Структура обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана и квазилинейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



КОЛПАКОВА Екатерина Алексеевна

СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ - БЕЛЛМАНА И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 1 ДПг 2011

Екатеринбург — 2011

4844210

Работа выполнена в отделе динамических систем Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Субботина Нина Николаевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Филиппова Татьяна Федоровна, кандидат физико-математических наук

Лахтин Алексей Станиславович Ведущая организация: Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова, ВМиК, г. Москва

Защита состоится 27 апреля 2011 года в 10 часов на заседании специализированного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан марта 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук

Н.Ю. Лукоянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию структуры и связей обобщенных решений в задаче Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана и квазилинейного уравнения первого порядка в терминах классических характеристик этих уравнений. Рассмотрены приложения полученных теоретических результатов к решению задач оптимального управления.

Актуальность темы. При описании большого числа физических процессов возникают нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Одним из таких уравнений является уравнение Гамильтона— Якоби, решения которого используются при описании движения тел в рамках классической механики. Существует тесная связь уравнений типа Гамильтона— Якоби с задачами динамической оптимизации, которые рассматриваются в вариационном исчислении, в теории оптимального управления и дифференциальных играх. Для задачи динамической оптимизации определена функция цены, которая каждому начальному состоянию динамической системы ставит в соответствие оптимальное значение функционала платы. Функция цены, как правило, негладкая, но в точках дифференцируемое™ удовлетворяет соответствующему уравнению Гамильтона— Якоби.

Для описания поведения сплошной среды теоретическая физика использует различные модели, которые также приводят к нелинейным дифференциальным уравнения и в частных производных первого порядка. Например: уравнение эйконала в геометрической оптике, транспортное уравнение, уравнение Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости. В газовой динамике ■большое количество процессов описывается квазилинейными уравнениями, которые являются следствиями физических законов сохранения массы, энергии, импульса.

Классическим решением уравнения в частных первого порядка называется непрерывно дифференцируемая функция, которая удовлетворяет этому уравнению во всех точках области определения. Одним из методов построения единственного классического решения краевой задачи для уравнения в частных производных первого порядка является метод характеристик Коши, 4 согласно которому отыскание классического решения сводится к решению

ч

специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, построенной по уравнению в частных производных первого порядка. Метод Коши ^О4

обнаружил, что классическое решение нелинейного уравнения в частных производных первого порядка существует, как правило, локально в окрестности заданного гладкого краевого многообразия.

Однако в математических моделях, описывающих физические процессы, существует потребность изучения негладких и разрывных функций, которые определены глобально, удовлетворяют уравнениям в частных производных первого порядка в точках дифференцируемости, и их графики проходят через краевое многообразие. Для корректного описания таких функций требуется понятие обобщенного решения уравнения в частных производных.

Большой интерес к развитию теории обобщенных решений уравнений в частных производных был проявлен в 50-е-60-е годы XX века. Существенные результаты были получены в работах O.A. Олейник, A.M. Ильина, O.A. Ладыженской, Б.Л. Рождественского, H.H. Яненко, Н.С. Бахвалова, С.К. Годунова, А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, С.Л. Соболева, Е. Hopf, P. Lax, С.М. Dafermos, W. Fleming.

Основные подходы, которые использовались при введении понятия обобщенного решения базировались либо на методе исчезающей вязкости, либо на обобщениях метода характеристик Коши, либо на интегральных и вариационных методах, привлекавших понятие обобщенных функций и обобщенных производных, а также на численных аппроксимациях.

В 70-е годы развитие аппарата негладкого анализа позволило существенно продвинуть теорию обобщенных решений уравнений в частных производных. Большой вклад в развитие негладкого анализа внесли работы F.H. Clarke, который ввел понятие субградиента. Другие типы субградиентов ввели в своих работах R.T. Rockafellar, Б.Ш. Мордухович. Существенную роль в развитии негладкого анализа сыграли Б.Н. Пшеничный, В.Ф. Демьянов.

В 60-е-70-е годы С.Н. Кружковым было предложено понятие энтропийного решения для квазилинейного уравнения, сочетающее интегральный подход с конечно-разностным и опирающееся на аппарат выпуклого анализа. Для выделения содержательного единственного решения С.Н. Кружков ввел интегральное условие неубывания энтропии. Это условие определяет возможное направление быстрого изменения обобщенного решения. В дальнейшем этот подход был развит в работах Е.Ю. Панова, А.Ю. Горицкого, Г.А. Чечкина, Н.С. Петросян, Ph. Benilan.

В начале 80-х годов G. Crandall и P.L. Lions1 ввели понятие вязкостного решения уравнения в частных производных первого порядка. Определение вязкостного решения базируется на локальных гладких выпуклых и вогнутых аппроксимациях обобщенного решения. Термин "вязкостные решения" был использован потому, что для доказательства существования этого решения авторы использовали метод исчезающей вязкости. Инфинитезимальная форма определения вязкостного решения опирается на аппарат негладкого анализа и использует понятия суб- и супердифференциалов.

В теории вязкостных решений были доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения для различных типов краевых задач. Предложены конструктивные и численные методы решения этих задач. Большой вклад в исследование вязкостных решений внесли работы L. Evans, W. Fleming, R.J. Elliott, N.J. Kalton, M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta, M. Falcone, H. Ishii, E.N. Barron, R. Jensen, P. Cannarsa, H. Frankowska, H.M. Soner, I. Capuzzo-Dolcetta, P. Souganidis, B. Perthame.

В начале 80-х годов А.И. Субботиным2 был предложен минимаксный подход к построению обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка. Термин "минимаксное решение" отражает истоки этой теории в формализации позиционной дифференциальной игры, развитой в школе H.H. Красовского3. Согласно минимаксному подходу график обобщенного минимаксного решения инвариантен относительно комплексов гамильтоно-вых характеристических дифференциальных включений, определяемых аксиоматически. Инфинитезимальная форма определения минимаксного решения опирается на пару дифференциальных неравенств, использующих верхние и нижние полупроизводные Дини.

В теории минимаксных решений получены теоремы существования и единственности для различных типов краевых задач, предложены аналитические, конструктивные и численные методы решения этих задач. Развиты приложения этой теории к решению задач оптимального управления и дифференциальных игр. Установлена эквивалентность вязкостного и минимаксного определений обобщенных решений уравнения Гамильтона—Якоби. Существенный

1 Crandall G. Lions P.L. Viscosity Solutions of Hamiiton-Jacobi Equations // Transactions of the American Mathematical Society, 1983, Vol. 277, № 1, pp. 1-42

2 Субботин А.И. Обобщенные решения дифференциальных уравнений первого порядка. Ижевск: РХД. 2003. 336 с.

3Красовсхий H.H. Теория управления движением. М.: Наука. 1968. 475 с.

вклад в развитие теории минимаксных решений внесли работы В.Н. Ушакова,

A.M. Тарасьева, B.C. Пацко, Н.Ю. Лукоянова, С.А. Брыкалова, Х.Г. Гусейнова, В.Я. Джафарова, A.A. Успенского, С.И. Кумкова, А.Ф. Клейменова, Л.Г. Шагаловой, A.C. Лахтина и их учеников.

Отметим, что в 90-е годы были предложены и другие подходы к определению решения уравнения Гамильтона—Якоби на базе обобщений гамильто-новой характеристической системы. Многие современные исследования задач динамической оптимизации и краевых задач для соответствующих уравнений типа Гамильтона—Якоби опираются на результаты работ А. Б. Куржанского,

B.И.Благодатских, С.М. Асеева, A.B. Арутюнова, Ю.С. Ледяева, A.A. Мели-кяна, J.P. Aubin, F.H. Clarke, H. Frankowska, G. Haddad, Т.Ф. Филипповой, А.А.Толстоногова.

Классические характеристики также использовались для построения обобщенного решения уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана в работах F. Clarke, H.H. Субботиной, A.C. Братуся, А.И. Овсеевича, A.A. Меликяна, для построения обобщенного решения квазилинейного уравнения в работах O.A. Олейник, И.М. Гельфанда, H.H. Яненко, Б.Л. Рождественского.

Связь между решениями задачи Коши для уравнения Гамильтона—Якоби и квазилинейного уравнения исследовалась в работах Б.Л. Рождественского, H.H. Кузнецова с помощью метода потенциала.

Применяя методы вариационного исчисления для решения задачи Коши уравнения в частных производных первого порядка, Е. Hopf, P. Lax, O.A. Олейник получили и обосновали аналитические формулы для частных случаев этих уравнений.

В настоящее время для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона—Якоби в работах В.Н. Ушакова, B.C. Пацко, A.M. Тарасьева, A.A. Успенского, P. Souganidis, M. Falcone активно разрабатываются и применяются численные методы.

Описание структуры и связей обобщенных решений различных типов уравнений в частных производных первого порядка и исследование роли классических характеристик в конструкциях этих решений остаются актуальными задачами теории обобщенных решений.

Исследования обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка важны сами по себе, а также они полезны для приложений

к решению задач динамической оптимизации.

Одним из разделов динамической оптимизации является теория оптимального управления, восходящая к работам JI.C. Понтрягина4, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, R. Isaacs, R. Bellman, H.H. Красовского, W.H. Fleming, A. Fridman.

В настоящее время теория оптимального управления получила мощное развитие и имеет многочисленные практические применения. Фундаментальный вклад в развитие этой теории внесли H.H. Моисеев, Б.Н. Пшеничный, Ф.Л. Черноусько, Д.В. Аносов, В.И. Арнольд, В.А. Якубович, Ю.С. Осипов, А.Б. Куржанский, А.И. Субботин, А.В.Кряжимский, L.D. Berkovits, А.Е. Bryson, G. Leitman, Y.-C. Ho, J. Warga, R.J. Elliott, N.J. Kalton.

Существенное развитие теория получила в работах В.И. Зубова, В.Ф. Кро-това, Ф.М. Кирилловой, Р.Ф. Габасова, A.A. Меликяна, A.A. Чикрия, С.М. Асеева, В.Н. Ушакова, А.Г. Ченцова, Л.А. Петросяна, C.B. Чистякова, A.A. Аграчева, Л.Д. Акуленко, A.B. Арутюнова, В.И. Благодатских, Ф.П. Васильева, Н.Л. Григоренко, А.Я. Дубовицкого, A.A. Милютина, М.С. Никольского, Л. А. Петросяна, В.М. Тихомирова, М.И. Зеликина, А.Д. Иоффе, Ю.С. Ледяева, A.B. Дмитрука, В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриева, Э.Г. Альбрехта, H.H. Субботиной, Н.Ю. Лукоянова, B.C. Пацко, A.M. Тарасьева, Т.Ф. Филипповой, М.И. Гусева, В.И. Максимова, А.И. Короткого, Е.К. Костоусовой, С.Т. Завалищина, А.Н. Сесекина В.Б. Костоусова и их учеников.

Как хорошо известно, функция цены задачи оптимального управления совпадает с единственным минимаксным/вязкостным решением краевой задачи для уравнения Гамильтона—Якоби— Беллмана. Функция цены определяет оптимальный результат для начального состояния управляемой системы. Кроме того, функция цены играет ключевую роль в построении оптимальных и почти оптимальных способов управления по принципу обратной связи.

Основополагающее значение в теории оптимального управления играет принцип максимума Л.С. Понтрягина — необходимое условие оптимальности. Гамильтонова форма этих условий (см. F. Clarke5, S. Miricha, H.H. Субботи-

1Понтрягтт Л.С. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1968. 356 с.

5Clarke F.H. Necessary conditions for nonsmooth variational problems // Optimal control theory and its applications, Lect. Kotes Earn, and Math. Syst.1974, Vol. 106, P. 70-91

на) связывает экстремали и коэкстремали задачи оптимального управления с характеристиками уравнения Гамильтона— Якоби—Беллмана.

Актуальным и полезным является исследование приложений теории обобщенных решений уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана для численного решения задачи оптимального управления.

Цель работы. Исследование структуры минимаксного решения задачи Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана, описание множества сингулярности (множества точек недифференцируемости) минимаксного решения, описание связи между минимаксным решением и обобщенным решением задачи Коши для квазилинейного уравнения. Исследование роли классических характеристик в конструкциях этих решений.

Приложение теории обобщенных решений уравнений Гамильтона— Якоби—Беллмана для численного решения задачи оптимального управления с терминальным функционалом платы.

Методы исследования. Исследования данной работы опираются на обобщение метода характеристик Коши, аппарат негладкого анализа, методы теории управления, теорию дифференциальных включений, теорию многозначных отображений и теорию инвариантности.

Научная новизна. Описана структура графика минимаксного решения задачи Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана в терминах классических характеристик этого уравнения.

Введено новое понятие глобального обобщенного решения задачи Коши для одномерного квазилинейного уравнения в терминах классических характеристик и получена его репрезентативная формула. Показано, что потенциалом для глобального обобщенного решения квазилинейного уравнения является минимаксное решение соответствующего уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана. Описана структура множества сингулярности минимаксного решения в терминах классических характеристик уравнения Гамильтона—Якоби и линий Ранкина — Гюгонио.

Предложены новые достаточные условия существования программного оптимального управления в задаче управления с терминальной платой.

Разработана новая процедура численного построения оптимального программного управления с помощью попятного интегрирования гамильтоновой характеристической системы для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана,

и получены оценки аппроксимации оптимального результата.

Теоретическая и практическая значимость. В работе исследована роль классических характеристик для теории обобщенных решений уравнений Гамильтона—Якоби и квазилинейных уравнений.

Предложены репрезентативные формулы обобщенных решений, описана структура множества сингулярности минимаксного решения в терминах классических характеристик.

Выявлено свойство инвариантности графиков обобщенных решений относительно гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Это свойство позволяет разрабатывать новые эффективные методы построения обобщенных решений и обоснования этих конструкций.

Рассмотрены приложения полученных результатов для решения задач оптимального управления с терминальным функционалом платы. Предложен и обоснован численный метод построения оптимального программного управления, опирающийся на гамильтонову форму необходимых и достаточных условий оптимальности. Проведены численные расчеты для ряда модельных примеров.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Объем работы — 121 страница, включая 9 рисунков. Библиография содержит 153 наименования. В работе цитируемые результаты носят название утверждений, а результаты, полученные автором, называются теоремами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на российских конференциях: 39-41-й Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2008, 2009,2010),научной конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвящённая памяти Н.В. Азбелева (Ижевск, 2008), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), международных конференциях: "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби" (Екатеринбург, 2005 г.), "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем", посвященного 75-летию И.Я. Каца (Екатеринбург, 2006), "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва, 2008), "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация"(Минск, 2008), "Со-

временные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию В.А. Садовничего (Москва, 2009), международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2009), "Актуальные проблемы теории устойчивости и управления" (Екатеринбург, 2009), международной научной конференции, посвященной 105-летию С.М. Никольского, "Современные проблемы анализа и преподавания математики"(Москва, 2010), XII International Symposium on Dynamic Games and Applications, (SophiaAntipolice, 2006), 13-th International Workshop IFAC on Control Applications of Optimization (Paris, 2006), X IFAC Workshop on Control Applications of Optimization(Jyvaskyla, 2009), а также на семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН и кафедры системного анализа ВМиК МГУ.

Публикации. Материал диссертации опубликован в двадцати семи работах. Из них 4 публикации из списка ВАК ([1]~[4]), 2 публикации в иностранных журналах ([5]-[6]), 6 публикаций в рецензируемых российских сборниках и журналах ([7]-[12]) и 15 тезисов.

Основные результаты диссертации

Во введении дается краткий обзор состояния современной теории обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка, определяется цель работы, описана структура диссертации.

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию минимаксного решения краевой задачи Коши для уравнения Гамильтона— Якоби—Беллмана.

В первом параграфе рассматривается задача Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана

^М + H(t, х, Dxip(t, х)) = 0, (t, х) G Пт = [0, Т] х R™ (1) с краевым условием

Ч>{Т,х) = о{х). (2)

Здесь Д*>=

Предполагается, что гамильтониан H(t,x,s) и краевая функция а{х) удовлетворяют следующим условиям

А1 функция H(t,x;s) непрерывна по всем переменным в Пу х R™ и вогнута по переменной s;

А2 существуют ОхН(Ь,х,з),ВаН^,х,з), которые удовлетворяют условию Липшица по х,в с константой Ь > О

\\ОвН{г,:л, 3!) - (*, Х2,52)|| < Щ\хх - аг2|| + ||«1 - а2||);

\\ОхНЦ,Х1,31) - ОхН(г,х2,52)|| < Щ\х1-х2\\ + ||51 - я2||); и условиям подлинейного роста :

\\ОяН&х,а)\\<р{1 + |И|), % е [О,Г];

\\ЪХН{1, х, 5)|| < А(М)( 1 + ||а||) х) £ М С

АЗ функция а(х) непрерывно дифференцируемая, а ее градиент Бха(х) локально липшицевая функция, то есть ¡Оха(хг) — Оха(х2)[ < Ьа\х\ — гг2|-

Определение 1. Функция <р(Ь,х) называется минимаксным решением задачи (1), (2), если для любых э £1" и (¿0,20) € (О,Т) х К", го = ¡¿>(4 существует т £ (£о, Г) и липшицевые функции (я(-), г(-)) : [¿о,г] -» К" х К, которые удовлетворяют равенству х(^) = а:о, = ^о, уравнению

г = {£, з) — Н(Ь,х,з), при прочти всех £ е [¿о,7"]> и равенству <р(Ь,х(Ь)) = г (4), при всех £ € [¿о>г]-

Определение 2. Супердифференциалом Б+,.р(Ь,х) функции х) в точке (£, ж) б Пу называются множества:

х) = {(а,«) £ I х М" :

У (* Л-М,х + Ах) - ^ а) ~ ((а,.), (А*, Ах)) < д<—>о,||Дх||-»о |А4| + ||Дх||

Характеристическая система задачи (1), (2) имеет вид

'х = £>«#(<, х,з), ё= х, I), (3)

I — х, I), з) - Я^, х, 5)

с краевым условием

ЦТ,0 = 8{Т,О = 5(Т,0 = *(£). (4)

Здесь ^ € К™ — параметр, = ,..., Щ), ПхН = (¿Ц,..., Ц).

Из предположений AI-A3 следует, что для любого £ £ W1 решение задачи (3), (4) существует, единственно и продолжимо на отрезок [О, Г]. Из работ2,6 вытекает

Утверждение 1. При условиях AI-A3 минимаксное решение <p(t,x) задачи Коши (1), (2) существует, единственно и обладает свойствами

1. Функция ip{t,x) локально липшицева.

2. При всех (i, х) £ Пу

<p(t,x) = mm{5(f,0 :x{t,£)=x}, (5)

где — решения характеристической системы (3), (4)-

3. При всех (t,x) £ Пг не пуст супердифференциал D+ip(t,x), который имеет вид D+ip(t, х) =

сo{(-H(t,i(t10,S(t>0),S(i,0):®(i,0=®, V(t,x) = z(t,£)}, (6)

гдех(•,£),£(•, решения характеристической системы (3),

Во втором параграфе исследуются свойства решений характеристической системы (3), (4) и функции (i, ж) —► V{t, ж) конструируются согласно правилу

V(i, х) £ ПТ 3£ € К" : x(t, £) = х, V{r, х(т, £)) = z(r, £); Vr e [t, T], (7)

где x(t, решения характеристической системы (3), (4).

Введены условия

A4 Функция V(t,x) локально липшицева и супердифференцируема, то есть для всех (i, я) 6 (О, Т) х Rn справедливо D+V(t, х) ф 0;

А5 Сопряженные переменные s(i,£) удовлетворяют условию

V (t, х) £ Пг 3 £ 6 Rn : х = г = г(т,0 = V(T,x(T,0), 5(Т,0 € D+V(T,x{T,0), Т £ [i,T]

Здесь D+V = {s £ R» : (a, a) £ D+V}

eSubbotina JV.JV. The method of characteristics for Hamilton-Jacobi equation and its applications in dynamical optimization // Modern mathematics and its applications, 2004, Vol. 20. P. 2955-3091

Теорема 1. Пусть в задаче (1), (2) выполнены условия А1-АЗ. Минимаксное решение этой задачи совпадает с функцией вида (7), для которой при всех {Ь, х) е (О, Т) х К" выполнены условия А4, АЪ.

Следствием теоремы 1 является эквивалентность определения 1 следующему определению.

Определение 3. Локально липшицевая, супердифферендируемая функция <р(Ь,х) называется минимаксным решением задачи Коши (1), (2), если

Ч (их) епт3£: х{1, $) = х, г(т,£) = ф, х(т, ()), V г € [*, Т],

где х(т,£),г(т,£) — решения характеристической системы (3), (4).

В третьем параграфе приведено

Определение 4. Множеством сингулярности для непрерывной функции <р*(1;,х) называется множество точек (¿, х) е Пт, в которых функция <р*(1,х) недифференцируема.

Множество сингулярности минимаксного решения <р задачи (1), (2) обозначено символом С}.

Теорема 2. Пусть в задаче (1), (2) выполнены условия А1-АЗ. Для того, чтобы точка (£, х) принадлежала множеству сингулярности <3 минимаксного решения 1р(1, х) этой задачи необходимо и достаточно, чтобы существовали такие £1,^2 € £1 Ф £2» что выполняются соотношения

х(1,= = х, Щ, 6) = Щ, 6) = 4>&х), Щ, 6) ф Щ, &)• (8)

'Следствие 1. Если множество сингулярности (2 содеро/сит линию Г, описываемую гладкой функцией t —► х0 < Ьо < Ь < Т, то на этой линии выполняется соотношение

В четвертом параграфе рассмотрена начальная задача Коши для одномерного уравнение Гамильтона — Якоби

+ = 0, = (10)

где £ £ [0,Т], хеК.

Задача рассмотрена при следующих предположениях

AI' функция Я(-) дважды непрерывно дифференцируема и строго выпукла; А2' функция а(х) равномерно непрерывна на R.

Для этой задачи не существует минимаксного решения в смысле определений 1,3. Приведено модифицированное определение минимаксного решения и доказано, что при выполнении AV, All выполнены условия теоремы о существовании и единственности модифицированного минимаксного решения.

Вторая глава содержит три параграфа и посвящена исследованию обобщенного решения начальной задачи Коши для одномерного квазилинейного уравнения. Рассмотрена задача

^¿A-Hx(t,x,w(t,x)) = 0, w{Q,x) = Dxa{x), (11)

где

div

Hx(t,x,w(t,x)) = DxH(t,x,w) + DwH(t,x,w)—,

t € [О,!7], x € HL Задача рассматривается при условиях AI-A3 на входные данные H(t, х, w) и а(х) из первой главы.

Характеристическая система задачи (11) имеет вид

х = — DüH(t,x, w), w = DxH(t,x,w), (12)

начальные условия:

= = (13)

Рассматривается .область Go £ Пх вида

G0 = G0[a,6] = {(i,:r) £Пг:х£ [x{t,a),x(t,b)],t е [0, г]}, г = min{i*,T}

(14)

где х(•, а), х(•, 6)—решения задачи (12), (13), t*—первый момент пересечения характеристик х(-,а) и х(-,Ь).

Приведено определение локального обобщенного решения задачи (11) в смысле O.A. Олейник7.

Определение 5. Функция wa(t,x) : Go —> К является локальным обобщенным решением задачи (11), если выполняются условия

7Олейник O.A. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций // Докл. Акад. наук СССР, 1954. Vol. 95. С. 451-454

Cl для точки (¿i, жх) е Go, которая является точкой непрерывности функции wo(t,x), существует единственная характеристика £(•,£)> такая, что

í(íi,0 = *i» w(t,O=w0(t,x(t,Z)), Q<t<th

С2 для точки (¿i,х\) G Go, которая является точкой разрыва функции wo(t, х), найдутся по крайней мере две характеристики í(í,fi), и £1 ф Ь. такие, что

£(¿1,6) = si, x(t\,&) - XI,

w(í,6) =№0(í,í(í,|i)), = m{t,x(t,&)), 0 < t < tj.

C3 § H(wo(t,x))dt — wo(t,x)dx = 0, где контур С £ Go образован отрезком С

[£l>?2] С [а, Ь] и характеристиками ä(-,£i), из условия С2.

Здесь х(•, £), w(-, £) — решение задачи (12), (13).

Два обобщенных решения задачи (11) совпадают, если они совпадают в точках непрерывности каждого из решений.

Утверждение 2. 8 Если в задаче (11) выполнены условия А1-ЛЗ, то обобщенное решение задачи (11) в смысле определения 5 существует и единственно.

Введено определение глобального обобщенного решения задачи (11).

Определение 6. Функция w(t, х) называется глобальным обобщенным решением задачи (11) в полосе Пу, если выполнены следующие условия

С1 ссли точка (t\, xi) & Пу является точкой непрерывности функции w(t, х), то существует единственная характеристика £(•,£)> ^(">0 такая, что

ä(ti, О = XI, w(t, 0 = w(t, x(t, О), 0 < t < íi.

С2 если точка (ti,х\) £ П^ является точкой разрыва функции w(t,x), то найдутся по крайней мере две характеристики x(t, £i),w(t, £i) и x(t,&), w{t, &), 6 ф Ь такие, что

х(к, 6) = XI, x(h, 6) = xi, w(t,^) = w(t,x{t,^)), й[Ш = у>{г,х(Ш), 0 < ¿ < ¿i-

8 Олейник O.A. О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения «исчезающей вязкости» // Успехи мат. наук, 1959. Т. 14. № 2. С. 159-164

СЗ' § H{w(t,x))dt — w(t,x)dx = 0, для произвольного замкнутого контура с

С £ Пг.

Рассмотрена функция ю*(Ь,х), удовлетворяющая условию

w*(t, х) € D+v(T -t,x), V(i, х) е Пг.

(15)

Здесь <р(•, •) — минимаксное решение задачи Коши (1), (2), где гамильтониан Н определен в уравнении (11).

Теорема 3. Глобальное обобщенное решение задачи (И) существует, единственно и совпадает с функцией ги*.

Рассмотрим сужение функции на область Со, то есть

Теорема 4. Функция и>о(-, •): (?о —> К {16) удовлетворяет определению 5.

Рассмотрен частный случай стационарного уравнения, для которого получены формулы глобального обобщенного решения.

В третьем параграфе приведены определения слабого решения рассматриваемой задачи, введенного С.Л. Соболевым9 и энтропийного решения, введенного С.Н. Кружковым10.

Определение 7. Слабым решением краевой задачи (11) называется функция ж), которая для любой компактной области П С Пу удовлетворяет равенству

Пт

где /(£, х) — произвольная тестовая функция, бесконечное число раз дифференцируемая, с компактным носителем в П.

Определение 8. Энтропийным решением задачи (11) называется функция т(1,х), которая удовлетворяет условиям

8 Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. 444 с.

10Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Мах. сб., 1970. Т. 81, № 2. С. 228-255

W*(t, х) = Wq (t, х), (t, х) G Go

(16)

1. V а С Пг, V/(f, х) 6 /(£, х) > 0, VJfe е R

J |tu(i,я:)—Arl/t(i, a:)+sign(xw(i, as)—ж, ft)—^(i,a:, x)))/x(i,a:)d®di > 0,

Пг

где f(t,x) — произвольная тестовая функция, бесконечное число раз дифференцируемая, с компактным носителем в П; Ь

2. V[a, fe] tlimQ f w(t, x) - Dxa(x)dx - 0.

Теорема 5. Глобальное обобщенное решение w(t, х) = ui*(t, х) (15) является слабым и совпадает с единственным энтропийным решением задачи (11).

В третьей главе показана связь между глобальным обобщенным решением ui(t,x) начальной задачи Коши (11) и минимаксным решением <p(t,x) краевой задачи Коши (1), (2), где функция Н определена в (11). Для глобального обобщенного решения w(t, х) введена функция

(te)

<f>(t,x)= J w(t, y)dy + H(r,y,w(r, y))dr. (17)

(0,0)

Из условия СЗ' вытекает, что криволинейный интеграл второго рода (17) существует и не зависит от пути интегрирования.

Определение 9. Непрерывная функция <p(t, х) вида (17) называется потенциалом функции ui(t,x).

Теорема 6. Если w(t,x)~ глобальное обобщенное решение задачи (11), то существует потенциал ip(t,x) для функции w(t,x), и он связан с единственным минимаксным решением ip(t,x) задачи (1), (2) соотношением

(p(t,x) = ip(T -t, х), V(t,:г)<ЕПт.

Следствие 2. Если в задаче (11) выполнены условия А1-АЗ, то глобальное обобщенное решение при всех (t, х) 6 Пу удовлетворяет условию

w(t, х) G co{s(T - f, О : х(Т - i, О = X, <р(Т -t,x) = z(T -1,0},

где решения характеристической системы (3),(4)■

Теорема 7. Если в задачах (1), (2) и (11) выполнены условия AI-A3, тогда

• множество сингулярности Q минимаксного решения ip(t, х) задачи (1), (2) совпадает с множеством точек разрыва глобального обобщенного решения w(t,x) задачи (11);

• множество сингулярности Q минимаксного решения задачи (1), (2) состоит из не более, чем счетного числа линий t —> x(t), удовлетворяющих условию Ранкина—Гюгонио

= -H(t, x(t), w+(t, x(t))) + H(t, x(t), w.{t, x(t))) X{1 W+(t,x(t))-W-(t,x(t))

lim cpx(t,x) =w+(t,x(t)), lim ipx(t,x) = w~(t,x(t)); x-*x{t)+0 z->:r(i)-0

• на линиях t —* x(t) Ранкина—Гюгонио выполнено неравенство

w+(t,x(t)) < w~(t,x(t)).

В параграфе четыре данной главы рассмотрены задачи (1), (2) и (11) для случая выпуклого гамильтониана вида Н = H(s). Приведено доказательство совпадения репрезентативных формул для минимаксного решения задачи (1), (2) и глобального обобщенного решения задачи (11) с формулами Лакса— Хопфа и Лакса—Олейник, соответственно.

В параграфе пять приведены иллюстративные примеры построения минимаксного и глобального обобщенного решения рассмотренных краевых задач для уравнений в частных производных первого порядка.

Глава четыре посвящена приложению теории минимаксных решений уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана к решению задач оптимального управления с терминальным функционалом платы. В первом параграфе рассмотрена задача оптимального управления системой

х = f(t, х, и), и eU, x(to) = xq. (18)

Здесь 0 < to < t < Т, х G Rn — фазовый вектор системы, значения управления и выбираются из компакта U С Rm. Допустимые управления выбираются из множества U измеримых функций и(-) : [¿о, Т] —► U. Задача оптимального управления состоит в минимизации терминального функционала платы

W*(0. «(•)) = Ф(Т; to, хо, и(-))) - inf, (19)

U&J

где u(-)) : [io,T] —► R" — траектория динамической системы (18),

стартующая из начальной точки (io, хо) под действием управления и(-) € U. Задача рассматривается при следующих предположениях

D1 Функция f(t, х, и) определена и непрерывна на множестве Пр х U вместе со своими частными производными г = 1,..., п.

< ВД + 1И1), 11^^11 < вд + iHi), ij = i,...,n.

Константа К\ > 0.

D2

D3 Терминальная функция а(х) определена и непрерывна на R" вместе с щ,г — 1,... ,п.

D4 Множество arg min (з, l) = x, s)} состоит из единственного эле-¡eF(t,i)

мента при всех s ф 0, (t, х) € IIj. Здесь F(t, х) = {f(t, х, и) \и£ U}. Гамильтониан задачи (18), (19) имеет вид

H(t, х, s) = min(s, f(t, х,и)) = (s, l°(t, x, s)) (20)

Функция цены (оптимального результата) задачи (18), (19) — отображение

(to,xo)-+Val(to,xo)= inf I(x(-),u(-)). (21)

и(-)еи

Утверждение 3. Если выполнены предположения D1-DA, то существует, единственное минимаксное решение задачи Коши (1), (2), (20) для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмаиа. Минимаксное решение задачи (1), (2), (20) совпадает с функцией цены в задаче (18), (19).

Характеристическая система для задачи (1), (2), (20) имеет вид

i = DsH(t,x,s) = f(t,x,s), I = -DxH(t,x,s) = ~{fx{t,x,s),s), (22) I = (s, DsH(t, x, s)) - H(t, x, s) = 0,

краевое условие

= e, S(T,0 = Dxa(0, 5(Г,0 = ff(0 (23)

Условия Dl-DA гарантируют существование и продолжимость решений характеристической системы £(•,£), s(-,£)> z(-,£)> для любого £ € Мп.

Во втором параграфе предложены новые достаточные условия существования программного оптимального управления в задаче (18),(19).

Теорема 8. Если в задаче (18),(19) выполнены условия D1-D4 и справедливо V(t,x) G Пг 3 е : z(i,i°) = min{5(i,fl : x(t,0 = х}, S(r,?) ф 0, г е [t,T],

то оптимальный результат (21) достигается на управлении vP(-) € U.

В третьем параграфе предложен численный метод для построения оптимального управления u°(-) € Ü в задаче (18), (19).

Пусть ж* = argmin{<7(:r) : х = x(T;to,xo,u(-)), и(-) £ Ü}. Символом N обозначим число N = ^ точек разбиения U отрезка [¿о, Т] с шагом At = h. Алгоритм численного метода.

1. Решение х(-,х*), §(•, х+) характеристической системы (22), (23), стартующее в момент времени Т из точки (x*,Dxcr(x*)), аппроксимируется с помощью ломаных Эйлера с шагом At = h по времени. Аппроксимирующее решение обозначено символами

ха(; я*) : [io. Т] R", ад (■, х*) : [t0, Т] Ж1.

Одновременно согласно теореме 8 строится кусочно-постоянное управление и*(-), аппроксимирующее оптимальное управление u°(-) £ U.

2. Аппроксимация Val(to,xo) оптимального результата Val(to,xo) определяется следующим образом Val(to, xq) = а(х(Т, ¿о, и*(-))).

Оценка точности Дr(t) — \\x(t,x*) — а:д(£,а:*)|| + ||s(i,:r*) — 5д(£,я*)|| численного интегрирования характеристической системы (22), (23) имеет вид

Дr(t) < Ar (t0) < Tw ((1 + Т)а + Tw(a)), V t £ [i0, T],

где w(-) — модуль непрерывности правых частей характеристической системы, параметр а удовлетворяет при всех i = 0,..., N — 1 условиям

3R > 0 : max Дr(t) < Rh, а£ (0,1), w(Rh) + w(h) < а, w(a) + а < 1. te[t;,ti+i]

Погрешность аппроксимации оптимального результата в задаче (18), (19) обозначена символом АVal = \Val(to, хо) — Vai(io, £о)|- Справедлива оценка

AVal(t0,x0) < Аr(t0)eL(-T-to)K, где max ||A^(z)|| < К,

x€co{x',x(T,to,Xo,u'(-))}+B'

¿ = miac{||a/i(*'a;'ti)l|: x,j = 1.....», t£[t0,T], x£X, u£U},

X = {х € Ш" : I = x{t,to,x'ö>u(-)), t € [to,T], ||i{,-i0|| < M*o), <■) 6 Щ.

В четвертом параграфе данной главы рассмотрены два примера, иллюстрирующие применение предлагаемого численного метода. В первом примере приведена нелинейная модель математического маятника, получена формула непрерывного оптимального программного управления, приведены оценки численной аппроксимации оптимального результата. Рассмотрен пример A.A. Первозванского, в котором автономная управляемая система является сингулярно возмущенной и колебательной. Для этого примера построено непрерывное оптимальное управление и его численная аппроксимация. Предложен алгоритм численного нахождения корней трансцендентного уравнения, определяющих моменты, в которые оптимальное управление меняет структуру. Получена оценка погрешности вычисления оптимального результата с помощью предложенной аппроксимации оптимального управления.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Субботина H.H. Колпакова Е.А. Об определении асимптотики одного класса сингулярно возмущенных задач вибрационной механики // Автоматика и Телемеханика, 2007, Т. 11. С. 150-163

[2] Колпакова Е.А. Об определении класса оптимального управления с помощью метода харктеристик // Вестник Удмуртского университета "Математика. Механика. Компьютерные науки", 2008, вып. 2. С. 59-60

■ [3] Субботина H.H. Колпакова Е.А. О структуре локально липшицевых минимаксных решений уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана в терминах классических характеристик // Труды института математики и механики УрО РАН, 2009, Т.15, № 3. С. 202-218

[4] Колпаков а Е.А. Субботина H.H. Численное решение оптимизационных задач вибрационной механики с помощью метода характеристик // Прикладная математика и механика, 2010, Т. 74, вып. 5. С. 832-839

[5] Subbotina N.N. Kolpakova Е.А On a Linear -Quadratic Optimal Control Problem with Geometric Restriction on Controls // International Journal of Tomography and Statistics, 2007, Vol. 5, № W07 Issue 1. P.62-67

[6] Subbotina N. Kolpakova E. The method of characteristics in solving optimal control problems with terminal costs // Proceedings of the IFAC Workshop on Control Applications of Optimization, 2009, Vol. 7, Part 1. University of Jyvaskyla, Finland. Identifier: 10.3182/20090506-3-US-00058; http-.//www.ifac-papersonlme.net/Detailed/41929.html

[7] Колпакова E.A. Аппроксимация минимаксного решения сингулярно возмущенного уравнения Гамильтона - Якоби -Беллмана в примере A.A. Первозванского // Труды международного семинара по теории управления и обобщенных решений уравнений Гамильтона -Якоби - Беллмана, 2006, Т. 1. С. 100-107

[8] Колпакова Е.А. Об интегрировании характеристической системы в примере А. А. Первозванского // Сборнике трудов XXXVII региональной конференции молодых ученых "Проблемы математики и ее приложение",

2006. С. 331-334

[9] Субботина H.H. Колпакова Е.А. О численном решении одного класса оптимизационных задач вибрационной механики // Труды IX -й международной конференции, посвященной 105- й годовщине Н.Г. Четаева,

2007, Т. 3. С. 220-229

[10] Колпакова Е.А. Оценка'численной аппроксимации оптимального результата для одного класса сингулярно возмущенных задач оптимального управления // Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", 2008. С. 265-269

[11] Субботина H.H. Колпакова Е.А. Достаточные условия минимаксного решения в терминах классических характеристик // Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", 2009. С. 255-259

[12] Колпакова Е.А. Обобщенный метод характеристик в теории уравнений Гамильтона - Якоби и законов сохранения // Труды института математики и механики УрО РАН, 2010, Т. 16, № 5. Доп. номер. С. 95-102

Колпакова Екатерина Алексеевна

СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ - БЕЛЛМАНА И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Автореферат

Подписано в печать "i£>-0'iX>H Формат 60x84 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 150 экз. Заказ ДО/^З

Отпечатано в типографии ООО «Издательство УМЦ У ПИ» 620078, Екатеринбург, ул. Гагарина, 35а, оф. 2. тел. (343) 362-91-16,362-91-17

Введение

Основные обозначения

1 Задача Коши для уравнения Гамильтона—Якоби— Беллмана (-Р1).

1.1 Общие сведения

1.1.1 Постановка задачи Р1 и предположения.

1.1.2 Инструменты негладкого анализа.

1.1.3 Определение обобщенного решения задачи Р1.

1.2 Структура минимаксного решения.

1.2.1 Свойства характеристик в задаче Р1.

1.2.2 Структура минимаксного решения задачи Р1.

1.3 Описание множества сингулярности минимаксного решения.

1.4 Одномерный случай стационарной задачи Коши.

2 Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка (Р2).

2.1 Определение обобщенного решения квазилинейного уравнения

2.1.1 Постановка задачи Р2 и предположения.

2.1.2 Локальное обобщенное решение.

2.1.3 Глобальное обобщенное решение.

2.2 Теоремы существования и единственности глобального обобщенного решения.

2.2.1 Стационарный случай.

2.3 Другие подходы к определению обобщенного решения.

2.3.1 Слабое и энтропийное решения задачи Р2.

2.3.2 Связи обобщенных решений задачи Р2.

3 Связь обобщенных решений задач Р1, Р2.

3.1 Потенциал для обобщенного решения задачи Р2.

3.2 Репрезентативная формула для решения задачи Р2.

3.3 Свойства множества сингулярности минимаксного решения задачи Р1.

3.4 Связь с формулами Лакса—Хопфа и Лакса—Олейник

3.5 Пример.

4 Задача оптимального управления.

4.1 Общие сведения.

4.2 Исследование свойств оптимального управления.

4.3 Численный метод построения оптимального управления.

4.3.1 Алгоритм численного метода.

4.3.2 Параметры аппроксимации.

4.3.3 Оценки предложенного численного метода.

4.4 Примеры.

4.4.1 Пример

4.4.2 Пример 2.

4.4.3 Оценки

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию структуры и связей обобщенных решений в задаче Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана и квазилинейного уравнения первого порядка. Изучена роль классических характеристик этих уравнений в конструкциях обобщенных решений. Рассмотрены приложения полученных теоретических результатов к решению задач оптимального управления.

Актуальность темы

При описании большого числа физических процессов возникают нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Одним из таких уравнений является уравнение Гамильтона— Якоби, решения которого используются при описании движения тел в рамках классической механики. Существует тесная связь уравнений типа Гамильтона—Якоби с задачами динамической оптимизации, которые рассматриваются в вариационном исчислении, в теории оптимального управления и дифференциальных играх. Для задачи динамической оптимизации определена функция цены, которая каждому начальному состоянию динамической системы ставит в соответствие оптимальное значение функционала платы. Функция цены, как правило, негладкая, но в точках дифференцируемости удовлетворяет соответствующему уравнению Гамильтона— Якоби.

Для описания поведения сплошной среды теоретическая физика использует различные модели, которые также приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. Например: уравнение эйконала в геометрической оптике, транспортное уравнение, уравнение Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости. В газовой динамике большое количество процессов описывается квазилинейными уравнениями, которые являются следствиями физических законов сохранения массы, энергии, импульса. Законы сохранения применимы не только к дифференцируемым функциям, описывающим поведение физической величины (например, скорости течения газа), но и к негладким и разрывным функциям.

Классическим решением уравнения в частных первого порядка называется непрерывно дифференцируемая функция, которая удовлетворяет этому уравнению во всех точках области определения. Одним из методов построения единственного классического решения краевой задачи для уравнения в частных производных первого порядка является метод характеристик Коши (см., например, [66]), согласно которому отыскание классического решения сводится к решению специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, построенной по уравнению в частных производных первого порядка. Такая система дифференциальных уравнений называется гамильтоновой или характеристической, а ее решения — характеристиками. Метод Коши обнаружил, что классическое решение нелинейного уравнения в частных производных первого порядка существует, как правило, локально в окрестности заданного гладкого начального многообразия.

Однако в математических моделях, описывающих физические процессы, существует потребность изучения негладких и разрывных функций, которые определены глобально, удовлетворяют уравнениям в частных производных первого порядка в точках дифференцируемости, и их графики проходят через краевое многообразие. Такими функциями являются, например, функция цены в задаче динамической оптимизации для уравнения Гамильтона—Якоби, фронт световой волны для уравнения эйконала, эволюция поля скоростей невзаимодействующих частиц в одномерной среде для уравнение Бюргерса. Для корректного описания таких функций требуется понятие обобщенного решения уравнения в частных производных.

Большой прогресс в развитии теории обобщенных решений уравнений в частных производных был достигнут в 50-е 60-е годы XX века. Существенные результаты были получены в работах O.A. Олейник [75], A.M. Ильина [38], O.A. Ладыженской [143], Б.Л. Рождественского [64], H.H. Яненко [88], Н.С. Бахвалова [10], С.К. Годунова [26], А.Н. Тихонова [107], A.A. Самарского [108], С.Л. Соболева [90], Е. Hopf [140], P. Lax [142], W. Fleming [134], С.М. Dafermos [130].

Основные подходы, которые использовались при введении понятия обобщенного решения базировались либо на методе исчезающей вязкости, либо на обобщениях метода характеристик Коши, либо на интегральных и вариационных методах, привлекавших понятие обобщенных функций и обобщенных производных, а также на численных аппроксимациях.

В 70-е годы развитие аппарата негладкого анализа позволило существенно продвинуть теорию обобщенных решений уравнений в частных производных. Большой вклад в развитие негладкого анализа внесли работы F. Н. Clarke, который ввел понятие субградиента. Другие типы субградиентов ввели в своих работах R.T. Rockafellar, Б.Ш. Мордухович. Существенную роль в развитии негладкого анализа сыграли Б.Н. Пшеничный, В.Ф. Демьянов.

В 60-е-70-е годы С.Н. Кружковым [61], [62] было предложено понятие энтропийного решения для квазилинейного уравнения, сочетающего интегральный подход к определению обобщенного решения с конечно-разностным и опирающегося на аппарат выпуклого анализа. Для выделения содержательного единственного решения С.Н. Кружков ввел интегральное условие неубывания энтропии. Это условие показывает возможное направление быстрого изменения обобщенного решения. В дальнейшем этот подход был развит в работах Е.Ю. Панова, А.Ю. Горицкого, Г. А. Чеч-кина, Н. С. Петросян, Ph. Benilan.

В начале 80-х годов G. Crandall и P.L. Lions [128] ввели понятие вязкостного решения уравнения в частных производных первого порядка. Определение вязкостного решения базируется на локальных гладких выпуклых и вогнутых аппроксимациях обобщенного решения. Термин "вязкостные решения" был использован потому, что для доказательства существования этого решения авторы использовали метод исчезающей вязкости. Авторы показали, что результат предельного перехода от последовательности решений уравнений с частными производными 2-го порядка параболического типа с малым коэффициентом при операторе Лапласа (с малой вязкостью) удовлетворяет их определению обобщенного решения. Иифинитезимальная форма определения вязкостного решения использует понятия суб- и супердифференциалов из негладкого анализа.

В теории вязкостных решений были доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения для различных типов краевых задач. Предложены конструктивные и численные методы решения этих задач. Большой вклад в исследование вязкостных решений внесли работы L. Evans, W.Fleming, Н.М. Soner, R. J. Elliott, N. J. Kalton, M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta, M. Falcone , H. Ishii, E.N. Barron, R. Jensen, P. Cannarsa, H. Frankowska , P. Souganidis, G. Barles, В. Perthame.

В начале 80-х годов А.И. Субботиным [94] был предложен минимаксный подход к построению обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка. Термин "минимаксное решение" отражает истоки этой теории в формализации позиционной дифференциальной игры, развитой в школе H.H. Красовского [59]. Согласно минимаксному подходу график обобщенного минимаксного решения слабо инвариантен относительно комплексов гамильтоновых характеристических дифференциальных включений, определяемых аксиоматически [92], [91]. Решения характеристических дифференциальных включений называются обобщенными характеристиками. Определение минимаксного решения говорит о том, что в его графике выживают обобщенные характеристики. Инфинитизимальная форма определения минимаксного решения опирается на пару дифференциальных неравенств, использующих верхние и нижние полупроизводные Дини.

В теории минимаксных решений получены теоремы существования и единственности минимаксного решения различных типов краевых задач, предложены аналитические, конструктивные и численные методы решения этих задач. Развиты приложения этой теории к решению задач оптимального управления и дифференциальных игр. Установлена эквивалентность вязкостного и минимаксного определений обобщенных решений уравнения Гамильтона—Якоби. Существенный вклад в развитие теории минимаксных решений внесли работы В.Н. Ушакова, A.M. Тарасьева, B.C. Пацко, Н.Ю. Лукоянова, С.А. Брыкалова, H.H. Субботиной, Х.Г. Гусейнова, В.Я. Джа-фарова, A.A. Успенского, С.И. Кумкова, А.Ф. Клейменова, Л.Г. Шагаловой, A.C. Лахтина и их учеников.

Отметим, что различные обобщения гамильтоновой характеристической системы играют все большую роль в современных исследованиях задач динамической оптимизации и краевых задач для соответствующих уравнений типа Гамильтона—Якоби. Новые подходы к понятию характеристики уравнения Гамильтона—Якоби предложены в работах А.Б. Куржанского, В.И.Благодатских, A.A. Толстоногова, С.М. Асеева, Ю.С. Ледяева, A.A. Меликяна, А.И. Булгакова, J.P. Aubin, F.H. Clarke, G. Haddad.

Для построения обобщенного решения уравнения Гамильтона—Якоби— Беллмана в работах F. Clarke, H.H. Субботиной, A.C. Братуся, А.И. Овсе-евича, A.A. Меликяна были предложены конструкции, опирающиеся на классические характеристики этого уравнения.

O.A. Олейник, И.М. Гельфанд, H.H. Яненко, Б.Л. Рождественский, H.H. Кузнецов использовали классические характеристики для построения обобщенного решения квазилинейного уравнения.

Еще одним методом построения обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения является метод потенциала, который заключается в интегрировании входных данных исходной задачи по фазовым переменным и переходе к задаче Коши для соответствующего уравнения Гамильтона—Якоби. Решение новой задачи называется потенциалом решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. Метод потенциала описан в работах [88], [64] для случая, когда фазовая переменная одномерна и соответствующий гамильтониан является выпуклым или вогнутым но импульсной переменной. Показано, что потенциал является непрерывной функцией, которая находится с помощью обобщенного метода характеристик уравнения Гамильтона—Якоби. Обобщенное решение задачи Коши для квазилинейного уравнения совпадает с производной потенциала по фазовой переменной почти всюду.

Применяя методы вариационного исчисления для решения задачи Коши уравнения в частных производных первого порядка, P.Lax и Е. Hopf обосновали формулу для вычисления обобщенного уравнения Гамильтона—Якоби с гамильтонианом, выпуклым (вогнутым) по сопряженной переменной и зависящим только от нее. Аналогичную формулу получила O.A. Олейник для обобщенного решения квазилинейного уравнения.

Найти аналитическое решение для уравнения в частных производных первого порядка возможно, как правило, только в частных случаях. Поэтому для построения обобщенных решений этих уравнений активно применяют и разрабатывают численные методы [26], [10], ]81], [106], [148], [119].

Описание структуры и связей обобщенных решений различных типов уравнений в частных производных первого порядка и исследование роли классических характеристик в конструкциях этих решений остаются актуальными задачами теории обобщенных решений.

Исследования обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка важны сами по себе, а также они полезны для приложений к решению задач динамической оптимизации.

Одним из разделов динамической оптимизации является теория оптимального управления, восходящая к работам J1.C. Понтрягина [85],

B.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, R. Isaacs [2], R. Bellman [11], H.H. Красовского [58], W.H. Fleming, A. Fridmaii [135].

В настоящее время теория оптимального управления получила мощное развитие и имеет многочисленные практические применения. Фундаментальный вклад в развитие этой теории внесли H.H. Моисеев [71], Ф.Л. Чер-иоусько [114=|, Д.В. Аносов [6], В.И. Арнольд [7], В.А. Якубович [116], Ю.С. Осипов, A.B. Куржанский, А.И. Субботин, А.В.Кряжимский, L.D. Berkovits, А.Е. Bryson, G. Leitman, Y.-C. Но, J. Warga, R.J. Elliott, N.J. Kaiton.

Существенное развитие теория получила в работах В.И. Зубова, В.Ф. Кротова, Ф.М. Кирилловой, Р.Ф. Габасова, A.A. Меликяна, A.A. Чикрия,

C.М. Асеева, В.Н. Ушакова, А.Г. Ченцова, A.A. Аграчева, Л.Д. Акулсн-ко, A.B. Арутюнова, В.И. Благодатских, Ф.П. Васильева, Н.Л. Григорен-ко, А.Я. Дубовицкого, A.A. Милютина, М.С. Никольского, Л.А. Петросяиа, В.М. Тихомирова, М.И. Зеликина, А.Д. Иоффе, Ю.С. Ледяева, A.B. Дмитрука, В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриева, Е.Л. Тонкова, Г.А. Куриной, Э.Г. Альбрехта, Т.Ф. Филипповой, М.И. Гусева, В.И. Максимова, А.И. Короткого, Е.К. Костоусовой, С.Т. Завалищина, А.Н. Сесекина, О.И. Никонова и их учеников.

Как хорошо известно, функция цены задачи оптимального управления совпадает с единственным минимаксным/вязкостным решением краевой задачи для уравнения Гамильтона—Якоби— Беллмана [91], [128]. Функция цены определяет оптимальный результат для начального состояния управляемой системы. Кроме того, функция цены играет ключевую роль в построении оптимальных и почти оптимальных способов управления по принципу обратной связи.

Основополагающее значение в теории оптимального управления играет принцип максимума Л.С. Поитрягина — необходимое условие оптимальности. Гамильтонова форма этих условий [125], [145], |96] связывает экстремали и коэкстремали задачи оптимального управления с характеристиками уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана.

Актуальным и полезным является исследование приложений теории обобщенных решений уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана для численного решения задачи оптимального управления.

Цель работы

Исследование структуры минимаксного решения задачи Коши для уравнения Гамильтона—Якоби-—Беллмана, описание множества сингулярности (множества точек недифференцируемости) минимаксного решения, описание связи между минимаксным решением и обобщенным решением задачи Коши для квазилинейного уравнения. Исследование роли классических характеристик в конструкциях этих решений. Приложение теории обобщенных решений уравнений Гамильтона— Якоби—Беллмана для численного решения задачи оптимального управления с терминальным функционалом платы.

Методы исследования

Исследования данной работы опираются на обобщение метода характеристик Коши, аппарат негладкого анализа, методы теории управления, теорию дифференциальных включений, теорию многозначных отображений и теорию инвариантности.

Научная новизна

Описана структура графика минимаксного решения задачи Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана в терминах классических характеристик этого уравнения.

Введено новое понятие глобального обобщенного решения задачи Коши для одномерного квазилинейного уравнения в терминах классических характеристик и получена его репрезентативная формула. Показано, что потенциалом для глобального обобщенного решения квазилинейного уравнения является минимаксное решение соответствующего уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана. Описана структура множества сингулярности минимаксного решения в терминах классических характеристик уравнения Гамильтона—Якоби и линий Ранкина—Гюгонио.

Предложены новые достаточные условия существования программного оптимального управления в задаче управления с терминальной платой.

Разработана новая процедура численного построения оптимального программного управления с помощью попятного интегрирования гамильто-новой характеристической системы для уравнения Гамильтона—Якоби — Беллмана, и получены оценки аппроксимации оптимального результата.

Теоретическая и практическая значимость

В работе исследована роль классических характеристик для теории обобщенных решений уравнений Гамильтона—Якоби и квазилинейных уравнений.

Предложены репрезентативные формулы обобщенных решений, описана структура множества сингулярности минимаксного решения в терминах классических характеристик.

Выявлено свойство инвариантности графиков обобщенных решений относительно гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Это свойство позволяет разрабатывать новые эффективные методы построения обобщенных решений и обоснования этих конструкций.

Рассмотрены приложения полученных результатов для решения задач оптимального управления с терминальным функционалом платы. Предложен и обоснован численный метод построения оптимального программного управления, опирающийся на гамильтопову форму необходимых и достаточных условий оптимальности. Проведены численные расчеты для ряда модельных примеров.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на российских конференциях: 39-41-й Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2008, 2009,2010),научной конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвящённая памяти Н.В. Азбелева (Ижевск, 2008), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), международных конференциях: "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби" (Екатеринбург,

2005 г.), "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем", посвященного 75-летию И.Я. Каца (Екатеринбург, 2006), "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва, 2008), "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация"(Минск, 2008), "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию В.А. Садовничего (Москва, 2009), международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2009), "Актуальные проблемы теории устойчивости и управления" (Екатеринбург, 2009), международной научной конференции, посвященной 105-летию С.М. Никольского, "Современные проблемы анализа и преподавания матема-тики"(Москва, 2010), XII International Symposium on Dynamic Games and Applications, (Sophia- Antipolice, 2006), 13-th International Workshop IFAC on Control Applications of Optimization (Paris, 2006), X IFAC Workshop on Control Applications of Optirnization(Jyvaskyla, 2009), а также на семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН и кафедры системного анализа ВМиК МГУ.

Публикации

Материал диссертации опубликован в двадцати семи работах. Из них 4 публикации в изданиях из списка ВАК ([55], [56], [99], [101]), 2 публикации в иностранных журналах ([152], [153]), 6 публикаций в рецензируемых российских сборниках и журналах ([51]-[54], [100]) и 15 тезисов докладов ([44Н50], [102]—[105]).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов и утверждений сквозная. Нумерация формул тройная. Объем работы 121 страница, включая 9

1. Аграчев A.A., Сачков Ю.Л., Геометрическая теория управления. М.: Физматлит. 2005. 392с.

2. Айзеке Р., Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967. 479с.

3. Акулепко Л.Д., Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука. 1987. 366 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В., Оптимальное управление. М.: Наука. 1979. 430 с.

5. Альбрехт, Э. Г., Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2000, Т. 6, Ж, С. 27-38.

6. Аносов Д.В., О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Матем. сборник, 1960. Т. 50, № 3. С. 299 -334.

7. Арнольд В.И., Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974. 416 с.

8. Арутюнов A.B., Асеев С.М., Принцип максимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями // Докл. РАН., 1994, Т. 334, т. С. 134-137.

9. Барбашин Е.А., Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 1967. 224 с.

10. Бахвалов Н.С., Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1975. 631 с.

11. Беллман Р., Динамическое программирование. М.: И.л. 1960. 400 с.

12. Благодатских В.И., Филиппов А. Ф., Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды Матем. института им. Стеклова., 1985. Т.169. С. 194-252.

13. Блехман И.И., Вибрационная механика. М.: Физматлит. 1994. 400 с.

14. Болтянский В.Г., Математические методы оптимального управления. М.: Наука. 1966. 308 с.

15. Брайсон А., Хо Ю-ши, Прикладная теория оптимального управления. М: Мир. 1972. 544 с.

16. Братусь A.C., Волосов К.А., Точные решения уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана для задач оптимальной коррекции с интегральным ограничением на суммарный ресурс управления // Докл. РАН, 2002. Т. 358. № 3. С. 319-322.

17. Брыкалов С.А., Существование решения, удовлетворяющего дифференциально-функциональному уравнению почти всюду // Изв. вузов. Матем., 1983. № 3. С. 22-30.

18. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М: Высшая школа. 1990. 208 с.

19. Варга Дж., Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977. 624 с.

20. Владимиров B.C., Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 512 с.

21. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М., Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1971. 508 с.

22. Гайцгори В.Г., Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука. 1991. 224 с.

23. Галкин В.А., Метрическая теория функциональных решений задачи Коши для системы законов сохранения // Докл. Академии наук, 2010. Т. 431, № 3. С. 298-300.

24. Гамкрелидзе Р.В., Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд.-во Тбилисского университета. 1975. 256 с.

25. Гелъфанд И.М., Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук, 1959. Т. 14. № 2. С. 87—158.

26. Годунов С.К., Уравнения математической физики. М.: Наука. 1979. 392 с.

27. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А., Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка: обобщенные решения, ударные волны, центрированные волны разрежения. М.: Издательство МГУ. 1994. 96 с.

28. Григоренко И. J1., Дифференциальные игры преследования несколькими объектами, М.: Издательство МГУ. 1983. 79 с.

29. Гусев М.И., Куржанский А.Б. , К оптимизации управляемых систем при наличии ограничений // Дифференц. уравнения, 1971. Т. 7. № 9. С. 1591 1602.

30. Данилин А.Р., Аппроксимация сингулярно возмущенной эллиптической задачи оптимального управления // Матем. сб., 2000. Т. 191. № 10. С. 3-12.

31. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M., Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука. 1990. 432 с.

32. Дмитриев М.Г., Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления // Дифференц. уравнения., 1985, Т. 21, №.10, С. 1693-1698.

33. Дубовицкий А.Я., Милютин, A.A. // Задачи на экстремум при наличии ограничений, Докл. АН СССР.1963. Т. 149. № 4, С.759-762

34. Завалищин С. Т., Сесекин А.Н., Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука. 1991. 256 с.

35. Зеликин М.И., Оптимальное управление и вариационное исчисление. М.: Наука. 1985. 160 с.

36. Зубов В.И., Лекции по теории управления. М.: Наука. 1975. 496 с.

37. Ильин A.M., Пограничный слой // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные исследования, 1988, Т.34. С. 175-214.

38. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A., Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук, 1962, Т. 17, № 3. С. 3-146.

39. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М., Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974. 480 с.

40. Кларк Ф., Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука. 1988. 280 с.

41. Колмогоров А.Н., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1968. 496 с.

42. Колпакова Е.А., Метод резонансных откликов в задаче оптимального управления быстрым осциллятором // Аннотации докладов IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, 2006. Т. 1. С. 69.

43. Колпакова Е.А., Метод характеристик в численном решении оптимизационных задач вибрационной механики // Вестник Тамбовскогоуниверситета. Серия: естественные и технические науки, 2007. Т. 20, вып.4, С. 469-470.

44. Колпакова Е.А., Субботина H.H., Анализ численного решения задач вибрационной механики с помощью метода характеристик // Сборник тезисов X международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", 2008. С. 291-292.

45. Колпакова Е.А., Обобщенный метод характеристик в теории уравнений Гамильтона Якоби и законов сохранения // Труды Института , математики и механики УрО РАН, 2010, Т. 16, № 5. Доп. номер. С. 95102.

46. Колпакова Е.А., Субботина H.H., Численное решение оптимизационных задач вибрационной механики с помощью метода характеристик // Прикладная математика и механика, 2010, Т. 74, вып. 5. С. 832-839.

47. Колпакова Е.А., Об определении класса оптимального управления с помощью метода харктеристик // Вестник Удмуртского университета "Математика. Механика. Компьютерные науки", 2008, вып. 2. С. 5960.

48. Короткий А.И., Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, 1991. № 2, С. 154-164.

49. Красовский H.H., Теория управления движением. М.: Наука. 1968. 475 с.

50. Красовский H.H., Субботин А. И., Позиционые дифференциальные игры. М.: Наука. 1974. 455 с.

51. Кротов В.Ф., Гурман В. И., Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука. 1973. 448 с.

52. Кружков С.И., К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Успехи мат. наук, 1965. Т. 20. № 6. С. 112-118.

53. Кружков С.Н., Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Мат. сб., 1970. Т. 81, № 2. С. 228255.

54. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С., Метод экстремального сдвига и задачи оптимизации // Труды Иститута математики и механики УрО РАН, 2004. Т. 10, № 2. С.83-105.

55. Кузнецов H.H., Рождественский Б.Л., Построение обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // Успехи мат.наук, 1959. Т. 14. № 2(86). С. 211-215.

56. Куржанский A.B., Филиппова Т.Ф., Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Тр. МИАН, 1995. Т. 211. С. 304-315 .

57. Курант Р., Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1964. 832 с.

58. Лахтин А. С., Субботин А. ИМногозначные решения уравнений с частными производными первого порядка // Матем. сб., 1998. Т. 189, № 6. С. 33-58.

59. Лукоянов Н.Ю., Стратегии прицеливания в направлении инвариантных градиентов // Прикладная математика и механика, 2004. Т.68, т. С.629-643.

60. Моисеев H.H., Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971. 424 с.

61. Мордухович Б.Ш., Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1988. 360 с.

62. Никольский М. С., Нестационарные линейные дифференциальные игры // Кибернетика, 1970, №1, С.98-102.

63. Овсеевич А. И., Локальный принцип Беллмана в задачах оптимального управления // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1981. № 4. С. 3-9.

64. Олейиик O.A., О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций // Докл. Акад. наук СССР, 1954. Т. 95. С. 451454.

65. Олейник O.A., Задача Коши для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с разрывными начальными условиями // Труды московского математического общества, 1956. Т. 5. С. 433-454.

66. Олейиик O.A., Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук, 1957. Т.12, № 3. С. 3-73.

67. Олейник O.A., О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения «исчезающей вязкости» // Успехи мат. наук, 1959. Т. 14. № 2. С. 159-164.

68. Осипов Ю.С., К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // Докл. АН СССР, 1975. Т. 223. № 6. С.1314-1317.

69. Панов Е.Ю., О единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с одной допустимой строго выпуклой энтропией // Математические заметки, 1994. Т. 55, вып. 5. С. 116-129.

70. Пацко В. С., Поверхности переключения в линейных дифференциальных играх // Современная математика и ее приложения, Тбилиси, 2005. Т. 23, С. 79-122.

71. Первозванский A.A., Гайцгори В.Г., Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука. 1979. 342 с.

72. Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциль-ных уравнений. М.: Наука. 1964. 280 с.

73. Петросян Л. А., Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленинградского государственного университета. 1977. 224 с.

74. Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1968. 356 с.

75. Пшеничный Б.Н., Игра с простыми двидениями и выпуклым терминальным множеством // Труды семинара "Теория оптимальных решений", 1969. Т.16. № 3. С. 3-16.

76. Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.И., О дифференциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика, 1970. № 2, С.54-63.

77. Рождественский Б.Л., Янспко H.H., Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1968. 687 с.

78. Румянцев В.В., О формах принципа Гамильтона в квазикоординатах // Прикладная математика и механика, 1999. Т. 63, №.2. С. 172— 178.

79. Соболев С.Л., Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. 444 с.

80. Субботин А.И., Обобщенные решения дифференциальных уравнений первого порядка. Ижевск: РХД. 2003. 336 с.

81. Субботин А.И., Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона—Якоби. М.: Наука. 1991. 216 с.

82. Субботин А.И., Ченцов А.Г., Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981. 288с.

83. Субботин А.И., Субботина H.H., Функция оптимального результата в задаче управления // Докл. АН СССР, 1982. Т. 266. № 2. С. 294-299.

84. Субботин А.И., Тарасьев A.M., Ушаков В.Н., Обобщенные характеристики уравнений Гамильтона—Якоби // Изв. АН. Техн. кибернетика, 1993. № 1. С. 190-197.

85. Субботина H.H., Колпакова Е.А., О численном решении одного класса оптимизационных задач вибрационной механики // Труды IX -й международной конференции, посвященной 105- й годовщине Н.Г. Че-таева, 2007, Т. 3. С. 220-229.

86. Субботина H.H., Колпакова Е.А., Об определении асимптотики одного класса сингулярно возмущенных задач вибрационной механики // Автоматика и Телемеханика, 2007, Т. 11. С. 150-163.

87. Субботина H.H., Колпакова Е.А., Достаточные условия минимаксного решения в терминах классических характеристик // Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", 2009. С. 255-259.

88. Субботина H.H., Колпакова Е.А., О структуре локально липшицевых минимаксных решений уравнения Гамильтона Якоби - Беллмана в терминах классических характеристик // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2009, Т.15, № 3. С. 202-218.

89. Субботина H.H., Колпакова Е.А., Метод характеристик Коши для решения задач оптимального управления и законов сохранения // Тезисы докладов международной конференции по математической теории управления и механике, 2009. С. 93-95.

90. Субботина H.H., Колпакова Е.А., Метод характеристик в решении задач оптимального управления // Тезисы докладов международной конференции "Управление и оптимизация динамических систем", 2009. С. 96-97.

91. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н., Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби // Изв. РАН. Техн. кибернетика, 1994. № 3. С. 173-185.

92. Тихонов А.Н., Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр перед производными // Матем. сборник, 1952. Т.31. № 3. С. 575-586.

93. Тихонов А.Н., Самарский A.A. //О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка, Докл. АН СССР. 1954. Т. 99, № 1. С. 27-30

94. Толстоногое A.A., Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука. 1986. 297 с.

95. Филиппов А.Ф., Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. 224 с.

96. Фихтенголъц Г.М., Основы математического анализа. Том 3. М: Физ-матлит. 1960. 656 с.

97. Хрусталев М.М., Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана // Докл. АН СССР, 1980. Т. 254. С. 293- 297.

98. Чепцов А.Г., К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР, 1976, Т. 226, №1, С. 73-76.

99. Чериоусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н., Управление колебаниями. М.: Наука. 1980. 384 с.

100. Чикрий А.А., Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова думка. 1992. 384 с.

101. Якубович В.А., Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений // Матем. сб., 1951. Т.28, С. 217—240.

102. Andreianov В. P., Benilan Ph., Kruzhkov S. N., Ll-Theory of Scalar Conservation Law with Continuous Flux Function // Journal of Functional Analysis, 2000.V. 171, Issue 1. pp. 15-33.

103. Aubin J.-P., Viability theory. Boston: Systems & Control : Foundations & Applications. Birkhauser Boston, Inc. 1991.543 p

104. Bardi M., Evans L. C., On Hopf's formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations // Nonlinear Analysis, Theory, Methods, Appl., 1984. Vol. 8. № 11, pp. 1373-1381.

105. Barles G., Perthaine B. // Exit time problems in optimal control and vanishing viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, SIAM J. Control Optimiz. 1988. Vol. 26, pp.1133-1148

106. Barron E. N., Jensen R., The Pontryagin maximum principle from dynamic programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations. // Trans. Amer. Math. Soc., 1986. Vol. 298. № 2, pp.635—641.

107. Berkovitz L. D., Optimal feedback controls // SIAM J. Control Optimiz., 1989. Vol. 27, pp. 991-1006.

108. Cannarsa P., Frankowska H., Some characterization of optimal trajectories in control theory // SIAM J. Control Optimiz., 1991. Vol. 29, pp.1322-1347.

109. Clarke F.H., Generalized gradients and applications // Trans. Airier. Math. Soc., 1975. Vol. 205, pp.246-262.

110. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P. R., Nonsmooth Analysis and Control Theory. New York: Springer. 1997. 278 p.

111. Conway E.D., Hopf E., Hamilton's theory and generalized solutions of the Hamilton-Jacobi equations // Trans. Arner. Math. Soc., 1964. Vol. 13, pp. 939-986.

112. Crandall G., Lions P.L., Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations // Trans. Amer. Math. Soc., 1983, Vol. 277, № 1, pp. 1-42.

113. Crandall M.G., Ishii H., Lions P.L. // Uniqueness of viscosity solutions revisited, J. Math. Soc. Japan.1987. Vol.39, pp. 581-596

114. Dafermos C.M., Hyperbolic Consrvation Laws in Continuum Physics. Verlag: Springer. 2005. 626p.

115. Evans L.C., Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics: AMS. 1997. Vol. 19. 664p.

116. Fleming W. H., The Cauchy problem for a nonlinear first order differential equation // J. Diff. Equations, 1969. Vol. 5, № 3, pp.515-550.

117. Friedman A., Differential Games. New York: Wiley Interscience. 1971. 350p.

118. Gaitsgory V.G., Limit Hamilton-Jacobi equations for singularly perturbed zero-sum differential games //J. Math. Anal. Appl., 1996. Vol. 202, pp.862-899.

119. Goritski A.Yu., Panov E. Yu., Example of Nonuniqueness of Entropy Solutions in the Class of Locally Bounded Functions // Russian J. of Math. Physics, 1999. Vol. 6. № 4, pp. 492-494.

120. Guseinov H.G., Subbotin A.I., Ushakov V.N., Derivatives for multivalued mappings with applications to game-theoretical problems of control // Probl. Contr. Inform. Theory, 1985. Vol. 14, № 3, pp. 155-167.

121. Haddad G., Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory // Israel J. Math, 1981. Vol. 39, pp.83—100.

122. Hopf E., Generalized solutions of nonlinear equations of first order //J. Math. Mech., 1965. Vol. 14, pp.951-972.

123. Ishii H., Uniqueness of unbounded viscosity solutions of Hamilton— Jacobi equations // Indiana U. Math. J., 1984. Vol. 26, pp. 721-748.

124. Lax P., Hyperbolic systems of conservations laws // Coininun. Pure Appl. Math., 1957. Vol 10. pp.537- 566.

125. Ladyzhenskaya O.A., The Boundary Value Problems of Mathematical Physics. Berlin: Springer. 1985. 322p.

126. Lions P.L., Souganidis P.E., Differential games, optimal control and directional derivatives of viscosity solutions of Bellman's and Isaacs's equations // SIAM J. Control Optimiz., 1985. Vol. 23. № 4, pp.566- 583.

127. Miricha S., Extending Cauchy's method of characteristics for Hamilton— -Jacobi equations // Stud. Cere. Mat., 1985. Vol. 37. № 6, pp. 555—565.

128. Melikyan A.A., Generalized Characteristics of First Order PDEs: Applications in Optimal Control and Differential Games. Boston: Birkkauser. 1998. 315p.

129. Rockafellar R.T., Wets R.J-B., Variational Analysis. N.Y.: Springer. 1998. 734p.

130. Souganidis P.E., Max-min representations and product formulas for the viscosity solutions of Hamilton—Jacobi equations with applications to differential games // Nonlinear Analysis. Theory, Meth. Appl, 1985, Vol.9. № 3. pp.217—257.

131. Subbotina N.N., The method of characteristics for Hamilton-Jacobi equation and its applications in dynamical optimization // Modern mathematics and its applications, 2004, Vol. 20. pp. 2955-3091.Литература

132. Subbotina N.N., Kolpakova E.A., On a Linear—Quadratic Optimal Control Problem with Geometric Restriction on Controls // Preprints International Workshop IFAC on "Control Applications of Optimization'", 2006, pp. 75-80.

133. Subbotina N.N., Kolpakova E.A., A numerical method in optimization problems for fast linear oscillator // Preprints XII International Symposium on Dynamic Games and Applications, 2006. pp. 202-203.

134. Subbotina N.N., Kolpakova E.A, On a Linear -Quadratic Optimal Control Problem with Geometric Restriction on Controls // International Journal of Tomography and Statistics, 2007, Vol. 5, № W07 Issue 1. pp.62-67.