Начальная асимптотика в задаче проникания затупленного тела в жидкость тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Проникание затупленного тела в идеальную несжимаемую жидкость.

§ I. Постановка задачи

§ 2. Плоская задача.

§ 3. Нулевое приближение.

§ 4. Внутреннее разложение

§ 5. Первое приближение

§ 6. Проникание затупленного контура под углом атаки

§ 7. Некоторые замечания.

§ 8. Осесимметричная задача :.

§ 9. Начальная асимптотика решения трехмерной задачи о входе затупленного тела в идеальную жидкость

ГЛАВА П. Проникание затупленного тела в слабо сжимаемую жидкость.

§ 10. Постановка задачи.

§ II. Асимптотическое решение.

§ 12. Внутреннее разложение.

§ 13. Внутреннее разложение после выхода ударной волны на свободную поверхность

ГЛАВА Ш. Погружение упругих оболочек в идеальную жидкость

§ 14. Плоская задача

§ 15. Влияние упругих свойств оболочки на распределение давления в области контакта.;

§ 16. Погружение сферической оболочки

§ 17. Замечания.

ГЛАВА 1У. Линейное приближение в задаче о контактном взаимодействии твердого тела с идеальной жидкостью

§ 18. Постановка задачи

§ 19. Постановка линеаризованной задачи проникания в виде вариационного неравенства

§ 20. Удар капли о плоскость.

В задачах гидроупругости большое значение имеет исследование распределения давления на смоченной части тела, входящего в жидкость. Процесс проникания произвольного тела в жидкость через ее свободную поверхность условно можно разбить на три периода:

1) от момента касания телом поверхности жидкости до момента отрыва области поворота свободной поверхности жидкости от поверхности тела [24] ;

2) формирование каверны;

3) движение с развитой кавитацией.

Под областью поворота здесь понимается примыкающая непосредственно к поверхности твердого тела часть свободной границы, кривизна которой относительно велика (свободная поверхность вдалеке от тела обычно искривляется незначительно).

Особый интерес вызывает начальная стадия проникания, так как именно в течение этого периода времени давления, действующие на проникающее тело, достигают максимальных значений, по которым и производится динамический расчет на прочность.

Процесс проникания сопровождается такими явлениями как брызго- и струеобразование, приводящие к появлению разрывных течений, деформация погружающегося тела, наличие воздушной прослойки мевду телом и поверхностью жидкости, образование каверны при движении тела, кавитационные процессы и т.д. В связи с этим исчерпывающий анализ процесса в настоящее время недостижим.

Задача проникания рассматривалась многими авторами, которых интересовали в основном динамические характеристики корпуса гидросамолета и подводные траектории снарядов. Вследствие трудности этой задачи применялись различные упрощающие предположения, В значительном числе случаев изучаются течения несжимаемой жидкости.

Впервые задача о входе твердого тела в идеальную несжимаемую жидкость (плоский случай) была рассмотрена Г.Вагнером в 1932 г. [42] . Метод вычисления силы сопротивления, развитый Вагнером, основан на допущении, что распределение скоростей на свободной поверхности в каждый момент получается таким же, как и распределение скоростей непосредственно после удара плавающей пластины, ширина которой подлежит определению. Используя это допущение, можно определить форму свободной поверхности в любой момент времени. К.Шмиден в 1953 г. применил метод Вагнера для расчета осесимметричной задачи о входе в идеальную жидкость тела вращения [40] .

Количественная информация о процессе проникания может быть получена лишь на основе численных расчетов. Однако для хорошего понимания динамики рассматриваемого процесса и разработки адекватного и экономного расчетного алгоритма необходимо аналитическое исследование качественной картины явления с получением асимптотик решения задачи для характерных стадий процесса, описание которых чисто численными методами затруднительно и, вообще говоря, нецелесообразно.

Численное решение задачи о входе заостренных тел (клин, конус) в несжимаемую жидкость было построено в [4l] , при этом полученное распределение давления на пятне контакта хорошо согласуется с экспериментальными данными. Для затупленных же тел (сфера, эллиптический параболоид и т.п.) использование модели несжимаемой жидкости приводит к бесконечному значению давления в начальный момент ~t = 0, какой бы малой ни была скорость проникания V . Это связано с тем, что модель несжимаемой жидкости, в которой скорость распространения возмущений считается бесконечной, не в состоянии описать важный этап истории процесса проникания затупленного тела. А именно, для затупленного тела существует момент "t > 0 такой, что при 0 линия контакта свободной границы жидкости и поверхности твердого тела движется со скоростью, превышающей скорость звука в жидкости. При этом фронт возмущений косо присоединен к линии контакта, а возмущенная часть жидкости ограничена поверхностью погружающегося тела с одной стороны и фронтом ударной волны с другой. До момента отрыва ударной волны от линии контакта свободная граница жидкости остается невозмущенной. Поэтому для получения реальных результатов на этой стадии расчетов, независимо от величины числа Маха где С0 - скорость звука в покоящейся жидкости, необходимо использовать модель сжимаемой жидкости. Отметим, что npn"t » т.е. когда ударная волна достаточно далеко отошла от линии контакта, решение задачи о входе затупленного тела в несжимаемую жидкость хорошо описывает движение среды и дает возможность начать численный счет.

В настоящей работе исследуется начальный этап неустановившегося движения жидкости, вызванного прониканием в нее твердого затупленного тела. Первоначально ( = 0) жидкость покоится, а тело касается ее свободной границы в единственной точке. Область занятая жидкостью, изменяется со временем, причем ее граница состоит из свободной поверхности 21л » твердой поверхности проникающего тела линии контакта между ними V и, возможно, неподвижных твердых стенок Диапазон скоростей предполагается таким, что число Рейнольдса Re 1 , что позволяет считать жидкость идеальной, а число МахаМ^-1 .

Задачи взаимодействия твердого тела со свободной поверхностью жидкости (проникание твердого тела, удар капли о плоскость и т.д.) имеют следующую специфику:

1) область теченияй(^ заранее не фиксирована;

2) определить требуется не только^С^ , но и линию контакта Г ;

3) возможно появление особенностей решения на линии Г • Новый подход к решению подобного сорта задач дает введение ла-гранжевых координат [27, 3<5J , в которых область^С^уже фиксирована (обозначим ее через Начальная асимптотика движения вычисляется с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений (МСАР) [17, 25] . В этом методе прямая схема метода малых возмущений используется раздельно в основной ("внешней") области течения и в области неоднородности ("внутренней"). В последней асимптотическое разложение решения, по малому параметру строится в переменных "растянутых" таким образом, что исследуемая область расширяется. Причем растяжение переменных выбирается из условия наименьшего вырождения уравнения и граничных условий во "внутренней" области.

Основной чертой метода является сращивание решений, полученных во внешней и внутренней областях, после чего удается построить приближенное решение, равномерно пригодное во всей области течения. Этот метод позволяет свести решение сложной задачи к рассмотрению ее простейших элементов, причем те или иные эффекты (нелинейность, сжимаемость и т.д.) учитываются лишь в тех областях, в которых они наиболее существенны.

Несмотря на недостаточно строгое математическое обоснование, МСАР обладает рядом достоинств, которые обусловили его многочисленные приложения в гидродинамике [l7, 25, 3l) :

1) MCAP нередко приносит успех тем, где сходимость численных методов существенно ухудшается;

2) погрешность асимптотического решения оценивается сравнением порядка величины отдельных членов разложения, в то время как определение погрешностей приближенных численных методов -самостоятельная, весьма сложная задача;

3) МСАР часто приводит к аналитическим выражениям, что важно для практики проектирования.

Настоящая работа состоит из введения, четырех глав, содержащих 20 параграфов, и заключения. В конце приводится список литературы. Нумерация параграфов сквозная.

В первой главе исследуется начальный этап проникания твердого затупленного тела в идеальную несжимаемую жидкость. Силами тяжести и поверхностного натяжения в большинстве случаев пренебрегаем. Влияние этих факторов на картину течения оценивается в § 7.

Общая постановка задачи дана в § I. Второй параграф посвящен плоской задаче (проникание параболического контура), решение которой при "t строится с помощью МСАР. Главный член начальной асимптотики решения построен в § 3. Положение линии контакта определяется из условия конечности кинетической энергии жидкости. В § 4 уточняется течение в окрестности точек контакта (влиянием сил вязкости и поверхностного натяжения пренебрегаем), В § 5 выписывается и обсуждается краевая задача для следующего, первого, приближения, с помощью которого в § б строится решение плоской задачи о наклонном входе затупленного контура в жидкость. В § 7 приведены некоторые результаты для произвольного гладкого симметричного контура, погружающегося в жидкость с переменной скоростью. Решение осесимметричной задачи проникания приведено в § 8. Начальная асимптотика решения задачи о погружении произвольного затупленного тела (этот случай сводится к задаче о входе эллиптического параболоида) рассматривается в § 9.

Во второй главе изучается решение плоской задачи о проникании параболического контура в слабо сжимаемую жидкость В § 10 дается общая постановка задачи, асимптотическое решение которой при малых числах Маха строится в 5 II. Вплоть до момента "t^. * где - момент выхода ударной волны на свободную границу жидкости, определяется главный член асимптотики давления в области контакта. С ростом ~t асимптотика распределения давления становится все более неравномерной и при \ 0 давление в точках контакта стремится к бесконечности. Для уточнения картины течения в окрестности точек контакта при и определения максимальной величины нагрузок, действующих на проникающее тело, в § 12 строится внутреннее разложение. Картина течения непосредственно после отрыва ударной волны от поверхности твердого тела исследуется в § 13.

Глава Ш посвящена определению влияния упругих свойств проникающего тела на распределение нагрузок в области контакта при *t . Плоская задача о погружении цилиндрической оболочки изучается в § 14. В § 15 исследуется влияние упругих свойств тела на характер распределения давления по пятну контакта. В § 16 рассматривается осесимметричный случай. Характер деформации оболочки определяется единственным параметром, который зависит не только от материала конструкции, но и от ее формы, а также от величины скорости погружения. В § -17 приводятся некоторые дополнительные замечания. В частности, по плану § II рассматривается проникание цилиндрической оболочки в слабо сжимаемую жидкость. Основной вывод этой главы состоит в следующем: главный член асимптотики давления при -t 0 не зависит от упругих свойств погружающейся конструкции.

В четвертой главе предлагается еще один подход к исследованию начального этапа проникания, который основан на линеаризации исходной задачи вблизи начального состояния покоя. Общая постановка линеаризованной задачи дается в § 18. Указывается на важность линейной постановки для исследования корректности исходной задачи, а также на связь предлагаемого подхода с асимптотическими методами. Следует отметить, что,хотя уравнения движения и краевые условия линеаризованы, задача остается нелинейной, так как определить требуется не только течение жидкости, но и положение линии контакта V . В § 19 линеаризованная задача переформулируется в виде некоторого вариационного неравенства. В случае ограниченной области течения решение этого неравенства существует и единственно. В качестве примера, демонстрирующего особенности МСАР и метода линеаризации, в § 20 исследуется задача об ударе сферической капли по твердой плоскости. Отмечается связь этой задачи с задачей о проникании в жидкость параболоида вращения.

Фиксируем следующие обозначения: С - скорость звука, R. - характерный линейный размер, V - скорость проникания, й - область, занятая жидкостью, - свободная поверхность, пятно контакта, Г - линия контакта

X - эйлеровы декартовы координаты, f - С ! ^ - лагранжевы декартовы координаты, 3 = ) - матрица Якоби, р - давление, M=W Со - число Маха, Re. - число Рейнольдса, Е - модуль упругости,

- коэффициент Пуассона,

- пространство Соболева; индексы:

- значение в момент выхода ударной волны на свободную поверхность жидкости, о - значение в покоящейся жидкости, / - размерные величины.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В.В.Пухначеву за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как и во всех задачах со свободной границей теоретическое определение гидродинамических нагрузок на тело, пересекающее поверхность жидкости, затруднено, так как требуется удовлетворить нелинейным граничным условиям на поверхности, вид которой должен быть определен в ходе решения задачи, В связи с этим обычно предполагают, что возмущения свободной поверхности малы, после чего линеаризуют граничные условия и сносят их на известную поверхность. Эта процедура справедлива, если тело находится не очень близко от свободной границы жидкости. Однако, в большинстве интересных случаев, когда тело движется около поверхности жидкости, линейная модель приводит к серьезным ошибкам, по крайней мере, в окрестности линий пересечения поверхности тела и свободной границы.

Заметим, что,если при исследовании процесса проникания затупленного тела в идеальную жидкость пренебречь плотностью воздуха, то в момент касания поверхность жидкости будет плоской. При этом модель несжимаемой жидкости приведет к бесконечному давлению, а модель сжимаемой жидкости - к скачку давления в момент касания (см. гл.1, П). С другой стороны, если жидкость считать несжимаемой, но учитывать плотность воздуха, то свободная граница будет возмущена прежде чем тело коснется ее. В зависимости от формы тела и параметров процесса возможны два случая.

В первом процесс проникания можно разбить на три этапа:

I) при приближении тела к свободной поверхности образуется воздушный поток, который деформирует ее;

2) давление в воздушном слое повышается, вследствие деформации свободной поверхности в жидкости образуется каверна, которая замыкается в момент контакта тела со свободной границей жидкости;

3) каверна погружается вместе с телом в жидкость, в дальнейшем она размывается и сносится потоком;

Во втором случае, в отличие от первого, каверна не образуется (кривизна деформированной поверхности жидкости мала), а свободная граница в момент касания уже имеет скорость, равную скорости движения тела. Давление, действующее со стороны воздуха (а затем и жидкости) на тело, не имеет особенности в момент касания.

При построении более точной математической модели процесса проникания необходимо учитывать также и вязкость жидкости. Оценки влияния величины числа Рейнольдса Re на силу сопротивления, действующую на проникающее тело со стороны жидкости, приведены в [32]. Показано (и это подтверждается экспериментальными данными [38]), что интегральные характеристики процесса слабо зависят от числа Рейнольдса при ^ 1.

О)

7С Соi.Cb

0, 5

V -о •0 *

0,25 ycoiC*, О) О oL

Рис. {

0 1 2 з ц

Рас. 2

-9У

ПСЫ.)

I I \ ал •

3 \ - / ^ ч. / 2 / { О

10

Z0

30

АО

Рис.3 2

9 СО)^ -

3 -2-10 12 3

Рис. 4

- 1CI

4c tgUfbClo)

5

-0, 5 0 5 Л i -5

Рис. 5

Рис. 6

Рис.8

Рис. 9 X

Рас. /О

Рис.

1. Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. - Л.-М.: ОНТИ, 1936.-367 с.

2. Березин О.А., Гриб А.А. Нерегулярное отражение плоской ударной волны от свободной поверхности.-ЖПМТФ, I960, № 2, с,34-39.

3. Власов В.В. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. -М.: Гостехиздат, 1956.-416 с.

4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.-М.: Наука, 1977.-640 с.

5. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств,- М.: Мир, 1979.-576 с.

6. Горшков А.Г., ^Григолюк Э.И. Удар сферической оболочки о поверхность жидкости.-Изв.АН СССР, МЖГ, 1970, № 6, с.90-93.

7. Григолюк Э.И., Горшков А,Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью.-Л.: Судостроение, 1976.-200с.

8. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа.-М,: Наука, 1965.-288 с.

9. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.-М,: Физматгиз, I96I.-524 с.

10. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике.-М.: Наука, 1980.-384 с.

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М,: Наука, 1977.-832 с.

12. Коробкин А,А. Начальная асимптотика решения трехмерной задачи о входе затупленного тела в идеальную жидкость,-Новосибирск,, 1984.-10 с. Рукопись предст. Институтом гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО АН СССР. Деп, в ВИНИТИ 12 окт. 1984 г., № 6672-64.13