорости и перемещений:

|<?у = - дтик).

Отмечено, что граница области применимости (в классическом смысле) лагранжева способа описания является также границей, где нарушается интегрируемость инфипитезимальных преобразований, проявляющаяся появлением несовместности в виде несогласованных в классическом смысле основных кинематических полей:

(дги3)' = дгьк{5к} - дки}) - ьк{дЛ - дкдг)иу

Это обстоятельство затрудняет использование материального способа описания для математического моделирования очагового механизма пластичности. Изучены вопросы ковариантности основных уравнений МДТТ.

Третий параграф посвящчн использованию кинематической процедуры Чечаро при моделировании необрат и мостей в очаговой модели динамической пластичности Показано, что кинематическая процедура Чей-

ро не только являеюя способом вывода поворотов из состава существенных термодинамических переменных fio также представляет собой кинематическую процедуру накопления неппратимогтей мачерирл " забывает "о вой силовые гостояния но по Чезаро "запоминает"деформационные

хЦМ, t) = xt(M) + 4Р)Ш + ^(Мо)(:гЧМ) - Х>(Мо)) +

я

+1{э£> + {х3(М) - 2?}{д,$ - dktf})dxl.

В очаговой модели введено понятие актуальной разгруженной конфигурации. Из условий однозначности определения перемещений по полю тензора деформаций получены "статические"уравнения совместности деформаций

{Rkijp + дкСрр - dpCfyt}xt = Ckjp — CPjk, CPj, - dpojji - дгэ]р + д}$р,,

Rbjp = дкд,э]р + dpdpid + dkdp3i} - dpd¡b}¡. - дкд3ъp, - Эрд^р,

Эти уравнения отличаются от классических уравнений тем, что они получены при более слабых условиях гладкости поля перемещений (что вызвано очаговым характером деформаций в изучаемой модели) для нахождения границ классической совместности и возможных форм появления кинематической несовместности. Эти уравнения названы "статическими ", поскольку время входит в них только как параметр. Выписана полная система уравнений транспорта состояний, содержащая определение поля скорости, классические (по форме) условия согласования полей скорости и деформаций и пару тождеств Чезаро. Сформулирован принцип соответствия классике в МДТТ (вариант метода малого параметра ¿i, ассоциированного с "малостью"поля поворотов), учитывающей повороты среди существенных термодинамических параметров:

Э = Э(0) + /»(]) + • ■ •, э° = э°0) + + ■ ■ ■, W = + - - •, = w(u0) + /ш^и + - ■ •, А / j \ (0)

Согласно этому принципу, решение задачи в классической постановке берется в качестве начального приближения, по нему вычисляются повороты. используемые в уравнениях транспорта и в уравнениях состояния (неклассических) первого приближения и т.д. Главное назначение прин- '

ципа в том, чтобы установить соответствие всех математических моделей МДТТ классической модели с симметричным тензором напряжений Ко-ши.

В четвертом параграф« изучается специфика использования в очаговой модели динамической пластичности уравнения сохранения массы в переменных Эйлера. Из классических условий согласования полей скорости и перемещений получена формула для дивергенции скорости, с помощью которой уравнение неразрывности приведено к виду:

м

проинтегрировано вдоль линий тока, являющихся координатными линиями сопутствующей системы координат, получено уравнение сохранения массы в переменных Лагранжа и его классический интеграл. В согласии с кинематической процедурой Чезаро введена и вычислена плотность в разгруженной конфигурации.

При моделировании ОПД кроме статических несовместностей также возможными являются несовместности динамические, происходящие из рассогласованности полей перемещений и скоростей. В пятом параграфе получены два разных типа уравнений динамической совместности. При получении уравнений первого типа в предположениях недостаточной гладкости основных кинематических полей решалась задача нахождения уравнений, описывающих эволюцию во времени (перенос уравнениями движения) совместного или несовместного текущего состояния сплошной среды. Получено эволюционное уравнение для тензора совместности скоростей деформаций, имеющее форму Коши и правую часть - обобщенные силы (по Лагранжу) - определяющую структуру возмож- л

ных динамических и кинематических источников несовместности:

Щы. = (дрЭк - дкдр)й,]3, £>ф = дгэ}г ~ &3эа + д^Ну

Здесь С— обозначает теюор Чезаро. тензор совместности, построенные по скоростям деформаций. Вторые уравнения динамической песов-

местности построены в тех же предположениях, что и первые. но в качестве уравнений переноса состояний с текущего момента времени на последующие были взяты уравнения согласования полей скорости и перемещения Получены уравнения вида-

= К" + Ф{С, Я, Е, С. Я"}.

Изучена структура пространственных ОПД. имеющих вид произвольно ориентированных "плоских"вихревых прожилок.

Условия появления подобных решений динамических уравнений совместности промоделированы в шестом параграфе одномерной моделью с нелокальным уравнением состояния вида:

(д 92 о9* Л г , г

Показано, что наличие нелокальное™ (возможный ее тип установлен) является достаточным условием появления в линеаризованной системе уравнений локализованных по координатам и периодических во времени решений, возникающих при потере устойчивости решения системы, характеризующего ее основное состояние Такие решения в пространственном случае соответствуют вихревым движениям.

Глава 4 посвящена выбору термодинамически сопряженных переменных состояния в очаговой модели динамической пластичности со структурными изменениями материала, установлению связей между переменными и введению классификации локальных и нелокальных уравнений состояния.

В первом параграфе введены понятия логарифмической деформации (не тождественной логарифмической деформации Генки) и логарифмической дисторсии:

. . 1 1 2 1 3

1 = 1пТ^п = ° + + +'''• ° = ди-

С целью контроля сначала логарифмическая деформация введена как термодинамическая координата, паркая симметричной части тензора истинных напряжений Копж (термодинамическая сила при прос транственном описании) в нулевом приближении принципа соответствия а затем

- в общем случае В нулевом приближении*

э° - + 0(э'э - ээ') = I',

поскольку тензор э'э — ээ' линейно зависит от w, и:" и w' и следовательно. равен нулю. Произведено сравнение введенной меры с тензорами малых и конечных деформаций Коши и построена рекуррен'1 ная процедура вычисления (по Гамильтону - Кэли) логарифмических деформаций через линейный тензор деформаций, приводящая к трехчленной формуле Для несимметричного тензора напряжений парной координатой является тензор логарифмической дисторсии, входящий в выражение элементарной работы внутренних сил в виде специальной коротационной производной по времени, процедура вычисления которой определена явными формулами через известные тензорные поля:

SA = (ст : 9v) St = <т : SlL ее <т : {V + XlL - hXL) 5t,

Показано, что с точностью до квадратичных членов по вращениям (w) симметричной частью логарифмической дисторсии является тензор лога-рифмичажих деформаций: I = Ь^+0(ш2). Произведен анализ симметричной и косой части тензора - градиента скорости с целью нахождения типов коротационных производных, входящих в каждую из частей:

= I'+ Х,(э,э')1 - 1Х((э,в'),

= (У + - = " ¿T)/2-

Вычисления приводят к неоднородным матричным уравнениям АХ — ХА — В, разрешимым при произвольных правых часгах В и невырожденных матрицах А, поскольку

X = ВА 1 + ABA'2 + А2ВА 3 + ■■■

является частным решением уравнения.

Второй параграф посвящен представлениям уравнений состояния очаговой модели динамической пластичности. Рассмотрение тензоров вращений в числе термодинамических переменных модели приводит к необходимости изучения в том числе нелокальных уравнений состояния, исследования возможных форм вхождения в них симметричных и несимметричных тензоров. По аналогии с нелинейным законом Гука fe логарифмическими деформациями) построены соотношения

нелинейного континуума, обобщающего волновой ко г пи ну ум Орова-на. Для представления аналитической функциональной зависимости между тензорами использованы разложения их в ряд Фрешо по интегралам возрастающей кратности,

&{К) = <7о(ЛГ) + А(К)ё(К) + 11d(H)i(B)A0(H: К) +

+ ^ f d(Ii)f(H) f d(l)e(l)Ai(H; 1; ЛГ) н----.

(К) = (th, xKt. г = 1,2,3). Представления ядер сингулярными разложениями

А{Н\ 1; ...',1; К) =

- £ - £ ••ЛГГиТ'^0^ ну-5{т,)^н) *>

й Ы !mil!-M!

по системе смешанных моментов

o!mi, ^{Н; K) = j... JА(Н; и + & ; н+й; *)

позволили провести классификацию явных форм локальных и нелокальных определяющих соотношений. Отдельно изучены интегральные соотношения с ядрами, которые являются или могут быть аппроксимированы функциями Грина некоторых дифференциальных операторов. В этом случае наряду с интегральной существуют дифференциальные (интегрируемые) формы представления уравнений состояния.

Исследованы четырехчленные уравнения состояния, энергетически (по работе) эквивалентные некоторому основному процессу Sä = PSэ. В случае нагружен ия:

Эти и подобные им соотношения, описывающие процесс деформаций, обобщают трехчленную формулу А.А.Ильюшина. Если все функционалы заданы на траекториях процессов то уравнения интегрируются вдоль траекторий. Получены явные формы определяющих соотношений вида:

э = Р'Ъ - IQW5 Q ,

гг IT

содержащие интегралы по траекториям процессов

Изучены два класса нзоморфи ша пространств напряжений и деформаций Уравнения состояния, полученные для первого класса:

- (I - ПэФ}5э+

+Пэ({(пэ,5э) - {(^,¿3) - (пст,пэ)(пэ,<5э)}т^),

содержат функционал Ф = 1 — определяются двумя функцио-

налами состояния Р и Пэ и содержат теории малых упругопластических деформаций, различные теории течения с кинематическим и изотропным упрочнением. Исследованы решения функциональных уравнений для трехмерных траекторий деформации

п, = ¡Зхщ + + А = (пе,п,).

Получена система двух уравнений, определяющих ориентацию вектора напряжений относительно репера Френе {л,}. Уравнения состояния второго класса имеют вид:

¿5= = (Р - Ф(Г + РПЭ)) 5э + Т(П„, <5э){п0 - пэ(п0, пэ)}+

+РПэ({(пэ.^) - {(^,¿5) -

содержат три функционала Р, Т, Пэ- Для плоских траекторий деформации отсюда следует уравнение для угла сближения направляющих векторов напряжений и траектории деформаций:

№ / , , Г / . я&

т- + + — — I 8%пВ---созВ

Ьв а йз <7 1 ов

созвучное с известным для траекторий деформации средней кривизны. Изучены процессы деформаций, в каждой точке которых вектор приращения деформации ортогонален вектору деформации.

Произведено обобщение результатов па конечные деформации. В качестве меры деформаций, сопряженной классическому тензору напряжений Коши, взят тензор логарифмической деформации, а в качестве ее временной вариации - соответствующий тип коротационной вариации

Для физически более адекватного отображения диссипативпых процессов при необратимых деформациях в уравнения состояния вводятся

диссипативные напряжения Р Рассмотрены локальные функциональные уравнения вида'

№ = + ^ э£

и нелокальные -

ЩК) = I ¿(Я) {¿(Я: ВДЯ) - В{Н, К) (^(^(Я))э(Я) |+бТ(К),

Уравнения проинтегрированы по траекториям процессов Получены явные зависимости диссипативпых напряжений от напряжений и деформаций.

В третьем параграфе изучена кинематика деформирования материалов, допускающих обратимые и необратимые изменения своей структуры (очаговому механизму пластичности свойственен именно такой характер деформирования). Для этого выписаны и изучены условия согласования основных кинематических полей при ослабленных условиях их гладкости:

дь = -(Л-1)'^ + {удА-1 - д(А~1)ту}А.

Показано, что :

{удА"1 ~ д{А~1)ть}ц = ук{дгдк - дкд,)щ =

= ук{(д,мкз - диэ1} + д]экг) - {дкшгз - д,эк} + д,ы)},

те. нарушение классической согласованности полей скорости и перемещений происходит по причине рассогласованности полей поворотов и деформаций (невыполнение для них тождеств Чезаро). С целью изучения термомеханики структурных преобразований произведено пробное мультипликативное разделение классического аффинора деформаций А на части: А = АрЛ^. При этом в выражении градиента, скорости оказа лись выделенными два возможных источника появления несовместного с полем скорости поля перемещений' первое - имеет причиной несовместность упругого поля перемещений.

{уд^А^-дЛА^У-ьу-Ае,

второе - пластического

л;1. {(у ■ Д^НИ;1) " дМ'Р1)т ■ (*> • аР •

Индекс х у оператора дифференцирования по пространственной переменной означает, что производная вычисляется в актуальной конфигурации тела. у~ в некоторой неизвестной разгруженной конфигурации Таким образом, градиент скорости представляется суммой четырех слагаемых. два из которых обычны, а два связаны с несовместности ми обратимого и необратимого аффиноров Это обстоятельство является основанием для более полного математического моделирования кинематики необратимых процессов, сопровождающихся структурными изменениями в материале. В очаговой модели пластичности принято, что полный аффинор деформаций Л представляется в виде суперпозиции двух отображений Ар и Д,. Аффинор пластической деформации Ар и аффинор упругой деформации А, найдены как приближения Ар и Ае градиентами неизвестных полей перемещений, определенных в конфигурациях {|/} и {х}. Показано, что в евклидовой норме минимизируют невязку между тензорами и их градиентными приближениями вектор-функции, являкнциеся решениями краевых задач для уравнений Гельмгольца:

А2Дйе = \2Лйр — йр = —1/р, \2&2ие - Дйе = Л'уД», \2А2ир — Дыр — <ИъАр,

содержащих масштабный параметр А. Таким образом, получается разделение полного аффинора деформаций на части. А ~ АрА^ = АрАр„Ае1>Ае, Арз = Ар гАр, А^ = А^Ае'.

Определены парные термодинамические координаты для несимметричной части тензора напряжений и типы вариаций, с которыми эти координаты входят в основное термодинамическое тождество. В случае малых поворотов и больших деформациях е показано, что тензор скоростей вращений представляется коротационной производной по времши от аддитивного тензора вращений П :

Термодинамической переменной, парной симметричной части тензора напряжений Коиги а3, является логарифмическая деформация, входящая в термодинамическое тождество с коротационной производной. В случае больших деформаций в качестве уравнений состояния процессов, эквивалентных по работе основному процессу 5<у„ = Р8{1, рассмотрены четырехчленные уравнения в вариациях-

=ад+б («I - т^ + ¿с (/ - .

Эти уравнения также приводятся к уравнениям основного процесса и при заданных фукционалах интегрируются вдоль траектории деформаций.

Аналогичные результаты получены для разных уровней мультипликативного разделения полного аффинора на части. При А = АрЛ? имеем:

ду = -<А_1)'А - Л_1{Л_1)ЧА

Использование полярного разложения упругого аффинора Ае - и симметричного тензора напряжений, соосного с тензором чистой упругой деформации Хе, представляет обратимую и необратимую составляющие работы внутренних сил в виде:

¿П>с — <7 : ёе1е, §е1е = {-(А^АеУеутЗ*,

§У)р = <г : 0% = а : 5Р1Р.

Построены и исследованы четырехчленные вариационные функциональные уравнения:

+В (у, _ + (/р -

Для математического описания прогресса накопления повреждений в очаговой модели динамической пластичности с работой внутренних сил, представляемой в виде суммы

5ги = 5ше Ч- бы^ + 6и>р + ¿и>9р,

введено понятие структурной энтропии, определяющей предельную скорость поглощения тепла в виде энергии "обратимых"структурных преобразований в материале. Наряду с классическим, используется второе неравенство Планка-

которые определяют не компенсированные теплоты и &01)г Считаем. что ¿Ц, = 5юР) SD.tr = т ■ &рзЬрв, 6Qi.tr = -d.lv и ¿<3,, =

—div qSt, Поскольку необра!им ые деформации приводят к сильным изменениям структуры материала, рассматривается модель среды с памятью о необратимых структурных деформаций, в которой внутренняя энергия и зависит от обратимых деформаций, необратимых структурных деформаций и энтропии Производимая системой энтропия при г и мается в виде S = Sq + Sstr -

dsr = + = J^'^ht + i :

dslmi) - ds^ + dsii;:'\

г- тензор напряжений, связанный с тензором Коши соотношением: т = а - Su/5psLps- Последнее соотношение по Онзагеру определяет сопряженные термодинамические силы и потоки и связывает их уравнениями состояния. Подобный подход приводит к теории, моделирующей процессы деформирования материалов, сопровождающиеся изменением их внутренней структуры и, возможно, пригодной для описания эффекта памяти формы, явления сверхпластичности и пластичности при больших деформациях.

В Приложениях даны некоторые пояснения к основному тексту, приведены графики расчетов, а также, с целью калибровки основной системы уравнений очаговой модели, рассмотрены постановка в рамках линейной теории очагов обратимых деформаций и решение задачи кручения сплошного кругового цилиндра. На примере задачи о растяжении упругой плоскости с трещиной дан алгоритм определения масштабного параметра в очаговой модели. Целью такого рассмотрения являегся определение (с использование дивергентной неоднозначности) сложного характера внутренних взаимодействий в областях иерегулярностей напряжений в виде углов, трещин и т.п., использование при решении задач принципа соответствия, а самих точных решений при изучении вопросов идентификации дополнительных констант модели.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Из анализа ступенчатого характера диаграммы состояния и эфк|>ек-та акустической эмиссии установлено, что общим для широкого класса материалов может быть очаговый механизм деформирования не только при больших упругопластических деформациях, но и на начальных стадиях деформирования, что позволяет объяснить известные и наблюдаемые ¡s же пер и ментах и технологиях эффект памяти формы, состояние

сверхпластичности, пластических деформаций со структурными изменениями

2. Разработаны математические модели необратимого деформирования материалов при больших упругопластнческих деформациях, имеющих в основе очаговый механизм пластичности Предложены способы исследования моделей аттестованные на ряде конкретных задач (одномерных. плоских, осесимметричных).

3. Из основного термодинамического тождества Определены пары сопряженных термодинамических переменных и соответствующие этим парам типы вариаций переменных, использующиеся при термодинамическом подходе к построению уравнений состояния моделей.

4. Введены энергетически эквивалентные классы процессов и предложен термодинамический подход к построению вариационных функциональных уравнений теории.

5. Предложен метод решения функциональных уравнений, использующий в разных вариантах процедуру перенормировки пространств основных параметров состояния. Получены явные решения функциональных уравнений для некоторых классов процессов, являющиеся основой теоретико - экспериментальной процедуры динамической калибровки уравнений состояния. Изучен класс изоморфизмов пространств напряжений и деформаций, описываемый четырехчленными функциональными уравнениями в вариациях. В частных случаях траекторий деформации решения уравнений совпадают с известными. Найдены представления материальных функционалов для траекторий деформаций малой и средней кривизны.

6. Проведена классификация определяющих соотношений, описывающих термомеханические свойства материалов, по типу их функционалов состояния.

7. Разработаны основы термомеханики процессов, сопровождающихся структурными изменениями в материалах при больших упругопластических деформациях В рамках очаговой модели даны замкнутые постановки задач.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1 Огибалов П.М., Тамбовцев Е.П , Молодцов И.Н. Нелокальная теория структурированных композитных материалов Механика композит материалов 1984 еЗ. С.408-416

2. Огибалов П.М Тамбов не в Е П Молодцов И П. Неустойчивость континуума Ороваиа Механика композит, материалов. 1985 е1. С 7-11

3 Огибалов П М Тамбовпев Е П , Молодцов И Н Динамическая калибровка л и ген падин в композит н[,IX нелокальных средах Механика композит ма]ериалов 1985 е2. С.217-224

4 Огибалов П М Тамбовцев Е П Молодцов И Н Очаги пластической деформации основной объект механики реальных тел. Механика композит материалов 1988 е1 О 137-143

5. Молодцов И Н Нелинейная теория очагов пластической деформации Проблемы машиностроения и автоматизации. 1992 еб, С 66-68

6 Молодцов И Н Математическое моделирование в механике сплош ных сред М ;Изд-во МЭИ. 1994 130с

7 Молодцов И Н Теория очагов пластической деформации. Вестник МЭИ. 1994 е4. С,49-56

8. Молодцов И Н Об очаговом механизме динамической пластичности. Вестник МЭИ. 1996 е4 С 89-95

9. Молодцов И Н. Вариант линейной несимметричной теории упругости Вестник МЭИ. 1998 е4 С 66-71

10. Молодцов И.Н Очаговый механизм пластичности и динамическая калибровка уравнений состояния. Известия ТулГУ Сер Математика. Механика. Информатика 2000 Т. 6 Вып. 2 С 116-119

11. Молодцов И.Н Вопросы математико-компьютерного моделирования в теории пластичности. В кн.: Интеллектуальные системы. М. 2000 Т5 Вып. 1-4 С. 97-110

12 Молодцов И.Н Об уравнениях связи между напряжениями и деформациями в теории пластичности. В кн : Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та. 2001 С. 339-340

13. Молодцов И.Н Термодинамически согласованные переменные в теории пластичности и функциональные уравнения связи между ними Тезисы доклада на У1СММ. 30.09-6.10 2002, Дубна 2001 С.230

14. Молодцов И Н. Математическое моделирование структурных из менсний, происходящих в материалах при больших деформациях Тезисы доклада, на Всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики информатики. 20-22 11 2002 Тула 2002 С 133-135

Подписано в печать Формагг 60x109/16. Печать офсетная. Объем 1.5 пл. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ООО «Инсайд Полиграфик»

119192, Москва, Мичуринский пр., 1.

РНБ Русский фонд

2006-4 37519

f

!

2 5 СЕН 2Ш

1 Введение.

1.1 Основные обозначения.

2 Очаговый механизм пластичности.

2.1 Одномерные деформации.

2.2 Очаги пластической деформации.

2.3 Волновой континуум Орована.

2.4 Активизация очагов пластической деформации.

2.5 Одномерное моделирование структурных преобразований.

3 Основные постулаты МДТТ и их следствия

3.1 Основные постулаты МДТТ и их следствия.

3.2 Кинематика трехмерных движений.

3.3 Уравнения транспорта. Принцип соответствия.

3.4 Уравнение сохранения массы при разных формах описания движения.

3.5 Динамические уравнения совместности. Вихревые ре

4 шения уравнений совместности.

3.6 Трехмерные очаги пластической деформации.

4 Моделирование очагового механизма пластичности

4.1 Теория деформаций.

4.2 Уравнения состояния.

4.3 Основы термомеханики модели.

способность сопротивляться деформированию. Динамические свойства материала характеризуются тензором сг, который входит в уравнения движения. Сопряженной термодинамической координатой для напряжений по размерности должны быть некоторые деформации. С точки зрения механики любые меры равноправны, поэтому термодинамика должна определить решение вопроса о выборе меры.

Вводим систему отсчета (СО) в неподвижном пространстве наблюдателя. Движение деформируемого тела изучается в СО при помощи сравнения конфигураций, занимаемых телом в произвольный момент времени I и начальный момент ¿о- Начальная конфигурация тела Уо составлена физическими частицами - точками, определяющимися в СО векторами 5;о в момент начала движения. Соответственно, конфигурация тела V - образована векторами 3:(£), характеризующими положения частиц тела в произвольный момент времени. Известны два подхода к постановке задач в механике - подход Эйлера, использующий неподвижную систему координат наблюдателя для установления соответствия между точками пространства наблюдателя (евклидово пространство) и точками арифметического пространства координат и подход Лагранжа, использующий материальные системы координат (связанные с деформируемым телом). Процессы необратимых деформаций тела, сопровождающиеся изменением его структуры и нарушением сплошности, могут затруднить использование лагран-жева подхода. Поэтому известная в механике эквивалентность двух точек зрения (подходов) имеет понятные ограниченные рамки действия. С другой стороны, именно лагранжева (а не эйлерова) система координат имеет явно выраженное физическое преимущество: в этой системе координат кристаллическая решетка неподвижна и поэтому только в этой системе координат возможно корректно ввести и измерить скорость звука, теплоемкость и другие физические характеристики вещества.

Перемещения.

В одномерном случае связь лагранжевых координат (гго,<о)> помечающих каждую физическую частицу тела в некоторой отсчетной (начальной) конфигурации и эйлеровых координат (а;(£),£) следует из формул: х(£) = х0 + и(я(£), £), х(Ь) = х0 + «о(яо> ¿о), ¿о = (2.1.1) определяющих перемещения по Эйлеру и Лагранжу. Индекс 0 в обозначении времени ¿о введен только для удобства и не связан с временем начала движения. Из (2.1.1) следует связь между функциями и0(*о,*о) = (2-1.2)

Поскольку аргументы функций различны, то для сравнения функций приведем их на основании (2.1.1) к одним аргументам. Тогда получим два эквивалентных равенства: к) = + щ(хо, ¿о), ¿о), ио(я(0 ~ 0» 0 = О

Отсюда следует связь между функциями и эквивалентность двух подходов к описанию процессов в деформируемых средах для гладких движений, когда лаграижевы координаты каждой физической частицы сплошной среды сохраняются все время движения. Поскольку в очаговой модели динамической пластичности свойство гладкости нарушено, то при математическом моделировании процессов, сопровождающихся структурными преобразованиями, удобней использовать пространственное описание, включая в модель дополнительные возможности для рассмотрения разрывных движений. Применение лагражевых координат, при непрерывных движениях - обычно, но при возникновении разрывов в среде собственные координаты физических частиц изменяются.

Скорости.

По Эйлеру скорость введена неявно соотношением . с1хи) (I , , ч х ди ди из которого в одномерном случае получается явное выражение

По Лагранжу имеем: с1х д д£0 дщ(хо^о) / .ч

Ж ~ щ{хо> к))Ж = т0 = щ{х°'1о)'

Поэтому один и тот же "вектор" скорости физической частицы получает в двух системах координат соответствующие представления, связанные соотношением: ио(х0,*о) =Ф(0,0- (2.1.4)

Деформации.

Обозначим ди(х,1)/дх = э(х, ¿), дщ(хо, Ьо)/дхо = эо(:го>*о)> не наделяя функции э(я,£),эо(£о»£о) каким-либо физическим смыслом. Из анализа выражения элементарной работы сил внутренних напряжений 5А = ст (ду/дх) сИ в МДТТ определяют сопряженную (по работе) с напряжениями термодинамическую координату. Из выражения (2.1.3) для градиента скорости получается следующее условие динамической совместности эйлеровых кинематических полей V и э: ду д (ди/дЛ 1 д 1 дэ ди дх~ дх\1-э) ~ 1-эд£Э+ (1 -э)2дх дЬ ~~

I (1э д 1 ¿1

1 — э (1 £ (И 1 — э сИ' Отсюда следует, что наиболее удобной (в эйлеровом смысле) формой записи условий совместности кинематических полей является соотношение: ду 6,1 (о 1 т

Ш = л* (2Л'5) связывающее градиент скорости с эйлеровой производной по времени от логарифмических деформаций. Добавляя к этому уравнению также уравнения движения и неразрывности

V дет в, , (р\ ¿1 йV да в. , / р \ сИ „ . /л „ получаем основную систему уравнений одномерной задачи в виде (2.1.5), (2.1.6). Естественно замыкать систему соотношениями связи (уравнениями состояния) между сопряженными термодинамическими переменными (а ~ /).

Логарифмическая деформация I : , 1 1 2 1 3

I = 1п--= э + -э2 + -э3 + •.

1 э а о при бесконечно малых деформациях совпадает с э , а при конечных деформациях отличается от деформаций Коши е = э+э2/2— на члены порядка 0(э3).

Преобразование логарифмических деформаций к лагранжевым координатам.

Определим закон преобразования к лагранжевым координатам деформаций э. Из (2.1.1) следует связь между дифференциалами эйлеровых и лагранжевых переменных: dxо = (1 - э)(1х - v(l - э)dt, dt0 = dt. (2.1.7) dx = (1 + эо)с£го + vodto, dt = dto. (2.1.8)

Поэтому из (2.1.2) находим соотношение между э и эо: du диодхо /, % , . 1 /01П\

Э = 7Ь = = Эо(1 - э)' 1 + эо = 7—' (2Л'9) их их о их 1 — э

Поэтому эйлеровы и лагранжевы логарифмические деформации связаны формулой: l(x, t) = In-J— = ln( 1 + э0) ее lofa, t0). (2.1.10)

1 — э

Система уравнений (2.1.5),(2.1.б) содержит полные производные по t и, следовательно, удовлетворяет принципу Галилея.

Тензоры напряжений.

Преобразуем уравнения (2.1.5),(2.1.6) к переменным Лагранжа с использованием формул (2.1.7), (2.1.2), (2.1.4), (2.1.9), (2.1.10): dv Ou ^ dv ôvq ôvq / г>о \ ^ Dvq 1 dvo dt dt Ox dto dxo V l + эо/ L'°d:rol + 3o dto ' dv dvo 1 dl dlo 1 ebo dx dx о 1 + эо ' dt dto 1 4- эо dto '

Поскольку преобразованное к переменным Лагранжа уравнение неразрывности интегрируется: ро{\ + эо) = роо(^о)> здесь роо{хо) - обозначает переменную плотность в отсчетной конфигурации, то для ковариантности уравнений (2.1.5),(2.1.6) при замене эйлеровых координат лагранжевыми достаточно выполнения одного из условий:

1 0о- 1 Остр 1 do 1 (2 111) р dx poo dx о ' р dx ро dx о '

В первом случае а и сг0 являются компонентами одного и того же тензора - тензора мгновенных истинных напряжений Коши - в разных системах координат. В лагранжевых координатах получается аналогичная (2.1.5),(2.1.6) система уравнений для лагранжевых функций pq,vq и т.д., определяющих состояние в актуальной конфигурации:

9и0 да0 дщ дэ0 , . \ Роо(^о) рмдГ0 = д1-0'дГ0 = дГ0' po{x°'to) ~ TW

Если в переменных Эйлера напряжения были функциями логарифмических деформаций, то и в лагранжевой постановке напряжения будут функциями эо и вид этой функции определяет соотношение (2.1.10): о = а(1) = a(ln( 1 + э0)) = <70(э0).

Во втором случае в эйлеровом и лагранжевом представлениях используются разные тензоры напряжений, связанные вторым условием ковариантности.

Ovo <9Е0 dvo дэ0 / . ч Poofao) р1)дГ0 = MX0l 0) ~ TTV

Зависимость напряжений от логарифмических деформаций а = а(1) в лагранжевом представлении приводится к зависимости тензора Ео(эо), следующей из второго условия ковариантности: I

2о(эо) = [ exp(-l) — dl. о dl

И в первом, и во втором случаях в лагранжевой постановке место больших логарифмических деформаций в эйлеровых координатах занимают малые деформации.

О существовании предельных деформаций.

Предположим, что в эйлеровой постановке уравнение состояния имеет вид: а — сг(1). Тогда первое условие ковариантности (2.1.11) приводит к равенствам:

1 да 1 da dl 2/П 1 рдх р dl дх ~ (1 + эо)2<9:го

1 daQ 1 da0dэ0 с§(э0) дэ0

Роодхо ро{1 + э0) с/э0 дх0 ~ (1 + э0) дх0 ' определяющим связь между скоростями звука в эйлеровых и лагранжевых координатах с2(/) = (1 + эо)с2(эо).

Аналогично из второго условия ковариантности (2.1.11) получаем соотношения:

1 да Ida dl 2/7ч 1 рдх р dl дх ~ (1 + Эо)2&го 1 öSo 1 dHо ¿bo 2/ ро дх0 ро 6?э0 дхо ~ 0 дх0 и их следствия в виде равенства, связывающего скорости звука во втором случае: с2(0 = (1 + эо)2с2о(эо).

Предположим, что в лагранжевых координатах связь между напряжениями и деформациями линейна: <то = i?cPo или £q = £Ьэо- Тогда в первом и втором случаях получаются нелинейные зависимости между напряжениями и малыми деформациями в координатах Эйлера: э/2 э.

1-э)2

Замечание.

Определение малых деформаций формулой э/э* = ди/дх приводит к следующим нелинейным зависямостям в эйлеровом представлении:

Отсюда следует существование предельных деформаций.

Термодинамические функции и координаты.

Подстановка элементарной работы сил внутренних напряжений

5А = аа1п-^—. (2.1.12)

1 — э и притока тепла 5(2, выраженного из второго закона термодинамики, в первый закон: йи = &А + 5(2 приводит к основному термодинамическому тождеству - совместному следствию законов термодинамики: du = adl + TdS

Отсюда видно, что сопряженной термодинамической координатой, парной для термодинамической силы а, является логарифмическая деформация.

Разделение деформаций на составные части.

Для малых деформаций при разделении деформаций на обратимую упругую эе и необратимую эр (пластическую) части используют аддитивную схему разделения [270, 255]: э = Эс + Эр.

При конечных деформаций принято представлять аффинор деформаций А в виде произведения аффиноров пластической и упругой деформации А = АРАС. Для обратных аффиноров отсюда следует, что Л-1 = А~х А~х. В одномерном случае, где А~1 = 1 — э, приходим к соотношению:

1-э) = (1-эе)(1-эр), из которого следует аддитивное представление логарифмических деформаций: / = /е + 1р.

Рассмотрим методику Онзагера [209] определения сопряженных термодинамических переменных из основного термодинамического тождества, записанного с учетом разделения деформаций на части: du = adle + TdSq + adlp — SD и второго закона термодинамики:

TdSq = SQ + 6D.

Определяем функцию диссипации механической энергии формулой SD = a d lp. Получим, что du = adle + TdSq, и = u(lR, Sq) (2.1.13) и функция состояния - внутренняя энергия и - зависит от параметров состояния: энтропии Sq и обратимой компоненты больших логарифмических деформаций /е. Такой путь определения (а не назначения) соответствующей напряжениям а{х, t) меры деформации представляется естественным. Задание внутренней энергии гг, как функции двух своих термодинамических переменных, позволяет определять из (2.1.13) зависимости напряжений и температуры от упругих логарифмических деформаций и энтропии.

Вводим обозначение j для потока тепла. Из второго закона термодинамики получим уравнение баланса энтропии: dSq 1 dj 1 dip ~dt ~ ~Tlte + Ta~dt'

Энтропию системы по Онзагеру разделяют на составные части -внешнюю и внутреннюю: dSc dSi д {i\ . . д . a dlT dSi д (j\ .д. йЬ йЬ дх \Т) и дхк ' ' Т йЬ'

Внешняя энтропия имеет дивергентную форму и входит через границу системы вместе с тепловым потоком: dSe д йdt дх

Скорость производства энтропии самой термодинамической системой: dSi . д 1 a dip ~dt T + T~dt' имеет вид работы термодинамических сил на термодинамических перемещениях и по Онзагеру устанавливает связи между термодинамическими силами и перемещениями одной тензорной размерности (теорема Кюри) [209]: dip , r , . dt. l = !r{*},j = gr{%} (2.1.14).

Таким образом, полная система уравнений задачи об одномерных деформациях будет состоять из семи уравнений dv да dp dv pTt=pF + d-x'Tt+(,Tx = *' dv dl , , dlv , , . , „„ч dx~dt' ~dt = (2.1.15) dT\ dS„ д dlp для семи неизвестных функций p,v,l,lpile,j,Sq при заданной функции состояния и = u(le, Sq) и вычисляемым по ней напряжениям а и температуре Т : tT = ©5,'r= О,;

5.1 Основные результаты и выводы.

1. Из анализа ступенчатого характера диаграммы состояния и регистрируемого в экспериментах эффекта акустической эмиссии, сопровождающего процессы необратимого деформирования, установлено, что общим для широкого класса материалов является очаговый механизм деформирования не только при больших упругоплас-тических деформациях, но и на начальных стадиях деформирования, что позволило в рамках предложенной очаговой модели динамической пластичности объяснить известные и наблюдаемые в экспериментах и широко используемые в технологиях эффекты, сопровождающиеся структурными изменениями в материале: эффект памяти формы, сверхпластичность и другие.

2. Разработаны математические модели необратимого деформирования материалов при больших упругопластических деформациях и структурных изменениях, имеющих в основе очаговый механизм пластичности. В основе модели лежат фундаментальные принципы МДТТ. При моделирование сложного характера контактных внутренних взаимодействий между частицами материала использовано, что деформирование происходит в условиях локального нарушения баланса моментов сил, с которыми части деформируемого тела взаимодействуют между собой. Поэтому даже при отсутствии внешних причин состояние среды описывается несимметричным тензором напряжений Коши, самоуравновешенным по моментам для тела в целом. В математической модели характер внутреннего взаимодействия не является детерминированным и определяется из решения начально-краевых задач. Для этих целей используется предложенный термодинамический подход, позволяющий без навязывания (при помощи постулирования определяющих соотношений) среде свойств, быть может в данных условиях нагружения ей не свойственных, определять уравнения состояния, согласованные с основными термодинамическими принципами.

3. Из основного термодинамического тождества (анализа элементарной работы внутренних сил) определены пары сопряженных термодинамических переменных и соответствующие этим парам типы временных вариаций переменных, использующиеся при термодинамическом подходе к построению уравнений состояния моделей.

4. Введены классы энергетически эквивалентных процессов и реализован термодинамический подход к построению вариационных функциональных уравнений теории. В нем содержится теоретико - экспериментальная процедура уточнения свойств среды. При реализации процедуры на первом шаге выбирается базовая модель с известным характером внутренних взаимодействий между частицами среды и пригодная для описания некоторого класса процессов, которая на втором шаге и последующих шагах усложняется введением согласованных с основными постулатами теории определенных дополнительных взаимодействий. В рамках каждой модели (второй и последующих) расширение классов процессов, которые описывает модель, осуществляется с использованием термодинамической неоднозначности выбора параметров состояния. Для идентификации материальных свойств среды на каждом шаге используется процедура динамической калибровки уравнений состояния по измерениям акустической эмиссии очагов пластической деформации (или другие средства измерений). Исчерпание возможностей описания математической моделью некоторого уровня (шага) служит основанием для перехода к следующему уровню описания.

5. При реализации указанной процедуры возникают вариационные функциональные уравнения, связывающие термодинамические переменные. Предложен новый способ получения функциональных уравнений, изучены методы их решения, найдены представления материальных функционалов для сложных классов процессов деформаций.

6. Проведена классификация определяющих соотношений, описываюших термомеханические свойства материалов, по типу их функционалов состояния.

7. Разработаны основы термомеханики процессов, сопровождающихся обратимыми и необратимыми структурными изменениями в материалах при больших упругопластических деформациях. Введена новая функция состояния - структурная энтропия, - с помощью ко-• торой построены согласованные с термодинамикой математические модели, возможно пригодные для описания эффектов памяти формы, сверхпластического поведения и других.

Развитие предложенных в работе подходов к определению свойств материалов и методов их экспериментальной поддержки приведет

- к созданию принципиально новых интеллектуальных информационно - диагностических систем управления рисками и обеспечения безопасности сложных технических систем;

- новым методам неразрушающего контроля прочности и определения риска эксплуатации опасных промышленных объектов и оборудования;

- разработке новых технологий обеспечения безопасности сложных технических систем;

- развитию новых связей науки с промышленностью, аэро - космическим и оборонным комплексами.

Заключение. Основные результаты и выводы. Библиография.

1. 1 Основные результаты и выводы.

2. Проведена классификация определяющих соотношений, описы- ваюших термомеханические свойства материалов, по типу их функционалов состояния.

3. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметричной упругости. Равновесие Изотропного тела. ФТТ б, 1964 9, 2689-2699

4. Бабамурадов К.Ш., Ильюшин А.А., Кабулов В.К. Метод СН- ЭВМ и его приложения к задачам теории пластичности. Ташкент: Фан, 1982. 286 с.

5. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

6. Белл Дж. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4 .1 . Малые деформации. М.: Наука, 1984. 600 с.

7. Белл Дж. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4.2. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с.

8. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности. ПММ. 1951. Т.15. Вьш.6. 765-770.

9. Бовенко В.Н. Связь автоакустической эмиссии с предразрушаю- щим состоянием кристалла. ДАН СССР. 1983 Т.271, 5. 1086-1090.

10. Бовенко В.Н. Синергические эффекты при пластической деформации и разрушении кристаллов. Изв. АН СССР. сер. физ. 1986 Т.50, 3. 509-512.

11. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. 517 с.

12. Бочвар А.А., Свидерская З.А. Явление сверхпластичности в сплавах цинк-алюминий. Изв. АН СССР. ОТН. 1945. 9. 821-824.

13. Бриджмен П. Физика высоких давлений. М.: ОНТИ, 1935.

14. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. Влияние высокого гидростатического давления на механические свойства материалов. М.: ИЛ, 1955. 444 с.

15. Бровко Г.Л. Основы теории определяющих соотношений с учетом внутренних кинематических связей и внутренних массовых сил. В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. 45-50.

16. Бровко Г.Л. Следствия постулата макроскопической определимости для различных мер деформаций и напряжений. В сб.: Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Калининск. ун-та, 1986. 96-102.

17. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пласти,чности при больших деформациях. В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. OS-SI.

18. Бровко Г.Л. Понятие образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях. Докл. АН СССР. 1989. Т.308. 3. 565-570.

19. Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. 31. 54-60.

20. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред. ПММ. 1990. Т.54. Вьш.5. C.814-S24.

21. Бровко Г.Л. Об одном семействе голоиомных тензорных мер деформаций и напряжений. Вести. Моск. ун-та.-Матем., механ. 1992. 4. 86-91.

22. Бровко Г.Л. Моделирование неоднородных сред сложной структуры и континуум Коссера. Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. 1996. 5.

23. Булатов СИ., Тихонов А.С, Дубровин А.К. Деформируемость структурно неоднородных сталей и сплавов. М.гМеталлургия, 1975. 185с.

24. Быков Д.Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах. В кн.: Упругость и неупругость. Вып.2. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1971. 114-128.

25. Вакуленко А.А. Некоторые применения теории тензорных функций при построении определяющих соотношений. В кн.: Ново-жиловский сборник.'СПб.: Судостроение, 1992. 41-48.

26. Ванин Г.А. Градиентная теория упругости. МТТ. 1999, 1, 46- 53.

27. Васин Р.А., Ильюшин А.А. Об одном представлении законов упругости и пластичности в плоских задачах. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983 4. 114-118.

28. Васин Р.А., Ленский B.C., Ленский Э.В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями. В кн.: Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир. 1975. 7-38.

29. Васин Р.А.,Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности. 4 .1 . Уфа: Гилем, 1998. 279с.

30. Веселовский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. Киев: Наукова думка, 1981. 21бс.

31. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1971. 512с. i ^

32. Вопросы теории пластичности. Сб. статей. Отв. ред. А.А.Ильюшин. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 92с.

33. Гофман О., Закс Г. Введение в теорию пластичности для инженеров. М.: ГНТИ, 1957. 279с.

34. Грабский М.В. Структурная сверхпластичность металлов. М.гМеталлургия, 1975. 270с.

35. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформащп! и нелиней- нал механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456с.

36. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.5. Электроупругость. Киев: Наукова думка, 1989. 276с.

37. Громов В.Г. Неустойчивость, бифуркации, катастрофы установившихся движений наследственно деформируемых тел. Авто-реф. дисс. ... докт. физ.-мат. наук. М., 1985. 38с.

38. Громов В.Г. Современное состояние и проблемы математической теории устойчивости в' механике упругих и наследственно упругих тел. В кн.: Устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Калининск. ун-та, 1986. 65-87.

39. Гроот ,Мазур П. Неравновеснал термодинамика. М.:Мир, 1964. 456с.

40. Гудьер Дж., Ходж Ф.Г. Упругость и пластичность. М.:ИЛ, 1960. 190с.

41. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка,1973.270с.

42. Гуревич Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М.- Л.: ГИТТЛ, 1948.408с.

43. Давыдов B.C. О пространственных формах потери устойчивости упругопластических стержней. Вести. Моск. ун-та. Матем., механ. 1978 3. 93-101.

44. Дао Зуй Бик. Исследование краевой задачи локальной теории упругопластических процессов. Автореф. дисс. ... докт. физ.-мат.наук. М., 1988. 1бс.

45. Дзугутов М.Я. Пластическая деформация высоколегированных сталей и сплавов. М.гМеталлургия, 1977. 480с.

46. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. 190с.

47. Егер Дж.К. Упругость, прочность и текучесть. М.: Машгиз, 1961. 172с.

48. Ермаков С В . Исследование постановки краевой задачи локальной теории упругопластических процессов. ПММ. 1992. Т. 56. Вьш.2. 321-330.

49. Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983. 300с.

50. Завойчинский Б.И. Долговечность магистральных и технологических трубопроводов. М.: Недра. 1992. 271с.

51. Зубко И.Ю., Келлер И.Э., Трусов П.В. Самоорганизация дислокаций как причина нестабильности при пластической деформации. В сб. Математическое моделирование систем и процессов. Пермь: Изд-во ПГТУ, 2002, 10, бЗ-74.

52. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и выпучивание упругопластических систем при сложном нагружении. В кн.: Устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Ка-лининск. ун-та,1986. 10-54.

53. Ильюшин А.А. Несимметрия тензоров деформаций и напряжений в механике сплошной среды. Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996 5. б-14.

54. Ильюшин А.А. Деформация вязко-пластического тела. Ученые записки МГУ. 1940. 3-81.

55. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластических деформаций. ПММ. 1943. Т.7. Вып.4. 245-272.

56. Ильюшин А.А. Связь между теорией Сен-Венана-Леви-Мизеса и теорией малых упругопластических деформашпт. ПММ. 1945. Т.9. Вып.З. 207-218. 5G. Ильюшин А.А. Пластичность. 4 .1 . Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 37бс.

57. Ильюшин А.А. О связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред. ПММ. 1954. Т. 18. Вып.б. 641-666.

58. Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории пластичности. Вестн. Моск. ун-та. Механ. 1961 3. 31-36.

59. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей мате.матической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271с.

60. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. унта, 1978. 287с.

61. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. унта, 1990. 310с.

62. Ильюшин А.А. Функционалы и меры необратимости на множествах процессов в механике сплошной среды (МСС). ДАН. 1994. Т.337. 1. 48-50.

63. Ильюшин А.А., Зубчанинов В.Г. Пластичность и устойчивость. В кн.: Механика деформируе.мого твердого тела. Тула: Изд-во Тульск. политехи, ин-та, 1983. 8-21.

64. Ильюшин А.А., Ильюшина Г.А. Вопросы термодинамики не- обрати.мых процессов. Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. 1983.

65. Ильюшин А.А., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 371с.

66. Ильюшин А.А.,Ленский B.C. О соотношениях и методах современной теории пластичности. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. 240-255.

67. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Мысль, 1970. 280с.

68. Ильюшин А.А., Поспелов И.И. О методе последовательных приближений в задаче неустановившейся ползучести. Инж. журн. МТТ. 1964. Т.4 4. 697-704.

69. Ильюшина Г.А. О некоторых следствиях постулата макроскопической определимости в механике сплошных сред. Вестн. Моск. ун-та. Метем.,механ. 1978. 1. 84-88.

70. Ильюшина Г.А. О решениях термодинамического уравнения для функционала реакции в пространстве непрерывно дифференцируемых процессов. Вестн. Моск. ун-та. Матем.,механ. 1996. 2. 75-79.

71. Ишлинский А.Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. М.: На- ^ ука, 1985. 624с.

72. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Книга 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. 360с.

73. Кадашевич Ю.И., Мосолов А.Б. Эндохронные теории пластичности: основные положения, перспективы развития. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1989. 1. 161-168.

74. Кайбышев О.А. Пластичность и сверхпластичность металлов. М.: Металлургия, 1975. 279с.

75. Келлер И.Э., Трусов П.В. Модель равновесной локализации деформаций. В сб.: Математическое моделирование систем и процессов. Пермь: Изд-во ПГТУ, 10, 2002. 75-87.

76. Кеппен И.В. Теория малых упругопластических деформаций в задачах устойчивости и переменного нагружения. В кн.: Упругость и неупругость. Вып.2. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. С82-91.

77. Кийко И.А. Теория пластического течения в тонком слое металла. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. б5с.

78. Кийко И.А. Теория пластического течения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 75с.

79. Кийко И.А. Теория пластического течения (в приложении к процессам обработки металлов давлением). В кн.: Вопросы прочности и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. С53-64.

80. Кишкин Б.П. Конструкционная прочность материалов. М.: Изд- во Моск. ун-та, 1976. 184с.

81. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Т.1. М.: ТОО Янус, 1995. б22с.

82. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. 207с.

83. Клюшников В.Д. Переоценка требований к критерию устойчивости в современной механике сплошных сред. В кн.: Устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Калининск. ун-та, 1986. 55-65.

84. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. 302с.

85. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1986. б88с.

86. Колтунов М.А., Кравчук А.С, Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983. 349с.

87. Кондауров В.И. Конечные деформации упруговязкопластичес- ких сред. Автореф. дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. М.: 1987. 44с.

88. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Распространение волн напряжений и некоторые дополнительные неравенства теории упруго-вязкопластических сред с конечными деформациями. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1985. 1. 1280133.

89. Копытов В.Д., Нетребко В.П., Шарафутдинов Г.З. Об основах поляризационно-оптического метода. В кн.: Упругость и неупругость. 4 .1 . М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. 34-45.

90. Корн Г.,Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:Наука, 1977. 832с.

91. Короткина М.Р. Физика твердого тела. 4 .1 . М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. 94с.

92. Короткина М.Р. Электромагнитоупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 302с.

93. Коротких Ю.Г. Исследование процессов вязкоупругопластичес- кого деформирования тел при силовых и тепловых воздействиях. Автореф. дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 1979, 44с.

94. Кукуджанов В.Н. К исследованию свойств уравнений динамики упругопластических сред при конечных деформациях. В кн.: Нелинейные волны деформаций. Таллин, 1977. 98-102.

95. Кукуджанов В.Н. Неустановившиеся задачи динамики упруго- пластических сред.' Автореф. дисс. ...д-ра физ.-мат.наук. М., 1981. 35с.

96. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела. В кн.: Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир, 1975. 39-84.

97. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука. 1975. 415с.

98. Курдюмов Г.В. О термоупругом равновесии при мартенситном превращении. ДАН СССР. 1949. Т.бб.

99. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М.-Л.: Гостсхиз- дат, 1947. 275с.

100. Левитас В.И. Определяющие соотношения для упругопластических материалов при конечных деформациях. Сообщ.1. Кинематика. Аналог теории упругопластических процессов А.А.Ильюшина. ВИНИТИ. Деп. 03.10.85 7018-В-85. 39с.

101. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова думка. 1987. 231с.

102. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Автореф. дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. М. 1988. 34с.

103. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.-Л.: ГИТТЛ, 1942. 304с.

104. Лейбензон Л.С. Элементы математической теории пластичности. М.-Л.: Гостехиздат, 1943. 112с.

105. Леманн Т. О теории больших неизотермических упругопласти- чсских и упруго-вязкопластических деформаций. В кн.: Проблемы теории пластичности. М.: Мир, 1976, 69-90.

106. Ленский B.C. Экспериментальнал проверка законов изотропии и запаздывания при сложном нагружении. Изв. АН СССР. ОТН. 1958 11. 15-23.

107. Ленский B.C. Влияние радиоактивного облучения на механические свойства твердых'тел. Инж. сб. I960. Т.28. 97-133.

108. Ленский B.C. Исследование пластичности металлов при сложном нагружении. Дисс. ... д-ра физ.-мат.наук. М.: 1961.

109. Ленский B.C. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности. Изв. АН СССР. ОТН. 1962. 5. 154-158.

110. Ленский B.C. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладном аспектах. В кн.: Упругость и неупругость. Вып.5. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 65-96.

111. Ленский B.C. Некоторые вопросы современной теории пластичности. Вести. Моск. ун-та, Матем., механ. 1991. 1. 6-12.

112. Ленский B.C. Физическая достоверность в современной теории пластичности. В кн.: Упругость и неупругость. 4 . 1 . М.: Изд-во Моск. ун-та,1993. 95-119. *

113. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. -Пб.: 1993. 471с.

114. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 139с.

115. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.367с.

116. Ломакин В.А,, Тунгускова З.Г. Некоторые задачи о деформации тел со случайными свойствами. В кн.: Упругость и неупругость. Вы.5. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 31-41.

117. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. 491с.

118. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940с.

119. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512с.

120. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935.674с.

121. Малый В.И. Разложение функционала напряжений по малому параметру. Вести. Моск. ун-та. Матем., механ. 1967. 2. 73-80.

122. Малый В.И. О нелокальной теории упругости. В сб.: Прочность и пластичность. М.:'Наука, 1971. 74-78.

123. Малый В.И. Исследование некоторых функционалов теории уп- ругопластических процессов. В кн.: Упругость и неупругость. Вып.5. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 107-116.

124. Маркин А.А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных упругопластических деформациях. Автореферат дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. М.: 1988. 38с.

125. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости. Тула: 2001. 70с.

126. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974. 318с.

127. Михлин Г. Основные уравнения математической теории пластичности. Л.: Изд-во АН СССР, 1934. 71с.

128. Мовчан А.А. Микромеханический подход к описанию деформации мартензитных превращений в сплавах с памятью формы. Изв. РАН. МТТ. 1995 1. 197-205.

129. Мовчан А.А. Некоторые положения мех11ники материалов, испытывающие термоупругие фазовые превращения. Механика композит, материалов и конструкций. 1999. Т.5 4. 87-108.

130. Можен Ж . Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир, 1991. 560с.

131. Молодцов И.Н. Нелинейная теория очагов пластической деформации. Проблемы машиностроения и автоматизации, 1992 б. 66-68

132. Молодцов И.Н. Теория очагов пластической деформации. Вестник МЭИ, 1994 4. 49-56

133. Молодцов И.Н. Об очаговом механизме динамической пластичности. Вестник МЭИ, 1996 4. 89-95

134. Молодцов И.Н. Вариант линейной несимметричной теории упругости. Вестник МЭИ, 1998 4. 66-71

135. Молодцов И.Н. Очаговый механизм пластичности и динамичес- кал калибровка уравнений состояния. Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика.'Информатика, 2000 Т. 6 Вып. 2 116-119

136. Молодцов И.Н. Вопросы математико-компьютерного моделирования в теории пластичности. В кн.: Интеллектуальные системы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000 Т.5 Вып. 1-4 97-110

137. Молодцов И.Н. Об уравнениях связи между напряжениями и деформациями в теории пластичности. В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001 339-340

138. Молодцов И.Н. Математическое моделирование структурных изменений, происходящих в материалах при больших деформациях. Тезисы доклада на Всерос. конф." Современные проблемы матем., механ., информат." Тула: Изд-во Тул. ГУ, 2002 133-

139. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.:ИЛ, 1958 Т.1 930с.

140. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.:ИЛ, 1960 Т.2 896с.

141. Москвитин В.В. Циклические нагружепия элементов конструкций. М.: Наука, 1981. 344с.

142. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жссткопластических сред. М.: Наука, 1981. 208с.

143. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.707с.

144. Надаи А. Пластичность. Механика пластического состояния вещества. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 280с.

145. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ИЛ, 1954. 648с.

146. Неджеску-Клежа Соотношения между тензорами напряжений и деформаций для двухзвенных процессов деформации. Вести. Моск. ун-та. Матем., механ. 1976. 4. 97-100.

147. Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Об осуществимости состояний материала, соответствующих "падающему" участку диаграммы. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. 2. 155-161.

148. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872с.

149. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.-М.: Гостехиздат, 1948. 211с.

150. Новожилов В.В., Толоконников Л.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости. Механика в СССР за 50 лет. 1968. Т.З. 71-78.

151. Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об "истинных" мерах напряжений и деформаций в нелинейной механике деформируемого тела. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. 5. с.73-80.

152. Огибалов П.М., Кийко И.А. Поведение вещества под давлением. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962. 153с.

153. Огибалов П.М., Кийко И.А. Очерки по механике высоких параметров. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1966. 270с.

154. Огибалов П.М., Кийко И.А. От упругости к неупругости. В кн.: Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Калининск. ун-та, 1986. 24-34.

155. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. 527с.

156. Огибалов П.М., Тамбовцев Е.П., Молодцов И.Н. Нелокальная теория структурированных композитных материалов. Механика композит, материалов. 1984 3. 408-416

157. Огибалов П.М., Тамбовцев Е.П., Молодцов И.Н. Неустойчивость континуума Орована. Механика композит, материалов. 1985 1. 7-11

158. Огибалов П.М., Тамбовцев Е.П., Молодцов И.Н. Динамическая калибровка диссипации в композитных нелокальных средах. Механика композит, материалов. 1985 2. 217-224

159. Огибалов П.М., Тамбовцев Е.П., Молодцов И.Н. Очаги пластической деформации - основной объект механики реальных тел. Механика композит, материалов. 1988 1. 137-143

160. Огибалов П.М., Тычкин А.А., Тамбовцев Е.П. Математическое моделирование стохастических процессов в континуумах механики реальных сред. Механика композит, материалов. 1989 б. 963-968

161. Олсйиик О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 312с.

162. Охаши И., Токуда М., Курита И., Сузуки Т. Некоторые экспериментальные данные об общем законе пластичности Ильюшина. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981. 6. 53-64.

163. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости. ПММ 28, 1964 3. 401-408.

164. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. М.: Наука, 1976.

165. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688с.

166. Ревуженко А.Ф. Горная порода - среда с внутренними источниками и стоками энергии. Сообщение 3.//Физ.-техн. проблемы разработки полезн. ископаемых.-1991, 5, 20-26.

167. Ревуженко А.Ф. Нелокальные меры конечных деформаций.//Прикл. мех. и техн. физика.- 1993, G, 98-105.

168. Ревуженко А.Ф. Функции со структурой - математические объекты для описания пластических деформаций в твердом теле.// Изв. вузов. Физика.-1995, 11, 70-85.

169. Ревуженко А.Ф. Механика упруго-пластических сред и нестн- дартный анализ. Новосибирск: Изд-во Новосиб.ун-та, 2000,426с.

170. Санчсс-Палеисия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472с.

171. Седов Л.И. О понятиях простого нагружения и возможных путях деформации. ПММ. 1959. Т.23. Вып.2. 400-402.

172. Седов Л.И. Понятие разных скоростей изменения тензоров. ПММ. 1960. Т.24. Вып.З. 393-398.

173. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.:Физматгиз, 1962. 284с.

174. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1972. 440.

175. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т.1.- 53бс. Т.2.-584С.

176. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1972. 735с.

177. Тихонов А.С. Эффект сверхпластичности металлов и сплавов. М.:Наука, 1978. 142с.

178. Толмачев В.В., Головин A.M., Потапов B.C. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: МГУ, 1988, 232с.

179. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. ПММ. 1956. Т.20. Вьш.З. 439-444.

180. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318с.

181. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях. В кн.: Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Калининск. ун-та, 1986. 49-57.

182. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Изменение упругих свойств в результате конечного пластического деформирования. В кн.: Проблемы нелинейной теории упругости. Калинин: Изд-во Калининск. политехи, ир-та, 1989.С.137-142.

183. Толоконников Л.А., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Свойства материалов при конечном пластическом деформировании. В сб.: Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. 4.2. Киев: 1984. 57-58.

184. Тормахов Н.Н. Закономерности упругопластического деформирования элемента тела по траекториям малой кривизны при больших деформациях. Автореф. дисс.... канд. техн. наук. Киев, 1988. 18с.

185. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: ИЛ, 1953.

186. Трефилов В.И., Мильман Ю.В., Фирстов А. Физические основы прочности тугоплавких металлов. Киев.: Наукова думка. 1975. 315с.

187. Треффц Е. Математическая теория упругости.^ М.-Л.: ОНТИ- ГТТИ, 1934. 172с. ц^

188. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.:Мир, 1975. 592с.

189. Трусов П.В. О построении образа процесса нагружепия при больших пластических деформациях. В сб.: Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. Тез. докл. 4.2. Киев, 1984. 59-60.

190. Трусов П.В. Обобщение теории упругопластических процессов на случай больших пластических деформаций. Автореф. дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. М.: 1986. 25с.

191. Феппль А., Феппль Л. Сила и деформация. Прикладная теория упругости. Т.1. М.: ГТТИ, 1933. 420с. Т.2. М.: ГТТИ, 1934. 408с.

192. Фрейденталь А.,Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: ГИФМЛ, 1962. 432с.

193. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиз- дат, 1956. 407с.

194. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.гНаука, 1988. 190с.

195. Черных К.Ф. Большие деформации и углы поворота в работах В.В.Новожилова, его учеников и последователей. В кн.: Проблемы нелинейной теории упругости. Калинин: Изд-во Калининск. политехи, ин-та, 1989. 4-20.

196. Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовяз- копластичности. Киев: Наукова думка, 1982. 240с.

197. Шемякин Е.И. Введение в теорию упругости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. 95с.

198. Эриксен Дж. Исследования по механике сплошных сред. М.: Мир, 1977. 246с.

199. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости. В кн: Разрушение. Т.2, 646-751.

200. Agah-Tehrani А., Lee Е.Н., Mallett R.L., Onat E.T. The Theory of elastic-plastic deformation at finite strain with induced anisotropy < ) modeledas combined isotropic-kinematic Hardening. Journ. Mech. Phys. Sol. 1987. V.35 No.5. p.519-539.

201. Artan R., Yclkenci T. Rectangular rigid stamp on a nonlocal elastic half-plane. Int. J. Solids Structures 1996. V.33 No.24 p.3577-3586.

202. Atluri S.N. On constitutive relations at finite strain: hypoelasticity and elastoplasticity with isotropic or kinematic hardening. Сотр. Mcth. Appl. Mech. and Eng. 1984. V.43. No2. p.137-171.

203. Bell J.F. A physical basis for continuum theories of finite strain plasticity. Part.l. Arch. Rat. Mech. and Anal. 1980. V.70. No4. p.319-338.

204. Bell J.F. A physical basis for continuum theories of finite strain plasticity. Part.2. Arch. Rat. Mech. and Anal. 1981. V.75. No2. p.103-126.

205. Bell J.F. Finite plastic strain in annealed mild steel during proportional and nonproportional loading. Int. Journ. Sol. and Struct. 1983. V.19. Nolo, p.857-872. .

206. Bell J.F. Contemporary perspectives in finite strain plasticity. Int. Journ. Blast. 1985. V.l. Nol. p.3-27.

207. Casey J., Naghdi P.M. A remark on the definition of hardening, softening and perfectly plastic behavior. Acta Mech. 1983. V.48. p.91-94.

208. Colleman B.D., Noll W. Material symmetry and thermostatic inequalities in finite elastic deformations. Arch. Rat. Mech. and Anal. 1964. V.15. No2. p.87-111.

209. Cosserat E., Cosserat F. Theory des corps deformables. Paris: Hermann, 1909.

210. Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors assotiated with time-dependent stress. Quart. Appl. Math. 1955. V.13. No2. p.177-188.

211. Dafalias Y.F. Corotaional rates for kinematic hardening at large plastic deformations. Trans. ASME: Journ. Appl. Mech. 1983. V.50. No3. p.561-565.

212. Dienes J.К. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies. Acta Mech. 1979. V.32. No4.p.217-232.

213. Drucker D.C. A more fundamental approach to plastic stress-strain relations. Proc. 1st US Nat. Congr. Appl. Mech. Ann. Arbor, 1952. p.487-491.

214. Dunegan H.L., Harris D.O., Tatro C.A. Fracture analysis of use of acoustic emission// Eng. Fract. Mech. 1968, vol. 1, N1, p.

215. Dunegan H.L., Green A.F. Factors affecting acoustic emission response from materials// Mater. Res. and Stand. 1971, vol. 11, N3, p.

216. Edelen D.G.B., Laws N. On the thermodynamics of systems with nonlocality. Arch. Rat. Mech. Anal. 43. 1971. N1. p.24-35.

217. Edelen D.G.B., Green A.E., Laws N. Nonlocal continuum mechanics. Arch. Rat. Mech. Anal. 43. 1971. N1. p.36-44.

218. Ellyin F. An investigation of finite strain elasto-plastic deformations. Proc. Int. Conf. Nonlin. Mech. Shanghai, Oct. 28-31, "1985. Beijing, p.475-480.

219. Eringen A.C. Mechanics of continua. New-York: John Wiley'Sons, 1967.

220. Eringen A.C, Edelen D.G.B. On non-local elasticity. Int. J. Engng. Sci. 10. 1972 3. P.233-248.

221. Green A.E. Micro-materials and multipolar continuum mechanics. Int. Journ. Eng. Sci. 1965. V.3. No2. p.533-537.

222. Green A.E., Naghdi P.M. A dynamical theory of interacting continua. Int. Journ. Eng. Sci. 1965. V.3 No2. p.231-241.

223. Green A.E., Naghdi P.M. A general theory of elastic-plastic continuum. Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V.18. No4. p.251-281.

224. Green A.E., Naghdi P.M. Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain. Int. Journ. Eng. Sci. 1971. V.9. Nol2. p.l219-1229.

225. Green A.E., Zerna W. Theoretical elasticity. Oxford: Clarendon press, 1954.

226. Hencky H. Zur Therie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachschpannungen. Z. angew. Math, und Mech. 1924. Bd.4. H.4. s.323-334.

227. Hencky H. The elastic behavior of vulcanized rubber. Journ. Appl. Mech. 1933. V.l. p.45-53.

228. Hill R. Some basic principles in the mechanics of solids without a natural time. Mech. and Phys. SoHds. 1959. V.7. No3. p.209-225.

229. Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Appl. Mech. N.-Y.-L.:Acad.'Press. 1978. V.18. p.1-75.

230. Hill R. Invariance relations in thermoelasticity with generalized variables. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1981. V.90. No2. p.373-384.

231. Hill R., Rice J.R. Constitutive analysis of elastic-plastic cristals at arbitrary strain. Journ. Mech. Phys. Solids. 1972. V.20. No6. p.401-413.

232. Iliouchine A. Plasticite. Paris: Eyrolles, 1956.

233. Mises R. von. Mechanik der festen Korper in plastisch-deformablen Zustand. Nahr. kgl. Ges. Wiss. Gott. Math.-phys. Kl. 1913. H.2. s.582-592. ч

234. Mooney Л1.А. А theory of large elastic deformations. Journ. Appl. Phys. 1940. V.U. p.582-592.

235. Molodtsov I.N. The work-conjugate relations between Eulerian stress and strain measures and constitutive equations in plasticity. In: V Int. Congress on Math. Model (Dubna, 2002), book of abstracts, V.l, p.230

236. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. N.-Y.: 1967.

237. Nagtegaal J.C., de Jong J.E. Some aspects of nonisotropic work hardening in finite strain plasticity. Plasticity of metals at finite strain: Theory, Experiment and Computation. Stanford Univ. and Dept. Mech. Eng., R.P.I., 1982. p.65-102.

238. Nemat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in finite deformation elastoplasticity. Int. Journ. Solids and Struct. 1979. V.15. No2. p.155-166.

239. Nemat-nasser S. On finite deformation elasto-plasticity. Int. Journ. Sol. and Struct. 1982. V.18. NolO. p.857-872.

240. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V.2. p.197-226.

241. Noll W. Materially uniform simple bodies with inhomogcneities. Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V.27. Nol. p.1-32.

242. Noll W. A new mathematical theory of simple materials. Arch. Rat. Mech. Anal. 1972. V.48. Nol. p.1-50.

243. Noll W. Lectures on the foundations of continuum mechanics and thermodynamics. Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V.52. Nol. p.62-92.

244. Ogden R.W. On Eulerian and Lagrangean objectivity in continuum mechanics. Arch. Mech. 1984. V.36. No2. p.207-218.

245. Ohashi Y. Eff'ects of complicated deformation History on inelastic deformation behaviour of metals. Memoirs Fac. Eng. Nagoya Univ. 1982 V.34. Nol. p.1-76.

246. Ohashi Y., Tokuda M. Precise measurement of plastic behavior of mild steel tubular specimens subjected to combined torsion and axial force. Journ. Mech. Phys. Sol. 1973. V.21. p.241-261.

247. Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state. Proc. Roy. Soc. London. A. 1950. V.200. p.523-541.

248. Orovan E. Problems of plastic eliding. Proc. Phys. Soc. 62. 1940. p.8-52.

249. Palgen L., Drucker D.C. The structure of stress-strain relations in finite elasto-plasticity. Int. Journ. Sol. and Struct. 1983. V.19. No6. p.519-531.

250. Perzyna P. The constitutive equations for rate sensitive plastic materials, Quart. Appl. Math., 20 (1963)

251. Perzyna P. The constitutive equations for work-hardening and rate sensitive plastic materials, Proc. Vibr. Probl. 4, 4 (1963)

252. Reed K.W., Atluri S.N. Constitutive modehng and computational implementation for finite strain plasticity. Int. Journ. Plast. 1985. V.l. Nol.p.63-87.

253. Rivlin R.S., Saunders D.W. Large elastic deformations of isotropic materials. VII. Experiments On the deformation of rubber. Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1951. V. 243. p.251-288.

254. Rychlewski J. On quasi-isotropic tensor functions. Arch. Mech. 1984. V.36. No2. p.195-205.

255. Shibutani Y., Vitek V., Bassani J.L. Nonlocal properties of inhomogeneous structures by linking approach of generalized continuum to atomistic model. Int. J. Mech. Sci. 1998. V.40. Nos.2-3. p.129-137.

256. Tanaka E. Hypothesis of local determinability for five-dimentional strain trajectory. Acta Mechanica. 1984. V.52. Nol. p.63-76.

257. Truesdell C. The mechanical foundations of elasticity and fluid dynamics. Journ. Rat. Mech. and. Anal. 1952. V.l. p.125-300. 1953. V.2 p.595-616.

258. Truesdell C , Noll W. The non-linear field theories of Mechanics. Handbuch der Physik. III/3. Berhn: Springer Verla'g, 1965.

259. Valanis K.C. Fundamental consequence* of a new intrinsic time measure-plasticity as a limit of the endochronic theory. Arch. Mech. 1980. V.32. p.171-191.