Результаты исследования небесномеханических задач поступательно-вращательного движения деформируемых тел тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

рт& о А.

1 о М1Р 1995

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

МАРКОВ Юрий Гсоргиеиич

УДК 521.14

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕБЕСНОМЕХАНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ

Специальность 01.03.01 —Астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической механики факультета «Прикладная математика* Московского государственного апнационпого института(технический университет)

Официальние оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор

Е.А. Грсбеников

Доктор физико-математических наук

И.Л. Гсрасимоп

Доктор технических нвук, профессор

С.Н.Яшкпп

Педущм прганимцик:

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша

Защита состоится « »_ ^_1995 г. в ^ час. на

заседании специализированного совета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, шифр Д 053.05.51.

Адрес: 119899, Москва, В-234, Университетский проспект, дом 13

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке государственного астрономического института им. П.К. Штернберга МГУ (Москва, Университетский проспект, 13).

10 1

Автореферат разослан « ■'_ 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета ханд. физ.-мат. наук

Л.Н. Бондаренко

ОП1ЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Доминирующую роль п эволюции динамических характеристик планет Солнечной системы играли грапитационныс и приливные моменты. Космические исследования привели к быстрому развитию наших представлений о Солнечной системе. В последние десятилетия интерес к исследованию приливных эволюционных процессов в Солнечной системе объясняется новой информацией о планетах и их спутниках, полученных с помощью космических аппаратов, радиолокационной астрономии приведшей к уточнению и развитию существующих теорий приливной эволюции вращательного и поступательного движения небесных тел (П. Голдрайх, С. Пил, Г. Макдональд, В.В. Белецкий, В.Г. Вильке, A.A. Хентов, А.П. Маркеев и др.). В связи с этим нозникла необходимость рассматривать небесные тела как, деформируемые, что позволило внести коррективы в вопро-\ сы построения высокоточных теорий поступательно-вращательных движений небесных тел.

В основу подхода, развиваемого в данной работе положена модель, включающая рассмотрение планеты как упругого тнердого теля с диссипацией энергии при деформациях и как следствие прилишгые силы и моменты возникают естественным образом. Однако не только небесномеханические задачи планет и спутников стимулируют развитие данного направления, например, в последние годы все большее развитие получают исследования по динамике больших упругих систем — орбитальных станций, движущихся в гравитационном поле. В настоящее время это направление интенсивно развива-

стоя. Имиду трудности нижеуказанных задач, большой научный и практический интерес представляют исследования достаточно простых модельных задач, анализ которых позволяет понять закономерности движения и и более сложных случаях.

Цель работы заключается:

— в изучении приливной эволюции во вращательном и поступательно-вращательном движении планет и спутников с целью выявления небесномеханических эффектов;

— исследовании вопросов динамики механических систем с упругими и диссипатнвными элементами относительно центра масс в гравитационном поле сил;

— нахождении стационарных движений систем и исследовании их устойчивости.

Метод исследования представляет собой сочетание методов модального анализа и малого параметра. Модальный подход предполагает редукцию к системе конечного числа степеней свободы на основе аппрохеимации полей упругих деформаций конечными рядами по выбранной системе базисных функций. В качестве такой системы используются несколько собственных форм свободных колебаний упругого тела. Использование вариационных принципов позволяет •распространить формализм лаграшкевой и гамильтоновои механики на деформируемое твердое тело. Особенностью рассматриваемых задач является наличие движений с различными характерными временами, что позволяет применять асимптотические методы.

Научная новизна.

—• впервые предложена математическая модель, пключаю-щая рассмотрение планеты как упругого твердого тела с диссипацией энергии при деформациях;

— построен конструктивный алгоритм, позволяющий получать математически обоснованные результаты в асимптотическом смысле п задачах современной небесной механики на космогонических интервалах времени;

— впервые получена и исследована приближенная нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая долгопериодические режимы поступательно-вращательных движений небесных тел.

Достоверность результатов. Достоперность полученных результатов гарантируется корректностью применяемых математических методов классической механики в сочетании с методами механики сплошных сред, сравнением с результатами численного интегрирования, а также согласованностью чосношшх результатов с работами других авторов.

Практическая значимость. Результаты данной работы могут быть использованы:

1) в небесной механике деформируемых тел;

2) при создании небесномеханических теорий поступа- • телг.но-пращательного движения планет и их спутников, отвечающих точности современных наблюдений;

3) для анализа движения вокруг центра масс больших космических станций (типа «Альфа» и др.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 81 наименование. Ее общий объем 165 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы, относящейся к теме диссертации, обосновывается ее актуальность. Отмечается место и роль полученных результатов в небесной механике деформируемых тел.

Первая глава содержит необходимый материал, используемый на протяжении всей диссертации. Предлагаемая в данной работе модель планеты включает рассмотрение ее как упругого твердого тела с диссипацией энергии при деформациях. Планета, представляется состоящей из двух частей: твердой (ядро), занимающей область £li ( с плотностью pi) и упругой, которая п естественном недеформиропашюм состоянии имеет иблисть Ih и плотность pj. Но границе с твердой частью перемещения частиц упругой среды отсутствуют, другая часть границы Э£2г — свободна. Упругая среда подчиняется линейной теории вязкоупругости. Вектор ¿7* упругого смещения в случае осесимметричной упругой части с осесим-метричными граничными условиями, представляется в виде

">(F?0= X [^(O^CrVptmW^mM], (1)

t,m»0

где qim (/), Ркт (0 — обобщенные нормальные координаты (модальные переменные), описывающие движение тела но внутренним степеням свободы; Йьл (> Й^т — собственные формы свободных колебаний упругой части, соответствующие собственной частоте и удовлетворяющие условиям ортонормированности. Рассмотрены модели линейной теории упругости и вязкоупругости, кратко излагается модальный подход. Дан вчвод уравнений колебаний вращающегося осе-

симметричного упругого тела с твердой вставкой. Для получения аналитических выкладок предполагается, что каждому номеру к собственных форм уЦ, и Й^п соответствует одно значение т. Подстановкой й* в принцип Даламбера — Лаг-ранжа получается бесконечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений для обобщенных координат <7(. и р 1с, для записи которой в явном виде вычисляются коэффициенты:

Сшг ¡УцЩ<Ь, \WaWndx, (2)

\vudx, /н= \wudx (/,;= 1, 2, 3; I, к = 0, 1,2...).

Излагается метод исследования, применяемый в данной работе. Он основан на асимптотическом подходе к построению приближенных уравнений, описывающих долгопериодические движения в системах с распределенными параметрами. Движение деформированной системы как целого задается каноническими переменными I= (/| ,...,/„), <р*= (<р1,..., <рь), а уравнения движения записываются п форме уравнений Рауса:

*. Эл. зя , . ,

(,= |-2....."> <3>

(I О Н <) Н 1 •.. .. ,

-«йаПГЗй+0*-° ....."> <">

с использованием функционала Рауса Л [ 1\ <р*, и*, и*] = (7^ ф>)-- Г+ Е+ Ц), где Т,Е, 1Г —соответственно функционалы кинетической энергии системы и потенциальной энергии упругих

деформаций и массовых сил, и которых оставлены члены не нише квадратичных но <7*.

Наличие длесипатилных сил приводит к затуханию колебаний, с собственными частотами У*.

При достаточной жесткости упругого тела вводится малый параметр е, пропорциональный отношению характерной частоты со при движении системы как целого к наинизшей собственной частоте v свободных упругих колебаний. Обозначим: Г- v"1, Т\ - (хЬ v2)"' — период и характерное время затухания колебаний на наинизшей частоте v , 7о~ со"1. Предполагается, что удовлетворяются неравенства Т« Т\« Т0, или в безразмерной форме:

0<е«к«1, к= V, Ь= сом! >0. (5)

Асимптотическое решение уравнений (4) может быть построено при помощи алгоритмов для систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Затухающие колебания соответствуют части асимптотического решения типа ногранслоя. На интервалах времени порядка То и больших собственными затухающими колебаниями можно пренебречь и учитывать только регулярную часть асимптотического решения, отвечающую квазистатичс-ским режимам движения тела относительно центра масс, когда его упругие колебания являются вынужденными колебаниями под действием гравитационных сил и сил инерции. Режим движения, устанавливающийся после затухания собственных колебаний, называется долгопериодическим. Ему соответствует регулярная часть асимптотического решения (частное решение уравнений для в котором обобщенные

координаты <7» определяются как функции /, ¡р*, после чего уравнения для // и (fv не зависят от qt, Переменные qk находятся п гшде ряда .

?t= S (6)

m» I

и тогда упругое смещение будет равно

¡Лг1о" I c*mü¡,(rtt), ¡ü(f?o-(7)

m<* I tal

11си(1пмущспним япляетс» движение при котором с = 0, п поз-мущнмщими инляются силы нпутрекиего упругого взаимодействия и трения. Отбрасыванием в (7) членов порядка О (г*) и выше получаем систему независимых уравнений

2Í><Jtí« = Фц(/? vt/v (8)

в которых правая часть не зависит от qti. <7н, а сами эти урав-ч нения описывают квазистатические деформации. Решение (8) прсдстапляется п виде:

«1= 9й>- о^е2), ке= х&ю. (9)

где штрихом обозначено дифференцирование по т= at, а функция q$ получена при к= 0; qHf = <тГ2Фц ■ При определении qti необходимо полагать, что переменные I¡ и <p¡ удовлетворяют уравнениям невозмущенного движения. В рассматриваемых задачах конструкция функционала U такова, что уравнения (3) представлены так

jt ф*. e1ü*), <¿í?) + elí^/t^, elí*), (10)

где £i — малый безразмерный параметр, а {А',}, У = {У,} — периодические функции аргумента Ф*, ti?- { (i), } . При вычислении Ф'4|, имея и »иду ограничиться первым приближением метода усреднения, полагается, что 0, <Pí = (7 ). При этом в qki отбрасываются члены порядка О (ice £|). Значения обобщенных координат в квазистатическом режиме деформаций будут

Чк= е2<*42(Фц- >сеФ'/и)+ 0(eV 0(eV) + 0{e3kci). (11)

Ввиду того, что малые параметры ei и е, как правило, имеют различную физическую природу, соотношение эквивалентности между ними заранее устанавливать нежелательно.

По нтороИ глине нсслсдуютсм эффекты прилшшой пполш-ции н постумитслыю-нрищитслышм движении нланст и спутников. В начале главы изучаются вопросы эволюции быстрых вращений механической системы, представляющей осесим-метричное упругое тело с твердым ядром, п центральном ньютоновском гравитационном поле сил. В результате выявлен следующий эффект, свойственный для деформируемых систем: вращение системы вокруг центра масс замедляется, при этом модуль вектора кинетического момента системы монотонно убывает. Сам вектор момента количеств движения наклоняется в сторону плоскости орбиты центра масс, стремясь занять положение, при котором угол между нормалью к плоскости орбиты и вектором кинетического момента системы равен определенной величине, зависящей от текущего значения угловой скорости вращения системы вокруг центра масс. Когда угловая скорость тела становится сопоставима с

орбитальной, предположение о быстром вращении нарушает-#

ся, наблюдается гравитационный захват системы, при котором нектор кинетического момента стремится занять положение но пормллик плоскости орбиты.

Проведен анализ эволюции осевого вращения деформируемой планеты, обобщены известные результаты на случай осесимметричного вязкоупругого тела, содержащего изотропный упругий слой и твердое ядро. Построена фазовая картина приливной эволюции чисто осевого вращения планеты. Отмечено влияние эллиптичности орбиты на предельное движение планеты вокруг центра масс.

Далее рассмотрена эволюция движения системы планета — спутник, обусловленная приливными процессами. Исследуется знолюция орбитальных элементов — эксцентриситета и, шншжепнм i и среднего дииженмн п спутники и системе планета — спутник па интервалах времени, существенно превышающих периоды прецессии и нутации плоскости орбиты и оси симметрии планеты (и пространственном варианте задачи двух тел).

Вводится инерциальная система координат С где

точка С — барицентр системы, а ось С ^з направлена по общему моменту /^количеств движения системы Л*, который неподвижен винерциальном пространстве; С?—собст-венный кинетический момент планеты, Л — орбитальный момент центров масс Ci и Сг спутника и планеты соответственно. Взаимное движение центров масс описывается в канонических переменных Делоне L, Л, Н, I, g, h, где И— проекция —> —>

вектора Л на ось С¡U , Л = | Л |, cosi= ЯЛ"', / — средняя аномалия, Л — долгота восходящего узла, g угловое расстояние перицентра. Вращения планеты описываются в канониче-

ских переменных Лндуайе (//, <р,) (/ - 2, 3), причем ¡1= I $ I I /з= ¡2 соя 5, 8 > 0 — угол между векторами С^ и Фуикционал потенциальной энергии притяжения планеты и спутника между собой выписывается без учета членов порядка £? и выше, где £| = 1о/Я{0), /0—характерный линейный размер планеты, Я(0) — величина модуля радиус-пскто-—> —>п

ра /? = ИИ, происдснного из точки Сг в точку С\, в начальный момент времени.

Уравнения движения системы кик целого записаны в канонических переменных в форме уравнений 1'иуси. II этих уравнениях псктор упругого смещении необходимо пиринги, как функцию канонических переменных н предположении, что последние удовлетворяют уравнениям невозмущенного движения. Уравнение для й*можно получить из принципа Далам-бера — Лагранжа.

По предположению упругие приливные деформации планеты малы, так что

|й*|-0(с2), е2- /V2, со§- 1ЦЯ~3(0), (12)

где е « 1 — малый безразмерный параметр, V — наинизшая собственная частота свободных упругих колебаний планеты, |![ — гравитационный параметр спутника. При е -» 0 деформации планеты отсутствуют и для рассматриваемой задачи такое движение является невозмущенным. В невозмущенном движении недеформированная планета равномерно вращается вокруг оси симметрии СгХз с угловой скоростью \у= ф2= С~Ч2. Ось вращения планеты и плоскость орбиты спутника прецессируют вокруг неподвижного вектора при-

чем угловые скорости прецессии фз= h. Из анализа не-нозмущенного движения системы следует, что векторы С? и Л* сонсршают нутационное движение относительно пиеркпшп.ной оси СЕ#,.тик что но порядку величины

(cos 5)' - Ц)Я"3(Л- С)/51, (cosí)' - Hi Л"3(Л- CJA"1, где Л и С — экваториальный и осевой моменты инерции не-деформированной планеты причем С >А . Центры масс Ct и Сг обращаются по эллиптическим орбитам вокруг точки С. Перицентры прецессируют в плоскости орбит с угловой скоростью порядка g - (cos i)'.

Для изучения возмущенного движения (при £ * 0) вводятся физические предположения, позволяющие упростить решение задачи, перейдя к ее квазистатической постановке, согласно главе 1.

Так как для большинства спутников планет Солнечной системы наклонение мало, то целесообразно обратиться к случаю / « 1, и предположение о быстром вращении планеты снять, считая угловую скорость вращения массивной планеты постоянной vj/ ■■ cons!. Эволюционные уравнения системы будут:

зц^р'^л^а- р)*к> - р9Ъ)РФэ+

+ 4 ír2 Ф4 ] л - 4 ír2 Ф| V }, Р = « 3, (13)

р= -Ц "4 Л " ' Р [ (69Í2+ /to) Фз 1-44t2(l- Pl^íVl, io= 9e3tcai53Xo, *2= 9е3кЯ.2(й53,

*0= Р2 Z <с(vn11 - i'lltn.lj)2f on, , = 9E1 KUo'l I , m = 0

Ф4(Р)= 1+ 14 P + 105/4|)!+ 33/4|1j+ МЛ28||\

Ф3(Р)= 1+ J/6<p\ Oj(P)= 1+ ЙП- "^(l2- '/Hp5.

где Сопи , Сотзз зависят от собственных форм упругой части.

Для наглядного представления изменения л и р под действием приливных деформаций по собственным формам с к - 2 строится фазовый портрет системы (фиг. 1).

Изучено поступательно-вращательное движение системы деформируемая планета — спутник в поле притягивающего центра, как в плоском так и в пространственном варианте задачи. В плоском варианте — центр масс планеты и спутник движутся по эволюционирующим эллиптическим орбитам относительно их общего центра масс С. Сам барицентр С обращается по эллиптической орбите вокруг притягивающего центра О, и плоскости орбит совпадают. Исследована медленная диссипативная эволюция поступательно-вращательного движения системы за характерное время, существенно нреиышающее период оборота точки С по орбите. Показано, что в отличие от задачи двух тел, стационарных движений системы в рассматриваемой задаче не существует. В конечном итоге наблюдается монотонное увеличение среднего движения спутника и монотонное уменьшение радиуса его орбиты относительно планеты. Качественный характер эволюции движения системы (для круговой задачи) изображен на фазовом портрете (фиг. 2).

Фиг. 1. Фазовый портрет эволю- Фиг. 2. Фазовый портрет системы

ции движения спутника в поле мае- планета — спутник ё поле притяги-

сипит! плингтн: I — Деймос, 2 — лающею центра: -о- — система

ФаОнс Земля — Луна

В пространственном случае уравнение для угла наклона оси вращения планеты к нормали к плоскости эклиптики имеет вид

5= (кц + ¿0/2 1 51П5соя6^Х[ З(П25+ Я.2(1+ ЗСО*26) ¡Ч'Ч-

+ / г 1 ят5 соб5^-^X1 (3- 5сое25)+ 3Х2(I - 5сси26) |/2Ч<,

к0ш Яг3|сы53ц2л'6>0, к\ш |е3к«53м?Л?|'>о

(И)

>■!= \2= *<>0,«=0, 1,2) т » О т ■ О

Так как наклонение / << 1, то из (14) следует, что при прямых вращениях планеты (0 < 5 < М), угол 5 монотонно возрастает. Таким образом приливные деформации быстровраща-

ющейся планеты являются одним из факторов, влияющих на наклон ее оси вращения к плоскости эклиптики. Из уравнений для Ли Н следует уравнение для наклонения плоскости орбиты спутгшка

-*|Л"'со5б^!>.|(|+ $1П25) + 2Х2(1+ соя 2 8)^ / Ч'. (15)

Вращение деформируемой планеты воздействует на ирецес-сирующую орбиту спутника и приводит к тому, что она стремится совпасть с плоскостью эклиптики. Выявленный эффект выполняется при любых соотношениях масс спутника и планеты, и определяется наличием притягивающего центра, вызывающего прецессию орбиты спутника вокруг нормали к плоскости эклиптики.

В третьей главе методом усреднения и разделения движений получены эволюционные уравнения вращательного движения вокруг центра масс спутника с вязкоупругими стержнями и неконтактным ротором. Предполагается, что центр масс системы движется по круговой орбите в центральном ньютоновском гравитационном поле и движение спутника относительно центра масс, а также изгибные колебания стержней не влияют на его орбитальное движение. Найдены стационарные движения системы и исследована их устойчивость. Вторая задача посвящена изучению поступательно-враща-тслыюго движения деформируемого осссиммстричпого тела в центральном гравитационном поле сил. Предполагается, что тело испытывает только продольные деформации, а движение характеризуется переменными К, со, и = к е. Здесь Л — радиус-вектор, проведенный из точки притяжения в центр масс системы, о?— ее абсолютная угловая скорость, ё^— орт

оси симметрии. Ураиисния поступательно-вращательного движения системы будут:

+ ¿И-С)Ц[1- 5(Л>0. 2(Л°, о,

(16)

6 Н Л "3 ((/=■- /.¿/)цор+^(А-С)1(Л>0,ё^[г1<Л,0|-

где о?2- (5?, ё*)2- Ц/г_3[1- 3(лЧ ё*)2], ц — гравитационный параметр притягивающего центра; Цо, X.— коэффициенты собственных форм упругой системы. Найденные стационарные движения тела являются ее положениями равновесия в орбитальной системе координат при условии, что центр масс системы обращается по круговой орбите.

В заключении перечислены основные результаты работы.

На защиту выносятся следующие положения:

1) распространение методов малого параметра и модального анализа на случай осесимметричного упругого тела; получены оценки погрешностей приближенных уравнений; построен конструктивный алгоритм вычислений;

2) в результате изучения уравнений приливной эволюции во вращении деформируемой планеты установлено, что:

а) все финальные движения стремятся к одному предельному режиму — прямому вращению с угловой скоростью, равной среднему орбитальному движению центра масс,

б) ось вращения планеты стремится занять положение по нормали к плоскости орбиты,

Л) 11(1 оснонс шшлюл эволюционных уравнений поетупа-тельно-вращательного движения системы «деформируемая планета — Спутник» в поле притягивающего центра выяснено, что

а) в процессе приливной эволюции орбита спутника стремится к круговой, а радиус орбиты монотонно уменьшается;

б) вращение деформируемой планеты, воздействуя на пре-цессирующую орбиту спутника приводит к тому, что она стремится совпасть с плоскостью орбиты барицентра,

4) получены эволюционные эффекты нерезонансных вращений вязкоупругого шара на произвольной условно-периодической орбите эллиптической ограниченной задачи трех тел, а для частных случаев найдены аналитические зависимости, описывающие эволюционные процессы,

5) изучены нелинейные задачи о движении относительно центра масс систем с упругими и диссипативными элементами в центральном гравитационном ноле сил; найдены стационарные движения и исследована их устойчивость.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Все основные результаты диссертации неоднократно докладывались автором ни рмде научных семинаров: семинарах кафедры теоретической механики при мех-мате МГУ, сонете по небесной механике ГАИШ МГУ, семинаре кафедры теоретической механики МГАИ, семинаре кафедры астрономии МИИГАиК, на Научных чтениях по космонавтике (Москва, 1989, 1990, 1991, 1992).

Основное содержание диссертации полностью отражено в семнадцати опубликованных работах:

1. Эволюция вращений симметричного спутника, несущего пязкоупругую антенну вокруг центра масс на круговой орбите. Космические исследования, 1986, т. 24, вып. 1, с. 3-9.

2. Пространственное движение деформируемого тела в центральном поле сил. Космические исследования, 1988, т. 26, вып. 2, с. 236-246.

3. Эволюционные уравнения вращательного движения деформируемой планеты в ограниченной задаче трех тел. Астрономический журнал, 1989, т. 66, вып. 1, с. 126-134 (соавтор И .С. Минясв).

4. О вращении вязкоупругого шара на условно-периодической орбите п плоской круговой ограниченной задаче трех тел. Мсхшшкп твердого толп. Иэи, ЛИ СССР, 1989, N ft, С. 23-29.

5. Эволюция вращения осесимметричного пязкоупругого тела на эллиптической орбите. Космические исследования, 1990, т. 28, вып. 4, с. 483-495 (соавтор И.С. Миняев).

6. О движении спутника с вязкоупругими стержнями и неконтактными ротором вокруг центра масс па круговой орби-_ те. Космические исследования, 1990, т. 28, вып. 1, с. 35-45.

7. О поступательно-вращательном движении деформируемого осесимметричного тела в центральном поле сил. Космические исследования, 1991, т. 29, вып. 2, с. 178-182 (соавтор A.B. Демин).

8. К вопросу о механизме поворачивающем плоскость спутниковой орбиты. Космические исследования, 1991, т. 29, вып. 2, с. 201-211 (соавтор И.С. Миняев).

9.0 движении вязкоупругого тела с вибрирующей точкой подвеса. Механика твердого тела Изв. АН СССР, 1991, N 6, с. 16-23.

10. К задаче переориентации большой космической конструкции. «Седьмой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике», Москва, 1991 (соавтор A.B. Демин).

11.0 приливной эволюции наклонений и вращений небесных тел. Космические исследования, 1992, т. 30, вып. 2, с. 157164 (соавторы A.B. Демин, И.С. Миняев).

12. Об эволюции движений системы «планета — спутник» в поле притягивающего центра. Астрономический журнал, 1992, т. 69, вып. 2, с 416-427 (соавтор И.С. Миняев).

13. Динамические модели деформируемых систем в прикладных задачах механики. Учебное пособие. — М.: Изд-во МАИ: 1993,44 с.

14. Об одном эффекте и резонансном диижении деформируемых планет в ограниченной задаче трех тел. Космические исслсдошшия, 1993, т. 31, вып. 4, с. 3-11 (соавторы Ли Цзуньфэн, И.С. Миняев).

15. Об эволюции эллиптической орбиты спутника и поле деформируемой планеты, Астрономический журнил, 1994, т, 71, N 1, с. 154-160 (соавторы Ли Цзуньфэн, И.С. Миняев).

16. Роль приливной диссипации в движении планет и их спутников. Астрономический вестник, 1994, т. 28, N 2, с. 59-72 (соавтор И.С. Миняев).

17. Пространственный вариант задачи «деформируемая планета — спутник» в поле притягивающего центра. Космические исследования, 1994, т. 32. вып. 6, с. 89-98 (соавтор И.С. Миняев).

В работах, опубликованных в соавторстве (И.С. Миняев, A.B. Демин, Ли Цзюньфэн) личный вклад диссертанта заключает в постановках задач и получении научных результатов.