Некоторые задачи теории асимптотических движений в системах Гамильтона тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

имени М.В.КЕЛДЫША

АКАЩШИ НАУК СССР

На правах рукописи УДК 521.13

ТАРАННИКОВА Галина Александровна

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В СИСТЕМАХ ГАМИЛЬТОНА

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1990 г.

Работа выполнена в ордена Ленина Институте прикладной математики им. М.В.Келдаша АН СССР

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор В.А.САРЫЧЕВ, доктор физико-математических наук, профессор А.П.МАРКЕЕВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Г.В.ЮТР,

кандидат физико-математических наук, доцент А.П.ИВАНОВ

Ведущая организация: Московский авиационный институт им. С.Орджоникидзе

Защита диссертации состоится ".л/*" ^е/ия^кХ 199С? г. на заседании специализированного совета 9)002.^0.01 при ордена Ленина Института прикладной математики им. М.В.Келдаша АН СССР по адресу: 125047, Москва, Миусская пл.,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В.Келдаша АН СССР.

Автореферат разослан п¿И? " /¿¿и^Д-Л 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета I И.А.Еахарев-

кандидат физико-математических наук

/ОТ?-

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Подавляющее большинство исследования движений материальных систем посвящено положениям равновесия, стационарным, периодическим или условно-периодическим движениям. Другим типам движений уделялось значительно меньшее внимание.

Асимптотические движения интересны тем, что они относятся к таким движениям, траектории которых могут разделять фазовое пространство на области с различным характером поведения траекторий (подобно сепаратрисам на фазовой плоскости математического маятника) и что они тесно связаны с неустойчивостью предельного движения и с явлениями стохастичности в детерминированной динамике. В приложениях к задачам ориентации спутников асимптотические движения важны также потому, что по их траекториям спутник может перейти в заданный номинальный режим только под действием гравитационных моментов, без управления.

Цель работы. Исследуется задача с существовании, количестве и построении движений, асимптотических к положению равновесия гамилмоновой системы с одной или двумя степенями свободы. Особое внимание уделено случаю, когда линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет только нулевые характеристичные числа, т.е. когда теория асимптотических движений A.M. Ляпунова и А.Пуанкаре неприменима.

В качестве приложений рассмотрены задачи о движениях, асимптотических к эксцентриситетным колебаниям спутника -твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле на эллиптической орбите, к регулярным прецессиям динамически симметричного спутника на круговой орбите, к положениям относительного равновесия на круговой орбите, к точкам либрации

круговой ограниченной задачи трех тел.

Одной из вспомогательных задач является создание комплекса программ для построения асимптотических двихений при помощи ЭВМ.

Методика исследования. Проведенный анализ опирается на некоторые результаты КАМ - теории, метод нормальных форм, результаты качественного анализа поведения траекторий системы двух дифференциальных уравнений в окрестности особой точки.

Научная новизна работы

I. Для устойчивых в линейном приближении гамильтоновых систем с одной или двумя степенями свободы при отсутствии резонан-сов до второго порядка включительно решена задача о существовании, числе и аналитическом представлении асимптотических движений.

2Для неустойчивой в линейном приближении автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы создан комплекс программ построения асимптотических движений на ЭВМ.

3. Решен ряд задач об асимптотических движениях в динамике спутника - твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле.

Найдены:

а) движения спутника, асимптотические к его плоским экс-центриситетным колебаниям на эллиптической орбите,

б) движения динамически симметричного спутника, асимптотические к его регулярным прецессиям,

в) движения, асимптотические к положениям относительного равновесия спутника на круговой орбите.

4. Найдены движения, асимптотические к точкам либрации (треугольным и прямолинейным) плоской круговой ограниченной задачи трех тел.

Практическое и теоретическое значение. ЕЬачение работы состоит в доказательстве существования и построения нового класса (асимптотических движений) для гамильтоновых систем нейтральных в линейном приближении и в решении ряда задач небесной механики (динамика спутника, задачи трех тел).

Апробапия работы. Основные положения и результаты работы обсуждались и докладывались на У-й всесоюзной Четаевской конференции по аналитической механике, устойчивости и управлении движением (Казань, 1387), на Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, 1988), на ХП научных чтениях по космонавтике(Мос-ква, 1988).

Пу&такации. По теме диссертационной работы опубликовано семь работ, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 136 страницах, состоит из введения, семи глав, трех приложений и библиографии. Библиография содержит 64 наименования.

СОДЕРКАНИЕ РАБОТЫ

Для небесной механики и ее приложений представляют интерес естественные семейства решений уравнений движения материальной системы - асимптотические движения к положениям равновесия гамильтоновых систем. Они интересны тем, что относятся к таким движениям, траектории которых могут раэделгггь фазовое пространство на области с различным характером поведения траекторий (подобно сепаратрисам на фазовой плоскости математического маятника), и что они тесно связаны с неустойчивостью предельного движения и с явлениями стохастичности в детерминированной динамике. Для приложений асимптотические движения

интересны как новые классы движений (отличные от равновесий, периодических или условно-периодических движений).

Рассмотрим движение некоторой материальной системы, описываемой дифференциальными уравнениями

Пусть начало координат 11=Хг=.,.=-Ха=0 является решением этой системы. Её решение 0С| - у«1,2,„.,п.) , не рав-

ное тождественно нулю , называется асимптотическим к решению Хг=... = Ха= О , если выполнено одно из условий

Постановка задачи и первые результаты о существовании и аналитическом представлении асимптотических решений в системах обыкновенных дифференциальных уравнений относятся к концу прошлого - началу нынешнего века.

A.M. Ляпунов и А. Пуанкаре разработали метод, дающий достаточные условия существования асимптотических движений и позволяющий получить решение в виде рядов по восходящим степеням некоторых вспомогательных переменных. В случае гамильтоновой системы

(I)

ИЛИ

о

dxi

d-fc L 1

L

теория асимптотических движений A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре применима лишь тогда, когда система неустойчива, причем это устанавливается по первому (линейному ) приближению.

Диссертация состоит из введения, семи глав и трех приложений.

Во введении описан круг рассматриваемых задач, основные положения теории асимптотических движений A.M. Ляпунова и А.Цуанкаре и кратко изложено содержание диссертации.

В главе I рассматривается периодическая по време-

ни система с одной степенью свободы, а в главе П - автономная система с двумя степенями свободы. Предполагается, что в системах отсутствуют резонансы первого и второго порядков, но возможны резонансы либо третьего, либо четвертого порядка. В зависимости от характера корней характеристического уравнения (наличия нулевой или ненулевой вещественной части корня) решается задача о существовании, числе и аналитическом представлении асимптотических движений. Если система имеет ненулевые характеристичные числа, то указанная задача решается с помощью теории асимптотических движений A.M. Ляпунова и А.Пуанкаре. В случае нулевых характеристичных чисел разработана новая теория, позволявдая определить асимптотические движения гамиль-тоновой системы. Результаты её изложены в §§ I.4-I.7 для системы с одной степенью свободы и 2 Я"- периодической по "t функцией Гамильтона; в § 2.4 - для автономной системы с двумя степенями свободы. Проведенный анализ опирается на некоторые результаты КАМ - теории, метод нормальных форм, результаты качественного анализа поведения траекторий двух дифференциальных уравнений в окрестности особой точки.

Приложение теории, изложенной в главах I и П: - в главе Ш рассмотрена задача о движениях спутника,

асимптотических к его эксцентриситетным колебаниям;

- в главе!У решена задача о движениях динамически симметричного спутника, асимптотических к его стационарным вращениям в орбитальной системе координат;

- в главе У исследуются движения спутника, асимптотические к его положениям относительного равновесия на круговой орбите;

- в главе У1 рассмотрены движения, асимптотические к точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел.

Задача получения аналитического представления асимптотических решений представляет собой достаточно трудоемкий процесс. Чтобы упростить процедуру построения асимптотических решений был создан комплекс программ, позволяющий осуществить численный расчет асимптотических движений в случае Ляпунова-Пуанкаре (если линеаризованная система уравнений движения имеет хотя бы одно отличное от нуля характеристическое число).

В главах 1У и У1 наряду с аналитическим представлением асимптотических движений для некоторых физически допустимых параметров проведен численный расчет асимптотических движений с точностью до членов пятого порядка включительно. Результаты численного расчета коэффициентов рядов, описывающих движения динамически симметричного спутника асимптотические при +оо к его цилиндрической прецессии изложены в приложении I, а результаты расчета коэффициентов рядов, описывающих движения, асимптотические к точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел приведены в приложении 2.

Расчет основан на численном методе построения асимптотических движений Ляпунова-Пуанкаре, изложенном в главе УЛ.. Алгоритм численного построения коэффициентов рядов, описывающих асимптотические движения основывается на:

I) использовании теории Мозера о существовании сходящегося

нормализующего преобразования;

2) решении задачи нормализации функции Гамильтона возмущенного движения с помощью метода Депри-Хори. Комплекс программ для численного расчета асимптотических движений Ляпунова-Пуанкаре автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы можно найти в приложении 3.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Щербина Г.А. Движения спутника, асимптотические к его положениям относительного равновесия на круговой орбите.-Космич. исслед., 1986, т.ШУ, вып.З, с.369-375.

2. Маркеев А.П., Щербина Г.А. О движениях спутника, асимптотических к его эксцентриситетным колебаниям.-Изв.АН СССР. МГТ, 1987, № 4, с.3-10.

3. Маркеев А.П., Щербина Г.А. О движениях, асимптотических к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. - ПММ, 1987, т.51, №3, с.355-362.

4. Щербина Г.А. Асимптотические движения динамически симметричного спутника. - Отчет № 0.204.87 Ин.лрикл.матем. им.М.В. Келдыша АН СССР, 1987, 36с.

5. Щербина Г.А. О движениях, асимптотических к точкам либрации. - Письма в АЖ, т. 14, 1£9, 1988, с.848-850.

6. Щербина Г.А. Численный метод построения асимптотических движений Ляпунова-Пуанкаре.-Препринт Ин.прикл.матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1988, № 117, 26с.

7. Щербина Г.А. Движения спутника, асимптотические к регулярным прецессиям.-Космич.исслед., 1989, т.27, Вып.1, с.31-41.