Решение задач глубокого проникания твердых частиц в деформируемую среду тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗАЛАЗИНСКАЯ ЕКАТЕРИНА АНАТОЛЬЕВНА

□□3476570

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГЛУБОКОГО ПРОНИКАНИЯ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ДЕФОРМИРУЕМУЮ СРЕДУ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Екатеринбург - 2009

003476570

Работа выполнена в Институте машиноведения Уральского отделения Российской академии наук

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор технических наук, профессор Колмогоров Вадим Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Куропатенко Валентин Фёдорович

доктор технических наук, доцент Муйземнек Александр Юрьевич

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред

УрО РАН, г. Пермь

Защита состоится 13 октября 2009 года в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 004.023.01 в Институте машиноведения Уральского отделения Российской академии наук.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института машиноведения Уральского отделения Российской академии наук.

Ваш отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенный гербовой печатью, просим направлять по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП-207, ул. Комсомольская, д. 34, ИМАШ УрО РАН. Ученому секретарю совета. Телефон: (343) 375-35-61, факс (343) 374-53-30.

Автореферат разослан 3 сентября 2009 г. Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

А. В. Коновалов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Научно-технический прогресс неразрывно связан с появлением новых способов получения материалов с заданными уникальными свойствами, с созданием и внедрением прогрессивных ресурсосберегающих технологий и новой техники. К новым материалам относят материалы с поверхностно упрочненным слоем с улучшенными или принципиально новыми свойствами. Изделия из таких материалов необходимы в авиационной и космической технике, радиоэлектронике, медицине и других отраслях народного хозяйства. Технологии изготовления новых материалов, в частности, связаны с развитием процессов взрывного деформирования трудно обрабатываемых металлов. Для решения задач ударного взаимодействия деформируемых тел в диссертации предложен метод совместного применения основных теорем механики деформируемого тела, вариационных принципов и феноменологической теории разрушения. К необходимости решения таких задач приводит, в частности, создание и развитие таких технологических процессов, как импульсная обработка металлов давлением, перфорация, высадка, создание новых композитных материалов способом имплантации твёрдых частиц в металлы и сплавы. В результате выполненного исследования предложены новые математические модели и алгоритмы решения задач глубокого проникания твердых частиц в деформируемые тела. Они могут быть использованы при решении ряда практических задач.

Цель работы. Построить математическую модель многостадийного процесса глубокого проникания твердых частиц в деформируемую среду с учётом образования в ней микродефектов в зонах интенсивного течения; разработать программный комплекс для решения задач глубокого проникания частиц сферической и цилиндрической форм в деформируемую среду; с использованием методов компьютерного моделирования изучить закономерности процессов деформирования для рассматриваемых моделей и исследовать факторы, влияющие на глубину проникания имплантируемых частиц в металлические материалы.

Для достижения поставленной цели выполнялись следующие задачи:

1. Разработать методику и алгоритм использования фундаментальных уравнений и вариационных принципов механики деформируемого тела для решения задач высокоскоростного соударения деформируемых тел.

2. Осуществить математическое моделирование процессов проникания твердой частицы цилиндрической и сферической форм в деформируемую среду и пробивания пластины умеренной толщины деформируемым ударником.

3. Разработать программное обеспечение для компьютерного моделирования пробивания пластин умеренной толщины деформируемым ударником и проникания твердых частиц различных форм в деформируемую среду в результате ударного взаимодействия.

4. Разработать имитационную модель, позволяющую исследовать закон движения твёрдых частиц после удара их в упругопластическую среду;

продемонстрировать влияние продольных упругих волн на глубину проникания частиц в мишень.

Методы исследования. Задачи удара деформируемых тел о преграду, глубокого проникания твёрдых тел в деформируемое полупространство и пробивания преград конечной толщины, решаются на основе вариационной постановки методом разделения переменных с применением феноменологической теории разрушения. Численное решение задачи осуществляется конечно-разностным методом. Для реализации полученных решений с применением структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования в среде системы компьютерной математики MATLAB & Simulink разработан комплекс программ, позволяющий проводить всестороннее исследование задач глубокого проникания твёрдых и деформируемых частиц различной формы в металлические материалы.

Научная новизна результатов исследований.

1. Предложена методика совместного применения фундаментальных уравнений механики, вариационного принципа виртуальных скоростей и феноменологической теории разрушения для решения задач высокоскоростного соударения деформируемых тел.

2. Осуществлено математическое и компьютерное моделирование процессов пробивания пластины умеренной толщины деформируемым ударником и глубокого проникания частиц цилиндрической и сферической форм в деформируемое тело в результате ударного взаимодействия.

3. Дана оценка влияния температурного фактора на глубину проникания.

4. Показано, что в непосредственной близости от движущейся частицы образуется зона, насыщенная дефектами сплошности материала мишени, что существенно влияет на закон движения частиц.

5. Разработаны имитационная модель и программный комплекс, реализованные в среде MS Visual Studio и среде программирования СКМ MATLAB, позволяющие исследовать закон движения твёрдых частиц после удара их в уп-ругопластическую среду и продемонстрировать влияние упругих волн на закон движения частиц.

Практическая значимость результатов исследования.

1. Научные и практические результаты работы были применены при выполнении плановых госбюджетных научно-исследовательских работ в 2004-2007 гг., выполненных в лаборатории «Системного моделирования» Института машиноведения УрО РАН. Результаты работы могут быть использованы при дальнейшем совершенствовании методик и программного обеспечения, предназначенных для решения задач механики удара, пробивания преград конечной толщины, а также имплантации твёрдых частиц в металлические материалы.

2. Программный комплекс, разработанный на основе построенной математической модели, используется для демонстрации задач динамики деформируемого тела и для преподавания учебных дисциплин «Теория автоматического управления» и «Теория обработки металлов давлением» на кафедре «Информационные технологии и автоматизация проектирования» УГТУ-УПИ.

3. Результаты выполненных исследований вошли в один из разделов книги «Ударное нагружение и разрушение твердых тел» / авт.: Колмогоров В.Л., Джонсон У., Рид С.Р., и др., Екатеринбург, УрО РАН, 2006.

Работа выполнялась в рамках комплексной программы фундаментальных исследований проблем машиностроения, механики и процессов управления: проект № 10104-71ЮЭММПУ-12/079-351/190905-172 «Разработка теории и основ технологии интенсивной деформации микро- и наноразмерных композитов с сотовой структурой для создания новых материалов с уникальными свойствами». Тема «Разработка моделей глубокого проникания твёрдых частиц в пластически деформируемую мишень» выполнялась в соответствии с проектами, поддержанными фантами РФФИ: проект № 04-01-00274 «Применение метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке, к решению тепловых задач и связных задач теплопроводности и деформирования»; проект № 05-08-01464а «Системный анализ и компьютерное моделирование динамического взаимодействия деформируемых тел и создание новых образцов машин ударного действия»; проект № 01-01-00581 «Применение метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке, к решению некоторых характерных задач динамического деформирования и разрушения с различными определяющими соотношениями. Обобщение результатов решения с целью выработки рациональных алгоритмов».

Достоверность основных научных положений и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечена применением фундаментальных положений механики, а также вариационных принципов и феноменологической теории разрушения, развитых в работах В.Л. Колмогорова и его коллег. Проверка адекватности математических моделей и предложенного метода осуществлена сопоставлением полученных результатов с наблюдениями и результатами экспериментальных исследований, описанных в литературе, а также апробированием при решении тестовых задач.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-практических конференциях: 10-я, 11-я Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь, 2001, 2002, 2006 гг.; Международная конференция «Разрушение и мониторинг свойств металлов», Екатеринбург 2001, 2003, 2007 гг.; «Забабахинские научные чтения», Снежинск 2003 г., «Поздеевские чтения», Пермь 2006 г.; XXVIII Российская школа «Наука и Технологии», Миасс, 2008 г., V Всероссийская конференция «Механика микронеоднородных материалов и разрушение», Екатеринбург, 2008 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 4 в центральных журналах из перечня ВАК.

На защиту выносятся:

1. Методика совместного применения фундаментальных уравнений механики, вариационного принципа виртуальных скоростей и феноменологической теории разрушения для решения задач ударного взаимодействия твердых тел.

2. Математическая модель проникания твердой частицы цилиндрической и сферической форм в деформируемую среду.

3. Математическая модель пробивания пластины умеренной толщины деформируемым ударником.

4. Программное обеспечение для исследования процессов пробивания пластин умеренной толщины деформируемым ударником и проникания твердых частиц различных форм в деформируемую среду и в результате ударного взаимодействия.

5. Имитационная модель и программный комплекс, реализованные в среде MS Visual Studio и среде программирования СКМ MATLAB, позволяющие исследовать закон движения твёрдых частиц после удара их в упругопла-стическую среду и продемонстрировать влияние упругих волн на закон движения частиц.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 117 наименований, и приложения. Работа изложена на 166 страницах машинописного текста, содержит 57 рисунков, 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показаны предмет и цель исследования, актуальность работы, практическая и научная значимость.

В главе 1 дана общая характеристика методов решения задач ударного нагружения и разрушения твердых тел. Отмечено, что первые попытки изучить процессы ударного взаимодействия твёрдых тел носили экспериментальный характер и были исследованы как для гражданских, так и для военных применений. Результатам экспериментальных исследований процессов высокоскоростного деформирования материалов посвящены работы JI.B. Альтшулера, П. Бриджемена, А.Н. Дремина, В. Гольдсмита, Jr. СЕ. Anderson, W. Jonson, V. Hohler, J.A. Zukas и др. За последние пятьдесят лет в различных странах было проведено значительное количество лабораторных исследований, на основании которых для практического применения были предложены эмпирические формулы. Однако, большинство таких формул размерно-неоднородные, что мешает идентифицировать важные физические явления; для применения формул необходимо задавать неопределённые коэффициенты формы частиц; большинство опубликованных эмпирических формул применимо для небольшого диапазона глубин пробивания в низком и среднем диапазоне скорости удара.

Численные исследования процессов, протекающих в твердых телах при ударном и взрывном воздействии, проводились различными группами ученых и связаны с именами: С.С. Григоряна, A.A. Ильюшина, В.Н. Кукуджанова, В.Ф. Куропатенко, П.В. Макарова, Н.Ф. Морозова, B.C. Ленского, О.Б. Наймарка, В.К. Новацкого, И.П. Ренне, Г.А. Сапожникова, В.М. Фомина, Г.Г. Черного, J. Awerbuch, S.R. Bodner, W. Goldsmith, G.G. Gorbet, J. Liss, S.R. Reid, A.J. Spencer, J.D. Walker и др. Большая часть моделей основана на значительном числе упрощающих допущений, модели являются полуэмпирическими и представляют существенные сложности реализации решений, так как содержат множество

физических параметров, требующих предварительного экспериментального определения.

Обосновано применение вариационного принципа виртуальных приращений перемещений, виртуальных скоростей и феноменологической теории разрушения, а также метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке, разработанных B.JI. Колмогоровым совместно с A.A. Бога-товым, C.B. Смирновым, В.П. Федотовым и др., для решения задач ударного взаимодействия деформируемых тел.

На основе проведенного аналитического обзора ставится цель, и формулируются основные задачи, которые решаются в рамках диссертационной работы.

В главе 2 разработана математическая модель и комплекс программ, позволяющие исследовать закон движения твердых цилиндрических частиц в деформируемом теле после удара в мишень. Определена начальная скорость внедрения твёрдой цилиндрической частицы в деформируемую среду. Также изучено влияние физических параметров процесса на глубину проникания частиц в мишень. При этом предполагалось, что свойства среды приближены к идеально пластическим.

Рассматриваемые задачи решаются методом разделения переменных, основанным на вариационной постановке. При этом расчёт напряжённо-деформированного состояния в общей краевой задаче развитого течения осуществляется по стадиям: сначала осуществляется интегрирование по пространственным переменным в фиксированный момент времени с точностью до некоторых параметров, затем осуществляется интегрирование по времени обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрирование исходной краевой задачи по пространственным переменным осуществляется в фиксированные моменты времени с помощью вариационных принципов виртуальных приращений перемещений и виртуальных скоростей. В качестве исходного соотношения для стадии интегрирования по времени берется конечно-разностное уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергии.

Приняты следующие допущения: скорости движущихся частиц ограничены диапазоном 0,5...2 км/с; мишень обладает пластическими свойствами, осложненными слабым явлением упрочнения; материал мишени несжимаем, для него выполняется условие текучести Мизеса; на границах области интенсивного течения материала мишени допускается существование разрывов касательных компонент вектора скорости материальных частиц среды; математическая модель разрушения деформируемого тела дополняется диаграммой пластичности материала мишени, которая строится на основе экспериментальных исследований.

Модель процесса внедрения частицы в деформируемую среду принимается многостадийной. Полагается, что в начальной стадии на торцевой поверхности частицы формируется область «прилипания», принимающая форму полусферы. В результате ударного взаимодействия с мишенью скорость частицы уменьшается скачком, что является следствием мгновенного присоединения к частице массы деформируемой области в форме шарового слоя. Вторая стадия

движения частицы сопровождается образованием входного канала. На следующей стадии вблизи частицы локализуется область интенсивного течения деформируемого материала. На этой стадии процесса длина входного канала не увеличивается. Деформируемая масса, вытесняемая частицей, заполняет пространство за ней. На заключительной стадии движения частицы заканчивается формирование области интенсивного течения деформируемого материала мишени. Все стадии сопровождаются уменьшением кинетической энергии в системе «частица - мишень». При исчерпании кинетической энергии частица переходит в состояние покоя.

Рис. 1. Варианты разбиения области пластического течения на зоны: а - зона прилипания отсутствует, 6 - на переднем торце частицы образуется зона прилипания.

Рассматриваются два варианта кинематически допустимого поля перемещений: 1 - зона прилипания отсутствует (рис. 1, а); 2 - на переднем торце движущейся частицы образуется зона прилипания материала деформируемой мишени (рис. 1,6). Из условия минимума энергии затрачиваемой на внедрение твёрдой частицы в деформируемую среду осуществляется выбор лучшего из двух сравниваемых вариантов. Получено, что в рассмотренных случаях минимум диссипации энергии в системе «частица - мишень» соответствует полю перемещений для схемы деформации, показанной на рис. 1, 6. Полученный результат соответствует экспериментальным наблюдениям (рис. 2).

а. о,

а

б

Полагали, что для области пластического течения справедливы уравнения движения; кинематические соотношения, связывающие перемещения с приращениями деформаций; физические уравнения связи деформированного и напряжённого состояния. Заданы смешанные граничные условия.

Начальными условиями для первой стадии являлось отсутствие перемещений частиц деформируемого тела и их нулевые скорости.

Рис. 2. Результат высокоскоростного соударения стального цилиндрического ударника и алюминиевой преграды.

Напряжённое состояние задали функциями, не содержащими варьируемых параметров.

Поскольку в задаче предполагается существование разрывных полей, модель деформируемой среды представили следующим образом:

где Т - интенсивность касательных напряжений; Л - степень деформаций сдвига; у - коэффициент, характеризующий упрочнение деформируемого материала; т5 - предел текучести при сдвиге.

При больших значениях / и Л рассматриваемый материал приближается по свойствам к идеально пластической среде.

Ввели виртуальное поле перемещений для материальных частиц области интенсивного пластического течения. В частности, для области, ограниченной поверхностями ^ и 52 (Рис- '> б) имеем:

К =ФУ/Ла,г,3), иг = 0, и9 =1®-/ДоД

где /(а)Л5) = -^Ц(«24-1|соз5, ft(a,9) = -}—-sin 5; а г J а -1

u(t) - перемещение твёрдой частицы; г, 9 - пространственные координаты; а = Rg/R - варьируемый параметр.

Определили компоненты тензора приращений деформаций, поле скоростей и ускорений, соответствующие выбранному полю перемещений, а также вычислили разрывы перемещений, допускаемые на поверхностях, ограничивающих рассматриваемую область.

Применив теорему об изменении кинетической энергии и вариационное уравнение, записанные для момента удара частицы в мишень, вычислили начальную скорость внедрения твёрдой цилиндрической частицы в деформируемую среду:

— = íl + 4,65——1 2, V { Ро L)

где V, v0 — скорость удара и начальная скорость движения частицы в мишени соответственно; рй/р — отношение плотностей частицы и материала мишени, R, L - радиус и длина частицы.

Для каждого фиксированного момента времени для решения краевой задачи применили принцип виртуальных перемещений:

s\ j[jr(/vr+Pw|M; Uo (i)

|o,Lo J * s, J

и соотношение, являющееся следствием теоремы об изменении кинетической энергии:

Г г, A* dO. + р Г^At da + р |v^ М dSl + £ r f [v„ dS = >L(V' - v¡), n, ai П, ai1 O, at ..1 s. 2

(2)

где Í2¿- объём области пластического течения; Qg- объём зоны прилипания;

- внутренняя и внешние границы области интенсивного течения; п — индекс, обозначающий поверхность разрыва перемещения, V, v0 - скорость цилиндрической частицы в момент удара и сразу после удара твёрдой частицы в мишень; р0,р - плотности твёрдой частицы и деформируемой среды, соответственно; L - длина твёрдой частицы.

В соотношении (1) штрихами помечены варьируемые величины. Для определения ускорения для текущего к-го этапа внедрения твёрдой частицы в деформируемую среду применяется конечно-разностное соотношение:

v*-V*-I=VLVLL. (3)

'к ~'к-1 2ик

В результате решения системы уравнений (1-3) определяется размер пластической области а = •/?<>//?, ускорение и перемещение частицы на каждом временном интервале

Критерием перехода к заключительной стадии процесса является равенство мощности, рассеиваемой на поверхности ¿5, сумме мощностей рассеиваемых в объёме П5 и на поверхности (рис. 1, 6). Для этой стадии уравнения (1) и (2) преобразуются.

После математической обработки численного эксперимента для вычисления значения длины входного канала /е получили следующий результат:

1С _ а Л а + \.

Для оценки уровня напряжений, тормозящих движение частицы, получено следующее уравнение:

21п («)+£

1 2 £* 2 а 5=0 а Ь=0 г ?+-=—--!-, где —--- -л/3

2-Уз л/3 Л *

А Я 2 а,

^ - равнодействующая внешних сил, препятствующих движению частицы, - динамический предел текучести материала мишени, С- часть боковой поверхности твёрдой частицы, контактирующая с деформируемым материалом мишени, и»- ускорение твердой частицы.

Для компьютерного моделирования движения твёрдой частицы в деформируемом теле разработан комплекс программ БЬоск_1 с графическим интерфейсом пользователя.

Для определения глубины проникания ударника по результатам вычислительного эксперимента с использованием предложенной математической модели подобрана следующая формула:

й О р

рУ2

где С = —--коэффициент жесткости удара; а,- динамический предел текуче-

сг,

сти материала мишени; р — плотность материала мишени; V - скорость удара; Ь- длина ударника; 1> - диаметр ударника; с - константа.

Основные результаты главы 2 следующие:

1. С использованием кинематической экстремальной теоремы теории пластичности, выявлено, что цилиндрическая частица с областью прилипания проникает в мишень глубже, нежели цилиндрическая частица с плоским торцом, при одинаковых геометрических и физических параметрах частицы и среды.

2. В результате решения вариационного уравнения выявлено, что граница области интенсивного течения деформируемого материала на начальном этапе движения частицы равна примерно двум радиусам частицы: Л0 к 2й.

3. Установлена зависимость отношения начальной скорости движения твёрдой частицы к скорости удара от геометрических и физических параметров

процесса. Показано, что чем больше плотность среды и меньше длина движущейся частицы, тем больше падает начальная скорость её движения в деформируемой среде.

4. Результаты компьютерного моделирования процесса проникания твёрдой цилиндрической частицы в деформируемое тело показали: при условии заполнения входного канала деформируемой средой увеличивается размер пластической области; по абсолютной величине увеличивается ускорение и уменьшается глубина проникания частицы.

5. По результатам вычислительного эксперимента подобрана формула для определения глубины проникания ударника и глубины входного канала. Выявлено, что глубина проникания находится в квадратичной зависимости от скорости удара, пропорциональна длине частицы, слабо зависит от плотности деформируемой среды и существенно увеличивается с уменьшением предела текучести материала мишени.

6. Получена оценка уровня напряжений, тормозящих движение частицы. Установлено, что по мере движения частицы сила сопротивления её движению уменьшается.

В главе 3 предложена многостадийная модель (рис. 3) с простым для последующего компьютерного моделирования решением задачи пробивания цилиндрическим деформируемым телом отверстия в пластине умеренной толщины. Определены начальная скорость внедрения в преграду, изменение конфигурации ударника в начальной стадии удара; вычислен путь, пройденный цилиндром до момента выбивания из мишени пробки; определены основные размеры пробки, а также вычислена скорость цилиндра после завершения процесса пробивания преграды. Разработано программное обеспечение, позволяющее в интерактивном режиме осуществлять имитационное моделирование процесса пробивания преграды конечной толщины деформируемым цилиндром.

Предполагается, что деформируемое цилиндрическое тело и пластина изготавливаются из пластически деформируемых несжимаемых материалов. Принимается предположение об изменении скорости переднего (пунктир) и заднего торцов цилиндра для основных стадий пробивания пластины, соответствующее кусочно-линейной аппроксимации экспериментальных данных (рис. 4).

На начальной стадии удара схема деформации цилиндра принимается такой, что пластическое течение локализовано в тонком слое высотой ДЛ«/, (рис. 5). Этот слой перемещается вдоль оси г системы отсчёта г, <р, 2 со скоростью V , при этом высота слоя не увеличивается.

Из условия постоянства объема определена скорость перемещения пластической волны в деформируемом цилиндре.

Используя уравнение движения недеформированной части цилиндра, вычислены длины недеформированной и деформированной частей цилиндра в конце начальной стадии удара. Исходя из уравнения движения деформированной части цилиндра, определили скорость внедрения цилиндра в преграду в начальной стадии удара:

где К у = /^/лй^сг - кинематический коэффициент, для которого Рр - сила реакции преграды на удар, а5 - предел текучести материала преграды,

К - коэффициент жёсткости удара, V-скорость деформируемого те-

ла до удара в пластину, ра, ал- плотность и предел текучести материала цилиндра, а, = - коэффициент, характеризующий изменение площади поперечного сечения деформируемой части цилиндра, Я- радиус недеформиро-ванной части цилиндра, Д, и Н- радиус и высота соответственно деформированной части цилиндра.

Рис. 3. Стадии пробивания пластины деформируемым цилиндром:

а, б - начало проникания; при некоторой критической величине давления со стороны пластины на торец цилиндра, передний конец цилиндра начинает деформироваться. В момент 7] скорости его деформированной и недеформиро-ванной частей выравниваются; в - Т\ < I < Тс - деформированный цилиндр продолжает своё движение, как твёрдое тело; г — / > Тс - перед деформированным цилиндром образуется и выбивается пробка из материала пластины.

Расчёт деформации цилиндра предполагает итерационную процедуру. Для её реализации уравнение движения недеформированной части цилиндра и уравнение для вычисления недеформированной части цилиндра представили в конечно-разностной форме.

В качестве виртуального поля скоростей перемещений материальных частиц области пластического течения для каждой стадии выбрали подходящие функции. Вид подходящих функций для поля скоростей позволяет применить метод разделения переменных, основанный на вариационной постановке.

Глубину /, внедрения цилиндра в преграду на начальной стадии вычислили после определения длительности первой стадии внедрения цилиндра в преграду:

где /г, и Н- высота недеформированной и деформированной частей цилиндра в конце начальной стадии удара соответственно.

Диаметр деформированной части цилиндра и длину цилиндра после завершения первой стадии пробивания преграды определили следующим образом:

V

—г-!-

Р /о'71

'Т 'с

Рис. 4. Диаграмма изменения скорости переднего (пунктир) и заднего торцов цилиндра на основных стадиях пробивания пластины.

Процесс внедрения частицы в мишень на второй стадии рассматривается по шагам. С учётом принятых допущений и введенного поля скоростей базовый функционал вариационного уравнения для текущего момента времени /„ при-

нимает вид:

■/[«,]= Е у/]л1+£ —~=о. (4)

У »-15, л/3 оа1

Используя это уравнение, совместно с теоремой об изменении кинетической энергии:

пг-\/3 *-1 л/31,

= ± рЖЩи-?-УЬ + \р С.«, -Р% К К, - У,, ) ^

(5)

до-

определяется скорость Уи и ускорение цилиндра IV,п.

2'Л

ДА

Я

V а \

шт

/р

2Л,

111!

I г\

— ►г

Рис. 5. Схема деформации цилиндра на начальной стадии пробивания: 1 - деформированный объём; 2 - недеформированный объём; 3 - область пла-

стического течения.

Дня определения перемещения мл применяется соотношение

и. =-

IV.2-У!

2 XV,,

X N

■; глубина проникания частицы в мишень определяется по форму-

ле Г где номеР шага, соответствующий моменту завершения те-

кущей стадии движения частицы, 5 - номер последней стадии процесса глубокого проникания.

При рассмотрении заключительной стадии пробивания преграды на основании утверждений теоремы об изменении кинетической энергии вводятся уравнения:

К.. = -

1

-V ^

(6)

' апК] алК]\\

^ = "7---(7)

Л (р^+рПХ^ЫУ

где П0- объём цилиндра; О,- объём присоединённой массы (выбитая пробка). Уравнение (7) позволяет определить закон движения цилиндра после выбивания пробки из преграды. Уравнение (6) дает значение кинематического коэффициента для третьей стадии Кл, которое сравнивается с результатами вычислений кинематического коэффициента вычисленного для второй стадии. Если для текущего этапа второй стадии пробивания преграды значение кинематического коэффициента К„2 оказывается больше значения Ку3, то это является признаком завершения второй стадии ударного взаимодействия цилиндра и преграды и, соответственно, обозначает переход к заключительной стадии процесса пробивания преграды.

После решения системы уравнений (6) - (7) нашли скорость цилиндра V, после пробивания преграды:

1

К

К

1_(Я

V Р ''у*

1+(я

К р •/ у1

V

н я

ф =

V

(8)

где Н — высота пробки, Я.- высота деформированной части цилиндра, Ус -

остаточная скорость пробойника.

В случае пробивания пластины толщиной Н ,, пробойник будет иметь остаточную скорость Ус, которая на основании закона об изменении кинетической энергии деформируемой системы рассчитывается следующим образом:

V = |——— К2-*:—, (9)

\т + т\ Ь р0)

где т = рап1{гЬ - масса цилиндра; к - коэффициент формы движущейся частицы (для цилиндра к - 2,58); т - масса пробки, выбиваемой из пластины и

присоединённой к цилиндру.

На рис. 6 представлено сравнение результатов вычислительного и натурного экспериментов остаточной скорости пробивания цилиндра, как функции начальной скорости.

Для компьютерного моделирования процесса пробивания преграды уме-

ренной толщины деформируемым цилиндром разработан программный комплекс 5Ьоск_2. В качестве среды разработки программного комплекса использовали СКМ МАТЬАВ и соответствующий ему язык программирования.

900 300 700 600

.у 500

Ё

> 400 300 200 100 О

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 V. т/с

Рис. 6. Зависимость остаточной скорости Ус от начальной скорости тела К для удара стальным цилиндром диаметром 7,82 мм массой 7,3 г, по толстой алюминиевой пластине толщиной 17,75 мм:

--результаты вычислительного эксперимента; + - результаты натурного

эксперимента (У. Джонсон) и их аппроксимация......

Результаты исследования позволили сделать следующие выводы:

1. В начальной стадии ударного взаимодействия увеличение жёсткости удара приводит к увеличению диаметра деформированной части цилиндра, уменьшает длину деформированной части цилиндра и увеличивает скорость проникания цилиндра в преграду.

2. Для первой стадии ударного взаимодействия цилиндра и преграды увеличение жёсткости удара приводит к увеличению глубины проникания цилиндра в преграду.

3. Увеличение жёсткости удара и уменьшение диаметра цилиндра приводит к увеличению длины деформированной части цилиндра.

4. Деформация цилиндра смягчает действие ударной нагрузки.

5. Получено неравенство, являющееся условием отсутствия пластической деформации цилиндра при столкновении его с недеформируемой преградой.

6. Результаты полученных вычислений удовлетворительно согласуются с данными, полученными экспериментальным путём, и дают лучшее приближение, когда начальная скорость немного выше баллистического предела.

В главе 4 разработана математическая модель проникания частицы сферической формы в идеально-пластическую среду в результате удара о неподвижную преграду. Определяется закон движения частицы и путь, пройденный

г

|

|

:

4:*....... :

у 4- + :

1

ею. При решении задачи используется вариационный принцип и феноменологическая теория разрушения, предложенные и разработанные В.Л. Колмогоровым с сотрудниками. Создается имитационная модель, позволяющая продемонстрировать влияние продольных упругих волн на глубину проникания частиц в мишень и проверить гипотезу эффекта сверхглубокого проникания, предложенную В.Л. Колмогоровым. Определено поле температуры в области интенсивного пластического течения.

Степень деформации, накопляемую материальными частицами среды при движении в пластической зоне, определили следующим образом:

г

А = fj—7<ir = V31n

¿Kl

а2 -Ri!г'

а2 - I

где Н - интенсивность скоростей деформации сдвига. Математическая модель дополняется диаграммой пластичности материала мишени Ар =Лр(0Д1Д2). Границы зоны определяются из условия А(г,/р,&) = Кр{кх{г,(р,3\к2(г,(р,9^.

Для учета накопления повреждённости деформируемой среды в области

пластического течения применили феноменологическую теорию разрушения.

Для этого ввели дополнительную механическую переменную Ч* - повреждён-

ность тела микродефектами типа трещин и пор вследствие деформации. При

решении краевой задачи механики использовали условие: если в какой-либо

области деформируемой среды средние нормальные напряжения а принимают

положительные значения (напряжения растягивающие) и здесь же величина Т

достигает единицы, то в этой области предел текучести деформируемой среды

при сдвиге принимает значение равное нулю, т. е. выполняются условия:

Г1, если 0<¥<1 и <т<0; , ч

т;=т5-и„ где и.= ' ' (10)

[О, если Т = 1 и 0 < а.

После введения единичной индикаторной функции и, величина , входящая в функционал вариационного уравнения, заменяется величиной г*.

Если частица не абсолютно твёрдая, то она в процессе движения в сплошной среде испытывает действие трения и подвергается износу. В этом случае для расчёта изменения радиуса частицы применили дифференциальное уравнение, записанное в разностной форме:

dR , ~Т = к О

dz

/■ \ TS ; v — +ki-

/

где г5/г5) - отношение пределов текучести деформируемой среды и движущейся в ней частицы; v/v* - относительная скорость частицы (v„ = 1000 м/с)', к0, - эмпирические коэффициенты.

Для определения поля температуры в области интенсивного пластического течения и последующей коррекции механических свойств деформируемой мишени интегрируется уравнение теплопроводности. При этом начальное значение температуры материала мишени принимается 273 К. Принимая в расчёт

малые размеры частицы, полагается, что на границах мишени температура сохраняет неизменяемое значение.

Расчёты, результаты которых даны на рис. 7, выполнены для следующих значений теплофизических характеристик материала мишени: коэффициент теплопроводности Я = 74,5 Вт/(м-К) ; коэффициент температуропроводности а = 77,3 м2/с.

Рассмотрено напряжённо-деформированное состояние упругой среды, окружающей область пластического течения. Допускается, что область пластического течения мала и не оказывает существенного влияния на результаты решения упругой задачи. При этом предполагается, что возмущение упругопла-стической среды, предшествующее прониканию в неё твёрдой частицы, связано с распространением в ней плоских упругих волн расширения. Параметры мишени подобраны так, что в режиме свободных колебаний в ней образуется стоячая волна, фаза которой остаётся неизменной, а амплитуда меняется с течением времени.

После определения всех сил, действующих на движущуюся твёрдую сферическую частицу, в уравнение для определения ускорения частицы вносится поправка, после чего оно принимает вид:

d2z Зл/З . 7 rs ,(е)/Л

—- =--min I —— + fK'(t),

dt2 4 pxR J W'

где /w(f) - функция, учитывающая влияние на закон движения частицы ударной волны. Интегрирование приведенного уравнения является заключительным шагом математического моделирования процесса проникания твёрдой частицы в упругопластическую среду.

Имитационная модель процесса проникания частицы в упругопластическую среду с указанием функциональных блоков продемонстрирована на рис. 8. Результаты моделирования показаны на рис. 9. На рис. 9, а представлена фазовая траектория частицы в идеально пластической среде. На рис. 9, б представлена фазовая траектория той же частицы в упругопластической среде при выполнении условия синхронизации движения частицы и упругой волны таким образом, чтобы частица вместе с окружающей её пластической областью двигалась максимальное время в зоне действия упругих растягивающих напряжений. В последнем случае частица проходит расстояние, превышающее её радиус в 50 раз.

Предложены основные этапы, определяющие последовательность действий, при решении задачи проникания частиц в деформируемую преграду:

1. Определяется размер зоны области пластического течения в результате решения вариационной задачи.

2. Определяется положение границы зоны разрушения, лежащей в области интенсивного пластического течения деформируемого материала мишени.

3. Для определения предела текучести деформируемой среды при сдвиге вводится индикаторная функция, использующая переменную поврежденности, и с использованием феноменологической теории разрушения повторно решается вариационная задача.

х 10"

-т-1-1-1-1-г

250

т

150 100 Ш

-12 -10 3 -6 4 -2 0 2 4 6 к т

хЮ"

Рис. 7. Поле температуры в окрестности движущейся частицы.

Генератор упругих волн

Интегратор

Виртуальные средства измерений

Рис. 8. Имитационная модель процесса проникания частицы в упругопластиче-

скую среду.

4. Найденное значение варьируемого параметра принимается в качестве границы области пластического течения.

5. С использованием теорем вариационного принципа виртуальных скоростей и напряжений определяется минимальное значение базового функционала вариационного принципа и ускорение.

6. Повторно применяются уравнения расчётов по изложенному алгоритму, и применяются соотношения для определения напряженного состояния на границах ударника и пластической области.

7. Напряжения интегрируются по указанным поверхностям и проецируются внешние силы, действующие на рассматриваемую частицу, на ось г системы отсчёта.

8. После определения всех сил, действующих на движущуюся частицу, в уравнение для определения ускорения вносится поправка, учитывающая влияние на закон движения частицы ударной волны.

9. Заключительным шагом моделирования процесса проникания твёрдой частицы в деформируемую среду является интегрирование полученного ранее дифференциального уравнения.

БШ

ааИЕ

: : V, кк'с : 25

\

! ::■■;■ 13 20 . за ;: 43 . . .. . ; £0 Отношение расстояния, пройденного :сферической частицей, х ее радиусу

а

V. км/с 25

V"'

; 0.5 о

I.

л: 20 40 ::'•"' Ш - 80 ' 1Ш Отношение расстояния, пройденного: сферической частицей, к еб радиусу

б

Рис. 9. Фазовые траектории частицы в идеально пластической среде (а) и в упругопластической среде при выполнении условия синхронизации движения частицы и упругой волны (б).

Результаты исследования:

1. Решена задача о проникании твердой сферической частицы в деформируемое тело с использованием вариационных принципов и феноменологической теории разрушения. Созданы компьютерные программы, позволяющие наглядно прослеживать изменения пути, пройденного частицей, размера пластической области и силы, тормозящей частицу, в зависимости от начальной скорости частицы и параметров частицы и мишени.

2. Выявлено, что частицы, имеющие меньшие размеры, проходят расстояние, по отношению к своему радиусу, большее, чем частицы больших размеров.

3. С увеличением глубины внедрения частицы в деформируемое тело и по мере схлапывания входного канала радиус пластической области несколько увеличивается, далее ее размер не меняется.

4. Частица, претерпевающая изменение диаметра в результате истирания, до полной остановки проходит расстояние меньшее, чем абсолютно твёрдая, при этом отношение пройденного пути к радиусу частицы увеличивается.

5. В результате расчетов теплового поля для движущейся со скоростью V < 1500 м/с сферической частицы в деформируемом теле показано, что температура, устанавливающаяся вокруг движущегося теплового источника, не превосходит температуры плавления материала твердой частицы, что позволяет ей

преодолеть некоторый путь в деформируемом теле, не расплавившись; при этом путь движения частицы увеличивается.

6. Показано, что в непосредственной близости от движущейся частицы неизбежно образуется зона, насыщенная дефектами сплошности материала мишени. Это существенно ослабляет сопротивление среды движению частицы и увеличивает её путь.

7. Разработана имитационная модель проникания частиц цилиндрической и сферической форм в упругопластическую среду, используя физическую модель сверхглубокого проникания, предложенную B.JL Колмогоровым. Результаты компьютерного моделирования названного эффекта соотносятся с результатами, полученными экспериментально.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

> Решение задач глубокого проникания твёрдой цилиндрической и сферической частиц в деформируемую среду, а также решение задачи пробивания плиты умеренной толщины деформируемым цилиндром, позволяет сделать вывод, что многие задачи механики ударного взаимодействия деформируемых тел можно успешно решать на основе вариационной постановки с использованием феноменологической теории разрушения. Для последующей численной реализации полученных решений целесообразно применение конечно-разностного метода.

> В диссертации предложена методика совместного применения фундаментальных уравнений механики сплошных сред, вариационного принципа виртуальных скоростей и феноменологической теории разрушения для решения задач ударного взаимодействия пластически деформируемых тел; показано применение экстремальных теорем динамики жесткопластического тела.

> Предложены многостадийные модели с простыми для последующего вычислительного эксперимента математическими моделями процессов глубокого проникания твёрдых цилиндрических и сферических частиц в деформируемые тела.

> С использованием среды программирования СКМ MATLAB & Simulink. разработан комплекс программ, позволяющий проводить всестороннее исследование задач глубокого проникания твёрдых и деформируемых частиц различной формы в металлические материалы.

У Разработаны математическая модель и программный комплекс, позволяющие в интерактивном режиме осуществлять имитационное моделирование процесса пробивания преграды конечной толщины деформируемым цилиндром.

> Показана эффективность применения имитационного моделирования исследуемого явления; с помощью разработанного программного комплекса, реализованного в среде MS Visual Studio и среде программирования СКМ MATLAB, удалось учесть влияние упругих волн на закон движения частиц. Результаты имитационного моделирования, в основном, подтверждают концептуальную модель сверхглубокого проникания твёрдых частиц в металлические материалы, предложенную B.JI. Колмогоровым.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Залазинская Е.А., Мокроусова М.С., Шевченко A.C. О проникании твердой частицы в упругопяастическую среду // Тезисы докладов 10-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь, 2001. - С. 19.

2. Колмогоров В.Л., Спевак Л.Ф., Залазинская Е.А. Определение закона движения твердой частицы в пластической среде // Тезисы докладов международной конференции «Разрушение и мониторинг свойств металлов», Екатеринбург, 2001.-С. 46^7.

3. Спевак Л.Ф. Залазинская Е.А. Определение закона движения твердой частицы в пластической среде // Сборник статей: Механика деформирования и разрушения. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 31-51.

4. Залазинская Е.А., Шевченко A.C. Определение закона движения твердой частицы сферической и цилиндрической формы в пластической среде // Тезисы докладов 11-й Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь, 2002. -С. 36.

5. Колмогоров В.Л., Залазинский А.Г., Залазинская Е.А. О сверхглубоком проникании частицы в упругопластическую среду // Доклады конференции «Забабахинские научные чтения», Снежинск, 2003. - С. 243-252.

6. Колмогоров В.Л., Залазинская Е.А. Компьютерное моделирование процесса сверхглубокого проникания твердых частиц в упругопластическую среду // Тезисы докладов международной конференции «Разрушение и мониторинг свойств металлов», Екатеринбург, 2003. - С. 4-5.

7. Колмогоров В.Л., Залазинская Е.А. Движение частицы в пластической среде с учетом ее истирания // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44, N4 (260). - С. 126-134.

8. Поляков А.П., Залазинская Е.А. Ударное прессование заготовки из некомпактного металлического сырья // Цветная металлургия. Известия вузов. 2003. - С. 27-32.

9. Колмогоров В.Л., Залазинский А.Г., Залазинская Е.А. Моделирование процесса сверхглубокого проникания частицы в упругопластическую среду // Сборник трудов конференции «Поздеевские чтения», Пермь, 2006. - С. 51-53.

10. Колмогоров В.Л., Залазинский А.Г., Залазинская Е.А. Моделирование процесса сверхглубокого проникания частиц в упругопластическую среду с учетом их истирания // Тезисы конференции «Разрушение, контроль и диагностика материалов и конструкций», Екатеринбург, 2007,- С. 149.

11. Kolmogorov V.L., Zalazinsky A.G., Zalazinskaya Е.А. The superdeep penetration of a particle into an elastic-plastic medium // International Journal of Impact Engineering, Volume 34, Issue 11, November 2007, Pages 1869-1882.

12. Залазинская E.A., Залазинский А.Г. Моделирование высокоскоростного вдавливания цилиндрического ударника в деформируемое тело // Заготовительные производства в машиностроении. 2008. - №9. - С. 19—26.

13. Залазинская Е.А., Залазинский А.Г. Механика формирования наноструктур с использованием высокоскоростной имплантации микрочастиц в деформируемые материалы // Тезисы докладов V Всероссийской конференции Механика микронеоднородных материалов и разрушение, Екатеринбург, 2008. -С. 13.

14. Залазинская Е.А., Залазинский А.Г. Решение задач о высокоскоростном проникании твердого ударника в пластически деформируемое тело // Тезисы докладов XXVIII Российской школы Наука и Технологии, Миасс, 2008. -С. 72.

15. Залазинская Е.А., Залазинский А.Г. Решение задачи пробивания преграды деформируемым цилиндром // Тезисы докладов IV Российской научно-технической конференции Ресурс и диагностика материалов и конструкций, Екатеринбург, 2009. - С. 31.

Подписано в печать 02.09.2009. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ 199.

Типография «Уральский центр академического обслуживания» 620219, г. Екатеринбург, ул. Первомайская, 91

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УДАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ

И РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

1.1. Обзор решений задач деформирования и пробивания деформируемых тел.

1.2. Применение вариационных методов.

1.3. О моделях разрушения.

1.4. О сверхглубоком проникании частиц в деформируемую среду.

1.5. Выводы. Постановка задач исследования.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГЛУБОКОГО ПРОНИКАНИЯ ТВЁРДОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ В ПЛАСТИЧЕСКИ ДЕФОРМИРУЕМОЕ ТЕЛО.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Ввод кинематически допустимых полей перемещений, скоростей перемещений и ускорений.

2.3. Определение начальной скорости внедрения твёрдой цилиндрической частицы в деформируемую среду.

2.4. Исследование начальной стадии внедрения твёрдой частицы в деформируемую среду.

2.5. Исследование стадии движения частицы с заполнением входного канала деформируемой средой.

2.6. Оценка напряженного состояния.

2.7. Разработка программного комплекса и результаты компьютерного моделирования процесса глубокого проникания цилиндрической частицы в деформируемую среду.

2.8. Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРОБИВАНИЯ ПРЕГРАДЫ

ДЕФОРМИРУЕМЫМ ЦИЛИНДРОМ.

3.1. Моделирование начальной стадии пробивания преграды.

3.2. Моделирование второй стадии пробивания преграды.

3.3. Моделирование заключительной стадии пробивания преграды.

3.4. Разработка программного комплекса и результаты компьютерного моделирования процесса пробивания преграды.

3.5. Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГЛУБОКОГО ПРОНИКАНИЯ ТВЁРДОЙ

СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ В ДЕФОРМИРУЕМОЕ ТЕЛО.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Определение размера области пластического течения и пути, пройденного частицей.

4.3. Компьютерное моделирование движения частицы в идеально пластической среде.

4.4. Определение влияния поврежденности деформируемой среды, износа частицы и поля температуры на пройденный ей путь.

4.5. Концептуальная модель процесса глубокого проникания твёрдых частиц в упругопластическую среду.

4.6. Имитационное моделирование процесса глубокого проникания твёрдых частиц в упругопластическое тело.

4.7. Выводы к главе 4.

Научно-технический прогресс неразрывно связан с появлением новых способов получения материалов с уникальными свойствами, с созданием новой техники и прогрессивных ресурсосберегающих технологий. К новым материалам в частности относят материалы с поверхностно упрочненным слоем с улучшенными или принципиально новыми свойствами. Изделия из таких материалов необходимы в авиационной и космической технике, радиоэлектронике, медицине и других отраслях народного хозяйства. Технологии изготовления новых материалов, в частности, связаны с развитием процессов взрывного деформирования трудно обрабатываемых металлических материалов. Развитие их приводит к необходимости математического моделирования задач удара и разрушения твердых тел.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена развитию методов решения задач ударного взаимодействия деформируемых тел. К необходимости математического моделирования таких задач приводит создание и развитие процессов взрывного деформирования и имплантации металлических материалов твёрдыми частицами.

Актуальность исследования. В настоящее время взрывные и ударные воздействия находят применение в таких технологических процессах, как обработка металлов давлением, сварка в твёрдой фазе, перфорация, создание композитных материалов. Поводом для исследования глубокого проникания твердых частиц в деформируемую среду послужили необходимость создания принципиально новых материалов с уникальными свойствами. К процессу взрывного деформирования относится и обнаруженное экспериментально в конце прошлого века явление сверхглубокого проникания частиц в преграду. Этот эффект привлек к себе пристальное внимание исследователей. Экспериментальному исследованию эффекта сверхглубокого проникания были посвящены работы С. К. Андилевко, Г. С. Романова, С. М. Ушеренко и др.

В теоретических исследованиях до сих пор предложены лишь качественные модели процесса сверхглубокого проникания. Такие модели развиты С.С. Григоряном и Г.Г. Черным. По-видимому, эти модели на период времени их создания давали наиболее точное и исчерпывающее объяснение рассматриваемого явления. Однако остались без объяснения некоторые особенности протекания рассматриваемого явления. Так, согласно предложенным моделям, сверхглубокое проникание происходит потому, что материал мишени переходит в хрупкое состояние. При этом предполагается, что причиной "охрупчивания" материала мишени является высокая скорость деформирования материала мишени, ударяющей её частицей. Действительно, общеизвестно, что увеличение скорости деформирования снижает пластичность металлов. Однако это не объясняет эффект сверхглубокого проникания частиц, так как высокая скорость деформирования имеет место во всех случаях интенсивного удара, будь-то при сверхглубоком проникании или проникании на глубину в несколько поперечных размеров частицы.

Вариационный метод решения задач механики ударного взаимодействия деформируемых тел предложен B.JI. Колмогоровым. В его работах и работах В.П. Федотова с сотрудниками развит основанный на вариационной постановке метод разделения переменных.

Пластическая деформация обычно сопровождается накоплением по-вреждённости деформируемой среды. Развёрнутое изложение феноменологической теории разрушения дано в работах B.JI. Колмогорова, А.А. Богато-ва, Б.А. Мигачёва, С.В. Смирнова и др.

В диссертации решается задача о глубоком проникании твердой частицы в деформируемое тело и исследуются факторы, влияющие на закон движения частицы. Для этого используется качественная модель сверхглубокого проникания частиц, предложенная B.JI. Колмогоровым.

Автор диссертации работает в направлении разработки моделей и алгоритмов решения задач глубокого проникания твердых частиц в деформируемые тела. Реализуются основные этапы математического моделирования: построение и формализация концептуальной модели объекта исследования, алгоритмизация модели, численное моделирование и интерпретация результатов. Математическое моделирование процесса проникания твёрдой частицы в упругопластическую среду осуществляется в результате решения вариационных задач. В результате определяется глубина проникания частицы до ее остановки. Задачи решается для частиц сферической и цилиндрической форм, и для сферической частицы с учетом ее истирания. Поскольку пластическая деформация обычно сопровождается накоплением поврежденности деформируемой среды, то сопротивление среды движению частицы снижается и её путь увеличивается. Для введения соответствующей поправки на длину пути, в работе обоснована необходимость применения феноменологической теории разрушения для определения накопления поврежденности материала в области интенсивного пластического течения. На уровне имитационного моделирования рассматривается также влияние на закон движения твёрдой частицы упругих волн, возникающих в мишени в результате удара; вводится поправка, учитывающая влияние температуры разогрева деформируемого материала вблизи движущихся частиц.

Актуальность диссертационной работы подчеркивается тем, что она выполнялась в рамках комплексной программы фундаментальных исследований проблем машиностроения, механики и процессов управления: проект № 10104-71ЮЭММПУ-12/079-351/190905-172 "Разработка теории и основ технологии интенсивной деформации микро- и наноразмерных композитов с сотовой структурой для создания новых материалов с уникальными свойствами".

Разработка моделей глубокого проникания твёрдых частиц в пластически деформируемую мишень выполнялась в соответствии с проектами, поддержанными грантами РФФИ: проект № 04-01-00274 "Применение метода

разделения переменных, основанного на вариационной постановке, к решению тепловых задач и связных задач теплопроводности и деформирования"; проект № 05-08-01464а "Системный анализ и компьютерное моделирование динамического взаимодействия деформируемых тел и создание новых образцов машин ударного действия"; проект № 01-01-00581 "Применение метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке, к решению некоторых характерных задач динамического деформирования и разрушения с различными определяющими соотношениями. Обобщение результатов решения с целью выработки рациональных алгоритмов".

Цель работы. На основе достижений механики деформируемого тела и механики удара, с использованием методов математического моделирования для задач высокоскоростного соударения твердых тел, применяя вариационные принципы теории пластичности и феноменологическую теорию разрушения, опираясь на результаты наблюдений и экспериментальные исследования, построить математическую модель процесса глубокого проникания твердых частиц в деформируемую среду; с использованием методов вычислительного эксперимента и имитационного моделирования исследовать факторы, влияющие на глубину проникания твёрдых частиц в деформируемые, в частности, металлические материалы.

Для реализации поставленной цели необходимо разработать математические модели и алгоритмы решения задач высокоскоростного соударения деформируемых тел. Для математического и компьютерного моделирования движения твердых частиц различной формы в деформируемой среде требуется разработать комплекс программ и имитационную модель, позволяющие исследовать закон движения частиц после удара их в мишень; необходимо определить влияние температурного фактора и действие упругих волн на основные параметры, характеризующие рассматриваемые процессы, в частности, определить параметры входного канала, образующегося за движущейся частицей, и глубину проникания частиц в деформируемые тела.

Методика исследований. Задачи механики удара деформируемых тел, глубокого проникания твёрдых тел в деформируемое полупространство и пробивания преград конечной толщины решались на основе вариационной постановки с использованием элементов метода разделения переменных. Численную реализацию решения задач осуществили конечно-разностным методом. Для реализации полученных решений с применением объектно-ориентированного и визуального программирования в среде системы компьютерной математики MATLAB & Simulink разработали комплекс программ, позволяющий проводить всестороннее исследование задач глубокого проникания твёрдых и деформируемых частиц различной формы в металлические материалы. Проверку адекватности математических моделей осуществили, опираясь на результаты наблюдений и экспериментальных исследований, описанных в литературе.

Научная новизна: предложена методика совместного применения фундаментальных уравнений механики, вариационного принципа виртуальных скоростей и феноменологической теории разрушения для решения задач глубокого проникания частиц сферической и цилиндрической форм в пластическую среду; осуществлено математическое и компьютерное моделирование процессов пробивания пластин умеренной толщины и глубокого проникания частиц цилиндрической и сферической формы в деформируемое тело в результате ударного взаимодействия; дана оценка влияния температурного фактора на глубину проникания; показано, что в непосредственной близости от движущейся частицы неизбежно образуется зона, насыщенная дефектами сплошности материала мишени, что существенно влияет на закон движения частиц; разработана имитационная модель исследуемого явления; с помощью разработанного программного комплекса, реализованного в среде MS Visual

Studio и среде программирования СКМ MATLAB, с использованием имитационной модели показано влияние упругих волн на закон движения частиц.

Автор защищает: методику совместного применения фундаментальных уравнений механики, вариационного принципа виртуальных скоростей и феноменологической теории разрушения для решения задач ударного взаимодействия пластически деформируемых тел; математическую модель проникания твердых частиц в пластическую среду, с учетом их истирания; математическую модель пробивания преграды деформируемым телом; имитационную модель процесса глубокого проникания частицы в деформируемую среду, реализованную методом визуального программирования в среде Visual Studio + MATLAB & Simulink.

Достоверность результатов и выводов диссертационной работы обеспечивается сопоставлением результатов решения тестовых задач с данными наблюдений и экспериментальными данными.

Практическая значимость работы. Научные и практические результаты работы использовали в 2004.2008 гг. при выполнении госбюджетных НИР и НИОКР на кафедре «Информационные технологии и автоматизация проектирования» Уральского государственного технического университета — УПИ и в лаборатории "Системного моделирования" Института машиноведения УрО РАН. Результаты диссертационной работы могут быть также использованы для дальнейшего совершенствования методик и программного обеспечения, предназначенных для решения задач механики удара, пробивания преград конечной толщины, а также для разработки новых технологий имплантации твёрдых частиц в металлические материалы.

Реализация результатов работы. Программный комплекс для реализации разработанных математических моделей, используется для демонстрации задач механики удара и преподавания учебных дисциплин, в частности,

Управление техническими системами" на кафедре "Информационные технологии и автоматизация проектирования" УГТУ-УПИ.

Решение задачи глубокого проникания сферической частицы в деформируемую среду вошло в книгу "Ударное нагружение и разрушение твердых тел", авт.: B.JI. Колмогоров, У. Джонсон, С.Р. Рид, и др., Екатеринбург, УрО РАН, 2006.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на следующих научных конференциях: 10-я и 11-я Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов "Математическое моделирование в естественных науках" Пермь, 2001, 2002 гг.; международная конференция "Разрушение и мониторинг свойств металлов" Екатеринбург, 2001, 2003, 2007 гг.; "Забабахинские научные чтения" Снежинск, 2003 г.; "Поздеев-ские чтения", Пермь 2006 г.; V Всероссийская конференция "Механика микронеоднородных материалов и разрушение" Екатеринбург, 2008 г.; "XXVIII Российская школа: Наука и Технологии" Миасс, 2008 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 4 из перечня ВАК.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 117 наименований, и приложения. Работа изложена на 168 страницах машинописного текста, содержит 57 рисунков, 3 таблицы, справку о внедрении программного продукта.

Выводы по результатам исследования приведены в конце каждой главы. Здесь отметим лишь некоторые положения общего характера.

Решение задач глубокого проникания твёрдой цилиндрической и сферической частиц в деформируемую среду, а также решение задачи пробивания плиты умеренной толщины деформируемым цилиндром, позволяет сделать вывод, что многие задачи механики ударного взаимодействия деформируемых тел можно успешно решать на основе вариационной постановки с использованием феноменологической теории разрушения. Для последующей численной реализации полученных решений целесообразно применение конечно-разностного метода.

У В диссертации предложена методика совместного применения фундаментальных уравнений механики сплошных сред, вариационного принципа виртуальных скоростей и феноменологической теории разрушения для решения задач ударного взаимодействия пластически деформируемых тел; показано применение экстремальных теорем динамики жёсткопластического тела.

Предложены многостадийные модели с простыми для последующего вычислительного эксперимента математическими моделями процессов глубокого проникания твёрдых цилиндрических и сферических частиц в деформируемые тела.

Показано применение структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования и эффективность применения среды программирования СКМ MATLAB & Simulink. С её использованием разработан комплекс программ, позволяющий проводить всестороннее исследование задач глубокого проникания твёрдых и деформируемых частиц различной формы в металлические материалы.

Установлены зависимости отношения начальной скорости движения твёрдых частиц к скорости удара v0 / V от их геометрических параметров при различных значениях отношения плотности частицы р0 к плотности мишени р. Показано, что чем больше плотность среды и меньше длина движущейся частицы, тем больше падает начальная скорость её движения в деформируемой среде.

Подобраны формулы для определения глубины проникания частиц в деформируемые материалы и глубины входного канала. Выявлено, что глубина проникания находится в степенной (приближённо квадратичной) зависимости от скорости удара / ~ V2, и пропорциональна длине частицы; глубина проникания слабо зависит от плотности деформируемой среды и существенно увеличивается с уменьшением предела текучести материала мишени.

Результаты математического моделирования и вычислительных экспериментов для процесса проникания твёрдых частиц в деформируемый материал показали: а) при условии заполнения входного канала деформируемой средой увеличивается размер пластической области, по абсолютной величине увеличивается ускорение и уменьшается глубина проникания частицы; б) при увеличении длины твёрдой частицы уменьшается размер пластической области, по абсолютной величине уменьшается ускорение и увеличивается глубина проникания; в) при метании твёрдых частиц со скоростью v>1000 м/с на металлическую преграду каналы, образуемые движущимися телами, схлопыва-ются; вблизи каналов образуются области интенсивного пластического течения с дефектной структурой; г) вид зависимости отношения глубины проникания к радиусу частицы от геометрических параметров частицы и коэффициента «жёсткости удара», показал, что при увеличении жесткости удара и отношения длины частицы к радиусу, глубина проникания увеличивается. д) работа пластической деформации практически полностью превращается в тепло, которое из-за высоких локальных скоростей не успевает распространиться на существенное расстояние от зоны пластической деформации. В результате расчёта теплового поля для случая движущихся со скоростью v < 1500 м/с частиц, выяснили, что температура, устанавливающаяся в области интенсивного течения деформируемого материала, не превосходит температуры плавления твёрдосплавных частиц, что позволяет им преодолевать некоторый путь в деформируемом теле, не расплавившись; при этом путь движения частицы увеличивается. е) получена оценка уровня напряжений, тормозящих движение частицы; установлено, что по мере движения частицы сила сопротивления её движению, как правило, уменьшается; ж) установлено, что частицы, имеющие меньшие размеры, проходят расстояние, по отношению к своему радиусу, большее, чем частицы больших размеров.

Разработана математическая модель проникания твердой частицы сферической формы в пластическую среду, с учетом ее истирания. Так как в экспериментальных исследованиях путь, пройденный твёрдыми частицами, относят, к уменьшающемуся в ходе процесса глубокого проникания диаметру наблюдаемых частиц, то результаты таких экспериментов нельзя рассматривать иначе, как приближённые и не достаточно точно отражающие действительные явления.

Разработаны математическая модель и программный комплекс, позволяющие в интерактивном режиме осуществлять имитационное моделирование процесса пробивания преграды конечной толщины деформируемым цилиндром. Результаты исследования позволили сделать следующие выводы: а) в начальной стадии ударного взаимодействия увеличение жёсткости удара приводит к увеличению диаметра деформированной части цилиндра, уменьшает длину деформированной части цилиндра и увеличивает скорость проникания цилиндра в преграду; деформация цилиндра смягчает действие ударной нагрузки; б) увеличение жёсткости удара и уменьшение диаметра деформированной части цилиндра приводит к увеличению отношения V\/V; в) глубина проникания слабо зависит от плотности деформируемой среды и существенно увеличивается с уменьшением предела текучести материала мишени. Показана эффективность применения имитационного моделирования исследуемого явления; с помощью разработанного программного комплекса, реализованного в среде MS Visual Studio и среде программирования СКМ MATLAB, удалось учесть влияние упругих волн на закон движения частиц. Результаты имитационного моделирования, в основном, подтверждают концептуальную модель сверхглубокого проникания твёрдых частиц в металлические материалы, предложенную B.JI. Колмогоровым.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации развит вариационный метод решения задач ударного взаимодействия деформируемых тел. К необходимости математического моделирования таких задач приводит, в частности, создание и развитие таких технологических процессов, как обработка деформируемых материалов взрывом, перфорация, сварка в твёрдой фазе, создание новых композитных материалов способом имплантации твёрдых частиц в металлы. Предложены математические модели и алгоритмы решения задач глубокого проникания в результате взрывного взаимодействия твердых частиц в деформируемые тела. Реализуются основные этапы математического моделирования: построение и формализация концептуальной модели объекта исследования, алгоритмизация модели, численное моделирование и интерпретация результатов. Математическое моделирование процесса проникания твёрдой частицы в упругопластическую среду осуществляется в результате совместного решения фундаментальных и вариационных уравнений механики деформируемого тела. В результате определяется закон движения частиц в деформируемый материал и глубина проникания частицы в мишень. Задачи решены для частиц сферической и цилиндрической форм, и для сферической частицы с учетом ее истирания. Пластическая деформация обычно сопровождается накоплением по-врежденности деформируемой среды; при этом сопротивление среды движению частицы снижается и её путь увеличивается. Для введения соответствующей поправки на длину пути, в работе обоснована необходимость применения феноменологической теории разрушения для определения накопления поврежденности материала в области интенсивного пластического течения. Рассматривается влияние на закон движения твёрдой частицы упругих волн, возникающих в мишени в результате ударного воздействия. Вводится также поправка, учитывающая влияние температуры разогрева деформируемого материала вблизи движущихся частиц.

1. Альтшулер Л.В., Андилевко С.К., Романов Г.С. и др. О модели сверхглубокого проникания. Письма в ЖТФ, 1989, 15 (5), с. 55-57.

2. Андилевко С.К., Романов Г.С., Ушеренко С.М. и др. Сверхглубокое проникание дискретных микрочастиц. Всесоюзное совещание по детонации. Сборник докладов, 1 том. Красноярск, 5-12 августа, 1991, с. 38-42.

3. Андилевко С.К., Сай Е.Н., Романов Г.С. и др. Перемещение ударника в металле, подвергнутом предварительно ударно-волновому нагружению. Всесоюзное совещание по детонации. Сборник докладов, 1 том. Красноярск, 5-12 августа, 1991, с. 97.

4. Андилевко С.К., Сай Е.Н., Романов Г.С. и др. Перемещение ударника в металле. Физика горения и взрыва 1988, 5, с. 110-113.

5. Бабаков В.А., Каримов И.М. Приближенный метод расчета проникания ударника в пластическую среду // Динамика многофазных сред, вып. 83, ИгиЛ СО АН СССР, 1987, с. 3-10.

6. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983, с. 448.

7. Богатов А.А., Мижирицкий О.И., Смирнов С.В. Ресурс пластичности металлов при обработке давлением. М.: Металлургия, 1984, с. 144.

8. Бриджмен П.В. Новейшие работы в области высоких давлений. М.: ИЛ, 1948, с. 300.

9. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987, с. 542.

10. Влияние скорости деформации на пластичность металлов под давлением / Р.В.Чурбаев, А.В.Добромыслов, В.Л.Колмогоров и др. // ФММ, 1990, №6, с. 178-183.

11. Ворошнин Л.Г., Горобцов В.Г., Шилкин В.А. Упрочнение быстрорежущей стали Р6М5 при динамическом микролегировании и термической обработке. Доклады АН БССР 1985, XXI (1), с. 57-58.

12. Высокоскоростное взаимодействие тел / В.М.Фомин, А.И.Гулидов, Г.А.Сапожников и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999, с. 600.

13. Гасилов В.Л., Колмогоров В.Л., Спевак Л.Ф. Модель разрушения в процессах развитого деформирования металлов // Прочность и пластичность, т. 2. Труды IX Конференции по прочности и пластичности. Москва, 1996, с. 58-63.

14. Глушак Б.Л., Куропатенко В.Ф., Новиков С.А. Исследование прочности материалов при динамических нагрузках. Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1992, с. 295.

15. Глушко A.M. Исследование откола как процесса образования микропор // Изв. АН СССР.МТТ, 1978, №5, с. 132-140.

16. Гольдсмит В. Удар. Теория удара и физические свойства соударяемых тел. М.: Стройиздат, 1965, с. 448.

17. Гольдсмит В. Удар и контактные явления при средних скоростях. Физика быстропротекающих процессов / В. Гольдсмит. М.: Мир, 1971, с. 153 -203.

18. Горобцов В.Г., Ушеренко С.М., Фуре В .Я. О некоторых эффектах обработки высокоскоростной струей рабочего вещества. // Порошковая металлургия. Минск, Высшая школа, 1979, вып.З, с.8 12.

19. Григорян С.С. О природе "сверхглубокого" проникания твердых микрочастиц в твердые материалы. Доклады академии наук СССР 1987, 292 (6), с. 1319-1323.

20. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов. В 2х томах. М.: Металлургиздат, 1960, т. II, с. 416.

21. Гулидов А.И., Фомин В.М. Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой преграды // ПМТФ, 1980, № 3, с. 126-132.

22. Дёмкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М: Наука, 1970, с. 226.

23. Дерягин Б. В. Что такое трение. М: АН СССР, 1963, с. 230.

24. Дэбни Дж. Simulink 4. Секреты мастерства. М.: Бином. Лаборатория знаний. 2003, с. 403.

25. Динамические задачи механики деформирования и разрушения материалов / В.Л.Колмогоров, В.Л.Гасилов, В.П.Федотов и др. // Тез. докл. 11-й зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1997, с. 61.

26. Залазинская Е.А., Залазинский А.Г. Моделирование высокоскоростного вдавливания цилиндрического ударника в деформируемое тело. // Заготовительные производства в машиностроении. 2008, №9, с. 19-26.

27. Залазинский А.Г. Пластическое деформирование структурно-неоднородных материалов. Екатеринбург, 2000, с. 492.

28. Залазинский А.Г., Залазинская Е.А. Проникание сферической частицы в упругопластическую среду/ в книге: Колмогоров В.Л., Джонсон У., Рид С.Р., Корбетт Г.Г. Ударное нагружение и разрушение твердых тел.// Екатеринбург, 2006, с. 287-300.

29. Ильюшин А.А. Ломакин В.А. Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. МГУ, 1973, с. 163.

30. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд. Моск. ун-та, 1978, с. 287.

31. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1980, с. 280.

32. Каплун Ф.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера. Практическое руководство. М.: УРСС. 2004, с. 272.

33. Качанов JI.M. О времени до разрушения при ползучести // Доклады АН СССР. ОТН. 1958. № 8, с. 67-75.

34. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969, с. 420.

35. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x.: программирование численных методов. СПб.: БХВ Петербург, 2004, с. 672.

36. Кийко И.А. Теория разрушения в процессах пластического течения // Обработка металлов давление. Межвузовск. сборник. Свердловск: изд-во УПИ, 1982, с. 27-40.

37. Койтер В. Общие теоремы упругопластических сред. М.: ИЛ, 1961. 78 с.

38. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979, с. 302.

39. Колмогоров В.Л. Метод расчёта напряжённо-деформированного состояния в общей краевой задаче развитого течения. Вестник ПГТУ, Механика. Пермь: ПГТУ. 1995, №2, с. 87-98.

40. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. 1-е изд. — М.: Металлургия, 1986. 688 с. 2-е изд., дополненное и переработанное — Екатеринбург.: Изд-во УГТУ-УПИ, 2001, с. 836.

41. Колмогоров В.Л. Напряжения, деформации, разрушение. М.: Металлургия, 1970, с. 229.

42. Колмогоров В.Л. Принцип возможного изменения напряженного и деформированного состояния // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1967, №2, с. 143-152.

43. Колмогоров В.Л., Богатов А.А., Мигачёв Б.А. и др. Пластичность и разрушение. М.: Металлургия, 1977, с. 336.

44. Колмогоров В.Л., Джонсон У., Рид С.Р., Корбетт Г.Г. Ударное нагружение и разрушение твёрдых тел. Екатеринбург: УрО РАН, 2006, с. 321.

45. Колмогоров В.Л., Залазинская Е.А. Движение частицы в пластической среде с учетом ее истирания // Прикладная механика и техническая физика. 2003, т.44, №4 (260), с.126-134.

46. Колмогоров В.Л., Залазинский А.Г., Залазинская Е.А. Моделирование процесса сверхглубокого проникании частицы в упругопластическую среду// Сборник трудов конференции "Поздеевские чтения", Пермь,2006, с. 51-53.

47. Колмогоров В.Л., Залазинский А.Г., Залазинская Е.А. О сверхглубоком проникании частицы в упругопластическую среду// Доклады конференции "Забабахинские научные чтения", Снежинск, 2003, с. 243.

48. Колмогоров В.Л., Спевак Л.Ф., Трухин В.Б. Метод расчета напряженно-деформированного состояния в общей краевой задаче обработки металлов // Технология легких сплавов. 1995, №4, с. 39-49.

49. Крагельский И. В. Трение и износ. М: Машиностроение. 1968, с. 480.

50. Кукуджанов В.Н. О моделях и критериях динамического разрушения при распространении упругопластических волн // Мат. конф. по распространению упругопластических волн. Фрунзе, 1983, ч. 2, с. 41-43.

51. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред // Успехи механики, 1985, т. 6, вып. 4, с. 21-63.

52. Леванов А. Н., Колмогоров В. Л., Буркин С. П. и др. Контактное трение в процессах обработки металлов давлением. М: Металлургия, 1976, с. 416.

53. Ленский B.C. Об упруго-пластическом ударе стержня о жесткую преграду // ПММ, 1949, т. 13, № 2, с. 165-170.

54. Магомедов К. М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988, с. 290.

55. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: МГТУ, 2002, с. 368.

56. Макушок Е. М.1 Механика трения. Минск: Наука и техника, 1974, с. 256.

57. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981, с. 208.

58. Наяр Е. Вееры линий скольжения в стационарных быстрых плоских течениях идеально пластических материалах. МТТ, 1968, №5.

59. Наяр Е. Задачи о плоских быстрых течениях идеально-пластичных материалов с центроподобными полями скоростей. Бюлл. Польск. АН. Сер. техн. науки, 1967, т. 15, №10.

60. Нигматулин Р.И., Холин Н.Н. К модели упругопластической среды с дислокационной кинетикой пластического деформирования // Изв. АН СССР. ММТ, 1974, № 4, с. 131-146.

61. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978, с. 307.

62. Остапенко Н.А., Якунина Г.Е. О форме тонких пространственных тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды // ПММ, 1999, т.63, № 6, с. 1018-1034.

63. Пластичность и разрушение. //Под ред. Колмогорова B.JI. М.: Металлургия, 1977, с. 336.

64. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М.: ИЛ, 1956, с. 398.

65. Применение метода расчета напряженно-деформированного состояния для некоторых задач обработки металлов давлением / В.Л.Колмогоров, С.В.Вершинин, Л.Ф.Спевак и др. // Тез. докл. 10-й зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1995, с. 59-60.

66. Применение принципов дискретно-континуального представления среды в задачах высокоскоростного взаимодействия тел / Гладышев A.M., Гулидов А.И., Сапожников Г.А. и др. // Моделирование в механике, 1993, т. 7, № 4, с. 36-51.

67. Проблемы динамики упругопластических сред. Сер. "Механика. Новое в зарубежной науке" / Под ред. Г.С. Шапиро. М.: Мир, 1975, с. 265.

68. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1979, с. 744.

69. Работнов Ю.Н. О механизме длительного разрушения // В кн.: Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Издательство АН СССР, 1959, с. 5-7.

70. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961, с. 399.

71. Ренне И.П., Тутышкин Н.Д. Учёт сил инерции при плоском выдавливании полосы через клиновые матрицы. "Известия вузов. Машиностроение", 1972, №6, с. 144-147.

72. Рузанов А.П. Численное моделирование процессов разрушения твердых тел при импульсных нагрузках // Прикладные проблемы прочности и пластичности. №15, Статика и динамика, Горький, 1980, с. 38-53.

73. Седов JI.M. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973, т. 1, с. 536, т.2 с. 584.

74. Смирнов-Аляев Г.А. Сопротивление материалов пластическому деформированию. 3-е изд., доп. и перераб. Л.Машиностроение, 1978, с. 368.

75. Смирнов-Аляев Г.А., Розенберг В.М. Теория пластических деформаций металлов. М.: Машгиз, 1956, с. 367.

76. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969, с. 608.

77. Спевак Л. Ф., Залазинская Е. А. Определение закона движения твердой частицы в пластической среде // В сб. статей: Механика деформирования и разрушения, Екатеринбург: УрО РАН, 2001, с. 31-51.

78. Справочник по триботехнике / Под ред. М. Хебды и А.В. Чичинадзе. В 3-х томах: Том 1. Теоретические основы. М: Машиностроение, 1989, с. 400.

79. Тамуж В.П. Об одном минимальном принципе в динамике жеско-пластического тела. ПММ, т. 26, в. 4, 1962.

80. Теория ковки и штамповки / Е.П.Унксов, У.Джонсон, В.Л.Колмогоров и др. // Под ред. Е.П.Унксова, А.Г.Овчинникова. М.: Машиностроение, 1992, с. 720.

81. Теория обработки металлов давлением (Вариационные методы расчёта усилий и деформаций). / Авт. Тарновский И .Я., Поздеев А.А., Ганаго О.А. и др. М.: Металлургиздат, 1963, с. 672.

82. Теплотехника: Учеб. для вузов / В.Н.Луканин, М.Г.Шатров, Г.М.Камфер и др. М.: Высш. шк., 2002, с. 671.

83. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967, с. 444.

84. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. Пер. с англ. / Под ред. Г.С. Шапиро. М.: Наука, 1979, с. 560.

85. Тутышкин Н.Д. Анализ заключительной стадии высокоскоростной штамповки в открытом штампе. // Известия вузов. Машиностроение, 1977, №8, с. 132-136.

86. Тутышкин Н.Д. Анализ начальной стадии плоской закрытой прошивки на высокоскоростном молоте. // Известия вузов. Машиностроение, 1974, №7, с. 139-144.

87. Тутышкин Н.Д. Начальное пластическое течение при внедрении плоского штампа под действием динамической нагрузки. // Известия вузов. Машиностроение, 1981, №3, с. 103-106.

88. Уилкинс М. Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967, с. 212-263.

89. Федотов В.П., Спевак Л.Ф. Вариационный метод разделения переменных для задач пластического удара // Известия УрГУ, 2000, №18 (Математика и механика, вып. 3), с. 185-196.

90. Федотов В.П., Спевак Л.Ф. Решение динамических задач пластичности основанным на вариационной постановке методом разделения переменных//Математическое моделирование, 2000, т. 12, №7, с. 36—40.

91. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956, с. 407.

92. Черный Г.Г. Механизм аномально низкого сопротивления при движении тел в твердых средах. Доклады академии наук СССР 1987, 292, (6), с. 1324-1328.

93. Шилкин В.А., Ушеренко С.М., Андилевко С.К. Введение в сталь металлических порошков. В сб. Обработка материалов при высоких давлениях. Киев: ИПМ АН УССР, 1987, с. 99 102.

94. Anderson Jr. СЕ, Hohler V, Walker JD, Stilp AJ. Penetration of long rodsthinto steel and glass targets: experiments and computations. 14 Int. Symp. on Ballistics,Quebec, Canada, 1993, Vol. 1: p. 145-154,

95. Anderson Jr. CE, Walker JD. An examination of long-penetration. Int. J. Impact Engng. 1991; 11(4): p. 481-501.

96. Anderson Jr. CE. From fire to ballistics: a historical retrospective. Int. J. Impact Engng. 29 (2003): p. 13-67.

97. Awerbuch J., Bodner S.R. Analysis of the mechanics of perforation of projectiles in metallic plates // Int. J. Solids Struct. 1974, 10(1): p. 671-684.

98. Hutchings I.M. Deformation of metal surfaces by the oblique impact of square plates // International Journal of Mechanical Sciences. 1977, v. 19, №1: p. 45-52.

99. Kolmogorov V. L., Smirnov S.V. Healing of Metal Microdefects after Cold Deformation // Advanced Method in Materials Processing Defects. M. Predeleanu and P. Gilormini (Editors). Elsiver Science B.V. 1997, p. 61-69.

100. Kolmogorov V.L., Kharlamov V.V., Kurilov A.M., Pavlishko S.V. Friction and wear model of a heavy-loaded sliding pair. Part II. Application to an unlibricated journal bearing. Wear 197, 1996: p. 9-16

101. Kolmogorov, A.G. Zalazinsky, E. A. Zalazinskaya. The superdeep penetration of a particle into an elastic-plastic medium //International Journal of Impact Engineering, Volume 34, Issue 11, November 2007, p. 1869-1882.

102. KolmogoroV.L. Friction and wear model of a heavy-loaded sliding pair. Part I. Metal damage and fracture model. Wear 194 ,1996, p. 71-79.

103. Papini M., Spelt J.K. Impact of rigid angular particles with fully-plastic targets. Part I: Analysis, Part II: Parametric Study of erosion phenomena // International Journal of Mechanical Sciences. 2000. V. 42, №5, p. 991-1025.

104. Ravid M, Bodner SR. Dynamic perforation of viscoplastic plates by rigid projectiles Int. J. Impact Engng. Sci., 1983; 21(6): p. 577-591.

105. Seaman L., Curran D.R., Schockey D.A. Computational models for ductile and brittle fracture // J. Appl. Phys. 1976. V. 47, No. 11, p. 4814-4826.

106. Simpson R. A., Honeywell Govt, and Aeronautical Products Div., 1972, p. 570-581.

107. Spencer A. J. M. The dynamic plane deformation of an ideal plastic rigid solid. J. Mech. Phys. Solids, 1960, vol. 8, №4, p. 814-826.

108. Walker J.D., Anderson C.E., jr / A time-dependent model for long-rod penetration. Impact Engng. 1995.Vol. 16, No. 1, p. 19-48.

109. Zukas J.A. In Impact Dynamics, 1982, p.155-214.

110. Liss J., Goldsmith W., Kelly J.M. A phenomenological perforation model of plates // Int. J. Impact Engng. 1983, 1(4), p. 321-341.

111. Liss J., Goldsmith W. Plate perforation phenomena due to normal impact of blunt cylinders // Int. J. Impact Engng. 1984, 2, p. 37-64.