Исследование гидродинамических нагрузок при проникании симметричных тел в сжимаемую жидкость тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРОНИКАНИЯ.

МЕТОД РЕШЕНИЯ.

1.1. Постановка задачи

1.2. Метод решения плоской линейной задачи проникания

1.3. О численном решении задачи

1.4. Решение эталонных задач

2. ПРОНИКАНИЕ ЖЕСТКИХ ТЕЛ В СЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ.

СЛУЧАЙ НЕПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЫ ЖИДКОСТИ.

2.1. Постановка задачи

2.2. Сведение задачи проникания к решению последовательности интегральных уравнений

2.3. Определение гидродинамических нагрузок при проникании

3. ЗАДАЧА ПРОНИКАНИЯ В СЛУЧАЕ ПОДВИЖНОЙ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

3.1. Реализация алгоритма решения задачи

3.2. Результаты численных расчетов

4. ЗАДАЧА ПРОНИКАНИЯ С УЧЕТОМ ПОДЪЕМА ЖИДКОСТИ .НО

4.1. Способ учета подъема поверхности жидкости вблизи проникающего тела.НО

4.2. Численная реализация алгоритма решения задачи

4.3. Определение гидродинамических нагрузок

В В Е Д Е Н И Е В современной технике существуют механизмы и конструкции, которые в процессе эксплуатации взаимодействуют с жидкостной средой. В ряде случаев присутствие жидкости является определяющим в их поведении. Проникание является одним из видов взаимодействия тел и жидкости со свободной поверхностью. Основы теории проникания (удара и погружения) тел в жидкость были заложены в грудах советских и зарубежных ученых, И.П.Абрамова, М.В.Келдыша, М.А.Лаврентьева, А.С.Повицкого, Л.И.Седова, Г.Вагнера, Т.Кармана, В.Пабста еще в 30-х годах нашего столетия. В них исследовались задачи применительно к посадке гидросамолетов. В настоящее время актуальность исследований по прониканию возрастает, это вызвано большим числом объектов и процессов, в которых они находят практическое применение. К таким, например, от носятся посадка на воду летательных аппаратов, слемминг современ ных высокоскоростных судов, ударная штамповка и др. Дальнейшее развитие теории проникания связано с именами таких ученых как Н.Г.Асрян, А.Г.Багдоев, А.В.Галанин,, Л.А.Галин, А.Г.Горшков, Э.Й.Григолюк, М.И.Гуревич, И.Т.Егоров, М.И.Иманалиев, В.С.Крылов, В.Д.Кубенко, М.А.Лаврентьев, Г.В.Логвинович, О.А.Осипов, В.Б.Поручиков, А.Я.Сагомонян, Л.И.Седов, И.Г.Филиппов, Ш.Д.Шамгунов, В.Н.Шац, Г.Г.Шахверди, М.Медик, М.Очи, Р.Пейгон, Р.Скалак, Д.Фейт, В.Шебехели и другие. В связи с обширной библиографией, а также в силу того, что по данной проблематике неоднократно выходили обзорные труды [26,27, 28,60,61,96,106, 108] в настоящем введении целесообразно остановиться на работах, имеющих непосредственную близость к теме диссертационной работы. Кроме этого, по-видимому, имеет смысл провести обзор публикаций, вышедших после опубликования монографии и об зора Э.И.Григолюка и А.Г.Горшкова [26,2?] в которых даны наиболее детальный анализ и классификация работ по прониканию, датируемых не позднее середины 1975 г. Анализ работ последних лет поз волиг определить место изложенных в данной работе исследований среди современных направлений, в которых развивается теория про никания. I. В первых попытках решения задачи удара тел о жидкость последняя представлялась своей простейшей моделью идеальной не сжимаемой жидкости. С использованием этой модели получено много важных научных результатов. Как показывают сравнения с данными экспериментов идеальная несжимаемая жидкость вполне удовлетворительно описывает гидродинамические процессы при проникании. Однако существуют случаи, когда использование модели несжимаемой жидкости приводит к результатам,, не отвечающим действи тельности. Прежде всего это случаи проникания тел, которые имеют затупленную или плоскую носовую часть. При этом может случиться, что смоченная поверхность таких тел расширяется со скоростью,превосходящей скорость звука в реальной жидкости (так называемый "сверхзвуковой" случай), или касание жидкости происходит одновременно целым континуумом точек (пластина, диск). В таких случаях необходимо учитывать сжимаемость жидкости 26,27,28,50,60,6l] Как правило, если скорость движения тела в жидкости значительно меньше скорости звука (v(t)« с жения жидкостной среды. При достижении скоростью долей скорости звука v(t) при десятых анализе ограничиваются акустическим приближением для описания двис необходимо движение жидкости описывать либо уравнениями нелинейной акустики, либо полной системой урав нений гидродинамики. Большинство реально существующих объектов обладает такими скоростями движения относительно жидкости, что б результаты с использованием акустической модели будут вполне отвечать действительности. Сжимаемость жидкости требует применения методов, отличаю щихся от методов исследования проникания в несжимаемую жидкость. Причина этого заключается в том, что уравнения, описывающие движения сжимаемой типам. Получение аналитических решений в задачах проникания тупых тел в сжимаемую жидкость наталкивается на значительные математи» ческие трудности. В связи с этим аналитические решения удается получить в редких случаях: для тел простой геометрической формы (клин,пластина,диск) или на очень кратковременном интервале, пока выполняется условие V с для тел с криволинейным сечением Vq- скорость расширения смоченной поверхности). При выполнении условия V,C граница первоначально невозмущенной жидкости неподвижна, поэтому при математической форму лировке задачи на всей границе жидкости можно задавать однород ные условия. Такое упрощение позволило получить аналитические решения задач в линейной постановке [l4,15,16,40,1,49,50] Для гел с плоским срезом, ширина которых равна 2 о (пластина диск), аналитическое решение справедливо на интервале времени 0 i 2Е)/с([19,82] пластина, [71,82] диск). Проникание клина исследовано в работах [78,107] Точное аналитическое решение линейных плоских и осесимметричных задач проникания твердых тел, имеющих в сечении квадра тичную параболу, получено в работах [l4,50] В работах [50,53,54] предложены методы определения гидро динамического давления на поверхности затупленных тел произвольного симметричного сечения в плоской и осесимметричной задачах на сверхзвуковом этапе проникания. и несжимаемой жидкости относятся к разным Нелинейные автомодельные задачи проникания конуса и клина рассматривались в работах [32,33] Фронт ударной волны определялся численно. В неавтомодельной постановке нелинейная задача проникания осесиммегричного затупленного [88] и бесконечного цилиндра [зэ] решалась на раннем этапе (\L С Влияние конечности глубины жидкости исследовалось в работе [18]. На величины определяемых в зоне контакта гидродинамических реакций существенное влияние оказывает учет деформирования проникающих тел. При высоких скоростях деформации имеют пластический характер [5] Проникание упругодеформируемых оболочек в слабо сжимаемую жидкость рассмотрено в работах [l5,I6] В указанных работах задачи решались на сверхзвуковом этапе. Проникающее тело деформирует поверхность жидкости. На самом начальном этапе от момента касания затупленного тела и жидкости порожденная звуковая волна не выходит на свободную поверхность и не взаимодействует с ней. В этот период свободная поверхность жидкости сохраняет свою первоначальную форму. С выходом акусти ческой волны на свободную поверхность происходит деформирование последней, приводящее к подъему жидкости вблизи проникающего тела (это явление называют еще "встречным движением жидкости"). В результате подъема увеличивается поверхность контакта. Поскольку форма деформированной поверхности жидкости наперед неизвестна, го смоченная поверхность тела подлежит определению при решении задачи. Для учета эффекта встречного движения жидкости Г.Вагнер ввел в рассмотрение величину эе отношение скорости погружения V t к скорости расширения поверхности контакта d D u t [пО, III] Если тело недеформируемо,1о эта величина определяется только его геометрией. При этом смоченная поверхность тела может быть вычислена до решения основной задачи. Методы определения величины ае для жестких тел различной геометрической формы приведены, напри мер, в работах [59,64,83,IIO,IIl] Большинство результатов с использованием метода Вагнера было получено для задач погружения в несжимаемую жидкость. Это объясняется тем, что эффект подъема проявляется тем значительнее, чем на большее расстояние удаляются возмущения от проникающего тела. Когда фронт волны возмущений находится на сравнительно небольшом расстоянии от места проникания,одновременно должны учитываться подъем и сжимаемость жидкости. Это показано в работах В.Б.Поручикова по прониканию клина и конуса в автомодельной постановке [72, 73] При сравнении с результатами,полученными без учета подъема 78,107] разница в определении гидродинамических сил составляет значительную величину, которая может достигать порядка 100. Метод Г.Вагнера учета подъема жидкости благодаря своей про стоте нашел широкое применение. Однако при проникании деформи руемых тел он теряет свои преимущества. В неавтомодельной постановке задача проникания в сжимаемую жидкость с учетом встречного движения решалась численными методами [29,30,31,35,45,46,7,79,80,81,98] Отметим одну важную деталь в поведении гидродинамической силы сопротивления.На сверхзвуковом этапе проникания затупленных гел эта величина не достигает своего максимального значения.Достижение максимума имеет место после выхода возмущений на свободную поверхность, когда они не удалены далеко от места проникания. В этот период начинает сказываться подъем поверхности жидкости учет которого дает более достоверные значения гидродинамической силы. Знание этих максимальных значений позволит оценить величи ны перегрузок которые испытывают тела при проникании.Перейдем теперь к анализу работ последних лет по прониканию. Условно эти публикации можно сгруппировать согласно постановкам задач: а) задачи проникания тонких тел (под таким понимают тело, толщиной которого можно пренебречь по сравнению с глубиной проникания. Такое допущение позволяет линеаризовать граничные ус ловия); б) задачи проникания тупых тел; здесь пренебрегают глуби ной погружения по сравнению с шириной смоченной поверхности; в) задачи с нелинейными граничными условиями} при их решении ни одним из размеров нельзя пренебречь по сравнению с другим; г) задачи, в которых рассматривается нелинейное поведение жидкости, вызванное большими градиентами скоростей ее частиц и значительными перемещениями границ; д) экспериментальные исследования. Проникающие тела предполагаются как жесткими, так и деформируемыми. Основное внимание в работах уделяется, как правило определению гидродинамических нагрузок, напряженно-деформированного состояния, формы поверхности жидкости. В ряде работ иссле дуется влияние различных сопутствующих факторов на величины ди намических нагрузок. Во всех работах рассматриваются, в основном, плоские или осесимметричные задачи. Исключение составляет, по-видимому,только работа [43 в которой получена начальная асимптотика реше ния задачи проникания в несжимаемую жидкость эллиптического па раболоида (трехмерная задача). В работе [в] для задачи о входе в несжимаемую жидкость цилиндрической оболочки, ось которой наклонена к поверхности жидкости, предложен специальный прием, позволивший решать трехмерную задачу как плоскую, а. При проникании тонких тел возможны два случая, которые различаются выбором модели жидкости: когда скорость тела в жид кости меньше скорости звука в ней (v(t)<C), и когда соотношение скоростей противоположное (v(t)>C). В задачах проникания тонких тел на решение значительное влияние оказывает учет весомости жидкости. При выборе уравнений, описывающих движение жидкости в этом случае, необходимо прини мать во внимание этот существенный фактор. Б работе [з] при изучении влияния весомости жидкости вводился параметр r7 gt/v где t время, g* ускорение силы тяжести, V скорость проникания. Велось разложение по параметру г с точностью п Показано, что наличие Y) повышает силу сопротивления прониканию. Задача рассматривалась со свободной границей жидкости и с грани цей, покрытой мембраной. Использовались методы источников и ин тегральных преобразований. Получено распределение давления по поверхности проникающих тел и сила сопротивления в виде квадратуры. Это исследование продолжено в работе [4] В ней дополнительно рассмотрено движение со скоростями, при которых необходимо учи тывагь сжимаемость жидкости. Кроме э1ого,рассмотрен случай проникания в жидкость, покрытую пластиной. Получены сила сопротивления и распределение давления по поверхности проникающих тел вращения. Показано, что сила тяжести существенно влияет на процесс проникания, особенно тогда, когда скорость непостоянна. При свободном проникании движение может иметь колебательный характер. В работе 2 решена задача проникания тонкого конуса, переходящего в цилиндр, и конечного конуса. Определены давление на конусе и сила сопротивления, Учет весомости жидкости при проникании гонких тел обсуждал ся также в работе [l8] Здесь рассматривалось тело, скорость которого значительно меньше скорости звука в жидкости. В Э Т О Й же работе исследовалось влияние конечности глубины жидкости на ве II личину силы сопротивления. Наклонному входу тонких тел посвящены работы [55,56,62] б. В П.1 введения работы по прониканию затупленных тел уже частично обсуждены. Здесь мы продолжим их обзор. В последние годы опубликована серия работ, в которых ис пользуется подход, разработанный ранее Э.И.Григолюком и А.Г.Горшковым [2б] В них продолжены исследования проникания оболочеч-. ных конструкций в несжимаемую жидкость. Задача состоит в интегрировании системы связанных четырех групп уравнений, описывающих процесс проникания оболочки, связанной с жестким телом. Уравне ния первой группы описывают движение системы как твердого тела. Граница смоченной поверхности оболочки определяется по второй группе уравнений. Из третьей группы уравнений находится закон распределения давления до поверхности оболочки. Уравнения, описывающие вынужденные колебания оболочки,входят в четвертую группу. При определении величины смоченной поверхности используется метод Вагнера. Уравнения, описывающие движение системы "оболочка жесткое тело" интегрируются по методу Бубнова в комбинации с методом Кутга-Мерсона. В указанных работах решались следующие задачи: о вертикальном входе в несжимаемую жидкость однослойной [9,22], двухслойной [9,23] и трехслойной [25] цилиндрических оболочек, а также упругого клина [2Ч] Задача проникания цилиндрической оболочки в случае, когда ось оболочки составляет некоторый угол с поверхностью жидкости, решалась в работе [s] Анализ результатов показывает, что деформируемость конструкции существенно влияет на величины гидродинамических реакций. В рассмотренных выше работах жидкость принималась несжимаемой. Предполагалось,что отрезок времени, на котором сказывается ее сжимаемость пренебрежимо мал. Обратимся к задачам проникания в сжимаемую жидкость. Та их часть, которая рассмотрена в п.I,решалась (за исключением автомодельных задач) на сверхзвуковом этапе. Это позволило не учитывать движение свободных границ. Учет этого движения значительно усложняет задачу, поскольку в этом случае математически она должна формулироваться как смешанная. Линейную смешанную краевую задачу проникания в сжимаемую жидкость удается решить с помощью метода, разработанного В.Д.Кубенко [50,51,52] Его сущность состоит в том, что гидродинамическая часть задачи сводится к бесконечной системе линейных ин тегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно коэффициентов разложения давления на поверхности жидкости в ряд Фурье. Система интегральных уравнений дает точное решение линейной смешанной краевой задачи. Этот метод допускает обобщения на случай проникания деформируемого тела и на случай жидкости конечной глубины. в. Задачи проникания с нелинейными граничными условиями возникают тогда, когда глубина погружения соизмерима с шириной смоченной поверхности, и граничные условия нельзя снести на одну из координатных осей в жидкости. Если тело движется со скоростью, значительно меньшей скорости звука в жидкости, жидкость можно считать идеально несжимаемой. Для решения таких задач применяются различные методы. В работе [20] нелинейную задачу проникания в весомую жидкость предложено заменить последовательностью линейных. В работе [2l] нений Фредгольма. Нелинейная задача проникания с помощью последовательности конформных отображений на верхнюю полуплоскость может быть сведенелинейная краевая задача погружения плоского тела в несжимаемую жидкость сведена к системе интегральных ура в на к серии смешанных задач теории аналитических функций [бб] "Начальное" решение, необходимое для организации последовательного движения по времени,построено в работе [б5] Если начальная скорость равна нулю, то за "начальное" берется решение, полученное в статье [бУ] Поле скоростей определяется из интегро-дифференциальной сисгемы уравнений, которая решается методом конечных разностей по времени. Решение нелинейных задач проникания в идеальную несжимаемую жидкость методом граничных интегральных уравнений [77] проводи лось в работах [б8,69,70] Потенциал возмущенного движения жидкости, форма свободной поверхности и сила сопротивления определены в различные моменты времени до образования за телом каверны. Численный метод решения задачи приведен в работе [70] г. В задачах проникания с большими скоростями жидкость ведет себя как нелинейная. Для описания движения жидкости необходимо привлекать нелинейные уравнения гидродинамики. Решение таких задач требует развития соответствующих методов, поскольку возникают дополнительные математические трудности. Одним из упрощений решения является автомодельность задачи. Так в работах [32,зз] исследовано проникание в сжимаемую жид Нелинейные задачи проникания в сжимаемую жидкость тупого тела вращения [88] и бесконечно длинного цилиндра [89] решались на раннем этапе, когда возмущения еще не достигли поверхности жидкости. Решение нелинейных задач проникания в наиболее СЛОЖНОЙ кость конуса и клина без отрыва ударной волны от проникающих тел. сме- шанной-постановке стало возможным благодаря развитию в нашей стране и за рубежом численных методов применительно к задачам гидродинамики. К наиболее универсальным численным методам отно сятся метод конечных разностей Ж Р и метод конечных элементов

(мкэ). Существуют два подхода к решению задач гидродинамики с подвижной границей,к которым относится задача прониканид,-Лагранжа и Зйлера. В соответствии с каждым из этих подходов выбирается сетка, которой покрывается возмущенная область средн. В узлах этой сетки определяются значения гидродинамических параметров. Согласно подходу Лагранжа элементы сегки перемещаются и деформируются вместе со средой. Однако в случае значительных деформаций поверхности жидкости ячейки подвижной сетки могут сильно сжиматься, что приводит к неустойчивости счета. В эйлеровом подходе среда движется относительно сетки,поэтому когда перемещения жидкости большие, необходимо для уменьшения относительных смещений формировать подвижную сетку. Трудность в использовании эйлерова подхода заключается в отыскании закона движения сетки. Недостатки обоих подходов снимает смешанная Эйлерова-Лаг ранжева методика организации вычислений (СЭЛ). Удар по пластине, находящейся на поверхности сжимаемой жидкости, исследовался в работе [4] методом конечных разностей с использованием лагранжевой сетки. Пласгина предполагалась твердой и невесой. Для описания движения жидкости использовались нелинейные уравнения. Вводилась искусственная вязкость. На пластине принималось условие прилипания жидкости. Изменение давления на пла стине и силы реакции во времени получены на интервале времени, равном десятикратному пробегу акустической волной вдоль ширины пластины. Введенная искусственная вязкость является причиной на рушения потенциальности движения жидкости, Метод конечных разностей в Лагранжевом варианте был исполь зован в работе [35] для решения задачи проникания в сжимаемую жидкость жесткого кругового цилиндра и сферы. В результате расче тов получены кривые давления гидродинамической силы, а также формы поверхности жидкости. К смешанным эйлерово-лагранжевым методам (СЭЛ) относится метод маркеров и ячеек. Этим методом решалась задача вертикального проникания твердого конуса в воду ю э Для различных моментов времени определены распределение давления по смоченной по верхносги и форма поверхности жидкости. Проведено сравнение с данными эксперимента. Б последнее время приобретает распространение применительно к задачам проникания один из методов СЭЛ метод К.Годунова (МГ). Серия статей А.Я.Сагомоняна и Я.П.Дворкина [29,30,31,79,80, 8l] посвящена исследованию проникания круговой цилиндрической и сферической оболочек в сжимаемую жидкость, движение которой описывается волновым уравнением. Граничные условия принимаются в линеаризованном виде. Для решения гидродинамической части задачи использовался МГ. Уравнения движения оболочек типа П.Тимошенко решались численным методом характеристик. В результате совместного решения уравнений, описывающих движение оболочек и жидкости, были получены временные зависимости радиального и тангенциального смещений срединной поверхности и угла поворота нормали к ней, а также изменение этих величин по координате вдоль поверхности оболочек в фиксированые моменты времени. Нелинейная задача проникания упругопласгических оболочечных конструкций в идеальную сжимаемую жидкость исследовалась в рабо гах [45,46,47] на основе синтеза МГ и вариационно-разностной схемы для интегрирования уравнений динамического деформирования Рассматривались вопросы высокоскоростного проникания, В силу этого движение жидкости описывалось нелинейными уравнениями. Ско рости соударения варьировались в широком диапазоне от нескольких десятков до сотен метров в секунду.в последние годы появились работы, в которых для решения задачи ударного взаимодействия тел с жидкостью использовался метод конечных элементов МКЭ. МКЭ допускает произвольное, удобное для каждого конкретного случая, разбиение среды на элементы. Дроблением элементов можно добиться высокой точности решения. В качестве узловых обобщенных координат могут быть выбраны: давление П 2 скорость [зб] или волновой потенциал [90,9lJ В первом случае легко обеспечивается сопряжение обобщенных узло вых сил жидкости и тела. Во втором случае легко учитывать условие равенства скоростей на контактной поверхности. В третьем случае узловые давления определяются по интегралу Лагранжа-Коши, а ско рости как производные по пространственным координатам от волнового потенциала, тем самым используются преимущества первых двух подходов. Перспективным направлением в развитии МКЭ является метод граничных элементов (МГЭ). Задача взаимодействия рассматривается на границе жидкости, где, собственно,решение представляет главный интерес. Методом ГЭ решалась задача проникания жестких тел в несжимаемую жидкость в работе [98] Численные результаты сравнивались с экспериментальными данными. д. Аналитическое решение задачи проникания различных тел в жидкость сопряжено с большими математическими трудностями. Ввиду этого важное значение имеют экспериментальные исследования. В работе [Уб] проводилось экспериментальное исследование поперечного удара по мембране, лежащей на поверхности жидкосги.Удар производился тупым и острым конусами. Использовалась скоростная киносъемка. Приведены кинограммы движения жидкосги, накрытой мембраной.Анализ экспериментальных данных входа в воду диска под уг лом к поверхности жидкости проводился в работах [93,94] Построены зависимости гидродинамической силы от времени и от угла атаки. В экспериментальной работе [зу] приведены результаты оценки влияния сжимаемости жидкости на величины гидродинамических нагрузок. Показано, что для тупых тел теория несжимаемой жидкости дает многократное завышение ударной силы. Обзор экспериментальных исследований по слеммингу приводится в работе ю б Анализ современного состояния исследований позволяет еде ся к исследованию проникания тел в несжимаемую жидкость. В них получены точные аналитические и приближенные решения, касающиеся различных аспекгов проникания. Однако модель несжимаемой жидкости в ряде случаев может давать неверный результат, например, при определении гидродинамических нагрузок, действующих на раннем этапе на проникающие затупленные тела. Решать задачу проникания таких тел в жидкость необходимо с учетом сжимаемости жидкости. В ряде случаев удается получить точные решения задач проникания тел простейшей формы (клин, пластина, конус, диск Кроме этого, для тел, имеющих криволинейное сечение, точные решения получены на раннем этапе, когда акустическая волна в возмущенной жидкости не выходит на свободную поверхности жидкости, Решения задач проникания тел с криволинейными сечениями,когда акустическая волна в жидкости удаляется от места погружения, получены только численно различными сеточными методами. Аналитических же решений задачи в этом случае нет. В некоторых работах решения получены по аналогии с ударом плавающих тел. Правомочность приближенных подходов должна иметь лать следующие заключения. Значительное количество работ относитчисловое подтверждение. Среди методов, которые позволяют находить решение плоской линейной задачи проникания жестких тел в сжимаемую жидкость, можно отметить полуаналитический метод, разработанный В.Д. Кубенко [so] Его идея состоит в том, что решение смешанной линейной нестационарной краевой задачи сводится к решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно коэффициентов разложения давления на поверхности жидкости в ряд Фурье. Метод обладает достаточной общностью, которая заключается в том, что предметом исследования могут быть как жесткие, гак и деформируемые затупленные тела (закон деформирования произволен) достаточно произвольного сечения. Метод разработан для плоских и осесиммегричных задач. Возможно решение задачи проникания в жидкость конечной глубины. С помощью этого метода, поскольку он позволяет получить точное решение линейной задачи, можно оценить достоверность приближенных моделей, которые осно ваны на упрощающих предположениях относительно движения свобод ной поверхности жидкости, а именно, модели с неподвижной свободной поверхностью и модели, в которой свободная поверхность жид кости подвижна, но подъем ее не учитывается. На основании вышеизложенного можно сформулировать цель ис следования; развитие методики определения гидродинамических нагрузок, возникающих в линейных задачах проникания твердых загуп ленных тел достаточно общей конфигурации в слабосжимаемую жид кость; исследование поведения гидродинамических нагрузок при проникании тел различного поперечного сечения; разработка приема позволяющего учитывать подъем жидкости возле проникающего тела; определение влияния принимаемых на свободной поверхности жидкости граничных условий на величины гидродинамических нагрузок. Работа состоит из введения,четырех глав, заключения и списка литературы. В первой главе сформулирована плоская линейная задача проникания твердого тела симметричного поперечного сечения в невесомую идеальную сжимаемую жидкость. Развит метод, с помощью которого эта задача может быть сведена к совместному решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно коэффициентов разложения давления на поверхности жидкости в ряд Фурье и дифференциального уравнения движения тела. Обосновано применение метода редукции бесконечной системы. Интегральные уравнения решались методом конечных сумм. Определены гидродинамические давления, действующие на проникающие клин и параболический цилиндр (на раннем этапе). Проведено сравнение результатов вычислений с аналитическими решениями. Во второй главе сформулирована задача проникания, в которой свободная поверхность жидкости предполагалась неподвижной. Гидродинамическая часть задачи сводится к решению бесконечной последовательности линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Последовательность подвергается редукции, интегральные урав нения решаются методом конечных сумм. Определены гидродинамичес кие нагрузки: давление, сила сопротивления, перегрузка. При ис следовании варьировались параметры: начальная скорость проника ния, масса проникающего тела. Числовые результаты приведены для цилиндрических тел, имеющих в сечении квадратичную и кубическую параболы и клинообразных тел. В третьей главе в задаче проникания свободная поверхность жидкости предполагается подвижной, однако подъем жидкости, выз ванный этим движением, не учитывается. В результате расчетов определены гидродинамические нагрузки: давление, сила сопротивле ния, перегрузка. Начальная скорость и масса тела варьировались. Приведены числовые результаты для цилиндрических тел, имеющих в сечении квадратичную и кубическую параболы. Проведено сравнение результатов второй и третьей глав. Четвертая

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты работы

1. Развит полуаналитический метод решения плоской линейной смешанной краевой задачи проникания в сжимаемую жидкость твердых бесконечно длинных цилиндрических тел.

2. Практически обосновано применение метода редукции к разрешающей бесконечной системе линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно коэффициентов разложения давления на поверхности жидкости в ряд Фурье, к которой сводится линейная задача проникания.

3. Показано, что в случае предположения о неподвижности свободной поверхности жидкости задача проникания может быть сведе -на к последовательности линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

4. Предложен подход, позволяющий учитывать подъем жидкости вблизи проникающего гела, который отличается от известного под -хода Вагнера, использовавшегося в основном при исследовании проникания в несжимаемую жидкость.

5. Исследованы гидродинамические нагрузки, действующие на проникающие тела различного поперечного сечения, при задании следующих граничных условиях на свободной поверхности жидкости: а) при фиксированной свободной поверхности; б) при подвижной свободной поверхности без учета подъема жидкости вблизи проникающего гела; в) при подвижной свободной поверхности с учетом подъема жидкости.

6. Исследованы перегрузки,испытываемые телами при проника -нии в жидкости.

7. Исследовано влияние скорости проникания на величины гидродинамических нагрузок.

8. Исследовано влияние массы проникающих тел на величины гидродинамических нагрузок.

9. Полученные в работе решения могут служить критерием достоверности различных приближенных решений задач проникания.

10. На основании решения задачи проникания в грех различных постановках (фиксированная свободная поверхность жидкости; подвижная свободная поверхность без учета подъема жидкости; подвижная свободная поверхность с учетом подъема) можно сделать вывод о том, что упрощенная постановка задачи (фиксированная поверх -носгь жидкости),с одной стороны, позволяет получить достаточно достоверные числовые результаты, с другой стороны, обеспечивает существенную (более чем 10-кратную) экономию машинного времени. Указанная постановка может быть рекомендована для инженерных расчетов.

1. Абрамов И.Н., Повицкий А.С. Перегрузки при посадках гидросамолетов. - Техн. заметки ЦАГЙ, 1936, с. 1-53.

2. Авагян С.Г. Проникание в весомую жидкость тонкого конуса, переходящего в гонкий цилиндр. Изв.АН АрмССР. Мех., 1982, 35,. № 4, с. 14-20.

3. Авагян О.Г., Багдоев А.Г. Некоторые задачи проникания тел в весомую жидкость. Изв. АН АрмССР. Мех., 1980, 33, № 4,с. 38-51.

4. Авагян С.Г., Багдоев А.Г. Проникание гонких тел в весомую жидкость. Б кн.: 5-й Всес.съезд по геор. и прикл.мех. Анног.докл. Алма-Ата, 198I, с.9.

5. Асрян Н.Г., Галин Л.А. Удар цилиндрической оболочки о поверхность сжимаемой жидкости. Изв.АН СССР. МЖГ, 1972, № 5,с. 5-10.

6. Багдоев А.Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1961. - 276 с.

7. Бейгмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. I. М.: Наука, 1969. - 343 с.

8. Богомолов В.Г. Погружение в несжимаемую жидкость цилиндрической оболочки, ось которой наклонена к поверхности жид -кости. Москва, 1982. - 14 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ.6357- 82 Деп.).

9. Богомолов В.Г. Взаимодействие цилиндрических оболочек с идеальной жидкостью. В кн.: Некоторые вопросы математики и механики. Тез. докл. М.: Изд-во МГУ, 1983, с. 79.

10. Богомолов В.Г., Горшков А.Г. Проникание в жидкость цилиндрических оболочек. В сб.: Статика и динамика тонкостенных конструкций. М.: йзд-во МГУ, 1980, с. I43-I5I.

11. Гавриленко В.Н., Кубенко В.Д. Нестационарное проникание твердого тела в сжимаемую жидкость. В кн.: Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тезисы докл. Днепропетровск, Изд-во Днепропетровского госуниверситета, I98I,c.I24.

12. Гавриленко В.Н., Кубенко В.Д. Проникание твердого цилиндрического тела криволинейного поперечного сечения в ежи -маемую жидкость. В кн.: Взаимодействие оболочек с жидкостью. Казань, 1981, 14, с. 14-23.

13. Гавриленко В.Н. Проникание параболического цилиндра в сжимаемую жидкость. Прикл. механика, 1984, 20, № 2, сш 65-71.

14. Галанин А.В., Гусев В.А., Сайкин С.С. Вход параболического цилиндра и сегмента в сжимаемую жидкость. В кн.: Нестационарное движение тел в жидкости. Чебоксары: Изд-во Чувашского госуниверситета, 1979, с. 15-25.

15. Галанин А.В., Гусев В.А., Сайкин С.С. Начальный период входа деформируемой оболочки в сшшвемую жидкость. В кн.: Нестационарное движение тел в жидкости. Чебоксары: Изд-во Чувашского госуниверситета, 1979, с. 25-36.

16. Галанин А.В., Гусев В.А., Сайкин С.С. Вход осесимметричной оболочки в сжимаемую жидкость. В кн.: Динамика сплошной среды со свободными поверхностями. Чебоксары: Изд-во Чувашского госуниверситета, 1980, с. 47-53.

17. Гзланин А.В., Михайлов В.М., Порфирьев Н.П., Терентьев А.Г. Проникание тел в жидкость конечной глубины. В кн.: 5-й Всес. съезд по теор. и прикл. механике : Аннот. докл. Алма-Ата, 1981, с. 104-105.

18. Галин Л.А. Удар по твердому телу, находящемуся на поверхности сжимаемой жидкости. ПММ, 1947, П, № 5, с. 547-550.

19. Гомзн О.Г., Поляков Н.В. Об одном методе решения нелинейной плоской задачи проникания. В кн. : Нелинейная механика. Днепропетровск, 1975, вып. I, с 154-157.

20. Гомэн О.Г., Поляков Н.В. Об одном применении метода граничных интегральных уравнений. В кн. : Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск, 1979, № 25, с. 19-23.

21. Горшков А.Г. Погружение в жидкость цилиндрической оболочки. -В кн. : Всес. конф. по теории оболочек и пластин : Тез. докл. М. : Наука, 1977, с. 21.

22. Горшков А.Г. Вертикальное погружение в жидкость двухслойном цилиндрической оболочки. В кн. : Исследования по упругости и пластичности. Л. : Изд-во ЛГУ, 1980, вып. 13, с. 231-235.

23. Горшков А.Г., Вакэлов Г.Н. Погружение упругого клина в несжимаемую жидкость. Прикл. механика, 1980, 16, № 9, с. II5-I20.

24. Горшков А.Г., Шуршалов А.И. Погружение в жидкость трехслойной цилиндрической оболочки. В кн. : Труды ХП Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. Ереван : Изд-во Ереванского госуниверситетэ, 1980, с. 72-75.

25. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (Удар и погружение). Л. : Судостроение, 1976. - 199 с.

26. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Погружение упругих оболочек вращения в жидкость. Б кн.: Механика деформируемого твердого тела. ТЛО. М.: ВИНИТИ, 1977, с. 63-113.

27. Гуревич М.И. Теория течений со свободными поверхностями. -В кн.: Гидромеханика. Т. 5 (Итоги науки). М.: ВИНИТИ, 1971, с. 32-114.

28. Дворкин Я.П. Численное решение задачи удара сферической оболочки о поверхность сжимаемой жидкости. М.: 1979. - 13 с.-Рукопись предст. мех.-мат. ф-юм МГУ. Деп. в ВИНИТИ 13 февр. 1979 г., № 552-79 Деп.

29. Дворкин Я.П. Расчет параметров ударного взаимодействия ци -линдрической оболочки и сжимаемой жидкости. М.: 1979.- 16 с. Рукопись предст. мех.-мат. ф-том МГУ. Деп. в ВИНИТИ 13 февр. 1979 г., № 553-79 Деп.

30. Дворкин Я.П. Решение задачи удара цилиндрической оболочки о поверхность сжимаемой жидкости. Вест.МГУ. Мат.,мех.,1980, № 3, с. 59-61.

31. Дильдаев М.С. Проникание конуса в сжимаемую жидкость с по -стоянной скоростью.- Фрунзе, 1982. 12 с. - Рукопись предст.редкол.журн. Изв. АН Кирг.ССР. Деп. в ВИНИТИ 15 февр. 1982, 1& 678-82 Деп.

32. Дильдаев M.G., Шамгунов Ш.Д. Проникание клина в сжимаемую жидкость. Изв. АН Кирг.ССР, 1982, № 4, с. 30-35.

33. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961 г. - 524 с.

34. Дробышевский Н.и. Проникание сферических и цилиндрических тел в идеальную сжимаемую жидкость. В кн.: Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью.: Тр. семинара. Томск, 1981, с. 74-84.

35. Егоров Н.Г., Соколов В.Т. Гидродинамика быстроходных судов.

36. Л.: Судостроение, 1965. 424 с.

37. Ерошин В.А., Романенков Н.И., Серебряков И.В., Якимов Ю.Л. Гидродинамические силы при ударе тупых тел о поверхность сжимаемой жидкости. Изв. АН СССР. МЖГ, 1980, № б, с.44-51.

38. Ершов В.Н. Исследование ударного взаимодействия падающих плоских тел с жидкостью методом конечных элементов. Труды НТО им. акад. А.Н.Крылова. - Л.: Судостроение, 1978, вып. 276, с. 23-33.

39. Замышляев Б.В., Яковлев Ю.С. Динамические нагрузки при подводном взрыве. Л.: Судостроение, 1967. - 387 с.

40. Иманалиев М.И., Шамгунов Ш.Д. Проникание в сжимаемую жид -кость тела, ограниченного малоискривленной бесконечной цилиндрической поверхностью. Изв. АН Кирг. ССР. 1967, № 5, с. 61-74.

41. Иманалиев М.И. , Шамгунов Ш.Д. Удар тупым телом вращения по поверхности сжимаемой жидкости. В кн.: 1У Всес. симпозиум по распростр. упругих и упруго-пласгич. волн: Тез. докл. -Кишинев, 1969, с. 37-38.

42. Коробейник Ю.Ф. О сходимости метода редукции при решении счетных систем линейных интегральных уравнений. Уч.зап. Рост. - н.-д. госуниверситета, 1959, 43, № 6, с. 21-57.

43. Коробкин А.А. Начальная асимптотика решения задачи о входе эллиптического параболоида в идеальную жидкость. В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980, 47, с. 65-69.

44. Котляревский В.А. Удар по пластинке, находящейся на поверхности жидкости. Изв. АН СССР. МЖГ, 1978, № 3, с. 143- 144.

45. Крылов С.В., Михайлов Г.С. Численное решение двумерных задач удара упругопластических оболочек о свободную поверх -ность жидкости. В кн.: Прикладные проблемы прочности ипластичности. Горький: Изд-во ГГУ, 1979, 13, с. 83-89.

46. Крылов С.В. Осевой удар и погружение тонкостенных конструкций в жидкость с большими скоростями. В кн.: Взаимодействие оболочек с жидкостью. Казань, 1981, 14, с.24-33.

47. Крылов С.В. К вопросу об ударе цилиндрических оболочек о поверхность воды. В кн.: Материалы 6-й Научн.конф.молодых ученых мех.-матемо ф-та и НИИ мех.ГТУ. Горький, 1982, с.45-52. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 14 янв. 1982 г. № 202-82. Деп.

48. Кубенко В.Д. Про удар пружн01 оболонки об поверхню р!днини.-Доп. АН УРСР, 1974, А, № 2, с. 164-167.

49. Кубенко В.Д. Нестационарное деформирование вращающейся упругой цилиндрической оболочки при ударе о поверхность сжимаемой жидкости. В кн.: Колебания упругих конструкций с жидкостью. М.: 1976 г., с. 224-232.

50. Кубенко В.Д. Проникание упругих оболочек в сжимаемую жид -кость. Киев: Наук.думка, 1981. - 160 с.

51. Кубенко В.Д. Проникание цилиндрических гел в сжимаемую жидкость. Прикл. мех.,1981, 17, № I, с. 26-33.

52. Кубенко В.Д. Движение цилиндрического гела сквозь поверх -носгь сжимаемой жидкости. Докл. АН УССР, 1981, №8, с. 41-47.

53. Кубенко В.Д. Удар осесиммегричного гела о поверхность сжимаемой жидкости. Докл. АН УССР, 1981, А., № 9, с. 44-48.

54. Кубенко В.Д. Проникание цилиндрического гела в сжимаемую жидкость. В кн.: Магем.физ. Киев, 1981, № 29, с. 87-91.

55. Кузнецов А.В. Вход гонкого тела в воду. Плоская задача. -В кн.: Тр. Семинара по краев, задачам. Казань, 1977, № 14, с. I4I-I60.

56. Кузнецов А.В., Маневич А.Ш. Вертикальное погружение наклоненного тонкого симметричного профиля в сжимаемую жидкость.

57. Из в. АН СССР. МЖГ, 1979, №5, с. 185-189.

58. Лаврентьев М.А., Келдыш М.Б. Общая задача о жестком ударе о воду. Труды ЦАГИ, 1935, 152, с. 5-12.

59. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физмаггиз, 1961. - 524 с.

60. Логвинович Г.В. Удар твердого тела о сжимаемую жидкость.-Труды ЦАГИ, 1956, 688, с.1-8.

61. Логвинович Г.В., Эпштейн Л.А. Гидродинамика движения тел в воде с большими скоростями. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т.2. М.: Наука, 1970, с. 37-54.

62. Логвинович Г.В., Якимов Ю.Л. Погружение тел в жидкость с большими скоростями. В кн.: Неустановившиеся течения воды с большими скоростями. М.: Наука, 1973, с. 85-92.

63. Маневич А.Ш. Наклонное проникание гонкого клина в сжимае -мую жидкость. В кн.: Гидродинам.бол.скоростей. Чебоксары: Изд-во Чувашского госуниверсигега, 1981, с. 77-87.

64. Моргунов М.Н., Сагомонян А.Я. Осевой удар конической обо -лочки о поверхность сжимаемой жидкости. В кн.: Труды

65. ХП Всес.конф. по геор.оболочек и пластин. Т.З. Ереван: Изд-во Ереван, ин-га, 1980, с. 72-77.

66. Осипов О.А. Погружение жесткого симметричного конуса в сжимаемую жидкость. Тр. Центр.НИИ морского флота, 1974, 186, с. 85-88.

67. Поляков Н.В. Решение начальной задачи погружения гладкого тела. В кн.: Динам, и прочность тяж. машин. Днепропет -ровск, 1980, №5, с. I29-I3I.

68. Поляков Н.В. Решение нелинейной задачи погружения с помощью последовательных конформных отображений. В кн. Динамика и прочность тяж. машин. Днепропетровск, 1980, № 5, с. 126- 128.

69. Поляков Н.Б. Решение начальной задачи погружения в случае, когда начальная скорость тела равна нулю. Б кн.: Дифф. уравнения и их приложения. Днепропетровск, 1982, с.69-71.

70. Попов В.Б. Погружение тела в жидкость. ДАН . УССР, 1979, А, № 12, C.I0II-I0I3.

71. Попов В.В. Погружение тел в жидкость. В кн.: Гидромеханика. Киев, 1981, №■ 43, с.16-20.

72. Попов В.В. К задаче погружения тел в жидкость. В кн.: Прикл.задачи гидромеханики. Киев, 1981, с. 139-145.

73. Поручиков В.Б. Удар диска по поверхности идеальной сжимаемой жидкости. ПММ, 1964, 28, № 4, с. 797-900.

74. Поручиков В.Б. Проникание конуса в сжимаемую жидкость. -ПММ, 1973, 37, № I, с. 84-93.

75. Поручиков В.Б. Проникание клина в сжимаемую жидкость. -Изв. АН СССР. МЖГ, 1974, № 2, с. 155-158.

76. Пухначев В.В. Линейное приближение в задаче о входе за -тупленного тела в воду. В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1979, 38, с.143-150.

77. Расулова Н.Б. Удар клином по мембране, находящейся на поверхности несжимаемой жидкости. Изв. АН АзССР. Серия физ.-техн.и матем.наук, 1977, № 6, с.80-85.

78. Рахматулин Х.А., Расулова Н.Б., Агаларов Д.Г., Панахов Ф.С., Нуриев Б.Р. Экспериментальные исследования поперечного удара по мембране, лежащей на поверхности жидкости. Изв. АН АзССР. Серия физ.-техн. и матем.наук, 1979, №6, с.96- 100.

79. Риццо Ф. Метод граничных интегральных уравнений современный вычислительный метод прикладной механики. - В кн.: Метод граничных интегральных уравнений. - М.: Мир, 1978,с. II—IV•

80. Сагомонян А.Я. Проникание. М.: МГУ, 1974. - 300 с.

81. Сагомонян А.Я., Дворкин Я.П. Удар упругой цилиндрической оболочки о поверхность сжимаемой жидкости. Вест.МГУ. матем., мех., 1979, № I, с. 62-69.

82. Сагомонян А.Я., Дворкин Я.П. Удар упругой сферической оболочки о поверхность сжимаемой жидкости. Вест.МГУ, матем., мех., 1980, № 3, с. 62-66.

83. Сагомонян А.Я., Дворкин Я.П. Удар упругих оболочек о поверхность сжимаемой жидкости. Изв. АН АрмССГ, мех., 1980, 33, № 3, с. 66-75.

84. Сагомонян А.Я., Поручиков В.Б. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. М.: МГУ, 1970. - 120 с.

85. Седов Л.И. Об ударе твердого тела , плавающего на поверхности несжимаемой жидкости. Труды ЦАГИ, 1934, № 187,с. 1-28.

86. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.: Наука, 1966. 448 с.

87. Филиппов И.Г. Применение метода Вольтерра к решению некоторых задач по неустановившемуся движению идеальной сжимаемой жидкости. Инженерный журнал, 1965, Б, № 2,с. 230 235.

88. Чистова З.А. Таблицы функций Бесселя от действительного аргумента и интегралов от них. М.: Изд-во АН СССР. 1958. - 524 с.

89. Шамгунов Ш.Д. Удар произвольным тупым телом вращения по границе полупространства, занятого сжимаемой жидкостью. -В кн.: Материалы Всес. симпозиума по распространению уп -руго-пластических волн в сплошных средах. Баку: Изд-во АН АзССР, 1968, с. 406-423.

90. Шамгунов Ш.Д. Удар твердым затупленным телом вращения по поверхности сжимаемой жидкости. Фрунзе, 1975. - 68 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ II июня 1975 г., № 2089-75 Деп.

91. Шамгунов Ш.Д. Падение горизонтально расположенного бесконечно длинного цилиндра на поверхность жидкости. Фрунзе, 1975. - 31 с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ II июня 1975 г.,2091-75 Деп.

92. Шахверди Г.Г. Алгоритм решения плоской задачи гидроупру -гости с учетом движения свободных границ. В сб.: НТО им. акад. А.Н.Крылова. Л.: 1979, вып. 306, с. 24-28.

93. Шахверди Г.Г. Исследование ударного взаимодействия тел с жидкостью по МКЭ на основе потенциала скоростей. В кн.: Теория и практика ледокольного корабля, 1980, № 2,с.47-53.

94. Шац В.Н. Задача гидроаэроупругости для пластины, падающей на поверхность жидкости. Изв. АН СССР. МТТ, 1982, № 5, с. 130-135.

95. Шорыгин О.П., Шульман Н.А. Вход в воду диска с углом атаки.-Уч.записки ЦАГИ, 1977, 8, № I, с. 12-21.

96. Шорыгин О.П. Исследование начальной стадии входа в воду диска под углом к свободной поверхности. Уч.зап. ЦАГИ, 1979, 10, № I, с. II2-II5.

97. Яковлев Ю.С. Гидродинамика взрыва. Л.: Судпромгиз, 1961.- 313 с.

98. Arlott Т., Brown P.W., Crewe F.R. Seaplane Impact a Review of Theoretical and Experimental Results. - Aeronaut. Res. Council Repts and Mem., No 3285, p. 80.

99. Chu Wen-Hwa, Abramson H.N. Hydrodynamic Theories of Ship Slamming (Re vie v/ and Extention). J. Ship Res., 1961, v.4, No 4, pp. 9-21.

100. Geers T.L. A Boundary-element Method for Slamming Analysis. -J. Ship Res., 1982, 26, No 2, pp. 117-124.99» Hirano J., Miura K, Water Impact Accelerations of Axially Symmetric Bodies. J. Spacecraft and Rockets, 1970, 17., No 6, pp. 762-764.

101. Hitchcock A.J.M. Polynomial Approximations to Bessel Functions of Order Zero and One. Math. Tabl. Aids Сотр., 1957, 11, pp. 86-88.

102. Jones J.G. On the Numerical Solution of Convolution Integral Equations and Systems of such Equations. Math, of Сотр., 1961, v. 15, Nos 75-76, pp. 151-142.

103. Karman Т., Wattendorf F.L. The Impact of Seaplane Floats During Landing. NACA, Techn. Notes, 1929, No 321.

104. Medic M.A. Initial Response of an Elastic Spherical Shell upon Impact with a Compressible Fluid. Proc. 4th U.S. Nation. Congr. Appl. Mech., v. 1. - Pergamon Press, 1962, pp. 285-291.

105. Pabst W. Theorie des Landestosses von Seeflugzeugen. Z. fur Flugtechn. und Motorluftschiffahrt, 1930, 21., N. 9, S. 217-226.

106. Payton R.G. Initial Bending Stresses in Elastic Shells Impacting into Compressible Fluids. Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1962, 15, No 1, pp. 77-90.

107. Sellars F.H. Water Impact Loads. Mar. Technol., 1976, No 1 , pp. 46-58. ■

108. Skalak R., Feit D. Impact on the Surface of a Compressible Fluid. Trans. ASME, 1966, v. B88, No 3, pp. 525-551.

109. Shebehely V.G. , Ochi M.K. Hydrodynamic Impact and Water Entry. Appl. Mech. Surveys, 1966, pp. 951-957.

110. Vander Y.M.J., Rogers J.C.W. Calculation of Vertical Water Entry of a Cone by Partial Cell and Cell Method. Proc. 1976 Heat Transfer and Fluid Mech. Inst., Stanford, Calif., 1976, pp. 405-^19.

111. Wagner H. Uber die Landung von Seeflugzeugen. Z. fur Flug-technik und Motorluftschiffahrt, 1931, 22, N. 1, S. 1-8.

112. Wagner H. Uber Stoss- und Gleitvorgange und der Oberflache von Fliissigkeiten. Z. Angew. Math, und Meek. , 1932, 12, N. 4, S. 193-215.

113. Zienkiewich O.C., Newton R.E. Coupled Vibrations of a Structure Submerged in a Compressible Fluid. Proc. ISD/ISSC Symp. on Finite Element Techniques, Univ. of Stuttgart, 1969, PP. 339-379.