Стационарные движения твердого тела в ограниченной круговой задаче трех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА I. Разложение пертурбационной функции в спутниковых задачах.

§ 1.1. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

§ 1.2. Разложение силовой функции двух тел в ряд по сферическим функциям.

§ 1.3. Представление силовой функции двух гравитирующих тел в элементах Делоне-Андуайе.

§ 1.4. Разложение пертурбационной функции в спутниковых задачах, обусловленной действием возмущающей массы.

ГЛАВА П. О некоторых стационарных движениях твердого тела в ограниченной круговой задаче трех твердых тел.

§ 2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Метод Хори-Ли.

§ 2.3. Нерезонансный случай.

§ 2.4. Резонанс Х = 1.

ГЛАВА Ш. Лагранжевы и эйлеровы стационарные движения в ограниченной круговой задаче трех твердых

§ 3.1. Постановка задачи.

§ 3.2. Лагранжевы решения при £-тп/(т0 + м^).

§ 3.3. Лагранжевы решения при Е = /(т^т^

§ 3.4. Эйлеровы стационарные решения.

ГЛАВА 1У. Устойчивость лагранжевых и эйлеровых стационарных движений ограниченной круговой задачи трех тверцых тел.

§ 4.1. Уравнения движения в первом приближении.

§ 4.2. Устойчивость лагранжевого движения при cos ко=0.

§ 4.3. Устойчивость лагранжевого движения относительно переменных к и в.

§ 4.4. Устойчивость лагранжевого движения при senk^O.

§ 4.5. Устойчивость лагранжевого движения при s¿nG=0 .ПО

§ 4.6. Устойчивость коллинеарных точек либрации.

§ 4.7. Стационарные движения твердого тела в поле притяжения однородного шара.

Теория поступательно-вращательного движения гравитирующих твердых небесных тел - один из крупных современных разделов небесной механики. Ее отличие от известных классических теорий о вращательном движении небесных тел заключается в том, что поступательное и вращательное движения тел рассматриваются с учетом их взаимосвязи¿Одной из основных задач этой теории является задача о движении двух и трех твердых тел. Здесь выкристаллизовались два основных направления / 9 /:

1) Изучение частных решений и качественные исследования свойств движения системы твердых тел. Известные в этой области результаты получены с помощью точных методов теории устойчивости и метода малого параметра А.Пуанкаре.

2) Применение асимптотических методов интегрирования,основанных на идее осреднения, которые приобрели особое значение в связи с их математическим обоснованием и обобщением /22,23/.

Первые частные решения пространственной задачи двух тел были найдены Г.Н.Дубошиным /28-30/ и названы "спица", "стрела", "поплавок".

Вопрос о положениях относительного равновесия твердого тела и их устойчивости рассматривался В.В.Белецким /10,11/, В.Г.Деминым /24/, В.Т.Кондурарем /35,40/, В.В.Румянцевым /60,61/, Ф.Л. Черноусько /63-65/, Н.КтоьЫо /84,85/, Т.Ф.Осиповым /55/.

Результаты этих исследований для двух осесимметричных тел были обобщены Г.Н.Дубошиным /73,78,79/.

Проблеме приближенного построения общего решения в задаче двух взаимно гравитирующих тел и теории периодических решений Пуанкаре посвящены прежде всего работы М.С.Волкова /20/, Ю.В.Барки-на /7,8/, В.Т.Кондураря /36-39/, В.Г.Дёмина /25,26/, ЪХфоьЫо. у /

86/, М. SidEicfiovsky /96,97/, подробный анализ которых содержится в обзоре Ю.В.Баркина и В.Г.Дёмина / 9 /.

В настоящее время заметно возрос интерес к задаче трех тел, особенно получила развитие обобщенная задача о поступательно-вращательном движении трех тел конечных размеров. Большое внимание уделяется изучению движения спутника в окрестности какой-нибудь точки либрации в связи с проектами создания вблизи них космических станций. В частности, точки либрации LR в системе Земля-Луна может быть использована для запуска ретрансляционной станции, обеспечивающей радиосвязь с обратной стороной Луны /46/, а треугольные точки либрации L^ и /L. предполагается использовать для уточнения отношения массы Земли к массе Луны по наблюдениям за движением искусственного спутника в окрестности указанных точек /67/.

Исследование лагранжевых и эйлеровых частных стационарных решений как в ограниченной, так и в неограниченной обобщенной задаче трех твердых тел при самых различных предположениях о геометрии масс взаимногравитирующих тел проводилось В.Т.Кондурарем и Т.К.Шинкарик /41,69/, В.В.Видякиным /17-19/, Г.Н.Дубошиным /36,76,77/.

Анализ стационарных движений спутника без учета взаимосвязи его поступательного и вращательного движений, т.е. в предположении, что его центр масс удерживается в одной из пяти точек либрации, соответствующих классическому случаю, содержится в работах /5,83,93/.

ТЛ. Капе и E L.Mazcfl/Q3/ рассмотрели движение типа "поплавок" для осесимметричного тела, центр масс которого находится в треугольной точке либрации.

Т. I. Koiinson /93/ в аналогичной задаче нашел стационарные

- б движения типа "стрела" и "спица" для спутника-гантели. Последний тип движений оказывается устойчивым (в первом приближении).

В /4,49/ для спутника произвольной структуры показано существование положений относительного равновесия, в котором одна из главных центральных осей инерции совпадает с нормалью к плоскости орбиты, а две другие оси принадлежат ей. В случае осесимметрич-ного спутника в /5/ найдены классы стационарных решений, аналогичных известным стационарным решениям о вращательном движении осе-симметричного тела на круговой орбите /11,65/. Исследуется вопрос об устойчивости рассмотренных положений равновесия.

В /51,59,92/ установлено наличие стационарных движений, в которых центры масс двух сфероидов движутся в одной неизменной плоскости, а центр масс третьего сферовда - в плоскости, параллельной первой. Подобные решения не существуют в классической задаче трех тел-точек.

Изучению стационарных движений спутника-гиростата посвящены работы В.В.Румянцева /61,62/, В.Н.Рубановского /59/, Г.Н. Джаникаш-вили /27/, М.РЬзсаС /89-92/, анализ которых дается в /9/.

Впервые рассматриваемая задача с учетом взаимосвязи поступательного и вращательного движения тела изучалась В.Т.Кондурарем и Т.К.Шинкарик /41,69/. Ими были найдены стационарные решения для осесимметричного пассивно-гравитирующего твердого тела, находящегося в поле притяжения двух сферических планет, типа "спица" "стрела", "поплавок", "уровень" для коллинеарных точек либрации и решения "поплавок" и "стрела" для треугольных точек либрации /69/. Причем последнее решение возможно только при равных массах основных тел. Для спутника-гантели дается более подробное рассмотрение существования стационарных решений /41/. В частности, показано, что центр масс спутника-гантели смещается относительно классической треугольной точки либрации к общему центру масс тел конечных размеров на величину, равную полудлине гантели.

Результат о смещении точек либрации , для трехосного тела нулевой массы обобщен в /95,88/.

Наиболее полный анализ частных стационарных решений задачи трех тел выполнен в работах В.В.Видякина /17-19/. Для тел, обладающих тремя плоскостями динамической симметрии, исследуются стационарные решения, в которых центры масс тел находятся в фиксированной плоскости и образуют либо равносторонний треугольник,либо принадлежат одной прямой. Условия существования лагранжевых и эйлеровых решений накладывают определенные ограничения на структуру и ориентацию тел. Найдены частные решения типа "три поплавка", "три спицы", "три стрелы", а также анализируются возможные комбинированные случаи.

В /42/ в случае плоско-осевой симметрии тел при строгом выражении силовой функции описываются два вида лагранжевых и эйлеровых решений, в которых твердые тела вращаются вокруг осей,перпендикулярных плоскости орбиты, либо остаются неподвижными, если ось тела лежит в этой плоскости.

Неограниченная задача трех твердых тел в общей постановке была сформулирована Г.Н.Дубошиным /31,32,72-75/. Им составлены уравнения движения тел произвольной формы и строения, взаимодействующих как по закону Ньютона, так и по законам отличным от него /34,72,74,76,77/.

В /72,77/ показано, что свойства лагранжевых и эйлеровых движений оказываются справедливыми не только в классической задаче, но ив более общей задаче, когда материальные точки взаимодействуют с силами, зависящими вообще от времени, взаимных расстояний и их двух первых производных.

В /34,74,79/ для динамически симметричных тел, частицы которых взаимодействуют с силами, пропорциональными некоторой степени расстояния между ними, изучены эйлеровы и лагранжевы решения типа "поплавок".

Условия существования треугольных решений накладывают определенные ограничения на законы действующих сил, форму и структуру тел. При этом каждое из трех тел вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью, независящей от орбитальных параметров центров масс. Исследуется вопрос об устойчивости рассмотренных движений в смысле Ляпунова. В работе /32/ показано, что если тела, в частности, являются тремя однородными эллипсоидами, частицы которых взаимодействуют по закону Ньютона, то их полуоси должны удовлетворять определенным условиям, полученным ранее В.В.Видякиным /15/. В /75/ проведен подробный анализ лагран-жевых решений для тел вращения (шар, эллипсоид, цилиндр, конус), частицы которых взаимодействуют по закону Вебера.

В.Т.Кондурарь /87/ продолжил исследования поставленной задачи и рассмотрел лагранжевы решения типа "уровень" для осесиммет-ричных тел, равномерно вращающихся вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью, не зависящей от орбитальных параметров, как и в случае "поплавок".

Н.И.Гамарник /21/ изучала движение трех тел, частицы которых взаимодействуют по закону Лапласа, при точном выражении силовой функции в виде кратных интегралов. Найдены движения типа Лаг-ранжа и Эйлера, а также рассматриваются их устойчивость и периодические решения, близкие к ним.

Кроме отыскания стационарных решений задачи трех тел, проведен рдц исследований об устойчивости этих движений. В работах /60-62, 52, 53, 83, 91-93/ дается анализ устойчивости ориентации спутника в предположении, что его центр масс удерживается в одной из пяти точек либрации, соответствующих классическому случаю. Вопрос об устойчивости лагранжевых и эйлеровых движений в первом приближении относительно переменных, описывающих как поступательное, так и вращательное движение тела, был впервые поставлен Т.К.Шинкарик /69/. В.В.Видякин /16/ определил условия устойчивости одного частного лагранжева решения для трех однородных эллипсоидов. Г.Н.Дубошин /74,76/ исследовал устойчивость лагранжевых и эйлеровых частных решений в случае осесимметричных тел, взаимодействующих как по закону Ньютона, так и по законам, отличным от него. Н.И.Гамарник /21/ провела анализ устойчивости лагранжевых точек либрации для тел, частицы которых взаимодействуют по закону Лапласа.

Большой цикл работ посвящен той области ограниченной задачи трех тел, в которой изучается лишь вращательное движение твердого тела, движущегося по заданной орбите в поле притяжения двух других тел - материальных точек. Ю.В.Баркиным /6/, П.С.Красильни-ковым /43,44/, А.П.Маркеевым /47,48/, М/98/ усредненными методами исследуются различные типы резонансных и нерезонансных вращательных движений твердого тела в предположении,что его центр масс движется по условно-периодической орбите. Наиболее глубоко изучена та область исследования, в которой центр масс тела движется вблизи одной из точек либрации задачи трех тел.

Нерезонансное вращение спутника складывается из движения Эйлера-Пуансо вокруг вектора - кинетического момента & и движения самого вектора <? в пространстве. Показано, что в плоской задаче трех тел с малыми эксцентриситетами орбит основных тел вектор кинетического момента совершает прецессионные движения вокруг нормали к плоскости орбиты основных тел. Влияние вида орбиты спутника сказывается только на скорости перемещения вектора.

В эллиптической задаче трех тел к описанному движению добавляются вынужденные эксцентриситетные колебания, вызванные неравномерностью орбитальных движений основных тел и существенно зависящих от ввда орбиты сщгтника.

На пространственных орбитах регулярная прецессия вектора расщепляется на движение типа вращения и либрации в окрестности стационарных режимов /48/.

В /98/ дан подробный анализ задачи, когда центр масс тела расположен в одной из пяти точек либрации ограниченной круговой задачи трех тел.

Изучение резонансных вращений спутника заметно усложняется. Рассмотрению здесь некоторых частных случаев посвящены работы /б, 43,47/.

В /4,5,44/ описываются плоские вращения спутника с центральным эллипсоидом инерции, близким к сфере, когда одна из его главных осей инерции во все время движения остается перпеццикулярной орбитальной плоскости основных тел, причем центр масс тела движется по условно-периодической орбите в основной плоскости. Показано, что на асимптотически больших промежутках времени плоские колебания твердого тела описываются уравнением движения маятника /44/.

Исследована устойчивость стационарных режимов вращения тела на близких к точкам либрации условно-периодических орбитах /44/. В /4,5/ дается качественная интерпретаци движения, когда центр масс спутника находится в одной из точек либрации круговой задачи трех тел. В частности, для точки изучена устойчивость стационарного движения в смысле Ляпунова.

Результаты работы /44/ применяются для исследований плоских резонансных вращений осесимметричного тела на семействе больших гало-орбит в системе Земля-Луна. Некоторые орбиты являются критическими в том смысле, что на них происходит смена устойчивости режимов колебаний. Для этих гало-орбит получены соответствующие начальные данные.

В /47/ исследование данной задачи проводится в предположении, что отношение удвоенной угловой скорости вращения спутника к относительной угловой скорости движения его центра масс по плоской периодической орбите вокруг есть целое число.

В /46/ в случае пространственной орбиты осесимметричного спутника, представляющей собой прямую, перпендикулярную плоскости вращения основных тел и проходящую через точку А , найдено два С класса стационарных в орбитальной системе координат вращений твердого тела и исследована их устойчивость в первом приближении.

Изучению пространственных резонансных вращений Динамически симметричного спутника в круговой задаче трех тел посвящены работы /6,43/.

Показано /43/, что эволюционные в случае главного резонанса уравнения движений допускают три первых интеграла в инволюции,которые сводят задачу построения решений в первом приближении к квадратурам. Исследование динамических эффектов вращения сводится к анализу нелинейного уравнения второго порядка, описывающего колебания физического маятника на равномерно вращающейся платформе, а также последующего интегрирования уравнений для медленных переменных. Решение усредненных уравнений представляется в эллиптических функциях и дается качественная интерпретация движения вектора

С кинетического момента в пространстве. Для частного случая плоских орбит центра масс тела указанные движения состоят из обхода медленно дрейфующей восьмерки на поверхности параболоида вращения, ось которого нормальна плоскости орбиты /43/. Исследования задачи проводились в предположении, что эллипсоид инерции тела близок к сфере. При этом же условии в /б/ выполнено обращение первых интегралов, когда центр масс тела находится в точке . Решение усредненных уравнений строится по степеням малого параметра и проводится полная классификация движения вектора (? . В /49,56/ найденное движение принимается в качестве промежуточного и на его основе отыскиваются возмущения первого порядка.

В /98/ для осесимметричного тела произвольной структуры, расположенного в одной из точек либрации, задача решена путем ее сведения к проблеме идеального резонанса.

В настоящей диссертации используются оба подхода при изучении движения пассивно-гравитирующего твердого тела в ограниченной круговой задаче трех твердых тел, что позволило выявить новые эффекты взаимосвязи поступательного и вращательного движения, построить различные типы стационарных движений и исследовать их устойчивость.

Диссертация состоит из четырех глав и заключения.

В главе I, имеющей вспомогательное значение, рассматриваются известные выражения кинетической энергии и разложения пертурбационных функций, обусловленных действием возмущающей массы и несферичности спутника и центрального тела. Приводятся разложения силовой функции центрального тела и спутника в ряд по сферическим функциям в прямоугольных декартовых и сферических координатах, а также дано ее тригонометрическое разложение через элементы Делоне-Андуайе. Рассматривается тригонометрическое разложение пертурбационной функции, обусловленной притяжением материальной точки. Коэффициенты разложений выражается через функции наклона Каулы и коэффициентов Ганзена.

Приведенные разложения удобны как для аналитических, так и для 'численных исследований.

В главе П методами теории возмущений получены частные решения осредненных уравнений поступательно-вращательного движения спутника произвольной структуры в поле притяжения трехосной планеты и однородного шара. При наличии резонанса между вращением трехосного тела, орбитальным и вращательным движениями пассивно-гравитирующего тела исследуются различные стационарные решения усредненных уравнений. В зависимости от резонанса центр масс спутника описывает либо орбиту произвольного эксцентриситета, линия ап-свд которой прецессирует в орбитальной плоскости притягивающих тел, либо круговую орбиту в перпендикулярной ей плоскости. Тело равномерно вращается вокруг своей главной центральной оси симметрии, которая или принадлежит орбитальной плоскости спутника, или ортогональна ей. Исследуется устойчивость рассмотренных движений. Показано, что движение всегда будет неустойчивым при вращении тела вокруг его средней оси инерции. В зависимости от резонанса и от структуры тел движение будет устойчивым при вращении спутника вокруг его наименьшей или наибольшей оси инерции.

В главе Ш рассмотрен вопрос о существовании лагранжевых и эйлеровых стационарных решений для осесимметричного тела в ограниченной круговой задаче трех твердых тел. Взаимосвязь поступательного и вращательного движения тела сказывается в том, что в общем случае центр масс пассивно-гравитирующего тела описывает круговую орбиту в плоскости, параллельной плоскости орбиты притягивающих тел. Строится зависимость его отклонения (или его проекции) относительно точек либрации как функции угла, образованного осью симметрии тела с нормалью к основной плоскости. Показано, что это смещение пропорционально малой величине, определяемой параметрами задачи. Спутник равномерно вращается вокруг своей оси динамической симметрии.

Положение оси динамической симметрии определяется параметром оС (абсолютной угловой скоростью вращения твердого тела вокруг своей оси). При достижении своих критических значений и о(г , возникает бифуркация положений относительного равновесия оси спутника. От решения, известного как "поплавок" происходит ответвление положений равновесий. Одна из ветвей соответствует решению "стрела" и в настоящей работе проводится уточнение и обобщение этого решения для осесимметричного тела. Анализ другой ветви равновесия спутника впервые проведен с учетом взаимосвязи его поступательного и вращательного движений. В абсолютной системе координат это решение представляет собой регулярную прецессию, в которой ось динамической симметрии занимает промежуточное положение между решениями "поплавок" и "спица". Характер вращения тела существенно зависит от разности его моментов инерции, а также от параметров задачи, определяющих соотношение масс притягивающих тел и взаимосвязь его поступательного и вращательного движений. Это решение характеризуется еще тем, что ни при каких значениях масс основных тел, центр инерции спутника не будет принадлежать основной плоскости.

В главе 1У аналитически проводится анализ устойчивости (в первом приближении) стационарных решений типа лагранжевых и эйлеровых, изученных в главе Ш, относительно переменных, описывающих как поступательное, так и вращательное движение пассивно-гравити-рующего тела. Для каждого типа стационарного движения строится его область устойчивости и проводится уточнение ее границ. Показано, что если расстояние между телами значительно превосходит их размеры (что справедливо для реальных небесных тел), то вращательное движение тела не оказывает влияния на условие устойчивости его поступательного движения, и которое имеет вид, аналогичный классическому неравенству Рауса-Ляпунова для материальных точек. В свою очередь влияние поступательного движения тела на устойчивость его вращения сказывается в определении условий устойчивости вращательного движения в окрестности границы области. При нулевых значениях параметров задачи, полученные результаты совпадают с известными условиями устойчивости стационарных решений о вращательном движении осесимметричного тела на круговой орбите.

Задача решалась при приближенном выражении силовой функции, а именно, с учетом ее второй сферической гармоники, и этого приближения оказывается достаточным, чтобы судить об устойчивости движения. Тем не менее, в ряде задач этот вопрос удается разрешить лишь приняв во внимание старшие сферические гармоники силовой функции, в частности, третью и четвертую. К таким задачам принадлежит задача о поступательно-вращательном движении трехосного тела в поле притяжения однородного шара.

В этой главе с учетом возмущений от четвертой сферической гармоники уточняется известное стационарное движение этой задачи. Построена его область устойчивости, а также проведено уточнение ее границ. В частности, показано, что вопрос об устойчивости симметричного трехмерного креста решается рассмотрением четвертой гармоники.

Последним разделом является заключение.

В конце диссертации приведен список использованной литературы.

На защиту выносятся следующие результаты.

I. Стационарные движения спутника произвольной структуры, находящегося в поле притяжения трехосного тела и однородного шара, и их устойчивость.

Z. Новый тип стационарных движений - регулярная прецессия в ограниченной круговой задаче трех тел при эйлеровом и лагран-жевом расположении центра масс осесимметричного спутника.

3. Вычисление смещений центра масс осесимметричного тела произвольной структуры от лагранжевых и эйлеровых точек либрации, соответствующих классическому случаю.

4. Устойчивость лагранжевых стационарных движений осесимметричного тела в ограниченной круговой задаче трех тел.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1, Еременко E.H. Регулярные поступательно-вращательные движения твердого тела в поле тяготения шара. Вестник МГУ, сер.мех., мат., 1982, $ I, с.44-49.

2, Еременко E.H. О некоторых частных решениях [ограниченной задачи трех твердых тел. Астроном.журнал, 1982, т.59, № б, с.1218

1234,

3, Еременко E.H. Прецессионные решения в ограниченной задаче трех твердых тел. МГУ, М., 1982 (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 3.01.83 № 8-83). - 34 с.

4. Bremenko B.N. Stationary motions in a restricted problem of three rigid bodies. Celestial Mechanics, 1983, v.31, p.339-362.

5. Еременко E.H. Поступательно-вращательное движение твердого тела в ограниченной задаче трех твердых тел. Ас троном, журнал (принята в печать).

Автор выражает глубокую признательность профессору В.Г.Дёмину под чьим руководством была написана диссертация и доктору физико-математических наук В.А.Самсонову за данные им ценные советы, использованные автором при выполнении работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования по изучению различных типов стационарных движений пассивно-гравитирующего твердого тела в ограниченной круговой задаче трех твердых тел позволяют сделать следующие выводы:

1. Исследованы стационарные решения осредненных уравнений движения спутника произвольной структуры в поле притяжения трехосной планеты и однородного шара. Центр масс пассивно-гравитиру-ющего тела описывает или орбиту произвольного эксцентриситета, линия апсид которой прецессирует в орбитальной плоскости центров масс притягивающих тел, либо круговую орбиту в перпендикулярной ей плоскости. Тело равномерно вращается вокруг одной из своих главных центральных осей инерции, которая в зависимости от резонанса или ортогональна основной плоскости, или принадлежит ей.

2. Проведен анализ устойчивости рассмотренных движений. Движение всегда будет неустойчивым при вращении спутника вокруг его средней оси инерции. В зависимости от резонанса и от структуры тел движение будет устойчивым при вращении спутника вокруг ,его наибольшей или наименьшей оси инерции.

3. Найден новый тип лагранжевых и эйлеровых стационарных движений - регулярная прецессия, в которой центр масс осесиммет-ричного тела описывает круговую орбиту в плоскости, параллельной орбитальной плоскости притягивающих тел. Спутник равномерно вращается вокруг своей оси симметрии, составляющей малый угол с плоскостью, образованной его радиус-вектором и нормалью к основной плоскости.

4. Исследуются и обобщаются известные виды лагранжевых и эйлеровых частных решений. Для динамически симметричного тела построена зависимость смещения его центра масс (или его проекции) относительно точки либрации Lty , соответствующей классическому случаю,как функции угла, образованного осью симметрии тела с нормалью к основной плоскости. Показано, что это смещение пропорционально малой величине, определяемой параметрами задачи. Спутник равномерно вращается вокруг своей оси симметрии,

5, Аналитически проведено исследование устойчивости рассмотренных движений в первом приближении. Взаимосвязь поступательного и вращательного движений спутника сказывается в уточнений границы его области устойчивости движения.

6, Уточняется область устойчивости стационарного движения произвольного тела в поле притяжения однородного шара с учетом возмущений от третьей и четвертой сферических гармоник силовой функции. Показано, что вопрос об устойчивости трехмерного "симметричного" креста решается путем рассмотрения четвертой сферической гармоники силовой фунвдии.

Предлагаемые в диссертации новые решения рассматриваемой задачи являются актуальными и могут быть использованы при изучении движения небесных тел и искусственных спутников Земли,

1. Абульнага М.З., Баркин Ю.В. Регулярные движения твердого тела в поле притяжения шара. Астроном.ж., 1979, т.56, № 4,с.881-887.

2. Абульнага М.З. Регулярные поступательно-вращательные движения твердого тела в поле притяжения шара. -Дисс. . кавд.физ-мат. наук, М., 1978. -109 с.

3. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. -М.: Наука, 1977. -328 с.

4. Баркин Ю.В. 0 движении космического аппарата относительно центра масс, расположенного в точке либрации системы Земля-Луна. Космич.исследования, 1980, т.18, № 2, с.191-20б.

5. Баркин Ю.В., Марков Ю.Г. Резонансные и периодические движения твердого спутника относительно его центра масс, расположенного в треугольной точке либрации. Космич.исследования, 1980, т.18, № 6, с.832-843.

6. Баркин Ю.В. Два класса вращательных движений твердого спутника, обладающего трехосным эллипсоидом инерции. Тр.объед.научн. чтений по космонавтике, посвящ.памяти выдающихся сов.ученых-пионеров освоения космич.пространства, Москва, 1980, с.159-170.

7. Баркин Ю.В. Конструктивные методы и исследования многочастоных колебательных систем с приложением к небесной механике. Аннот. докл. У Всесоюзн.съезда по теорет. и прикладной механике.

8. Изд-во Наука Казахской ССР, Алма-Ата, 27-мая 3 июня 1981. с. 47.

9. Баркин Ю.В., Демин В.Г. Поступательно-вращательное движение небесных тел. Итоги науки и техники. ВИНИТИ, Астрон.,1982, т.20, с.87-206.

10. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. -М.: Наука, 1965. -4X6 с.

11. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. -М.: Изд-во Моск.ун-та, 1975. -308 с.

12. Брауер Д., Клемене Дк. Методы небесной механики. -М.: Miq?, 1964. -514 с.

13. Брумберг В.А. Разложение пертурбационной функции в спутниковых задачах. -Бюл.Ин-та теорет. астрономии АН СССР, 1967, т.П, $ 2, с.73.

14. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. -М.: Наука, 1980. -205 с.

15. Видякин В.В. Частные решения задачи о движении трех сфероидов с общей плоскостью симметрии. Астроном.ж., 1972, т.49, №6, с.1300-1310.

16. Видякин В.В. Об устойчивости одного частного решения задачи о движении трех однородных сфероидов. Астроном.ж., 1974, т.51, № I, с.199-208.

17. Видякин В.В. Лагранжевы и близкие к ним решения задачи о поступательно-вращательном движении трех твердых тел.Celestial Mechanics , 1976, 13, № 3, р.325-363.

18. Видякин В.В. Эйлеровы решения задачи о поступательно-вращательном движении трех твердых тел.Celestial Mechanics , 1977, 16, №4, с.509-526.

19. Ввдякин В.В. Лагранжевы решения ограниченной задачи о поступательно-вращательном движении трех твердых тел. -Бюл.Ин-та теорет.астроном. АН СССР, 1979, т.14, № 8, с.463-471.

20. Волков М.С. Плоские периодические движения в задаче двух тел конечных размеров, обладающих плоскостью симметрии. -Бюл. Ин-та теорет.астроном. АН СССР, 1962, т.8, № 4, с.299-315.

21. Гамарник Н.И. Частные решения задачи о движении трех абсолютно твердых тел и периодические решения, близкие к ним. -Дисс. . кавд.физ-мат.наук, МГУ, ГАИШ, 1982. -146 с.

22. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. -М.: Наука, 1971, -444 с.

23. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. -М.: Наука, 1979, 432 с.

24. Демин В. Г. Об устойчивости поступательно-вращательного движения стреловидного спутника планеты. Тр. ин-та Дружбы народов им.П.Лумумбы, 1966, М., т.17, с.8-12.

25. Демин В.Г., Бибик Е.Б. Периодические режимы поступательно-вращательного движения спутника относительно вращающейся Земли. Космич.исслед., 1975, т.13, №2, с.158-162.

26. Демин В.Г., Киселев Ф.И. Новый класс периодических движений твердого тела с одной неподвижной точкой в ньютоновском силовом поле. ДАН СССР, 1974, т.214, № 5, с.997-998.

27. Джаникашвили Г.В. Об относительных равновесиях спутника-гиростата в ограниченной задаче трех тел. Сообщ.АН СССР, 1976, т.85, № I, с.49

28. Дубошин Г.Н. Об одном частном случае задачи о поступательно-вращательном движении; двух тел. Астроном.ж., 1959, т.36, $ I, с.153-163.

29. Дубошин Г.Н. Об устойчивости регулярных движений искусственных небесных тел. Астроном.ж., 1959, т.36, №4, с.723-733.

30. Дубошин Г.Н. О некоторых частных решениях задачи о поступательно-вращательном движении двух тел. Сообщения Гос.астрон. инт-та им. П.К.Штернберга, 1960, № 108, с.3-18.

31. Дубошин Г.Н. 0 точках либрации обобщенной ограниченной задачи трех тел. Астроном.ж., 1970, т.47, №5, с.ПОО-1111.

32. Дубошин Г.Н. Об одном частном случае трех твердых тел. Астроном.»., 1974, т.51, с.1079-1086.

33. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. -М.: Наука, 1978. 456 с.

34. Дубошин Г.Н. Частный случай ограниченной задачи трех твердых тел. Сообщ.Гос.астроном.ин-та им.П.К.Штенберга, 1980, № 218, с.11-33.

35. Ковдурарь В.Т. Частные решения общей задачи о поступательно-вращательном движении сфероидов под действием притяжения шара. Ас троном, ж., 1959, т.36, №5, с.890-901.

36. Ковдурарь В.Т. Общее решение задачи о поступательно-вращательном движении сфероида под действием притяжения шара. Ает-роном.ж., 1961, т.38, №2, с.310-324.

37. Кондурарь В.Т. 0 возмущениях в поступательно-вращательном движении спутника и планеты, вызываемых их сжатием. Астрон. ж., 1962, т.39, №3, с.516-526.

38. Ковдурарь В.Т. 0 наличии резонансных явлений в движениях спутника, вызываемых его формой и формой его орбиты. Астрон. ж., 1962, т.39, №6, с. 1X12-1123.

39. Ковдурарь В.Т. Влияние формы Луны на ее движение. Астрон.ж., 1963, т.40, с.757-765.

40. Ковдурарь В.Т. Задача о поступательно-вращательном движении простейших тел под действием притяжения Земли. -Бюл. ин-та теор. астрон. АН СССР, 1966, т.Ю, № 9, с.582-599.- 141

41. Ковдурарь В.Т., Шдакарин Т.К. О точках либрации в ограниченной обобщенной задаче трех тел. -Бюл.ин-та теор.астрон. АН СССР, 1972, т.13, № 2, с.102-110.

42. Кондурарь В.Т., Троицкая Л.С. Необходимые и достаточные условия существования лагранжевых и эйлеровых решений общей задачи трех твердых тел. Межведомственный сборник. Механика твердого тела. 1981, вып.13, с.3-9.

43. Красильников П.С. Движение твердого тела относительно центра масс,в ограниченной задаче трех тел. Дисс. . кавд.физ-мат. наук, М., 1981. -168 с.

44. Красильников П.С. Плоские резонансные вращения динамически-симметричного спутника в задаче трех тел. Астрон.ж., 1982, т.59, № I, с.147-154.

45. Красинский Г.А. Основные уравнения планетной теории. В кн.: Малые планеты /Под ред. Н.С.Самойловой-Яхонтовой, М., Наука/, 1973, с.81-107.

46. Маркеев А.П. 0 стационарных вращениях твердого тела на периодической орбите вблизи коллинеарной точки либрации. Прикл. матем. и мех., 1979, т.43, №3, с.411-418.

47. Маркеев А.П. Плоские периодические движения спутника вблизи коллинеарной точки либрации. Космич.исслед., 1979, т. 17,3, с.333-341.

48. Маркеев А.П., Красильников П.С. 0 движении спутника относительно центра масс в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Космич.исслед., 1981, т.19, №2, с.178-190.

49. Марков Ю.Г. К задаче о вращательном движении оеесимметрично-го спутника в резонансном случае. Письма в астрон.ж., 1980, т.6, № Ю, с.654-658.- 142

50. Марков Ю.Г. Возмущенное движение спутника относительно центра масс, расположенного в треугольной точке либрации. Астрой, ж. , 1981, т.58, №6, с.1306-1313.

51. Миронцов С.Г. О стационарных движениях в задаче трех эллипсоидов вращения. Вестн.Моск.ун-та, сер. мат.и мех., 1977,$ I, с.95-101.

52. Миронцов С.Г. Об устойчивости ориентации трех эллипсовдов вращения на стационарных движениях. Вестн.Моск.ун-та, сер. мат.и мех., 1977, №3, с.118-122.

53. Чин Ван Нян Об устойчивости стационарных движений спутника в обобщенной ограниченной задаче трех тел. Вестник Моск. ун-та, сер. мат.и мех., 1975, $3, с.76-82.

54. Осипов Г.Ф. Поступательно-вращательное движение небесного тела в обобщенном варианте Хилла. Астрон.ж., т.46, $ I, с.172-179.

55. Осипов Г.Ф. К вопросу о поступательно-вращательном движении Луны под действием притяжения Земли. Астрон.ж., 1970, т.47, $ 2, с.420-425.

56. Осипов Г.§. Существование интеграла уравнений поступательно-вращательного движения спутника в круговой задаче трех тел. Астроном.ж., 1970, т.47, №3, с.676-678.

57. Осипов Г.§. 0 поступательно-вращательном движении Луны в обобщенном варианте Хилла. Дисс. . кавд. физ-мат.наук, МГУ, ГАШ, 1972, -105 с.

58. Осипов Г.Ф. Поступательно-прецессионное движение Луны под действием притяжения Земли и Солнца. Астрон.ж., 1973, т.50, Ш 2, с.435-444.

59. Рубановский В.Н. Об относительном равновесии спутника-гиростата в обобщенной ограниченной круговой задаче трех тел. Прикл.мат. и мех., 1981, т.45, №3, с.494-503.

60. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. -М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1967. -141 с.

61. Румянцев В.В. Об устойчивости ориентации динамически симметричного спутника в точках либрации. Изв.АН СССР, Механика твердого тела, 1974, № 2, с.3-8.

62. Румянцев В.В. Об устойчивости ориентации спутника-гиростата в равновесных положениях в точках либрации. -В сб.: Избр. пробл. прикл.мех., М., 1974, с.605-616.

63. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс. Ж. вычисл.матем. и матем.физики, 1963, т.З, № 3, с.528-538.

64. Черноусько §.Л. О движении спутника относительно центра масс под действием гравитационных моментов. Прикл.мат. и мех., 1963, т.27, вып.З, с.474-483.

65. Черноусько §.Л. Об устойчивости регулярнрй прецессии спутника. Прикл.мат. и мех., 1964, т.28, №1, с.155-157.

66. Шинкарик Т.К. Об устойчивости регулярных движений осесиммет-ричных небесных тел. -Бюл.ин-та теор.астрон. АН СССР, 1970, т.12, № 6, с.494-502.

67. Шинкарик Т.К. О существовании периодических решений, близких к либрационным, обобщенной ограниченной задачи трех тел.

68. М., МГУ, 1970, деп. $ 2468-71. 23 с.

69. Шинкарик Т.К. Об устойчивости одного вида регулярных движений спутника. -Бюл.ин-та теор.астрон. АН СССР, 1971, т.12, № 10, с.899-999.

70. Шинкарик Т.К. Об устойчивости точек либрации в ограниченной обобщенной задаче трех тел. Астрон.ж., 1971, т.48, $ 3,с.627-637.- 144

71. Andoyer H. Cours de méchanique céleste, 1923, v.1, Gauthier-Villar, Paris.

72. Chapront J. Construction d'une théorie littérale planétaire jusqu' au second ordre des masses. Astron. and Astrophys., 1970, v.7, N 2, p.175-203.

73. Douboshin G.N. Sur le problème restreint circolaire des trois corps solides. Celestial Mechanics, 1978, v.17, N 4, p.357-371.

74. Douboshin G.N. Sur les solutions Lagrangiennes et Euleriennes du problème généralisé des trois corps en axes absolus. Celestial Mechanics, 1979, v.19, N 3, p.243-262.

75. Douboshine G.N. Sur les mouvement réguliers des satellites. Celestial Mechanics, 1981, v.25, N 4, p.375~396.

76. Douboshine G.N. Sur les mouvements reguliers dans le problème des deux corps solides. (On regular solutions in the problem of two rigid bodies). Celestial Mechanics, 1982, v.27, N 3, p.267-289.

77. Hori G. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables. Publ. Astron. Soc. Japan, 1966, v.18, N 4, p.287-296.

78. Hori G., Nakai H., Kinoshita H. Modified Jacobi Polynomial and it's applications of disturbing function. Ann. Tokyo Astron. Observ., 1974-, v.14, N 1, p.14-35.

79. Jarnagin M.P. Expansions in elliptic motion. "Astron. Papaers, Amer. Ephem. and Naul. Almanac", 1965, v.18, XXXVI, 659 pp.

80. Kane T.R., March E.L. Attitude stability of axysymmetric satellite at the equilibrium points in the restricted three-body problem. Celestial Mechanics, 1971, v.4, N 1, p.78-90.

81. Kinoshita H. Stationary motions of an axysymmetric body around a spherical body and their stabilities. Publ. Astron. Soc. Japan, 1970, v.22, N 3, p.383-403.

82. Kinoshita H. Stationary motions of a triaxial body and their stabilities. Publ. Astron. Soc. Japan, 1972, v.24, p.409-418.

83. Kinoshita H. First-order perturbations of the two finite body problem. Publ. Astron. Soc. Japan, 1972, v.24, p.423-457.

84. Kondurar V.T., On Lagrange solutions in the problem of threerigid bodies. Celestial Mechanics, 1974, v.10, H 3, p.327344.

85. Katas V. Curves of zero relative velocity in a generalized restricted problem of three bodies. Bull. Astron. Inst. Czech., 1979, v.30, N 1, p.52-58.

86. Pascal M. Sur le mouvement d'un triple batonent dads un champ newtonien. J. Mec., 1972, v.11, N 1, p.147-160.

87. Pascal M. Problème restreint des trois corps appliqué à un bâtonnet. C.R. Acad. Sci., 1971, v.272, N 3, p.286-288.

88. Pascal M. Sur le mouvement stationnaires du problême généralisé des trois corps. Astronáutica Acta, 1973> v.18, p.127.

89. Robinson W.J. Displacement of the Lagrange equilibriumpoints in the restricted three body problem with rigidbody satellite. Dyn. Planets and Satell., and Their Motion,

90. Dordrecht-Boston, 1978, p.305-314. v

91. Sidlichovsky M. The elimination of the short periodic perturbations in the problem of two finite bodies. Bull. Astron. Inst. Czechosl., 1981, v.32, N 3, p.159-167.1. V f

92. Sidlichovsky M. On the two triaxial rigid body problem. Bull. Astron. Inst. Czechosl., 1980, v.31, N 4-, p.240-253*v

93. А = ЗС, <p=ju (7х3-4х) + -^ех9 fy>e : :247/ 2421\ \ -/ 7 / 21 ! . \ xt ху 7-Х* -xf с \ \2\!Ш /247 '1. I 21 / 7 ; : <1. Рис.8 (а,б)1. Рис.91. Рис.101. C>fl5/z¿11. V2