Соударение жидких и твердых масс тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

С 6 О А СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ I 2 1Ш ^ ,Г1 им. М.А. ЛАВРЕНТЬЕВА

На правах рукописи

Коробкип Александр Алексеевич

УДК 532.581

СОУДАРЕНИЕ ЖИДКИХ И ТВЕРДЫХ МАСС

01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фпзико - математических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Официальные оппоненты: академик РАН,

профессор Сидоров А.Ф.

доктор физико - математических наук, профессор Блохин A.M.

доктор физико - математических наук, профессор Луговцов Б.А.

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики СО РАН (г. Новосибирск).

Защита состоится ".$/.0." ..ШгФ.'Г^С^'....... 1995г. в ^.Р.. час. на

заседании Специализированного совета Д002.55.01 в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск 90, пр-т Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан ".19.." 1995года.

Ученый секретарь |

Специализированного совета, \

д.т.н. ^

И.В. Яковлев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Проблема соударения жидких и твердых масс принадлежит широкому классу задач о неустановившемся движении жидкости, занимающей изменяющуюся со временем область, граница которой состоит из свободной поверхности, движущейся твердой поверхности и линии контакта между ними. Необходимость детального изучения этого явления возникает в корабельной гидродинамике (резкие вертикальные движения корабля, удар волны о корпус судна), авиации (посадка гидросамолета на воду, полеты в дождь), энергетике (соударение жидких капель с лопатками паровых турбин, капельное охлаждение реакторов АЭС). При этом характер распределения гидродинамического давления по смоченной части тела, а также его величина определяются начальной скоростью удара, сжимаемостью жидкости, упругими свойствами тела и другими факторами. Исследование процессов соударения представляет значительные математические трудности, которые обусловлены неустановившемся характером течения жидкости, нелинейностью условий на ее свободной границе, а также струйными и кавитационными явлениями.

Важно заметить, что в каждый момент времени требуется определить не только поле скоростей жидких частиц, но и саму область течения, а также разбиение ее границы на компоненты "смоченная часть поверхности тела", "свободная граница" и "линия контакта". Какие-либо строгие результаты, относящиеся к этой проблеме, практически отсутствуют, а количественная информация может быть получена только с помощью численных методов. Однако для понимания динамики процесса и разработки адекватного вычислительного алгоритма необходимо аналитическое исследование качественной картины явления с получением асимптотик решения для характерных стадий процесса, описание которых численными методами затруднительно.

В этом смысле особый интерес вызывает начальная стадия соударения, когда основные величины претерпевают значительные изменения. Иногда эти изменения носят ударный характер и тогда сжимаемость жидкости становится определяющим фактором. Анализ начального

этапа даст необходимые оценки для расчета конструкции на прочность, а также начальные данные для дальнейшего численного счета. Исследование этой стадии интересно еще и потому, что в начальный момент меняется топология области течения: появляется отсутствовавшая ранее компонента границы жидкости, примыкающая к твердой поверхности. Скорость расширения смоченной части тела на начальном этапе может превышать местную скорость звука в жидкости даже тогда, когда скорости соударения не очень велики. Поэтому пренебрежение сжимаемостью жидкости может вести в некоторых случаях к физически нереальным результатам.

В связи с этим актуальным является исследование роли сжимаемости жидкости при ее соударении с твердыми поверхностями.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Построение теории соударения затупленного тела со слабо сжимаемой жидкостью и исследование на ее основе особенностей течения и распределения давления.

2. Выявление роли сжимаемости жидкости при низкоскоростном ее соударении с твердым телом.

3. Анализ динамики волновых процессов в жидкости при ударе по ее границе.

4. Выявление роли упругости тела на начальном этапе его взаимодействия с жидкостью.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ связана с использованием методов асимптотического анализа, математического аппарата теоретической акустики, методов математической физики.

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных в работе теоретических результатов об особенностях течения жидкости при ее соударении с твердым затупленным телом подтверждается использованием строгих в рамках асимптотического анализа методов исследования. Эти результаты не противоречат выводам выполненных ранее работ других авторов, являясь их продолжением и развитием. Полученные закономерности полей скорости и давления согласуются с результатами вычислительного и лабораторного экспериментов.

АВТОРОМ ДИССЕРТАЦИИ ПОЛУЧЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, КОТОРЫЕ ВЫНОСЯТСЯ НА ЗАЩИТУ:

1. Предложен метод аналитического решения плоских задач соударения в рамках акустического приближения. Ранее такие задачи исследовались только численно. Основная идея метода заключается в регуляризации начально - краевой задачи относительно потенциала скоростей. После регуляризации задачи условие непроникания жидких частиц за поверхность проникающего тела приводит к простому ограничению на класс искомых функций.

2. Изучены особенности течения жидкости и распределения давления при погружении затупленного контура в слабо сжимаемую жидкость. Волновая картина течения достаточно сложная, однако она верно описывается акустическим приближением. Показано, что акустическое приближение теряет силу вблизи точек контакта свободной границы жидкости с поверхностью твердого тела и вблизи точек присоединения фронта возмущений к свободной границе.

3. Предложен метод описания навигационных явлений при соударении твердого тела со сжимаемой жидкостью. Задачи соударения - это задачи с односторонними ограничениями на перемещения жидких частиц и величину растягивающих напряжений как внутри жидкости, так и на ее границе. Показано как такие ограничения можно включить в схему расчета без существенного усложнения последней. Проведены расчеты для удара по плавающей пластине.

4. Даны оценки длительности начального Этапа соударения, на котором свойство сжимаемости жидкости играет основную роль. Утверждается, что проявления акустических эффектов, которые связаны с конечностью скорости распространения сигнала, могут быть обнаружены при достаточно больших временах.

5. Определены параметры брызговых струй, образующихся при погружении в слабо сжимаемую жидкость затупленного контура. Показано,, что половина энергии, расходуемой телом на погружение с постоянной скоростью, переходит в кинетическую энергию брызговых струй.

6. На примере задачи об ударе по торцу жидкого цилиндра произвольного поперечного сечения исследованы пропорции распределения энергии в области возмущенного движения. Показано, что четвертая часть энергии ударника преобразуется во внутреннюю энергию сжатой жидкости, три четверти энергии ударника преобразуется в кинетическую энергию возмущенного течения жидкости, одна треть которой локализована в окрестности фронта акустической волны.

7. Исследована роль нелинейных эффектов в процессах распространения почти плоской и почти цилиндрической слабых ударных волн, генерируемых при ударе по границе сжимаемой жидкости с неравномерной скоростью. Даны оценки коэффициентов усиления таких ударных волн.

8. Показано, что упругость твердой поверхности оказывает существенное влияние на процесс ее соударения со сжимаемой жидкостью. При этом гидродинамическое давление в области контакта может уменьшиться ниже своего начального значения только за счет деформации тела. На примере задачи об ударе волной по балке Эйлера продемонстрировано, что основное влияние на амплитуду напряжений в балке оказывает период волны, а не ее высота. Последняя определяет в основном вероятность ударных явлений.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ

Результаты, полученные в диссертации, а также развитые в ней методы и подходы к решению задач, способствуют формированию представлений о характере протекания процесса соударения жидкости с твердыми поверхностями и являются основой для проведения дальнейших теоретических разработок й построения адекватных и экономичных численных схем.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах академика С.К. Годунова (Институт математики СО РАН), академика Л.В. Овсянникова (Институт гидродинамики СО РАН), академика А.Ф. Сидорова (Институт математики и механики УрО РАН), член-корреспондента В.М. Фомина (Институт теоретической и прикладной

механики СО РАН), д.ф.-м.н. A.M. Блохина (Институт математики СО РАН), д.ф.-м.н. Б.А. Луговцова и д.ф.-м.н. P.M. Гарипова (Институт гидродинамики СО РАН), д.ф.-м.н. В.В. Пухначева (Институт гидродинамики СО РАН), а также на международных и всесоюзных конференциях.

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ.

ОБЪЕМ РАБОТЫ: Работа состоит из предисловия, семи глав (разбитых на пункты), заключения, списка литературы из 95 наименований и 58 рисунков. Работа изложена на 235 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении (Глава I) дано обоснование актуальности представленных в диссертации исследований, сформулированы цели и задачи диссертации, дан краткий обзор результатов, полученных к настоящему времени по проблеме соударения жидких и твердых масс, а также приведены постановки задач, рассматриваемых в диссертации.

В диссертации построена асимптотическая теория соударения твердого тела со слабо сжимаемой жидкостью. Причем роль малого параметра играет малое число Маха М, равное отношению скорости удара V к скорости звука в покоящейся жидкости cq. Основные результаты получены для плоской задачи, однако там, где это возможно, даны обобщения на пространственный случай. Наличие неизвестной заранее линии контакта приводит к тому, что задача остается существенно нелинейной даже после линеаризации граничных условий и уравнений движения. Но и такая "частичная" линеаризация возможна не всегда. Предлагаемая теория позволяет описать распределение давления по смоченной части тела, динамику ударных волн, генерируемых при ударе, формирование брызговых струй, кавитационные явления, наблюдаемые в области контакта, а также допускает обобщение на случай деформируемого тела.

Основной математической моделью, используемой в работе, является модель идеальной, сжимаемой сплошной среды. Рассматривается диапазон скоростей соударения, когда с одной стороны вязкостью жидкости можно пренебречь, а с другой стороны, интенсивность возникающих ударных волн мала. Принимается, что параметры состояния жидкой среды удовлетворяют уравнению Клапейрона, а удель-

ная внутренняя энергия линейно зависит от абсолютной температуры. Непосредственно перед моментом соударения жидкость и твердое тело находятся в состоянии покоя. Затем тело мгновенно приобретает скорость, направленную внутрь жидкого обьема. Образуется слабая ударная волна, которая распространяется внутрь жидкости, вовлекая жидкие частицы в. движение. После прохождения ударной волны энтропия меняется и будет, вообще говоря, непостоянной в области возмущенного течения. Однако скачок энтропии есть величина третьего порядка малости по сравнению с силой разрыва. Поэтому движение жидкости при соударении приближенно принимается изэнтропиче-ским. Уравнение состояния для изэнтролических процессов связывает приращение давления с относительным изменением плотности после прохождения ударной волны и, в таком виде, носит название уравнения состояния в форме Тейта. В большинстве задач твердая поверхность, соударяющаяся с жидкостью, считается недеформируемой, а закон ее движения заданным. В Главе VII исследуется удар волны по упругой пластине, которая моделируется балкой Эйлера. Удар и погружение заостренных тел не рассматривается. Эта тема достаточно подробно исследована ранее в работах других авторов.

В кругё задач о соударении жидкости с затупленными телами выделяют два класса задач по следующему признаку: в начальный момент контакт жидкости с твердой поверхностью происходит по пятну ненулевой или нулевой площади. К первому классу относятся задачи об ударе тел, плавающих на поверхности сжимаемой жидкости. Модельной в этом классе является задача об ударе по плавающей пластине. К этому же классу принадлежит задача об ударе по торцу жидкого цилиндра произвольного поперечного сечения. Второй класс составляют задачи о соударении жидких и твердых масс, ограниченных гладкими, выпуклыми поверхностями, причем область их начального контакта имеет нулевую меру. К этому классу принадлежат задачи о падении капли на твердую плоскость, падении выпуклого тела на поверхность жидкости. Модельной здесь является задача о, проникании гладкого выпуклого контура в слабо сжимаемую жидкость.

Пусть до некоторого момента времени жидкость покоится и занимает нижнюю полуплоскость у' < 0. Граница жидкости (г/ = 0) является свободной. Твердое тело касается своей вершиной линии у' = 0 в единственной точке, которая выбирается за начало декартовой системы координат х'Оу'. В начальный момент, 1.' — 0, твердый контур мгно-

венно приобретает скорость V и начинает вертикально погружаться в жидкость. Предполагается, что скорость проникания постоянна и намного меньше скорости звука в покоящейся жидкости со- Штрихом помечаются размерные переменные. Внешние массовые силы и силы поверхностного натяжения отсутствуют. Влиянием наличия атмосферы пренебрегаем. Предполагается, что контур - твердый, не-деформнруемый, симметричный относительно вертикальной оси Оу1, радиус кривизны в его вершине отличен от нуля. Движение жидкости - плоское, изэнтропическое, симметричное относительно оси Оу', ее уравнение состояния имеет форму Тейта. Требуется определить течение жидкости, положение ее свободной границы, размер смоченной части тела, а также распределение давления при малых числах Маха М, М = У/со.

Известно, что в рамках сделанных предположений существует момент Т' такой, что при 0 < I' < Т' свободная граница жидкости остается невозмущенной. Этот этап процесса соударения называется сверхзвуковым и его наличие связано с тем обстоятельством, что при малых временах область контакта жидкости и твердого затупленного тела расширяется со скоростью, заведомо превышающей местную скорость звука. Фронт возмущений при этом косо присоединен к линии контакта, возмущенная часть жидкости ограничена поверхностью твердого тела с одной стороны, и фронтом ударной волны с другой. Этот вывод следует из чисто геометрических соображений, и в более полной модели, учитывающей реальные свойства жидкости, теряет силу. Тем не менее, и в рамках модели вязкой сжимаемой жидкости можно выделить такой начальный этап соударения, когда возмущения свободной границы будут локализованы в окрестности контура. Причем размер этой окрестности при большом числе Рейнольдса будет обратно пропорционален ему. В дальнейшем скорость расширения пятна контакта уменьшается и ударная волна выходит на свободную границу, резко деформируя ее вблизи линии контакта. Сверхзвуковой этап процесса сменяется трансзвуковым этапом, длительность которого намного меньше Т' при малых числах Маха М. На трансзвуковом этапе скорость расширения смоченной части тела близка к скорости звука, а течение жидкости является существенно нелинейным независимо от величины числа Маха М. На этом этапе происходит отрыв ударной волны от линии контакта и ее выход на свободную границу. Следующий этап соударения носит название дозвукового. На этом этапе толь-

ко часть свободной границы вступает в движение. Причем наибольшие деформации имеют место вблизи линии контакта, что приводит к образованию брызговых струй. В отличии от сверхзвукового этапа размер пятна контакта на дозвуковом этапе заранее не задан и должен быть определен в ходе решения задачи вместе с полями скорости и давления. При 1 ;§> X', когда ударная волна достаточно далеко отошла от линии контакта, можно ожидать, что решение задачи соударения без учета сжимаемости жидкости хорошо описывает процесс.

Чтобы зафиксировать тот факт, что рассматривается начальный этап соударения, на котором свойство сжимаемости жидкости является определяющим, необходимо правильно выбрать характерные масштабы изменения независимых переменных и искомых функций. Заметим, что наличие сверхзвукового этапа характерно для процесса соударения затупленного тела с жидкостью. Поэтом}- в качестве масштаба длины выберем половину ширины смоченной части контура / в тот момент, когда скорость расширения пятна контакта уменьшится до скорости звука в покоящейся жидкости со- Такой выбор масштаба длины имеет смысл только при малых числах Маха. В качестве масштаба времени принимается отношение //сц, масштаба скорости - V, масштаба плотности - плотность покоящейся жидкости р0, масштаба давления - давление гидравлического удара Д)С(Д '.

Продемонстрируем способ определения / на примере задачи о погружении параболического контура. В этой задаче положение контура в каждый момент времени задается уравнением

где И - радиус кривизны в вершине контура. При ()<£'< Т' свободная граница жидкости остается невозмущенной, а точки контакта, у' = О, х' = ±я'(/,'), совпадают с точками пересечения движущегося контура и линии у' — 0. Отсюда следует

«'(*') = \Z2RVt', а скорость вовлечения жидких частиц в движение равна

~ \

НУ 2?

Видно, что (1а'/(И' > с0 при 0 <?<?„, = ЯМ2/(2V). Следовательно, / = а'(Ю = ЙЛ/, а масштаб времени 1/со равен (В.]У)М1. На

рассматриваемых временах отношение глубины проникания к размеру пятна контакта имеет порядок О(М) при М —► 0.

Уравнение состояния жидкости при относительно небольших отклонениях давления р' от начального принимается в форме Тейта

р' — В

.\Р0)

где В = роСд/тг, для воды /э0 = 1000кг/м3, сд = 1500«/с, п — 7.15. В безразмерных переменных, обозначения которых отличаются отсутствием штриха, это уравнение перепишется так

р = (1 + Мпр)». (1)

Область возмущенного течения жидкости ограничена снизу фронтом ударной волны, у = —F{x,t), а сверху - движущимся контуром и деформированной свободной границей. Неустановившееся изэнтропи-ческое течение жидкости описывается уравнениями Эйлера, которые в безразмерных переменных имеют вид

ди „ г, ди ди. 1 др ,п.

dv dv ди1 dp ,„.

др ,,/ др др. .„ „, .,ди dv. „ ,

Здесь u(x,y,t), v{x,y,t) - горизонтальная и вертикальная компоненты вектора скорости жидких частиц соответственно, р(х, у, t) - давление в жидкости, плотность жидкости p(x,y,t) связана с давлением соотношением (1).

Положение контура задается равенством у = M(f(x,M) — t), где /(0,М) = 0, (df/dx)(0,M) = 0, f(-x,M) = f(x,M), функция }{х,М) - гладкая и имеет конечный предел f(x) при М —* 0 и конечных значениях х. На смоченной части контура, | х |< a(t) , где a(t) описывает размер области контакта, выполняется условие непротекания

v = m£u-1 (y=M(f(x,M)-t),\x\<a(t)), (5)

а на свободной границе, положение которой в момент t задается уравнением у + МН(х, у, t)0, - динамическое и кинематическое условия

Р = 0, Ht + v + M(uHx + vHy)=0. (6)

К соотношениям (1) - (6) следует - присоединить начальные условия, которые отражают тот факт, что в начальный момент жидкость находится в состоянии покоя, и условия на фронте ударной волны, кото: рые являются следствием уравнений (2) - (4). Кроме того естественно потребовать, чтобы жидкие частицы не проникали в область, ограниченную движущимся контуром. Это есть ограничение на перемещения жидких частиц. Указанная постановка задачи справедлива до тех пор, пока жидкость остается сплошной средой и не отслаивается от погружающейся поверхности в области контакта, то есть когда кавитационные эффекты отсутствуют. Для каждой реальной жидкости можно указать такое предельное значение рса, , что сплошность жидкости нарушается, то есть образуются внутренние свободные границы. там, где р < pcav. Соответственно, для системы жидкость-тело можно указать такое значение давления что прилегающая вначале к твердой поверхности жидкость начинает отслаиваться от нее на участках, на которых давление в жидкости становится меньше такого предельного значения. С математической точки зрения сформулированная задача является задачей с односторонними ограничениями на искомые функции, что и обуславливает сложность ее анализа.

Основным методом исследования в настоящей работе является метод сращиваемых асимптотических разложений. Причем роль малого параметра играет малое число Маха задачи. В этом-методе прямая схема метода возмущений используется раздельно в основной ("внешней") области течения и в областях непригодности внешнего решения ("внутренних"). В последних асимптотические разложения решения по малому параметру строятся в переменных, "растянутых" таким образом, что исследуемая область расширяется. При этом растяжения подбираются из условия наименьшего вырождения уравнений движения и граничных условий во "внутренней" области. Основной чертой метода является согласование решений, полученных во внешней области и в каждой из внутренних областей, после чего удается построить приближенное решение, равномерно пригодное во всей области течения, и поставить задачу о нахождении высших приближений. Этот метод позволяет свести решение сложной задачи к рассмотрению ее простейших элементов, причем те или иные эффекты учитываются лишь в тех областях, где они наиболее существенны.

Все асимптотические разложения, которые построены в диссертации, носят формальный характер. Однако можно надеяться, что такие

асимптотические решения верно описывают развитие процесса при малых числах Маха. Основанием является то, что все члены составного асимптотического разложения согласованы между собой и указывается способ построения сколь угодно высоких приближений. Кроме того, такой подход позволяет верно описать (по крайней мере, качественно) многие экспериментально наблюдаемые явления и прояснить их механизм.

Применение метода сращиваемых асимптотических разложений к конкретной задаче соударения может иметь свои специфические особенности, однако алгоритм построения равномерно пригодного решения и приближений высшего порядка един. Именно, предполагается, что все искомые функции и, v, р, р, Н, а также все их первые производные имеют конечные пределы при М —* 0. Тогда, переходя при М —► 0 к пределам в уравнениях движения (2) - (4), граничных и начальных условиях, и учитывая малость отклонения границы жидкости от ее начального положения, получаем так называемое акустическое приближение для задач о соударении твердых тел с жидкостью. Сохраняя для предельных значений искомых функций их прежние обозначения, находим

ди др dv др др ди dv

^ + ^ + (lT<0,-oo<as<+oo,t>0),

v = —1 (y=0,\x\<a(t)), (7)

р = 0, щ = v (у = 0,1 х |> a(í)),

и = 0, v = 0, р- 0 (/ = 0,2/ < 0),

где т)(х, t) = —Н(х, 0, t). Заметим, что в рамках акустического приближения жидкие частицы свободной границы имеют только вертикальную составляющую скорости v(x,0,t), | х |> a(t). Поэтому односторонние ограничения на перемещения жидких частиц и распределение давления перепишутся так

r¡(x,t)<f(x)-t (М>а(0), (8)

Р > Pcav . (У < 0); p>padg (» = 0, | ® |< а(<)). (9)

Левая часть в (8) задает возвышение свободной границы, а правая -положение движущегося контура. Из этого неравенства, в частности,

следует

Ч(а(<),*)-=/[а(*)]-<. (10)

Это равенство известно как условие Вагнера в теории погружения затупленного тела в идеальную и несжимаемую жидкость.

В задаче (7) - (9) определить требуется не только поле скоростей и(х, у, ¿), <) и распределение давления р(х, у, но и размер обла-

сти контакта, который описывается функцией а(<). Поэтому, несмотря на то, что все соотношения в рамках акустического приближения линеаризованы, задача остается нелинейной, что и определяет сложность ее иследования.

Решение задачи (7) - (9) включает в себя не только само построение этого решения, но и его анализ с выделением особенностей решения и их исследованием. При этом особое внимание следует обратить на те особенности, которые противоречат условиям перехода от исходной задачи (1) - (6) к ее акустическому приближению.

Узкие зоны, в которых указанный предельный переход теряет .силу и необходимо использовать иные предположения о поведении решения, примыкают к точкам контакта х = ±я(<), у = 0 и к точкам, в которых фронт слабой ударной волны присоединяется к свободной границе. Вне этих зон акустическое приближение верно описывает течение жидкости, по крайней мере формально, при М —* 0. Тонкая структура течения вблизи точек контакта подробно исследована в Главе IV. Течение жидкости и распределение давления вблизи точки присоединения фронта слабой ударной волны к свободной границе было детально проанализировано в работах Березина и Гриба, Багдоева, Луговцова и здесь не рассматривается.

Если функция а({) известна из каких-то дополнительных соображений (например, при 0 < ( < Т она определяется геометрически), то задача (7) аналогична задаче о тонком крыле в сверхзвуковом потоке газа. Последняя задача была подробно исследована Красилыциковой. На эту аналогию было указано Скалаком и Фейтом, она была использована Рочестером при исследовании сверхзвукового этапа соударения капли с твердой плоскостью.

Ранее задача (7) с дополнительным условием (8) исследовалась только численно в работах Кубенко и Гавриленко. Аналитический метод ее решения был предложен автором. Этот метод основан на введении потенциала перемещений ф{х,у,1) такого, что и = V = р = —~фи. Тогда "Фу{х, 0, <) = т/(х, ¿) при | х |> а(() и неравенство

(8) принимает простой вид. Условие выполнения этого неравенства дает трансцендентное уравнение для определения a(t). Задача относительно потенциала перемещений служит для расчета формы свободной границы и положения точек контакта. После того как эта задача будет решена, удобно вернуться к исходной постановке (7) и на се основе вычислить распределение давления и поле скоростей. Заметим, что в теории удара по свободной границе несжимаемой жидкости функция a(t) определяется из условия (10). Попытки использовать это условие в рамках акустического приближения приводили к громоздким выражениям и усложненным численным схемам. Настоящий метод существенно проще и, что немаловажно, позволяет проводить аналитические исследования с подробным анализом свойств решения.

В Главе II рассматривается классическая плоская задача об ударе по пластине конечной ширины, плазающей на поверхности идеальной и слабо сжимаемой жидкости.

В п.1 приводится решение этой задачи в рамках акустического приближения в терминах потенциала скоростей. Потенциал скоростей |¿(x,y,t), такой что и = v = ipy и р = —у?ь удовлетворяет соотношениям

<Ptt. = Уtx + <Руу (У < 0),

V?y = -1 (у = 0, | х |< 1), (И)

<^ = 0 (?/ = 0, | £ |> 1), Р=<Р1=0 (у < o,f = о),

которые следуют из (7). В данном случае величина I равна полуширине пластины. Положение точек контакта, у = 0, х = ±1, фиксировано, поэтому начально-краевая задача (11) существенно проще задачи о погружении зат}-пленного контура (7).

Впервые задача (11) была исследована Галиным, который использовал аналогию между этой задачей и задачей об обтекании сверхзвуковым потоком газа слаболзогнутого крыла прямоугольной формы в плане. На интервале 0 < t < 2 решение было построено в работах Сагомоняка и Поручикова. Было найдено, что сила сопротивления F(t), действующая на пластину со стороны жидкости, равна 2 — t и обращается в нуль в конце рассматриваемого временного интервала. Давление на пластине в этот момент р(х, 0,2) также равно нулю во всех точках погружающейся пластины.

Решение волнового уравнения в нижней полуплоскости имеет вид = 1 / / , , (12)

где область интегрирования (т(х, у, *) лежит в верхней полуплоскости т > 0 и ограничена сверху гиперболой т = 2 — у/(х — £)2 + у1. Функция ¥>з,(£,0,г), стоящая под интегралом, известна в области контакта, | £ |< 1, где <ру(£,0,т) = —1, и при | £ |> 1 4- г, где свободная граница еще не возмущена и 0,т) н 0. Поэтому если удастся найти <ру{£., 0, г) на участке 1 <| £ |< 1 + т, то есть на возмущенном участке свободной границы, то течение жидкости и распределение давления внутри области у < 0 может быть определено с помощью (12). Но на этом участке уз(£,0,т) = 0, что следует из условия на свободной границе жидкости, и (12) приводит к интегральному уравнению, решение которого строится в явном виде. Такой подход позволяет определить основные динамические характеристики процесса. Известно, в частности, что поле скоростей имеет интегрируемую особенность вблизи точек контакта. Это отражает тот факт, что течение жидкости вблизи краев пластины более интенсивное чем в основной области.

В п.2 делается переход от задачи (11) к начально - краевой задаче для давления р{х,у,Ь), что можно осуществить формальным дифференцированием по времени всех соотношений в (11) с учетом равенства щ — —р. При этом все равенства в (11) сохраняют свой вид с заменой ¡р на р, за исключением условия непротекания, которое теперь имеет вид ру = ¿(1) при у = 0, | х |< 1. Все равенства следует теперь понимать в смысле теории обобщенных функций, 6(1) - дельта-функция Дирака. Формула (12), записанная для давления, позволяет достаточно просто определить распределение давления вдоль пластины и особенности давления вблизи волновых фронтов.

Асимптотический анализ показывает, что акустическое приближение теряет силу в узких зонах вблизи волновых фронтов, где нарушается условие ограниченности первых производных решения исходной задачи, вблизи точек присоединения фронтов волн разрежения к ударной волне, где течение жидкости существенно нелинейное и двухмерное, а также вблизи угловых точек пластины. В каждой из этих зон необходимо строить внутреннее асимптотическое разложение решения' исходной задачи и сращивать его с внешним акустическим решением. В родственной задаче о внезапном вдвигании клина, рассмотренной

В.В. Титаренко, было показано как можно уточнить акустическое решение вблизи линий слабого разрыва и в окрестностях их присоединения к ударному фронту. Исследование течения вблизи угловой точки пластины ранее не проводилось.

В п.З показано, что на начальном этапе погружения пластины течение жидкости вблизи краев пластины является автомодельным и существенно нелинейным. Размер окрестности, где акустическое приближение теряет силу, имеет порядок Мз при М —> 0. В этой окрестности жидкость можно рассматривать приближенно как несжимаемую, скорость ее течения имеет порядок М~з в безразмерных переменных, поэтому скоростью перемещения пластины можно пренебречь. Условие согласования внутреннего решения с внешним акустическим решением показывает, что в рассматриваемой узкой зоне течение жидкости в главном приближении является безвихревым п описывается потенциалом скоростей, который удовлетворяет уравнению Лапласа. При

погружении пластины образуется всплеск, вершина которого удаляет-

1 2 1 ся от края пластины со скоростью гец^} V3, а его высота равна щсЦ V Н'

в размерных переменных. Безразмерные постоянные П[ и % должны

быть определены в ходе численного решения автомодельной задачи.

В п. 4 рассматривается возможность отслаивания жидкости от погружающейся пластины с образованием каверны. Обычно процессы удара ассоциируются с высокими гидродинамическими давлениями, действующими со стороны жидкости на ударяющую твердую повверх-ность. Однако при ударе образуются не только волны сжатия, но и волны разрежения. Последние связаны с наличием свободных границ жидкости и двигаются от периферии области контакта к ее центру. В некоторых случаях давление заметно падает в области взаимодействия волн разрежения и может стать отрицательным (меньше давления в покоящейся жидкости).

Обозначим предельное отрицательное давление, при котором частицы жидкости все еще остаются присоединенными к твердой поверхности, через р„4д. Предполагаем, что положение жидкой границы описывается в безразмерных переменных уравнением у — Мт}(х, ¿). Предлагается модифицировать исходную задачу (1) - (6), заменив классическое условие непротекания (5) следующими односторонними неравенствами ~

Р>РшЬ, (р-ранд)(ф^) + г) = 0 (I X |< 1). (13)

Эти условия могут быть использованы с соответствующими изменениями и в более общей задаче об ударе затупленным телом. Первое неравенство в (13) означает, что жидкие частицы не могут проникать за твердую поверхность погружающегося тела, второе - что давление в области контакта не может быть ниже некоторого предельного значения. Равенство означает, что вся область контакта может быть поделена на участки двух типов: там, где]? = имеем т]{х,{) < —I, - на этих частях границы жидкие частицы могут отходить от твердой поверхности с образованием новых свободных границ; там, где Р > РаЛд, имеем т/(х, () = —t■ здесь жидкость присоединена к твердой поверхности и движется вместе с ней.

Рассматривается случай, когда какие-либо силы сцепления между жидкостью и твердой поверхностью отсутствуют, ри,1д = 0. Известно, что давление на пластине положительно при 0 < I < 2, т.е. до момента, когда первые волны разрежения выходят на противолежащие участки свободной границы, равно нулю во всех точках твердой поверхности при I — 2, и продолжает понижаться в дальнейшем. Эти результаты были получены в рамках классического акустического приближения. В соответствии с предлагаемым подходом жидкая граница полностью отрывается от пластины в момент t = 2 так, что вся граница жидкости на некотором интервале времени 2 < £ < ¿1 будет свободной и на ней будет выполняться условие: р = 0 при —сю <■ х < +оо, у — 0. Нормальная производная ■ру(х.(), 1.) удовлетворяет интегральному уравнению, которое следует из (12). Решение такого уравнения при | я |< 3 — 2<£<3 имеет вид

Согласно (7), эта производная равна вертикальному ускорению жидких частиц, взятому с противоположным знаком. Поэтому определив ру(х, 0, при í > 2 и проинтегрировав результат по времени, получим вертикальную составляющую скорости свободной границы. В частности, в момент начала отслаивания жидкости от пластины

и-(*,0,2) = -рв(а:,0,2) = -

' ' ' ™ ' ' У тгу/Г^' Видно, что ускорение имеет особенность в точках х — ±1, у = 0.

В п.5 предлагается использовать потенциал перемещений для непосредственного вычисления формы свободной границы при ударе по

ней твердым телом. Потенциал перемещений гр(х, у, определяется в рамках акустического приближения равенством

Начально-краевую задачу для ф(х, »/,<) получим проинтегрировав каждое из равенств (11) по t. Пусть в начальный момент, < = 0, жидкая частица занимает положение х, у, тогда в момент времени Ь эта частица имеет координаты х + Х(х,у, <), у + У (г, у, <), где (Х,Х) -вектор перемещений, причем X = фх, У = фу. На свободной границе жидкие частицы могут двигаться только по вертикали, поэтому т](х,1) = У(х,0, <). Выполнены расчеты для формы свободной границы на начальном этапе ее движения.

Глава III посвящена задаче о погружении затупленного тела в слабо сжимаемую жидкость. Соотношения (7) показывают, что существует потенциал скоростей ср(х,у^) такой, что

4>и = V« + Руу (У < 0),

Здесь интервал — a(t) < х < a(t), у — 0 соответствует смоченной части тела, а участки х < — a(t), у = 0 и х > a(i), у = 0 - левой и правой частям свободной границы соответственно. Функция a(t) заранее неизвестна и определяется из дополнительного условия конечности перемещений на рассматриваемом этапе. После того как задача (14) будет решена, положение свободной границы, у = Мт)(х, t), | х |> a(t), может, быть найдено с помощью соотношений r)t(x, t) = ipv(x,0, t), т)(х. 0) = 0, а распределение давления в жидкости р(х, у, t) - с помощью линеаризованного интеграла Коши-Лагранжа. Из условия конечности перемещений жидких частиц, в частности, следует важное равенство (10). Исследуется плоское и симметричное относительно оси Оу течение жидкости. Первое ограничение является существенным и связано с особенностями используемого метода. Симметричные течения, ¡р(х, у, t) = ip(—x, у, t), рассматриваются только для простоты изложения.

¥>» = -1 (y = 0,|a:|<e(i)), <р = 0 (y = 0,|*|>e(t)), ip = y>t = 0 (у < 0, t = 0).

(14)

В п.1 рассматривается сверхзвуковой этап погружения, на котором свободная граница жидкости остается невозмущенной. Определено распределение давления в жидкости для произвольной формы погружающегося контура. Показано, что в конце сверхзвукового этапа течение жидкости вблизи точек контакта является приближенно автомодельным и описывается формулами

• u(x,y,t) = = V(\/t2,»/(-r)f)+...

где x = a(t) + Л, у — ¡i, t = T + г, а функции U и V ограничены и непрерывны.

Усиление слабых ударных волн, образующихся при соударении жидких и твердых масс, было обнаружено Диаром и Филдом. Они использовали кусок геля с пологой вмятиной на передней поверхности и ударяли его твердым прямоугольником со скоростью 150м/с. Высокоскоростная фотография показала, что усиление происходит не в одной точке, а в некоторой зоне, причем эффект ярко выражен. Чтобы смоде-

. лировать описанное явление, рассматривается удар затупленного контура с вмятиной в вершине по границе слабо сжимаемой жидкости. В начальный момент тело касается границы жидкости в двух точках. Наклон касательной к контуру между этими точками предполагается малым, тангенс угла наклона меньше числа Маха задачи. Воздух отсутствует. В этом случае "внутренняя" часть свободной границы будет невозмущена во все время ее существования. Показано, что гипербола является единственной формой вмятины, при которой целый участок ударной волны фокусируется в одной точке и в один и тот же момент времени. Распределение давления вдоль ударного фронта при этом неравномерное. Более подробно фокусировка слабых ударных волн с неравномерной интенсивностью рассматривается в Главе VI.

В п.2 рассматривается дозвуковой этап погружения. Этот этап носит название дозвукового, так как, после отрыва ударной волны от точек контакта, последние двигаются со скоростью, которая заведомо меньше скорости звука в „жидкости. Вовлеченная в движение часть свободной границы поднимается навстречу погружающемуся контуру, дополнительно увеличивая его смоченную часть. Поэтому размер области контакта жидкости с твердой поверхностью зависит от течения жидкости и, вообще говоря, не может быть известен заранее, как это имело место для сверхзвукового этапа. Указанное обстоятель-

ство обуславливает сложность исследования дозвукового этапа погружения. В рамках акустического приближения (11) задача решалась численно Гаврилснко и Кубенко методом итераций. В этом методе размер пятна контакта подбирался на каждом шаге по времени так, чтобы жидкие частицы не проникали в область, ограниченную поверхностью погружающегося тела. Фактически, этот метод соответствует численной реализации дополнительного условия Вагнера (10). С точки зрения аналитических вычислений, условие Вагнера позволяет эффективно решать задачи соударения для несжимаемой жидкости, однако, в рамках акустического приближения это условие приводит к сложному нелинейному интегральному уравнению относительно размера пятна контакта. Проблема определения ширины области контакта, которая описывается функцией «(/), является ключевой в том смысле, что только после ее решения можно ставить вопрос об асимптотическом исследовании течения жидкости и распределения давления в ней. Основная идея, которая привела к решению проблемы, .заключается в том, чтобы переформулировать условно Вагнера, связывающее значения искомых функций, в виде ограничения на класс искомых функций. Это невозможно проделать в рамках классической постановки задачи (11) относительно потенциала скоростей -р, так как особенности этой функции определяются не размером области контакта, а характером граничных условий. Поэтому предлагается регуляризовать задачу, переписав ее для новой искомой функции гр{х,уЛ) такой, что и( = р и у,0) = 0. Замечательным является тот факт, что новая искомая функция будет более гладкой по сравнению с потенциалом скоростей не только по временной переменной (это есть следствие преобразования), но и по пространственным переменным. Последнее утверждение объясняется тем, что главные свои особенности потенциал скоростей имеет в точках контакта, положение которых меняется со временем. Для таких особенностей интегрирование по времени понижает их порядок и по пространственным переменным. В соответствии со своим определением функция ф(х,у, <) представляет собой потенциал перемещений, а ее производные фт, иу определяют компоненты вектора перемещений жидких частиц Л", У в горизонтальном и вертикальном направлении соответственно. Естественно потребовать, чтобы перемещения жидких частиц были конечными в каждый момент времени. Это условие слабее одностороннего неравенства для вертикальной компоненты перемещений свободной границы (8), а тем более условия

Вагнера (10). Тем не менее оказывается, что этого условия достаточно для однозначного определения движения точек контакта. При этом соотношения (8) и (10) выполняются автоматически.

Чтобы получить начально-краевую задачу относительно потенциала перемещений ф(х,у, t), проинтегрируем каждое из равенств (11) по времени от нуля до t с учетом (10). Потенциал перемещений удовлетворяет следующим соотношениям

фи = Фхх + Фуу {у < 0), Фу = f(x)-t (у = 0,|*|< «(*)), ■ (15)

ф = 0 (у = 0, | а; |> a(t)), ф = ф1= 0 (у <0,t = 0),

которые по форме отличаются от соответствующих уравнений для потенциала скоростей (11) только правой частью граничного условия на пятне контакта. При заданной функции a(t) возвышение свободной границы фу(х, 0, f), | х |> a(t) определяется решением интегрального уравнения, которое следует из (12). Условие ограниченности этого решения приводит к трансцендентному уравнению относительно функции a(t). Для параболического контура, f(x) = это уравнение является квадратичным и его решение находится без труда: "(О = |(3\/5 + 8f — 5) при | < i < у. Напомним, что при 0 < t < то есть на сверхзвуковом этапе погружения, a(t) = s/21. При t > у функция a(t) имеет более сложный вид.

Далее определяется распределение давления как внутри жидкости, так и на смоченной части погружающегося контура. Показано, что акустическое приближение теряет силу вблизи точек контакта свободной границы жидкости с поверхностью твердого тела и вблизи точек присоединения фронта возмущений к свободной границе. Волновая картина течения достаточно сложная, однако она верно описывается акустическим приближением. Вблизи фронтов волн разрежения первая и вторая нормальные производные давления непрерывны. Заметим, что в задаче об ударе пластиной нормальная производная давления имеет разрыв второго рода на фронте волны разрежения. При приближении к точкам контакта давление растет обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до этих точек. Получены формулы для коэффициента при этой особенности. Показано, что этот коэффициент зависит не только от характеристик течения в момент

наблюдения (как это имеет место в модели несжимаемой жидкости), но и от всей предшествующей истории процесса.

Найдены условия на форму погружающегося контура, при выполнении которых давление в области взаимодействия волн разрежения будет ниже давления в покоящейся жидкости, что указывает на возможность кавитационных явлений.

Рис. 1

Проведены аналитические расчеты давления в вершине погружающегося параболического контура (Рис. 1). Сплошная линия соответствует точному акустическому решению, пунктирная линия - акустическому решению без учета деформаций свободной границы, штриховая линия - решению Вагнера в модели несжимаемой жидкости. Здесь Я - радиус кривизны в вершине контура. Важно заметить, что относительное отклонение решения Вагнера от точного в момент £ = у не превышает 10%.

В п.З представлены оценки длительности акустического этапа соударения. Такие оценки можно получить с помощью численного исследования задачи методом, указанным в п.2. В диссертации предлагается использовать иной подход, основанный на исследовании модельной задачи, которая допускает аналитическое решение как в рамках подхода Вагнера, так и в рамках акустического приближения. Показано, что акустическое решение стремится к решению Вагнера при больших временах, выяснено в каком смысле надо понимать это стремление и » как быстро оно происходит.

Рассматривается плоская, нестационарная задача о погружении контура в слабо сжимаемую жидкость, часть границы которой покрыта жесткой пластиной. В начальный момент = 0) идеальная, слабо

сжимаемая жидкость занимает нижнюю полуплоскость у' < 0 и покоится. Граница жидкости (у' = 0) состоит из двух частей: при х' < 0 жидкость примыкает к твердой недеформируемой пластине, участок х' > 0 соответствует свободной границе жидкости. Твердый недефор-мируемый контур касается жидкости в единственной точке, которая принимается за начало декартовой системы координат х'Оу'. Контур состоит из двух частей: вертикальной прямой х' — 0, у' > 0 и кривой, которая задается уравнением у' — }\{х'), причел ((Р/1 /(1хг2)(х') > 0 при х1 > 0, /1(0) — 0, ((¡¡\/(1х')(0) — 0. В начальный момент контур начинает вертикально погружаться в жидкость с постоянной скоростью V, причем М — У/а, < 1. Требуется определить закон движения точки контакта, эволюцию свободной границы, распределение давления вдоль омоченной части контура и силу, действующую на тело со стороны жидкости, при больших временах.

Задача решается параллельно и в рамках акустического приближения, и в модели несжимаемой жидкости (решение Вагнера). Последнее решение помечается индексом г. Отличительной особенностью задачи является наличие в схеме течения только одной точки контакта, что существенно упрощает анализ и позволяет получить решение задачи при всех временах. Рассмотрим подробнее, случай параболического контура, }{{х) — В безразмерных переменных, введенных в п.

2, имеем

a{t) = ^(у/ШГ+25 - 5) , cii(t) = \Vïbt (t >

a(t) = tti(i) [l + O(H)] (<-»00).

Соответственно для силы сопротивления F(t), действующей на контур со стороны жидкости, находим

F( () = f,(<)

1-27Г5Г,+0<Г'»

Асимптотические формулы показывают, что роль акустических эффектов уменьшается со временем очень медленно и их проявления могут быть зафиксированы при относительно больших временах.

В Главе IV подробно исследуется течение вблизи точек контакта погружающегося гладкого контура со свободной границей слабо сжимаемой жидкости. Акустическое приближение позволяет определить

течение жидкости и распределение давления почти всюду, за исключе-шем узких зон вблизи точек контакта и вблизи точки присоединения /дарного фронта к свободной границе. Анализ акустического решения юзволяет определить относительные размеры зон и указывает прави-1а введения "внутренних" переменных и новых искомых функций, с подошью которых можно описать тонкую структуру течения и поля дарения в этих зонах. Согласно методу сращиваемых асимптотических изложений эти "внутренние" решения должны быть согласованы с 'внешним" акустическим решением. Заметим, что сама возможность юстроения приближенного решения указанным способом неочевидна [ базируется на предположении, что влияние процессов, происходящих I выделенных узких зонах, на течение в основной области слабое.

В п.1 рассматривается процесс формирования брызговых струй на ;озвуковом этапе. Погружаясь, тело сжимает жидкость перед собой и 1асталкивает ее в стороны. По окончанию сверхзвукового этапа удар-:ая волна отрывается от точек контакта, при этом свободная граница однимается навстречу телу и увеличивает его смоченную площадь, [аблюдения показывают, что вдали граница жидкости искривляет-я незначительно, однако в области, примыкающей непосредственно к оверхности тела ее кривизна относительно велика. Эта область на-ывается областью поворота. Размеры этой области зависят не толь-о от линейных размеров тела, но и от скорости расширения пятна онтакта и уменьшаются с ростом этой скорости. В начале дозву-ового этапа, когда скорости точек контакта сравнимы со скоростью зука в жидкости, область поворота очень мала и ее присутствием ожно пренебречь в главном приближении. Однако процессы, проис-эдягцие в этой малой области, представляют несомненный интерес, ак как именно в здесь гидродинамические давления достигают сво-х> наибольшего значения. Кроме того, именно в области поворота ормируются брызговые струи, параметры которых очень важны в эикладных задачах. Требуется определить геометрию этой области характеристики течения жидкости внутри нее.

Вся окрестность точки контакта разбивается напять подобластей, в ьждой из которых строится "внутреннее" решение. Последовательное 1Гласование этих решений позволяет построить равномерно пригод->е решение исходной задачи и определить как геометрию брызговой рун, так и распределение давления в се основании.

Процесс формирования высокоскоростных струй при ударе твердым

телом по свободной поверхности сжимаемой жидкости можно описать следующим образом. До момента выхода ударной волны на свободную поверхность Т свободная граница остается невозмущенной. Затем появляется область поворота, в которой граница жидкости резко искривлена. Жидкие частицы, попавшие в эту область и лежащие перед этим достаточно близко к свободной границе, резко ускоряются и выбрасываются из области поворота с .удвоенной скоростью точки контакта по касательной к твердой поверхности погружающегося контура. В дальнейшем каждая такая частица двигается по инерции, независимо от движения соседних частиц.

Показано, что размер области поворота в безразмерных переменных имеет порядок О (Л/2) при M —> 0. В основании брызговой струи течение жидкости является существенно нелинейным и квазистационарным в главном порядке. Решение в основании брызговой струи определяется с помощью теории дозвуковых струй Чаплыгина. Согласование этого решения с акустическим дает формулу для толщины брызговой струи 6(t). Предположим, что определив геометрию области течения во "внешней" области, мы нашли скорость точки контакта vc(t) и асимптотическое поведение свободной границы вблизи этой точки в виде he(x, t) — ,f[a.{t)] — t — A(i)[x — a(i)]s + ... Тогда

ед- "A2{,)

При ударе по поверхности жидкости параболическим контуром имеем

. ^(Ы + оЩ-Ц 1 И

{) 8тг (4<+7)2 2 2 ■

Эволюция струи описывается нелинейными одномерными уравнениями с односторонними ограничениями на значения искомых функций.. Вычисления выполнены для параболического контура. Показано, что длина брызговой струи равна 21 — а({). Вблизи верШины струи, х —* 21 — 0, ее толщина к(т.Л) описывается приближенной формулой

Л(аг, *) - — (8* + 5)^(2« - *)§ + 0(| 2« - г " 8

Толщина струи в ее вершине задается степенной функцией с показателем | (струя заострена), причем коэффициент при главном члене асимптотики быстро убывает с ростом времени (струя вытягивается). За период от £ = ^ до < = у он уменьшается в 60 раз.

В п. 1.4 дается обобщение полученных результатов на пространственный случай. .

В п.2 рассматривается околозвуковой этап соударения. Анализ решения задачи соударения в рамках акустического приближения (Глава III) для основной области течения и в рамках теории дозвуковых струй для окрестности линии контакта (Глава IV, п.1) показывает, что в момент выхода ударной волны на свободную границу оба эти подхода теряют силу. В конце сверхзвукового этапа скорость расширения смоченной части тела приближается к скорости звука, поэтому принцип линейной суперпозиции, лежащий в основе акустического приближения, более не применим и необходимо учитывать нелинейные эффекты. После отрыва ударного фронта от линии контакта, свободная граница жидкости резко деформируется вблизи поверхности тела с образованием брызговой струи. Однако ударная волна отходит от тела достаточно медленно, поэтому на начальной стадии дозвукового этапа в схеме течения должны присутствовать как брызговая струя, так и ударный фронт. Такие задачи не рассматриваются в теории дозвуковых струй. Этот этап соударения называется околозвуковым, так как на нем скорость расширения пятна контакта близка к скорости звука в жидкости. Заметим, что на околозвуковом этапе течение жидкости в основной области и распределение давления внутри пятна контакта по-прежнему описываются в рамках акустического приближения.

Асимптотический анализ исходной задачи (1) - (6) показывает, что длительность околозвукового этапа имеет порядок 0((//со)Мз) при М —+ 0. Горизонтальный и вертикальный размеры окрестности точки контакта имеют порядки 0{1Мз) и 0{1М) соответственно. Горизонтальная и вертикальная компоненты вектора скорости жидких частиц имеют порядки 0(VM~*) и 0{V). Давление совпадает с горизонтальной составляющей скорости в главном порядке при М —> 0. При этом динамическое условие на свободной границе указывает, что жидкие частицы свободной поверхности могут двигаться только по вертикали. Следовательно, околозвуковое приближение заведомо не в состоянии описать образование брызговых струй. Важно заметить, что "внутренние" переменные и новые искомые функции могут быть введены таким образом, что все соотношения задачи, описывающей в главном порядке течение вблизи точки контакта на околозвуковом этапе, не содержат параметров. Это означает, что любые два течения на околозвуковом этапе приближенно являются механически подобны-

ми. Кроме того, в главном порядке абсолютные значения давления и компонент скорости не зависят от геометрии тела, а только от показателя адиабаты п, однако распределения этих величин для разных форм погружающегося тела будут различными.

Единственным отличием постановки задачи в рамках околозвукового приближения от соответствующей постановки в акустическом приближении является то, что в околозвуковом приближении принимается во внимание горизонтальная составляющая конвективного ускорения. Наличие этого дополнительного слагаемого существенно меняет свойства решения.

Условие согласования "внутреннего" околозвукового решения с "внеш ним" акустическим имеет простой вид: давление стремится к нулю при (Т — {]{сйЦ)М~з —> +оо. Задача в рамках околозвукового приближения является универсальной в том смысле, что она не содержит никаких параметров и, фактически, не зависит от "внешнего" решения.

Граничные условия на твердой поверхности погружающегося контура и на ударном фронте будут согласованы между собой только до некоторого момента ¿„. При £ < ударная волна косо присоединена к точке контакта, а свободная граница остается невозмущенной. В подвижной системе координат, связанной с точкой контакта, течение за фронтом ударной волны будет сверхзвуковым до некоторого момента ts. При I < ¿8 решение строится в виде двойных рядов по целым степеням пространственных координат. В момент 1а вблизи точки контакта возникает дозвуковая зона, которая расширяется при ^ < < < На этом интервале определена асимптотика решения вблизи точки контакта. В момент tt ударная волна выходит на свободную границу, резко деформируя ее. При этом точка контакта также начинает двигаться, что приводит к медленному увеличению возмущенной части свободной границы. Непосредственно после отрыва ударной волны предлагается использовать квазистационарное приближение, в рамках которого указаны основные элементы схемы течения.

Глава V посвящена исследованию интегральных характеристик процесса соударения жидких и твердых масс. Интегральные характеристики, такие как сила сопротивления, энергия тех или иных частей жидкости, не могут быть определены независимо от решения гидродинамической задачи. Однако есть основания надеяться, что эти ха-

рактеристики могут быть найдены достаточно точно даже в рамках упрощенных моделей.

В п.1 показано, что при погружении затупленного тела половина энергии тела переходит в кинетическую энергию брызговых струй, а вторая половина - в кинетическую энергию основного объема жидкости. При этом энергия, уносимая акустической волной, намного меньше энергии основного объема жидкости. Указанные пропорции следует понимать как предельные при I'/Т' —* оо, где Т' - длительность сверхзвукового этапа. Напомним, что размерные переменные помечаются штрихом.

Согласно результатам п.1 Главы IV, кинетическая энергия 2К) брызговых струй, которые образуется при погружении затупленного тела в идеальную, слабо сжимаемую жидкость с постоянной скоростью 1 определяется в размерных переменных формулой

+ „о,

В этой формуле учтено, что основной вклад в энергию струи дает горизонтальная составляющая скорости, величина которой сравнима со скоростью звука, вертикальная составляющая скорости жидких частиц в струе имеет порядок скорости погружения и ое вклад будет пренебрежимо мал при условии V/сц -С 1.

Интеграл в (16) ограничен при конечных временах < и неограниченно растет при < —> ос. Все величины, стоящие под знаком интеграла в (16), стремятся при I —> оо к соответствующим предельным значениям, которые могут быть определены в рамках модели несжимаемой жидкости. Решение задачи погружения в рамках .модели несжимаемой жидкости показывает, что асимптотичсское поведение подинте-гралыюй функции при больших временах описывается выражением 2а(1)а({). Откуда

ВД = + ■■■

Кинетическая энергия основной массы жидкости К7П(1) определяется при больших временах формулой

Энергия Е(1). которую необходимо дополнительно сообщить телу, чтобы компенсировать силу сопротивления жидкости Г(() и сохранить

скорость его погружения постоянной, равна

ЕО) = еоУ212Цг(г) = 0,0<ь.

•«(О

При больших временах .Г(4) = тга(1)а(<) + • • •, поэтому

где равенство понимается в асимптотическом смысле при í —» сх>.

Видно, что при больших временах ,Е(<) = Кт(1) -Ь Н----. Та-

ким образом, для произвольного затупленного тела половина энергии, затраченной телом на погружение в жидкость с постоянной скоростью, концентрируется в основной области течения, а другая половина - в брызговых струях.

Аналогичный результат справедлив и для тел вращения.

В п.2 рассматривается задача об ударе по торцу жидкого, полубесконечного цилиндра произвольного поперечного сечения. Изначально жидкость покоится и занимает цилиндрическую полуограниченную область произвольного поперечного сечения П. Боковая сторона области соответствует свободной границе, (х',у') £ дО,, г' > 0, снизу область ограничена твердой недеформируемой пластиной г' = 0. В некоторый момент времени, принимаемый за начальный ((' = 0), пластина начинает двигаться в сторону жидкости с постоянной скоростью V. Так же как и в задаче об ударе по плавающей пластине ударная волна и волны разрежения образуются одновременно в момент удара. Скорость пластины предполагается малой по сравнению со скоростью звука в покоящейся жидкости. Безразмерные переменные выбираются так, что скорость звука и скорость пластины равны едйнипе, а диа-

В рамках акустического приближения область течения совпадает с полу-цилиндром (х,у) £ Г*!, г > 0. движение жидкости описывается потенциалом скоростей <р(х^у, начально-краевая задача для которого имеет вид

метр сечения струи равен двум.

4>и = Ч>*Х + <Руу + <Ргг ((х,'у) £ П, г >: 0), <р, = 1 ({х,у)£П, 2 = 0), <р = 0 ({х,у)едп, г>,0)),

1р = ц>1 = о ((я,у) ей, 2>о, *<о).

Распределение давления в струе дается формулой

р{х,у,г,г).= £ скЛк{х.у)М\к^Р - ¿2)Н(г - г).

ос

где Лк(х, у) - собственные функции задачи Дирихле для области А* - соответствующие собственные числа, ск = [ц Лк(х, у) (1х йу.

В безразмерных переменных сила сопротивления действую-

щая на движ.ущуюся пластину со стороны жидкости, равна

Внутренняя энергия сжатой жидкости определяется формулой

Следовательно, £,(оо) = Таким образом, одна четверть энергии ударника переходит во внутреннюю энергию сжатой жидкости при 'со/Ь —> оо. Здесь с(1 - скорость звука в покоящейся жидкости. Ь -щаметр поперечного сечения жидкого цилиндра.

При ударе струей по проницаемой поверхности условие непротека-шя заменяется следующим (рг = 1 — ар. Показано, что полная масса кидкости, которая будет находиться в проницаемом теле после удара ю его поверхности струей, пропорциональна полному импульсу, определенному для эквивалентного непроницаемого тела, с коэффициентом гропорциональности а.

В Главе У1 исследуется динамика слабых ударных волн, генерируе-1ых при ударе по границе сжимаемой жидкости. Отмечается, что терние непосредственно за фронтом ударной волны, образующейся при даре тупым телом по свободной границе слабо сжимаемой жидкости, очно такое же как и в задаче о проникании через экран. Поэтому при

а полный импульс I дается формулой

эткуда

изучении динамики таких слабых ударных волн можно отвлечься от наличия свободной границы и рассматривать более простую задачу об ударе по твердой границе жидкого объема.

В п.1 рассматривается эволюция слабой почти плоской ударной волны, образующейся при ударе по плоской границе сжимаемой жидкости. В начальный момент жидкость покоится и занимает нижнюю полуплоскость, затем точки ее границы мгновенно приобретают скорость, направленную внутрь жидкого объема. Образуется ударная волна, причем неравномерное распределение ударной скорости приводит, к неравномерному распределению давления вдоль ударного фронта. Под действием нелинейных эффектов первоначально плоская ударная волна искривляется и в дальнейшем может фокусироваться. Для анализа возникающего движения используется метод сращиваемых аси: птотических разложений. При конечных временах течение жидкости и положение ударного фронта описываются в рамках акустического приближения. При больших временах движение жидкости становится нелинейным, а положение ударного фронта существенно зависит от характера течения жидкости за ним. Течение жидкости за* фронтом ударной волны описывается уравнениями околозвукового приближения с нелинейными краевыми условиями на фронте, положение которого следует определить вместе с решением всей задачи. Требование согласования "внутреннего" и "внешнего" решений приводит к начальному условию, которое замыкает постановку "внутренней" задачи. Показано, что если степень неравномерности распределения ударной скорости мала, то фокусировки ударной волны не происходит. За счет нелинейных эффектов ударный фронт сначала искривляется, но затем его кривизна быстро уменьшается. Обсуждается влияние вязкости жидкости на структуру течения.

Таким образом,при конечных временах в главном порядке при М —> О ударный фронт является плоским и распространяется независимо от течения жидкости за ним. Поле давления и поле скорости за фронтом ударной волны могут быть определены в соответствии с приближением геометрической акустики в виде рядов по целым степеням расстояния от фронта. С ростом времени растет роль нелинейных эффектов, которые приводят к тому, что в узкой зоне за фронтом ударной волны течение становится существенно нелинейным и описывается в рамках околозвукового приближения. Размер этой зоны имеет порядок О(М') при М —> 0. На этом этапе эволюция ударного фронта зави-

сит от характеристик течения жидкости за ним. Нелинейный характер движения приводит к искривлению ударного фронта и локальному увеличению давления. При достаточно сильной неравномерности начального распределения ударной скорости, когда нелинейные эффекты являются доминирующими, можно ожидать неограниченное увеличение интенсивности ударпой волны вблизи точек се фокусировки. В малой окрестности этих точек скорость жидких частиц изменяется очень резко, что указывает на необходимость учета вязкости жидкости. На этом этапе ударный фронт размазывается и трансформируется в конце этапа в новую конфигурацию, состоящую из нескольких ударных волн и линий контактного разрыва. В дальнейшем вязкостью жидкости можно вновь пренебречь и использовать для описания процесса околозвуковое приближение.

В п.2 рассматривается распространение слабой, сходящейся, почти цилиндрической ударной волны, вызванной ударом по твердой границе жидкости. Первоначально жидкость покоится и занимает область, ограниченную окружностью г' < Л. В момент ¿' = 0 точки твердой границы жидкости мгновенно приобретают скорость, направленную внутрь объема, и не превышающую по величине V. Величина скорости зависит от времени, угловой координаты и мала по сравнению со скоростью звука. Течение жидкости предполагается плоским. При ударе формируется ударная волна, которая распространяется к центру жидкого объема. Первоначально ударный фронт является цилиндрическим, но в дальнейшем искривляется под действием нелинейных эффектов. Вблизи центра ударный фронт имеет сложную форму, которая определяется характером неравномерности распределения начальной ударной скорости. До момента фокусировки течение жидкости описывается в рамках приближения геометрической акустики. За счет нелинейных эффектов ударный фронт слабо деформируется, причем амплитуда деформаций имеет порядок 0(НМ) вплоть до момента фокусировки. Однако на расстояниях порядка 0{НМ) от центра структура течения меняется. Ударная волна фокусируется на участках, где ге кривизна достигает локально максимальных значений. Вычисляется положение точек локальной фокусировки и форма ударного фронта. Отмечается, что в случае, когда начальное распределение ударной скорости имеет четыре локальных минимума, геометрия ударного фронта качественно соответствует экспериментальным результатам Ватанабе и Такаямы. Интенсивность ударной волны изменяется в со-

ответствии с принципами геометрической акустики вплоть до начала фокусировки. Определяется распределение давления вдоль ударного фронта и поведение давления при приближении к моменту фокусировки. Показано, что структура течения вблизи точек фокусировки не зависит от деталей внешнего воздействия на жидкость, а также свойств самой жидкости, и описывается нелинейной краевой задачей, не содержащей параметров. Причем положение ударного фронта заранее неизвестно и должно быть определено вместе с решением указанной задачи. Обнаружено, что коэффициент усиления ударной волны зависит не только от интенсивности удара, но и от характера асимметрии в распределении начальной скорости удара.

Таким образом, процесс схождения к центру почти цилиндрической слабой ударной волны при ассиметричном распределении давления вдоль ее фронта распадается на ряд элементарных процессов фокусировки того же типа, что и при распространении вогнутой ударной волны. При этом происходит локальное усиление ударной волны вблизи точек фокусировки, на остальных участках давление остается конечным. Используемый метод можно рассматривать как модификацию метода геометрической акустики с учетом искривления первоначально цилиндрического фронта за счет нелинейных эффектов.

В Главе VII рассматривается начальная стадия соударения слабо изогнутой пластины, которая моделируется балкой Эйлера, с поверхностью сжимаемой жидкости. При относительно малых скоростях удара течение жидкости описывается в рамках акустического приближения, а деформирование балки с помощью метода нормальных мод. Исследуется сверхзвуковой этап процесса, когда свободная граница жидкости остается невозмущенной вне пятна контакта. Для твердого тела размер пятна контакта на сверхзвуковом этапе определяется из геометрических соображений (см. Главу III). Для деформируемого тела это не так и размер его смоченной части следует искать вместе с давлением и полем скоростей в жидкости, а также упругими деформациями твердой поверхности. Показано, что длительность сверхзвукового этапа существенно зависит от упругих свойств тела. Деформации балки при ударе о воду относительно малы и хорошо описываются несколькими первыми модами. Для удовлетворительного описания распределения изгибающих напряжений в балке требуется значительно большее число мод. Распределение давления вдоль пятна

контакта определяется в данном подходе неудовлетворительно, способ его вычисления дан отдельно. Найдено, что на сверхзвуковом этапе давление в области контакта может быть ниже начального давления в покоящейся жидкости только за счет упругих эффектов.

Особенность задачи связана с тем, что изгиб балки вызывается гидродинамическими нагрузками, область приложения которых расширяется со временем, а их амплитуда сама зависит от деформаций балки. Поэтому задача является связанной: течение жидкости и деформацию тела следует определять одновременно.

Движение жидкости описывается в безразмерных переменных волновым уравнением для потенциала скоростей <р{х, у, I), а деформация балки - уравнением Эйлера для прогиба и){х,1). В первом приближении краевые условия на границе жидкости могут быть линеаризованы и снесены на невозмущенный ее уровень'. Положение точек контакта описывается в симметричном случае одной функцией с(<). Несмотря на то, что все уравнения движения и граничные условия линеаризованы, задача остается нелинейной, так как величина с(£) неизвестна заранее. Постановка задачи имеет вид

4>и = ^ + <Руу (у < 0). - ■ <Ру = -1 + г) (у = о, | х |< ф)), <р = о (» = 0,1 Г !><*)),

р(х,у,г) = (18)

Э^ии З^хи

-дё+0д*=р(хА{) (М<ъ*>о),

■ш = 0, %ихх ± ки)х = 0 (аг = ±7),

и; = 1у4 = 0 (* = 0),

¥> = ¥>1 = 0 {у < 0,< = 0).

Распределение изгибающих напряжений а(х, () определяется в безразмерных переменных равенством о(х, I) — ъихх(х, ¿).

Задача содержит четыре безразмерных папаметра к, (3, т], к, которые определяются так к = р0ДМ/Мв, /? = Е,1/{МцП^2У2), т) = 1//(ЛЛ/), где 3 - момент инерции поперечного сечения балки, ЛГд -1асса балки единичной длины, Е - модуль Юнга, V - скорость соуда->ения, ро - плотность жидкости, М = У/сц, П - радиус кривизны в ;ершине тела, 2Ь - полная длина балки.

В безразмерных переменных форма дна погружающегося тела описывается уравнением у = М{]{х) — t + ки:(х. ¿)), где f(x) задает начальную форму дна. На сверхзвуковом этапе (0 < < < Т) имеем /(с)—¿-(-««/(с, ¿) = 0 и, после дифференцирования последнего равенства по времени,

¿с _ 1 -ки>г(с^) ,

/«(с) + ки/,(с,«)'

Здесь с(<) > 1 до момента Т и с(Т) = 1. Точка над символом указывает на производную по времени.

Прогиб балки ги(х, ищется в виде

ос п=1

где фп(х) - собственные функции краевой задачи для уравнения балки. Введем вектор У(<) с компонентами К] = с(<), У-» = "ь ^з = ¿ъ • • Угдг = = Соотношения (18), (19) приводят к беско-

нечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

У, = РСУ,*) (20)

где Р(У,£) - нелинейный, нелокальный оператор. Решение системы (20) нельзя найти при однородных начальных условиях, которые следуют из исходной постановки задачи (18). Поэтому предлагается использовать результаты асимптотического анализа, которые показывают, что при малых временах решение в главном порядке имеет вид

У1=сг(е), 1} = 0 0 > 1) (* = е), (21)

где е > 0,6 1, функция сг(<) определяет положение точек контакта для недеформируемого тела. Если тело имеет параболическую форму, то сг(<) = (2ф. Модифицированная задача (20), (21) соответствует тому случаю, когда в начальный момент (£ = е) тело касается жидкости по участку —сг(е) < х < сг(е) и затем начинает погружаться вертикально.

Задача Коши (20), (21) решалась численно методом Рунге-Кутта с шагом 0.001, интегралы по времени вычислялись с помощью правила Симпсона с тем же самым фиксированным шагом. Число мод, принимаемых во внимание, N„,¡,¿1 не превышало 20, величина е полагалась равной 0.0011. Было проверено, что результаты расчетов слабо зависят от малых вариаций е.

Расчеты проводились для случая L = 75см, Е = 7 ■ И)10///.«2. J = 1.106 • 10"5Jit3, Mb = 36.6кг/ж2, V = 6м/с, с0 = 1500ж/с, р0 = 103кг/м3, R — 40м, h = 12см, к — 3.5, который соответствует удару волной с периодом 6с и высотой 2м по алюминиевому мосту катамарана. При этом M = 4 • Ю-3, к = 4.37, ß = 0.3672, ij = 4.75.

Показано, что уменьшение относительной скорости соударения за счет деформирования балки является более важным фактором, чем изменение формы балки, а упругость тела сказывается в большей степени на динамических характеристиках, чем на геометрических.

В размерных переменных в конце сверхзвукового этапа, t' = 3.41 ■ 10_5с, напряжение в центре балки равно —69МПа, а максимальное значение 83МПа достигается в точке х' — 17.5сле. Точка контакта находится в этот момент на расстоянии 12см от центра.

Расчеты показали, что давление быстро убывает и может стать ниже своего начального значения уже на сверхзвуковом этапе. При этом сила сопротивления остается положительной. Это означает, что кавитационные явления при ударе возможны не только за счет взаимодействия волн разрежения, но и за счет упругих свойств твердого тела.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Korobkin A.A., Pukhnachov V.V. Initial asymptotics in contact hydrodynamics problem. - Int. Conf. Numer. Ship Hydrodyn., 4th, Bethesda, 1985, p. 138-151.

2. Korobkin A.A., Pukhnachov V.V. Initial stage of water impact.- Ann. Rev. Fluid Mech., 1988, vol.' 20, p. 159 - 185.

3. Коробкин A.A. Акустическое приближение в задаче погружения затупленного контура в идеальную жидкость. - ЖПМТФ, 1992, No 4, с. 48 - 54.

4. Korobkin A.A. Blunt-body impact on a compressible liquid surface. - J. Fluid Mech., 1992, vol. 224, p. 437 - 453.

5. Коробкин A.A. Удар затупленного тела по свободной поверхности сжимаемой жидкости. - Вычисл. технологии, 1993, т. 2, No 4, с. 46 - 54.

6. Korobkin A.A. Low pressure zones under a liquid - solid impact. -IUTAM Symposium on Bubble Dynamics and Interface Phenomena, Birmingham, 1993, p. 375 - 381.

7. Korobkin A. A. Blunt-body impact on the free surface of a compressible liquid. - J. Fluid Mech., 1994, vol. 263, p. 319 - 342.

8. Korobkin A.A. Blunt-body penetration into a slightly compressible liquid. - Symposium on Naval Hydrodynamics, 19th, Santa Barbara,

1994, p. 179 - 186.

9. Korobkin A.A. Impact on the surface,of a compressible liquid. 1. Propagation of a weak, nearly plane shock wave. - Shock Waves,

1995, vol. 4, No 4, p. 209 - 216.

10. Korobkin A.A. Impact on the surface of a compressible liquid. 2. Focusing of a weak, near-cylindrical shock wave. - Shock Waves, 1995, vol. 4, No 4, p. 217 - 224.