Исследование поступательно-вращательного движения планет и спутников в рамках модели вязкоупругого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. МОДЕЛЬ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОУПРУ

ГОИ ПЛАНЕТЫ

§ 1. Влияние упругих деформаций на тензор инерции вращающейся планеты

§ 2. Уравнения движения упругого тела

§ 3. Собственные формы колебаний упругих тел

§ 4. Уравнения движения вязкоупругого тела в форме уравнений Рауса

§ 5. Уравнения долгопериодических движений деформируемых небесных тел

ГЛАВА II. ДИССИПАТИВНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ "ПЛАНЕТА - СПУТНИК" ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПРИЛИВОВ

§ 6. Постановка задачи. Уравнения движения системы "планета - спутник" в пространственном варианте задачи

§ 7. Исследование возмущенного движения

§ 8. Эволюционные эффекты в движении небесных тел под действием гравитационных приливов. Пример: диссипативная эволюция динамических характеристик в системе "Нептун - Тритон"

§ 9. Фазовый портрет эволюции движения спутника в поле массивной планеты

§ 10. О поступательно-вращательном движении двух деформируемых тел

ГЛАВА III. ТЕНДЕНЦИИ К СОИЗМЕРИМОСТИ ВРАЩЕНИЙ И СРЕДНИХ ДВИЖЕНИЙ КАК РЕЗУЛЬТАТ ДИССИ-ПАТИВНОЙ ПРИЛИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИ

§ 11. Постановка задачи о поступательно-вращательном движении двух вязкоупругих тел в поле притягивающего центра. Описание деформированного состояния планеты и спутника

§ 12. О механизме возникновения соизмеримости

§ 13. Плоские резонансные вращения. Резонанс типа

Луна" (1:1)

ГЛАВА IV. ВРАЩЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ШАРА В ПОЛЕ ДВУХ

ПРИТЯГИВАЮЩИХ ЦЕНТРОВ

§ 14. Постановка задачи. Уравнения движения

§ 15. Об одном эффекте эволюции вращений вязкоупругого

Диссертация посвящена аналитическим и качественным исследованиям современных задач небесной механики деформируемых планет и спутников. Затронуты актуальные вопросы динамической астрономии -на основе модельных задач поступательно-вращательного движения вязкоупругих небесных тел выявлены и изучены тонкие динамические эффекты приливной эволюции.

Актуальность темы. Известно, что в различных областях науки и техники возникает необходимость рассматривать твердые тела как сплошные среды, обладающие конечной жесткостью. При этом определение деформаций имеет самостоятельное значение. Однако существует широкий круг задач, - например, при исследовании динамики спутников с протяженными упругими элементами или при изучении приливных процессов в небесной механике (деформируемые планеты и спутники), в которых расчет деформированного состояния носит как бы вспомогательный характер при описании влияния конечной жесткости на движение всей системы как целого. В настоящее время эта область механики интенсивно развивается, о чем говорит большой объем публикаций на эту тему. Прогресс в этой области достигнут благодаря исследованиям А.И.Лурье, А.Ю.Ишлинского, Д.Е.Охоцимско-го, В.В.Румянцева, Ф. Л.Черноусько, Д.М.Климова, В.Ф.Журавлева, А.П.Маркеева, В.Г.Демина, В.Г.Вильке, В.В.Белецкого, Л.В.Докучаева, и других. Детальное описание движения бесконечномерных механических систем как целого приводит к дифференциальным уравнениям, в большинстве случаев не поддающихся аналитическому исследованию, так что возникает необходимость использования ЭВМ для получения конечного результата. Наряду с численным решением точных уравнений движения сложной механической системы представляет научный и практический интерес решение модельных задач, позволяющих понять характерные закономерности движения многокомпонентных тел и конструкций, то есть систем, состоящих из твердых тел, материальных точек и звеньев с распределенными параметрами, рассматриваемых как материальные континуумы, для которых процессы деформирования обратимы, и существует потенциальная энергия упругой деформации.

В механике сплошных сред можно выделить класс систем, для описания движений которых требуется использование только механических характеристик - таких, как поля перемещений, скоростей и ускорений. Основные методы аналитической механики - методы Лаг-ранжа и Гамильтона - широко используются в механических системах, имеющих конечное число степеней свободы. Особенности существующих методов распространения лагранжева и гамильтонова формализма на непрерывные среды связаны прежде всего с тем, что на основании простых примеров утверждается существование лагранжиана, а затем и гамильтониана, порождающих дифференциальные уравнения движения сплошной среды. При этом среда рассматривается как консервативная и как свободная система. Вариационный принцип Гамильтона остается справедливым и для непрерывных систем (сплошных сред), но уже не всегда позволяет получить замкнутую систему уравнений, определяющую движение сплошной среды. Это обстоятельство связано с тем, что состояние среды определяется не только положением и скоростями ее частиц, но и другими дополнительными параметрами, например, температурой или химическими характеристиками. Однако в целом ряде случаев возможно описать движение сплошной среды независимо от немеханических параметров. Сюда можно отнести математические модели упругих сред, идеальные жидкости и другие. Принцип Гамильтона представляет иногда наиболее естественный способ составления уравнений движения таких систем. В работе рассматриваются механические системы, допускающие непосредственное обобщение на них вариационного принципа п

Т + ^ Q.dq.)dt = 0.

1= 1

Здесь Q.(q ,q,t), i = 1- обобщенные силы и сумма выражает работу активных сил, приложенных к точкам системы на возможных перемещениях, T(q ,q,t) - кинетическая энергия системы.

При наличии непотенциальных сил соотношение, аналогичное принципу Гамильтона, запишется в виде [50]

65 + dAdt = 0 1

Здесь 6S - вариация действия по Гамильтону, 5Л - элементарная ра бота непотенциальных сил, не являющаяся вариацией некоторой функции, вычисленная на соответствующих виртуальных перемещениях. Действие по Гамильтону 5 в случае непрерывной системы является интегралом от плотности функции Лагранжа L [44]

12 .

Ч/ /V /V /ч^

5 =

Ldxdt , L = Т - U - Е t где Q - объем, занимаемый упругой средой в естественном недефорV мированном состоянии, dx - элементарный объем внутри Q, Т - кине

Ч/ ГК/ тическая энергия частицы среды, U и Е - ее потенциальные энергии, вызванные внешними массовыми силами и деформациями среды соответственно.

Вариационный принцип, позволяющий строить усложненные модели сплошных сред и учитывающий их различные физико-химические свойства, был предложен Л.И.Седовым [67]. В работе В.В.Румянцева [65] рассматривается обобщение вариационного принципа Гауса и вариационного принципа Четаева на сплошные среды.

Во многих теоретических работах большие деформируемые системы моделируются в виде твердых тел, соединенных между собой упругими связями, или в виде твердого тела, имеющего упругие ответвления. В ряде работ упругая система моделируется сплошной средой, обладающей внутренним демпфированием.

В работе [69] рассматриваются движения вязкоупругого твердого тела относительно центра масс, причем в качестве сплошной вяз-коупругой среды выбирается реологическая модель Кельвина - Фойг-та. Упругое тело предполагается обладающим малой податливостью: частоты его собственных колебаний много больше угловой скорости вращения. Показано, что при некоторых общих предположениях влияние внутренней упругости и диссипации сводится к действию на вспомогательное абсолютно твердое тело (тело с замороженными деформациями) возмущающих моментов, состоящих из однородных многочленов четвертой и пятой степеней от компонент угловой скорости тела.

В работе [53] исследуется движение космического аппарата в центральном ньютоновском гравитационном поле. Спутник моделируется сплошной упругой средой, обладающей внутренним трением. С помощью основных теорем динамики и уравнений Лагранжа второго рода получена замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающая движение такой среды. Для анализа уравнений движения применяется способ, аналогичный асимптотическому методу, разработанному Ф.Л.Черноусько для механических систем, содержащих упругие и дис-сипативные элементы. Основное внимание уделяется плоским движениям тела относительно центра масс. Найдены положения относительного равновесия спутника на круговой орбите и рассмотрена их устойчивость. В случае слабоэллиптической орбиты исследованы эксцен-триситетные колебания.

В работах [48,70] рассмотрены вопросы эволюции быстрых вращений механических систем, состоящих из упругого или упругого и абсолютно твердого тела, в центральном ньютоновском гравитационном поле. Упругая часть системы моделировалась сплошной средой, обладающей внутренним трением.

В [54] изучается обобщение рассматриваемой задачи на случай, когда механическая система представляет собой осесимметричное упругое тело, имеющее общую границу с твердым телом. В результате выявлен следующий эффект, свойственный для деформируемых систем: вращение системы вокруг центра масс замедляется, при этом модуль вектора кинетического момента системы монотонно убывает. Сам вектор кинетического момента наклоняется в сторону плоскости орбиты центра масс, стремясь занять положение, при котором угол между нормалью к плоскости орбиты и вектором кинетического момента системы равен определенной величине, зависящей от текущего значения угловой скорости вращения системы вокруг центра масс. Когда угловая скорость системы становится сопоставима с орбитальной, предположение о быстрых вращениях нарушается, наблюдается гравитационный захват системы, при котором вектор кинетического момента стремится занять положение по нормали к плоскости орбиты.

Создание высокоточных теорий движения естественных небесных тел является сложной математической задачей. Известно, что доминирующую роль в эволюции динамических характеристик планет и спутников Солнечной системы играют гравитационные и приливные моменты [64]: орбитальное движение и вращение вокруг центра масс были в значительной степени изменены вследствие приливных взаимодействий. Сложность и многообразие физических процессов, протекающих внутри планет [61,68] и влияющих на величины приливных моментов, не позволяют однозначно построить приливную теорию. С другой стороны, теория приливов дает довольно хорошие результаты для системы Земля - Луна, что является одной из причин, оправдывающих ее применение к другим небесным телам. Исследования показали, что в настоящее время скорость вращения Земли за счет приливного трения меняется очень медленно, хотя этот эффект был значительно сильнее в прошлом, когда орбита Луны была ближе к Земле. Теоретические исследования показывают, что приливное взаимодействие с Землей и привело к заметному замедлению собственного вращения Луны на ранних этапах эволюции. Замедление вращения Земли также объясняется действием приливных сил [38,64]. Настоящее движение Луны вокруг Земли служит примером "почти" стационарного вращения тела.

Во многих работах по приливной эволюции небесных тел принимается ряд гипотез относительно характера приливных горбов при наличии угла запаздывания. Этот угол предполагается либо постоянным, либо зависящим от относительной угловой скорости вращения небесного тела. Количественные оценки угла запаздывания основываются на экспериментальных данных.

Первые фундаментальные исследования в этой области были проведены в конце XIX века небесным механиком и космогонистом Джорджем Дарвином [34]. Во второй половине XX века появление радиолокационной астрономии с ее высокоточными методами измерений привело к необходимости уточнения и развития существующих и создания качественно новых теорий приливной эволюции вращательного и поступательного движений небесных тел (П.Голдрайх, С.Сотер, С. Пил, Г.Макдональд [64], В.В.Белецкий [3,4,5], Т.М.Энеев [49], В.Г.Вильке [21,22] и другие).

По современной космогонической теории Энеева - Козлова [49] результатом эволюции протопланетного облака явились протопланеты, первоначально обладавшие большими размерами, ввиду чего большую роль играла приливная эволюция вращательного движения планет, которая происходила на несколько порядков быстрее, чем в современную эпоху. Существующие математические модели этих явлений дают возможность выявить основные закономерности эволюционных процессов.

Так, в работе В.В.Белецкого [4], на основе модельной формулы для приливного момента получена глобальная картина эволюции, результатом которой явилось современное разнообразие наклонений и вращений планет Солнечной системы. Основные выводы работы [4] сводятся к следующему:

- стремление всех движений к прямому вращению, в том числе, переворот первоначальных обратных вращений в прямые;

- существенная эволюция наклонений осей вращения планет;

- возможное уменьшение угловой скорости (и даже до значений близких к нулю), но с последующим восстановлением вплодь до орбитальной.

Суммируя вышеизложенное автор утверждает, что все движения планет стремятся к одному предельному режиму: прямому вращению с нулевым наклонением и с угловой скоростью, равной орбитальной.

Существует несколько способов описания приливного момента. Так, например, Джордж Дарвин [34] задает приливной момент в виде бесконечного ряда; согласно Г. Макдональду [64], масса приливных горбов обратно пропорциональна третьей степени расстояния от планеты до приливообразующего тела; по П.Голдрайху и С.Сотеру [64], величина приливного момента, действующего со стороны Солнца на планету, оценивается формулой

9 fM2nR5 М = -, где / - универсальная постоянная тяготения, - масса Солнца, R

- радиус планеты, rQ - ее среднее расстояние до Солнца, Q безразмерная "эффективная диссипативная функция", причем

Q~1 = tg-25 , где 5 - угол выноса приливного горба на планете относительно направления планета - Солнце. Предположение о постоянстве величины Q для внутренних свойств планеты является упрощением. Большинство опубликованных работ по приливной теории базируется на предположении, что значение величины угла <5 имеет постоянное значение, хотя строго нельзя считать это таковым. Приливные эффекты могут дать информацию о физическом состоянии планетных недр с помощью величин Q или б. Так, в статье [41], используя данные о вековом ускорении спутника Марса Фобоса, авторы оценивают среднее значение диссипативного фактора Q недр Марса. Изучается влияние приливов на вековое замедление Фобоса, которое оказалось менее 5%.

Как известно [34,64], приливное трение влияет на эволюцию элементов орбит спутников, на динамические характеристики вращательного движения планет и на космогонических интервалах времени может существенно изменить их. В [8] рассмотрена задача о движении двух вязкоупругих сферически симметричных тел в поле сил взаимного гравитационного притяжения. Данная модель позволила изучить влияние приливных эффектов на эволюцию поступательно-вращательного движения планет. Отмечено, что предельным движением такой системы есть вращение вокруг общего центра масс деформированных шаров с неизменной ориентацией друг относительно друга. Движения подобного рода отмечались в работе Джорджа Дарвина в связи с эволюцией двойной планеты "Земля - Луна" [34].

В [54] рассмотрена задача о поступательно-вращательном движении деформируемой планеты (шара) с диссипацией энергии в центральном ньютоновском поле сил. Уравнения записаны в канонических переменных Делоне - Андуайе. Полученные уравнения и законы изменения медленных переменных позволяют проследить эволюции движений центра масс шара и вектора кинетического момента относительно центра масс. Процесс эволюции поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара состоит в следующем: вектор кинетического момента относительно центра масс шара в процессе эволюции стремится к направлению, ортогональному к плоскости орбиты, которая в свою очередь становится ортогональной к вектору момента количества движения шара относительно притягивающего центра. Траектория центра масс шара при этом становится круговой, а сам деформированный шар неподвижен в орбитальной системе координат.

Заметим, что движение естественного спутника в поле деформируемой планеты иногда целесообразно изучать в рамках задачи двух тел [46,57]. Однако в Солнечной системе встречаются случаи, когда учет возмущений от притягивающего центра (Солнца) весьма важен. Например, солнечные возмущения для Луны гораздо значительнее, чем возмущения, обусловленные сжатием Земли. В такой постановке наличие притягивающего центра обязательно. При этом орбита спутника прецессирует вокруг нормали к плоскости эклиптики. Если же притягивающий центр отсутствует, то, согласно [35], орбита спутника и ось вращения планеты прецессируют с одинаковыми угловыми скоростями вокруг общего кинетического момента системы. Сам вектор неизменно ориентирован в пространстве. Сравнение с задачей двух тел, в которой при быстром вращении планеты плоскость орбиты спутника эволюционирует в плоскость экватора планеты, показывает, что в данной задаче результаты качественно иные. Вращение деформируемой планеты воздействует на прецессирующую орбиту спутника и приводит к тому, что она стремится совпасть с плоскостью эклиптики. Выявленный эффект выполняется при любых соотношениях масс спутника и планеты и определяется наличием притягивающего центра, вызывающего прецессию орбиты спутника вокруг нормали к плоскости орбиты барицентра.

В работе [58] изучается механизм медленного изменения наклонения орбитальной плоскости спутника за счет работы внутренних диссипативных сил со стороны деформируемой планеты. Показано, что при стационарном движении орбита спутника расположена в плоскости экватора планеты, причем угловая скорость вращения планеты равна среднему движению спутника. Из полученных результатов следует, что в случае невращающейся планеты изменение наклона орбитальной плоскости может происходить как к экватору планеты, так и в обратном направлении. В зависимости от упругих свойств тела могут существовать и промежуточные стационарные положения орбитальной плоскости. Вращения планеты воздействуют на наклонение орбиты и эволюционный процесс приводит к тому, что она совмещается с плоскостью экватора планеты. При достаточно быстром вращении планеты наклон монотонно уменьшается. Авторами также исследуются движения вязкоупругого шара вокруг центра масс в ограниченной эллиптической задаче трех тел.

В классической постановке задача трех тел была предметом исследования многих выдающихся механиков и математиков (Ж.Лагранж, Э.Раус, Н.Е.Жуковский, А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов). Современное изучение этой проблемы связано с именами Е.П.Аксенова, Е.А.Гребени-кова, В.Г.Демина [1], которые разработали спутниковый вариант ограниченной задачи трех тел, основанный на промежуточной орбите. При этом в основе построения промежуточных орбит лежит обобщенная задача двух неподвижных центров, силовая функция которой включает в себя как вторую, так и третью зональную гармонику геопотенциала и позволяет проинтегрировать уравнения движения в квадратурах. Н.В.Емельяновым продолжены идеи работы [1] и построены аналитические алгоритмы теории возмущений на основе этой некеплеровской промежуточной орбиты [39,40]. Работы А.П.Маркеева и А.Г.Сокольского [52] посвящены вопросам устойчивости лагранжевых точек либрации и их многочисленным астродинамическим приложениям. М.А.Ваш-ковьяком [17], С. И. Ипатовым [45] и И.А.Герасимовым [29] изучена эволюция резонансных астероидных орбит в рамках ограниченной задачи трех тел. В работе [30] в функциях Вейерштрасса найдены зависимости от времени элементов орбит резонансных астероидов, получены формулы для вычисления периодов изменения элементов и пределов вариации эксцентриситета и большой полуоси.

В [24] рассмотрена классическая задача трех тел в неограниченной постановке с учетом диссипативных сил, зависящих от скорости изменения расстояния между взаимодействующими телами. Показано, что стационарные вращения (лагранжевы точки либрации) соответствуют стационарной точке изменения потенциальной энергии системы, которая не является минимумом; что наличие указанных диссипативных сил приводит к неустойчивости этих стационарных вращений. Почти все финитные движения системы трех тел заканчиваются падением одного тела на другое и образованием системы двух тел, которые стремятся к вращению относительно общего центра масс по круговым орбитам с неизменной ориентацией тел в орбитальной системе координат.

Представляется целесообразной более общая постановка задачи. Имеется в виду выбор новой теоретической модели, включающей рассмотрение планеты как упругого твердого тела с диссипацией энергии при деформациях, орбита которой эволюционирует за счет работы внутренних диссипативных сил (без учета термодинамических процессов), а сама планета совершает поступательно-вращательное движение. Такой подход может играть основополагающую роль в изучении эволюционных процессов в Солнечной системе под действием гравитационных приливов.

В настоящей диссертации движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы (вязкоупругих тел) рассматриваются в рамках классической механики, при этом деформированные состояния описываются в рамках механики сплошных сред без учета термодинамических процессов.

Цель работы состоит в изучении движения естественных небесных тел с более общих позиций, а именно: поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты (спутника) для повышения точности результатов в теории движения небесных тел; показывается необходимость применения именно такого подхода в исследованиях диссипативнои эволюции планет и спутников.

Методы исследования. В рассматриваемых задачах оказывается недостаточным классический подход теоретической механики, основанный на модели абсолютно твердого тела. Использование вариационных принципов позволяет распространить формализм лагранжевой и гамильтоновой механики на деформируемое твердое тело. Особенностью рассматриваемых задач является наличие в них составляющих движения, имеющих различные характерные времена. Метод исследования представляет собой сочетание методов модального анализа и малого параметра. Для получения конечных фазовых портретов используются также современные методы численного интегрирования. Ряд результатов, приведенных в данной диссертации, получены методами компьютерной алгебры с помощью библиотеки программ, изданной на базе системы Maple [43].

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты: получены уравнения поступательно-вращательного движения системы двух деформируемых тел "планета - спутник" и на основе усреднения этих уравнений по быстрым переменным численно исследованы эффекты приливной эволюции системы в плоском и пространственном вариантах задачи;

- показано, что в результате приливной эволюции имеет место тенденция к синхронизации между средними угловыми скоростями вращательного и орбитального движений вязкоупругих небесных тел;

- численно исследован механизм возникновения соизмеримости в движении спутника и планеты, испытывающих приливные вязкоупругие деформации в поле притягивающего центра;

- получено и исследовано уравнение, описывающее медленные колебания оси симметрии спутника под действием приливных и гравитационных моментов в поле притягивающего центра, выявлен эффект, при котором ось симметрии спутника отклоняется от линии, соединяющей центры масс планеты и спутника на малый угол, пропорциональный параметрам, определяющим вязкоупругие свойства спутника, найдены положения равновесия и исследована их устойчивость;

- показано, что при движении сферически симметричной вязко-упругой планеты в поле двух притягивающих центров наличие второго притягивающего центра является дестабилизирующим фактором для резонансного вращения.

Достоверность результатов. Решения задач получены с помощью математически обоснованных методов классической механики в сочетании с методами механики сплошных сред и снабжены необходимыми ссылками на литературу. Отмечается согласованность основных результатов с работами других авторов. Достоверность результатов основывается также на строгости приводимых оценок погрешностей. Количественные результаты подтверждены численными экспериментами.

Практическая ценность. Проведенные исследования могут быть использованы при создании высокоточных теорий движения планет и их спутников, отвечающих точности современных наблюдений.

Апробация работы. Материалы диссертации были доложены на:

- Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1996 г.);

- 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference (Stockholm, Sweden, 1997);

- Научной конференции "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики" (Москва, 1997 г.);

- XXII Научных чтениях по космонавтике (Москва, 1998 г.);

- IUTAM / IFToMM Symposium on Synthesis of Nonlinear Dynamical

Systems (Riga, Latvia, 1998);

- VII Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1999 г.);

- семинаре кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ под руководством профессора В.В.Белецкого и профессора Ю.Ф.Голубева (1999 г.);

- Jiont European and National Astronomical Meeting JENAM-2000 (Moscow, 2000);

- семинаре по небесной механике ГАИШ (2000 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано одиннадцать печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные положения, выносимые на защиту:

- Исследованы качественные характеристики эволюционных процессов под действием гравитационных приливов поступательно-вращательного движения системы "деформируемая планета - спутник" в пространственном варианте задачи на интервалах времени, существенно превышающих периоды прецессии и нутации плоскости орбиты и оси симметрии планеты. Выявлены общие небесномеханические закономерности, характерные для рассматриваемых вязкоупругих планет и спутников. Приводятся фазовые портреты системы, получены соответствующие оценки;

- На примере системы "Нептун - Тритон" на основе полученных аналитически усредненных эволюционных уравнений движения рассмотрена эволюция системы для случая быстрого осевого вращения планеты. Показано, что обратные орбиты спутника в процессе эволюции таких систем переходят в прямые. Построены фазовые портреты дис-сипативной эволюции поступательно-вращательного движения системы;

- Построен фазовый портрет эволюции движения спутника в поле массивной планеты, выделены закономерности приливной эволюции орбитальных параметров движения спутника;

- Исследовано поступательно-вращательное движение двух деформируемых тел (планеты и спутника) в поле притягивающего центра. Подтверждено, что в результате приливной эволюции имеет место тенденция к соизмеримости между средними угловыми скоростями вращательного и орбитального движений. Выявлен эффект, при котором ось симметрии динамически вытянутой планеты отклоняется от линии, соединяющей центры масс планет на малый угол, пропорциональный параметрам, определяющим вязкоупругие свойства планеты;

- Получено и исследовано уравнение, описывающее медленные колебания оси симметрии спутника под действием гравитационного и приливного моментов, определены положения равновесия (резонансные вращения) и исследована их устойчивость;

- Рассмотрена задача о движении сферически симметричного вязкоупругого спутника в поле двух притягивающих центров, показано, что наличие второго центра является дестабилизирующим фактором для резонансного вращения.

1. Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В. Г. Общее решение зала чи о движении искусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли // Сборник "Искусственные спутники Земли", 1961, № 8, стр. 64.

2. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Издательство МГУ, 1975.

3. Белецкий В. В. Резонансные явления во вращательных движениях искусственных и естественных небесных тел. Препринт № Ю. М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1975.

4. Белецкий В. В. Приливная эволюция наклонений и вращений небесных тел. Препринт № 43. М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1978.

5. Белецкий В. В., Хентов А. А. Резонансные вращения небесных тел. Нижний Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 1995.

6. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965.

7. Боголюбов Н.Н, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

8. Бондаренко В. В. О поступательно-вращательном движении двух деформируемых небесных тел // Космические исследования, 1997, том 35, № 6, стр. 645.

9. Бондаренко В. В., Веретенников В. Г., Марков Ю.Г. Математическое моделирование некоторых задач динамики деформируемых тел // Тезисы докладов международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Донецк, 1996 г., стр. 13.

10. Бондаренко В. В., Демин А. В., Марков Ю.Г. Эволюционные процессы под действием гравитационных приливов в Солнечной системе // Известия Академии наук. Серия физическая, 1998, том 62, № 9, стр. 1884.

11. Бондаренко В. В., Долгачев В. П., Марков Ю.Г. Анализ динамичес ких эффектов в поступательно-вращательном движении деформируемых небесных тел // Тезисы докладов XXII научных чтений по космонавтике. Москва, 1998 г., стр. 104.

12. Бондаренко В. В., Марков Ю. Г., Скоробогатых И. В. О тенденции к соизмеримости вращений и средних движений небесных тел под действием гравитационных приливов // Астрономический вестник, 1998, том 32, № 4, стр. 340.

13. Брюно А. Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1980.

14. Васильева А. Б., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

15. Вашковьяк М. А. Метод численного осреднения в задаче об эволюции орбит резонансных астероидов // Космические исследования, 1989, том 27, № 1, Стр. 9.

16. Веретенников В. Г., Карпов И. И., Климов Д.М., Марков Ю.Г., Шаранюк А. В. Современные компьютерные методы решения задач механики. М.: Издательство МАИ, 1999.

17. Веретенников В. Г., Карпов И. И., Марков Ю.Г. Колебательные процессы в механических системах с упругими и диссипативными элементами. М.: Издательство МАИ, 1998.

18. Веретенников В. Г., Марков Ю.Г., Ель-Хафез С. А. Динамический анализ эволюционных процессов в движении вязкоупругих небесных тел // Космические исследования, 1997, том 35, № 5, стр. 501.

19. Вильке В. Г. О движении упругого спутника в центральном поле сил // Космические исследования, 1979, том 17, № 3, стр. 364.

20. Вильке В. Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Прикладная математика и механика, 1980, том 44, № 3, стр. 395.

21. Вильке В. Г. Разделение движенией и метод осреднения в механике систем с бесконечным числом степеней свободы // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика, 1983, № 5, стр. 54.

22. Вильке В. Г. Аналитические и качественные методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Издательство МГУ, 1986.

23. Вильке В. Г., Копылов С. А., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Прикладная математика и механика, 1985, том 49, № 1, стр. 25.

24. Вильке В. Г., Лебедев К.М. Резонансные явления при эволюции поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты // Космические исследования, 1987, том 25, № 1, стр. 148.

25. Волосов В.М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Издательство МГУ, 1971.

26. Георгиевский Д. В. Устойчивость процессов деформирования вяз-копластических тел. М.: Издательство "УРСС", 1998.

27. Герасимов И. А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмери-мостей средних движений. Основные уравнения // Астрономический журнал, 1986, том 63, № 3, стр. 567.

28. Герасимов И. А. Функции Вейерштрасса и их приложения в механике и астрономии. М.: Издательство МГУ, 1990.

29. Гребеников Е.Л., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971.

30. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М: Наука, 1979.

31. Грушевский А. В. Приливная эволюция осевых вращений небесных тел с учетом их сжатия. Препринт № 223. М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1987.

32. Дарвин Дж.Г. Приливы и родственные им явления в Солнечной системе. М.: Наука, 1969.

33. Демин А. В., Марков Ю.Г., Миняев И. С. О приливной эволюции наклонений и вращений небесных тел // Космические исследования, 1992, том 30, № 2, стр. 157.

34. Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968.

35. Демин В. Г. Судьба Солнечной системы. М.: Наука, 1969.

36. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968.

37. Емельянов Н.В. Порядок интегрирования уравнений для элементов промежуточной орбиты спутника // Астрономический журнал, 1985, том 62, № 3, стр. 590.

38. Емельянов Н.В. Построение аналитической теории движения ИСЗ с точностью до третьего порядка относительно сжатия Земли // Астрономический журнал, 1986, том 63, № 4, стр. 800.

39. Жарков В. И., Гудкова Т. В. О диссипативном факторе недр Марса

40. Астрономический вестник, 1993, том 27, № 4, стр. 3.

41. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.

42. Журов А. И., Карпов И. И., Шингарева И. К. Основы Maple. Применение в механике. Препринт № 536. М.: Институт проблем механики РАН, 1995.

43. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Издательство МГУ, 1990.

44. Ипатов С. И. Эволюция резонансных астероидных орбит в плоской задаче трех тел: Солнце Юпитер - астероид. Препринт № 30. М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1980.

45. Карпов И. И., Марков Ю.Г. О диссипативной эволюции поступательно-вращательного движения системы "деформируемая планета спутник" // Космические исследования, 1999, том 37, № 3, стр. 306.

46. Климов Д.М., Маркеев А. П. Динамика неоднородного упругого кольца в гравитационном поле. Препринт № 331. М : Институт проблем механики АН СССР, 1988.

47. Климов Д.М., Маркеев А. П. Нелинейные задачи динамики крупногабаритных космических конструкций. Препринт № 449. М.: Институт проблем механики АН СССР, 1990.

48. Козлов Н.Н., Энеев Т.М. Численное моделирование процесса образования планет из протопланетного облака. Препринт № 134. М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1977.

49. Ланцош К- Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965.

50. Манк У., Макдональд Г. Вращение Земли. М.: Мир, 1964.

51. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодина-мике. М.: Наука, 1978.

52. Маркеев А. П. К динамике упругого тела в гравитационном поле

53. Космические исследования, 1989, том 27, № 2, стр. 163.

54. Марков Ю.Г. Пространственное движение деформируемого тела в центральном поле сил // Космические исследования, 1988, том 26, № 2, стр. 236.

55. Марков Ю.Г. О вращении вязкоупругого шара на условно-периодической орбите в плоской круговой ограниченной задаче трех тел // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1989, № 6, стр. 23.

56. Марков Ю.Г. Некоторые вопросы приливной эволюции в движении деформируемых небесных тел // Астрономический журнал, 1996, том 73, № 5, стр. 748.

57. Марков Ю.Г., Миняев И. С. Эволюция вращения осесимметричного вязкоупругого тела на эллиптической орбите // Космические исследования, 1990, том 28, № 4, стр. 483.

58. Марков Ю.Г., Миняев И. С. К вопросу о механизме, поворачивающем плоскость спутниковой орбиты // Космические исследования, 1991, том 29, № 2, стр. 201.

59. Марков Ю.Г., Миняев И. С. Об эволюции движения системы "планета спутник" в поле притягивающего центра // Астрономический журнал, 1992, том 69, № 2, стр. 416.

60. Марков Ю.Г., Миняев И. С. Роль приливной диссипации в движении планет и их спутников // Астрономический вестник, 1994, том 28, № 2, стр. 59.

61. Мельхиор П. Физика и динамика планет. М.: Мир, 1975.

62. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.

63. Парийский Н.Н. Земные приливы и внутреннее строение Земли // Известия АН СССР. Серия геофизическая, 1963, № 2, стр. 193.

64. Приливы и резонансы в Солнечной системе / Сборник статей подред. Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975.

65. Румянцев В. В. О некоторых вариационных принципах в механике сплошных сред // Прикладная математика и механика, 1973, том 37, № 6.

66. Садов Ю.А., Сидоренко В. В. Равновесные конфигурации упругого кольца в плоскости орбиты // Космические исследования, 1986, том 24, № 5, стр. 659.

67. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983.

68. Хаббард У. Внутреннее строение планет. М.: Мир, 1987.

69. Черноусько Ф.Л. О движении вязкоупругого твердого тела относительно центра масс // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1980, № 1, стр. 22.

70. Черноусько Ф.Л., Шалаев А. С. Асимптотика сингулярных возмущений в задаче динамики твердого тела с упругими и диссипатив-ными элементами // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1983, № 3, стр. 33.

71. Andoyer , И. Cours de mecanique celeste. Paris: Gauthie-Villars, 1923.

72. Bondarenko V.V., Markov Yu.G., Veretennikov V.G. Nonlinear dynamic analysis of mechanical systems with energy dissipation // Abstracts of IUTAM / IFToMM Symposium on Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems. Riga, Latvia, 1998, page 21.

73. Demin V.G., Markov Y.G., Minyaev I.S. On the motion around the centre of mass of a viscously elastic sphere in the restricted elliptic three-body problem // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 1991, Volume 50, № 5, page 231.- 3 с з