Метод характеристик в теории уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в теории управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

I).

СУББОТИНА Нина Николаевна

МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК В ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА- ЯКОБИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург 2003

Работа выполнена в отделе динамических систем Института математики и механики Уральского отделения РАН

Официальные оппоненты: академик РАН H.H. Красовский

член-корреспондент РАН A.B. Кряжимский

доктор физико-математических наук.

профессор A.A. Меликян

Ведущая организация - Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 18 июня 2003 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора фнзико-математическнх наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП-384. ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мгститута математики к механике Уральского отделения РАН.

Автореферат разослан мая 2003 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

iit^r"

Т.Ф. Филиппова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Объектом исследования диссертации являются обобщеные решения краевой задачи Коши для уравнений в частных производных первого порядка типа Гаьшльтона Якоби и квазилинейного параболического уравнения Айзекса. Решения рассматриваемой краевой задачи в заданный конечный момент времени должны совпадать с заданной краевой функцией.

Уравнения в частных производных первого порядка возникают при решении большого числа прикладных (инженерных, управленческих, навигационных, экономических, химических, биологических) и теоретических задач. Так, хоропто известны: в теоретической механике - уравнение Гамильтона-Якоби; в теории оптимального управления - уравнение Веллмана; в теории дифференциальных игр - уравнение Айзекса; в геометрической оптике -уравнение эйконала; в газовой динамике - уравнение Хопфа и т.д..

Классическим методом решения краевых задач для этих уравнений является метод характеристик, предложенный О.Коши в первой половине XIX века. Этот метод сводит интегрирование уравнений в частных производных первого порядка к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которой называются характеристиками. Метод Коши 2 основан на том, что график классического решения краевой задачи для уравнения в частных производных первого порядка инвариантен относительно характеристик.

Ограниченность применения этого метода объясняется тем, что в случае нелинейного уравнения в частных производных первого порядка, классическое (гладкое) решение существует, как правило, лишь локально. В то же время, в приложениях изучаются негладкие (недифференцнруемые на множестве меры нуль) или разрывные функции, имеющие, например, следующий содержательный смысл: времени оптимального быстродействия, оптимального расстояния до цели в заданный момент времени; негладкого фронта

1Курыгт Р. Уравнения с ч&сткымн производными. М.: Мир. 1964. Т ?

^Пнронклй И.Г Лс&днн по теория обыкиовяшыт дифференциальных уравепнй М.: Hajra, 1964.

3 i рос национальная

f библиотека

1 С Петербург

| «Ш^Ис

распространения световой волны в неоднородной среде; к т.д..... Эти негладкие функции определены глобально, удовлетворяют краевому условию, а в точках дифференцируемое™ удовлетворяют соответствующему уравнению в частных производных первого порядка. Они могут рассматриваться как обобщенные решения краевой задачи.

Потребность введения корректного понятия обобщенного решения уравнения Гамильтона-Якоби и других типов уравнений в частных производных стимулировала активные исследования в 50-е-70-е годы XX века. Задачи, связанные с изучением слабых решений уравнений в частных производных, исследовались в работах Н.С. Вахвалова, L.C. Evans, W.H. Fleming, И.М. Гель-фанда, С.К. Годунова, E.Hopf, O.A. Ладыженской, Р. Lax, O.A. Олейннк, Б.Л. Рождественского, A.A. Самарского, СЛ. Соболева, А.Н, Тихонова и многих других известных математиков. Эти исследования опирались, в основном, на интегральные методы и интегральные свойства обобщенных решений. Среди исследований этого периода отметим результаты С.Н. Кру-жкова, которые были получены для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, В его работах были заложены основы систематического применения субдиф-фереыциального аппарата выпуклого анализа для исследования негладких решений уравнений в частных производных. Ф. Кларком для исследования обобгцепного решения уравнения Беллмана было предложено использование другого аппарата негладкого анализа - обобщенных производных по направлению. Дальнейшее развитие выпуклого и негладкого анализа позволило применять к исследованию обобщенных решений уравнений в частных производных новые результаты и методы, основанные на обобщениях понятия дифференцируемости.

Развивая и применяя технику использования суб- и супердифференциалов негладких функций, М. Крендалл и П.Л. Лионе 3 ввели понятие вязкостного решения (viscosity solution), существование которого доказывалось с помощью метода исчезающей вязкости. В рамках этой теории, имеющей многочисленных последователей, доказаны теоремы существования и един-

3CrkinlnlL M.G. «od P. L. Lions Vbconlj sohlt ion* of Himiltioa-Jacobi equations. Ъии. Aitltt Math. Soc., 1083, 2TT, 1-43.

ственности для различных типов уравнений первого порядка, эллиптических и параболических уравнений и различных типов краевых задач. Большое внимание уделяется вопросам разработки конструктивных и численных методов построения вязкостных решений, что вызвано потребностью приложение теоретических результатов к решению различных прикладных задач. Важную роль в этих исследованиях играют О. Alvarez, Ъ. Artstein, M. Bardi, G. Barles, E.N. Barroa, I. Capuzzo-Dolcetta, P.D. Christofides, M.G. Crandall, L.C. Evans, M. Falcone, W.H. Fleming, V.G. Gaitsgory, H. Ishil, R. Jensen, S. Koike, P.L. Lions, B. Perthame, H.M. Soner, P.E. Souganidis, X.Y. Zhou.

Другая известная концепция обобщенного решения на базе идемпотснтно го анализа, предложена в работах В.П. Маслова 4 и его учеников. С помощью этого подхода, линеаризующего выпуклые задачи, исследуются уравнения Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом и их приложения к задачам математической физики.

Исследования данной диссертации проводятся в рамках теории минимаксных решений, предложенной А.И. Субботиным 5> е. Концепция обобщенного, минимаксного решения имеет свои истоки в теории позиционных дифференциальных игр, развитой в школе H.H. Красовского 7> 8 и базирующейся на минимаксных оценках и операциях. Фундаментальный вклад в труды этой школы по теории позиционного управления, наблюдения, оценивания и реконструкции внесли работы Ю.С. Осипова, A.B. Куржанского, А.И. Субботина, A.B. Кряжимского, В.Е. Третьякова, А.Г. Ченцова. Активная роль в этих исследованиях принадлежит также Э.Г. Альбрехту, В.И. Ананьеву, В.Д. Батухтину, Ю.И, Бердышеву, С.А. Врыкалову, B.JI. Гасилову, М.И. Гусеву, Х.Г. Гусейнову, С.Н. Завалищину, А.Я. Кацу, A.B. Киму, А,Ф. Клейменову, А.И. Короткому, А.Н. Красовскому, В.И. Максимову, О.И. Никонову,

4Килок'игъГ(1и( ВН., В Цг M ас лор. ДцпщкпсвтвыВ штлцз и его прииоит и оцпш&лыпи управлении. M.; H»yi», 19М.

'Суббогян А.И Обобщение основного j*p и н с кик >аоря»г дйфф^ряд^тдьйш игр. Дйши^ АЛ СССР, 1980, 254, №2, сгр.293-297.

'Субботш А.И. Микны&лсныг а уравнения Гшильпип-Якобн, M " Наукл. 1УУ].

'Красовсшй H.H. Игровые щддчи о встрече движений. М.: Науж», 1970.

"Красовскцй H H., А.И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наужа, 1974.

В.Г. Пименову, А.Н. Сесекику, И.Ф. Сивергиной, A.M. Тарасьеву, В.Н. Ушакову, Т.Ф. Филипповой, Г.И. Шишкину, А.Ф. Шорикову, B.C. Пацко и их ученикам.

На базе обнаруженного в теории позиционных дифференциальных игр факта инвариантности над графика и подграфика функции цены игры относительно так называемых "уравнений в контингенцихх" H.H. Красовским и А.И. Субботиным быи введены фундаментальные понятия теории игр: понятия и-стабилъности и v-сгпабилъностпи вещественных функций. Этот факт и эти понятия, а также связь функции цены игры с обобщенными решениями уравнением Айзекса, — послужили прообразами формализации минимаксного решения уравнения в частных производных первого порядка. Понятие минимаксного решения можно определить различными способами 9, в том числе в инфинитезимальной форме, при помощи средств негладкого анализа: производных по направлениям, конусов касательных направлений, су б- » су пер-дифференциалов и т.д. Все эти определения описывают свойство слабой унварыакяшости графика минимаксного решения относительно обобщенных характеристик, т.е. решений специальных, характеристических дифференциальных включений. В рамках теории минимаксных решений доказаны теоремы существования и единственности, корректности и содержательности понятия минимаксного решения для различных типов краевых чадач уравнений в частных производных первого порядка. Развиты кон* структивные я численные (в том числе сеточные) методы решения ■таих задач. Активное участие в исследованиях минимаксных решений и их приложениях в последние годы принимали: С. А. Брыкалов, XX. Гусейнов, А.М. Та-расьев, В.Н, Ушаков, B.C. Пацко, С.И. Кум ков, Н.Ю. Лукоянов, В.А. Вахру-щев, В,Я. Джафаров, С,В. Григорьева, A.C. Лахтин, A.A. Незнахин, Н.Л. Пацко, Т.Н. Решетова, В,Л. Турова, A.A. Успенский, А.П. Хрипунов, Л.Г. Шагалова, А.Г. Иванов, Л.В. Камнева, С.С. Кумков. Важным результатом теории минимаксных решений уравнений в частных производных первого порядка является доказательство нетривиального факта эквивалентности

^Subbotm, A L Generalized Snhstiong of First-Order PDEv The Dyn amieiü Optimization Perspective Bilkbmuer: Boston, 1ÔS1.

понятий минимаксного и вязкостного решений.

Определение минимаксного решения можно трактовать, как релаксацию и обобщение классического метода характеристик Коти. Данная диссертация посвящена дальнейшему развитию и новым приложениям теории минимаксных решений к задачам оптимального управления и дифференциальным играм. Поэтому метод характеристик является ключевым вынссен в заголовок диссертации.

Обобщения метода характеристик играют все большую роль в современных исследованиях задач динамической оптимизации и краевых задач для соответствующих уравнений в частных производных. Новые подходы предложены в работах Л.P. Aubin. F.H. Clarke, H. Prankowska, G.Haddad, А.В Куржанского, Ю.С. Ледяева, A.A. Меликяна, Л.Ф. Зеликиной и многих других исследователей.

Особое место в задачах оптимального управления и дифференциальных играх занимает обобщенное решение уравнения Гамильтона-Якоби-Белл-маяа Айэекса, которое совпадает с функцией цены. Эта функция каждой точке фазового пространства задачи ставит в соответствие оптимальный результат, достижимый из нее, как из начальной. Кроме того, она играет ключевую роль в построении оптимальных и почти оптимальных позиционных способов управления Исследования функции цепы имеют источником работы Р. Айзекса10 и Р. Беллмана11 Большое внимание этим исследованиям уделялось также в работах школы Л.С. Понтрягина 12.

В диссертации исследуется функция Беллмана (функция цены) для задачи оптимального управления с фупкционалом типа Больца как минимаксное решение уравнения Беллмана. Эта задача привлекает большое внимание теоретиков и прикладников. Среди исследований этой задачи, использующих для ее изучения функцию Беллмана, отметим наиболее близкие к проблематике диссертации работы Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, С.Н. Кружко-

Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.

1 'Бг.1лм!ш Г. Дкиаикческое црргр&нннравыпге, M Иэд по иностр. литературы.,

11Поитрагик Л.С , Бшпжпй В.Г.. Гвнкрнщцзе Р.В.. Е.Ф. Миндалю- М&теымичесждя теорнж опткмыьвых процессов. М. Наука, 1961.

ва, JI.И. Розоноэра, М.М. Хрустал ева, В.А. Вязгина, В.Ф. Кротова, M.Bardi, E.N. Barron, L.D. Berkovitz, P. Cannarsa, F.H, Clarke, H.Ftankowska, R. Jensen, G. Leitman, P.L. Lions, S. Mine à, R.T.Rockafellar, R. Vinter.

Теория минимаксных решений уравнения Беллмана используется в диссертации для обоснования метода динамического программирования в случае негладкой функции Беллмана и построения оптимального синтеза в рассматриваемой задаче оптимального управления; для получения необходимых и достаточных условий оптимальности, дополняющих принцип максимума Понтряпша, и для описания взаимосвязи классических результатов: метода динамического программирования Беллмана, принципа максимума Понтря-гина и метода характеристик Коши. Еще один аспект исследований диссертации: получение формулы локально-липшицевого решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в терминах классических характеристик.

Новым направлением в теории минимаксных решений, получившим свое развитие в диссертации, является исследование возможности сингулярной аппроксимации минимаксного решения невоэму/ценного уравнения Гамильтона Якоби с помощью минимаксных решений уравнений Гамильтона Якоби, рассматриваемых в расширенном фазовом пространстве и сингулярно возмущенных по части импульсных неременных, а также получение достаточных условий сингулярпой аппроксимации и приложение этих результатов к построению асимптотик сингулярно возмущенных дифференциальных игр. Начало этим исследованиям положили работы А.Н. Тихонова 13, они близки также результатам Е.Ф. Мищенко и JI.C. Понтрягина, связанным с математическим описанием динамических процессов для систем с быстрыми и медленными движениями. Это направление исследований и приложений имеет многочисленных последователей. Среди работ, наиболее близких к исследованиям диссертации, отметим работы A.B. Васильевой, А.Ф. Бутузова, В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриева, А. Фрадкова, Z. Artstein, V. Bardi, E.N. Barron, A. Bensousaan, L.C. Evans, P. Donchev, R. Jensen, P.V. Kokotovitc, V. Ve-liov.

"Тихонов А.Н. Системы дафферендкальных уравнений, содерж&аше идпчй пархметр перед производными. Матсм. сборок. 1951. Т.31 No Я. С.67k-589.

Еще одним направлением исследований минимаксных решений является развитие теории этих решений для уравнений в частных производных порядка выше первого и, в частности, для квазилинейного параболического уравнения Гам ил ьтона-Я коби-Азезсса, обобщенным решением которого является функция цены диффузионной дифференциальной игры с частично вырожденным шумом, В работах H.H. Красовского, В.Е. Третьякова, А.Н. Красовского 14 доказано существование функции цены такой игры, введены понятия и обоснованы свойства и-стабилъности и v-стабилъности этой функции. Интерес к этому обобщенному решению квазилинейного параболического уравнения Айзекса объясняется теми же причинами, что и в упомянутом выше детерминированном случае. Понятие обобщенного вязкостного решения квазилинейного параболического уравнения Гамильтона-Якоби-Азекса было введено P.JI. Лионсом с помощью понятий суб- и суперструй, включающих понятия суб- и супердифференциалов и матриц коэффициентов вторых производных в аппроксимациях оператора Лапласа. Исследованиями обобщенных решений и совпадающих с ними функций цены соответствующих стохастических дифференциальных игр занимались: О.А.Олейник, А.М.Ильин, С,Н.Кружков, О.А.Ладыженская, W.H. Fleming, F.Fridman, M.G. Crandall, L.C. Evans, P.L. Lions, H. Ishii, H.M. Sonet и многие другие исследователи. Развитие концепции минимаксного решения квазилинейного параболического уравнения Гамильтона-Якоби-Азекса в инфинитезимальной форме метода обобщенных характеристик, а именно, с помощью аппарата обобщенных стохастических производных относительно множества направлений сноса и матрицы диффузии - является началом нового перспективного направления в теории минимксных решений и их приложений. Интерес представляет также развитие самого аппарата обобщенных стохастических производных для отдельных классов негладких функций и применение этих результатов в теории диффузионных игр специальных типов.

Цель работы. Целью работы является дальнейшее развитие теории минимаксных решений для новых типов уравнений: сингулярно возмущен-

"Краамюшй H H., B E Tjk-t-ьяжон Сгллопля tohsä <;гщд<-гичесь'од дифф*'рснкш^1ьиой lupkj. Доел. АН СССР, 1980. Т.254. No.3. С.534-539.

ного уравнения Гамильтона-Якоби и квазилинейного параболического уравнения Айзекса, а также обоснование приложений теории минимаксных решений этих уравнений и уравнения Беллмапа к задачам оптимального управления и дифференциальным играм.

Методы исследования. При исследовании минимаксных решений используются методы и аппарат теории дифференциальных включений, негладкого анализа, динамической оптимизации и позиционных дифференциальных игр, а также методы теории случайных процессов.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. В работе для минимаксных решений уравнения Беллмана: получена репрезентативная формула минимаксного решения, как огибающей гладкого семейства функций; предложен вывод принципа максимума Понтрягина с помощью свойств дифференцируемости по параметру обыкновенных дифференциальных уравнений; доказано совпадение экстремалей и коэкстремалей принципа максимума Понтрягина с классическими характеристиками Коши для уравнения Беллмана; получено условие первого порядка, дополняющее принцип максимума Понтрягина до необходимых и достаточных условий оптимальности; обоснован метод динамического программирования и структура оптимального синтеза - оптимального управления по принципу обратной связи; получена формула минимаксного решения краевой задачи Коши для нелинейного уравнения типа Беллмана на базе классических характеристик этого уравнения.

Для минимаксных решений сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якоби, которые содержат малый параметр сингулярности в знаменателе коэффициентов перед частью импульсных переменных, выявлены быстрые и медленные компоненты обобщенных характеристик, определяющих минимаксные решения. Предложены достаточные условия сходимости минимаксных решений сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якоби при стремлении параметра сингулярности к нулю, и описана структура предельных невозмущенных задач. Ключевым в этих условиях является условие существования компактных аттракторов в подпространстве быстрых компонент обобщенных характеристик. Эти условия можно рассматривать как

развитие и обобщение техники редукции Тихонова, предложенной для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные результаты использованы в диссертации при исследовании вопросов сходимости цены игры в дифференциальных играх с быстрыми и медленными движениями и проиллюстрированы модельными примерами.

Для диффузионного управляемого процесса определены обобщенные стохастические производные липшицевых скалярных функций относительно множества направлений сноса и матрицы диффузии. Для случая вырожденного шума введено понятие обобщенного минимаксного решения соответствующего квазилинейного параболического уравнения Айзекса. Это определение содержит пару дифференциальных неравенств для обобщенных стохастических производных минимаксного решения, что можно трактовать как одну из форм метода обобщенных характеристик. По аналогия с детерминированным случаем, для единственного минимаксного решения, совпадающего с функцией цены соответствующей стохастической дифференциальной игры, введенное определение является инфинитезимальиой формой условий u-cma6ujibH0cmu и v-стабилъности. Получены формулы стохастических производных для класса функций, дифференцируемых по части переменных, и приведены соответствующие уточнения вида квазилинейного параболического уравнения Айэекса для стохастических дифференциальных игр, функции цены которых лежат в указанном классе.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты открывают перспективы дальнейшего развития теории минимаксных решений для новых типов уравнений и краевых задач. Эти результаты могут также быть положены в основу анализа конкретных задач управления, они могут служить базой и обоснованием алгоритмов построения управлений, разрешающих эти задачи.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались па семинарах Института математики и механики Уральского отделения РАН, семинарах проекта "Теория систем и принятия решений", Международного института системного анализа (IIASA, Laxcaburg, Austria, 1987, 1999); семинарах ис-

следовательской программы "Schwerpunktprogram der Deutschen Forschungsgemeinschaft " института Institut für Angewandte Matematik und Statistik der Universität der Würzburg, (Universität der Würzburg, Germany, 1992); семинарах "Optimization and Control11 научно-исследовательского центра Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montréal, (Université de Montréal, Canada, 1994); школе-семинаре "Nonlinear Anaiysis, Differential Equations, and Control", NATO Advanced Study Institute, Université de Montréal, (Université de Montréal, Canada, 1998); на многих всесоюзных, всероссийских и международных конференциях по теории дифференциальных уравнений, динамической оптимизации и их приложениям к задачам механики, оптимальному управлению и дифференциальным играм. Результаты диссертации были представлены в докладах на V и VII Всесоюзных и VIIÏ Всероссийском съездах по теоретической и прикладной механике, (Алма-Ата, 1981; Москва, 1991; Пермь, 2001); Vt VI и VII Всесоюзных конференциях но оптимальному управлению в механических системах (Москва, 1982; Казань, 1985; Свердловск, 1990); IV Всесоюзной четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 1982); Международной конференции "Стохастическая оптимизация" (Киев, 1984); VI Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений, (Иркутск, 1986); Международном советско-польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения", (Минск, 1989); International IFAC Conference "Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization," (Челябинск, 1998); международной конференции посвященной 90-летию JI.C. Понтрягина, (Москва, 1998); "Nonlinear PDE: an International Conference in memory of S.N.Kruzh-kov", (Besansson, France, 1999); ll-th IFAC Workshop "Control and Applications of Optimization" (Санкт-Петербург, 2000); международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы.11 (Суздаль, 2000); International Workshop "Singular Perturbations in Dynamical Systems, Control and Optimization,"(Adelaide, Australia, 2000); IX, X International Symposium "Dynamic Games and Applications", (Adelaide, Australia, 2000, Санкт-

Петербург, 2002) и др..

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в работах

[1]-[30].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на двадцать параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 264 страницы, библиографический список включает 315 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор научных результатов, относящихся к предмету исследования диссертации, обоснована актуальность темы исследования и изложены основные результаты диссертации.

Первая глава диссертации содержит сводку основных сведений теории уравнений Гамильтона- Якоби.

В параграфе §1 формулируется задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби:

dV'(t, x)/dt + H{t, V(t, ®), D,V'(t, *)) = 0, (t,*) € (0, T) x R", (l) V'(T,x) = <r(x), Wx€ ä", (2)

где

Dtv%x) = (av'(t,х)/дхиav'(t,х)/дхп) e R".

Непрерывная функция V"(-) ; cl Пт = [0, T\ x Rn Ä, дифференцируемая в открытой полосе Пт = (0,Т) х R", удовлетворяющая всюду в точках этой полосы уравнению (1), а также удовлетворяющая краевому условию

(2), называется классическгш решением краевой задачи Коши (1), (2). Метод характеристик Коши для построения классического решения состоит в следующем. Рассмотрим на интервале [0,7*] систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

dx/dt = dp/dt = -£>*#(*,х,р),

dz/dt = {p,DpH(t,x,p)}~H(t,i,p),

и следующие краевые условия, согласованные с (2):

= = ад»). *(Т,») = ^(|Г); у 6 Л". (4)

Символ (р,з) обозначает скалярное произведение векторов р и д,

£>*ЯМ,р) = £>4Я(М,#) = (дН/дёи...,»Н/&£я).

При всех ((, ж) £ Пт, таких, что множество параметров

») = {V У е ВТ : у) = *} = {*(«, х)} (5)

одноэлементно, классическое решение представимо в виде:

»"(М) = $((,»(*,«)), V (<,.) е с1 пг. (в)

Обсуждаются границы применения этого метода. Формулируются стандартные для теории обобщенных решений требования к входным данным Н(Ь,х,р) и а{х) задачи (1), (2), цри которых она расматривается в диссертации:

Н.1 функция <т{х) непрерывна и локально ограничена; Н.2 гамильтониан #{(,ж,р) непрерывен в области определения с! П х Й" и удовлетворяет оценке:

Зир М 4-1ЫП < 001 (7)

Н.З при любых ((,аг) 6 с! Пт, € Я" гамильтониан Я(*,®,я)

удовлетворяет условию Липшица по переменной р:

№,х,р') - Я(М,р")| < А(*)||р'-р"|| (В)

где А(ж) := (1 + р > 0 — постоянная;

Н.4 при (1,х',х",р) € [0,Т] х В ж В х Я" гамильтониан Я(*,г,р) удовлетворяет локальному условию Липшица но неременной ж:

(Л.Д ¡1—'-11(1+ Ы) Г 00 (9)

где В - произвольная ограниченная область В С Я".

Приводится определение обобщенного вязкостного решения рассматриваемой задачи Коши, а параграф §2 содержит эквивалентные определения непрерывного минимаксного решения, формулировки теорем существования, единственности и эквивалентности различных определений непрерывного минимаксного решения в рассматриваемой задаче Коши.

Пусть S — некоторое непустое множество, M — многозначное отображение:

[0,Т] х Я" х S Э >-> M(t,x,s) СЙ"х й (10)

Определение 1.2. Пара (5, М) называется характеристическим комплексом, если выполнены указанные ниже требования.

1°. Для любых (i,x) € [0,Т] X R" и e£S множество M ((, г,»)СЙ"хД — непусто, выпукло и компактно. Для любых (t,z,*) € [0,7*) х Л" х S и (Л s) € M(t, х, s) справедливы оценки:

W < "»(M)(i + INI),

где величина Л (г) определена в условия (8,) Для любого я € S функция ( m(t, s) суммируема на [0, Т], а многозначное отображение (t, х) и-M(t,x,s) полунепрерывно сверху.

2еа. Для любых (t, at) ç, (0, Т] х Д" и р € IV1 справедливы равенства: 2°Ь. Справедливо соотношение:

(fœ)€M(t,t,,)

Совокупность комплексов (S,Af) обозначим символом С(Н). Выберем произвольно комплекс (S, М) € С(Н) и » € S. Множество абсолютно непрерывных функций (х(-),г{-)) : [0,Т] H й"х Д, удовлетворяющих условию (i(io),2(io)) = (хо, zq) и дифференциальному включению:

(*(().*(«)) е M(i,®(i), *{(),*), ' е fio.T], (11)

15

обозначим символом Sol ¿o, s). Дифференциальное включение (11)

называется характеристическим, а его решения называются обобщенными характерис тиками.

Определение 1.3. Л£«милмда:кыл( решением уравнения (1) называется непрерывная функция [0,Т] х Я" Э (t, х) V'(t,x) £ R, удовлетворяющая следующему условию: для любых (ío,;to,Ze) 6 gr «, a € S и т 6 [ío,T] существует траектория («{•)) 2(")) S Sol (<n, z0, а), такая, что

(т,*(т),*(г)> €gr У -={(«,*,*): Í е [О,Г], с е Д",

Определение 1.13. Л/иимлсаксмыл уравнения (1) называется

непрерывная функция [О,Г] х Я" Э (í, ж} >-4 V'(f, а;) € Л, удовлетворяющая для всех (t,x) € Пт, € S+ и € S_ следующим условиям:

„ и^Л« , (12)

fmp [dtV(í,*;l,/)-yJ>0. (13)

Здесь символом (5Н ,М+) обозначается любой верхний характеристический комплекс, который удовлетворяет сформулированным выше требованиям 1° и 2°а, символ (5_,М~) соответствует произвольному нижнему характеристическому комплексу, который удовлетворяет требованиям l11 и 2

Определение 1.8. • Ниж:ней полупроизводной Дини функции Rn+1 ~ Пг Э (í, ж) -> V'(t,x) б Двточке((,г) € Пт по направлению (t), А) 6 ДхД" называется величина:

v' "w ' J|o, (^'Н(чЛ) i

соответственно, ♦ верхней полупроизводной Дини функции Э

Пт Э (í, г) —> V'{t,x) С R в точке (í, a:) G П^ по направлению (tj, h) £ Rxñ" называется величина*.

íiO, (r^ft'HÍ^) 0

Глава П апеллирует к теории минимаксных решений уравнения Беллма-на и посвящена исследованию роли классических и обобщенных характеристик в решении задачи оптимального управления с функционалом Больца.

В параграфе § 3 приводится постановка программной задачи. Рассматривается задача оптимального управления (ОСР) системой

x = f(tJx,u), и еР, а:(*0)=а:0 (16)

где t - время, ( е [0,Т|, х е Е" фазовый вектор системы, значения управляющего параметра и выбираются из заданного компактного множества Р С Д"1, начальное состояние системы ¡е((0) = хо € Я", ¿о £ [О, У]. Фиксирован момент окончания процесса управления Т, и задан функционал платы /(^(«(-^иО)) типа Больца:

т

«(')) = °{<т> «о. «е. "(•))) + /*(*»»('). »('))<** (17)

(о

где х(-) = ж( ^0)«0)«(-)) " траектория движения динамической системы (16), стартующей из начальной точки под воздействием управления

Задача ОСР состоит в управлении системой (16) таким образом, чтобы для начальной точки (¿о, хо) 6 [О, Т] х Д" обеспечить оптимальный результат (цеку) К(£й,хо)) который определяется следующим соотношением:

У(1о,«п)= «О,<)).«(■))• (18)

Символом и4в обозначается множество всех измеримых управлений (называемых программными) «(•): [¿о,Т] Р, и € [О, Т].

Предположения о входных данных рассматриваемой задачи ОСР состоят в следующем.

А.1 Функции /(*,£,«) и в (16), (17) непрерывны на с1 Пт х Р и

липшицевы относительно I и г, т.е.

|(/((',х',«) -/(Л*»|| < Ьг{\<-е\ + \W-zTW

\\д{1\х', ч)-9{Г, Л«)|| < Ш' ~ Л + № - «"В

для любых ¿" 6 {О,Г], х',х" е Д", и € Р С константой ¿1 > 0. А.2 Выполнены следующие условия продолжимости

при всех и) € с1 Пг х Р, где К\ > 0 - константа.

А.З Терминальная функция платы <т(ж) в (17) удовлетворяет условию Липшица

при любых х', х" € Я", где Ьз > 0 - константа. А.4 Полные вектограммы скоростей

Е{1,х) = (/((, *,/>)) с Д" х Я (19)

являются выпуклыми множествами при всех ((,«) € с1 Пу.

Вводятся понятия обобщенных программных управлений - измеримых функций : [*о,Т] грш (Р) со значениями во множестве регулярных

вероятностных борелевских мер на Р, наделенном топологией, индуцированной слабой-» топологией пространства С*(Р). (Символ С*(Я) означает пространство, сопряженное к пространству непрерывных функций, заданных на компакте Р). На множестве М*, всех обобщенных программных управлений, оптимальный результат рассматриваемой задачи оптимального управления достигается без предположения А.4. Отображение

(«о, *о) И- УЦо, х0) : [0,Т]хГиЙ

называется функцией цены (функцией оптимального результата или функцией Беллмана) в рассматриваемой задаче ОСР. В параграфе § 4 исследуются свойства функции цены рассматриваемой задачи оптимального управления. Доказаны следующие результаты.

Теорема П.1. Функция цены V(t,x) в задаче ОСР имеет следующее представлен ие:

V(t, х) = min w(t, х, а) (20)

А

при всех (t, х) € cl Пг, где параметр а принимает значения из метрического компакта А. Если в рассматриваемой задаче ОСР выполняются условия А.1-А.З, то функция w(-) т cl Пг х А —> R непрерывна. При фиксированном значении параметра а € А функции

(t, яг) w(i, ®,л): cinr-4Ä

удовлетворяют условию Липшица мл любом компакте G С cl Пу с константой L = L(G) > 0, равномерной относительно а € А. Здесь

А = {Va : a(-|d«): [0,lj rpm (Р) - измерима}. (21)

w(t, х, а) = а(у{ 1; 0, х, а; ()) + z( 1; 0,0, а; i, *) = <г(у(1)) + *(1) (22) у ~ (Т - t) I mt,r)Mr),u)a(r\du) (23)

Р

i = (T-t)J 9(£(t,T),y(T),u)*(T\du) (24)

Р

у(0) = z(0) - 0, f(t,r) = t + (Г - ()т. (25)

Теорема П.З. Если в задаче ОСР (16)-(18') выполнены условия А.1-А.З, то для функции чек« V(t, х) во всех точках (t, at) € Пт существуют такие вектора (l,/°) F Я"4"1, (/°,5°) G E{t,x), где

E(t,x) = cö{{f(t,x,u)tg{t,x,u)): и € Р}, (26)

- в направлении которых локально-лхтшицевая функция цемы дифференцируема, т.е. справедливо

dV{t,0=1/(1,/°) ((,») € Пт, (ДЛ е E(i,x). (27)

Теорема II.4. Для того, чтобы локально липшицевая функция cl Пр Э (i, х) н- V'{t,x) € R, совпадала с функцией цены V(t,x) в задаче ОСР,

необходимо и достаточно выполнение во всех танках (f, ж) 6 Нт пары равенств:

min rftV(t,at)/( 1,/) + р = 0, (28)

где .множество E(t, а;) определено соотношением (26)\ и выполнение условия

V(T, *)=*(*), Vx£iT\ (29)

Доказана эквивалентность условий (28) и определения 11.13 единственного минимаксного решения краевой задачи Коши для уравнения Беллмана:

dV(t, x)i&t + х), f(t, х, и)) + g(t,x, и)] = 0 (30)

«fP

V{T,x) = tr(x), VxfEÄ". (31)

Б параграфе § 6 сформулированы усиленные требования к гладкости входных данных задачи оптимального управления:

А.1' функции f(t,х,и) и ^(i,x,u) в (16), (17) определены и непрерывны на cl Пг х Р вместе со своими частными производными df/dt, df/dxt, dg/dt, дд/дх4, i e

A3' терминальная функция платы a(x) в (17) определена и непрерывна на Я" вместе со своими частными производными да/dxt, i 6 1, п. Следствиями усиленных требований являются следующие факты. Теорема IL6. Если в задаче ОСР (16)-(18) выполнены условия А.1', А.2, А.З'. то функция цены V(t, х) является локально липшицевой в полосе cl Пт, и в каждой точке (t, х) 6 Пт для любого вектора / £ й° существует производная по направлению dV(t,x)/(l,f) = <ftK(i,a;)/(l)/), причем справедлива формула:

dV{t,x)i{ 1,/) = min [du>(t,x,a*ydt + {^(t.x,«0),/)] (32)

ar»fcA°{tjc)

где

A°(t,x)={«°€A: Ц(,х,а°) = У((,х)}. (33)

При ecex(ttx) G Пх функция цены удовлетворяет следующему обобщенному уравнению Беллмана:

min [dV(t,x)({ 1,/) + *]-0, (34)

где Ё(1,х) определено соотношением (26).

Теорема П.7. Если в задаче ООР (16)-(18) выполнены условия АД', А.2, А.З'. то для любых (I, х) б Пг, я, а) из (20), а® 6 имеет

место равенство?.

тш[ди{г,х,а°)/т + ж,а°),/((, яг,«)) + = 0. (35)

Полученное равенство (35) можно рассматривать как релаксацию и еще одно обобщение уравнения Беллмана.

Используя формулу (20) для функции цены, а также свойства экстремальных элементов и отвечающих им гладких функций из этой формулы, в диссертации проводится доказательство теоремы П.8 - принципа максимума Поктрягина, опирающееся на дифференцируемое™ решений обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений динамики управляемой системы и интегральной составляющей функционала платы) по параметрам и начальным данным.

Определение И.1. Экстремалью для точки ((о,®о) 6 Пг в задаче ОСР называется траектория хе{-) — : ['о*Т] Д®* системы (16),

порождаемая управлением ие(-) € Х^,:

¿хеИ)

= /М<(*),«'(()), «'((„) (36)

для которой при почти всех t € [¿о, Т\ выполняются условия принципа максимума Понтрягияа;

тт[{ре(*), /(*, х'Щ, и)) + д(1у *е(г),«)] = = [<Ре<'),/(МЕ(')>«е(0)} + (37)

где р'(-): Т] Д" - кожстремаль, т. е. решение сопряженной системы:

«Ой _ _ (МХМ))Тр,(1) _ ,38)

В пп.6.4 задача ОСР рассматривается при дополнительных условиях:

А. 2* условия А.2 пополнены условиями продолжимости:

при всех I £ 1,п, } £ 1, п, (£, х,и) £ Пу >■ Р, где > 0 - константа: А.4' полные вектограммы

£(М) = {(/(<, С Д" х Д

являются строго выпуклыми множествами при всех (£, я) £ Пг

Следствием усиления требований к входным данным задачи ОСР является существование классических характеристик (3)-(4):

(*<•.¥),Р(*.УМ('.»)): [О,Г] Д» х ВТ х Д.

для уравнения Беллмана (30) в краевой задаче (31).

Теорема П.9. Если в задаче ОСР (16)-(18) выполнены условия А. 1',А.2', А.З', А.4', то для любой т<?чки (¿0, £ Пу множество экстремалей а;'"(-) -- г(*;(о,го, «"{•)) совпадает с множеством компонент х(-,уо)

классических характеристик Коши для уравнения Беллмана (30), пересекающихся в точке (¿о, яго), т. е,

Х{к,«о) - {«(•,Л): Уи € У(1 о,го) С Я", Г(^х0) ф 0};

У{*о,®о) = {Ууо; =

Множество соответствующих «л< коэкстремалей ре(*) совпадает с множеством компонент р{-,ро), Уа € У (¿о, хо) классических характеристик Кош и.

Определение 1.9 Супердифференциалам (регулярным) функции Я"+1 Э Пу Э {(, г) -+ ж) £ Я в точке £ Пт называется множество:

д+У(1,х) := {(р,р) € Я х Я" : € Я х Д",

((р,р), (ч, Л)) - <ГУ'((, х)/(Ч, М > 0}. (39)

Теорема 11.10. Если в задаче ОСР (1б)-(18) выполнены условия А.1', А.2*, А-3', А .4', то для того, чтобы управление ие(*) € и^ и порождаемая им траектория а;е(-) — ;е(-;*о,«о,«*(•)) системы (16) были оптимальны (18) для точки (<о. € Пг, необходимо и достаточно, чтобы для абсолютно-непрерывной вектор-функции р'(-), Ле(*) : [(о, Т\ Л" х Я, которая является решением полной сопряженной системы: (38) и

- при почти всех t е [(о,Т] выполнялся принцип максимума Понтрягинаг.

= А'(0 ■ 1 + ] = 0, (41)

Эти необходимые н достаточные условия первого порядка опубликованы в работе [23], они пополняют также необходимые условия оптимальности, полученных в 1987 г. Ф.Кларком и Р.Вннтером.

В пп.7.2 задача оптимального управления рассматривается без предположения о выпуклости вектограммы скоростей. Требования А.1--А.З к

входным данным задачи ОСР обеспечивают существование частных супердифференциалов гамильтониана Н{1,х,р) по фазовым х и импульсным переменным р. Приведены формулы этих супердифференциалов. Введены характеристические дифференциальные включения, в правых частях которых использутся супердифференциалы и которые можно рассматривать как обобщение характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решения этих включений называются квази-характеристиками. Задача рассматривается в классе обобщенных программных управлений.

-т-) р(0--&-

\ЦТ) = -Н{Т,у,Оуа{у)),

(40)

(42)

(43)

Введены определения экстремали и козкетремали для этой задачи. Доказана теорема П. 11 о совпадений множества экстремалей, стартующих из начальной точки {¿о, ж0), и соответствующих им ко^кстремалей с множеством фазовых и импульсных компонент квази-характеристик, пересекающихся в этой точке. Теорема П.12 представляет собой необходимые и достаточные условия оптимальности для задачи оптимального управления с компактной вектограммой скоростей в терминах квази-характеристик. Материал этогих двух разделов опубликован в работах (12-15). Независимо, в те же годы, подобные результаты были опубликованы в малодоступных работах румынского математика S. MiricS.

В гш. 7.3 рассматривается краевая задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби, гамильтониан которого Hit, х,р) вогнут по импульсной переменной р (уравнение типа Беллмана) в предположении дважды дифференцируемости входных данных задачи, гарантирующих существование и продолжимость классических характеристик (3)-(4):

(Ц;У),Р(-,У), Ч-,У}) • M Rn х Я" х R.

Теорема 11.13 Минимаксное решение u(i, х) краевой задачи (2) для уравнения типа Беллмана (1) определяется для любых {t,x) G cl Пг с помощью формулы:

u{t, с) - mm{i(i, у) : у € Y(t, *)}, V <f, в) € d ПГ- (44)

Для супердифференциала d+u[t,x) С r"+1 функции и(-), при всех (i, х) в Пг, справедлива формула:

d+u(t,x) = co{(~H{t,xtp(t,yQ)),p(t,y0)} : у0 € Ф Я (45)

Здесь

Y%x) = {yù € Y(t,x) : z(t,yù) ~ u(t,x)}

Материал этого раздела опубликован в работе |13]. Для случая п ~ 1 подобная формула была получена в 1959 г. в работе Н.Н.Кузнецова и B.JI.Рождественского, в УМН.

• В параграфе 5 8 приведено обоснование структуры оптимального синтеза (универсального управления по принципу обратной связи) в задаче ОСР, рассматриваемой в предположениях А.1-А.4. Доказана

Теорема 11.15 Пусть в рассматриваемой задаче ОСР выполнены условия А.1-А.4. Тогда универсальные оптимальные обратные связи можно определять при всех (<, ж) € Пг с помощью соотношений

1/°((,«)еА|9 тш{<^(*,«)/(1, /((,*,«))*,«•)}, (46)

где ж), (18} - функция цены в рассматриваемой задаче ОСР.

Исследование проводится в рамках формализация позиционной задачи оптимального управления, предложенной в теории позиционных дифференциальных игр Н.Н.Красовским.

Глава III посвящена развитию метода характеристик Коши для сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якобн Ре вида:

ди*{1, х, у)/т + х, у, г, у), *, у)) = 0, (47)

(*,*,?)€ {0,Т) х Я" х Я*,

и*{Т,х,у)=а'(х), ix,y)€RnxRk (48)

где е > 0 - малый параметр. Обозначим импульсные переменные через р = Огч' = (ди'/дхи...,ди</дхп) € Я" и $ = £>„«< = (ди</дУ1, ...,ди</дщ) е Я*1, соответственно.

Определение 1.2 претерпевает в задаче Ре следующую модификацию. Зафиксируем £ > 0. Пусть 3е - некоторое непустое множество, а МЕ -многозначное отображение [0,Т] х Д" х Д* х 5Г Д" х Д* х Д :

(49)

Пара (5^гМг) называется характеристическим комплексом в сингулярно возмущенной задаче Р( (47) - (48), если выполняется условие 1° и для любых (4,®,») € [0,Т] х Я" х Я* и (р,д) е Я" X Л* - условия:

2°°b) #£(í, x, y,p, 19) = rnin ma*{{/,p>+}{M)-ff : (/, Л, € M£(í, >, y,*')}.

Множество всех характеристических комплексов (Sf, М') обозначается символом С(Н'). Символом Sol «'), »' € Sf (S', Мс) е С{Не)

обозначается множество всех абсолютно непрерывных функций (x(-)i ?/( *), : [О, Т] н- R"xRkxR, которые удовлетворяют краевому условию t/0> г0) -(x(ío), y(to), г((о)) и характеристическому дифференциальному включению:

(i(t), £?(*), ¿(i)) € AÍE(í, í(i), rfl), s')- (50)

Решения дифференциального влючения (50) называются обобщенными характеристиками.

Задача Коши РЕ рассматривается ори следующих предположениях. Условия АМ — Аг.4, совпадают с условиями Н.1-Н.4 задачи Р, переформулированными для задачи Р1.

А'.5 Для любого £ > 0 существуют верхний и нижний характеристические комплексы (S+,M£) и (S..,Mí), у которых: множества параметров S+ и S_ не зависят от е, а многозначные отображения (t, х, у) ь-> Mc+{t, у, s+) и (i,x,y) И- Mi(í, ж, y, липшиц-непрерывны в метрике Хаусдорфа:

dbt <

< г£(| t'-t"\ +\\х' - хм|| + Ну' - /II), (51)

где (?, х', у1), («",/,/) б S Г {0,Т] хД"х Д*, множество В - произвольный компакт, rs ~ г'(В) € (0, оо) - константы. Символ dist (Л/1, Ы3) обозначает хауедорфово расстояние между множествами М1 и М2 . Предполагается, что множества М%, Mt непрерывно продолжимы на отрезок е G [0,1]. Пусть:

Kf = KÍ(í,®,*t)C{i(*eJlfc: proj х,у®,s+) Э 0>, з+€ S+; (52)

Yl = Yi(t,x,$-)c{ya€Rk: proj Э 0}, € S ; (53)

где символом proj обозначается проекция множества Af£ с Rn xRk х R на подпространство Д* быстрых переменных у.

А'.в Для любых (t, х) £ [0,Т] х Я", а± € множества У± непусты, замкнуты и ограничены, т.е.

V»eY£(t,*,«±): [MI<Xs(l + iMI) (54)

где хс ~ константы, ё (0, ц']. Множества У|, непрерывно зависят от параметра е € [0,1].

А£.7 Для любых (i',ar'),(i",®") е [О,Г] х Д", s.t € 5±, имеют место следующие условия Липшица

diet ^ I <55)

где К- - константы, Ä"1 £ (ö, £ij.

А£.8 Существуют такие множества параметров {в±} = С 5±, что для любого компакта й С [0,Т] х й" и компактов D0 С Rk, D0 С Я*, стесненных требованиями

&dD*+ = [J ВД,, +

(Wo

A Э Dt = [J У'(10,*о,*-) +BJ, Ve е [0,1],

{to^eD*

можно указать величины Сг = Ce(D, £>°, Dq) > 0 и i(e) > 0, удовлетворяющие условиям:

• J(e-) 4- 0, когда е 10 ;

• при любых {ta,®ö)lfo) € .D1 х (D0 U D°), Vs± e S± и при всех таких (*±(')>t&(')>2i(-)) е So1 (*о>«о,№>,2о,з±), для которых

zi-(t) >«•(«,ze_{t)<^(t,xc_(t),y(_(t)), Vi > i0, (56)

справедливы следующие, играющие ключевую роль, соотношения:

*dist (j4(e), + BJ) < С' W € [io,T]; (57)

4 i4(t)€Yi(M*±(0.»±)+*i> vt e fio+ад.Г]; (58) где Dl = Z? + = diam Д, U £>°, символ Щ = {у e Я*: Ц$|| < г).

Ае.9 Все константы в AM — А*.8 и регулярные составляющие гамильтонианов - Hc{t,x, у, зависящие от малого параметра, непрерывно зависят от £ и непрерывно продол жимы на отрезок [0,1]. Пусть

= max mia{{/,p)—г : (/,r) € ¿&proj s^)}

(59)

H*{i<x,p) = шах min{(/,p)-r : (/,г) £ öaproj x, Y'(t,

»„es L

(60)

AMO Пусть для любых (t,x,p) е [0,Г] х Я" х Д", г в (0,1):

|Я1((,х,р)-Я;((,«,р)|<а(е), (61)

где а(е) 10, когда е 10.

Обозначим символом /f°(í, х,р) следующий предел

#°(t,at,р) - limHc+(t,х,р) = limHt(t,x,p), (62)

t io t^o

Рассмотрим невозмущенную задачу P° (асимптотику):

du{t, x)/dt + Hü(t, г, £>ец) = 0, (í, я) € (0,Т) х Я" (63)

и{Т,х)=а(х), х€ Д". (64)

AMI Предположим, что для любых (í,x) £ [0, Т]хД", з+€ € S'_

Y?(t,x,s+)nY*(t,x,^)¿t> (65)

Теорема III. 1. Пусть в сингулярно возмущенной задаче Коши Р£ (47) -(48), е ё (0,1] выполняются условия AM - AMI. Тогда минимаксные решения цс(ь>х,у) этой задачи сходятся к минимаксному решению u(t,x) невозмущенной задачи Коши Р° (63) - (64) при е 0:

u(t,x) = IimuE(t,a:,y), (f,®,y) G [О,T] х Ä*1 х Д*. (66)

Эта сходимость равномерна па люб'ыт компактах D £ ¡0,7*] х Rn, и Л>е Д*.

Обсуждаются также возможные модификации этих условий, и рассмотрен пример, в котором достаточные условия AM - AMI выполняются, аоценки сходимости носят экспоненциальный характер.

Глава IV посвящена приложениям результатов предыдущей главы в теории дифференциальных игр с быстрыми и медленными движениями:

X - /£(t, X, у,и, v), еу = Л£{t,х, у,и, v, a,ß) (67)

где е > 0 - малый параметр сингулярности, время t С [0,7*}, (¡г, у) б Я" хй* - фазовый вектор, х - "медленная" (регулярная) переменная, у - "быстрая" (сингулярная) переменная,

иеЯе comp Rml, а £ А £ comp JF1, V £ Q € comp А™2, ß е В е сопор FC2. (68)

и функционалом платы типа Больца

т

(69)

где {ai(-)tf(')): Т] Rn х Rk траектории уравнения (67), стартующие из точки (a;(i),i/(i)) = {х, у), (t € [О, Т\), под воздействием измеримых управлений (u(-)>w(').«(-)^(-)) : [¿>Т] ^ Р xQ к А х В.

Гамильтониан в соответстующем сингулярно возмущенном уравнении Га-мильтона-Якоби- Айзеке а имеет вид:

1

min max \{ft(t,x,y,u,v),p)+4'{ttx,yiv,v)+-{he(ttxiytvtv,a,ß)iq)] = «e/Viejt f€v,peii e

max,, min \{fe(tix,yfu>v),p)-\-g'l(t,x,ytu,v)+-(h'{t,x,y,u,vta,ß)1q)} =

uGPjtxGA £

= W{t,x, J(,pA). (70)

e

В параграфе § 14 приводится формализация сингулярно возмущенной позиционной дифференциальной игры Ge я рассматривается соответствующая краевая задача Коти для сингулярно возмущенного уравнения Гамиль-тона-Якоби- А йзекс а.

В пп.14.2 вводятся вледующие характеристические комплексы для сингулярно возмущенного уравнения Гами льтона-Якоби-А йзекса:

3+=<2хВЭа+ = -

= й> {Г{г,х,у,РУ), к<{Ь,х>у,РУ,А,&% (71)

3 =РхА э$ МЕ (*, яг, у, 3-) =

= со {/£((,ас,у,«„<?), в,»,«.»ОД; (72)

В этой главе диссертации предложены достаточные условия сходимости функции цены дифференциальной игры в4 при стремлении е ч- О, конкретизирующие условия сходимости главы П1 для гамильтониана (70) и характеристических комплексов вида (71), (72) - теорема ГУЛ. Приведено описание асимптотик этой сингулярно возмущенной дифференциальной игры, т.е. описаны предельные невозмущенные дифференциальные игры, функция цены которых является пределом цены игры Gt при стремлении е 0. Приведен пример диференциальной игры с липшицевой динамикой, содержащей быстрые и медленные движения и функционалом Больца. В этом примере выполняются предложенные достаточные условия сходимости, и построена предельная невозмущенная игра.

Глава V иоевящена обобщению метода характеристик для квазилинейных параболических уравнений Гами льтона-Якоби-Айзекса.

Рассматривается стохастическая дифференциальная игра с частично вырожденным шумом и исследуются ее свойства.

Пусть задано вероятностное пространство (П, Р), где

(л > 0) - неубывающее семейство <г-алгебр подмножеств О, и пусть — т- мерный стандартный винеровский процесс, согласованный с Диффузионный управляемый процесс описывается уравнением Ито:

6=*«+/* + [ + (73)

У о 3о

(1о,во) ег'хД", г е [о,т- *о]

Здесь Т' = [0, Т] - фиксированный конечный отрезок реального времени, на котором будет рассматриваться игра, /(■) Л", <т(-) :

V M- £(K"\ ft") {где ft")- пространство непрерывных линейных

операторов из ft" в iïn), и, и v, прогрессивно измеримые процессы со значениями в компактах Р С R? и Q С ft®, соответственно. Процесс и, - управление первого игрока , процесс v, управление второго игрока. При описании процесса (73) сделана замена времени в = t ~tu, и вместо отрезка реального времени [to, Т] рассматривается отрезок [0,Х — to]- Решение стохастического уравнения (73) понимается в сильном смысле.

Предполагается, что функции (г(-) : Т м- и /(■) : Т х Л" х

Р х Q Я" непрерывны и удовлетворяют следующим условиям:

♦ ММ - < ¿1 \h - ' (74)

• шах МО! < ii» (75)

где Fl, Li,a ~ положительные константы, а > <r,;(i) - элемент матрицы <r(t);

sup ||/((,*,«,®)||<Рз, (76)

v л» х р у q

« ||/(Мь«,*>) - /((,«,,«,»)!( < LjH*! - г,||, (77)

Ft > 0—const, L2 > 0—constf (xi,®2) f ft"xft", (*,«,») € T'xPxQ;

• sup Ii/(ii,«i,tii,wi) - f{t2,x2,u2,v2)\\ <j8(i), (78)

l!»i-*ill<i lt»l-Uj||<i

♦ ДО)—уО, при Î4.0, (79) (ibis) еГхГ, (X!,X2) e Д" X ft", (Ml,«2)ePxP, Киг)eQxQ-,

• min max(i, /(i,«,«, r)) — maxmin{i, /(i, at, u, t>)) — Hs), (80)

(i,x,e) €T x Д" x ft".

Величина H(t,x,s) (80) называется гамильтонианом системы (73).

Рассмотрим f, = 7»(ii) показатель качества процесса следующего вида:

7.(6) - S{7<Îr-,e)}t (81)

где символом £'{■} обозначено математическое ожидание случайной величины 7(£г-*в(ш))) Т фиксированный момент времени окончания процесса, а функция 7 : Д" '—ь Я удовлетворяет условию:

• М*1) - 7(*а)| < и, 11*1 ~ , £3 > О - еоп*, {»„ «2)ЁГх ВТ. (82)

Водятся множества обобщенных программных управлений игроков, элементами которых являются измеримые отображения отрезка времени [0,7*] во множества грт (Р) и грт регулярных вероятностных мер, определенных на Р и <?. Стандартными методами теории случайных процессов исследуются свойства траекторий £г [ы] случайных процессов (73), порожденных обобщенными программными управлениями игроков.

Позиционная диффузионная дифференциальная игра (73), (81) формализуется для классов позиционных стратегий х) и У((,х), т.е. измеримых по Борелю функций (/(•) : Т х Д™ I—> Р и К(-) : Т х Д" ► ф, - по схеме, аналогичной детерминированному случаю. Приведено утверждение, констатирующее факт существования функции цены рассматриваемой позиционной стохастической дифференциальной игры.

При сделанных предположениях функция цены дифференциальной игры (73),(81) - липшицева в [0, Т\ х Я", удовлетворяет краевому условию:

л(3\*)=7(*). УжеД", (83)

и в точках гладкости области (0, Г) х Д" удовлетворяет квазилинейному параболическому уравнению, которое называют основным уравнением для диффузионной игры (73),(81) или уравнением Айзекса:

4 ' ¿¿=1 ' 3 где л) - гамильтониан системы (73), определенный соотношением

(80), а матрица А (¿) = (<*/;(')) размерности (га х п) имеет вид:

Д(1) = ^(*)от(*); (85)

символ ^-надстрочное означает операцию транспонирования.

Вводятся понятия обобщенных стохастических производных.

Определение V.3. Следующие величины называются соответственно нижней - d^p(t, х) j (F,a) и верхней d+p(t, ас) / {F,tr) обобщенными стохастическими производными лиашицевой функции p(t, х) в точке (i,ai) относительно множества F С Ä" и матрицы диффузии <г = <r(t) 6 C{Rm, Я").

= limmf S~1 jminp(t. +S,x + Sf + \Д<7 (t) j - p(t,x) , (86)

= lim sup S £ < шах p

(87)

При условиях, когда <т — 0 и Р — {/} одноэлементное множество, обобщенные стохастические производные обращаются в известные полу производные Дини по направлению (1,/).

В параграфе § 19 для квазилинейного параболического уравнения IV мильтона Якоби-Айзскса вводится понятие минимаксного решения в терминах обобщенных стохастических производных.

Определение У.5 Липшицевая функция />(•) : [0,Т] х.Й° н Д называется минимаксным решением задача (84)-(83). если она удовлетворяет краевому условию:

/*7»=7(*), V (88)

и при всех (*,«) € (О,Г) х Д" выполняются неравенства:

*,»),»(()) <0,

ВС у

>0, (89)

где

ж*,*,«)=<»{/(*,*,«,«): иеР},

В случае, когда <т = о, это определение обращается в определение 1.13. На основе известных свойств стохастической стабильности липшицевых функций доказывается

Теорема V.3. Для того, чтобы липшицевая функция p(ttx) совпадала с функцией цены стохастической дифференциальной игры (73), (81), необходимо « достаточно, чтобы выполнялись условия (88)-(90).

Из этой теоремы вытекают факты существования и единственности минимаксного решения в краевой задаче Коши для квазилинейного параболического уравнения Гамальтона-Якоби-Айзекса.

В параграфе § 20 выводятся формулы обобщенных стохастических производных для класса непрерывных функций нескольких переменных, дифференцируемых по части переменных. Эти формулы используются для описания свойств функции цены стохастической игры, в которой и управления, и шум действуют одновременно только на часть координат управляемой системы.

Публикации по теме диссертации

1. Субботин А.И., H.H. Субботина. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры. // Доклады АН СССР. 1978. Т.243. No.4. C.829-S65.

2. Субботин А.И., H.H. Субботина. Необходимые и достаточные условия для негладкой цены дифференциальной игры. // Сборник научных трудов. Задачи динамического управления. ИММ УНЦ АН СССР, 1979.

3. Субботин А.И., H.H. Субботина. Функция оптимального результата в задаче управления. Докл. АН СССР. 1982. Т.266. No.2. С. 2S4-299.

4. Субботин А.И., H.H. Субботина. Свойства потенциала дифференциальной игры. / / Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46. No. 2. С. 204-211.

5. Субботин А .И., H.H. Субботина. К вопросу обоснования метода динамического программирования в задаче оптимального управления. // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1983. Т.2. С. 24-32.

6. Субботин А.И., H.H. Субботина. Свойства дифференцируемое?« функции цены дифференциальной игры с интегрально-терминальной платой. Пробл. управл. теор. информ., 1983. Т.12. No.3. С.153-166.

7. Субботина H.H. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх. //Дифференц. уравнения, 1983. Т.19. No.ll. С. 1377-1382.

S. Субботина H.H. Некоторые достаточные условия существования универсальных стратегий. //Сборник научных трудов Исследования задач минимаксного управления, (Субботин А.И. и B.C. Пацко -редакторы), ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1985. С.72-81.

9. Субботина H.H. Инфинитезимальные свойства функции цепы диффузионной дифференциальной игры. Свердловск, ИММ УНЦ АН СССР, 1985. Дсп, в ВИНИТИ No.7960 Bl9.ll.85. 43 С.

10. Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия оптимальности управлений и траекторий. / /Сборник научных трудов. Синтез оптимальногох управления в игровых системах. (Субботин, А.И. и А.Ф. Клейменов - редакторы), ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1986. С.86 96.

11. Субботина H.H. Обобщенные стохастические производные для функций нескольких переменных, дифференцируемых по части переменных. //Сборник научных трудов. Управление с гарантированным результатом, (Субботин, А.И, и В.Н.Ушаков- редакторы), ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1987. С.77-85.

12. Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия оптимальности в терминах принципа максимума и супердифференциала функции

фнм. // Свердловск, ИММ УрО АН СССР, 1988. Деп. в ВИНИТИ. No. 2898-В 88, 18 С.

13. Субботина H.H. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравнений Гамильтона-Я коби-Белл мана. // Докл. АН СССР. 1991. Т.320. No.3. С.556-561.

14. Субботина H.H. Построение обобщенного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Б еллмана с помощью метода характеристик Юлии. Ц Свердловск, ИММ УрО АН СССР, 1991. Деп. в ВИНИТИ. No. 2571-В91. 53 С.

15. Субботина H.H. Унифицированные условия оптимальности в задачах управления, // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 1992. Т.1. С. 147 160.

16. Субботина H.H. Асимптотические свойства минимаксных решений уравнений Беллмана-Айзекса в дифференциальных играх с быстрыми и медленными движениями. Прикл. матем. мех.. 1996. T.6Ö. No. 6. С.883-890.

17. Субботина H.H. Асимптотики сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якоби. Прикл. матем. мех.. 1999. Т.63. No. 2. С.220-230.

18. Субботина H.H. Сипгулярные аппроксимации минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби. / / Труды Института математики и механики УрО РАН. / Сборник научных трудов, Екатеринбург: УрО РАН, Т.6, № 1, С.190-208,

19. Субботина H.H. Почти оптимальные обратные связи ö механических системах с быстрыми и медленными движениями. В сб. // Аннотации докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической « прикладной механике, август, 23-29, 2001, Пермь, Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С.546.

20. Субботина Н.Н. Условия оптимальности обратных связей в задачах управления.// ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2002. Деп. в ВИНИТИ. 28.06.02. No.1212 - В2002. 32 С.

21. Субботина Н.Н. Метод динамического программирования для класса локально-лиишицевых функций. // Докл. Академии наук, 2003. Т.389. No.2. С.1-4.

22. Субботина Н.Н., Субботин А.И., Третьяков В.Е.. Стохастическое и детерминированное управление. Дифференциальные неравенства. // Пробл. управл. теор. информ1985. Т.14. No.6. С.405-419.

23. Subbotina N.N. The maximum principle and the superdifferentiaf of the value function. //Probl. Control Inform. Theory, 1989. Vol.18. No.3. P.l-20.

24. Subbotina N.N. On Structure of Optimal Feedbacks to Control Problems. In // Preprints of International Workshop IFAC Control Applications of OptimzaUon, July, 3-6, 2000, St .-Petersburg, Russia, {Editor V. Zakharov), St .-Petersburg: St.-Petersburg State University, 2000. VoLl. P.254-255.

25. Subbotina N.N. Generalized Cauchy characteristics to singularly perturbed Hamilton-J acobi equations. В сб. // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Август, 21-26, 2000, Суздаль, Россия, (Редакторы: Е.Ф. Мищенко, А.А. Давыдов, В.В. Жиков), Владимир: Математический институт им. Стеклова, Владимирский гос. университет, Владимирский гос. пед. университет, 2000. С.93-94,

26. Subbotina, N.N. Singular Approximations of Minimax and Viscosity Soly-tions to Hamilton-Jacobi Equations. // Proceedmgsof the Stektov Institute of Mathematics. Moscow: MAIK "Nauka/Interperiodica", 2000. Suppl.l. S210-S227.

27. Subbotina, N.N. Asymptotics for singularly perturbed differential games. // Game Theory and Applications, New York: Huntington, Nova Science Publishers, Inc., 2001. Vol.7. P. 175-196,

28. Subbotina, N.N. Sufficient Optimality Conditions for Feedbacks to Control Problems. In // Proceedings of the X-th International Symposium, "Dynamic Games and Applications, July, 8-11, 2002, St. Petersburg, Russia. / St. Petersburg: International Society of Dynamic Games, St. Petersburg State University, 2002. Vol.2. P.829-834.

29. Subbotina, N.N., Subbotin, A.I. and Tret'jakov V.E. Stochastic and deterministic control Differential inequalities. // Lecture Notes in Control and inform., 1987, Vol.81. P.728-737.

30. Subbotina, N.N. and V.N. Ushakov. On characteristic differential inclusions to unified differential games. In // Proceedings of the IX-th International Symposium on Dynamic Games and Applications, December, 18-21, 2000, Adelaida, Australia. / Adelaide: University of South Australia, 2000. P.464 -467.

Отпечатано на ризографе ООО "Таймер КЦ" тираж 120 экз. Екатеринбург, ул. Луначарского, 136 тел.: (3432) 503-903, 569-363

РНБ Русский фон

2006-4 37359

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.

§ 1. Уравнения Гамильтона-Якоби. Основные понятия.

1.1. Классическое решение задачи Коши и классический метод характеристик Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.

1.2. Вязкостное решение уравнения Гамильтона-Якоби.

§ 2. Обобщение и релаксация классического метода характеристик для уравнения Гамильтона-Якоби.

2.1. Обобщенные характеристики и непрерывное минимаксное решение уравнения Гамильтона-Якоби.

2.2. Теоремы существования и единственности непрерывного минимаксного решения в задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.

2.3. Дифференцируемость по направлению, суб- и супер-дифференциалы негладких функций.

2.4. Свойства инвариантности множеств относительно дифференциальных включений.

2.5. Эквивалентные определения минимаксного решения.

ГЛАВА II. Классический и обобщенный методы характеристик в задачах оптимального управления.

§ 3. Постановка задачи оптимального управления.

3.1. Программная задача оптимального управления.

3.2. Основные предположения.

3.3. Обобщенные программные управления.

§ 4. Функция цены в задаче оптимального управления.

4.1. Принцип оптимальности.

4.2. Репрезентативная формула функции цены в задаче оптимального управления.

4.3. Свойства гладкости функции цены.

§ 5. Функция цены и минимаксное решение уравнения Гамильтона

Якоби-Беллмана.

5.1. Предварительные сведения.

5.2. Обобщенное уравнение Беллмана и его минимаксное решение.

§ 6. Принцип максимума Понтрягина и классические характеристики Коши для уравнения Беллмана.

6.1. Случай дифференцируемых входных данных.

6.2. Предварительные конструкции.

6.3. Необходимые условия оптимальности.

6.4. Связь принципа максимума Понтрягина с методом характеристик Коши для уравнения Беллмана.

§ 7. Необходимые и достаточные условия оптимальности.

7.1. Принцип максимума Понтрягина и супердифференциал функции цены.

7.2. Необходимые и достаточные условия оптимальности в случае невыпуклой вектограммы и обобщенных управлений.

7.3. Репрезентативная формула минимаксного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в терминах классических характеристик Коши.

§ 8. Метод динамического программирования и оптимальный синтез в позиционной задаче оптимального управления.

8.1. Формализации позиционной задачи управления.

8.2. Классический метод динамического программирования и непрерывный оптимальный синтез.

8.3. Необходимые и достаточные условия оптимальности разрывного синтеза.

ГЛАВА III. Обобщение метода характеристик в теории минимаксных решений сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якоби.

§ 9. Сингулярно возмущенные уравнения Гамильтона-Якоби.

9.1. Постановка задачи Коши Р£ для сингулярно возмущенного уравнения Гамильтона-Якоби.

9.2 Минимаксное решение в задаче Ре.

§ 10. Формулировка и обсуждение основного результата.

10.1. Достаточные условия сходимости.

10.2. Комментарии.

§ 11. Доказательство основного результата.

11.1. Вспомогательные сведения.

11.2. Доказательство теоремы III. 1.

§ 12. Пример.

ГЛАВА IV. Приложения обобщенного метода характеристик для дифференциальных игр с быстрыми и медленными движениями.

§ 13. Позиционная игровая задача управления Ge.

§ 14. Предварительные сведения.

14.1. Функция цены дифференциальной игры Ge.

14.2. Характеристические комплексы в задаче Коши Р£.

§ 15. Основные предположения и формулировка результата.

§ 16. Достаточные условия сходимости функций цены сингулярно возмущенных игр.

16.1. Свойства множеств Yjf.

16.2. Доказательство основного результата.

§ 17. Пример.

ГЛАВА V. Обобщение метода характеристик в теории минимаксных решений параболических уравнений.

§ 18. Функция цены стохастической дифференциальной игры и ее свойства. Обобщенные стохастические производные.

18.1. Формализация позиционной стохастической дифференциальной игры.

18.2. Обобщенные программные управления и порождаемые ими случайные процессы.

18.3. Некоторые свойства обобщенных программных управлений и порождаемых ими случайных процессов.

18.4. Свойства стабильности непрерывных функций.

18.5. Обобщенные стохастические производные.

§ 19. Параболическое уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса и его минимаксное решение в терминах обобщенных стохастических производных.

19.1. Основное уравнение для функции цены стохастической дифференциальной игры.

19.2. Минимаксное решение краевой задачи (19.1)-(19.2).

19.3. Инфинитезимальная форма условий стабильности.

§ 20. Обобщенные стохастические производные для функций нескольких переменных, дифференцируемых по части переменных.

20.1. Класс функций, дифференцируемых по части переменных. Формулы стохастических производных.

20.2. Доказательство формул для стохастических производных.

Объектом исследования диссертации являются уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби [91]: дш{г>х)1дЬ + Н&х,Вхи>{Ъх)) = 0, (0.1) где аОеПг = (0 ,Т)хЛп, Вхш(Ь,х) = {дш{1, х)/дх\,., х)1дх^.

В диссертации рассматривается следующая краевая задача Коши для уравнения (0.1): ш(Т, х) = а(х), V х <Е К1. (0.2)

Уравнения в частных производных первого порядка возникают при решении большого числа прикладных (инженерных, управленческих, навигационных, экономических, химических, биологических) и теоретических задач. Так, хорошо известны:

• в теоретической механике - уравнение Гамильтона-Якоби [8];

• в теории оптимального управления - уравнение Беллмана [230];

• в теории дифференциальных игр - уравнение Айзекса [263];

• в геометрической оптике - уравнение эйконала [91];

• в газовой и гидродинамике - предельные уравнения Бюргерса и Хопфа [276, 262, 143, 250]; и т.д.

Одним из основных методов исследования и решения таких уравнений долгие годы являлся метод характеристик, предложенный О.Коши (А.СаисЬу) в первой половине XIX века. (См., например, [91, 131, 150]). Этот метод сводит решение краевых задач для уравнений в частных производных первого порядка к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, называемой характеристической системой.

Параметрическое семейство решений этих обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых характеристиками Коши, заполняет график классического (гладкого) решения уравнения Га-мильтона-Якоби и описывает векторное поле градиентов этого решения. Другими словами, график классического решения уравнения Гамильтона-Якоби (0.1) инвариантен относительно решений характеристических уравнений.

Метод характеристик применим для построения классического решения в краевых задачах для уравнения Гамильона-Якоби в тех случаях, когда характеристики Коши не пересекаются.

Однако, даже в задачах (0.1), (0.2) со сколь угодно гладкими входными данными: граничной функцией сг(-) и гамильтонианом #(£, я,р), — в случае нелинейного по р = Бхш гамильтониана, характеристики Коши пересекаются вне достаточно малой окрестности краевых условий. И вне этой окрестности классического решения уравнения Гамильтона-Якоби не существует.

В то же время, в задачах теоретической механики, оптимального управления, механики сплошных сред и многих других изучаются негладкие (недифференцируемые на множестве меры нуль) или разрывные функции, имеющие следующий содержательный смысл: например, времени оптимального быстродействия [139]; поверхности кристаллов, растущих в насыщенном растворе [250]; негладкого фронта распространения световой волны в неоднородной, композитной среде [122, 242]; и т.д.

Эти негладкие функции определены в достаточно больших областях Пу или даже во всем фазовом пространстве задачи. Причем известно, что в точках дифференцируемости, т.е. почти всюду, они удовлетворяют соответствующему уравнению Гамильтона-Якоби. Они совпадают с классическим решением этого уравнения в тех областях, где это решение определено. Таким образом, эти функции могут быть истолкованы, как обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби.

Однако нетрудно привести примеры (см. [250]) задач Коши, в которых существует бесконечно много функций, удовлетворяющих уравнению Гамильтона-Якоби почти всюду. Поэтому корректное понятие обобщенного решения уравнения Гамильтона-Якоби следует вводить таким образом, чтобы оно сохраняло содержательный смысл и было единственным.

Эта потребность стимулировала активные исследования уравнений Гамильтона- Якоби в 50-е - 70-е годы XX века. Задачи, связанные с изучением "слабых"решений уравнений в частных производных первого порядка, исследовались в работах Н.С. Бахвалова, Г. Эванса, У. Флеминга, И.М. Гельфанда, С.К. Годунова, Э. Хопфа, О.А. Ладыженской, Р. Лакса, О.А. Олейник, Б.Л. Рождественского,А.А. Самарского, СЛ. Соболева, А.Н. Тихонова и многих других известных математиков. (См. библиографию в конце диссертации и цитируемые в ней работы). Эти исследования опирались, в основном, на интегральные методы и интегральные свойства обобщенных решений.

Среди исследований этого периода отметим результаты С.Н. Круж-кова, которые были получены для уравнений Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом (см., например, [83]). В его работах были заложены основы систематического применения субдифференциального аппарата выпуклого анализа для исследования негладких решений уравнений в частных производных. В работе Ф. Кларка [238] для исследования обобщенного решения уравнения Беллмана было предложено использование другого нового аппарата негладкого анализа - обобщенных производных по направлению.

Дальнейшее развитие выпуклого и негладкого анализа позволило применять новые результаты и методы, основанные на обобщениях понятия дифференцируемости, к исследованию обобщенных решений уравнений в частных производных.

В ранние 80-е, М. Крэндалл и ПЛ. Лионе ввели понятие вязкостного решения (viscosity solution), существование которого доказывалось с помощью метода исчезающей вязкости, при стремлении к нулю малого параметра-коэффициента при операторе Лапласа. За первыми публикациями [278, 244, 245] последовала все расширяющаяся серия статей многих авторов. В рамках этой теории доказаны теоремы существования и единственности для различных типов уравнений первого порядка, эллиптических и параболических уравнений и различных типов краевых задач. Активно изучаются различные приложения к задачам управления, дифференциальным играм. Обзоры результатов теории вязкостных решений можно найти в работах [246, 254, 221].

В настоящее время большое внимание многочисленные авторы уделяют вопросам построения аналитических, конструктивных и численных методов построения вязкостных решений и приложения теоретических результатов к решению различных химических, экономических, биологических и других прикладных задач. Упомянем здесь такие работы, как [295, 224, 223, 264, 250].

Другая известная концепция обобщенного решения на базе идем-потентиого анализа, предложена в работах В.П. Маслова и его учеников (см., например, [68, 109]. Она подобна классическим подходам к определению обобщенного (слабого) решения в математической физике. Основное отличие состоит в том, что традиционная структура поля над R с операциями а + Ь и а • b заменяется структурой полукольца с операциями o0fi = min(a,6), а © Ъ — а + Ь. С помощью этого подхода, линеаризующего выпуклые задачи, исследовались уравнения Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом и их приложения к задачам математической физики

Исследования данной диссертации проводились в рамках концепции минимаксного решения, предложенной А.И. Субботиным [151, 152, 297]. Концепция минимаксного решения имеет свои истоки в теории позиционных дифференциальных игр [73, 75, 76, 269], развитой в школе H.H. Красовского и базирующейся на минимаксных оценках и операциях. В начале 70-х H.H. Красовский и А.И. Субботин ввели понятия и-стабилъных и v-стабилъных функций, которые мажорируют и , соответственно, минорируют функцию цены дифференциальной игры. Надграфики и-стабилъных и подграфики v-стабилъных функций содержат траектории дифференциальных включений специальных типов (так называемых уравнений в кон-тиигенциях). Причем цена дифференциальной игры оказывается единственной функцией, которая одновременно является и-стабильиой и v-стабилъиой. Известно также, что функция цены является обобщенным решением уравнения Гамильтона-Якоби-Ай-зекса. Свойство инвариантности надграфика и подграфика функции цены относительно уравнений в контингенциях было обобщено и положено в основу определения минимаксного решения уравнения в частных производных.

Понятие минимаксного решения можно определить различными способами, в том числе в инфинитезимальной форме, при помощи средств негладкого анализа: производных по направлениям, конусов касательных направлений, суб- и супер-дифференциалов и т.д. Формулировки этих определений и доказательство их эквивалентности даны, например, в [152, 297]). Все эти определения описывают, по сути, свойство графика минимаксного решения быть заполненным траекториями так называемых характеристических дифференциальных включений, т.е. обобщенными характеристиками Коши. Определение минимаксного решения можно трактовать, как релаксацию и обобщение классического метода характеристик Коши.

В рамках теории минимаксных решений доказаны теоремы существования и единственности, корректности и содержательности понятия минимаксного решения для различных типов краевых задач уравнений в частных производных первого порядка [182, 1, 154, 21, 39, 163, 98, 99, 180]. Развиты конструктивные и численные (в том числе сеточные) методы решения этих задач [164, 161, 172, 183, 184, 40, 36].

Особое место в приложениях теории минимаксных решений занимают исследования задач оптимального управления и дифференциальных игр, где минимаксное решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса совпадает с функцией цены. (См., напимер, [269, 151, 193, 195, 194, 152, 311, 273, 24]). Функция цены каждой точке фазового пространства задачи ставит в соответствие оптимальный результат, достижимый для нее, как для начальной. Кроме того, она играет ключевую роль в построении оптимальных и почти оптимальных способов управления по принципу обратной связи (см. [230, 263, 139, 232, 251, 102, 72, 256, 249, 63]). Существенный вклад в развитие концепции позиционного гарантированного управления, наблюдения, оценивания и динамической реконструкции сыграли работы H.H. Красовского [73, 76, 268], А.Б. Куржанского [37, 92, 274], Ю.С. Осипова [87, 125, 271], А.И. Субботина [75, 162, 165] и их учеников (см. также библиографию в конце диссертации).

При исследовании минимаксных решений используются методы теории дифференциальных игр, динамической оптимизации и негладкого анализа. В то же время, исследования минимаксных решений стимулируют развитие этих новых разделов математики. (См., например, [64, 239]).

Важным результатом теории обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка является доказательство нетривиального факта эквивалентности понятий минимаксного и вязкостного решений (см. [165, 297]).

Данная диссертация посвящена дальнейшему развитию и новым приложениям теории минимаксных решений к задачам оптимального управления и дифференциальным играм. Поэтому метод характеристик является ключевым в этих исследованиях и вынесен в заголовок диссертации.

В диссертации исследуются следующие проблемы:

• для задачи оптимального управления с функционалом типа Больца - доказательство, в рамках теории минимаксных решений уравнения Беллмана, следующих результатов:

- принципа максимума Понтрягина,

- необходимых и достаточных условий оптимальности и

- метода динамического программирования;

• обоснование способов построения разрешающих эту задачу оптимальных программных управлений и оптимального синтеза;

• исследование роли классического метода характеристик Коши в нахождении локально-липшицевого решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана;

• исследование возможности сингулярной аппроксимации минимаксного решения уравнения Гамильтона-Якоби с помощью минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби, рассматриваемых в расширенном фазовом пространстве и сингулярно возмущенных по части импульсных переменных;

• исследование роли унификации обобщенных характеристик Коши при получении достаточных условий сингулярной аппроксимации;

• применение сингулярной аппроксимации минимаксного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Айзекса для построения асимптотик дифференциальных игр с быстрыми и медленными движениями;

• исследование функции цены в диффузионных дифференциальных играх с частично вырожденным шумом и описание ее свойств стабильности в терминах обобщенных стохастических производных минимаксного решения параболического уравнения Гамилътона-Якоби-Азекса',

• описание представлений обобщенных стохастических производных для отдельных классов негладких функций.

Остановимся подробнее на конкретном содержании диссертации. Работа состоит из пяти глав, разбитых на двадцать параграфов.

Известные результаты, используемые в диссертации, носят название утверждений. Вспомогательные результаты, полученные в диссертации, носят название лемм, а основные результаты сформулированы в виде теорем. Все утверждения, леммы и теоремы имеют двойную нумерацию: римская цифра означает номер главы, а арабская - порядковый номер либо утверждения, либо леммы, либо теоремы в этой главе. Параграфы имеют сплошную нумерацию. Подразделы параграфов и формулы имеют свою двойную нумерацию, где первая цифра означает номер параграфа, а вторая - номер подраздела или номер формулы в этом параграфе, соответственно.

В главе I диссертации приводятся основные понятия теории уравнений Гамильтона- Якоби.

• В параграфе §1 определяются понятия классического и обобщенного (вязкостного) решений уравнения Гамильтона-Якоби.

В пп.1.1 формулируется задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби, дается определение классического решения этой задачи и описывается метод характеристик Коши для построения классического решения. (Подробное изложение этого метода можно найти в монографиях [91, 131]). Обсуждаются границы применения этого метода. Формулируются основные требования к входным данным Н(Ь,х,р) и ст{х) задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби, при которых эта задача расматривается в диссертации. Эти требования стандартны для теории обобщенных (минимаксных и вязкостных решений).

В пп.1.2 приводится определение обобщенного вязкостного решения рассматриваемой задачи Коши [244].

• Параграф §2 посвящен понятию непрерывного минимаксного решения в задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.

В пп.2.1 вводится определение комплексов характеристических дифференциальных включений, определяемых гамильтонианом Н^,х,р) рассматриваемой задачи, и определяются обобщенные характеристики Коши, как решения этих включений. Определяется свойство слабой инвариантности множества относительно дифференциального включения. Приводятся два эквивалентных определения минимаксного решения в задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби с помощью обобщенных характеристик Коши [297].

В пп.2.2 приводятся теоремы существования и единственности непрерывного минимаксного решения в рассматриваемой задаче Коши [297].

В пп.2.3 приведены понятия негладкого анализа, обобщающие свойство дифференцируемости для липшицевых функций: полупроизводные Дини по направлениям, регулярные суб- и супердифференциалы [44, 238, 141, 117, 45, 240, 290].

В пп.2.4 приведены понятия слабой и сильной инвариантности множества относительно дифференциального включения [260, 214, 240, 290].

В пп.2.5 приводится инфинитезимальное определение непрерывного минимаксного решения рассматриваемой задачи Коши в терминах полупроизводных Дини по направлениям и утверждение об эквивалентности этого определения, определений из пп. 2.1 и определения вязкостного решения в инфинитезималыюй форме [297].

1. Адиатуллина P.A., Тарасьев A.M. Дифференциальная игра неограниченной продолжительности. // Прикл. матем. механ., 1987. Т.51. 531-537.

2. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

3. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987, 366 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979, 430 с.

5. Алексейчик М.И. Дальнейшая формализация основных элементов антагонистической дифференциальной игры.//Сборник научных трудов Мат. анализ и его прилоэюения. Ростовский-на-Дону госуниверситет, 1975, Т.7, С.191-199.

6. Альбрехт Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.б. No.l. С.27-38, Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

7. Альбрехт Э.Г., Шелементьев Г.С. Лекции по теории стабилизации. Свердловск: Изд-во Уральского гос. университета, 1972, 282 с.

8. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

9. Арнольд В.И. Особенности каустик и волгшвых фронтов. М.: Фазис, 1996, 444 с.

10. Арутюнов A.B., С.М. Асеев. Принцип макимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями. // Докл. РАН. 1994. Т.334. No.2. 134-137.

11. Бахвалов Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

12. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967, 224 с.

13. Батухтин В.Д. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре сближения. // Доклады АН СССР, 1972, Т.27, No.l.

14. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. литературы., 1960. 400 с.

15. Беллман Р., Кал аба Р. Математическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969, 118 с.

16. Бердышев Ю.И. Качественный анализ областей достижимости. // Космические исследования. 1996. Т.34. No.2. 141-144.

17. Благодатских В.И., А.Ф. Филиппов. Дифференциальные включения и оптимальное управление'.// Труды Матем. института им. Стеклова. 1985. Т.169. 194-252.

18. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. 308 с.

19. Боткин Н.Д., Зарх М.А., Кейн В.Н., Пацко B.C., B.JI. Турова. Дифференциальиые игры и задачи управления самолетом при ветровых помехах.// Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1993. No.l. С. 68-76.

20. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

21. Брыкалов С.А. Конфликтно управляемая система с нефиксированным моментом окончания. / / Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.2. 313-319. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

22. Васильева А.Б., А.Ф. Бутузов. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

23. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

24. Вахрушев В.А., В.Н. Ушаков. О вычислительной реализации процедур управления с поводырем. // Прикл. математика и механика. 2002. Т.66. No.2. С.228-238.

25. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 512 с.

26. Вязгин В.А. К обоснованию достаточных условий методами Вейерштрасса и Гамильтона-Якоби-Беллмана. //Автоматика и телемеханика. 1884. Т.4., С. 31-37.

27. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971, 508 с.

28. Гайцгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными двио/сениями. М.: Наука, 1991, 224 с.

29. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд.-во Тбилисскоко университета, 1975, 256 с.

30. Гамкрелидзе Р.В., Аграчев A.A., С.А. Вахрамеев. Обыкновенные дифференциальные уравнения на векторных расслоениях и хронологическое исчисление. // Итоги науки и техн., Современные проблемы математики. Нов. достиж. / ВИНИТИ. 1989. Т.35. 3-107.

31. Гасилов B.JL, Костоусов В.Б. Методы получения и представления эталонной информации о геофизических полях // Гироскопия и навигация. 1996. Т.4. No.15. 64-65.

32. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14. No.2 (86). С.87-158.

33. Геращенко Е.И., С.М. Геращенко. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975.

34. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1979. 392 с.

35. Григоренко Н.Л., Киселев Ю.Н., Лагунов Н.В., Силин Д.Б., Н.Г. Тринько. Методы решения дифференциальных игр.Математическое моделирование.// M.: Изд-во Московского университета. 1993. 332 с.

36. Григорьева C.B., Тарасьев A.M., Успенский A.A., В.Н. Ушаков. Конструкции теории дифференциальных игр при решении уравнений Гамильтона-Якоби. // Труды Института матем. и мех. УрО РАН. 2000. Т.6. No.2. 320-336. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

37. Гусев М.И., А.Б. Куржанский. К оптимизации управляемых систем при наличии ограничений. I, II. / /Дифференц. уравнения. 1971. Т.7. No.9. 1591-1602; No.10. 1789-1800.

38. Гусев M.И. О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания. // Доклады Акад. наук, 1992. Т.322. No.5. 832-835.

39. Гусейнов Х.Г., В.Я. Джафаров. Левосторонние решения уравнения Гамильтона-Якоби. // Труды Института матем. и мех. УрО РАН. 2000. Т.6. No.2. 337-350. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

40. Гусейнов Х.Г., В.Н. Ушаков. О построении дифференциальных включений с предписанными свойствами. // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, No.4. 438-445.

41. Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., В.Н. Ушаков. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления.// Проблемы управления и теории информации. 1985. Т. 14. No.3. 1-14.

42. Гусятников П.Б. Теория дифференциальных игр. М.: Изд-во МФТИ, 1982, 99 с/

43. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи. // Доклады Академии наук. 1999. Т.369. No.3. 305-308.

44. Демьянов В.Ф., В.Н. Малоземов. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 363 с.

45. Демьянов В.Ф., A.M. Рубинов. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990, 432 с.

46. Джафаров В.Я. Обустойчивояти гарантированного результата в задаче позиционного управления. // Доклады АН СССР, Т.285. No.l. 27-31.

47. Дмитриев М.Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления. // Дифферепц. уравнения., 1985, Т.21, No.10, 1693-1698.

48. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приблио/сения и анализ чувствительности., М.: Мир, 1987, 156 с.

49. Дубовицкий А.Я., A.A. Милютин. Задачи на экстремум при наличии ограничений. // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149. No.4. 759-762.

50. Жаутыков O.A., Жуковский В.И., С. Жаркынбаев. Дифференциальные игры нескольких лиц. Алма-Ата: Наука, 1988, 320 с.

51. Завалищин С.Т., А.Н. Сесекин. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991, 256.

52. Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, М.; Наука, 1985.

53. Зеликина Л.Ф. Универсальные многообразия и теоремы о магистрали для некоторого класса задач оптимального управления. // Докл.АН СССР, 1975. Т,224, No.l.

54. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975, 496 с.

55. Иванов А.Г. Задача о брахистохроне в центральном поле тяготения. // Сборник научных трудов Института математики и механики УрО РАН. Алгоритмы и программные средства паралелльных вычислений. 1998. No.2. 95-109.

56. Ильин A.M. Пограничный слой. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные исследования./ Т.34. М.: ВИНИТИ, 1988.

57. Ильин A.M., Калашников A.C., О.А.Олейник. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Успехи матем. паук, 1962, Т.17, No.3 (105). 3-146.

58. Иоффе А.Д., В.М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974, 480 с.

59. Канторович Л.В., Г.П. Акилов. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

60. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966, 260 с.

61. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд-во Уральской гос. академии путей сообщения, 1998, 222 с.

62. Ким A.B., Пименов В.Г. О применении i-гладкого анализа к разработке численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений. // Сборник научных трудов ИММ УрО РАН. 1998. Т.5. 119-142. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

63. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

64. Кларк Ф., Ю.С.Ледяев. Новые формулы конечных приращений. // Докл. Российск. акад. наук, Т.331. No.3. 275-277.

65. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

66. Климушев А.И., H.H. Красовский. Равномерная асимптотическая устойчивость систем уравнений с малым параметром перед производными. //Прикл. матем. мех. 1962. Т.25. С.1011-1025.

67. Колмогоров А.Н., C.B. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 С.

68. Колокольцов В.Н., В.П. Маслов. Идемпотентный анализ и его применения в оптимальном управлении. М.; Наука, 1994.

69. Кононенко А.Ф. Структура оптимальной стратегии в динамических управляемых системах. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1980. Т.20, No.5. 1105-1116.

70. Короткий А.И. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах. // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика. 1991. No.2. 154-164.

71. Красовский А.Н. Дифференциальная игра для позиционного функционала. // Докл. АН СССР. 1980. Т.253. No.6. С.1303-1307.

72. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

73. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

74. Красовский H.H., А.И. Субботин. Альтернатива для игровой задачи сближения.// Прикл. матем. и мех. 1970. Т.34. С.1005-1022.

75. Красовский H.H., А.И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

76. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

77. Красовский H.H., Н.Ю. Лукоянов. Уравнение типа Гамильтона-Якоби в наследственных системах: Минимаксные решения. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.l. 110-130. Екатеринбург. Изд-во УрО РАН.

78. Красовский H.H., В.М. Решетов. Задачи сближения и уклонения в системах с малым параметром перед производной. // Прикл. матем. мех. 1974. Т.38. No.5. С.771-779.

79. Красовский H.H., Т.Н. Решетова. О программном синтезе гарантирующего управления.// Проблемы управления и теории информации. 1988. Т.17. No.6. С.1-11.

80. Красовский H.H., В.Е. Третьяков. Седловая точка стохастической дифференциальной игры.// Докл. АН СССР, 1980. Т.254. No.3. С.534-539.

81. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973, 448 с.

82. Кружков С.Н. К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка.// Успехи мат. наук. 1965. Т.20. No.6. С.112-118.

83. Кружков С.Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений со многими независимыми переменными, 1. // Мат. сборник. 1966. Т.70. No.3. С.394-416.

84. Кружков С.Н., Н.С. Петросян. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для нелинейных уравнений первого порядка. // Успехи матем. наук, 1987. Т.42. 3-40.

85. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.

86. Кряжимский A.B. К теории позиционных дифференциальных игр сближения и уклонения. // Доклады АН СССР. Т.239. No.4. 779-782.

87. Кряжимский A.B., Ю.С. Осипов. О позиционном моделировании управления в динамических системах. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. No.2. С.51-60.

88. Кряжимский A.B., Ю.С. Осипов. Экстремальные задачи с отделимыми графиками. //Кибернетика и систем, агшлиз. 2002. Т.2. 32-55.

89. Кузнецов H.H., Рождественский Б.Л. Построение обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. //Успехи мат.наук. 1959. Т.14. No.2(86). С.211-215.

90. Кумков С.С., B.C. Пацко. Максимальные стабильные мосты в контрольном примере Л.С. Понтрягина.// Вестник Удмуртского университета. (Математика, Механика) Ижевск. 2000. No.l. С. 92-103.

91. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964, Т.2, 832 с.

92. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1979. 392 с.

93. Куржанский A.B., О.И. Никонов. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления. // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗЗ. No.5.

94. Куржанский A.B., И.Ф. Сивергина. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем. // Доклады Академии наук. 1998. Т.369. No.2. 161-166.

95. Куржанский A.B., Т.Ф. Филиппова. О методе сингулярных возмущений для дифференциальных включений. Докл. АН СССР. 1991. Т.321. No.3. С.454-459.

96. Ладыженская O.A., H.H. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

97. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

98. Лахтин A.C., А.И. Субботин. Многозначные решения уравнений с частными производными первого порядка.// Мат. сб. 1998. Т.189. No.6. С.33-58.

99. Лахтин A.C., А.И. Субботин. Минимаксные и вязкостные решения разрывных уравнений с частными производными первого порядка.// Доклады РАН. 1998. Т.359. No. 4. С.452-455.

100. Леликова Е.Ф. Об асимптотике фундаментального решения параболического уравнения высокого порядка. // Доклады Акад. паук. 1995. Т.341. No.5. 532-537.

101. Ледяев Ю.С., Е.Ф. Мищенко. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр.// Труды МИ АН СССР. 1988. Т.85. С. 147-170.

102. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968, 202 с.

103. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. 336 с.

104. Липцер Р.Ш., А.Н. Ширяев. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974, 696.

105. Логинов М.И., Соболев О.Н., Г.С. Шелементьев. Введение в статистический анализ. Екатеринбург: Изд-во Уральского гос. университета, 1999,116 с.

106. Лукоянов Н.Ю. Минимаксные решения уравнений Гамильтона-Якоби для систем с наследственностью. // Доклады Академии наук. 2000. Т.371. No.2. 163-166.

107. Максимов В.И. Принцип экстремального сдвига в задаче нахождения решений операторных уравнений. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.l. 141-149. Екатеринбург. Изд-во УрО РАН.

108. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987, 304.

109. Маслов В.П., С.Н. Самборский. Существование и единственность решений стационарных уравнений Гамильтона-Якоби и Беллмана. Новый подход.// Доклады РАН. 1992. Т.324. No.6. С.1143-1148.

110. Меликян A.A. Сингулярные характеристики уравнений в частных производных первого порядка. // Доклады РАН. 1996. Т.382. No.2. 203-217.

111. Меликян A.A. Уравнения распространения слабого разрыва решения вариационной задачи. / / Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.2. 446-459. Екатеринбург. Изд-во УрО РАН.

112. Минченко Л.И., О.Ф. Борисенко. Дифференциальные свойства маргинальных функций и их приложения к задачам оптимизации. Минск: Навука и тэхника, 1992, 142 с.

113. Мищенко Е.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. No.5. С.3-9.

114. Мищенко Е.Ф., Л.С.Понтрягин. Периодические решения систем почти разрывных дифференциальных уравнений. //Доклады АН СССР. 1955. Т.102. No.5. С.889-891.

115. Мищенко Е.Ф., Н.Х. Розов. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные клоебания. М.: Наука, 1975, 248 с.

116. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1971.

117. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 360 с.

118. Незнахин A.A., В.Н. Ушаков. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения. // Журн. выч. мат. и мат. физики. 2001. Т.41. No.6. 895-908.

119. Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л.С. Понтрягина // Матем. сборник. 1981. Т.116. No.l. 136-144.

120. Никольский М.С., М. Абубакар. Некоторые оценки множества достижимости для управляемого уравнения Ван дер Поля. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.l. 150-159. Екатеринбург. Изд-во УрО РАН.

121. Обэн Ж.П., И. Экланд. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512 с.

122. Олейник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. // Успехи матем. наук. 1957. Т.12, No.3(75). С.3-73.

123. Олейник O.A. О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения "исчезающей вязкости". //Успехи мат. наук. 1959. Т. 14. No.2. С.159-164.

124. Олейник O.A., С.Н. Кружков. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными. // Успехи матем. наук, 1961. Т.16. No.5. С.115-155.

125. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами.// Доклады АН СССР. 1975. Т.223. No.6. С.1314-1317.

126. Осипов Ю.С. Позиционное управление в параболических системах. // Прикл. матем. мех., 1977. Т.41. No.2.

127. Панасюк А.И., В.И. Панасюк. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. М.: Наука, 1986, 296 с.

128. Первозванский A.A., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. 342 с.

129. Петров H.H. О существовании значения игры преследования. // Докл. АН СССР, 1970. Т.190. No.6. 621-624.

130. Петров H.H. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1997, 196 с.

131. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравений. М.: Наука, 1964, 272 с.

132. Петросян JI.A. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленинградского гос. университета, 1977, 222 с.

133. Петросян Л.А., В.В. Захаров. Математические модели в экологии. Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петербургского гос. университета. 1997. 254 с.

134. Половинкин Е.А. Элементы теории многозначных отбраэюений. М.: Изд-во МФТИ, 1982, 126 с.

135. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

136. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965, 332 с.

137. Понтрягин JI.С. О линейных дифференциальных играх. 1. 2.// Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. No.6. С.1278-1280.Докл. АН СССР. 1967. Т.175. No.4. С.764-766.

138. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры // Тр. МИАН СССР. 1985. Т.169. С.119-157.

139. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Е.Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1961. 392 с.

140. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. No.2. С.285-287.

141. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М: Наука, 1980, 319 с.

142. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982, 144 с.

143. Рождественский Б.Л., Яненко H.H., Системы квазилинейных уравнений и их прилоэюения к газовой динамике. М.: Наука, 1978, 688 с.

144. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. Автоматика и телемеханика, 1959. Т.20. No.10-12.

145. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 472 с.

146. Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоёв. // Докл. АН СССР. 1990. Т.313. No.2. 283-287.

147. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.

148. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959, 468 с.

149. Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр. // Докл. АН СССР. 1980. Т.254. No.2. С.293-297.

150. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Га-мильтона-Якоби. М.: Наука, 1991, 216 с.

151. Субботин А.И. Непрерывные и разрывные решения краевых задач для уравнений с частными производными первого порядка.// Доклады РАН. 1992. Т.323. No.l. С.30-34.

152. Субботин А.И. Минимаксные решения уравнений с частными производными первого порядка.// Успехи мат. наук. 1996. Т.51. No. 2(308). С.105-138.

153. Субботин А.И., H.H. Субботина. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры. // Доклады АН СССР. 1978. Т.243. No.4. С.829-865.

154. Субботин А.И., H.H. Субботина. Необходимые и достаточные условия для негладкой цены дифференциальной игры. // Сборник научных трудов. Задачи динамического управления. ИММ УНЦ АН СССЗ, 1979.

155. Субботин А.И., H.H. Субботина. Функция оптимального результата в задаче управления. Доклады АН СССР. 1982. Т.266. No.2. С.294-299.

156. Субботин А.И., H.H. Субботина. Свойства потенциала дифференциальной игры. // Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46. No.2. С.204-211.

157. Субботин А.И., H.H. Субботина. К вопросу обоснования метода динамического программирования в задаче оптимального управления. // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1983. Т.2, С.24-32.

158. Субботин А.И., H.H. Субботина. Свойства дифференцируемости функции цены дифференциальной игры с интегрально-терминальной платой. Проблемы управления и теории информации, 1983, Т.12, No.3, С.153-166.

159. Субботин А.И., H.H. Субботина. Кусочно-гладкие решения уравнений с частными производными первого порядка. // Доклады РАН. 1993. Т.ЗЗЗ. No.6. С.705-707.

160. Субботин А.И., А.Г. Ченцов. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

161. Субботин А.И., А.Г. Ченцов. Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Га-мильтона-Якоби.// Доклады РАН. 1996. Т.348. No.3 С.45-48.

162. Субботин А.И., Л.Г. Шагалова. Кусочно-линейное решение задачи Коши для уравнений Гамильтона-Якоби // Докл. АН. 1992. Т.325. No.5. С.932-936.

163. Субботин А.И., Тарасьев A.M., В.Н. Ушаков. Обобщенные характеристики уравнений Гамильтона-Якоби. // Изв. АН. Техн. кибернетика. 1993. No.l. 190-197.

164. Субботина H.H. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх. // Дифференц. уравнения, 1983. Т.19. No.ll, С.1377-1382.

165. Субботина H.H. Некоторые достаточные условия существования универсальных стратегий. //Сборник научных трудов Исследования задач минимаксного управления, (Субботин А.И. и B.C. Пацко редакторы), ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1985, С.72-81.

166. Субботина H.H. Инфинитезималъные свойства функции цены диффузионной дифференциальной игры. Свердловск, ИММ УНЦ АН СССР, 1985. Деп. в ВИНИТИ, No.7690-D19.ll.85. 43 с.

167. Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия оптимальности в терминах принципа максимума и супердифференциала функции цены. / Свердловск, ИММ УрО АН СССР, 1988. Деп. в ВИНИТИ, No. 2898-В.88, 18 с.

168. Субботина H.H. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана. // Докл. АН СССР. 1991. Т.320. No.3. С.556-561.

169. Субботина H.H. Построение обобщенного решения уравнения Гамильтона-Якоби- -Беллмана с помощью метода характеристик Коши. // Свердловск, ИММ УрО АН СССР, 1991. Деп. в ВИНИТИ No. 2571-В91. 53 С.

170. Субботина H.H. Унифицированные условия оптимальности в задачах управления. // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург: Инст. матем. и механ., УрО РАН. 1992. Т.1. С. 147-160.

171. Субботина H.H. Асимптотические свойства минимаксных решений уравнений Беллмана-Айзекса в дифференциальных играх с быстрыми и медленными движениями. Прикл. матем. мех. 1996. Т.60. No.6. С.883-890.

172. Субботина H.H. Асимптотики сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якоби. Прикл. матем. мех. 1999. Т.63. No.2. С.220-230.

173. Субботина H.H. Сингулярные аппроксимации минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби. // Труды Института математики и механики / Сборник научных трудов, 2000, Т.6, № 1, С.190-208, УрО РАН: Екатеринбург,

174. Субботина H.H. Условия оптимальности обратных связей в задачах управления.// ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2002. Деп в ВИНИТИ 28.06.02, № 1212 В2002, 32 С.

175. Субботина H.H. Метод динамического программирования для класса локально-липшицевых функций. // Доклады Академии наук. 2003. Т.389, No.2. С.1-4.

176. Субботина H.H., Ченцов А.Г. О существовании функции Беллмана в линейной дифференциальной игре. // Сборник научных трудов ИММ УНЦ АН СССР, 1979, Вып.26. С.80-86.

177. Субботина H.H., Субботин А.И., Третьяков В.Е. Стохастическое и детерминированное управление. Дифференциальные неравенства. // Пробл. управл. теор. мнформ., 1985. Т. 14. No.6. С.Р1-Р15.

178. Тарасьев A.M. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби.// Прикл. матем. и мех. 1994. Т.58. No.2. С.22-36.

179. Тарасьев A.M., Успенский A.A., В.Н. Ушаков. Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби.// Изв. РАН. Техн. Кибернетика. 1994. No.3. С.173-185.

180. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр перед производными. Матем. сборник. 1952. Т.31. No.3. С.575-586.

181. Тихонов A.H., A.A. Самарский. О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка.// Доклады АН СССР 1954. Т.99. No.l. С.27-30.

182. Тонков E.JI. Некоторые вопросы управления периодическими движениями. //Динамика управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1979.

183. Третьяков В.Е. К теории стохастических дифференциальных игр. // Доклады АН СССР 1983. Т.269. No.3. С. 1049-1053.

184. Третьяков В.Е., Целищева И.В., Г.И. Шишкин. Оптимальное управление системами с неполной и неточной информацией. // Труды Института матем. мех. УрО РАН. Т.2. 176-187. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

185. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. JL: Машиностроение, 1976.

186. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974.

187. Ухоботов В.И. Синтез гарантированного управления на основе аппроксимационной схемы. // Труды Института математики и механики / Сборник научных трудов, 2000, Т.6, № 1, С.239-246, УрО РАН: Екатеринбург,

188. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения. // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика. 1980. No.4. 29-36.

189. Ушаков В.Н. К вопросу стабильности в дифференциальных играх.// Позиционное управление с гарантированным результатом. Свердловск. УрО АН СССР. 1988. С. 101-109.

190. Ушаков В.Н., А.П. Хрипунов. О приближенном построении решений в игровых задачах управления. // Ппркл. матем. мех. 1997. Т.61. No.3. 413-421.

191. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования.// Вестник МГУ. Сер. мат., мех., физ., хим. 1959. № 2. С.25-32.

192. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 С.

193. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978, 316 с.

194. Фомин В.Н., Фрадков A.JL, В.А. Якубович. Адаптивное управление динамическбими объектами. М.: Наука, 1981, 447 е.

195. Хрусталев М.М. Необходимые и достаточные условия для задачи оптимального управления. Докл. АН СССР. 1973. Т.211. т. С.59-62.

196. Хрусталев М.М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана.//Доклады АН СССР. 1980. Т.254. С. 293-297.

197. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени.// Мат. сб. 1976. Т.99. С.394-420.

198. Черноусько Ф.Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром. М.: Наука, 1980.

199. Черноусько Ф.Л., В.Б.Колмановский. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978, 352 с.

200. Черноусько Ф.Л., A.A. Меликян. Игровые задачи управления и поиска. М.:Наука, 1978. 270 с.

201. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Б.Н.Соколов. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

202. Чикрий A.A. Конфликтно-управляемые процессы. Киев: Наукова думка, 1992, 384 с.

203. Чистяков C.B. О решениях игровых задач преследования.// Прикл. матем. и мех. 1977. Т.41. С.825-832.

204. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1772. Т.1. 824с.

205. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980, 576с.

206. Шориков А.Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах., Екатеринбург: Изд-во Уральского гос. университета. 1997, 248 с.

207. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир. 1974. 488с.

208. Ananiev B.I. On Minimax State Estimates for Multistage Statistically Uncertain Systems. // Probl. Contr. Inform. Theory. 1981. Vol.18. No.l. 27-41.

209. Aubin, J. P. (1991). Viability Theory. Birkhauser, Boston

210. Aubin J. P. and A. Cellina. (1984). Differential Inclusions. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.

211. Aubin J. P. and H. Frankowska. Set Valued Analysis. Birkhauser, Boston,

212. Artstein Z. and V. Gaitsgory. (1997). Tracking fast trajectories along a slow dynamics; A singular perturbations approach. // SI AM J. Contr. Optimiz. Vol. 35. 1487-1507.

213. Artstein Z. and V. Gaitsgory. (2000). The Value Function of Singularly Perturbed Control Systems. // Appl. Math.Optimiz. Vol.41. 425-445. New York: Springer Verlag.

214. Barabanov, A. E. and A. M. Ghulchak. (1996). H-infinity optimisation problem with sign-indefinite quadratic form. // Systems and Control Letters. 1996. Vol.29. 157-164.

215. Barabanov, N. E. and R. Ortega (2000) Necessary and sufficient conditions for passivity of the Lugre friction model. // IEEE Trans. Autom. Contr., 2000, Vol. 1.

216. Bardi, M. and I. Capuzzo-Dolcetta (1997). Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations, Birkhauser: Boston.

217. Bardi, M. and L. C. Evans. (1984). On Hopf's formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations. // Nonlinear Analysis, Theory, Methods, Appl, Vol.8. No.ll. 1373-1381.

218. Bardi, M. and M.Falcone. (1990). An approximation scheme for the minimum time function. // SIAM J. Control and Optim., Vol.28. 950-965.

219. Barles, G. and B. Perthame. (1988). Exit time problems in optimal control and vanishing viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations. // SIAM J. Control Optimiz., 26, 1133-1148.

220. Barron, E. N. and R. Jensen. (1986). The Pontryagin maximum principle from dynamic programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations. // Trans. Amer. Math. Society, Vol.298. No.2. 635-641.

221. Barron, E. N., Evans, L.C. and R. Jensen (1984). Viscosity solutions of Isaacs' equations and differential games with Lipschitz controls. J. Different. Equat., Vol.53(2), 213-233.

222. Basar, T. and P. Bernhard (1991). H°°-Optimal Control and related Minimax Design Problems, Birkhauser, Boston.

223. Bensoussan, A. and J. L. Lions (1982). Applications of variational inequalities in stochastic control North-Holland Publishing Company: Amsterdam-New York-Oxford.

224. Bensoussan A. (1988). Perturbation Methods in Optimal Control. Wiley-Gautier: New York, Chichester. 574 P.

225. Bellman, R. (1957). Dynamic Programming. Princeton University Press: Princeton: NJ, 210 P.

226. Bellman, R. and R. Kalaba. (1965). Dynamic Programming and modern control theory. Academic Press: New York.

227. Berkovitz, L. D. (1964). A variational approach to differential games. //Advances in Game Theory, / Ann. Math. Stud., 52. Princeton University Press: Princeton,

228. Berkovitz, L. D. (1989). Optimal feedback controls. //SIAM J. Control Optimiz., 27, 991-1006.

229. Clarke, F.H. (1975). Generalized gradients and applications. Trans. Amer. Math. Soc., 205, 246-262.

230. Clarke, F.H., Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern and P.R. Wolenski (1997). Nonsmooth Analysis and Control Theory. Springer: New York.

231. Clarke F.H., Vinter R. (1987) The relationship between the maximum principle and dynamic programming. // S.I.A.M. J. Contr. Optimiz. No.5. P.1291-1311.

232. Conway E.D., Hopf E. (1964). Hamilton's theory and generalized solutions of the Hamilton-Jacobi equations. // Trans. Amer. Math. Soc. 13. (2), PP.939-986.

233. Crandall, M. G. (1972). A generalization of Peano's existence theorem and flow invariance. // Proc. Amer. Math. Soc., Vol.36. No.l. 151-155.

234. Crandall, M. G. and P. L. Lions (1983). Viscosity solutions of Hamiltion-Jacobi equations. // Trans. A. M. S., 277, 1-42.

235. Crandall, M. G., L. C. Evans and P. L. Lions (1984). Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations. //Trans. A. M. S., 282, 487-502.

236. Crandall, M. G., Ishii, H. and P. L. Lions. (1992). A user's quide to viscosity solutions. //Bulletin A.M.S. 27, PP. 1-67.

237. Demyanov, V.F. and A. M. Rubinov (1995). Constructive Nons-mooth Analysis. Peter Lang; Frankfurt.

238. Elliott R. (1987) Viscosity Solutions and Optimal Control. In: // Pitman Research Notes, Math. Ser.; 165. Boston: Longman Sci. Techn., 96 P.

239. Elliott R. J. and N. J. Kalton. (1972). The existence of value in differential games of pursuit and evasion. // J. Different. Equat., Vol.12/No.3. 504-523.

240. L. C. Evans., L. C. (1998). Partial Differential Equations. /Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. AMS: Providence, Rhode Island.

241. Fleming, W. H. (1964). The convergence problem for differential game, II. // Advance in the Game Theory. / Ann. Math. Stud., 52. P. 195-210.

242. Fleming, W. H. (1964). The Cauchy problem for degenerate parabolic equations. // J. Math. Mech. Vol.13, No.6, P. 987-1008.

243. Fleming, W. H. (1969). The Cauchy problem for a nonlinear first order differential equation.// J. Diff. Equations, 5, no.3, 515-550.

244. Fleming, W. H. and H. M. Soner (1993). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. Springer-Verlag: New York.

245. Filippov, A.F. (1988). Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Sides. Kluwer Academic. Publisher: Dordrecht.

246. Friedman, A. (1971). Differential Games. Wiley Interscience: New York.

247. Gaitsgory V.G. (1993). Suboptimal Control of Singularly Perturbed Systems and Periodic Optimization. // IEEE Trans/ Au-tom Contr. Vol.38. No.6. 888-902.

248. Gaitsgory V.G. (1996). Limit Hamilton-Jacobi equations for singularly perturbed zero-sum differential games. // J. Math. Anal. Appl. Vol.202. 862-899.

249. Goritski, A.Yu. and E. Yu. Panov. Example of Nonunique-ness of Entropy Solutions in the Class of Locally Bounded Functions. //Russian J. of Math. Physics. 1999. Vol.6. No.4. 492-494. Moscow. MAIK: Nauka/Interperiodika.

250. Haddad, G. (1981). Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory. // Israel J. Math., Vol.39. 83-100.

251. Himmelberg C.J. (1975). Measurable relations. // Fundamenta mathematicae, Vol.LXXXII. No.l. P. 53-72.

252. Hopf E. (1965). Generalized solutions of nonlinear equations of first order. // J. Math. Mech., 14, 951-972.

253. Isaacs, R. (1965). Differential Games. Wiley: New York.

254. Ishii, H. and S. Koike. (1991). Remarks on elliptic singular perturbation problems. // Appl.Math.Opt. 1991. V.23. 1-75.

255. Isidori, A. (1995). Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag: New York, 3rd edition.

256. Kokotovic P.V. (1984). Applications of singular perturbations techniques to control problems, ¡ ¡SIAM J. Reviews, 26, (4), 501510.

257. Krasovskii, A.N. and N. N. Krasovskii (1995). Control under Lack of Information. Boston: Birkhäuser.

258. Krasovskii, N.N. and A.I. Subbotin (1988). Game-Theoretical Control Problems. Springer-Verlag: New York.

259. Krotov, V. F. (1993). Global methods in optimal control theory. In // Advances in Nonlinear Dynamics and Control: A Report from Russia, No. 17 in Progress in Systems and Control Theory, 76-121. Birkhauser, Boston.

260. Kryazhimskii A.V. and Yu.S. Osipov. (1995). On Differential-Evolutionary Games. // Proceed. Steklov Inst. Math., Vol.211. 234-261.

261. Kumkov S.I. and V.S. Patsko. (1995). Control of Informational Sets i a Pursuit Problem. // Annal Intern. Soc. Dynam. Games New Trends in Dynam. Games and Appl. / Vol.3. 191-206/ Birkhauser: Boston.

262. Kurzhanski, A.B., and P. Varaiya. (2002). On reachability under uncertainty. // SI AM J. Control. Optim., V.41. No.l. 181-216.

263. Lax, P. (1957). Hyperbolic systems of conservations laws. II. I ¡Comm. Pure Appl. Math., 10. P.537-566.

264. Leitman, G. (1995). One approach to the control of uncertain dynamical systems, Appl. Math. Comput., 70, 261-272.

265. Lions, P. L. (1982). Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. In: // Pitman Research Notes, Math. Ser., 69, Boston: Pitman, 318 P.

266. Lions, P. L. (1983). Optimal control of diffusion processes and Hamilton-Jacobi-Bellman equations, 2. // Communic Part. Differ. Equat., Vol.8. No.ll. P. 1229-1276.

267. Lions, P.L., P.E. Souganidis (1985). Differential games, optimal control and directional derivatives of viscosity solutions of Bellman's and Isaacs's equations./ / SI AM J. Control Optimiz., Vol.23. No.4. 566-583.

268. Malafeyev O.A. (2002). Perfect Equilibrium in Non-Cooperetive Differential Games, in // Proceedings of the X-th International Symposium ISDG on Dynamic Games and Applications. 2002. Vol.2. 492-494. St.Petersburg: St.Petersburg State University.

269. Melikyan, A.A. (1998). Generalized Characteristics of First Order PDEs: Applications in Optimal Control and Differential Games. Boston: Birkkauser.

270. Mirica. S. (1985). Extending Cauchy's method of characteristics for Hamilton-Jacobi equations. // Stud. Cere. Mat. Vol.37. No.6 555-565.

271. O'Malley, R. (1974). Introduction to Singular Perturbations. Acad. Press: New York.

272. Ortega, R. Van der Schaft, A.J. and B. M. Maschke. Stabilization of port-controlled Hamiltonian systems via energy balancing, in // Stability and Stabilization of Nonlinear Systems, vol. 246. LNCIS. New York: Springer Verlag. 1999.

273. T. Parthasarathy T. and T. Raghavan. (1971). Some Topics in Two-Person Games, vol. 22 of Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics. // Amer. Elsevier: New York.

274. Pashkov A. G. and S. D. Terekhov. (1987). Differential game of approach with two pursuers and one evader. //J. Opt. Theory Appl, Vol.55. No.2. 303-311.

275. Patsko, V.S. and V.L. Turova. (2001). Level Sets of the Value Function in Differential Games with the Homicidal Chauffeur Dynamics. 11 Intern. Game Theory Rev. 2001. Vol.3. No.l. P.67-112.

276. Pervosvanski, A.A. and V.G. Gaitsgory. (1988). Theory of Suboptimal Solutions. Dordrecht: Kluwer Acad.

277. Rockafellar, R.T. and R. J-B. Wets (1998). Variational Analysis. Springer-Verlag: New York.

278. Rockafellar, R.T. and P. R. Wolenski (1998). Convexity and Duality in Hamilton-Jacobi Theory. Interim Report of the International Institute of Applied Systems Analysis. IR-98-057/ August. Austria, Laxenburg: II AS A, 1998.

279. Rowland, J. D. L. and R. B. Vinter (1991). Constructions of optimal feedback controls. //Systems Cont. Letters, 16, 357-367.

280. Roxin, E. (1969). The axiomatic approach in differential games. // J. Opt. Theory Appl, Vol.3. 153-163.

281. Souganidis, P. E. (1985). Max-min representations and product formulas for the viscosity solutions of Hamilton-J acobi equations with applications to differential games. // Nonlinear Analysis. Theory, Meth. Appl., Vol.9. No.3. 217-257.

282. Stoer, J., and C. Witzgall. (1970). Convexity and Optimization in finite Dimentions. I., New York: Springer-Verlag. 298 P.

283. Subbotin, A.I. (1995). Generalized Solutions of First-Order PDEs: The Dynamical Optimization Perspective. Birkhauser: Boston.

284. Subbotin, A.I., Taras'ev, A.M. and V.N. Ushakov. (1994). Generalized characteristics of Hamilton-Jacobi equations. // J. Comput. Systems Sci. Intern., 32, (2), 157-163.

285. Subbotina N.N. (1989). The maximum principle and the superdifferential of the value function. // Probl. Control Inform. Theory, 18, (3), 151-160.

286. Subbotina, N.N. (2000). Singular Approximations of Minimax and Viscosity Solytions to Hamilton-Jacobi Equations. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1, 2000, PP. S210-S227. MAIK "Nauka/Interperiodica"

287. Subbotina, N.N. (2001). Asymptotics for singularly perturbed differential games. // Game Theory and Applications, VII, 175196, Huntington, Nova Science Publishers, Inc., New York.

288. Subbotina, N. N., Subbotin, A. I. and V. E. Tret'jakov. (1985). Stochastic and deterministic control. Differential inequalities.// Probl. Control Inform. Theory, Vol. 14, No. 6, 405-419.

289. Subbotina, N. N., Subbotin, A. I. and V. E. Tret'jakov. (1987). Stochastic and deterministic control. Differential inequalities.// Lecture Notes Control Inform., Vol. 81. 728-737.

290. Ushakov V. N. (1998). Constructions of solutions in differential game of pursuit-evasion. Differential Inclusions and Optimal Control. // Lecture Notes in Nonlinear Analysis. 1998. Vol.2, 269-281.

291. Varaiya, P. (1967). On the existence of solutions to a differential game. // SIAM J. Control and Optim., Vol.5. No.l. 153-162.

292. Veliov, V. (1997). A generalization of the Tikhonov theorem for singularly perturbed differential inclusions. J Dynamic Cont. Systems, Vol.3, 291-319.

293. Veliov, V. (1997). Stability-Like Properties of Differential Inclusions. 11 Set-Valued Analysis. 1997. Vol.5. No.l. 73-88.

294. Zhou, X.-Y. (1990). Maximum principle, dynamic programming and their connection in deterministic controls.// J. Optim. Theory Appl, Vol.65, 363-373.