Некоторые вопросы теории идеальнопластического тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Максимова Людмила Анатольевна

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Чебоксары - 2004

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор технических наук, академик ран

Шемякин Евгений Иванович

Официальные оппоненты:

Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Астафьев Владимир Иванович

Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Зубчанинов Владимир Георгиевич

Доктор физико-математических наук, профессор

Маркин Алексей Александрович

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится 21 октября 2004 года в 12 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.300.02 при Чувашском государственном педагогическом университете им. И.Я. Яковлева, по адресу: 428000, г. Чебоксары, ул. К.Маркса, д. 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева.

Автореферат разослан « 17 » сентября 2004 г.

Ученый секретарь /7

диссертационного совета Михайлова М.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена вопросам теории идеального жесткопластического тела. Теория идеальной < пластичности находит широкое применение в расчетах предельных состояний конструкций, технологических процессов обработки металлов давлением, в механике предельных состояний фунтов и сыпучих сред, и т.д.

Теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы и обзоры, среди них можно выделить основополагающие исследования: Сен-Венана, М. Леви, Хаара и Кармана, Мизеса, Прандтля, Генки, Гейрингер, Рейсса, С.А. Христиановича, А.А. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, В.В. Соколовского, Прагера, Койтера, Хилла и др.

Уравнения теории идеальной пластичности являются нелинейными, их решение представляет значительные трудности математического характера. При решении задач теории идеальной пластичности широко используются численные методы. Большой интерес представляют точные аналитические решения, играющие роль эталонных, позволяющие установить зависимость между параметрами, входящих в решение, и качественные особенности пластического деформирования.

К числу аналитических решений, сыгравших важную роль в развитии представлений в теории обработки металлов давлением, принадлежит циклоидальное решение Прандтля о сжатии идеальнопластической полосы жесткими шероховатыми плитами. Различные обобщения решения Прандтля принадлежат Надаи, Гартману, В.В. Соколовскому, Хиллу и др.

Фундаментальные результаты по изучению течений идеальнопластической среды по жестким поверхностям получены А.А. Ильюшиным. А.А. Ильюшин развил теорию на основе анализа решения Прандтля. Дальнейшее развитие результаты А.А. Ильюшина получили в работах И.А. Кийко, и др.

В теории идеальной пластичности, важную роль играют обобщенные переменные, позволяющие расширить представления о характере пластического течения тел. В этом направлении большую роль имеют

обобщенные переменные, используемые С.А. Христиановичем и Е.И. Шемякиным.

Новые результаты, позволяющие расширить представления о характере пластического течения тел, принадлежат к числу важных и актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

Целью работы является исследование свойств уравнений теории идеальной пластичности, расширение круга задач теории, их решение, учет влияния сложного напряженного состояния на поведение пластически деформируемых тел.

Научная новизна результатов состоит в следующем: Исследование общей формы связи между напряженным и

деформируемым состоянием идеальнопластических тел в обобщенных переменных. Полученные результаты позволили распространить представления А.Ю. Ишлинского о характере связи ач -е. на случай анизотропных сред;

Исследование соотношений теории идеальной пластичности в пространстве Христиановича - Шемякина;

О Пространственные задачи: определение и исследование точных асимптотических аналитических решений о сжатии идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми плитами при различном характере поведения результирующих сдвиговых усилий на контактных поверхностях;

О Общая плоская задача: вывод и исследования уравнений теории идеальной пластичности, включающих в себя, как частный случай, состояние плоской и антиплоской деформации. Распространение решения плоской задачи на случай действия продольных сдвигов; Плоские задачи: исследование класса стационарных и нестационарных течений идеал ьнопластической среды при внедрении жестких тел, изгибе и растяжении;

ф Определение и исследование линеаризированных уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности для статически определимых и статически неопределимых состояний; ф Исследование предельных уравнений теории идеальной пластичности при отсутствии сопротивления сцеплению. Достоверность полученных результатов основана на использовании классических подходов механики сплошных сред, обоснованности и строгости применяемых математических методов, экспериментальном подтверждении используемой теории, совпадении полученных решений с известными результатами для частных случаев.

Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при> расчетах жесткопластических состояний изотропных и анизотропных сред; при получении точных и приближенных решений практически важных задач пластического деформирования материалов; при анализе процессов обработки металлов, задач предельного равновесия и различных проблем прочности конструкций, инженерных сооружений и- т.д., когда повышение надежности расчетов требует установление границ несущей способности тел.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и совещаниях:

на Восьмом всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь), 2001; на Ломоносовских Чтениях в МГУ (Москва), 2003,2004; на VI, VII, VIII, IX, X международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» МАИ (Москва), 2000-2004; XXIX международной летней школе симпозиума АРМ (Санкт - Петербург), 2002; на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 80-летию Л.А. Толоконникова ТГУ (Тула), 2003; на школах - симпозиумах ВГУ (Воронеж), 1998, 2000, 2002; на международной конференции МГТУ (Минск), 2001: на научных семинарах каф. газовой и волновой динамики МГУ под рук. Акад. Е.И. Шемякина (Москва), 2003, 2004; на научных семинарах ЧГПУ под

рук. проф. Д.Д. Ивлева (Чебоксары), 1996-2004; на ежегодных конференциях аспирантов, докторантов ЧГПУ, (Чебоксары), 1996-1998.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано более 30 работ. В автореферате приведен список 26 основных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав (26 параграфов), заключения и списка литературы. Работа содержит 220 страниц, в том числе 26 рисунков. Список, литературы включает 172 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена общая характеристика работы, дан обзор публикаций по тематике диссертации, изложено содержание диссертации по главам.

Первая глава «Связь между напряжениями' и: скоростями деформаций в обобщенных переменных в теории идеальной пластичности» состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе приведены, основные соотношения теории идеальной пластичности при условиях пластичности, определенных в виде одной, двух или трех независимых функций текучести. В-первых двух случаях, имеет место статически неопределимая система уравнений, в последнем случае система уравнений является статически определимой.

Во втором параграфе результаты А.Ю. Ишлинского по определению общих, соотношений теории изотропного идеальнопластического тела распространены на общий случай анизотропной идеальнопластической среды. А.Ю. Ишлинский предложил построение общих соотношений' теории изотропного идеальнопластического тела для сингулярных условий пластичности, в случае, когда условие пластичности определено в виде двух функций

адд^-о 0)

где - второй и третий инварианты девиатора напряжений.

-о

Система девяти уравнений относительно шести компонент напряжений ст,; и трех компонент скорости перемещений и,согласно А.Ю. Ишлинскому, состоит из:

трех уравнений равновесия

(2)

двух условий пластичности (1), условия несжимаемости е,+е,+е.шО (3)

и трех условий изотропии

<г**ь ш (4)

где е^ - компоненты скорости деформации.

При обобщении результатов А.Ю. Ишлинского в качестве обобщенных переменных использованы величины главных напряжений

Соотношения связи между компонентами напряжений и главными

напряжениями имеют вид

ая = о-,/,2 + а2т\ + сг3п

а, = о-,/, + агт\ + ст,п,, /123\

% - ""«'Л + О-г'Я^г + 0-ЛИг

(5)

где - направляющие косинусы, определяющие ориентацию главных

напряжений в декартовой системе координат

Соотношения связи <тч —еч определяются из условия экстремума функционала

А = N - ЛА - к(/,* + +п\)-//2(/2г + т\ +пгг)~ - МЛЧ + < + «з) - + т2т3 + и2л3) -

"^('Л + +п,л,)-2у3(/1/1 +т1тг +л,и2)

^ = СТ,Л = О»"»*«* + + К + + + о",«,2 +

+ (сг,12, + а X + сг3л3г)<?, + 2(<г,/,/2 + агтхтг + еу»,»!,)^ + + 2 (ст,/,/, + сг2ш2гл, + <ггпгп,)еп + 2(<7,/,/3 + о-,«,«, + оу»,«,)*..

(6)

= °2> °"з> "»„ и,) = 0.

где ,,V, - неопределенные множители Лагранжа.

Из условий экстремума функционала (6), при условиях (7), (8), следуют соотношения ассоциированного закона течения. Для анизотропного тела получены соотношения:

(9)

В частном случае, когда материал является изотропным, то есть условие пластичности (8) не зависит от направляющих косинусов /,/я,«,, тогда

и соотношения (9) переходят в условия изотропии А.Ю. Ишлинского (4).

Аналогичное построение выполнено в случае, когда в основе построения соотношений теории идеальной пластичности лежит диссипативная функция

О = сгу£0 = О(е0) = О(£1,е2,£3,!1,т1,п1) (10)

где - главные скорости деформации, - направляющие

косинусы, определяющие ориентацию главных скоростей деформации в декартовой системе координат хуг . Имеет место

(11)

В третьем параграфе исследованы общие соотношения теории идеальной пластичности в случае, когда в качестве обобщенных переменных рассматриваются величины

сг. = -

СГ, + СГ,

~2 в, + в.

Т =

сг, -ст.

Г-*"

сг, - СГ.

е, - е.

2 ' 2 ' 2

В четвертом параграфе соотношения теории изотропного идеальнопластического тела рассмотрены в пространстве Христиановича-Шемякина (рис.1).

Вектор обобщенных напряжений в пространстве Христиановича-Шемякина имеет вид

в-о-.Е + ТЗ + ^к (13)

где компоненты напряжений отнесены к некоторой характерной величине к , имеющей размерность напряжения.

Предполагается, что

Oso-.s/c,, 0s;rs*-2, 0s//t sr„ Kl,Kz,KJ-const (14)

В основу построения теории полагаются уравнения равновесия (2) и условия изотропии (4). Шесть уравнений (2), (4) определяют свойства изотропного твердого тела, находящегося в равновесии. Для определения замкнутой системы уравнений, к уравнениям (2), (4) следует присоединить три уравнения, определяющие свойства конкретной среды. В случае одного условия пластичности имеют место два уравнения, определяющие характер пластического течения, в случае двух условий пластичности - одно уравнение, определяющее характер течения.

А). В случае грани А\СХС (рис.1) имеет место условие предельного

состояния

<*. = 2 (°>+£Тэ ) = *■«. (15)

Условие пластичности (15) в компонентах тензора сгч имеет вид 8*1 -8^2, + 2^,(2? -2,)+2,2, + 23 -о (16)

где 2,,22,2, - инварианты тензора напряжений о"().

Согласно ассоциированному закону течения из (15) следует

(17)

(18) (19)

где Г,,Г2,Г3 - инварианты тензора скорости деформации.

Система девяти уравнений (2), (4), (16), (18), (19), образуют замкнутую систему относительно девяти неизвестных

Б). В случае грани ВСС1В1 (рис.1) имеет место условие предельного состояния

(20)

(Леви):

Условие пластичности (20) в компонентах тензора <тч имеет вид

4(4кгг-?г)\к1 -2;) + 27(2;)2 -0 (21)

Согласно ассоциированному закону течения из (20) следует

И следуют два уравнения: уравнение несжимаемости (3) и равенство нулю третьего инварианта тензора скорости деформации (18)

Система девяти уравнений (2), (3), (4), (21), (18), образует замкнутую систему относительно девяти неизвестных сг^.и.у.и'.

В). В случае грани 01А£хВ1 (рис.1) рассматривается условие предельного состояния

(23)

Условие пластичности (23) в компонентах тензора а имеет вид

(24)

Согласно ассоциированному закону течения из (23) следует

г, - Л(1 + к3), ег - -2Л, Еъ - Л(1 - *-,) (25)

Согласно (25) имеет место условие несжимаемости (3), а также

4Гг'(1-*3Т+<Г3 -О

(26)

Система девяти уравнений (2), (3), (4), (24), (26) является замкнутой. Г) В случае ребра СС, (рис.1) имеют место два условия предельного состояния

Из (27) согласно ассоциированному закону течения следует

(28)

Система девяти уравнений (2), (4), (16), (18), (21), образуют замкнутую систему относительно девяти неизвестных а^,и,у,н>.

Д). В случае ребра А1С1 (рис.1) рассматриваются два условия предельного состояния

а. Аг-*"з> ^с! (29)

Из (29) согласно ассоциированному закону течения следует ех - €3 + к3ег - О

(30)

Система девяти уравнений (2), (4), (16), (24), (30) является замкнутой. Е). В случае ребра В1С1 (рис.1) рассматриваются два условия предельного состояния

(31)

Из (31) согласно ассоциированному закону течения следует условие несжимаемости (3).

Система девяти уравнений (2), (3), (4), (21), (24), является замкнутой.

И). В случае грани 01А1С1В1 (рис.1) при ца -1,

о, - о, - О

(32)

Условие (32) в инвариантах девиатора напряжений имеет вид

(33)

Из условий (32), согласно ассоциированному закону течения следует

Из (34) следуют условия (3), (18). В рассматриваемом случае (32), соотношения теории идеальной пластичности не являются статически определимыми. Полное предельное состояние достигается при дополнительном условии

/(0-„0-3) = 0 (35)

Рассмотрен случай, когда предельное условие (35) имеет вид (15);.

напряженное состояние при условиях (32), (15) является статически

12

определимым. В этом случае направление третьего главного напряжения аг является характеристическим.

Пятый параграф посвящен представлению условий полной пластичности на диаграмме Мора.

Условие полной пластичности записано в виде

ст,=о-2, a¡=(tl+2k (36)

В дальнейшем все компоненты напряжений отнесены к пределу текучести

Из (5) и (36) следует

стх - О-, + 2п], тхг-2п1пг, пг + n\ + n¡ -1, (l23xyz) (37)

Из (37) следует

trt - ст, +1 + cos 20,, Т, = ^г2 + г2 - sin 20,, (123jcyz) (38)

где и, =cos#,, n1-cos02, 7i,=cos03, cos2 9t + cos2 0г + cos2 въ -1.

Имеют место соотношения

пг - cossin n, - sini//t sin<?,, (39)

а также

rv -T.cosi^.sintf,, = T, sin2y, sin2 вх, Д23\ r„ = T, sin w tgy/, - тя/т9 , \xyz)

Далее определяющие выражения at - <x, + r, +r, cos2ц/,, <jl = ст, + r; - r, cos2ц/x, r^ = r, sin2y/,, (l23xyz)

(41)

где

(42)

Выражения (38), (40), (41), (42) позволяют представить напряженное состояние на диаграмме Мора (рис.2)

(40)

Диаграмма Мора представляет большой круг с радиусом равным единице и центром 01 с абсциссой ег1+1. Отрезок ОС представляет

напряжение а,ж отрезок СЕ = РВ - напряжение Т,.

Согласно (42), на рис.2 АВ-СО-2г,.

/ 1 / 1 м/ | —si

о =а, 14 Оу&П в о/ ув, с I"1»

ai 1 s g Hi J id "

------

Рис.2

При ^,-0, согласно (40), (41), tv =Т, напряжения

ot,at изображаются соответственно отрезками ОВ,ОА,

При фиксированном значении и переменном ц/х, напряжения су,(Гж,туг, согласно (41), изображаются соответственно отрезками OG,OH,GK на рис.2. Величины Т2,Т3 соответственно изображаются отрезками на рис.2.

На диаграмме Мора (рис.2) должны быть нанесены напряжения, определяющие величинами углов 2вг,2въ и соответствующие малые круги

радиусов г2,г}, служащие для изображения напряжений. Эти построения

перегружают диаграмму и поэтому опущены.

Далее в этом параграфе устанавливается ряд соотношений для разрывных решений в напряжениях при условии полной пластичности. На поверхности разрыва непрерывны величины

Вторая глава «Предельное состояние пространственного идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами» состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе рассматривается предельное состояние идеальнопластического тела, сжатого цилиндрическими плитами. Рассматривается условие полной пластичности. Предельное состояние цилиндрического слоя определено при условии, что контактные касательные усилия имеют разные направления.

Во втором параграфе рассматривается идеальнопластическое состояние сжатого цилиндрического слоя в случае статически неопределимого состояния. В частности, рассматривается условие пластичности Мизеса. Устанавливается связь между сдавливающими усилиями и скоростями пластических деформаций. Рассматривается сжатие идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми параллельными плитами при условии пластичности Мизеса.

В третьем параграфе рассматривается предельное состояние слоя, сжатого параллельными шероховатыми плитами при неколлинеарных направлениях контактных касательных усилий. Рассмотрен случай полной пластичности. Анализируются возможные различные значения и направления результирующих контактных касательных усилий. Предполагается, что оси лежат в плоскости слоя, ось - ортогональна слою, безразмерная толщина слоя . Решение ищется в виде

r^-flz + c,, r^-fe + Cj, a,b,ci,c1-const (45)

Компонента crf, определяющая сжимающее давление, имеет вид сг, - -ах-Ьу + с, с-const (46)

Векторы касательных усилий на верхней стороне и на нижней стороне плиты, представлены в виде

где i,j - единичные орты вдоль осей х,у, индекс «+» приписан компонентам на верхней стороне плиты; индекс «-» - на нижней стороне плиты. Введем обозначения

Ь-с2

tm=hL = k±£Lt tgb-Ь-т

'XZ а + с1

В случае ,

та а-Су

имеет место

т, - -К"! COS —1

' I 2)

4 + с, £ = X cos— + у sin—, с - const 2 2

(48)

(49)

Согласно (49), величина аг падает с увеличением угла <р, в частности

с л-

crt-~4 + c, при <р- 0, <т, =—Y ' 14)11 <? = ~1

(50)

Определяется соответствующее поле скоростей перемещений.

В четвертом параграфе результаты, полученные для изотропного слоя, при условии полной пластичности, обобщаются на случай анизотропного материала при условии статической определимости системы уравнений.

В пятом параграфе рассматривается сжатие идеальнопластического анизотропного слоя, сжатого жесткими шероховатыми плитами при условии пластичности Хилла

Используются соотношения ассоциированного закона течения ч. -¿И^-^+Ф.-О! е„-М1гщ, Л а 0 (52)

Решение для напряжений ищется в виде (45), для компонент скоростей перемещений в виде

и- px + q^ + u^z), v-PtX + qy + v^z), w-mz (53)

где p,q,pi,ql,m-const.

Для определения компоненты <г, имеет место (46). Для величины Л имеет место

Из (54) следует

г К

R S2

(55)

Согласно (55), значения касательных усилий ограничены

эллипсом с полуосями Я,Б. Согласно (55), имеет место

(56)

(57)

имеет место

Из условия осреднения по толщине слоя, напряжения в плоскости ху , определена зависимость величины с от параметров деформированного состояния.

Третья глава «Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности» состоит из трех параграфов.

в первом параграфе рассматриваются соотношения теории идеальной пластичности при условии полной пластичности, в случае общей плоской задачи, когда все компоненты напряжения зависят от двух координат.

Соотношения для напряжений при условии полной пластичности имеют вид

(60)

Используется замена переменных

.в . в в

л, соя^т—, п2 «■ $ш <р бш—, п3 = соэ—

2 2 2

(61)

Предполагается, что <р = {х,у),в = в{х,у).

Из уравнений равновесия (2), соотношений (60), (61) следует система уравнений относительно величин . Система уравнений принадлежит к

гиперболическому типу и имеет три характеристики. Уравнения характеристик

(62)

Соотношения вдоль характеристик (62) имеют вид л/сов в

Вдоль характеристики (63) имеет место

ШСГ + К БШ в БШ Ър <1ф + К (1в - О

(65)

При определении компонент скоростей перемещений используются соотношения, следующие из ассоциированного закона течения

(66)

(67)

Предполагается, что Показано, что

уравнения (66), (67), записанные в компонентах скорости перемещения принадлежат к гиперболическому типу, характеристики совпадают с характеристиками для компонент напряжений (62), (63) вдоль характеристик (62) имеют место соотношения

(68)

вдоль характеристики (63) имеет место соотношение

ътв^о%фс1и + 5т(рс1у\+ сое (69)

Полученные соотношения включают в себя, как частный случай, случай плоской деформации при в-л/2 и случай антиплоской деформации при в = л.

Во втором параграфе рассматриваются численные методы решения уравнений общей плоской задачи для напряжений и рассматриваются задачи о вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство при наличии продольных сдвигов вдоль оси 2 . На рис.3 показано характерное

изменение сетки скольжения при действии продольных сдвигов под штампом на участке ОА.

Рис.3

в третьем параграфе рассматриваются численные методы решения уравнений общей плоской задачи для скоростей перемещений и рассматриваются задачи о вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство при наличии продольных сдвигов вдоль оси z.

Четвертая глава «Плоские задачи теории идеальной пластичности» состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе, рассматриваются возможные поля Скорости перемещения при вдавливании штампа в идеальнопластическое полупространство. Указано решение задачи Прандтля с застойными зонами (рис.4).

Во втором параграфе рассматривается вдавливание жесткого индентора в виде клина в идеальнопластическую полосу (рис.5). Определены размер чашечки, образующейся при выходе индечтора на свободную поверхность полосы.

(71)

где углы а,р - определяются наклоном стороны клина, А - первоначальное удаление вершины клина от свободной поверхности.

Рис.5

На рис.6 показан случай пробоя пластического слоя затупленным индентором. Часть материала ВОО'В' остается жесткой, показано конечное положение материала, области деформированного состояния материала заштрихованы.

Рис.6

На рис.7 показан случай индентора с вертикальными стенками, дано изменение первоначально прямоугольной сетки, в очаге пластического деформирования.

В третьем параграфе рассматривается процесс образования шейки в растягиваемой полосе, отличной от- случая, рассмотренным Онатом и Прагером.

Рассмотрен также изгиб полосы вокруг точки О (рис.8).

(72)

Показано, что форма полосы принимает вид

где отсчет угла <р - от прямой ОВ[.

в четвертом параграфе рассматривается течение анизотропной идеальной жесткопластической полосы, ослабленной выточками.

Пятая глава «Линеаризированные уравнения теории идеальной пластичности» состоит из четырех параграфов.

в первом параграфе, уравнения теории идеальной пластичности линеаризируются при условии полной пластичности (60), в предположении, что к = к(п1,пг,п]). В качестве основного невозмущенного состояния используется состояние одноосного растяжения' - сжатия при и° "п1 =0,и° =1. Для напряженного состояния имеет место уравнение

(73)

где индекс-штрих приписан компонентам возмущений, индекс «нуль» компонентам в исходном, нулевом состоянии.

Для компонент скорости перемещений »V', имеет место уравнение

(74)

Для определения компонент имеют место аналогичные

уравнения.

Во втором параграфе рассматриваются линеаризированные уравнения для статически неопределимых уравнений теории идеальной пластичности. В частности, рассматриваются линеаризированные уравнения в случае, когда имеет место условие пластичности Треска, соответствующая грани призмы Треска

■ ст2 - 2К, :£ <тз 3 <Т,, К- С0П51

(75)

Линеаризированные уравнения для определения компонент скорости перемещений имеют вид

Компоненты напряжения определяются согласно связям между напряжениями и скоростями деформации.

Случай, когда имеет место ребро призмы Треска, следует из результатов первого параграфа данной главы.

в третьем параграфе рассматриваются линеаризированные уравнения статически определимых задач теории идеальной пластичности, когда напряженное состояние не является состоянием полной пластичности. Полагается

2-сг,-стг-К^ Т-а,-сг3-лг2, ЯГ,,К2 -СОЛУ/ (77)

Два условия (77) определяют в пространстве главных напряжений пересечение двух плоскостей, не совпадающие с ребром призмы Треска. Напряженное состояние при условиях (77), при кх *кг, является статически неопределимым. Статически определимое состояние имеет место в случае выполнения третьего условия

где произвольная дифференцируемая функция.

Линеаризация условия (77), (78) при начальных условиях = т\ = «з -1, - - /я° - т\ « л° - п° - 0 приводит к соотношениям

Линеаризированные уравнения для определения напряжений имеет

вид

(76)

(78)

о\ - сг; - а\ - а\ Ат'^+ВТ'^ +Сг; +£>ст'-0

(79)

— (82)

При различных предположениях о виде функции /(с^.) из (80)

получены различные волновые уравнения второго порядка.

Исследованы характеристики полученных уравнений. Шестая глава «Течение изотропных сред» состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе рассматриваются предельные уравнения изотропных сред, полученные из уравнений теории идеальной пластичности при стремлении коэффициентов сцепления (предела текучести) к нулю..

В случае плоской задачи теории идеальной пластичности имеет место условие несжимаемости

е. +£.

.0,

дх ду

(83)

Условие изотропии имеет вид

«Дт.-^ЬгЛ*.-*,) <84>

При г„=0. из условия пласт ^оч ■нсо)с-»т4и^^4к'е1 д у е т

при этом условие (84) примет вид При сколь угодно малом значении , из (85) следует

Из уравнений (83), (86) имеет место

(85)

(86)

В случае пространственного течения из условий изотропии А.Ю. Ишлинского (4) при т^ — т^ = та - 0 следует

^(о-.-о^-О, ^(ст2-о-,)»0 (88)

При условии полной пластичности (36), из (88) при сколь угодно малом значении , следует

Л ди Эй» ду ды .

а —+---0, —+---0

дг дх дг ду

(89)

причем величина

"У

может быть отличной от нуля. Из (89) и условия

несжимаемости (3) следует

и--

ЭЧ»

V = ■

эч»

и" = —-

дЧ*

э2Ф э2ч» э2ч» п

- + —:---— = О

(90)

дх' ду' дг' дх2 ду2 дг2

Отметим, что потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости определяется при постулировании а также

да> дф д(р

и = —Vн> = —— дх ду дг

Из (91) и условия несжимаемости (3) следует

дг(р дгф 1 дг<р

(91)

(92)

дхг ду2 дг2

Отметим принципиальное различие поведение сред, описываемых уравнениями (90) и (91).

В диссертации рассматриваются случаи, когда <г( ¡показано, что

наибольшая свобода предельных течений изотропных сред имеет место при условии полной пластичности (36).

В параграфе втором определены предельные уравнения течения идеальных несжимаемых сред в цилиндрических и сферических системах координат. Показано, что вид предельных волновых уравнений зависит от вида изначального состояния полной пластичности, например в

цилиндрической- системе координат р,в,2, при условиях -<хв, а -о т =0,лг-*0 имеет место

эф 1 эф 34»

и=-, V =--, м> ---,

др Р дв дх

э*ф | 1 э2ф э2ф | 1 эф дрг+ргдвг дг1+рдр"

При условиях <тр - о",,<т -ав ~ 1к,тч = 0,аг-»0 имеет место

(93)

эф

Ър

-р

эф дв'

И"

ЭФ

дх '

э2ф 1 эгф э2ф 3 эф _

----+-+--= 0

др1 р1 дв2 Эг2 р др

При условиях ав - сг,,ар -ав = 2к,=■ 0, к" -» О имеет место

(94)

эф др'

эф

' дв'

эф Эг'

ф =

эф Эр'

э2ф 1 д2ф эгф 5 эф 3 а л -+ —-:-----------ф «о

(95)

дгг р1 дОг дрг р др рг

В третьем параграфе рассматриваются ограничения, которые накладывает условие изотропии на поведение тел. В случае плоской задачи предполагается выполнение уравнений равновесия

Э£г£_+эг„

■О,

эг эст

дх ду

и условия изотропии

2г 2е

дх

ду

■ О

сг -<т

е. - е.

(96)

(97)

У * У

Согласно (97), при известном поле напряжений или поле скоростей деформаций, функция <р(;с,,)') является известной.

В случае, когда поле скоростей перемещений является известным, поле напряжений определяется из уравнения

которое принадлежит к гиперболическому типу с характеристиками

(99)

В случае, где поле напряжений является известным, поле скоростей перемещений для несжимаемого материала определяется из уравнений

_ „ (ди сЬЛ (ди &Л . ди ¿V _

tg2(p\---1-1—+—1-0, — + —-О

^ дх ду) \ду дх) дх ду

Из (100) имеет место уравнение

(100)

а2»? з2ч» „ „ э2ч* - + 2tg2<p

п ^ --0, и =--,

дхду ду

V = -

эч»

дх2 ду1 " ' дхду ' ду ' дх

которое также принадлежит к гиперболическому типу, с характеристиками

(101)

При условиях (103), (104) условие изотропии (97) удовлетворяется. Из уравнений равновесия (96), соотношений (103), при известной функции вдоль характеристики (99), следуют соотношения

da + dг;+2¿;{л+btg<p)dx-q, + 2%{а-вс18(р)ск 0 (105)

д(р

д(р

д(р

А -= %\п2ф — ~со*>2<р — , В "СО%2<р — + %т2(р

дх

ду

дх

д(р V

(106)

Поле напряжений восстанавливается согласно соотношениям (99), (103), (105), (106).

Аналогичное исследование проведено для скоростей перемещений.

Рассмотрен случай общей плоской задачи, обсуждается общий случай напряженного и деформированного состояния материала. Сделан вывод: если имеет место произвольное поле скоростей перемещений, то ему в соответствие может быть определено поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям равновесия и условиям изотропии. Причем поле напряжений восстанавливается в области, ограниченной характеристиками, согласно условиям задачи Коши. Аналогично, данному полю напряжений можно поставить в соответствие поле скоростей перемещений, удовлетворяющее условию изотропии несжимаемости, причем характеристики в этих случаях оказываются различными.

При наличии связи между полями напряжений и скоростей деформаций, характер уравнений меняется. Например, для линейного закона вязкости: задача становится эллиптической.

в четвертом параграфе на примере линейного упругого тела обсуждаются вопросы определения моделей изотропных сред. Для упругого тела постулируется выполнение условий изотропии А.Ю. Ишлинского и исследуется вопрос, при каком числе дополнительных линейных зависимостях между напряжениями и деформациями будет иметь место закон Гука. Показано, что при шести соотношениях: три условия изотропии А.Ю. Ишлинского, линейная зависимость между объемными напряжениями и деформациями два линейных соотношения, например

г^ = Се^уТ^ = (7е„, не определяют соотношения линейного закона Гука:

о" = ке,сг'ч -Се^. Для определения соотношений закона Гука- необходимо

дополнительное предположение, например,

В пятом параграфе исследуются предельные уравнения идеальных дилатирующих сред, в случае, когда коэффициенты сцепления стремятся к нулю.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ: Соотношения теории идеальной пластичности в обобщенных переменных, содержащие обобщение соотношений изотропии А.Ю. Ишлинского на случай анизотропных сред;

Исследование соотношений теории идеальной пластичности в обобщенных переменных С.А. Христиановича и Е.И. Шемякина; Определение предельного напряженного состояния пространственного изотропного и анизотропного

идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами при коллинеарном и неколлинеарном положении результирующих касательных усилий - на контактируемых поверхностях в случае статически определимых состояний;

Определение предельного напряженного состояния пространственного изотропного и анизотропного

идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами при статически неопределимых состояниях идеальнопластической среды; Вывод и исследование уравнений общей плоской задачи для напряжений и скоростей перемещений в случае общей плоской задачи при условии полной пластичности;

Алгоритм численного решения уравнений общей плоской задачи, решение задач о вдавливании жестких штампов в идеальнопластическое полупространство при действии продольных сдвигающих усилий;

Исследование стационарных и нестационарных задач идеальнопластических течений в задачах внедрения жестких тел, растяжений и изгиба;

Определение и исследование линеаризированных уравнений теории идеальной пластичности в случае статически определимых и неопределимых состояниях;

Определение и исследование предельных уравнений теории идеальной пластичности при стремлении сил сцепления к нулю.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Максимова Л.А. О линеаризированных уравнениях пространственного течения идеальнопластических тел. // ДАН РАН, 1998, т.358, №6, с.772-773.

2. Максимова Л.А. О течении полосы из идеального жесткопластического материала, ослабленного пологими выточками // Изв. РАН, МТТ, 1999, №3, с. 65-69.

3. Максимова Л.А. О сжатии слоя из идеально жесткопластического материала жесткими анизотропно-шероховатыми плитами. // ДАН РАН, 2000, т. 372, № 1, с. 50-52.

4. Максимова Л.А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами. // ПММ, 2000, т. 64, вып. 6, с. 1057-1062.

5. Максимова Л.А. К задаче о вдавливании штампа в идеальнопластическую среду // Прикладные задачи механики сплошных сред, Сб. статей, Воронеж, 1999, изд-во ВГУ, С. 164-168.

6. Максимова Л.А. Условия изотропии в обобщенных переменных // Вести. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 2004, №2. С. 36-40.

7. Максимова Л.А. О сжатии плиты из идеально-пластического материала // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. С.520-523.

8. Максимова Л.А. О статически неопределимом состоянии идеально-пластического слоя, сжатого жесткими шероховатыми поверхностями // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. С.524-530.

9. Максимова Л.А. О влиянии сдвигающих усилий на предельное состояние полосы, сжатой шероховатыми плитами // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, сводный том № 3(13), № 4(14), 1998, № 1(15), № 2(16), 1999, С. 17-19.

10. Максимова Л.А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами. // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, сводный том № 3(13), №4(14), 1998, № 1(15), №2(16), 1999, С. 20-26.

11. Максимова Л.А. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности. // Чебоксары, Известия НАНИ ЧР, №4, 2000

12. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О свойствах моделей' изотропных сред. // Сб. статей к 70-летию Н.Ф. Морозова, , 2002, с 512.

13. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. К теории изотропных сред. // Проблемы механики деформируемых тел. Сб. статей к 90-летию Н.Х. Арутюняна, Ереван, 2003, с. 190-198.

14. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. Условия изотропии и соотношения обобщенного ассоциированного закона пластического течения. // Изв. РАН, МТТ, 1999, № 6, с. 39-54.

15. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. О течениях изотропных сред. // Изв. РАН. МТТ, 2000, № 5, с 5-12.

^ / '(' / I» "

16. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. Условия изотропии и обобщенный ассоциированный закон пластического течения. // ДАН РАН, 2000, т. 371, № 1. с. 49-51.

17. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. О свойствах течений изотропной среды. //ДАН РАН, 2000, т. 375, № 2, с. 191-194.

18. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности. //ДАН РАН, 2000, т. 373, № 1, с. 39-41.

19. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, сводный том № 3(13), № 4(14), 1998, № 1(15), № 2(16), 1999, С. 13 -16.

20. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О представлении состояния полной пластичности на диаграмме Мора // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, № 3,2001, С. 45-51 .

21. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О вдавливании индентора в идеальную жесткопластическую полосу. // Изв. РАН, МТТ, 2000, № 3, с. 131-136.

22. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О плоских течениях идеально жесткопластической среды //ДАН РАН, 2000, т. 370, № 1, с. 43-45.

23. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А., Непершин Р.И. О вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство с учетом сдвиговых усилий //ДАН РАН, 2001, т. 379, № 2, с. 196-199.

24. Ивлев ДД, Максимова Л.А. , Непершин Р.И. Об определении поля скоростей идеальнопластического течения в случае общей плоской задачи //ДАН РАН, 2001, т. 379, № 6, с. 758-763.

25. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О сдавливании цилиндрического идеальнопластического слоя шероховатыми плитами. // Современные проблемы механики деформируемого твердого тела, Сиб. Отд. РАН, 2001, Вып. 119, с. 53-55.

26. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. , Непершин Р.И. О вдавливании плоского штампа в идеальное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений // ПММ, 2002, т. 66, Вып.1. с. 134-139.

Заказ №2804 Подписано в печать 05.09.2004 Тираж 100 экз.

Формат 60x84/16. Объем 2 пл. Отпечатано на участке оперативной

полиграфии ЧГПУ 428000 Чебоксары ул.К. Маркса 38.

Введение.

Глава 1. Связь между напряжениями и скоростями деформаций в обобщенных переменных в теории идеальной пластичности

§1. Основные соотношения теории идеальной пластичности.

§ 2. Условие изотропии и соотношения обобщенного ассоциированного закона пластического течения.

§3. Условия изотропии в обобщенных переменных.

§4. Соотношения теории изотропной идеальной пластичности.

§ 5. Представление полной пластичности на диаграмме Мора.

Глава 2. Предельное состояние пространственного идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами

§1. Предельное состояние идеальнопластических тел, сжатых цилиндрическими плитами.

§2. Статически неопределимое состояние идеальнопластического слоя, сжатого жесткими шероховатыми поверхностями.

§ 3. Предельное состояние слоя, сжатого параллельными шероховатыми плитами при неколлинеарных направлениях касательных усилий.

§4. Сжатие слоя из идеальнопластического анизотропного материала.

§5. Сжатие анизотропного идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми плитами при условии пластичности Хилла.

Глава 3. Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности.

§1. Соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности

§2. Вдавливание плоского штампа в идеальное жестко пластическое полупространство с учетом касательных напряжений.

§3. Определение поля скоростей идеальнопластичес кого течения в случае общей плоской задачи.

Глава 4. Плоские задачи теории идеальной пластичности

§1. Вдавливание штампа в идеальнопластическое полупространство.

§2. Вдавливание жесткого индентора в идеальнопластическое полупространство.;.

§3. Течение идеальнопластической полосы при растяжении и изгибе

§4. Течение идеальнопластической полосы при растяжении, ослабленной пологими выточками.

Глава 5. Линеаризированные уравнения теории идеальной пластичности.

§ 1. Линеаризированные уравнения идеального анизотропного тела при условии полной пластичности.

§2. Линеаризированные уравнения пространственных статически определимых состояний теории идеальной пластичности.

§3. Линеаризированные уравнения. Частные случаи.

§4. О решениях линеаризированных уравнений пространственного состояния идеальнопластических тел.

Математической теории пластичности посвящены многочисленные исследования и обзоры, среди которых отметим [14, 49, 58, 78, 81, 82]. Целью предлагаемого ниже обзора является освещение результатов теории идеальной пластичности, на основе которых возникла настоящая работа.

Теория пластичности возникла на основе представлений о предельных состояниях твердых тел.

Уже Галилей [133], рассматривал разрушение балки при изгибе и предложил схему распределения усилий по поперечному сечению балки, вполне соответствующую распределению напряжений по идеальной жесткопластической схеме. Позднее Гук [133] предложил схему распределения усилий согласно закону, названного его именем. Закон Гука определил развитие теории упругости, представления Галилея были оценены в полной мере позднее.

Коши в 1828 году предложил соотношения для определения напряжений в пластических телах; исходя из молекулярных представлений, Коши предполагал среду лишенной сил сцепления и не вышел за рамки представлений гидродинамики. Именно представление о силах сцепления лежит в основе теории предельного состояния грунтов и теории пластичности металлов, хотя приложения теории предельного равновесия и теории пластичности не ограничиваются названными средами.

Представления о предельном состоянии грунтов и сыпучих сред были развиты в работах Кулона (1773г.), Моузли (1833г.), Ренкина (1853г.), Леви (1869г.), Сен-Венан (1870г.) и др.

Кулон сформулировал основные представления о предельном равновесии, применив их к определению давления засыпки, ограниченной горизонтальной плоскостью, на вертикальную подпорную стенки. Вертикальная стенка предполагалась абсолютно гладкой, Кулон исходил из допущения о существовании плоской поверхности сползания.

Ренкин рассмотрел предельное равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью, ввел понятие о поверхностях скольжения.

Представления о предельных состояниях твердых тел легли в основу теории пластичности, возникновение которой принято относить ко времени появления работ французского инженера Треска (1864г.). На основе экспериментов по штамповке и выдавливанию свинца, Треска выдвинул гипотезу о предельном значении максимального касательного напряжения, при достижении которого в теле возникают необратимые деформации. Предельное значение максимального касательного напряжения характеризует, согласно Треска, предельное значение сил сцепления материала.

Сен-Венан (1870г.) положил условие пластичности Треска в основу вывода соотношений теории пластического течения, в случае плоской деформации. Соотношения Сен-Венана: два уравнения равновесия

1) д х д у д х д у условие пластичности максимального касательного напряжения Треска стх - <jyf + 4т1 = 4к2, к - const (2) условие несжимаемости dex+dey= 0 (3) условие изотропии материала с1б — (1в йе х У ху ^

Т —с7 Т х у ху где <тг,сг.г - компоненты напряжения, ¿еЛе^йе^ - компоненты / "V У -V приращения деформации.

Соотношения Сен-Венана (1) - (4) полностью сохранили свое значение.

Позднее Прандтль (1920г.) сформулировал представление об идеальном жесткопластическом теле и переход от приращений деформаций к скоростям пластических деформаций , что позволило использовать эйлерово представление о течении в теории идеального жесткопластического тела.

Пространственные соотношения теории идеальной пластичности впервые были даны Леви (1871г.). Он записал условие пластичности Треска в общем виде. Соотношения, определяющие пластическое течение, Леви определил из условия пропорциональности сдвиговых напряжений и приращений сдвигов. С современной точки зрения Леви использовал условие пластичности Треска и соотношения ассоциированного закона течения при условии пластичности Мизеса. Леви занимался вопросами интегрирования уравнений Сен-Венана (1) - (4), ему принадлежит преобразование, носящее его имя х = ст + к соъ 2в, сту =ст-ксо§2&, = /с 5т 29, (5)

Соотношения (5) удовлетворяют условию пластичности (2), из (1), (5) следует система квазилинейных уравнений Леви щ д (7 . в в А

--2 л: sin 20-+ 2 л: cos 20-= О

Эх д х д у

-+ 2л: cos 20--2л: sin 20-= О

5 у д х д у

Уравнения (6) лежат в основе исследований по определению напряжений при плоском деформированном состоянии идеальнопластического тела.

В 1909 году появилась работа Хаара и Кармана [141]. В этой работе авторы высказали соображения, что теория предельного состояния грунтов и теория пластичности имеют общие основы. В работе сформулирован вариационный принцип, определяющий пластическое состояние тел, и определено условие полной пластичности или полного предельного состояния.

Отметим введение Мизесом (1913г.) квадратичного условия пластичности, ранее аналогичное условие пластичности было предложено Губером (1904г.).

Прандтлю и Генки принадлежит выдающийся вклад в развитие плоской задачи теории идеальной пластичности.

Прандтль (1921г.) ввел понятие идеального жесткопластического тела и впервые дал решения задач о вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство и в усеченный идеальнопластический клин. При этом Прандтль рассматривал идеальнопластический материал, свойства которого зависят от среднего давления т = /(сг), где г касательное напряжение, сг - среднее давление.

Генки (1923г.) ограничивается идеальнопластическим материалом, свойства которого не зависят от среднего давления. Генки формулирует две теоремы для статически определимых состояний плоской задачи теории идеальной пластичности, носящие его имя. Им даны решения статически определимых задач о вдавливании штампов, обобщающее решение Прандтля, при этом Генки предполагал, что статически определимые состояния могут иметь место для узко ограниченного круга задач. В этой же работе Генки выводит уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и определяет предельную нагрузку при вдавливании осесимметричного жесткого штампа в идеал ьнопластическое полупространство, в предположении, что имеет место сетка скольжения плоской задачи, определенная Прандтлем.

Прандтль (1923г.) обсуждает результаты Генки. Прандтль указал, что класс статически определимых задач теории идеальной пластичности гораздо шире, чем предполагал Генки. Прандтль уточнил формулировки теорем Генки, установил гиперболический характер уравнений плоской задачи идеал ьнопластического напряженного состояния материала, дал численные методы решения, определил постановки задач определения предельной нагрузки при вдавливании штампов в идеальнопластическую полосу и сдавливания пластического слоя шероховатыми плитами. В этой работе Прандтль дал замечательное асимптотическое аналитическое решение задач о сдавливании идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми плитами, позднее Надаи дополнил это решение построением поля скоростей перемещений.

Гейрингер (1930г.) получила соотношения для определения компонент скоростей перемещений для плоской задачи теории идеальной пластичности.

Выдающимся достижением теории пластичности является формулировка ассоциированного закона пластического течения

Впервые соотношения ассоциированного закона течения были даны Мизесом (1928г.). Мизес определил соотношения ассоциированного закона течения для гладких поверхностей текучести в виде

7) д оц.

Позднее Рейсс (1933г.) предложил соотношения обобщенного ассоциированного закона течения

Л(сг1,сг2,сгз) = 0 (8) о а{ о сг1 где ст1 - главные компоненты тензора напряжений, е1 - главные компоненты скоростей деформации.

А.Ю. Ишлинский (1946г.) предложил соотношения пространственной задачи теории изотропного идеальнопластического тела в случае совместного удовлетворения двух условий пластичности

1(1'2,^) = 0, /2(ад) = 0 (9) где Е'2,е; - второй и третий инварианты девиатора напряжений.

А.Ю. Ишлинский отказался от условия пропорциональности девиаторов напряжений и скоростей деформации и предложил использовать условия изотропии, утверждающие совпадение главных направлений тензоров напряжений и скоростей деформации.

Ю)

Согласно А.Ю. Ишлинскому, фиксированному напряженному состоянию ст~ может соответствовать множество различных деформированных состояний, тем самым были развиты представления, описываемые в рамках обобщенного ассоциированного закона течения.

Современная формулировка соотношений обобщенного ассоциированного закона пластического течения принадлежит Койтеру (1953г.) и Прагеру (1953г.). Необходимо отметить также вклад Дракера (1949г., 1953г.) в обоснование основных представлений теории пластичности.

В середине 30-х годов математическая теория пластичности начала привлекать отечественных ученых. Появляются работы С.Л. Соболева, Л.С. Лейбензона, С.Г. Михлина, A.A. Ильюшина, В.В. Соколовского.

Выдающийся вклад в теорию идеальной пластичности принадлежит С.А. Христиановичу. С. А. Христианович [144] проанализировал уравнения плоской задачи теории идеальной пластичности, выявил вырожденные решения типа «простой волны», определил интегралы уравнений теории идеальной пластичности, послужившие основой для многочисленных решений, N предложенных В.В. Соколовским.

С.А. Христианович развил алгоритм определения напряженного состояния вблизи i отверстий любой формы под действием произвольной нагрузки, получил в результате разрывные решения.

А.Ю. Ишлинскому принадлежит прямой численный метод определения напряженного состояния в осесимметричных задачах теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Им были рассмотрены задачи о вдавливании штампов различной формы в идеальнопластическое полупространство, решена задача о так называемой пробе Бринелля. А.Ю. Ишлинский проанализировал кусочно-линейные условия пластичности, использовал эйлерово представление в задачах о течении идеально вязко пластической среды.

Д.Д. Ивлев получил статически определимую систему уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности для напряжений и скоростей деформаций, при условии полной пластичности и показал, что в обоих случаях систем уравнений принадлежат к гиперболическому типу и имеют совпадающие характеристики. Им дано решения ряда задач.

С.А. Христианович и Е.И. Шемякин [146, 147] рассмотрели соотношения теории пластичности в случае полного и неполного пластического состояния. Ими проанализировано поведение пластического материала в случае сложного нагружения и показано, что материал приобретает анизотропное сопротивление сдвигам, даже если в исходном состоянии он был однородным и изотропным. Е.И. Шемякин указал, что индуцированная пластическими деформациями анизотропия является едва ли не основным свойством пластичности, как и остаточная деформация.

Представление диссипативной функции в математических моделях упругопластических сред отражает основные механические гипотезы, положенные в основу модели. Вопросы построения диссипативной функции в теории пластичности рассматривались Прагером, Циглером, Д.Д. Ивлевым, Е.И. Шемякиным и др. Показано, что эквивалентные построения соотношений теории пластичности могут быть получены исходя из определения функции нагружения и постулата максимума в пространстве напряжений (Мизес) и диссипативной функции и постулата максимума в пространстве скоростей пластических деформаций. Основные результаты, полученные в теории пластичности изложены в монографиях [30, 52, 65, 111, 131, 144] и др.

Представляемая работа посвящена ряду вопросов математической теории идеальной пластичности и ее приложениям.

Гпава первая содержит исследование соотношений ассоциированного закона в обобщенных переменных. Обобщенные переменные широко используются в теории конструкций, пластичности оболочек. В этом случае в качестве обобщенных переменных выступают изгибающие и крутящие моменты, продольные и поперечные усилия и соответствующие им параметры, характеризующие изменение геометрии срединной поверхности. Ниже в качестве обобщенных переменных используются компоненты главных напряжений и параметры, определяющие ориентацию главных напряжений в физической системе координат. Полученные соотношения обобщают известные результаты А.Ю. Ишлинского и позволяют выделить члены, определяющие анизотропию материала. Для изотропных тел из полученных соотношений следуют выражения А.Ю. Ишлинского. Аналогичные построения выполнены в пространстве скоростей деформаций, когда исходящей является диссипативная функция. В случае полной пластичности, когда два главных напряжения равны между собой, из трех условий изотропии лишь два являются независимыми.

Аналогичное исследование выполнено в переменных, широко используемых С.А. Христиановичем и Е.И. Шемякиным [146, 153]:

Т^-О-,), (И) где ц0 - параметр Лоде.

Соотношения представлений теории идеальной пластичности рассмотрены при любых комбинациях параметров, используемых в качестве условий пластичности. При этом используются условие изотропии А.Ю. Ишлинского, которые позволяют выделить общие свойства изотропии материала и соотношения, определяющие свойства материала.

Рассмотрено представление пространственного напряженного состояния, соответствующее условию полной пластичности на диаграмме Мора. Представлены значения напряжений, в зависимости от ориентации напряженного состояния в декартовой системе координат.

Во второй главе на основе соотношений изотропии А.Ю. Ишлинского проанализированы предельные случаи поведения идеальнопластического материала при стремлении к нулю величины сцепления Показано, что среда сохраняет основные свойства поведения идеальнопластического материала (гиперболический тип уравнений), и течение среды не является потенциальным.

При этом наибольшая свобода течения имеет при условии полной пластичности.; В аналогичной постановке рассмотрено течение изотропных сред в случае ортогональных криволинейных координат (общих, цилиндрических и сферических).

Условия изотропии используются для определения поля напряжений при заданном распределении скоростей деформации и, наоборот, для определения поля скоростей перемещений при заданном напряженном состоянии. Если имеет место произвольное поле скоростей деформации, то ему в соответствие может быть определено поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям равновесия и условию изотропии. Причем поле напряжений восстанавливается в области, ограниченной характеристиками, согласно условиям задачи Коши на некоторой линии. Аналогичное положение имеет место при определении поля скоростей деформации, при этом следует отметить, что характеристики в этих случаях оказываются различными.

При наличии связи между полями напряжений, например, линейного закона вязкости, характер уравнений меняется: задача становится эллиптической.

Соотношения упругого изотропного тела анализируется в случае, когда в основу положено выполнение условий изотропии А.Ю. Ишлинского. Показано, что двух линейных соотношений недостаточно для того, чтобы условия изотропии приводили к пропорциональности компонент девиаторов напряжений и деформаций.

Рассмотрено предельное состояние для изотропных дилатирующих сред при стремлении к нулю предельного сцепления к,

В третьей главе рассматриваются статически определимые соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности. Исследованы свойства уравнений, показано, что они принадлежат к гиперболическому типу, определены три характеристики и соотношения вдоль них. Из полученных соотношений, как частные, следуют случаи плоской и антиплоской N деформации. Полученные соотношения позволяют учесть влияние сдвигов в плоской задаче. Исследована кинематика течения. Определены соотношения в скоростях перемещений для общей плоской задачи. Уравнения также принадлежат гиперболическому типу. Уравнения характеристик для поля скоростей перемещений совпадают с уравнениями характеристик для напряжений. Определено поле скоростей о вдавливании штампа, с учетом сдвиговых усилий.

Получены свойства исходных уравнений. Полученные результаты иллюстрируются на примере задачи о вдавливании прандтлевского штампа с учетом сдвигов.

В четвертой главе рассматривается сжатие идеальнопластического пространственного слоя, жесткими параллельными шероховатыми плитами. Аналитическое асимптотическое решение Прандтля о сжатии плоского идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми плитами положено в основу многочисленных исследований и явилось основой многих технологических расчетов обработки металлов давлением. Фундаментальное развитие теории обработки металлов давлением дано в работах A.A. Ильюшина [51, 55]. Анализируя результаты Прандтля, A.A. Ильюшин развил теорию течения достаточно тонкого слоя по жестким поверхностям инструмента. Развитие результатов A.A. Ильюшина дано И.А. Кийко и др. Существенные результаты в области обработки металлов давлением на основе представлений Прандтля даны Хиллом, В.Л. Колмогоровым, Ричмондом и др. Отметим анализ сингулярных особенностей решений Прандтля, данный С.А. Алексанровым и др.

В настоящей работе, аналогично Прандтлю, полуобратным

• методом, получены соотношения, определяющие напряженно -деформированное состояние искривленного слоя. Изучено влияние неколлинеарного распределения контактных усилий на предельную нагрузку. Определена зависимость между предельной нагрузки и углом раствора между направлениями касательных напряжений. Показано, что предельная нагрузка падает с ростом угла раствора.

Аналогично исследования выполнены для цилиндрического слоя, сжатого коаксиальными шероховатыми плитами, установлена зависимость предельной нагрузки от угла раствора между Ш направлениями касательных напряжений.

Показано, что для статически неопределимых соотношений предельная нагрузка зависит от характера деформированного состояния. Рассмотрено осесимметричное решение о сдавливании пластического слоя коаксиальными цилиндрическими поверхностями при условии пластичности. Мизеса, при условии пластичности Треска. Показано, что характер напряженного состояния в обоих случаях совпадает. В случае условия Мизеса, предельная нагрузка зависит от вида деформированного состояния, при изменении характера деформирования - предельная нагрузка не является фиксированной. В случае статически определимого состояния (при условии полной пластичности) предельная нагрузка

• является фиксированной.

Рассмотрено сжатие слоя из анизотропного идеальнопластического материала в случае полного пластического статически определимого состоянии при условии пластичности, обобщающем условие пластичности Треска, и в случае статически неопределимого состояния, при условии пластичности Хилла.

Пятая глава содержит результаты по определению установившихся и неустановившихся плоских течений идеальнопластической среды: обтекание клинообразного индентора, изгиб полосы, образование шейки при течении образца. Полученные результаты обобщают представления Сната и Прагера о сдвиговом течении идеальнопластического материала при наличии изолированных линий скольжения, на которых происходит разрыв скоростей перемещений и пластическое деформирование. Рассматривается процесс разрезания полосы из изотропного и анизотропного материала. Определена величина чашечки, образуемой при разрезе полосы. Г

Рассмотрены возможные различные направления скоростей перемещений под штампом. Наряду с решениями Прандтля и Хилла, предлагается новое решение с застойными зонами.

Рассмотрено течение полосы при изгибе, установлена форма изогнутой полосы. Предлагается решение о течении полосы при растяжении, отличное от решения Оната и Прагера.

Рассмотрено течение плоской полосы при растяжении из анизотропного материала, ослабленной пологими выточками. Для поля напряжений и скоростей перемещений определено полиномиальное решение, обобщающее решение Оната и Прагера.

Шестая глава посвящена линеаризированным уравнениям теории идеальной пластичности. Линеаризированные уравнения теории идеальной пластичности рассматривали А.Ю. Ишлинский, В.В. Соколовский, Онат и Прагер, Д.Д. Ивлев, М.В. Михайлова и др. В работе рассматриваются линеаризированные уравнения теории идеальной пластичности в случае полного предельного состояния для соотношений изотропных и анизотропных сред. Рассмотрены линеаризированные уравнения теории идеальной пластичности в случае статической определимости соотношений при условиях, не совпадающих с условиями полной пластичности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Определение и исследование соотношений теории идеальной пластичности в обобщенных переменных,. содержащих обобщение соотношений изотропии А.Ю. Ишлинского на случай анизотропных сред; Исследование соотношений теории идеальной пластичности в обобщенных переменных С.А. Христиановича и Е.И. Шемякина; ^ Исследование разрывных решений общего пространственного состояния идеальнопластического тела при условии полной пластичности и его представление на диаграмме Мора;

Вывод и исследование уравнений общей плоской задачи для напряжений и скоростей перемещений в случае общей плоской задачи при условии полной пластичности; Алгоритм численного решения уравнений общей плоской задачи, решение задач о вдавливании жестких штампов в идеально пластическое полупространство при действии продольных сдвигающих усилий; Определение предельного напряженного состояния пространственного идеально пластического слоя сжатого шероховатыми плитами при коллинеарном и неколлинеарном положении результирующих касательных усилий на контактируемых поверхностях в случае статически определимых состояний; ^ Определение предельного напряженного состояния пространственного слоя, сжатого шероховатыми плитами при статически неопределимых состояниях идеально пластической среды; У Определение и исследование линеаризированных уравнений теории идеальной пластичности в случае статически определимых и неопределимых состояниях; Определение предельных уравнений теории идеальной пластичности при стремлении сил сцепления к нулю.

1. Александров С.Е. Плоские установившиеся идеальные течения в теории пластичности. // Изв. РАН МТТ, 2000, №2, С.136 -141.

2. Александров С.Е., Лямина Е.А. Сингулярные решения при плоском пластическом течении материалов, чувствительных к среднему напряжению. // Докл. РАН, 2002, Т.383, №4, С.492-494.

3. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашев С.у\. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука, 1984.

4. Артемов М.А. Об одном предельном виде условия идеальной пластичности. // Изв. РАН МТТ, 1996, № 2, С. 134-137.

5. Артемов М.А., Ивлев Д.Д. О влиянии внутреннего механизма вязкости на идеапьнопластическое поведение материала. // ПММ, 1983, Т.47, Вып.З, С.524-527.

6. Артемов М.А., Ивлев Д.Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести. //ДАН РАН, 1996, Т.350, №3, С.332-334.

7. Бережной И.А., Ивлев Д.Д. Диссипативная функция в теории пластичности. И Механика деформируемого тела, Межвузовский сборник, Куйбышев, 1977, Вып.З, С.5-22.

8. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1963 -244с.

9. Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций и разрыва. М.: ИЛ, 1964.

10. Бровман М.Я. Применение теории пластичности в прокатке. М.: Металлургия, 1964.

11. И.Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998.

12. Галин Л.А. Упруго-пластические задачи. М.: Наука, 1984.-232с.

13. Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949.

14. Гейрингер Г. Некоторые новые результаты теории идеальнопластического тела. Проблема механики. Сб. Статей, М.: Ил, 1955.

15. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах. // Теория пластичности. М.: Ил, 1948, С.80-101.

16. Гофман О., Закс Г. Введение в теорию пластичности для инженеров. М.: Машгиз, 1957.

17. Григорян С.С. Об одной задаче Л.Прандтля и теории пластического вещества по поверхностям. //ДАН СССР, 1981, Т.257, №5, С. 1075-1077.

18. Друянов К.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990.- 272с.

19. Ерхов М.И. Теория идеальнопластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978.

20. Ершов Л.В. Приближенное решение осесимметричных упругопластических задач. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1959, № 3.

21. Ершов Л.В. Упругопластическое состояние вблизи сферической полосы // Изв. АН СССР ОТН., Механика илмашиностроение, 1960, №6, С. 155-155.

22. Жуков А.М. К вопросу возникновения шейки в образце при растяжении. // Инж. сб., 1949, Т.5, Вып.2, С.34-51.

23. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. М.: Наука, 1992.

24. Зубчанинов В.Г. Проблемы математической теории пластичности. // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сборник статей. М.: Изд-во МГГУ, 2001, С.219-242.

25. Зубчанинов В.Г. Проблемы теории пластичности. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.394-405.

26. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.-448с.

27. Ивлев Д.Д. О диссипативной функции в теории пластических сред. //ДАН СССР, 1967, Т. 176, №5, С. 1037-1039.

28. Ивлев Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях. //ДАН СССР, 1959, Т. 124, № 3, С.576-548.

29. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды. // ПММ, 1958. Т.22, Вып.2, С.90-95. у •)

30. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1965.

31. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971.

32. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упруго-пластичного тела. М.: Наука, 1978.

33. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю. Полная пластичность в теории идеальнопластического тела.// ДАН РАН, 1999, Т.368, №3, С.333-334.

34. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. О свойствах течений изотропной среды. // Изв. ДАН РАН, 2000, Т375, №2, С.191-194. 1?

35. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. О течениях изотропных сред. // Изв. РАН, МТТ, 2000, № 5, С.5-12.

36. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. Условия изотропии и обобщенный ассоциированный закон пластического течения. //ДАН РАН, 2000, Т.371, №1, С.49-51.

37. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. Условия изотропии и соотношения обобщенного ассоциированного закона пластического течения. // Изв. РАН, МТТ, 1999, №6, С.39-54.

38. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О вдавливании индентора видеальную жесткопластическую полосу. // Изв. РАН, МТТ, 2000, №3, С. 131-135.

39. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О возмущенном течении растягиваемой идеальнопластической полосы. // ДАН РАН, 1998, Т.363, №5, С.632-633.

40. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О плоских течениях идеально жесткопластической среды. // ДАН РАН, 2000, Т.370, №1, С.43-44.

41. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О представлении состояния полной пластичности на диаграмме Мора. // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, №3, 2001, С.45-51.о

42. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности. // ДАН РАН, 2000, Т.373, №1, С.39-41.

43. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О сдавливании цилиндрического идеальнопластического слоя шероховатыми плитами. // Современные проблемы механики деформируемого твердого тела, Сиб. Отд. РАН, 2001, Вып.119, С.53-54.

44. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности. // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, сводный том №3(13), №4(14), 1998, №1(15),2(16), 1999, С. 13—15.7 0

45. Ивлев Д.Д., . Максимова Л.А. Об идеальном жесткопластическом течении плоской полосы. // ДАН РАН, 1998, Т.363, №4, С.483-484.

46. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А., Непершин Р.И. О вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство с учетом сдвиговых усилий. // ДАН РАН, 2001, Т.379, №2, С. 196-199.

47. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А., Непершин Р.И. О вдавливании плоского штампа в идеальное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений. // ПММ, 2002, Т.66, Вып.1, С. 134-139.

48. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А., Непершин Р.И. Об определении поля скоростей идеальнопластического течения в случае общей плоской задачи. // ДАН РАН, 2001, Т.379, №6, С.758-763.

49. Ивлев Д.Д., Непершин Р.И. Внедрение гладкого сферического штампа в жесткопластическое полупространство // Изв. АН СССР, МТТ, 1974, №4, С. 159-165.

50. Ивлев. Д.Д., Романов A.B. Об одном классе точных не автомодельных задач теории идеальной пластичности. // В кн. Нелинейные модели и задачи механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1984.

51. Ильюшин A.A. Вопросы теории речения пластического вещества по поверхности. // ПММ, 1954, Т. 18. Вып.З.

52. Ильюшин A.A. Деформация вязкопластического тела. Учен, зап. МГУ, Механика, 1940, Вып.39, С.3-81.

53. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Московского ун-та, 1978.

54. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

55. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения. // ПММ, 1955, Т. 19, Вып.6, С.693-713.

56. Ишлинский А.Ю. 'Пластичность (обзор). // В кн. : Механика в СССР за тридцать лет (1917-1947). М.; Л.: Гостехиздат, 1950, С.240-253; в кн. Механика, идеи задачи, приложения. М.: Наука, 1984.

57. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Т. 1, 2. М.: Наука, 1985.

58. Ишлинский А.Ю. Пространственное деформирование не вполне упругих и вязкопластических тел. // Изв. АНСССР. ОТН., 1944, №3, С.250-260.

59. Ишлинский А.Ю. Развитие механики в СССР. // В кн.: Октябрь и научный прогресс. М.: АПН, 1967, С.567-626; в кн. Механика, идеи задачи, приложения, М.: Наука, 1 §84.

60. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.- 704с.

61. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. К теории изотропных сред. // Проблемы механики деформируемых тел. Сб. научных статей. Посвящается 90-летию академика НАН Армении Н.Х. Арутюняна, Ереван, 2003, С. 190-198.

62. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О свойствах моделей изотропных сред. // Сб. статей к 70-летию Н.Ф. Морозова, 2002, С.5-12.

63. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. Условия изотропии и , ассоциированный <) закон пластической деформации. // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сборник статей. М.: Изд-во МГГУ, 2001, С.93-116.

64. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения. // Прикл. математика и механика, 1958, Т.22, Вып.1, С.78-89.

65. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

66. Кийко И.А. Моделирование процессов пластического течения. // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин.: КГУ, 1986, С.41-48.

67. Клюшников В.Д. : Лекции по устойчивости деформируемых систем. М.: МГУ, 1985,-224с.

68. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: МГУ, 1979.-208с.

69. Клюшников В.Д. О законах пластичности для материалов с упрочнением. // ПММ. Т.22, Вып.1, 1958.

70. Койтер В. Общие теоремы в теории упруго-пластических сред. М.: ИЛ, 1961.

71. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург. УПИ, 2001.- 836с.

72. Колмогоров В.Л. Напряжения, деформации, разрушение. М.: Металлургия, 1970.

73. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости. //Теория пластичности. Сб. переводов. М.: Ил, 1948, С.20-23.

74. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, которая зависит от вида напряженного состояния. // Изв. АН СССР. МТТ, 1980. №4, С.92-99.

75. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред. // Изв. АН СССР, МТТ, 1991, №6, С.66-75.

76. Максимова Л.А. К задаче о вдавливании штампа в идеальнопластическую среду. // Прикладные задачи механики сплошных сред. Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: Воронежский Госуниверситет, 1999, С. 164-168.

77. Максимова Л.А. О влиянии сдвигающих усилий на предельное состояние полосы, сжатой шероховатыми плитами. // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, сводный том №3(13), №4(14), 1998, №1(15), №2(16), 1999, С.17-19.

78. Максимова Л.А. О линеаризированных уравнениях пространственных течений идеальнопластических тел. И ДАН РАН, 1998, Т.385, №6, с.772-773.

79. Максимова Л.А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами. // ПММ, 2000, Т.64, Вып.6, С. 10991104.

80. Максимова Л.А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами. // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, сводный том №3(13), №4(14), 1998,0№1(15), №2(16), 1999, С.20-25.

81. Максимова Л.А. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности. // Чебоксары, Известия НАНИ ЧР, №4, 2000.

82. Максимова Л.А. О сжатии плиты из идеально-пластического материала // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию содня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.520-523.

83. Максимова Л.А. О сжатии слоя из идеально жесткопластического материала ^есткими анизотропно шероховатыми плитами. //ДАН РАН, 2000, Т.372, №1, С.50-52.

84. Максимова Л.А. О статически неопределимом состоянии идеально-пластического слоя, сжатого жесткими шероховатыми поверхностями. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.524-530.

85. Максимова Л.А. О течении полосы из идеального жесткопластического материала, ослабленного пологими выточками. // Изв. РАН МТТ, 1999, №3, С.65-69.

86. Максимова Л.А. Условия изотропии в обобщенных переменных. // Вестн. Моск. Ун-та, Сер.1, Математика. Механика, 2004, №2, С.36-40.

87. Маркин А.А., Глаголев В.В. К выбору критерия направленного разделения упругопластических материалов. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.546-554.

88. Маркин А.А., Глаголев В.В. Моделирование процесса разделения материала. // Проблемы механики неупругих деформаций. М.: Физматлит, 2001, С. 191-198.

89. Матченко И.Н. Вариант построения теории идеальнойпластичности ортотропных сыпучих сред. // Известия ТГУ,7

90. Механика, Вып.З, 2002, С. 108-116.

91. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Усачев В.В. О возможности обобщения закона пластического течения А.Ю. Ишлинскогона случай ортотропных сред. // Проблемы механики неупругих деформаций. М.: Физматлит, 2001, С.117-122.

92. Матченко Н.М., совместно с Кузнецовым Е.Е., Матченко И.Н. Условие полной пластичности ортотропных сред. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.502-509.

93. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. Г^лоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов // Известия АН СССР, МТТ, 1975, №1, С.69-170.

94. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии. Теория пластичности, Сб. переводов, М.:Ил,1948, с.57-69.

95. Михайлова М.В. О пространственном течении идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами. //ДАН РАН, 2001, Т.376, №3, С.335-337.

96. Михайлова М.В. Сдавливание пластического слоя искривленными и наклонными шероховатыми плитами. // Изв. РАН МТТ, 2002, №2.•7

97. Михлин С.Г. Основные уравнения математической теории пластичности. М.: Изд. АН СССР, 1934.

98. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.

99. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: 1965. 456с.

100. ЮО.Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ИЛ, 1954.

101. Непершин Р.И. Влияние теплопередачи на изотермическое плоское пластическое течение при сжатии тонкой заготовки между плоскими штампами. // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1997, №1, С.96-103.

102. Непершин Р.И. Пластическое течение при сжатии диска между параллельными плитами. // Машиноведение, №1, 1968, С.97-100.

103. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение, 1990.

104. Ю4.0льшак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пластичности. М.: Мир, 1964.

105. Юб.Онат и Прагер Механика (сб. переводов). М.: ИЛ, №4, 1954.

106. Юб.Перлин И.Л. Теория прессования металлов. М.: Металлургиздат,1964. ^

107. Победря Б.Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. И шли некого. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.635-657.

108. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Московского университета, 1995.

109. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физматгиз, 1958.

110. Прагер В. Теория пластичности: обзор новейших успехов.

111. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеальнопластических тел. М.: ИЛ, 1955. ,)

112. Прандтль Л. О твердости пластических материалов и сопротивлению резанию. Теория пластичности. Сб. Переводов. М.: ИЛ. 1948, С.70-79.

113. ИЗ.Прандтль Л. Примеры применения теории Генки к равновесию пластических тел. Теория пластичности. Сб. Переводов. М.: ИЛ, 1948, С.102-113.

114. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

115. Радаев Ю.Н. К теории трехмерных уравнений математической теории пластичности // Изв. РАН МТТ, 2003, №5.

116. Иб.Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н., Рябова Ю.Н. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности // Вестник Самарского госуд. ун-та, 2003, №2(28), С.96-112.

117. Ревуженко А.Ф. Механика сыпучей среды. Новосибирск. ЗАО ИПП «ОФСЕТ», 2003.- 374с.

118. Ревуженко АФ. Механика упругопластических сред и нестандартный анализ. СО РАН, Изд-во Новосибирского университета, 2000, 428с.

119. Ревуженко А.Ф., Чанышев А.И., Шемякин Е.И. Математические модели упругопластических тел. // Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск, Наука, 1984.

120. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов. // Прикл. механика и техническая физика. 1977, №3, С. 157-173.

121. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Теория оптимального проектирования в строительной механике, теории упругости и пластичности. Итоги Науки. Изд. ВИНИТИ, 1965.

122. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М.: Стройиздат, 1954.

123. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физ.-мат., 1962.-284с/ 7

124. Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел. Некоторые приложения. Теория пластичности. Сб. переводов. М.: Ил, 1948, С.24-33.

125. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости. Теория пластичности. Сб. переводов. М.: Ил, 1948, С. 11-19.

126. Снедон И.Н. и Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физ.-мат., 1961.- 220с.

127. Соботка 3. Осесимметричные и 7 трехмерные задачи предельного равновесия неоднородных сплошных сред. // Механика. Сб. переводов. М.: ИЛ, 1961, С.143-153.

128. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М.: ГИТТЛ, 1954.

129. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969.

130. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. Воронеж, 1997. - 360с.

131. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. М.: Высшая школа, 1971.

132. Теория пластичности. Сборник переводов. М.: ИЛ, 1948.

133. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. Пер. с англ. М.: Гостехтеоретиздат, 1957, 536с.

134. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М.: Мир, 1975.-670с.

135. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979.

136. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964.

137. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов. М.: Металлургия, 1972.

138. Трещев A.A., Божанов П.В. Вариант теории течения для дилатирующих материалов. // Извч) ТГУ. Сер. Механики, Вып.З, 2002. С. 184-190.•7

139. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: ГТТИ, 1947.-300с.

140. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Госиздат физмат литературы, 1962.

141. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах. Теория пластичности, Сб. переводов, М.: Ил, 1948, С.41-55.

142. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1955, 407с.•7

143. ХоджФ., Гудьер Д. Упругость и пластичность. М.: ИЛ, 1960.

144. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре. // Мат. сб., 1936, Т.1, №4, С.511-534.

145. Христианович С.А., Михлин С.Г., Девисон Б.Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. М.: Изд. АН СССР, 1938.

146. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности. // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, №5, 1967.

147. Христианович С.А., Шемякин Е.И. О плоской деформации пластического упрочняющегося материала при сложном нагружении. // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, №3, 1969.

148. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел, Владивосток: Дальнаука, 1995.

149. Целиков А.И. Основы теории прокатки. М.: Металлургия, 1964.

150. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.

151. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния. // АН СССР, Сибирское отделение, Численные методы механики сплошной среды,: Т.4, №4, 1973. 7

152. Шемякин Е.И. Введение в теорию упругости: Учеб. Пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1993. -96с.

153. Шемякин Е.И. Диссипативная функция в моделях идеальных упругопластических тел. // ДАН РАН, 2001, Т.376, №4, С.488-491.

154. Шемякин Е.И. О хрупком разрушении твердых тел // Изв. РАН. МТТ, №2, 1997, С.145-150.

155. Шемякин Е.И. Очерки геомеханики (горное давление и основа механики горных пород). // Научн. сообщ. ИГД им. А.А. Скочинского, В. 313/99, С.7-38.

156. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности. // Физическая мезомеханика, 1999, Т.2, №6, С.63-69.

157. Шестериков С.А. К построению теории идеальнопластического тела. // ПММ, 1960, Т.24, Вып.З.

158. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии. Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. период лит., 1957, №1. С. 102-122.

159. Alexandrov S. A note on the limit load of welded joints of a rectangular cross section // Fatigue Fract. Engng Mater. Struct. 1999. V.22. No.4. P.449-452.

160. Drucker D.O., On uniqueness in theory of plasticity // Quart. Appl. Math., 14, №1, 35-42 (1956).7

161. Dugdale D.S. Experiments with pyramidal indenters Part 1 // J. Mech. Phys. Solids. 1954. V.3. P. 197-204.

162. Green A.E., Hypo-elastisity and plasticity // Proc. Roy. Soc., 234A, №1196, 46-59 (1956).

163. Mises R., Mechanic der festen Körper im plastish derformablen Zustand, //Gotting. Nachr., Math. Phys. Kl., 582-592 (1913).

164. Nepershin R.l. Non isotermall plane plastic flow of thin layer compressed rigist by flat, Int. J. of mec. See., V 39, 1997, № 8, pp. 899-912.

165. Hodge P.G., The teory of piecewise linear isotropic plasticity, in "Deformathion and Flow of Solids", (IUTAM Symp.Madrid 1955), ed. R. Grammel, Berlin, 1956, S 147-17Ö!

166. Prager W., Three-dimensional plastic flow under uniform stress // Rov/ Faculte Sei. Univ. Istanbul, 19, №1, 23-27 (1954).

167. Sobotka Z. Reology of materials on engineering structure, Prague, Academia, 1984, 548p.

168. Thomas T.Y., On the characteristic surfaces of the von Mises plasticity equations//J. Rat. Mech. Anal., 1, №3, 343-357 (1952).

169. Tresca H., Memoire sur l'ecoulement des corps solides sourmis a les fortes pressions, vol. C. Rend 59, 754, Paris, 1864.

170. Ziegler H., Thermodynamic und rheologisce Probleme // Ing. Arch., 25, 58 (1957).7 -7