Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел

Сабурова, Наталья Юрьевна

Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Сабурова, Наталья Юрьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Архангельск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.03.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по астрономии на тему «Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел»

Автореферат диссертации на тему "Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел"

АРХАНГЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

САБУРОВА Наталья Юрьевна

ПОСТРОЕНИЕ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ДВУХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Специальность 01.03.01. - Астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Архангельск - 2003

Работа выполнена в Архангельском государственном техническом университете.

' I

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Видякин Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Марков Юрий Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Зленко Александр Афанасьевич

Ведущая организация Институт астрономии РАН

Защита состоится 2003 г. в й. час. мин. на заседа-

нии Диссертационного совета Д 501.001.86 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Университетский проспект, дом 13, ГАИШ МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГАИШ МГУ. Автореферат разослан

" 4 " их 2003 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук у Алексеев С.О.

У^

2ос>з~А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В последнее десятилетие в связи со значительным прогрессом в астрометрии и повышением точности наблюдений небесных тел на повестку дня встает вопрос создания адекватных по точности аналитических теорий движения. Особенно актуальным является более строгий учет взаимного влияния поступательного и вращательного движения твердых тел Солнечной системы.

Своеобразным математическим фундаментом небесной механики является задача о поступательно-вращательном движении двух твердых тел, произвольная внешняя форма и внутреннее строение которых не меняется во все время движения. Решение неограниченной задачи двух твердых тел представляет собой известную математическую сложность, поэтому во многих работах, посвященных данной проблеме, изучаются ее частные решения.

При различного рода ограничениях на динамическое строение тел и на характер их движения отыскивались стационарные и периодические решения в задаче двух твердых тел. Движение же реальных небесных тел чаще всего носит условно-периодический характер. Поэтому важное значение для практического применения имеет построение именно условно-периодических решений в задаче двух (а затем и трех) абсолютно твердых тел. В настоящее время имеется ряд исследований, посвященных построению условно-периодических решений в задаче двух и трех твердых тел. Однако эти исследования содержат разного рода ограничения, такие как

• ограничения на форму рассматриваемых тел (например, осесимметрич-

• ограничения на массу исследуемых тел - так называемые спутниковые задачи, где пренебрегается влиянием одного из тел на движение другого;

ное);

юНА,

1 ~.г;утекА оэ

* задание орбиты одного из тел;

• учет в разложении силовой функции лишь гармоник до второго (четвертого) порядка.

В работах, посвященных построению условно-периодических решений, в качестве малого параметра, как правило, выбиралась следующая величина:

где С20 - стоксова постоянная планеты; го - экваториальный радиус планеты; р - фокальный параметр орбиты. При этом, естественно, предполагалось, что тела мало отличаются от сфер и расстояние между ними много больше их линейных размеров. Однако данное предположение остается справедливым не для всех тел Солнечной системы. Известно, что размеры тел системы Земля-Луна, системы Плутон-Харон, некоторых двойных астероидов сравнимы с расстоянием между ними. Кроме того, неправильные формы астероидов указывают на то, что их стоксовы постоянные далеки от нулевых значений. Для таких систем выбор малого параметра по формуле (1) является малоэффективным. Поэтому необходимо разработать новую методику выбора малого параметра, которая бы позволила исследовать новые классы задач и получать более точные решения ранее исследованных задач.

Настоящая диссертация посвящена построению условно-периодических решений в общей задаче поступательно-вращательного движения двух абсолютно твердых тел.

Под общей задачей поступательно-вращательного движения двух твердых тел понимается задача, в которой не требуется чтобы:

• исследуемые твердые тела по своему динамическому строению были близки к сферическим (т.е. все постоянные Стокса были близки к нулю);

• расстояние между центрами инерции исследуемых твердых тел было достаточно велико по сравнению с их линейными размерами.

(1)

Основной целью диссертации является разработка методики построения стационарных и условно-периодических решений в общей задаче двух абсолютно твердых тел, а также апробация данной методики на'примере конкретной системы двух твердых тел.

Также новизна работы заключается в использовании, при построении условно-периодических решений задачи, разложения силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел в виде общего ряда, не ограничиваясь заранее числом учитываемых гармоник разложения. Это позволяет получать решения с любой необходимой точностью.

Работа представляет практическую значимость, поскольку разработанная в ней методика построения условно-периодических решений в общей задаче двух твердых тел может быть применима для решения круга задач, связанных с исследованием поступательно-вращательпого движения двойных объектов Солнечной системы (Плутон-Харон, Сатурн-Атлас, Сатурн-Телесто, двойные астероиды).

Результаты, выносимые на защиту:

1. Разложение силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел произвольной формы в ряд по стоксовым постоянным одного из тел и моментам инерции другого тела.

2. Условия существования кеплеровских движений в случае Дубошина.

3. Новый подход к выбору малого параметра.

4. Формулы условно-периодических решений общей задачи о поступательно-вращательном движении двух твердых тел.

5. Методика численного интегрирования точных уравнений поступательно' вращательного движения двух твердых тел.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и симпозиумах:

1. Научная конференция "Новые результаты аналитической и качественной небесной механики", Москва, ГАИШ, 5-6 декабря 2000г.

2. Всероссийская астрономическая конференция, Санкт-Петербург, СПбГУ, 6-12 августа 2001г.

3. Четвертый международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 15-20 августа 2001г.

4. Международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, МАИ, 11-18 августа 2002г.

5. Международная конференция "Небесная механика - 2002: результаты и перспективы", Санкт-Петербург, ИПА РАН, 10-14 сентября 2002г.

Публикации и вклад автора. Основные результаты работы изложены в 12 публикациях, перечисленных в конце автореферата. В совместных работах [1] и [2] Видякину В.В. и Журавлеву С.Г. соответственно принадлежит постановочная часть задачи. Решение поставленных задач осуществлено автором.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и двух приложений. Она изложена на 126 страницах, содержит 2 таблицы и 5 рисунков. Список литературы включает 80 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, практическая значимость результатов работы, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации, указаны печатные работы, в которых отражены основные результаты.

В первой главе кратко излагается общая теория построения условно-периодических решений канонических систем дифференциальных уравнений; дается краткий обзор имеющихся работ, в которых исследовались стационарные и условно-периодические решения проблемы поступательно-вращательного движения твердых тел в рамках спутниковых вариантов задачи двух тел.

Вторая глава посвящена разложению силовой функции взаимного притяжения двух абсолютно твердых тел. Здесь дается краткий обзор имеющихся разложений силовой функции, а также приведен вывод разложения силовой функции двух твердых тел в ряд по стоксовым постоянным, коэффициенты которого зависят от углов Эйлера и от сферических координат центра инерции второго тела в системе координат с началом в центре инерции первого тела (при этом оси координат сохраняют неизменную ориентацию). Вывод разложения основан на преобразовании сферических функций при повороте и сдвиге системы координат. Проведено преобразование указанного разложения к переменным Делоне-Андуайе. Исходя из полученного разложения, дается представление силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел в случае Дубошина. Случай Дубошина - это случай плоского движения двух осесимметричных тел, оси вращения которых во все время движения остаются перпендикулярными плоскости орбиты.

На тот случай, если стоксовы постоянные тел неизвестны, но известны моменты инерции тел, автором получены формулы, выражающие стоксовы

постоянные п-го порядка через моменты инерции тела того же порядка.

В третьей главе формулируется основная задача: построить условно-периодические решения в задаче двух абсолютно твердых тел.

Данная проблема рассматривается в рамках классической задачи поступательно-вращательного движения двух абсолютно твердых тел М\ и М2, элементарные части которых взаимно притягиваются по закону Ньютона. При этом предполагается, что тела имеют произвольную внешнюю форму и внутреннее строение и не имеют общих частей.

Движение тел исследуется в относительной системе координат с началом в центре масс тела М\, оси координат сохраняют неизменное направление. Для описания движения используются канонические переменные Делоне-Андуайе

Р = (¿,¿1,-^2,^1,(72, б, Я, #1,Я2),

4= (1,к,12,9и92,9, Ь, Ль/г2)-Система дифференциальных уравнений поступательно-вращательного движения двух твердых тел имеет восемнадцатый порядок и может быть представлена в векторной форме

. а*1 . д^

Гамильтониан ^ имеет вид

^ = Яоо + Яь (2)

И - ^

G) | ~ hj L2 ,hj hjhj 3.

,, , ч mim2

v = f(mi + m2), T) = ———;

mi + 7712

/ - гравитационная постоянная;

Iij, hj, hj (j = 1,2) — главные центральные моменты инерции тела Mj\

(3)

тп; - масса тела М,-; к

СО sJj = ~4",

U - силовая функция взаимного притяжения тел М\ и М2\ г - расстояние между центрами инерции тел.

Силовая функция задачи выражается через переменные Делоне-Андуайе следующим образом:

U = fmim2 е е е е Jh-j+1 \tfmnk'gfmcnk' + fjmnk'sjmsnk,+

, rSC q(.l)r(2) , rCS r(V o(2) 1 . "Г 1 jmnk'°jm^nk' T 1 jmnklLjjmJnk'j >

Tfmnk' ~ 2kjmnk'Re[Zjnmk' + (—l)mZj„-mk'] ,

rfmnk' — 2,kjmnyRe [— Zjnmki + (—1 )mZjnt-mk'] , Tjmnk1 ' 2kjmnk>Im [Zjnmk' — (—1 )mZjn-mk'] ,

(4)

rfmnk' — Zkjmnh'Im [ZJnmk> + (—1 )mZjnt-mk'] ;

{j + m)\(n + k')) 11/2

kjmnk' = (-l)m+fcV

(2j + l)(j — m)!(2n + l)(n — &')!

n+j n j j n oo . 1

zjnmk> = E E E E E E

p=0 k=-n m'=-j m"=-j k"=-n 9=-oо

(2j + 2n - 2p)!(2p)!(j + n + m! + к)!

1/2

(j - m')!(j + m')! (j + n _ m' _ jfc)!(2j + i)(2n + 1)11/2 (-1 )k+k'+m'+™+i

(n + k)\(n — k)\

2 i+np\(j + n-p)\'

x ехрг

m"gi - m'hi - ml\ + k"g2 - kh2 - k'l2 + ql + (j + n — 2p)g+

+(rri + k)h + ^(j + n — k' — m)

¿1

сов-) (зт-)

Здесь 5« - постоянные Стокса для тела М,- (_;' = 1,2; п = 0,1,2,...;

Л = 0,1,2,..., п);

Ле и /ш в формулах (4) означают действительную и мнимую часть функ-

Х*'к(е) - коэффициенты Ганзена;

щ - некоторый параметр, связанный с телом М,- и имеющий единицы дли-

переменные а, е, I, (7 = 1,2) связаны с переменными Делоне-Андуайе следующим образом:

За невозмущенное движение принимается движение двух осесимметрич-ных тел, которые в случае Дубошина допускают кеплеровские движения.

Найдены достаточные условия существования кеплеровских движений двух твердых тел в случае Дубошина.

В четвертой главе находятся стационарные решения в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. При построении стационарных решений накладываются определенные условия на динамические параметры тел и на параметры, характеризующие движение твердых тел. Предполагается, что форма тел близка к осесимметричной. Траектории центров инерции лежат вблизи некоторой плоскости. Оси вращения почти перпендикулярны этой плоскости. Движение тел предполагается близким

ции;

ны;

к частному случаю, в котором центры инерции твердых тел двигаются по кеплеровской орбите.

Малый параметр вводится следующим образом:

ц = тах 11 sin | sin || (j = 1,2); | sin SP, D j ,

где I, íj, J¡ - значения, ограничивающие сверху переменные /, I}, J¡ (j = 1,2) в искомом частном решении;

SP = max{|S$|, * = 1,2,3,..., n; п = 2,3,4,..., щ i = 1,2},

D = max{|í/W|,n = 3,5,7,...,2

+ 1}.

п .2.

п - некоторое натуральное число, определяющее порядок, до которого будут учитываться гармоники в разложении силовой функции задачи и, квадратные скобки означают целую часть числа,

т = и(°]

(гох + гог)""1'

где и№ - коэффициенты разложения силовой функции в случае Дубошина:

/т 00 и(0)

71=1 Т

(нечет)

2п+1п\]\ •

(^Ч-тг-чет)

Таким образом, малый параметр характеризует отличие рассматриваемых движений и параметров тел от частного случая кеплеровского движения двух осесимметричных тел в случае Дубошина.

С целью исключения короткопериодических членов возмущающей функции #1 вместо переменных Делоне-Андуайе (р, я) вводятся новые переменные (Р, <3)

Р = (Р1,...,Р9), Я =

посредством канонического преобразования с производящей функцией

т> № дБ

р = р + я =

Показывается, что при отбрасывании в гамильтониане новой осреднен-ной системы членов второго и более высокого порядка малости относительно малого параметра ц, эта система может обладать стационарными решениями. Угловые переменные на стационарном решении удовлетворяют следующим соотношениям:

<?7 - =

<?7 - Яэ =

(5)

7г

<Эб = 2 +

2з- целые числа.

С учетом соотношений (5) находятся зависимости между переменными а, ё, I, /ь /2, Л, /2:

дН\ дё

дНх

ад

о,

= о,

дН\ дI

дНх дк

= 0,

= 0.

(6)

Функция Н\ = Й^а, ё, 1,1\, /2, 3\, 3^) содержит вековые и долгопериодиче-ские члены возмущающей функции задачи Н\. Переменные а, ё, /, Д, /г, Д, связаны с переменными Р следующими формулами:

Ру

СОЭ 1\ =

со =

Ра'

Ре'

сое 7г

с08 л

г рз сое Зг - — ,

"ь

а =

о '• Т]г1■/

Результат исследования системы (6) зависит от конкретной задачи. В заключение четвертой главы приведен пример построения стационарных решений для системы двух твердых тел с параметрами, близкими к параметрам системы Сатурн и его спутник Атлас. Стационарные решения для рассматриваемой задачи имеют вид

а = 2,2705574; = 0,292262 г;

ё = 0,122000; <Э2 = -0,016830 г;

1=0,0001; <5з = 0,292378 г;

/1 = 0,0001; <54 = 0,413047 г;

/2 = 0,0001; = 0,6179 • 10"6 т;

£1 = 8344508036; Я6 = тг/2;

<?2 = 0,10188 • 10"7; <?7 = 0; Л = 0,0001; д8 = 0;

Л = 0,0001; <Э9 = 0,

61 = Р4, С?2 = Д, т - безразмерное время (за единицу времени принята величина, равная 0,028 сут.).

Найденные семейства стационарных решений являются промежуточными решениями рассматриваемой задачи и позволяют построить в их окрестности условно-периодические решения.

В пятой главе осуществляется в первом приближении построение условно-периодических решений в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. Для удобства проведения последующего численного интегрирования и сравнения результатов условно-периодические решения построены не только в переменных Делоне-Андуайе, но и в более "наглядных" смешанных переменных: кеплеровские позиционные переменные а, е, I - для поступательного движения и углы Л), характеризующие ориентацию вектора кинетического момента вращательного движения тела М] относительно системы координат, жестко связанной с этим телом, и (модуль вектора С^ ) - для вращательного движения {] = 1,2); в качестве

угловых переменных сохраняются угловые переменные Делоне-Андуайе.

В шестой главе проводится количественный анализ задачи о поступательно-вращательном движении двух твердых тел в одном частном случае с целью выяснения эффективности используемого метода. Количественный анализ состоит из следующих операций:

1) вычисление условно-периодических решений по формулам, полученным в пятой главе, и их графическое представление;

2) численное интегрирование точных уравнений движения для рассматриваемого случая;

3) сравнение результатов расчетов по аналитическим формулам с результатами численного интегрирования.

В качестве параметров исследуемой системы тел, как и прежде, используются параметры системы Сатурн и его спутник Атлас.

Первое приближение к условно-периодическому решению для данной задачи имеет вид

а = а- 0,2405 • Ю-8 • cos 4очт - 0,2159 ■ Ю-6 • cos 3 щт--0,2293 • Ю-5 ■ cos2ш\т - 1,8418 • Ю-5 • coso-ir,

е = ё - 0,4276 • Ю-8 • cos 4ü>iT - 0,3840 • 10~6 • cos 3¿it--0,4077 ■ 10~5 ■ cos 2¿Dir - 3,2750 ■ 10"5 • cosw2r,

1 = 1, G i = Gi, Gi = <J?2i

h = h, h = h, J\ = Ji, J2 - J2,

l = 1 + 0,4705 • Ю-7 • sin4wir + 0,3160 • lO"5 ■ sin 3¿>it+ +3,3070 • 10"5 • sin 2¿¡>iT + 2,6172 • 10~4 • sin ¿ir,

к = к, к = к, 91 = ди 92 = <?2,

9 = 9 + 0,1016 • 10"7 • 8т4а>1Т - 0,2889 • Ю-5 • зшЗйт--3,1942 • Ю-5 • 8ш2Ш1Т - 2,5989 • Ю-4 • втоцт,

Н = Л, = /11, /12 = /&2) ¿>1 = 0,292262.

На рис. 1 представлены разности

Да = а — а, Де = е — ё, Д 1 = 1 — 1, Ад = д — д.

2*10л(-5) 1*10л(-5) А а Л л. /г 4*10л(-5) 3*10л(-5) 2*10л(-5) 1*10л(-5) Ае Л Л А

-1п0л(-5) -2*10л(-5) Г /50 -1*10л(-5? -2*10л(-5) -3*10л(-5) -4*10л(-5) / 10 \20 / 30 ]ю /50

3*10л(-4) А л / \ /\ 3*10л(-4) * Л Л

2*10л(-4) 2*10л(-4)

1*10л(-4) 1 \ 1 \ 1 г 1*10л(-4)

0 -1*10л(-4) 1й 20 30\ 40 50 -1*10л(-4) № 20 30 401 50

-2*10л(-4) -2*10а(-4) V/ V/ V/

-3*10л(-4) -3*10а(-4)

Рис. 1. Периодические возмущения большой полуоси о, эксцентриситета е, средней аномалии I, аргумента перицентра д

Численное интегрирование точных уравнений движения проводилось с использованием интегратора ИАОА27. В масштабах графиков результаты, полученные по аналитическим формулам и в процессе численного интегрирования, на начальном интервале времени совпадают.

Обнаружены следующие наибольшие отклонения: 1) по большой полуоси а:

Адтеор. ~ Аочисл.

Аатеор.

2) по эксцетриситету е:

Де.

теор,

- Де

числ.

Ае

теор.

3) по средней аномалии /:

А^геор. ~~ АI'

числ.

теор.

4) по аргументу перицентра д:

Адтеор. ~ Адчисл.

Аатеор.

1,20%;

' 0,98%;

1,02%;

> 0,87%.

Практически полное совпадение кривых, соответствующих расчетам по аналитическим формулам и численному интегрированию, указывает на перспективность использования метода построения условно-периодических решений в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух абсолютно твердых тел.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

В приложении А приводится ряд утверждений, которые были использованы при построении условно-периодических решений.

В приложении В дано разложение силовой функции взаимного притяжения двух абсолютно твердых тел в ряд, коэффициенты которого зависят от стоксовых постоянных одного из тел и обобщенных моментов инерции второго тела, полученное автором в работе [5].

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Видякин В.В., Сабурова Н.Ю. Разложение силовой функции двух твердых тел. / Новые результаты аналитической и качественной небесной механики. Тез. докл., Москва, ГАИШ, 2000. - С. 29.

2. Журавлев С.Г., Сабурова Н.Ю. О новых подходах построения условно-периодических решений в задаче двух твердых тел. / Новые результаты аналитической и качественной небесной механики. Тез. докл., Москва, ГАИШ, 2000. - С. 38.

3. Видякин В.В., Сабурова Н.Ю. Периодические движения двух осесиммет-ричных тел. / Всероссийская астрономическая конференция. Тез. докл., СПб: НИИХ СПбГУ, 2001. - С. 156-157.

4. Сабурова Н.Ю. Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел. / Четвертый международный симпозиум по классической и небесной механике. Тез. докл., Великие Луки: ВЦ РАН, 2001. -С. 144-145.

5. Сабурова Н.Ю. Об одном представлении разложения силовой функции взаимного притяжения двух абсолютно твердых тел. // Труды кафедры прикладной математики АГТУ, вып.1, Архангельск: Солти, 2001. -С. 23-68.

6. Сабурова Н.Ю. Метод построения условно-периодических решений в задаче двух твердых тел. / Международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям. Тез. докл., Москва, МАИ, 2002. - С. 103.

7. Saburova N.Yu. Comparison of conditionally periodic solutions with the résulte of numerical intégration in the two rigid body problem./ IAA Transactions. No.8. Celestial Mechanics, St. Petersburg: Inst. Appl. Astron. of Russian Acad. of Sciences, 2002. - P. 153-154.

8. Сабурова Н.Ю. Построение стационарных решений в задаче двух твердых тел. // Труды кафедры прикладной математики АГТУ, вып.2, Архангельск: Солти, 2002. - С. 47-79.

9. Сабурова Н.Ю. Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел. // Труды кафедры прикладной математики АГТУ, вып.2, Архангельск: Солти, 2002. - С. 80-102.

10. Сабурова Н.Ю. Асимптотический метод последовательных канонических замен переменных в задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. // Вычислительные методы и программирование, 2003.

■ Т.4. - С. 94-103. (http://www.srcc.msu.su/nura-meth)

11. Сабурова Н.Ю. Условно-периодические движения твердых тел. Архангельск: Солти, 2002. - 129с.

12. Сабурова Н.Ю. Стационарные решения в задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. // Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, 2003. №1. - С. 66-94.

65*47-19

Чп/

Издательское бюро «Ивлев и компания», ул.Попова 18, тел.65-47-19

Отпечатано с готового оригинала. Подписано к печати 08.08.2003 г. Формат 60x90/16. Печать - ризография. Пет. л. 1.2. Тираж 100 экз. Заказ 537.

Q.OO з-А

~ \j4jï > 1343 8

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Сабурова, Наталья Юрьевна

Введение

1. Общая теория построения условно-периодических решений гамильтоновых систем

1. Постановка задачи.

2. Исключение короткопериодических членов гамильтониана

3. Стационарные решения.

4. Построение условно-периодических решений.

2. Силовая функция взаимного притяжения двух твердых тел

1. Некоторые сведения о сферических функциях.

2. Силовая функция взаимного притяжения двух твердых тел

3. Силовая функция в случае Дубошина.

4. Силовая функция в переменных Делоне-Андуайе

5. Переход к действительным постоянным Стокса.

6. Связь между постоянными Стокса и моментами инерции тела.

3. Дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения двух твердых тел в переменных Делоне-Андуайе

1. Уравнения движения в обобщенных координатах.

2. Невозмущенное движение.

Интегрирование невозмущенной задачи.

Уравнения движения в оскулирующих элементах Возмущающая функция задачи.

4. Стационарные решения в задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел

1. Выбор малого параметра.

2. Исключение короткопериодической части гамильтониана

3. Условия существования стационарных решений.

4. Пример стационарного решения

5. Условно-периодические решения в задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел

1. Производящая функция.

2. Условно-периодические решения.

2.1. Условно-периодические решения в переменных (P,Q).

2.2. Условно-периодические решения в смешанных переменных

6. Сравнение условно-периодических решений с результатами численного интегрирования

1. Расчет решений по аналитическим формулам.

2. Численное интегрирование.

Введение диссертация по астрономии, на тему "Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел"

В последнее десятилетие в связи со значительным прогрессом в астрометрии и повышением точности наблюдений небесных тел на повестку дня встает вопрос создания адекватных по точности аналитических теорий движения. Особенно актуальным является более строгий учет взаимного влияния поступательного и вращательного движения твердых тел Солнечной системы.

Начало систематическому изучению поступательно-вращательного движения небесных тел было положено прежде всего пионерскими работами В.Т.Кондураря [43] - [48] и фундаментальными работами Г.Н.Ду-бошина [29] - [32]. Постановка задачи, вывод дифференциальных уравнений, описывающих совместное поступательно-вращательное движение абсолютно твердых тел, были даны в 1958г. Г.Н.Дубошиным [29]. Эта работа фактически положила начало активного исследования поступательно-вращательного движения твердых тел в достаточно общем виде.

На очереди стоит построение общей теории поступательно-вращательного движения тел .- так охарактеризовал состояние дела по этому вопросу Г.Н.Дубошин [33]. "Было бы уместно, - продолжает он далее, - строить новую теорию движения планет, исходя из общей теории поступательно-вращательного движения тел, рассматриваемых хотя бы как абсолютно твердые".

Дальнейшее развитие и исследование поступательно-вращательного движения в различных задачах небесной механики осуществляли многочисленные последователи и ученики Г.Н.Дубошина и В.Т.Кондураря - (цитируются в алфавитном порядке) Баркин Ю.В., Видякин В.В., Гамарник Н.И., Демин В.Г., Журавлев С.Г., Маркеев А.П., Хорсева Л.Ю. и многие другие.

С учетом вышесказанного ясно, что задачи поступательно-вращательного движения небесных тел являются относительно "молодыми" (прошло чуть более 40 лет со времени появления основополагающих работ Г.Н.Дубошина, В.Т.Кондураря, В.В.Белецкого).

В зарубежной литературе работы по данной тематике начали появляться несколько позже. Прежде всего можно отметить работы H.Kino-shita [64], M.Pascal [66] - [67], M.Sidlichovsky [69] - [74].

He смотря на то, что основная масса исследователей занималась изучением поступательного (см. обзор [8]) и вращательного [9, 57, 58] движения, тем не менее к настоящему времени количество публикаций, посвященных исследованию поступательно-вращательного движения, значительно выросло и уже написано несколько обзоров по данной тематике [8, 13, 38, 39].

При различного рода ограничениях на динамическое строение тел и на характер их движения отыскивались стационарные [10,11,14,15,16, 27, 30, 31, 32, 43, 44, 45, 46, 47] и периодические решения [7, 18, 28, 46] в задаче двух твердых тел. Движение же реальных небесных тел чаще всего носит условно-периодический характер. Поэтому важное значение для практического применения имеет построение именно условнопериодических решений в задаче двух (а затем и трех) абсолютно твердых тел. В настоящее время имеется ряд исследований, посвященных построению условно-периодических решений в задаче двух и трех твердых тел [34, 36, 38, 41]. Однако эти исследования содержат разного рода ограничения, такие как

• ограничения на форму рассматриваемых тел (например, осесим-метричное);

• задание орбиты одного из тел;

• учет в разложении силовой функции лишь гармоник до второго (четвертого) порядка.

В работах, посвященных построению условно-периодических решений в качестве малого параметра, как правило, выбиралась следующая величина [34]: где Сго - стоксова постоянная планеты; го - экваториальный радиус планеты; р - фокальный параметр орбиты. При этом, естественно, предполагалось, что тела мало отличаются от сфер и расстояние между ними много больше их линейных размеров. Однако данное предположение остается справедливым не для всех тел Солнечной системы. Известно, что размеры тел системы Земля-Луна, системы Плутон-Харон, некоторых двойных астероидов сравнимы с расстоянием между ними. Кроме того неправильные формы астероидов указывают на то, что их стоксовы постоянные далеки от нулевых значений. Для таких систем выбор малого параметра по формуле (0.1) является малоэффективным.

0.1)

Поэтому необходимо разработать новую методику выбора малого параметра, которая бы позволила исследовать новые классы задач и получать более точные решения ранее исследованных задач.

Основной целью диссертации является разработка методики построения стационарных и условно-периодических решений в общей задаче двух абсолютно твердых тел, а также апробация данной методики на примере конкретной системы двух твердых тел.

Научная новизна работы заключается в новом подходе к выбору малого параметра, в качестве которого выбирается величина, характеризующая отличие исследуемых твердых тел от твердых тел, центры инерции которых двигаются по кеплеровской орбите. При этом не требуется, чтобы тела были близки к сферам, и чтобы расстояние между телами было много больше их линейных размеров, как это было в работах других авторов, посвященных построению стационарных и условно-периодических решений твердых тел. Также новизна работы заключается в использовании, при построении условно-периодических решений задачи, разложения силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел в виде общего ряда, не ограничиваясь заранее числом учитываемых гармоник разложения. Это позволяет получать решения с любой необходимой точностью.

Работа представляет практическую значимость, поскольку разработанная в ней методика построения условно-периодических решений в общей задаче двух твердых тел может быть применима для решения нового круга задач, связанных с исследованием поступательно-вращательного движения двойных объектов Солнечной системы (Плу-тон-Харон, Сатурн-Атлас, Сатурн-Телесто, двойные астероиды).

В диссертационной работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту.

2. Условия существования кеплеровских движений в случае Дубоши-на.

3. Новый подход к выбору малого параметра.

5. Методика численного интегрирования точных уравнений поступательно-вращательного движения двух твердых тел.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и двух приложений.

Заключение диссертации по теме "Астрометрия и небесная механика"

Заключение

Основным результатом диссертации является разработка методики построения стационарных и условно-периодических решений в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух абсолютно твердых тел, а также апробация данной методики на примере конкретной системы двух твердых тел.

При разработке этой методики получены следующие результаты:

1. Получено разложение силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел произвольной формы в ряд по стоксовым постоянным одного из тел и моментам инерции другого тела.

2. Найдены условия существования кеплеровских движений в случае Дубошина.

3. Разработан новый подход к выбору малого параметра, позволяющий решать новый класс задач поступательно-вращательного движения двух твердых тел. В качестве малого параметра выбирается величина, характеризующая отличие исследуемых тел от твердых тел, центры инерции которых двигаются по кеплеровской орбите. При этом не требуется, чтобы тела по своему динамическому строению были близки к сферическим, и расстояние между ними было много больше линейных размеров тел.

4. В окрестности найденных стационарных решений построены условно-периодические решения в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. При построении указанных решений использовалось представление силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел в виде общего ряда (заранее не вводилось ограничение на число используемых гармоник разложения).

5. Осуществлено численное интегрирование точных уравнений поступательно-вращательного движения двух твердых тел и проведено сравнение найденных аналитически условно-периодических решений с результатами численного интегрирования. Практически полное совпадение аналитических кривых и кривых численного интегрирования указывает на эффективность использования метода построения условно-периодических решений в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел.

Разработанная методика построения условно-периодических решений в общей задаче двух абсолютно твердых тел представляет известную практическую значимость, поскольку может быть применима для решения круга задач, связанных с исследованием поступательно-вращательного движения двойных объектов Солнечной системы (Плутон-Харон, Сатурн-Атлас, Сатурн-Телесто, двойные астероиды).

В заключение выражаю искреннюю признательность профессору В.В.Видякину за научное руководство работой, за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе.

Список источников диссертации и автореферата по астрономии, кандидата физико-математических наук, Сабурова, Наталья Юрьевна, Архангельск

1. Абалкин B.JL, Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. - М.: Наука, 1976. - 864 с.

2. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. — М.: Наука, 1977. — 360 с.

3. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. — М.: Наука, 1986. 320 с.

4. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике. // Успехи матем. наук, 1963. Т. 18, №6. - С. 92 - 191.

5. Баркин Ю.В. О плоских периодических движениях твердого тела в поле притяжения шара. // Астрон. ж., 1976. — Т. 53, №5. — С. 1110-1119.

6. Баркин Ю.В. Уравнения поступательно-вращательного движения небесных тел в оскулирующих элементах. // Астрон. ж., 1977. — Т. 54, Ш. С. 413 - 424.

7. Баркин Ю.В. Плоские периодические движения двух твердых тел. // Вестник МГУ, Сер. физ., астрон., 1977. Вып.18, №5. -С. 67 - 74.

8. Баркин Ю.В., Демин В.Г. Поступательно-вращательное движениенебесных тел. / Итоги науки и техники АН СССР. Сер. Астрономия, Т. 20 М.: ВИНИТИ, 1982. - С. 87 - 207.

9. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. // Искусств, спутники Земли, 1958. — Вып. 1.- С. 25 43.

10. Белецкий В.В. Некоторые вопросы поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском поле сил. // Искусств, спутники Земли, 1963. — Вып. 16. — С. 68 93.

11. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. — М.: Наука, 1965. — 217 с.

12. Видякин В.В. Разложение силовой функции двух однородных сфероидов с несовпадающими плоскостями симметрии. // Астрон. ж., 1972. Т. 49, Ш. - С. 641 - 646.

13. Видякин В.В. Задча о поступательно-вращательном движении двух абсолютно твердых тел. Архангельск, 1992. - 185 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.06.92, ДО1496-В92.

14. Видякин В.В. Поступательно-вращательное движение абсолютно твердых тел. Учебное пособие. Архангельск: Поморск. международный педагог, ун-т, 1995.- 155 с.

15. Видякин В.В. Поступательно-вращательное движение двух твердых тел. Учебное пособие. — Архангельск: ДКПО "Норд", 1996.- 184 с.

16. Видякин В.В., Емельянов Н.В., Меньшикова Т.В., Самбур-ская Е.В. Поступательно-вращательное движение двух твердых тел. Учебное пособие. 4.2. Архангельск: ИПЦ АГТУ, 1997. — 162 с.

17. Видякин В.В., Попова И.Г. Разложение силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел произвольной формы в ряд по сферическим функциям. // Астрон. ж., 1999. — Т.7. — С. 641 -646.

18. Волков М.С. Плоские периодические движения в задаче двух тел конечных размеров, обладающих плоскостью симметрии. // Бюлл. ин-та теор. астрон. АН СССР, 1962. — Т.8, №4. — С. 299 315.19