Пространственные ...движения механических систем с быстровращающимися телами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

IL^,:-.^.,............

Ha нр'-íjcs рукописи

Николай

ШШРАЙИЗПхЗЗ 3!3*07ЛДК112 ХВЖЖЯ

!йХ<ЖЧ35СИК СКИМ с тсъоъвттжж Спзцкалькосл OI.C2.OI - Тсорзтотвская кзхзппкл

■ Лптор&Тизря.? "CCSpTSLÇr. КЗ СОЗСКЗКЕв УЧОНОЙ CT8P.OHJ

кэщцаота фгэшон/агв&аггэтзскях ааук

Cc:'trr-fioT6p5yjr I9D2

Работа выполнена- на кафедре Теоретической механики С.-Петербургского горного гастг.тутй. Научный руководитель доктор фкз.-мат. наук,профессор

Р.С-.Нагаев

О^ипеслышз оппонента : доктор технических наук,профессор Я.Г.ПаноЕко

кандидат технических наук, доцент Ю.Г.Ислолов Ведудгя организация : ЕШМШ "Мвхшюбр"

/и часот\

5в;:п:-та состоится 'и I-'1 1992 года в зуд. га гаседсюп: спепявх.К5гфоап!шсго совета КС63.3?.20

по пргсуглсяля ученой степени кеклизета (Гизпко-жясматических наук р Сьнк-т-Петераургском государственном техническом уияверсг-тете по адре.су: 195251, С.-Петербург, Политехническая ул., 29.

С диссертацией кожво сзра'ссугть?/ к • •"»-ксг-гс С.-Петербургского государственного университете.

Автореферат разослан Л V 19.-^ юла.

Ученый секретарь специализированного совета канд.техн. каур Носов В.Н.'

Актуальность те.'.та. В связи с возникновением ударных рз томов при рзботз многих маетн и механизмов возникает необходимость решения задач в раглкях стереомзхзнкчсской теории удара. Эта теория исходит г.з допущения о.мнгнозеннсстп соударения и позволяет определять' послеударное состояние объекта и ударные импульсы. Использование это:1 теории позволяет рассматривать задачи об ударе настолько слогаке, ч^о кх эффсг.тизноэ репвнка в разках теории сплопннх сред является в гзотся^ге время проблемой.

Стэтоглскгг атерэогахсяггаскйЗ теория удврз связано о выдащяхегя ученых И. Кьигояа, С.Д.Пуассона,Г.Г.Корколп-са, Е.А.Болотода, Г.Дсрбу. . 3 настоящее время развитие многих аспвктоз теория соудгрзндя тйрднх тел связано о тинами В.И.Бабкиного, В.Гольдемята, Я.Г.Пеновко, И.И.Блвжмана, Р.Ф.Нагаева, Р.Н.Брэта Й.БЛ'оллера я других учэннх. В настоящее^ время опубликовано бояьсоо коллстзетво теоретических и экспериментальная исследований по прикладным задачей. В этих работах, в частности ■ рассматриваются. ударно- коллебательнна дапкзнкя зала ротора а подюшкаах«: Текул рзгязш движения-возникает., в основном,.а ре- ' глз.гах рпзгена гдп остановки ротора установленного- в подшипниках качели кмегщях радиальный зазор, в иодпипниках скольжения и а . газовых лоавппнгкох. В литературе рапеяпо подобного- ряда задач еводптоп к построгшт границ зол а. устойчивости, где могут раа--лизоввтьоя такого' рода гпигекэт, к ¡¡'г оду полуэгаиричеекпх формул длярасчета частот вкЗрадаа »/чэвшюшя ударно- колзбатвлышазг ягакеняямя и к опезйзгэ ®кох.<ер1глэшгпшшх дапнше во иселэдовшпю тагчх дятазпиЛ,. ''. ; • '•

'' . • Г

- .*лехдаохрягяа \£рльиов чяивдоло -всстоящгго зредзни нет строгого научного описания ударно^колобательних режимов движения рассматриваемых систем. Представляется целесообразным ис-шдьзование стереомеханичеокой теории удара для описания такого popa движений. ' .

Целъ работы заключается в том, чтобы дать конструктивное аналитическое^описание _.пространственного косого соударения круглых тел, проанализировать соударение бильярдных шаров на абсолютно жесткой^шероховатой поверхности, исследовать ударно-колебательное двюсение круглого тела в поле силы тяжести над горизонтальной плоскостью, дать колличественное описание ударно-колебательных движений круглого тела в сферической полости, исследовать переходные и установившиеся ударно-колебательные движения круглого тела в кольцевом зазоре ме«ду врашатимися с постоянной скоростью внутренним кольцом подшипника' и неподвижным наружным кольцом подпкпника.

Методы исследования. При решении поставленных задач используется стереомеханическая теория удара, методы'решения систем конечно-разностных уравнений, мет'.-ли ис-адсгоа.-нЕл устойчивости jpe-■ тений конечно-разностных уравне -.ii. ^¡чкстсрно j-з рассматриваемых частных случаев потребовали численного рзпепкя.

Научная новизна. В диссертационной работе доказана воэмож-. ность сведения пространственной задачи о соударении круглых тел к' плоокой с помощью вяедения специальной сиотемы координат. Исследованы задачи о пространственном ударно-колебательном движении тела над горизонтальной плоскостью в поле силы тякести. Построено более общее решение задачи о соударении круглых тел на -горизонтальной плоскости. Получены аналитические решения задач

об уд&рно-колебатольком движении материальной точки и круглого тела в сферической и кольцевой плоскостях. Численно решена задача о пространственном ударно-колебательном' митенки круглого тела в сферической плоскости. ■

Практическая ценность. Результаты полученные п диссертационной работе, могут использоваться при решении задач об.ударно-колебательном движении ротора в подшипниках в режимах разгона и остановки, а такге для описания механизма виброу'дарного движения шариков и роликов на доро-ках качения подшипников.

Апробация работы. Результата диссертационной работы обсуждались на семинарах катедр Теоретической механики Ленинграде--кого государственного университета (1991) , Ленинградского горного института (1989, 1920) На конференциях "Линамикв твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 1990) и Второй всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1990) . На конференциях молодых ученых и специалистов в Ленинградском научно-исследовательском радиотехническом кнсти-■туте (1989, 1990) и Ленинградском горном институте (1991).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опу-' бликованы в ■ 6 работах, список которых приведен в конпе реферата. ;

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и описка литературы, содержащего 90 наименований, Обиий ■ объем работы состав.--тэт 177 страниц,

'' Содержание работа Во введения дается краткий гстсрическоя справка развития стерзс^хатгаеской теории упора, Приводится обзер. робот пооз/т»"

щенных решении прикладках.задач об ударно-колебательны:: движениях в приборах и механизмах. Обосновываются актуальность забранной темы, приводится-распределение материала по главам и , параграфам. '

Первая глава' посвящена общей задаче о пространственно.'.! соударении круглых .тел. Продемонстрирован наиболее обили подходу, решения такого рода задач. На основе этого полхода решаются некоторые прикладные задачи.

В § 1.1 получены общие соотношения для определения скорости сближения Ц, , скорости проскальзывания 11т и угла поворота вектора скорости проскальзывания, как функций от нормального ударного 1П и касательного 'ррккшюнного 1с импульсов.

1г:я определения зависимостей Ьт„, ит> 'в как функций - ст нормального ударного импульса 1п следует конкретизировать характер соударения, что и делается в § 1.2 . В этом параграфе опионваются два возможных принципиально различных рекша: скольжение и качение. Первый характеризуется тем, что в некотором : содюттврвалв времени соударег.и" т-Л:,-0, г.тс\>й - 1^=0 . Если в интервале времени соударения р'.-й.л'.зубтек первый так и второй режимы, то соударение нрзь'г'ьспя йс.'.г-ояьзвдим. Предельными являются случаи когда во всей интервале времени соударения реализуется скольжение или качение. Эти предельные случаи называются скользяиш соударением чистого качения соответственно. Далее рассматривается соударение круглых тел, под которыми понимпютсятела обладателю центральной симметрией ( шар, сфера, диск и т.п. ) . На основании общего подхода для круглых тел демонстрируется отсутствие поворота вектора скорости проскальзывания в интервале времени соударения и получено условие реализации скользясего соударения :

*<и,-/(с,г(1п-+1п+)). (I)

где 1 - коэффициент ударного трения, С,г - некоторый коэффициент, индексы минус и плюс при импульсах означают, что соответствующие импульсы вычисляется на интервале времени от начала соударения до максимальной контактной деформации ( первая Фаза соударения) и на интервале времени от максимальной контактной деформации до окончания соударения (вторая фаза соударения) . Условие реализации нескользящего соударения имеет- противоположный знак. Далее получено общее выражение нормального ударного импульса 1„ и касательного фрикционного импульса 1с на первой фазе соударения :

т- ( П„\ 1пСг2Г<иГ (2)

где Ц , Уг скорости центров масо первого и второго тела соответственно, индекс ("+") означает, что соответствующая скорость вычисляется непосредственно до (после) соударения, п -единичный орт внешней нормали к площадке контакта второго тела.

В § 1.3 приведены различные варианты определения коэффи-' циентгаосстановленяя й : через нормальные составлящпе скорости до и после соударения Щ. и« , через нормальные ударные импульсы первой и второй фаз соударения 1п ,-1п и через нормальную работу по окончании первой и второй фаз соударения Ап i А?;-: -ип+/ип

И- Гп/Гп" (3)

Для круглых тел показана эквивалентность этих определений.

В § 1.4 с пгшць» кзлогзняого а первкх трех параграфах • подхода ревкгкя ;тззесгная из лик»>сгу;:ц ллоскач зрдгчэ о соудз-рзиня груглых '/ел. В «г^вно, что ва мя-гп'тз с::оро-

стейпо окончании нескользящего соударения не сказывается тот факт, на какой фазе соударения происходит обращение в нуль скорости проскальзывания.

Рис. I. Пространственное соударение тел обладапдих центральной оигл^рией

В § 1,5 показана возмокКость сведения пространственной задачи о соударении двух круглых т-:.л к' плоскрсяой, о помощью вве-_ детая специальной системы код» ¿аз*. Нь-рп!,! с плоскости плоша-дки-контакта изображены оЬотаглч;;.;:--» скорости проскаль-' .

эывания от скороотей центра иаоо V*- гг( УгУ» )п тел'и.от

угловых окоростей п«(П»й| * Лга» ) . Зд8сь 0.4 ( векторы ' угловых скоростей первого и второго тел соответственно, е4, вг-.радиусы первого и второго тел соответственно. Сумма упомянутых , составляющих дает вектор' окорооти проскальзывания ит. По окоро-сти проскальзывания направляется'орт г ..Орт Ь ¡Ь='п«с) ортогонален ортам пит. Сумма проекций (V, — \Ла )• Ь и (П,а, ♦П4а,> 1 ( составлявших скорости проскальзывания иг на орт Ь ) равна нулю. Следовательно, пространственная задача при введении оисте-мы ортов п , с , Ь преобразуется к плоокой. Тогда на основании

решения плоской зсват.? в § Х.4 еатомст>я9ска ко«« получить решение пространственной задача о соударения кругл&х тел.

В § 1.6 решается пространственная задача об ударно-колебательном движении круглого тела над горизонтальной плоскостью в поле оилы гяяести. Эта задача язляатся развитием известной из литературы ллоокой задачи. Построенное решение позволяет1 определять параметры движения тзла как функций от номера соударения, от начальных условий л параметров системы. При нескользящем соударении проекция траектории пви^.зния на плоскость является, прямой линией и решение совпадает а решзнигм плоской задачи. При реализации скользщях соудпроекция траектории движения • тела на плоскооть представляет собой ломанную линип (см. рио.2) с уменьшапшлися по длине отрезками.

Рио,2 Проекция траектории ударного движения тела на плоскость прп скользящих роударениях

В § 1.7, 1,8 рассматривается пространственная задача о соударении круглых чел расположенных на горизонтальной абсолтенежесткой плоскости. Соударение о сложено наличием сил пре^ятству-щнх -относительному проскальзкваник тел а проскальзыванию тел относительно плоскости. Решенпа является рвзвгогем'известно?'заг-дячи Г.Г.Корколиса о соударении бильярдных паров.'В предлагаемом'

решении, в отличии от известного,учитывается трение в контакте тел с плоскостью л возможность превращения скорости проскальзывания тел В' нуль в цнтервалевремени соударения. В связи с этим обобщением становится неприемлемым использование предложенной Г.Г.Кориолксом гипотезы о коэффициенте восстановления. Для решения используется обобщенная гипотеза Ньютона ( второе из соотношений (3) ). '

Во второй главе рассматривается механическая система состоящая из неподвижной сферической полости к расположенного в ней круглого тела. За счет гвкгенля тела в некоторый г.гогент происходит соударение тела о сферическую полость. Считается, что соударение происходит в полном соответствии со стереомехааической теорией удара. После соударения тело в обтек случае имеет некоторое ненулевые составлявшие скоростей центра масс и движется прямолинейно и равномерно вплоть до повторного соударения о сферическую полость. Так реализуется движение тела с соударениями ■ называемое далее ударно-колебательным движением. Для регсения поставленной задачи записывается с-з'сгег/? коигчло-разностнга уравнен;;;; определяющих параметру ^•'■'Х.тг- тела поело ''к+Г'-ого соударения о сферическую полость в з^-есугртп: ст соответствующих значений после "к"-ого соударения. Система уравнении и решение существенно зависят от типа соударения.

. В 2.1 - 2.4 рассматриваются ударно-колебательные движения для тела не имеющего вращательной степени свобопы ( материальной точки), для гсех случаев соотношения параметров системы строятся топике аналитические решения. Эти решения позволяют определять все параметры двкяения тела как функщш от номера соударения. Ьслн выполнено условие :

Ми.1/1Ы И'КЙ (4)

где и.и V, тангенциальная к нормальная ссстшшдаго скорости тела непосредственно го первого соударения, тогда кое соударения носят нескользящий характер и дв;'-т.ен:;е осугествляется по дяжзт-ру сферической полости. Если вклолнеао условие :

f>|u.|(i-R)/(|v.| (Ш) (5)

тогда реализуется ректо движения со всеми скользяпдага соударениями типа квазгпластпческик удср. Лля него демонстрируется нечувствительность конечных результатов ;; винен кя к коэТхТитпгенту восстановления R с точностью до величин порядка R" . Гели оба условия 14) и. (5) выполнены с п отгеонслотннуи знака:"', тогда реализуется грокг.туточну!' per:::/ пвигг.чуя. Лля него, крс?.т улсмя.чу-тих выше величин, определяется но:;ср соударения при котором происходит переход из движения со скельзяг:гл:и соударения;,'.и в движение с ксскользяр'вмя соударениями.

3 s 2.5 - 2.? рассматривается система, ссстсчая из непо-7г:*~ком соерм ралпуса " " и расположенного в не;1 круглого тела радиуса "а" . Задача решается а плоской постановке. Тело совершает ударно-колебательные движения, Как л в задача с материальной точке':, определяются параметры дви-ення тела как функции от покера ссуд аре пня.Если выполнено условие :

f^Alu.-uVil/dvJ (i*R)) (6)

где cjJ.-угловая скорость тела непосредственно до первого ссуда-рения, X - коэффициент распределения кассы ( |>г/(аг<-рг) ), р - радиус инерции тела, тогда все соударения являются нескользящими. Если внполнено условие:

f> X|Uo-uJ„d|(l-R)/(|vJ(i*R)) (7)

тогда реализуется ударно-колебательный, процесс со всеми скользящи:.™ соударениями. Если оба из соотношений (6) к (7) иг.еэт дро-

тиво1юл-;!уый г„а*к, •гагаа раапсуетса ирокекуточный рзким движения, для ко*о]>-го кроме ^см-зутых вше параметров определяется номер соудорзшу? котором, происходит переход из движения со •

■ скользящи»:, соударениями в движение с нескользящими соударениям". При слределея-шх соотношениях параметров системы имеют место неустойчивые регжш движения. Все устойчивые режимы в данной задаче яблявтся двккенЕйЕи типа квазипластичвский удар. Да-Лез демонстрируется нее.уаствнтельнооть конечных, результатов. движения ври узазтааотическом ударе к коэффициенту восстановления Е о точйостьс до ьеллчян порядка Вг. На рисунке 3 на плоскости параметров и4)и)« й изрбражены области реализации различных гипов•движений тел имеющих и не имевших вращательную сте-

■ .свободы. Ооновным'выводом сравнения является то, что решение задачи об ударно-колебательном, движении круглого:-гала 2 . сферической полости не кожет. быть сведено к решению задачи о

нхя на плоскости параметров

В § 2.8 - 2.9 рассматривается пространственная задача о-двияенЕи круглого тела радиуса "а" расположзнного в неподвижной сферической полости радиуса "г". Тело совершает ударно-колебательные двкжения. Разделать переменные в полученной системе кою ; '

-.но-разностных уравнений удазтся лигь для случая аслх нескользящих соударений. Для этого случая строится аналитическое реве-ние первого пркбликеяся. Зто решение строится в виде ряда по малому параметру. Б качестве малого параметра выбрано отнесение нормальной составляющей скорости го первого соударения. Лля остальных случзев построено численное решение задачи. На рис.4 приводятся графические результаты численного решения для опре-долэнннх значений параметров системы применительно к промежуточно^ режиму движения.

В третьей глаза настоящей работы рассматривается ударно-колебательные дзитсния тела массой т расположенного во Ерашаюшем-оя кольцевом зазоре. Кольцевой зазор образован неподвижной внеи-ной ( радиуса гг ) и враиегоейся с постоянной угловой скоростью П внутренней ( радиуса г\ ) концентрическими галиндрическими поверхностями. Как и ранее, соударение происходит в полном соответствии оо стересиаханлчвской теорией удара, а в промежутках мзжду соударениями тело движется прямолинейно и разномерно. Для описания движения составляется сяотема конечно-разностных уравнений позволяющая определять параметры дисхния тела поела последовательных соударений о внешние поверхность. Система конечно-разностных уравнений существенно завиоит от типа соударения з установившемся движении. Решение поставленной загачи, по всей видимости, позволяет вскрыть новый универсальный механизм возбуждения виброударных движений шариков или роликов на дорожках / качения подшипников. Зтот механизм, вообва говоря, не связан с• упругой податливостью подшипников' и неточноотьо изготовления его элементов' (волнистостью и нервностью дорожек качения).

В 5 3.1 рассматриваются ударно-колебательные движения тела -не имеющего • угловой _ степени овободы (материальной точка)-.

« i I I • f I t I t

Ts f»"./ I» l.TV ijrf tfiS » r..S w

Pec <i 3sBncsacoT2 aiopocref: гола от ььчере соударепкл

о'троягся аналитические решены? спстсчы. Лояттеп" различила тшг устаговЕккхся редавгог ДБгггпюг'п условия их рггшааь-ги. Исследуется устойчивость периодических устансгиваяхс * двнгслпй. Нормальные п касательккр. гзяульсн Б., Бц при соударения о вкегнкэ поверхность а установившемся реглме двжения со зсею? нескользящими соударениями и со всеми скользящими соударениями определяются соотношениями (8).

э ртутят-;1. сгяя:япя с о г! уг,с .\:гт поверхность со}Гер*няямж аеГ»юг:!ЧсСкиЯ рехя* дрхгеяля с ве сколи ягл/и соуг.гт'к!"-''*

С НС С*' ЛЬЭЛП'ЬМ» Ссуялрг.мгяуи О "У.УГТЧ?!:11^

х о.с~г>зядяы* о рнег'ют поверхности

яааз илл ост лче сю. ^—._____

о 0,1 чг о.ч

Рис,5. ОЗлас*гт"суг;естЕ0ваяия различных тплоз дзнкопий

Ог,А (1»ва) О г, А (8)

где ''А" некоторая константа зависящая от параметров системы, ,

- коэффициенты*восстновления при соударении о внутренюю и ■ внешнюю поверхности, » = г,угг . На рис.5 в пространстве параметров системы построены области реализации различных типов установившихся движений.

3 § 3.2 - 3.3 рассматривается плоская задача об ударно-колебательном движении круглого тела в кольцевой плоскости.В силу ззаимосвязанности уравнений в система конечно-разностных ураане-

нкй анагдакческоо г ¿цечус удается достроить лишь для случая с нзсколъбяцгага отуда^знигви как о внешнюю, так и о внутренюга поверхности. Скорости тела непосредственно после К-ого соударения о внешнюю поверхность при нескользящих соударениях как о внутреннего так и о внешнюю поверхности имеют следуший вид:

Uxftr.il/(t*q)) А'*ОГ, / (1 *ч)

V, - const! к,аR/}>D/0-к5)+САк/СЛ-BA"/i A'-R,1*/) (9)

a)«d-(tJ.a-Or^/(i+7))Al<+Or,/(l«»j) где А, В, С, D, rj, const некоторые константы (q= (rt»a)/(r,-a) , A= (X(i*f|)-!)(X(l'q)-r|)yf| ). Далее демонстрируется, что режим ■ движения с данными типами соударения является переводящим в режим движения со скользящими соударениями о внешнюю ■ поверхность нескользящими о внутреннюю поверхность.Для остальных случаев о другими тинами соударенияС наследуется возможность реализашт установившихся периодических режимов. Показано, что в данной задаче не реализуются периодические режимы простейшего типа. Под последними донимаются режи.'ы движения, когда ско-рсстк тела после к-ого соударения равны скоростям тела после к+1 - го соударения. Далее численно определяются области реализации сложных периодических режимов движения. Под такши движениями понимаются реяш.зд т.ипа Ve.tcVK , где к=1, 2, 3, . . .- номер соударения, I - некоторое натуральное число большее единицы. Stк области изображены на рисунке 6 . Сравнительное сопоставление показывает, что здесь как к в задаче об ударно-колебательном движении тела в сферической полости, решение залечи не мокет быть сведено к решению задачи о движения тела оаа врашетельйоЁ

)

огепекд свободы. 14

Б заключении насто.оцей роботы приводятся ooacwu.-e результаты полученные в диссертации. Все ochoehhq результаты получены диссертантом лично.

Рис.6. Области существования! различных сложных периодических режимов движения значения коэффициента и, и при фиксированных значениях коэффициентов: яе.

Список трудов

1. Холодилин H.A. О косом ударе шариков на дорожках качения подшипников.// НШЭИР, Сб. рефератов депонированных рукописей; Per. JP 3-8392, 1988, вып. 4, ВЖИ.

2. Холодилин H.A. О соударении сферических тел в пространстве-. Л,: Ленинградский горний институт, 1990, Леп. в ВИНИТИ, Per.

A'- 29I7-B90.

3. Нагаев Р.Ф., Ходжаев А.К., 'Холодилин H.A. Ударные движения'", тела в сферической полости. // Тезисы докладов конференции Динамика тгердого тела и устойчивость движения. - Донецк: Институт прикладной механики и математики АН УССР, 1990.

4f Нагаев P.O., Ходааев А.К., Холодилин Н.А'. Ударно-колебательные движения твердых тел в ограниченном пространстве. // Тезисы

дсггадс-ч scfvTXjfi »геег&иой ь^фсрвшая Келкнейше колебания механичен.:::: систем, - Гсрьхий: Горьковское областное управление Ка-хрс-м, I9vC. . • ' 5, Earasj Р.'»., 2оло£.иан H.A. Автоколебания-тела во вращающемся кольцевом зазоре. // Прикладная мзханика, Киев, 1291 JS2, с, Sc-IQI.

в. Насл^оз С.Д., Кдейкер A.B., Холодклин H.A. ВиброЕзолнфрь щйя олорз. Авторскзз свидетельство СССР а 1465657, 1988.

If.