Некоторые вопросы общей теории предельного состояния твердых деформируемых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Миронов Борис Гурьевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ТВЕРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Чебоксары - 2006

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Чувашский государственный педагогический университет им. И .Я. Яковлева» Научный консультант:

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится 28 июня 2006 года в Пчасов на заседании диссертационного совета Д 212.300.02 при ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» по адресу: 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, д. 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева».

Автореферат разослан «26» мая 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Ивлев Д.Д.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, академик РАН Шемякин Е.И.; заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Зубчанинов В.Г.; доктор физико-математических наук Максимова Л.А.

кандидат физ.-мат. наук

Радаев С.Ю.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория идеальной пластичности принадлежит к числу фундаментальных разделов механики твердого деформируемого тела.

Теории предельного состояния и идеальной пластичности посвящены многочисленные исследования. Среди них можно выделить основополагающие работы Кулона, Треска, Сен-Венана, Хаара и Кармана, Прандтля, Мизеса и др.

Значительное развитие теория предельного состояния и идеальной пластичности получила в трудах С.Е. Александрова, Б.Д. Аннина, A.A. Буренина, Г.И. Быковцева, Л.А. Галина, A.A. Гвоздева, X. Гейрингер, Г.А. Гениева, Г. Генки, Д. Друккера, Б.А. Друянова, В. Джонсона, М.И. Ерхова, Л.В. Ершова, М.А. Задояна, В.Г. Зубчанинова, Д.Д. Ивлева, A.A. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, В.Д. Юпошникова, В.Т. Койтера, М.Леви, Е.В. Ломакина, A.A. Маркина, Н.М. Матченко, В.П. Мясникова, А. Надаи, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, В. Прагера, Ю.Н. Радаева, А.Ф. Ревуженко, А.Р. Ржаницына, С.И. Сенашева, В.В. Соколовского, Л.А. Толоконникова, Т. Томаса, А.Д. Томленова, Р. Хилла, Ф. Ходжа, С.А. Христиановича, А.И. Хромова, Г.П. Черепанова, A.B. Чигарева, Г.С. Шапиро, Е.И. Шемякина, Р. Шидда и др.

Теория идеальной пластичности возникла на основе представлений о предельных состояниях твердых тел.

Диссертационная работа посвящена исследованию предельного состояния деформируемых тел в случае статически определимых соотношений. Теория предельного состояния тел нашла широкое применение в расчетах элементов конструкций, работающих в условиях предельных нагрузок, для описания технологических процессов обработки

металлов и других материалов давлением, в механике предельных состояний грунтов и т.д.

При статически определимом состоянии система уравнений, определяющая напряженное состояние является замкнутой.

Впервые статически определимые соотношения теории идеальной пластичности были даны Сен-Венаном для случая плоской задачи: система трех уравнений, состоящая из двух уравнений равновесия и условия пластичности, является замкнутой относительно трех компонент напряжения.

Статически определимые соотношения осесимметричной задачи были даны Генки при условии полной пластичности. А.Ю. Ишлинский дал решение ряда осесимметричных задач при условии полной пластичности.

Статическая определимость общих уравнений теории идеальной пластичности и предельного состояния при условии полной пластичности была установлена Д.Д. Ивлевым. С.А. Христианович и Е.И, Шемякин исследовали процесс перехода состояния неполной пластичности в полное пластическое состояние и показали, что предельное состояние материала наступает при достижении им состояния полной пластичности.

В диссертационной работе рассматриваются статически определимые соотношения теории предельного состояния в общем случае, не совпадающие с условием полной пластичности.

Отметим, что статически определимые соотношения предельного состояния изотропного материала сводятся к условию полной пластичности. В общем случае статически определимые соотношения определяют свойства анизотропного материала.

Новые результаты, позволяющие расширить представления о предельном состоянии и характере пластического течения тел,

принадлежат к числу важных и актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

Целью работы является

определение и исследование общих статически определимых соотношений теории предельного состояния;

исследование статически определимых соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности;

исследование статически определимых соотношений теории предельного состояния обобщающих соотношения антиплоской задачи;

определение и исследование свойств общих линеаризованных уравнений теории идеальной пластичности и предельного состояния.

Научная новизна. В работе определяются и исследуются общие статически определимые соотношения теории предельного состояния в обобщенных переменных, содержащих обобщение соотношений полной пластичности и соотношений изотропии А.Ю. Ишлинского на случай анизотропных сред.

Исследованы статически определимые состояния пластических тел при различных условиях предельного состояния, не совпадающих с условием полной пластичности. Показано, что в исследуемых случаях исходные уравнения принадлежат к гиперболическому типу.

Исследованы уравнения общей плоской задачи теории идеальной пластичности, включающих в себя, как частный случай состояние плоской и антиплоской деформации. В рассматриваемых случаях определены характеристики исследуемых соотношений и соотношения вдоль них.

Решены задачи о кручении цилиндрических и призматических стержней, сектора кругового кольца, стержней переменного сечения при условии пластичности Мизеса при действии переменного давления.

Исследованы общие линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности и предельного состояния. Рассмотрено пространственное течение пластических тел переменного сечения для гладких и кусочно-гладких поверхностей текучести.

Достоверность полученных результатов основана на использовании фундаментальных представлений теории идеальной пластичности и строгих математических методов исследования, совпадении полученных результатов с известными результатами для частных случаев.

Практическое значение работы. Результаты работы позволяют получить решение ряда новых задач теории идеальной пластичности важных для практических приложений. В частности, полученные результаты могут быть использованы при расчетах жесткопластических состояний различных сред; при анализе процессов обработки металлов, задач предельного равновесия и различных проблем прочности конструкций, инженерных сооружений и т.д.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывалась:

- на семинарах по механике деформируемого твердого тела при кафедре математического анализа Чувашского государственного педагогического университета им. И Л. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 1998-2006);

- на ежегодных итоговых научных конференциях преподавателей Чувашского государственного педагогического университета им. ИЛ. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 1999-2006);

- на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТГУ, 2003);

- на Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, ВГУ, 2004);

- на V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005);

- на семинаре по механике деформируемого твердого тела в Тверском государственном техническом университете (Тверь,

■ ТГТУ, 2006).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 195 страниц печатного текста, список литературы включает 197 наименования.

Основное содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, обзор литературы по тематике диссертации и краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава «Общие статически определимые соотношения теории предельного состояния» состоит из семи параграфов.

В первом параграфе рассмотрены общие статически определимые соотношения теории предельного состояния в обобщенных переменных.

Система соотношений является статически определимой , если наряду с тремя уравнениями равновесия

В*, + —— + —— =

дх ду dz

Зет

_ + — ■ + —

дх ду dz

дх ду dz

имеют место три условия предельного состояния

/(<г,) = 0, ЛЮ = 0, /з(^) = 0. (1.2)

Соотношения связи между компонентами «т^ тензора напряжений в декартовой системе координат хуг и компонентами сг1. главных напряжений имеют вид

о", = °"Л2 + ^г'п1 + о",'1'. = о\/Л + агт^пг + ет,/^,

с, = сгД + &2т1 + °"зп2> = + с2т,т3 + сг3л2и,, (1.3)

о", = сг,/* + <т2/Из + <т3//31, г, = сг,/,/, + сг/л./я, + <73и,л3,

где - направляющие косинусы, определяющие ориентацию

главных напряжений

Пусть <Т[ <<т2 <о"3. Имеют место соотношения

ст.,. = V + + Тл,2 , г^ = 2/я,т2 + Ти,л,,

ег, = V + Хл1гг + 1п\ , т^ = 1,т2т3 + Тп2п}, (1.4)

аг = V + Ъп1 + Ти3г , = 2т,т3 + Ти,л3.

где

<7, =У,Е = СГ2 -СГ1,Т=СГз -СГ,.

Вводятся обозначения

Г»,=л/1т,1 + л/Тв,1,

^ = 72тг1 + л/Ти2], (1.5)

7/, =|1Ч,|, N5 = -Лт^ + л/Тв33. Для скалярных произведений векторов N,,N2,N5 справедливы соотношения

(N,,N^ = #,7/.,сова,,

(^.^НЛу^созя,, ()<«, ¿я-, (1.6)

(IV,, Г*, ^Л^,««^, 0<аг,^я-.

Для трех векторов N,,N2,N3 лежащих в одной плоскости ,не нарушая общности, можно считать (рис. 1.1)

cosa^ = cos(a2 + а3). (1.7)

Рис. 1.1

Соотношения (1.4) могут быть записаны в виде crx=v+N¡,Txy= N¡N2 cosa,, cry=v + N22, туг = N2N,cosa,, (1.8)

er, = v + W,, та = N,N3 cosa,. Соотношения связи a— определяются из условия экстремума функционала

^ = (1.9)

где

N - авев = 3ve + + + s¡yN1 eos a3 + saN3 eos a2) +

+ N2(evNt cosa, + fyiV2 + e^N, cosa,) + (1-10)

+ N3(e^N, eosa2 + cosa, + гг.Л^),

/(v,a2,a,,Ar,,Ar2,//,) = 0, Mv,at,a„NtÍNt,Nt) = 0. (1.11)

/,(1/,а2,а,,ЛГ,,АГг,ЛГ,) = О. Из условия экстремума функционала (1.9), согласно (1.10) и (1.11), следуют соотношения ассоциированного закона течения. В общем случае статически определимых состояний получены соотношения ассоциированного закона течения

еат cosa, Я, üf,

-— + £ver„ cosa, + -- —'--^-N, =

cosa, v cosa, 2 5ЛГ,

= s er cosa, + r + -i- —'--¿¿-N.,

" ' 3 cosa, cosa, 2 8N2 1

sxrTx, cosa, г г Я, 8f. ,r

-- + ' + sa, cosa, —=

cosa, cosa, 2 SA^

£■ г cosa, s x Я 8f

= -=-2-+ O- cosa,+-^----St-JV,, (1.12)

cosa, " ' ' cosa, 2 dN, 2 v

E T cosa, £Г Г я, а/; „

£•„£7, cosa. + --+ —¡---'--^-N. =

** 1 2 cosa, cosa, 2 fflV, '

et e t cosa, Я. 5/;

= —^s- + -- + e_ cr cosa, - -¡—¿í-N,.

cosa, cosa, 2 cW,

В случае, когда материал является изотропным, соотношения (1.12) переходят в условия изотропии А.Ю. Ишлинского

^ + ^ + = ^ + W +

+ Er,CF, = W+Vj.» (1.13)

В частности, когда условия предельного состояния (1.11) имеют вид

/1(у,а,,а,) = 0,/2(у,аг,а,) = 0, /,(у,а3,а,) = 0, (1.14)

а также

/,(а„а,) = 0,/,(а2,а,) = 0, = К + N1 + -к{у) = 0.(1.15)

из (1.12) следует

е,т„ cosa2

-— + s e7 cosa3 +---=

cos or, cosa,

ггг cosa,

= cosa, + y g + -

cosa, cosa2

s t cosa, £ t

-z-z--H—cosa, =

cosa2 cosa,

st cosa, s t

*------!-+VcoSff,+^, (1.16)

cosa,

£уг*гу cosa, c.r_

ejyt cosa, +——---н-

cosa3 cosa2

г/» , cosa, —í—=-H----+ £:„сг, cosa2.

cosúfj cosa, В случае, когда имеет место условие

cosa, cosaj cosa3 = 1 (1-17)

соотношения (1.16) приобретают вид (1.13).

Во втором параграфе приведены общие соотношения для компонент

напряжения в декартовой системе координат

(сг, - v)(ay - v) cos1 a, = т%,

(cr, - v)(<7, - у) cos1 a, = т1, (1.18)

(a-, - v)(cr, - v)cos3 a2=zl,

а также

(crI - cosa2 cos a3 = cosa,, {ay - v)Tn cosa, cosa3 = r^ cosa2, (1.19)

(cr, - v)r4 cosa, cosa2 = r^r^ cosa3. Согласно (1.17) и при выполнении условия

Nf+ N¡+N¡=2k,k = const (1.20)

из (1.18) и (1.19) следуют известные соотношения [34] при условии полной пластичности.

Показано, что при выполнении условия (1.20) влияние углов а, на возмущенные состояния общих соотношений (1.8) начинает сказываться только в третьем приближении.

В третьем параграфе рассмотрены общие соотношения для компонент напряжения при неполном пластическом состоянии. В общем случае система соотношений при неполном пластическом состоянии является статически неопределимой. Для того, чтобы имели место статически определимые соотношения при неполном пластическом состоянии к исходным соотношениям необходимо присоединить два конечных соотношения, зависящих от одного из главных напряжений, параметра Лоде и направляющих косинусов остальных двух главных напряжений.

В четвертом параграфе исследованы статически определимые состояния, когда направляющие косинусы, определяющие направление главных напряжений, представлены как функции одного из главных напряжений и двух максимальных касательных напряжений

/#=/((<г1,Г,Т),1Я(=и»|(сг1,2;Т),и1=и((«г1,2;Т). (1.21) Рассмотрен случай, когда

I, = /,(*,), Щ =я»,(сг„2,Т), п, =и,(сги2,Т). (1.22)

Показано, что в этом случае система исходных уравнений принадлежит к гиперболическому типу, определены характеристические поверхности рассматриваемых уравнений.

Исследовано также предельное состояние, при котором направление одного из главных напряжений фиксировано. Подобные случаи могут быть реализованы при обобщенных плоских состояниях. Показано, что

исходные соотношения принадлежат к гиперболическому типу. Определены уравнения характеристических поверхностей.

В пятом параграфе рассмотрены предельные состояния, когда отдельные компоненты главных напряжений постоянны. Предельный случай имеет место, когда все три компонента главных напряжений постоянны, напряженное состояние зависит только от ориентации главных напряжений в теле. Показано, что исследуемые уравнения принадлежат к гиперболическому типу, направления главных напряжений являются характеристическими.

Шестой параграф посвящен исследованию предельного анизотропного состояния среды

/Д,и,,и,) = 0,/,(/„!»„«,) = О,/,(/„«„и,) =0. (1.23)

Определены характеристические поверхности системы уравнений для напряженного и деформированного состояний. Показано, что они имеют совпадающие характеристические поверхности. Дано распределение постоянного давления в треугольнике.

В седьмом параграфе исследовано предельное статически определимое состояние при условии сопротивления отрыву. Найдены уравнения характеристических поверхностей исходных соотношений и показано, что они принадлежат к гиперболическому типу.

Вторая глава «Статически определимые соотношения общей плоской задачи теории предельного состояния» состоит их двух параграфов.

В первом параграфе исследованы статически определимые соотношения общей плоской задачи в случаях, когда условие предельного состояния не совпадает с условием полной пластичности. Предложена общая замена переменных, включающая как частный случай соотношения плоской и антиплоской задач

ax = cr + 2, cos2<p, ау = cr —2 cos2<p,rv = 2 sin 2<p,

r =Tsin<?,r„ =Tcos<9, (2.1)

где

^XS

Согласно (2.1), из (1.2) следует

tr,=F(<r,2:,p,T,0), (2.3)

F,(<t,2,?>,T,0) = 0,Рг(а ,2,£>,T,<9) = 0. (2.4)

Предполагается, что

сг = <т(дг,у), 2 = 2(*. >>),,? = p(x1y),T = T(íj),0 = в(х,у). (2.5)

Согласно (2.1), (2.5) уравнения равновесия (1.1) имеют вид

дет 8Z _ __ , Л дер S2 . . „„ _ да .

-+ —cos2p - 22sin 2р— + —sm 2 q> + 2£cos2<z>— = 0,

дх дх дх ду ду

— + —sin 2<р + 22 cos 2.?— - —cos + 22sin 2«?— = 0, (2.6) ду дх дх ду ду

—cosí? - Tsin0— + — sinf? + Tcos0— = 0. дх дх ду ду

В случае, когда условия пластичности (2.4) имеют вид

Fl{<T,-Z,q>,1,e) = <р-в = 0,F2(ct,2>9>,T) = 0. (2.7)

показано, что система уравнений (2.6) принадлежит к гиперболическому

типу и имеет три характеристики. Уравнения характеристик

Ш ='£<>-"-/?)(£) =-ctg{<p-a + /3){^=tgcp, (2.8)

. „ 2А„2 + В2ТТ „ А3 2А2„2 + В2ТТ

где sin 2а =---—,cos2a = ——,sin2/? =--—--—,

AAA

А = -J(2A .2 + В2ТТ)2 + А> , А,„ =^.,А2Е = ^,А2 „=^-,В2Т = л/v 2» Эсг 2Е es' 2" д(р ЗХ

Соотношения вдоль характеристик (2.8) имеют соответственно вид (sin(ar + Р) sm(í» - 2ог2 + а + р) — sin 2р2 sin q> — В Т

--cos(ar + /?)sin(<2> + а + P))dcг -

А2

- (sin(ar + Р) sin(<z> - 2огг - а — Р) + sin 2а2 sin <р+ (2.9)

В,тТ

А,

-cos(o: + /?)sin(<? -a- P))dZ + 2£(sin(a + /?) cos(^ -

В X

+ 2аг —a-P)-cos2a2sm<p--— sm(tp-a-p))d<p = 0,

Aj

(cos(a - p)cos(<p - 2a 2 -va — P) — sin 2рг sin tp + В X

н———sin(cf - /?)cos(£> + a — P))da -A2

— (-cos(a-/?)cos(0>-2a2-a + p) + sin 2a2 sin <p + (2.10)

В X

+ 2T sin(a-P)cos{(p-a + P))dZ + 2Z(cos(a- /?)sin(<p + A2

В X

+ 2a 2-a + P)-cos2a2sm<p + ~Y~cos(ip-a+ 0))d<p = O,

Х(Лг + <Я:)-22Ж) = 0. (2.11)

При F2 (a, 2, <p,T) = 4X2 - 4KZ + X2 = 0 имеет место условие полной пластичности.

Рассмотрены также статически определимые соотношения общей плоской задачи, когда условия предельного состояния имеют вид

F1(ff,S,(z») = 0,F2(£7,2,<2.,X,e) = 0 (2.12)

и

F¿<r,X,<pJ,e) = O,F2(X,0) = 0. (2.13)

Для рассматриваемых случаев определены характеристики и соотношения вдоль характеристик.

Во вторам параграфе соотношения общей плоской задачи рассмотрены, когда условия предельного состояния имеют вид

/1(у,а3,^„ЛГг) = 0, /2(^,а3,^„7У2) = 0, /3(«2,//3) = 0. (2.14) При различных предположениях относительно функций /,,/2 найдены характеристики исследуемых соотношений и соотношения вдоль этих характеристик..

Третья глава «Статически определимые соотношения теории предельного состояния при сдвиговых усилиях» состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе рассмотрено предельное состояние тела, когда условия предельного состояния имеют вид

/(<т,-£,в) = ф,Т = Т(р),а1=г(р). (3.1)

Из уравнения равновесия (1.1) и соотношений (3.1) следует

^ + —со320 - 22з1п 29^- + + 2£соз20^ =

ах дх ах ду ду

(3.2)

= ~{Т' cos <р-Т sin <р) —, &

—sin 26» + 22COS20— + — - — cos 261 + 2Esin20— = дх д.х ду ду ду

= -(Г' sin <р + Tcos <рУ— dz

(Г' cos <р - Тsin <р) ^ + (Г sin <р + Т cos <р)^ + g ^ = 0, (3.3)

дх ду dz

dT ' dg где Г»—, g =

d(p d<p

Уравнения характеристических поверхностей системы (3.2),(3.3) имеют вид

=tg{e-a~P),[^ = —ctg{6 — a + P), (3.4) (jc-c1),+Cy-cJ),=i*V, (3.5)

где

r^+r _df_ _8f_

g'2 '"~да'А*~<т'°-дв

■ „ 2„ Л . „„ 2Л„Е sin 2a = -7 1 -,cos2g = ... ' -,sin2/? = -

' JÜ&TA;' V4 Al^ + Al'

Вдоль третьей характеристической поверхности (3.5) <р-= const, с, и к - своя для каждой характеристической поверхности.

При определении компонент скоростей перемещений используются соотношения, следующие из ассоциированного закона пластического течения

(ЛЕ — А^ cos 20)—- A, sin 20 — - A, sin 29—+ (Л£ + A, cos 20) — = О,

д.х ду дх ду

(А„ + 2A„Xsin2e)^-2A„Zcos20^-~

Bv ¿TV ^ ^

- 2^Scos2é>— + (Ав - 2^ Г sin 20)— = О, дх ду

dw dw dw

(T'cos<p — Tsmq>)—+(T'sm<p + Tcos<p)—+g'— = дх ду dz

= -(—— + (7"cos(9- Г sin <р)— + —— + (Г sin (р + rcosp)—).

Д, йх dz Аа ду dz

Характеристические поверхности системы уравнений (3.6) совпадают с характеристическими поверхностями системы уравнений (3.2), (3.3), определяющей напряженное состояние тела.

Исследовано также предельное состояние тела, когда

(3.7)

Напряженное и деформированное состояния определяются из волновых уравнений

+ (3.8)

дх2 дуг дг

а2г э2г эгг

ас3 + 8уг дг

+ (3.9)

где

ау ах ах эг зу ЭГ

Решение волновых уравнений (3.8) и (3.9) определяются в виде

Х = Х1(х + у + ^22) + Х2(х + у-42г) + Х,(х-у--^22), (ЗЛО) ¥ = У,(х + у + Л2) + Г2{х + у-Л2) + Уг(х-у-42х), (3.11) где X,, Г, - произвольные функции.

В случае, когда условие предельного состояния имеет вид

а, = = = Л» Р,=сопШ (3.12)

напряженное и деформированное состояния тела определяются из соотношений

322 = 0,^=0, (3.13)

дхду дхду где

аг _аг = а£ = ау __а?

" дг' " ду' " дх' дх' ду' дг Решения уравнений (3.13) определяются в виде

г = г,(х,г) + г2(у,г), Я = £,(*, г)+£,(>•, г), (ЗЛ4)

где 5) - произвольные функции.

Во втором параграфе рассмотрена задача о кручении цилиндрических и призматических стержней. Предполагается <7 = и = сг = —Яг + с. т —О,

I у I ' 1у >

и имеют вид

г„ = совр,, + Л(х - = эш^ + Л(у - уа), (3.17) где (х0,у0)е Ь и <р(х0,уа) = <ра,Ь - контур поперечного сечения стержня в плоскости ху (г=сож1).

У

та =COS(Z=sin^,

где Я — const,с -const.

Компоненты напряжений определяются из уравнения

(3.15)

дх ду

(3.16)

х

Рис. 3.1

Характеристики уравнения (3.16) суть окружности {Рис.3.1) 1

окружности радиуса ¡—¡-, причем центры этих окружностей расположены Н

1

на касательных к контуру Ь и расстоянии т—г от точки касания

н

(3.18)

Компоненты скоростей перемещений определятся в виде

и = = —рХ2,

- (, - ,. + - 2х0 + + с. (3.19)

6)

Рис. 3.2

Исследуется кручение цилиндрического стержня (Рис. 3.2), контур поперечного сечения Ь которого есть окружность радиуса Л. Напряженное состояние определяется в кольце, ограниченном окружностями Ь и Д, где Ц - огибающая характеристик. Характеристики ортогональны к контуру Ь и касаются огибающей Вектор касательного напряжения т во всех точках направлен к ней ортогонально. Решение задачи не определяется внутри круга, ограниченный огибающей . Стержень следует рассматривать как полый, поперечное сечение которого ограничено изнутри огибающей . На внутренней стенке стержня действуют касательные усилия направленные вдоль его образующей, которые уравновешивают действия усилий на концах стержня.

В тех случаях, когда через данную точку сечения могут проходить две и более характеристик, имеет место линия разрыва напряжений.

С £> В У X

ь О

Рис. 3.3

Рассмотрен случай, когда контур поперечного сечения Ь стержня образует прямой угол (рис. 3.3), который совпадает со вторым

координатным углом. В этом случае, определена линия разрыва напряжений /, уравнение которой имеет следующий вид

я-^Г-*1 + + у(агсз'п§ + агсБт^) - 2ху = 0. (3.20)

На отрезке АВ касательное напряжение не спрягается. Следовательно, вдоль отрезка АВ необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может бьггь продолжено за огибающие характеристик ВО и ВС. Вдоль линий ВБ и ВС действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси г, уравновешивающие перепад давления сг,.

Вдоль линии разрыва имеет место соотношение

с1м> = р(-у<1х + хЛу). (3.21)

В третьем параграфе исследована задача о кручении сектора кругового кольца, когда боковая поверхность сектора находится под давлением, линейно зависящем от угла поворота вокруг оси сектора. Определяется поле характеристик исследуемых соотношений, находятся касательные усилия и поле скоростей перемещений вдоль характеристик (Рис. 3.4).

В четвертом параграфе аналогично исследовано кручение стержня переменного сечения при действии переменного давления, линейно меняющегося вдоль оси стержня. Определено поле характеристик исследуемых соотношений рассматриваемой задачи, найдены касательные усилия и поле скоростей перемещений вдоль характеристик (Рис. 3.5).

Четвертая глава «Линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности и предельного состояния» состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе получены линеаризованные уравнения общих статически определимых соотношений теории предельного состояния. Для напряженного состояния имеют место уравнения

2

Р

Рис. 3.5

дгхг

дхдг

+

(4.1)

о",

X

дгХ2 д2Х

&2 + ду2

+

1а«, з/„/

(аЪс, 123)

где индекс «штрих» приписан компонентам в возмущенном состоянии, индекс «нуль» - компонентам исходного нулевого состояния. Здесь и далее символ (хуг,123) означает, что недостающие уравнения получаются из имеющегося путем циклической перестановки знаков х,у,г и 1,2,3.

Для компонент скоростей деформаций имеют место уравнения

в, = 4а, + ЛД + Хгс, + До-; + Ь2<т'у + Ьусг\ + Ь^ ++ £,=Л,а2 + Л\Ьг + ^с2 + М,ах + М2а'у+М3а,+Мит'ху+М23ту1+М1,т'хг, е, = Х^а3 + Х2Ъ, + Л,с, + ЛГ,сг; + Ы2сту + Ы3а\ + ЫХ2т„ + + Л^,

(4.2)

= Х,а]2 + Х2Ь„ + Х,с12 + Ьхах + Ьуау + Ь,<у\ + Ь^ + Ь^ + Ьата, = %аа + Х2Ь13 + Х,с23 + Мхсгх +Муау + М,а, +Мжут„ +Мугту1 + Мххт'хх, = ^а, з + Хфп + Хъс,3 + Ых<т'х + Иуа'у + Ых<т\ + Ы^ +

(4.3)

где

81,да, д/п.да,

д2/: эу;

-25

£ _ "< \ " Л,___" Л:

" ст° - СГ,° {дп^а, д136а,

л; (эу; ау°

+ , (ЬМЫ,\ 23, /т л)

м„

12_ г - " "_ т _

я;

СГ, -СГ2

a2/: 2dv: | a2/; a/t

а/, 8l18m¡ dm.

«-а

Г a2/t° а2/; э2. ')|_а»г3Э/2 дпгд1г dm,

__^

3/, 6/л

я; Га2/; а2/; (о-; - )(сг° - о-,0) [а«,а/2 а/3а/2

dm,

а2/;

а1/; , 5/>°

дп2дт, а«,

s3/;

о-,-«-,

о »

дп1дт, а/3Эт, Эл2 J

(LMN, xyz, 1тп,\23)

Л, - неопределенные множители Лагранжа. При условии полной пластичности

сг, - <72 = А-(/„/2,/3)> <Т, - <Т, = *(/„/,.'») (4.4)

исследуется течение прямоугольного бруса из анизотропного идеальнопластического материала, уравнения граней которого задаются в виде

3> = ±(й, +#(*,*)), z = ±(h2+Sf1(x,y)). (4.5)

В качестве основного невозмущенного состояния используется

состояние одноосного растяжения — сжатия при = 1,1° = = 0.

Для компонент напряжения справедливы соотношения

, . .а2 + 62 + 2 . . ay + bz. о\ = Ар(---sin р(х ——)cos psy cos ptz —

— S COS p(x — psy COS ptz — t COS p(x— 2LÍÍE.) C0S pyysin ptz),

. , . ■ , ay + bz. cry = сг = Ap sm p(x —--) cos psy cos ptz,

t'x = Ap(^ sin p(x — cos psy cos ptz -

— s cos p(x — — 2 s'n cos P!z)¡

(4.6)

, . ,b . , ay + bz. t a= Ap(—smp(x ——)cospsy cosptz -

— ÍCOS — COS /Mysin ptz), t'^ = 0.

1 dk° , ' 1 8k° . , , *j2 + al , V2 + b2

где a = —-,b = —-, л = const, p — const, s =-, t =-.

к0 д!г к0 д!3 И 2 2

Возмущенные уравнения граней бруса определяются из условия

A (4.7)

;г(1 + 2q) Л , , где р= \ ' ,q = 0,±1,..., 2shx

/.»(-rfd.píx-^eo.w, (4.8)

где p = __JL)<7 = o,±l,.....

Во втором параграфе рассматриваются линеаризованные уравнения для статически неопределимых соотношений теории идеальной пластичности. В частности, рассматриваются линеаризованные уравнения в случае, когда имеет место условие пластичности

tr.-ff, =*(/„/,,/,). (4.9)

Напряженное и деформированное состояния определяются из соотношений

^ = f(P¡x + q1y + r¡z), (4.10)

Y = Яр2х + q2y + r2z) + Af(Plx + q,y+r,z), (4.11)

A'j — 0j X 2 ~ Хг = X y

" 8x' V~ dy 2 дх " dy l28z'W 8z 2 dx 21 ду u 8z' где

^ = _аад,+а11г, + _^ _^^

л ^ 2(киЯ' + (ки + к„)д,г, + к71г{2)^

I

ка=2са-Ь„а31-Ья,а„, К =2с„-Ъааи —Ьааг1, кг2 = 2сп -&сд31 -Ь„а31,

1 1

Я,г ~ сг° -о? д/, ' "" ~ ег° - о-,» о/3 '

Исследуется пространственное течение анизотропного идеальнопластического бруса и плиты (Рис. 4.1).

В третьем параграфе рассматриваются линеаризованные уравнения статически неопределимых соотношений теории идеальной пластичности при условии равенства двух главных напряжений. Определяются соотношения, характеризующие напряженное деформированное состояние. Исследуется течение бруса, ослабленного пологими выточками.

В четвертом параграфе методом малого параметра получено приближенное аналитическое решение пространственной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. При этом за исходное нулевое приближение принимается решение Прандтля о сжатии слоя жесткими параллельными плитами.

Основные результаты и выводы:

1. Определены и исследованы общие статически определимые соотношения теории предельного состояния в обобщенных переменных, содержащих обобщение соотношений изотропии А.Ю. Ишлинского на случай анизотропных сред.

2. Исследованы статически определимые состояния пластических тел при различных условиях предельного состояния. Установлен тип уравнений, определены уравнения характеристических поверхностей.

3. Исследованы статически определимые состояния среды в случае, когда предельное условие зависит только от направлений главных напряжений, а также когда предельное условие зависит только от величин главных напряжений. Установлен тип уравнений, определены уравнения характеристических поверхностей.

4. Исследованы свойства общих статически определимых соотношений теории предельного состояния при условии сопротивления отрыву. Установлено, что поверхности отрыва в общем случае совпадают с характеристическими поверхностями.

5. Определены и исследованы общие статически определимые соотношения в случае общей плоской задачи. Получены уравнения характеристик и соотношения вдоль характеристик.

6. Определено и исследовано общее пространственное предельное антиплоское напряженное состояние пластических тел в случае

статической определимости. Получены уравнения характеристических поверхностей и установлен тип уравнений.

7. Определены предельные состояния цилиндрических и призматических стержней, сектора кругового кольца, стержней переменного сечения при переменном давлении.

8. Определены и исследованы общие линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности и предельного состояния.

9. Исследовано пространственное пластическое течение призматических тел переменного сечения для гладких и кусочно-гладких поверхностей текучести.

10. Исследована пространственная задача теории идеальной пластичности в цилиндрической системе координат при условии полной пластичности применительно к цилиндрическому слою, сжатому шероховатыми плитами.

Список публикаций по диссертации

1. Миронов Б.Г. Линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности // ДАН РАН, 1999, Т.364, № 5, С. 617-619.

2. Миронов Б.Г. Линеаризованные соотношения ассоциированного закона нагружения теории идеальной пластичности // ДАН РАН, 1999, Т.366, № 6, С. 766-767.

3. Мироиов Б.Г. О предельном состоянии идеальнопластического анизотропного бруса и плиты // Изв. РАН МТТ, 2000, № 5, С. 13-20.

4. Миронов Б.Г. О предельно анизотропном состоянии идеальнопластической среды // ДАН РАН, 2002, Т.385, № б, С. 770773.

5. Миронов Б.Г. О приближенном аналитическом определении предельного состояния идеальнопластических тел // Изв. РАН МТТ,

2004, № 2, С. 170-176.

6. Миронов Б.Г. О соотношениях теории анизотропной идеально пластической среды // Изв. РАН МТТ, 2005, № 1, С. 120-125.

7. Миронов Б.Г. О статически определимых соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности // Изв. РАН МТТ,

2005, №5, С.' 135-140.

8. Миронов Б.Г. О предельном статически определимом состоянии при отрыве // ДАН РАН, 2006, Т.409, № 2, С. 1-4.

9. Миронов Б.Г. К теории анизотропной идеально- пластической среды. Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. / Под ред. Д.М. Климова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С. 564-568.

Ю.Миронов Б.Г. О растяжении плиты и бруса из идеальнопластического анизотропного материала. Проблемы механики неупругих деформаций: Сб. статей. К семидесятилетию Д.Д. Ивлева. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 198-210.

П.Миронов Б.Г. Об одном случае предельного состояния тел в пространстве // Вестник ЧГПУ, № 6(30), 2002, С. 32-36.

12.Миронов Б.Г. О статически определимых соотношениях теории идеальной пластичности // Вестник ЧГПУ, № 2(44), 2005, С. 40-43.

1 З.Миронов Б.Г. Об основных соотношениях статически определимых состояний идеальнопластических тел // Вестник ЧГПУ, № 2(44), 2005, С. 44-49.

14.Миронов Б.Г. О кручении призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей // Вестник ЧГПУ, № (48), 2006, С. 98-101.

15.Миронов Б.Г. О растяжении прямоугольного бруса из анизотропного идеальнопластического материала, ослабленного пологими выточками // Известия ИТА 4P, № 3(12), 1998, С. 66-71.

16.Миронов Б.Г. Об определяющих соотношениях теории вязкопластичности // Вестник ЧГПУ, № 2(21), 2001, С. 141-151.

17.Миронов Б.Г. Об основных и линеаризованных соотношениях теории вязкопластичности // Известия ИТА 4P, № 3(16), 1999, С. 60-69.

Подписано в печать 22.05.2006. Формат 60x84/16. бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано на участке оперативной полиграфии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» 428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38

Введение.

Глава 1. Общие era i ически определимые соотношения теории предельного состояния

§ 1.1 Основные соотношения предельных статически определимых состояний тел.

§ 1.2. Об определении общих статически определимых состояний на основе состояния полной пластичности.

§ 1.3. Статически определимые соотношения при неполном пластическом состоянии.

§ 1.4. Статически определимые соотношения теории предельного состояния при условии зависимости направляющих косинусов главных напряжений от их величин.

§ 1.5. Статически определимые соотношения теории предельного состояния при ограничениях на главные напряжения.

§ 1.6. Предельное анизотропное состояние идеальнопластической среды.

§ 1.7. Предельное статически определимое состояние при отрыве.

Глава 2. Статически определимые соотношения общей плоской задачи теории предельного состояния

§ 2.1. Основные соотношения общей плоской задачи теории предельного состояния.

§ 2.2. Свойства соотношений общей плоской задачи теории предельного состояния.

Глава 3. Статически определимые соотношения теории предельного состояния при сдвиговых усилиях

§ 3.1. Статически определимые состояния тел при сдвиговых усилиях.

§ 3.2. Кручение призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей.

§ 3.3. Кручение сектора кругового кольца при действии переменного давления.

§ 3.4. Кручение стержней переменного сечения при действии переменного давления.

Глава 4. Линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности и предельного состояния

§ 4.1. Общие линеаризованные уравнения теории предельного состояния.

§ 4.2. Предельное состояние идеальнопластического анизотропного бруса и плиты.

§ 4.3. Предельное состояние призматического тела переменного прямоугольного сечения при условии равенства двух главных напряжений.

§ 4.4 Приближенное аналитическое определение предельного состояния идеальнопластических тел.

Основные представления о предельном состоянии тел были заложены Галилеем и Кулоном. Галилей, рассматривал разрушение балки при изгибе и предложил схему распределения усилий по поперечному сечению балки, вполне соответствующую распределению напряжений по идеальной жесткопластической схеме.

Кулон (1773 г.) сформулировал основные представления о предельном равновесии, применив их к определению давления засыпки, ограниченной горизонтальной плоскостью, на вертикальную подпорную стенки. Вертикальная стенка предполагалась абсолютно гладкой, Кулон исходил из допущения о существовании плоской поверхности сползания.

Коши в 1828 году предложил соотношения для определения напряжений в пластических телах; исходя из молекулярных представлений. Коши предполагал среду лишенной сил сцепления и не вышел за рамки представлений гидродинамики.

Именно представление о силах сцепления лежит в основе теории предельного состояния грунтов и теории пластичности металлов, хотя приложения теории предельного равновесия и теории пластичности не ограничиваются названными средами.

Представления о предельном состоянии фунтов и сыпучих сред в дальнейшем были развиты в работах Моузли (1833г.), Ренкина (1853г.), Леви (1869г.), Сен-Венана (1870г.) и др.

Ренкин рассмотрел предельное равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью, ввел понятие о поверхностях скольжения.

Возникновение теории пластичности принято относить ко времени появления работ французского инженера Треска (1864г.). На основе экспериментов по штамповке и выдавливанию свинца, Треска выдвинул гипотезу о предельном значении максимального касательного напряжения, при достижении которого в теле возникают необратимые деформации. Предельное значение максимального касательного напряжения характеризует, согласно Треска, предельное значение сил сцепления материала.

Сен-Венан (1870г.) положил условие пластичности Треска в основу вывода соотношений теории пластического течения, в случае плоской деформации. Соотношения Сен-Венана: два уравнения равновесия да дтп дт, да + -^- = 0, —— н--— = 0, (1) дхду дхду условие пластичности Треска ах -ау)2 + 4 г* =4k\k = const, (2) условие несжимаемости de+de= 0, (3) У условие изотропии материала, устанавливающее коаксиальность тензора напряжений и тензора скорости деформации т de.

4) ах - <Т( dex - dey ' где сгх,а},тп - компоненты напряжения, dei,de^,dexi - приращения компонент деформации.

Соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности (1)—(4), сформулированные Сен-Венаном, полностью сохраняют свое значение.

Позднее Прандтль (1920г.) сформулировал представление об идеальном жесткопластическом теле и переход от приращений de деформаций de к скоростям пластических деформаций s =—-, что " dt позволило использовать эйлерово представление о течении в теории идеального жесткопластического тела.

Условию изотропии (4) можно придать форму a s +т £ =т е +СТ s . (5)

X Н Г) > Г» X > п V /

Пространственные соотношения теории идеальной пластичности впервые были даны Леви (1871г.). Он записал условие пластичности Треска в общем виде. Соотношения, определяющие пластическое течение, Леви определил из условия пропорциональности сдвиговых напряжений и приращений сдвигов. С современной точки зрения Леви использовал условие пластичности Треска и соотношения ассоциированного закона течения при условии пластичности Мизеса. Леви при помощи замены переменных crx=a + kcos20, <rf =а - kcos20, TXi=ks\n20, <т = ^(сгх+<7^.(6) удовлетворил условию пластичности (2) и из (1) получил систему квазилинейных уравнений

- 2&sin 20— + 2£cos 20— = О, д.х дх ду

7) 2£cos 20— + Iksm 20— = 0. ду дх ду

Уравнения (7) лежат в основе исследований по определению напряжений при плоском деформированном состоянии идеальнопластического тела.

В 1909 году появилась работа Хаара и Кармана [163]. В этой работе авторы высказали соображения, чго теория предельного состояния грунтов и теория пластичности имеют общие основы. В работе сформулирован вариационный принцип, определяющий пластическое состояние тел, и определено условие полной пластичности или полного предельного состояния.

Отметим введение Мизесом (1913г.) квадратичного условия пластичности о'уо'у =к2, ранее аналогичное условие пластичности было предложено Губером (1904г.).

Прандтлю и Генки принадлежит выдающийся вклад в развитие плоской задачи теории идеальной пластичности.

Прандтль (1921г.) ввел понятие идеального жесткопластического тела и впервые дал решения задач о вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство и в усеченный идеальнопластический клин. При этом Прандтль рассматривал идеальнопластический материал, свойства которого зависят от среднего давления т- f(cr), где г - касательное напряжение, сг- среднее давление.

Генки (1923г.) ограничился рассмотрением идеальнопластического материала , свойства которого не зависят от среднего давления. Он сформулировал две теоремы для статически определимых состояний плоской задачи теории идеальной пластичности. Им даны решения статически определимых задач о вдавливании штампов, обобщающее решение Прандтля, при этом Генки предполагал, что статически определимые состояния могут иметь место для узко ограниченного круга задач. В этой же работе Генки выводит уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и определяет предельную нагрузку при вдавливании осесимметричного жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство, в предположении, что имеет место сетка скольжения плоской задачи, определенная Прандтлем.

Прандтль (1923г.) указал, что класс статически определимых задач теории идеальной пластичности гораздо шире, чем предполагал Генки. Прандтль уточнил формулировки теорем Генки, установил гиперболический характер уравнений плоской задачи идеальнопластическою напряженного состояния материала, дал численные методы решения, определил постановки задач определения предельной нагрузки при вдавливании штампов в идеальнопластическую полосу и сдавливания пластического слоя шероховатыми плитами. В этой работе Прандтль дал замечательное асимптотическое аналитическое решение задачи о течении полосы, сжатой жесткими шероховатыми плитами, которое послужило основой для расчета технологических процессов обработки металлов давлением кх . I. fvY ^ кх „ ку „ С, <7=--+ С, т = —, C=const, (8) h xvh

7 =--±2*Jl

У \hj где 2h - ширина сдавливаемой полосы.

Позднее Надаи дополнил это решение построением поля скоростей перемещений.

Генки определил интегралы, установившие свойства линий скольжения dy f а + 2kQ = const вдоль а -линии — = tg dx з-2kQ = const вдоль p-линии — = tg dx

4,

9)

0-^ 4. где а,Р - линии совпадают с линиями действия максимальных касательных напряжений.

Гейрингер (1930 г.) исследовала уравнения (3), (4) для определения поля скоростей перемещений ди dv п о, ди dv^ sin 29 = dv ди^ cos 20 (10) ск ^ дх ду) ^ ду дх и установила, что уравнения (10) принадлежат к гиперболическому типу, характеристики уравнений (10) совпадают с характеристиками уравнений, определяющих поле напряжений (7) и вдоль характеристик имеют место соотношения dil + VdQ = 0 вдоль а-линии,

11) dV + UdQ = 0 вдоль линии, где U,V - компоненты скоростей перемещений вдоль а,)3 - линий.

Результаты упомянутых исследований открыли широкие возможности для решения различных задач теории идеальной пластичности.

Отметим, что характерной особенностью решений задач теории идеальной пластичности является неединственность поля скоростей перемещений, при этом предельная нагрузка определяется единственным образом.

Впервые соотношения ассоциированного закона течения были даны Мизесом (1928г.). Мизес определил соотношения ассоциированного закона течения для гладкой поверхности текучести

12)

Позднее Рейсе (1933 г.) предложил соотношения обобщенного ассоциированного закона течения dfx . df2

1да, 3d<7(' (13) f, (a,, cr2, cr}) = 0, f2 (cr,, a2, <r3) = 0, где <т(- главные компоненты тензора напряжений, st - главные компоненты скоростей деформации.

А.Ю. Ишлинский (1946г.) предложил соотношения пространственной задачи теории изотропного идеальнопласгического тела в следующем виде: три уравнения равновесия дх ду dz дтп дет дтх.

- + — + — = 0, (14) дх ду dz дх ду dz два условия пластичности

Я(Г2Х3)=0, /2(ад)=о (15) где S'2>z; - второй и третий инварианты девиатора напряжений, условие несжимаемости ех+е,+£1= (16) условия изотропии, утверждающие совпадение главных направлений тензоров напряжений и скоростей деформации

Tncjr2+avsvz + ivz8z =Txz£xv + TvzEv + ozCyZ, (17)

T-xz^x T vz^xv ®z^xz = GxZxz + tjrv£i z T.rzSz'

Согласно А.Ю. Ишлинскому, фиксированному напряженному состоянию <jtJ может соответствовать множество различных деформированных состояний, тем самым были развиты представления, описываемые в рамках обобщенного ассоциированного закона течения.

Современная формулировка соотношений обобщенного ассоциированного закона пластического течения принадлежит Койтеру (1953г.) и Прагеру (1953г.). Необходимо отметить также вклад Друккера

1949г., 1953г.) в обоснование основных представлений теории пластичности.

В середине 30-х годов математическая теория пластичности начала привлекать отечественных ученых. Появляются работы СЛ. Соболева, J1.C. Лейбензона, С.Г. Михлина, А.А. Ильюшина, В.В. Соколовского.

Заметный вклад в теорию идеальной пластичности принадлежит С.А. Христиановичу. С.А. Христианович [166] проанализировал уравнения плоской задачи теории идеальной пластичности, выявил вырожденные решения типа «простой волны», определил интегралы уравнений теории идеальной пластичности, послужившие основой для многочисленных решений, предложенных В.В. Соколовским.

С.А. Христианович развил алгоритм определения напряженного состояния вблизи отверстий любой формы под действием произвольной нагрузки, получил в результате разрывные решения.

А.Ю. Ишлинскому принадлежит прямой численный метод определения напряженного состояния в осесимметричных задачах теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Им были рассмотрены задачи о вдавливании штампов различной формы в идеальнопластическое полупространство, решена задача о так называемой пробе Бринелля. А.Ю. Ишлинский проанализировал кусочно-линейные условия пластичности, использовал эйлерово представление в задачах о течении идеальной вязкопластической среды.

Д.Д. Ивлев [32-33] исследовал статически определимую систему уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Он показал, что системы уравнений, описывающие как напряженное, так и деформированное состояния тела, принадлежат к гиперболическому типу и имеют совпадающие характерисшки. Им получены ряд частных решений пространственной задачи теории идеальной пластичности при различных условиях пластичности. В работах Д.Д. Ивлева [34-42] получила заметное развитие теория предельного состояния тел при статически определимых соотношениях.

С.А. Христианович и Е.И. Шемякин [168], [169] рассмотрели соотношения теории пластичности в случае полного и неполного пластического состояния. Они отмечают, что состояние неполной пластичности является статически неопределимым, статическая определимость имеет место при условии полной пластичности. В процессе деформирования идеальнопластического тела происходит процесс перехода от статического неопределимого состояния неполной пластичности к статически определимому состоянию полной пластичности. В результате С.А. Христианович и Е.И. Шемякин приходят к выводу, что пластическое течение может наступать только через полную пластичность.

Это утверждение имеет принципиальное значение для теории идеальной пластичности и теории предельного состояния тел

С.А. Христиановичем и Е.И. Шемякиным проанализировано поведение пластического материала в случае сложного нагружения и показано, что материал приобретает анизотропное сопротивление сдвигам, даже если в исходном состоянии он был однородным и изотропным. Е.И. Шемякин указал, что индуцированная пластическими деформациями анизотропия является едва ли не основным свойством пластичности, как и остаточная деформация.

Е.И. Шемякину [172-181] принадлежит последовательное развитие представлений о сдвиговом характере предельного состояния и разрушения твердых деформируемых тел и горных пород. Он указывает на исключительную важность учета влияния промежуточных максимальных сдвиговых усилий и сдвигов, дает обоснование перехода к полному предельному состоянию, как реализации максимальной возможности сопротивления горных пород разрушению. В качестве основных параметров, характеризующих напряженное состояние, Е.И. Шемякин предлагает рассматривать три инварианта

7, - <т3 а, + <т 2о - а, - а} ст.-стз Именно параметр Лоде =Т23~Т.2 т сг,-<т2 =ст2-ст, о у ' 112 2 ' 23 2 позволяет оценить сопротивляемость горных пород разрушению по «промежуточным» главным сдвиговым усилиям Т23,Т|2. Ему принадлежит также обоснование наличия свободы механизма сдвигов, независимо от вида напряженного состояния, и развитие представлений об особой роли анизотропии и дилатансии, сопровождающих образование блочного характера разрушения горных пород.

Представление диссипативной функции в математических моделях упругопластических сред отражает основные механические гипотезы, положенные в основу модели. Вопросы построения диссипативной функции в теории пластичности рассматривались Прагером, Циглером, Д.Д. Ивлевым, Е.И. Шемякиным и др. Показано, что эквивалентные построения соотношений теории пластичности могут быть получены исходя из определения функции нагружения и постулата максимума в пространстве напряжений (Мизес) и диссипативной функции и постулата максимума в пространстве скоростей пластических деформаций.

Крупный вклад в математическую теорию пластичности внес В.Г. Зубчанинов. В.Г. Зубчанинов [23-30] развил теорию управляемых упругопластических процессов, получил общие дифференциальнонелинейные определяющие соотношения связи напряжений и деформаций, разработал ряд частных теорий пластичности (теория малого кручения, модифицированная теория течения, теория квазипростых процессов и др.). Постулат локальной размерности образа процесса и постулат физической определенности образов процессов нагружения и деформирования, сформулированные В.Г. Зубчаниновым, позволили интерпретировать геометрически процессы в обычных трехмерных пространствах.

Основные результаты, полученные в теории пластичности изложены в монографиях [3, 8, 11, 17, 18, 22,29, 34, 38, 40, 62, 75, 78, 121, 123, 131, 151, 157, 158, 159, 162, 164] и др. Среди многочисленных обзоров необходимо отметить [12, 67, 69, 80, 127].

Представляемая работа посвящена исследованию ряда вопросов теории предельного состояния деформируемых тел в случае статически определимых соотношений и ее приложениям.

Под статически определимым понимается состояние тела, находящегося под нагрузкой, когда для определения напряженного состояния тела достаточно уравнений равновесия, а само тело может быть рассмотрено как недеформируемое, абсолютно твердое. В случае, когда состояние тела статически неопределима, сохраняется прямая зависимость между напряжениями и деформациями и нагрузка зависит от характера деформирования, т.е. фиксированная предельная нагрузка не может быть определена. Для достижения предельной нагрузки, независящей от характера деформирования тело должно перейти в статически определимое состояние

Классическим примером статически определимого состояния является предельное состояние, описываемое соотношениями плоской задачи теории идеальной пластичности. В общем случае условие предельного состояния имеет вид ct,CTv,x^H. (18)

Три уравнения (1), (18) образуют замкнутую систему относительно трех неизвестных аг,ау,тЛу.

Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформаций определяются согласно ассоциированному закону течения д/ е„ — А,- , v 8av

Х>0.

Полный дифференциал функции текучести (18) запишем в виде д/

Adox + Bdo + 2Cdxxv = 0, А = до

В = Ж до.: с=

2 5т,

Согласно (20) уравнения равновесия (1) можно записать в виде дог Зт xv до ск = 0, А—1--В

XV 2Сдт

XV 0. дх ду ду дх ду

Уравнения характеристик системы уравнений (21) имеют вид

Uy\ -С±4С2-АВ (dy\(dy\ А 1,2 dx ил / в dx ил /1 dx В

Соотношения вдоль характеристик (22) имеют вид da\ -С + л/С2 -АВ dr » /| 2 dax dr « У1 dcrx \ «Ji

В А

Из (22), (23) следует cfy) ( dcr„ dx А dr » У 2 dy\(dax dx dT»A 1.

19)

20)

21)

22)

23)

24)

В самом общем случае, система соотношений плоской задачи теории идеальной пластичности не всегда принадлежат к гиперболическому типу.

Согласно (22) система уравнений (21) принадлежит к гиперболическому типу, если имеет место условие С2 - АВ > 0.

Предположим, что функция текучести (18) не зависит от величины среднего давления а. В этом случае имеет место

7Г<7,Г>0. (25)

Согласно (20), (25)

Of

А = -В =

Из (22), (23), (26) следует dy\ С + у/А2 +С2 ( ^ dx у (J А d(Jx dcr.

26)

CiVZ+c7

27)

Согласно (27) система уравнений (21) имеет два семейства взаимно ортогоналных характеристик и принадлежит к гиперболическому типу. Поле скоростей перемещений определяется согласно (19), (20) ди , , dv л „ 1 (ди dv) х= — = ЛА, 8 = — = КВ, Zxv=— — + — дх ду 2\ду

1С, (28) где u,v - компоненты скорости перемещении. Из (28) следует система уравнений ди , dv

В--А- = 0, (А-В) дх ду ди dv ду дх

1С 0,

29) ди dvУ дх ду

Система уравнений (29) имеет характеристики (22). Вдоль характкристик (22) справедливы соотношения fdu\ С + л/С2 - АВ [du\(du\ А dv)\\dv)2 В dvj

I 2 В

30)

Для функции текучести (25) согласно (26), (29) имеет место условие несжимаемости ди dv п — + —= 0. дх ду

В случае осесимметричной задачи имеют место два уравнения равновесия dp dz р dp dz p где Gp,a0,Gz,Tpz - компоненты напряжения в цилиндрической системе координат р0z.

Если имеет место одно предельное условие ap,a o,az,Tpz)=0, (33) три соотношения (32), (33) являются статически неопределимыми относительно четырех компонент напряжения cjp,ao,az,ipz.

Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформаций определяются согласно ассоциированному закону

Ер=АД-, е Х>0. (34) dap да0 да2 2 дср2

Статически определимая осесимметричная задача теории идеальной пластичности имеет место, если определены два предельных соотношения i(ap,a0,az,Tpz)=0, /2(ap,a0,az,Tpz)=O. (35)

Система четырех уравнений (32), (35) относительно четырех компонент напряжений (7p,ae,az,Tpz является замкнутой. Соотношения

35) можно записать в виде о = (36)

Соотношения связи между напряжениями (36) и скоростями деформаций определяются согласно обобщенному ассоциированному закону где 8p,80,8z,Sp2 - компоненты скорости деформации вдоль осей p,0,z.

Исследование свойств уравнений статически определимых соотношений осесимметричной задачи дано в [57J.

В случае пространственной задачи имеют место три уравнения равновесия (14).

Поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям равновесия (14), является статически возможным.

В случае удовлетворения напряженного состояния условию пластичности согласно [40], соотношения (14), (38) определяют пластическое состояние материала. Система четырех уравнений (14), (38) является статически неопределимой.

Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформации определяются согласно ассоциированному закону течения

В случае удовлетворения напряженного состояния двум соотношениям согласно [40], соотношения (14),(40) определяют развитое пластическое состояние. Система уравнений (14), (40) продолжает оставаться статически неопределимой.

В случае статически неопределимых cooiношений имеет место прямая зависимость напряжений от скоростей деформаций.

38)

39) iKH,/2( а,)=0,

40)

Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформации определяются согласно обобщенному ассоциированному закону течения

1,Д2>0. (41)

Статическая определимость соотношений теории идеальной пластичности имеет место при выполнении трех условий пластичности

КН /2(а,>0, /зЦ>0. (42)

Система шести уравнений (14), (42) является относительно шести компонент напряжения замкнутой.

Скорости деформации определяются из соотношений ассоциированного закона течения при условиях пластичности (42) s + + Л„Л2,Л}>0. (43)

Для изотропного материала три независимых условия

1(ст„а2,а3)=0, /2(ст1,С72,СУЗ)=0, /3(сУ1,а2,а3)=0, (44) приводят к полю напряжений

Т] — const, u2=const, G3 =const. (45)

Для изотропного материала статическая определимость имеет место при условии полной пластичности [40] aj=CT2, G^=G\+2k, к = const. (46)

Из соотношений связи ry ax=Gl'l +cy2ml +<53п\ » тд:у=а1^2+а2/и1ш2+<73л1л2' CJV =СУ1/2 +<32>п2 +а3л2' тхг=(3\ЬЬ+(У2т\тЗ+аЗП1П3^ (^7) л л

C7Z =CJj/3 +(У2тз +а3л3 , Xvz =<Зх121т, +<32т2т3+°3п2п3> где ll,ml,nl - направляющие косинусы, определяющие ориентацию ортогональных главных направлений 1,2,3 в декартовой системе координат xyz, и соотношений (46) следует

2 2 ох=<з-—к+2кп1, тху=2кп[п1,

2 о

Jv=o--k+2knl, хуг=2кп1пъ, (48)

2 2 <jz=a--k+2kti2, ххг=2кп{Пт), п\ +п1 +4 =1. + а v + az )» где щ,П2,п^ - направляющие косинусы главного напряжения <т3 в пространстве главных напряжений сг,,<т2, сг3. Из(48)следует т т т т т т

Щ--, п2=—-, п3 =-—. (49)

2кх vz 2^z 2ЛтЛУ

Из (48), (49) получим

2 . ^JCV^-TZ

3 *vz

50)

3 Txz 2 . az=a--£+-,

3 т

V«+V«=2L (51)

ITT jrz jrz jrv

Из (14), (48) следует система уравнений

1 Эст „ дп, dvi\ дщ дщ дщ п

--+2щ—1-+п2—-+щ—-+щ—1+щ—-=0,

2 к дх дх ду ду dz ду

1 да дщ дп2 л дп-, дщ дщ --+щ—1+щ—^+2щ—-+щ—1+щ—=0, (52) r\ I ^ Л 'л ^ Л. ^ Л ^ ^ Ч/

2к ду дх дх ду dz dz

1 За сИ дщ дщ дщ сЦ .

--+щ —1+щ —-+щ —-+п2 —-+2щ —-=0,

2 к dz дх дх ду ду dz щйщ +n2dn2 Л-щйщ =0. Система уравнений (52) принадлежит к гиперболическому типу. Представляя уравнение характеристической поверхности системы уравнений (52) в виде

4>(W) = 0, (53) получим ngraM)\l(ngracW)2 -(gracW)1 j= 0, (54) где n = щ\ + п2\ + щк, = + +

Из (54) следует, что характеристическим является направление n, а также направление, составляющее угол ^ с направлением п. Другими словами, характеристики образуют конус с раствором — с осью вдоль п, 4 на характеристических поверхностях касательные напряжения достигают максимального предельного значения.

Соотношения ассоциированного закона течения при условии полной пластичности имеют вид [34 ] щ щ п2 п2 щ щ ev+sv+ez=0. (56)

Согласно (48) соотношения (55) можно записать в виде

-+е, "

XZ дгу XZ

Gx-G+2k/3 „z

Gr -G+2k/3 8

XV "vz

Gr-G+2k/3

XZ e

У*

- + E-,

1 \z или

- + B, xz

Gx+ZxyGx-a+2k/3 ' "xzGx-G+2k/3 W

- + 8„ +8, vz

X}'Gv-G+2k/3 У yZGv~G + 2k/3 '

58) 8 xz

XZ

- + 8. vz

Gz-G+2k/3 yzGz-G+2k/3 e2, или

X +EXV ^^XZ = Ь8 v + 8 vz =£jfZ ^ vz '"^z •

T T T T T T lxz клгу MZ JTV vz vxz

Переходя в соотношениях (55) к компонентам скоростей перемещений по формулам Коши ди dv ОХ ду 01 dw zxy 2

1 ди dv] 1(ди dw \ 11 dv dw} ду dxj £rz~ ~ dz дх

-dz ду

60) получим систему трех уравнений относительно трех неизвестных u,v,w дх Я| dv —+— ч ду дх

И-! п ди + dw" v dz дх , dv щ

2—+ ди dv ду п2 \ ду дх п п2 dv дw —+— dz ду dw щ( ди dw =2—+— —+— dz л3 \dz дх -п-, dv^dw tii{dz dy du dv dw . —+—+—=0. dx dy dz

Система уравнений (61) принадлежит к гиперболическому типу. Уравнение для определения характеристических поверхностей (53) системы (61 Совпадаете (54).

Диссертационная работа состоит из четырех глав.

Основные результаты и выводы:

1. Определены и исследованы общие статически определимые соотношения теории предельного состояния в обобщенных переменных, содержащих обобщение соотношений изотропии А.Ю. Ишлинского на случай анизотропных сред.

2. Исследованы статически определимые состояния пластических тел при различных условиях предельного состояния.

3. Исследованы статически определимые состояния среды в случае, когда предельное условие зависит только от направлений главных напряжений, а также когда предельное условие зависит только от величин главных напряжений.

4. Исследованы свойства общих статически определимых соотношений теории предельного состояния при условии сопротивления отрыву.

5. Определены и исследованы общие статически определимые соотношения в случае общей плоской задачи.

6. Определено и исследовано общее предельное антиплоское напряженное состояние пластических тел в случае статической определимости.

7. Определены предельные состояния цилиндрических и призматических стержней, сектора кругового кольца, стержней переменного сечения при переменном давлении.

8. Определены и исследованы общие линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности и предельного состояния.

9. Исследовано пространственное пластическое течение призматических тел переменного сечения для гладких и кусочно-гладких поверхностей текучести.

10. Исследована пространственная задача теории идеальной пластичности в цилиндрической системе координат при условии полной пластичносш применительно к цилиндрическому слою, сжатому шероховатыми плитами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александров С.Е. Плоские установившиеся идеальные течения в теории пластичности. // Изв. РАН. МТТ. 2000. №2. С. 136141.

2. Александров С.Е., Лямина Е.А. Сингулярные решения при плоском пластическом течении материалов, чувствительных к среднему напряжению. // ДАН РАН, 2002, Т.383, № 4, С.492-494.

3. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашев С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука, 1984.

4. Бережной И.А., Ивлев Д.Д. Диссипативная функция в теории пластичности. // Механика деформируемого тела, Межвузовский сборник, Куйбышев, 1977, Вып.З, С.5-22.

5. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1963. 244с.

6. Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций и разрыва. М.: ИЛ, 1964.

7. Бровман М.Я. Применение теории пластичности в прокатке. М.: Металлургия, 1964.

8. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.

9. Васильева A.M., Ивлев Д.Д., Михайлова М.В. О растяжении полосы и бруса переменного прямоугольного поперечного сечения из идеальнопластического материала // Изв. РАН, МТТ, 1996, № 6, С. 79-87.

10. Галин Л.А. Упруго-пластические задачи. М.: Наука, 1984.-232с.

11. Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949.

12. Гейрингер Г. Некоторые новые результаты теории идеальнопластического тела. Проблема механики. Сб. Статей, М.: Ил, 1955.

13. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах. // Теория пластичности. М.: Ил, 1948, С.80-101.

14. Гофман О., Закс Г. Введение в теорию пластичности для инженеров. М.: Машгиз, 1957.

15. Григорьев И.П., Ивлев Д.Д. О сдавливании круглого в плане идеальнопластического слоя шероховатыми плитами // Изв. РАН, МТТ, 2000, № 1,С. 129-140.

16. Григорян С.С. Об одной задаче Л.Прандтля и теории пластического вещества по поверхностям. // ДАН СССР, 1981, Т.257, №5, С. 1075-1077.

17. Друянов К.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990.- 272с.

18. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978.

19. Ершов Л.В. Приближенное решение осесимметричных упругопластических задач. // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1959, № 3.

20. Ершов Л.В. Упругопластическое состояние вблизи сферической полосы // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1960, №6, С. 155-155.

21. Жуков A.M. К вопросу возникновения шейки в образце при растяжении. // Инж. сб., 1949, Т.5, Вып.2. С.34-51.

22. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. М.: Наука, 1992.

23. Зубчанинов В.Г. Постулат физической определенности // Устойчивость и пластичность в механике деформ. твердого тела. Тверь: ТПИ, 1993. Часть 3. С. 4-21.

24. Зубчанинов В.Г. Определяющие соотношения общей теории пластичности // Устойчивость и пластичность при сложном нагружении. Тверь: ТГТУ, 1994. С. 14-37.

25. Зубчанинов В.Г. Постулат локальной размерности образа процесса и определяющие соотношения в теории пластичности // Прикладная механика. 1998. Т. 34. № 5 С. 86-97.

26. Зубчанинов В.Г. Проблемы математической теории пластичности //Проблемы прочности. 2000. № 1. С. 22-41.

27. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. Тверь; ТГТУ, ЧуДо, 2000. 703 с.

28. Зубчанинов В.Г. Проблемы математической теории пластичности. // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сборник статей. М.: Изд-во МГТУ, 2001, С.219-242.

29. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности: Монография. Тверь.: ТГТУ, 2002. 300 с.

30. Зубчанинов В.Г. Проблемы теории пластичности. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.394-405.

31. Ивлев Д.Д. О диссипативной функции в теории пластических сред. // ДАН СССР, 1967, Т. 176. №5. С. 1037-1039.

32. Ивлев Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях.//ДАН СССР, 1959. Т. 124. № 3, С.576-548.

33. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды. // ПММ, 1958, Т.22, Вып.2, С.90-95.

34. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966.-232 с.

35. Ивлев Д.Д О пространственном течении идеальнопластического материала, сжатого шероховатыми плитами //Изв. РАН, МТТ, 1998,№ 1,С.5-12.

36. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т.1. Теория идеальной пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.- 448с

37. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т.2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.- 448с.

38. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971.-231 с.

39. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластических деформаций. М.: Наука, 1978. 208 с.

40. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю. Полная пластичность в теории идеальнопластического тела // ДАН РАН, 1998, Т. 363, № 6.

41. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю. Полная пластичность в теории идеальнопластического тела. // ДАН РАН, 1999, Т.368, № 3, С.333-334.

42. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю. Статически определимые соотношения теории пластичности и предельное состояние и разрушение тел // Изв. РАН, МТТ, 2003, С. 84-89.

43. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. О свойствах течений изотропной среды. // ДАН РАН, 2000, Т. 375, № 2, С.191-194.

44. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. О течениях изотропных сред. // Изв. РАН, МТТ, 2000, № 5, С.5-12.

45. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. Условия изотропии и обобщенный ассоциированный закон пластического течения. // ДАН РАН, 2000, Т.371, № 1, С.49-51.

46. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. Условия изотропии и соотношения обобщенного ассоциированного закона пластического течения. // Изв. РАН, МТТ, 1999, № 6, С.39-54.

47. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О возмущенном течении растягиваемой идеальнопластической полосы. // ДАН РАН, 1998, Т.363, № 5, С.632-633.

48. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О плоских течениях идеально жесткопластической среды. // ДАН РАН, 2000, Т.370, № 1, С.43-44.

49. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности. // ДАН РАН, 2000, Т.373, № 1, С.39-41.

50. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности. // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, сводный том № 3(13), № 4(14), 1998, № 1(15), № 2(16), 1999, С.13-15.

51. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. Об идеальном жесткопластическом течении плоской полосы. // ДАН РАН, 1998, Т.363, №4, С.483-484.

52. Ивлев Д.Д., Максимова JI.A. О предельных статически определимых состояниях деформируемых тел // Изв. РАН, МТТ, 2005, № 4.

53. Ивлев Д.Д., Максимова J1.A., Непершин Р.И. О вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство с учетом сдвиговых усилий. // ДАН РАН, 2001, Т.379, № 2, С.196-199.

54. Ивлев Д.Д., Максимова J1.A., Непершин Р.И. О вдавливании плоского штампа в идеальное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений. // ПММ, 2002, Т.66, Вып. 1, С. 134-139.

55. Ивлев Д.Д., Максимова J1.A., Непершин Р.И. Об определении поля скоростей идеальнопластического течения в случае общей плоской задачи. // ДАН РАН, 2001, Т.379, № 6, С.758-763.

56. Ивлев Д.Д., Непершин Р.И. Внедрение гладкого сферического штампа в жесткопластическое полупространство. // Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № 4, С. 159-165.

57. Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. О свойствах общих уравнений теории идеальной пластичности // ДАН СССР, 1965, Т. 363, №6.

58. Ивлев. Д.Д., Романов А.В. Об одном классе точных не автомодельных задач теории идеальной пластичности. // В кн. Нелинейные модели и задачи механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1984.

59. Ильюшин А.А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхности. // ПММ, 1954, Т. 18. Вып.З.

60. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела. -Учен. зап. МГУ, Механика, 1940, Вып.39, С.3-81.

61. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Московского ун-та, 1978.

62. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

63. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения. // ПММ. 1955. Т. 19. Вып.6. С.693-713.

64. Ишлинский А.Ю. Пространственное деформирование не вполне упругих и вязкопластических тел. // Изв. АН СССР. ОТН., 1944. № 3. С.250-260.

65. Ишлинский А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости // Уч. зап. МГУ, Механика. 1946. Вып. 117. С. 90-108.

66. Ишлинский А.Ю. Растяжение бесконечно длинной идеально пластической полосы переменного сечения // Докл. АН УССР. 1958. № 1.С. 12-15.

67. Ишлинский А.Ю. Пластичность (обзор). // В кн. : Механика в СССР за тридцать лет (1917-1947). М.; J1.: Гостехиздат, 1950, С.240-253; в кн. Механика, идеи задачи, приложения. М.: Наука, 1984.

68. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Т. 1, 2. М.: Наука, 1986.

69. Ишлинский А.Ю. Развитие механики в СССР. // В кн.: Октябрь и научный прогресс. М.: АПН, 1967, С.567-626; в кн. Механика, идеи задачи, приложения, М.: Наука, 1984.

70. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.- 704с.

71. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. К теории изотропных сред. // Проблемы механики деформируемых тел. Сб. научных статей. Посвящается 90-летию академика НАН Армении Н.Х. Арутюняна, Ереван, 2003, С.190-198.

72. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О свойствах моделей изотропных сред. // Сб. статей к 70-легию Н.Ф. Морозова, 2002, С.5-12.

73. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. Условия изотропии и ассоциированный закон пластической деформации. // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сборник статей. М.: Изд-во МГГУ, 2001, С.93-116.

74. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения. // Прикл. математика и механика, 1958, Т.22, Вып.1, С.78-89.

75. Качалов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

76. Кийко И.А. Моделирование процессов пластического течения. // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин.: КГУ, 1986, С.41-48.

77. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М.: МГУ, 1985.- 224с.

78. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: МГУ, 1979.- 208с.

79. Клюшников В.Д. О законах пластичности для материалов с упрочнением. // ПММ. Т.22, Вып.1, 1958.

80. Койтер В. Общие теоремы в теории упруго-пластических сред. М.: ИЛ, 1961.

81. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург. У ПИ, 2001.- 836с.

82. Колмогоров В.Л. Напряжения, деформации, разрушение. М.: Металлургия, 1970.

83. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости. // Теория пластичности. Сб. переводов. М.: Ил, 1948, С.20-23.

84. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, которая зависит от вида напряженного состояния. // Изв. АН СССР. МТТ, 1980. №, С.92-99.

85. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред. // Изв. АН СССР, МТТ, 1991, №6, С.66-75.

86. Максимова Л.А. О линеаризированных уравнениях пространственных течений идеальнопластических тел. // ДАН РАН, 1998, Т.385, № 6, с.772-773.

87. Максимова Л.А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами. // ПММ, 2000, Т.64, Вып.6, С. 1099-1104.

88. Максимова Л.А. О сжатии плиты из идеально-пластического материала // Проблемы механики: Сб. статей. К 90летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.520-523.

89. Максимова Л.А. О сжатии слоя из идеально жесткопластического материала жесткими анизотропно шероховатыми плитами. // ДАН РАН, 2000, Т.372, № 1, С.50-52.

90. Максимова Л.А. О статически неопределимом состоянии идеально-пластического слоя, сжатого жесткими шероховатыми поверхностями. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.524-530.

91. Максимова Л.А. О течении полосы из идеального жесткопластического материала, ослабленного пологими выточками. // Изв. РАН МТТ, 1999, № 3, С.65-69.

92. Максимова Л.А. Условия изотропии в обобщенных переменных. // Вестн. Моск. Ун-та, Сер.1, Математика. Механика, 2004, №2, С.36-40.

93. Маркин А.А., Глаголев В.В. К выбору критерия направленного разделения упругопластических материалов. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.546-554.

94. Маркин А.А., Глаголев В.В. Моделирование процесса разделения материала. // Проблемы механики неупругих деформаций. М.: Физматлит, 2001, С.191-198.

95. Матченко И.Н. Вариант построения теории идеальной пластичности ортотропных сыпучих сред. // Известия ТГУ, Механика, Вып.З, 2002, С. 108-116.

96. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Усачев В.В. О возможности обобщения закона пластического течения А.Ю.

97. Ишлинского на случай ортотропных сред. // Проблемы механики неупругих деформаций. М.: Физматлит, 2001, С.117-122.

98. Матченко Н.М., Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н. Условие полной пластичности ортогропных сред. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.502-509.

99. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. Плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов // Известия АН СССР, МТТ, 1975, № 1, С.69-170.

100. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии. Теория пластичности, Сб. переводов, М.:Ил,1948, с.57-69.

101. Миронов Б.Г. О растяжении прямоугольного бруса из анизотропного идеальнопластического материала, ослабленного пологими выточками // Известия ИТА ЧР, № 3(12), 1998, С. 66-71.

102. Миронов Б.Г. Об основных и линеаризованных соотношениях теории вязкопластичности // Известия ИТА ЧР, № 3(16), 1999, С. 60-69.

103. Миронов Б.Г. Линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности // ДАН РАН, 1999, Т.364, № 5, С. 617-619.

104. Миронов Б.Г. Линеаризованные соотношения ассоциированного закона нагружения теории идеальной пластичности //ДАН РАН, 1999, Т.366, № 6, С. 766-767.

105. Миронов Б.Г. О предельном состоянии идеальнопластического анизотропного бруса и плиты // Изв. РАН МТТ, 2000, №5, С. 13-20.

106. Миронов Б.Г. О растяжении плиты и бруса из идеальнопластического анизотропного материала. Проблемымеханики неупругих деформаций: Сб. статей. К семидесятилетию Д.Д. Ивлева. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 198-210.

107. Миронов Б.Г. Об определяющих соотношениях теории вязкопластичности // Вестник ЧГПУ, № 2(21), 2001, С. 141-151.

108. Миронов Б.Г. Об одном случае предельного состояния тел в пространстве // Вестник ЧГПУ, № 6(30), 2002, С. 32-36.

109. Миронов Б.Г. О предельно анизотропном состоянии идеальнопластической среды // ДАН РАН, 2002, Т.385, № 6, С. 770773.

110. Миронов Б.Г. К теории анизотропной идеально-пластической среды. Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. / Под ред. Д.М. Климова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С. 564-568.

111. Миронов Б.Г. О приближенном аналитическом определении предельного состояния идеальнопластических тел // Изв. РАН МТТ, 2004, № 2, С. 170-176.

112. Миронов Б.Г. О соотношениях теории анизотропной идеально пластической среды // Изв. РАН МТТ, 2005, № 1, С. 120125.

113. Миронов Б.Г. О статически определимых соотношениях теории идеальной пластичности // Вестник ЧГПУ, № 2(44), 2005, С. 40-43.

114. Миронов Б.Г. Об основных соотношениях статически определимых состояний идеальнопластических тел // Вестник ЧГПУ, № 2(44), 2005, С. 44-49.

115. Миронов Б.Г. О статически определимых соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности // Изв. РАН МТТ, 2005, №5, С. 135-140.

116. Миронов Б.Г. О кручении призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей // Вестник ЧГПУ, № (48), 2006, С. 98-101.

117. Миронов Б.Г. О предельном статически определимом состоянии при отрыве // ДАН РАН, 2006, Т.409, № 2, С. 1-4.

118. Михайлова М.В. О пространственном течении идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами. // ДАН РАН, 2001, Т.376, № 3, С.335-337.

119. Михайлова М.В. Сдавливание пластического слоя искривленными и наклонными шероховатыми плитами. // Изв. РАН МТТ, 2002, № 2.

120. Михлин С.Г. Основные уравнения математической теории пластичности. М.: Изд. АН СССР, 1934.

121. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.

122. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: 1965. 456с.

123. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ИЛ, 1954.

124. Непершин Р.И. Влияние теплопередачи на изотермическое плоское пластическое течение при сжатии тонкой заготовки между плоскими штампами. // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1997, № 1, С.96-103.

125. Непершин Р.И. Пластическое течение при сжатии диска между параллельными плитами. // Машиноведение, № 1, 1968, С.97-100.

126. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение, 1990.

127. Ольшак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пластичности. М.: Мир, 1964.

128. Онат и Прагер Механика (сб. переводов). М.: ИЛ, №4, 1954.

129. Перлин И.Л. Теория прессования металлов. М.: Металлургиздат, 1964.

130. Победря Б.Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С.635-657.

131. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физматгиз, 1958.

132. Прагер В. Теория пластичности: обзор новейших успехов.

133. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеальнопластических тел. М.: ИЛ, 1955.

134. Прандтль Л. О твердости пластических материалов и сопротивлению резанию. Теория пластичности. Сб. Переводов. М.: ИЛ. 1948, С.70-79.

135. Прандтль Л. Примеры применения теоремы Генки к равновесию пластических тел. // Теория пластичности. Сб. Переводов. М.: ИЛ, 1948. С. 102-113.

136. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

137. Радаев Ю.Н. К теории трехмерных уравнений математической теории пластичности // Изв. РАН МТТ, 2003, № 5.

138. Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н., Рябова Ю.Н. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности // Вестник Самарского госуд. ун-та, 2003, №2(28), С.96-112.

139. Ревуженко А.Ф. Механика сыпучей среды. Новосибирск. ЗАО ИПП «ОФСЕТ», 2003. 374с.

140. Ревуженко А.Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный анализ. СО РАН, Изд-во Новосибирского университета, 2000, 428с.

141. Ревуженко А.Ф., Чанышев А.И., Шемякин Е.И. Математические модели упругопластических тел. // Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск, Наука, 1984.

142. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов. // Прикл. механика и техническая физика. 1977, №3, С. 157-173.

143. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Теория оптимального проектирования в строительной механике, теории упругости и пластичности. Итоги Науки. Изд. ВИНИТИ, 1965.

144. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М.: Стройиздат, 1954.

145. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физ.-мат., 1962.-284с.

146. Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел. Некоторые приложения. Теория пластичности. Сб. переводов. М.: Ил, 1948, С.24-33.

147. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости. Теория пластичности. Сб. переводов. М.: Ил, 1948, С. II-19.

148. Снедон И.Н. и Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физ.-мат., 1961. 220с.

149. Соботка 3. Осесимметричные и трехмерные задачи предельного равновесия неоднородных сплошных сред. // Механика. Сб. переводов. М.: ИЛ, 1961, С. 143-153.

150. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М.: ГИТТЛ, 1954.

151. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969.

152. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. Воронеж, 1997. - 360с.

153. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. М.: Высшая школа, 1971.

154. Теория пластичности. Сборник переводов. М.: ИЛ, 1948.

155. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. Пер. с англ. М.: Гостехтеоретиздат, 1957, 536с.

156. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М.: Мир, 1975.- 670с.

157. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979.

158. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964.

159. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов. М.: Металлургия, 1972.

160. Трещев А.А., Божанов П.В. Вариант теории течения для дилатирующих материалов. // Изв. ТГУ. Сер. Механики, Вып.З, 2002. С. 184-190.

161. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: ГТТИ, 1947.-300с.

162. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Госиздат физмат литературы, 1962.

163. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах. Теория пластичности, Сб. переводов, М.: Ил, 1948, С.41-55.

164. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1955.-407с.

165. Ходж Ф., Гудьер Д. Упругость и пластичность. М.: ИЛ, 1960.

166. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре. // Мат. сб., 1936, Т. 1, № 4, С.511 -534.

167. Христианович С.А., Михлин С.Г., Девисон Б.Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. М.: Изд. АН СССР, 1938.

168. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности. // Изв. АН СССР, МТТ, № 5, 1967. С 86-97.

169. Христианович С.А., Шемякин Е.И. О плоской деформации пластическою упрочняющегося материала присложном нагружении. // Изв. АН СССР, МТТ, № 3, 1969. С. 138149.

170. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел, Владивосток: Дальнаука, 1995.

171. Целиков А.И. Основы теории прокатки. М.: Металлургия, 1964.

172. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.

173. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния. // АН СССР, Сибирское отделение, Численные методы механики сплошной среды, Т.4, № 4, 1973.

174. Шемякин Е.И. Напряженно-деформированное состояние в вершине разреза при антиплоской деформации упруго-пластических тел // ПМТФ, № 2, 1974. С. 110-116.

175. Шемякин Е.И. Введение в теорию упругости. Учеб. Пособие. М.: Изд-во МГУ, 1993. -96с.

176. Шемякин Е.И. Об одном эффекте сложного нагружения // Вестник МГУ. Серия матем. и механики. № 5, 1996.

177. Шемякин Е.И. О хрупком разрушении твердых тел (плоская деформация) //Изв. РАН, МТТ, № 2, 1997, С. 145-150.

178. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности. // Физическая мезомеханика, 1999, Часть 1, Т.2, № 6, С.63-69.

179. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности. // Физическая мезомеханика, 1999, Часть 2, Т.З, № 5, С. 11-17.

180. Шемякин Е.И. Об инвариантах напряженного и деформированного состояния в математических моделях сплошной среды // ДАН РАН, Т. 373, № 5,2000, С. 632-634.

181. Шемякин Е.И. Диссипативная функция в моделях идеальных упругопластических тел. // ДАН РАН, 2001, Т.376, № 4, С.488-491.

182. Шестериков С.А. К построению теории идеальнопластического тела. // ПММ, 1960, Т.24, Вып.З.

183. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии. Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. период лит., 1957, № 1.С. 102-122.

184. Alexandrov S. A note on the limit load of welded joints of a rectangular cross section // Fatigue Fract. Engng Mater. Struct. 1999. V.22. No.4. P.449-452.

185. Drucker D.C., On uniqueness in theory of plasticity // Quart. Appl. Math., 14, №1,35-42 (1956).

186. Dugdale D.S. Experiments with pyramidal indenters Part 1 //J. Mech. Phys. Solids. 1954. V.3. P. 197-204.

187. Green A.E., Hypo-elastisity and plasticity // Proc. Roy. Soc., 234A, №1196,46-59(1956).

188. Mises R., Mechanic der festen Korper im plastish derformablen Zustand, // Gotting. Nachr., Math. Phys. Kl., 582-592 (1913).

189. Nepershin R.I. Non isotermall plane plastic flow of thin layer compressed rigist by flat, Int. J. of mec. See., V 39, 1997, № 8, pp. 899912.

190. Hodge P.G., The teory of piecewise linear isotropic plasticity, in "Deformathion and Flow of Solids", (IUTAM Symp.Madrid 1955), ed. R. Grammel, Berlin, 1956, S 147-170.

191. Prager W, Three-dimensional plastic flow under uniform stress// Rov/ Faculte Sci. Univ. Istanbul, 19,№1,23-27 (1954).

192. Sobotka Z. Reology of materials on engineering structure, Prague, Academia, 1984, 548p.

193. Thomas T.Y., On the characteristic surfaces of the von Mises plasticity equations //J. Rat. Mech. Anal., 1, №3,343-357 (1952).

194. Tresca H., Memoire sur l'ecoulement des corps solides sourmis a les fortes pressions, vol. C. Rend 59, 754, Paris, 1864.

195. Ziegler H., Thermodynamic und rheologisce Probleme // Ing. Arch, 25,58 (1957).