Системы Якоби: основные задачи динамики, методы решения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ



) ч На правах рукописи

у Ап*

Щ

Пономарева Светлана МшгаЛлозиа

С11СТЕНЫ ПКОВИ: ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМКИ, МПТЩЫ РЕШШЯ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фивико - математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической механики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов . Научный руководитель:

Заслуженный деятель науки РФ,академик МАН ВШ, доктор технических наук, профессор А.С.Галиуллин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Ы.Савчин кандидат физико-математических наук, доцент В.8.Мухин

Ведущая организация:

Московский авиационный институт им.Серго Ордаоникидве Защита состоитоя

.1098 г.''в часов на васедании .Специаливировадного совета К 053.22.03 в Российском университете дружбы народов

по адресу: 117198, г. Москва, ул.Ордаоникидве, д.З, ауд _

С диссертацией можно псеишссмиться в Научной библиотеке Университета дружбы народов

по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-иаклая,' д.В.

Автореферат разослан " г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат фиэкко-ыатематических наук,доцент^ С.В.Волков

- 1 -

0Е1ЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Иаучение действенности методов Га-миль тона-Якоби и Пуассона,методов канонических и бесконечно малых преобразований,применяемых при решении основных задач динамики гамильтоновых систем,вызвала' стремление механиков распространить эти методы на динамические системы более сложной структуры в смысле характера наложенных связей и приложенных сил ,а также структуры самих уравнений,опйсывающих движения этих систем.Такие исследования привели к различного рода обобщениям гамильтоновых систем. Понятие обобщения гамильтоно-вых систем в настоящее время означает установление таких структур уравнений движения материальных систем,которые или приводятся к уравнениям гамильтоновых систем, или являются действительно обобщниями,решения которых могут. Сыть изучен« методами гамильтоновой механики.Значительными в создании тео- .' рии обобщенных гамильтоновых систем оказалися работы Г.О.Гель-мгольца.Дж.Д.Бирхгофа, Р.А.М.Дирака, Р.М.Сангидли, Г.К.Суолрва, К.Якоби,С.Ли,В.Киллинга,3.Нетер.

Диссертационная работа посвящена изучению вопросов аналитической динамики обобщенных гамильтоновых систем Якоби,охва-тавающих механические системы большей общности в омысле характера структуры связей,наложенных на систему,« сил, приложенных к системе; а также и систем различной физической природы, процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Это обобщение оправдано возможность*} распространения методов гамильтоновой механики при решении основных задач динамики рассматриваемых систем.Теория эта в настоящее время располагает весьма действенными методами исследования уравне-

ний движения, алгебраическими и геометрическими интерпретациями механического движения,что позволяет широко использоват методы дифференциальной геометрии, алгебры, теорию преобразований для исследования движения механических систем.

Цель работы. Целью работы является установление возможности применения методов гамильтоновой механики для решения прямых и обратных задач систем Якоби.

Методы исследования. В диссертационной работе при проведении исследований используются методы аналитической динамики, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления.

Степень обоснованности паучник результатов. Вое утверждения диссертации доказаны на высоком математическом уровне.Доказательства теорем полные.

Научная новизна. В диссертационной работе проведены исследования, направленные к созданию аналитической теории сиотем Якоби, обобщающие основные положения механики Гамильтона.

Определены канонические по Якоби преобразования, доказан ряд их свойств.Доказано, что движение сиотем Якоби можно интерпретировать как непрерывную последовательность бесконечно-малых канонических по Якоби преобразований.Установлен вид универсальных интегральных инвариантов для рассматриваемых сиотем,доказан ряд теорем.Изучена приводимость оиотем дифференциальных уравнений первого порядка к уравнениям Якоби.

Сформулированы возможные варианты постановки обратных задач динамики сиотем Якоби,а именно, задача построения .замыкания и вооотановления уравнений движения- и методы их решения.

Рассмотрена задача о построении силовых полей по заданному оемейству траекторий изображающей точки.

Установлена инвариантность свойотв движения уравнений

Якоби - инвариантность уравнений движения.определена структура первых интегралов.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной 'работе, могут применяться в области развития теории обобщенных гамильтоновых систем.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждались. на семинарах кафедры теоретической механики РУДН.на научных конференциях факультета физико-математических и . естественных наук Российского университета дружбы народов в 1994,1995,1996,199? годах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С 1 - 3 ], список которых дан в конце автореферата.

Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из введения,трех глав,заключения, списка литературы из 59 наименовании и изложена на 130 страницах машинописного текста.

Во "Введении?' обосновывается актуальность темы, приводится краткий обзор работ по теме диссертации и изложены основные ее положения,в частности .основы теории систем Якоби (формализм Якоби).

• Оормализм-Якоби определяется следующим образом.Рассматривается, фазовое пространство произвольной размернооти п. Положение изображающей точки а этом пространстве определяется п координатами^» * * V . Скобкой Якоби п функций ,...,(>,

завиояцих от переменных X,,... называется выражение определяемое в виде функционального определителя:

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТУ РАБОТЫ

Использование функциональных определителей при составлении, уравнений движения встречалось и ранее.Тач,например, в известном курсе анализа бесконечно малых Ш.Ж.Балле-Пуссека приводится теорема о представимости системы п дифференциальных уравнений первого порядка с заданными интегралами (/и а ../о-Л) с помои^ю функциональных определителей в оледущем виде .

л,- аЪ'«""'"^ и

Системами Якоби называются материальные системы,движения которых описываются уравнениями первого порядка относительно координат ...^.

.Правые части этих• уравнений представляют собой скобки Якоби,составленные относительно соответствующей координаты Ч постоянных движения системы <#¿1, выражакщих динамические свойства системы.Впервые понятие скобки Якоби было введено А.С.Галиуллиным в работе " 0 структурах динамических систем ".

Примерами таких систем, уравнения движения которых описываются уравнениями Якоби (3),валяются движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Эйлера,если в качестве^ ¿¿{выбрать интегралы энергии и моментов ¡релятивистское) движение заряда во взаимно перпендикулярных и равных по величине электрических к магнитных полях.

Перигк глаяа " Динамика систем Якоби " посвящена изучении канонических по Якоби ^образований и интегральным инвариантам.

В 51 даны основные определения и свойства систем Яко-Ои.Приводится таблица сравнения механики Якоби и механики Гамильтона. Такое сравнение показывает, что многие свойства якобие-вых систем,ожидаемые из аналогии с гамильтоновыми системами, объясняются представлением уравнений движения этих- систем о помощью скобок Якоби.Сформулировала теорема Валле-Пуссена и показано, что ■ с ее поморю возмо:*но построить систему уравнений движения по заданным первым интегралам с правыми частями в виде функциональных определителей - скобок Якаби от этих интегралов. Итак, для систем дифференциальных уравнений

необходю&м и достаточным условием представимости правых частей с помогаю соответствующих скобок Якаби является выполнение условия

9*7 +" * + и- ■

В §2 изучается вопрос приводимости систем дифференциальных уравнений Первого порядка к уравнениям ЯкоОи.Ддказана следую-цая теорема.

Теорема 2.1 Необходимым и достаточным условием существования такого преобразования

которое переводит систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

¿у = X (*<, • • <»**)

в систему Якоби

х- Wf)

является услйвие . л о V

М I

В§3 дано определение канонических по Якоби преобразований,как преобразований,переводящих систему Якоби

(У*(б)

в систему Якоби относительно преобразованных переменных У/>>

Показано,что

=. ¿¿>/fs-4

(V)

Хп)

является необходимым л достаточным условием каноничности по Якоби образования Т.

В §4 рассмотрены бесконечно малые канонические по Якоби преобразования.Показано,что движение систем Якоби можно интерпретировать как непрерывную последовательность бесконечно малых канонических по Якоби преобразований.

В рассмотрены допускаемые бесконечно малые преобразования. Показано, что ,'есди в качестве генераторов^/ бесконечно малого канонического преобразования

V : J/ у~хУ$% (а)

выбрать правые части системы Якоби (3),то преобразование Т является допускаемым.

Je посвящен изучению интегральных'инвариантов рассматриваемых систем .Дан ряд определений, связанных о теорией интегральных инвариантов.Доказана теорема, ' устанавливающая вид универсального интегрального инварианта уравнений Якоби, cor-

ласно которой .если система уравнений первого порядка допускает универсальный интегральный инвариант

-Л

то она является системой Якоби и наоборот.Доказана теорема' о сохранении фоэового объема. ■ .

В параграфе введены также в рассмотрение линейные интегральные инварианты.Показано,что для рассматриваемых систем существует универсальный интегральный инвариант первого порядка £ / ^

/* I. --1.

У-/

Вторая глава " Прямые задачи динамики систем Якоби " посвящена решении прямых задач динамики систем Якоби методами симметрии и Пуассона.

В изложены основные положения теории непрерывных бесконечно. малых преобразований в свете применимости рассматриваемой теории к системам Якоби.Излагаются основные положения об инвариантности уравнений движения рассматриваемых систем по отношению к группе преобразований

г ■ К" * ^£ £'

' « р р у , (10)

я, - Р

Предполагая,что уравнения движения системы Якоби являются инвариантами рассматриваемой группы преобразований .получены инвариантные соотношения,.

Полученные инвариантные соотношения .позволили определить в 52 структуру первых интегралов системы Якоби. Справедлива теорема.

ТЕОРЕМА 2.1 Если уравнения Якоби допускают однопараметрическую симметрии и для нее существует дифференцируемая функция

В научена взаимосвязь между симметрией уравнений Яка-Си и конформной симметрией.

ТЕОРЕМА 3.1 Необходимым и достаточным условием того, чтобы преобразование Силе одновременно симметрией уравнений Яксби и конформной симметрией .является выполнение равенства

/ ** ' (12)

где

X.) -конформный множитель.

В рассмотрен вопрос о представимости уравнений Якоби в виде уравнений Гамильтона методом введения Наполнительных переменных Виркгофа,определяется гамильтониан рассматриваемой системы //[¿Г*, ¿Ск+п) по заданным (¿п-4) первым интегралам

решения этой задачи строятся уравнения движения с правыми частями в виде скобок Якоби от заданных интегралов.Затем составляются необходимые и достаточные условия того,что построенная система является гамильтоно -вон,после чего строится гамильтониан.

В рассмотрены вопросы приводимости уравнений якоби к уравнениям Лагранха а частных елечаях .

В изучены некоторые дополнительные возможности,связанные с переходом к каноническим переменным,а именно задачи отыскивания первых интегралов движения с помощью свойств скобок Якоби.

Решена следующая задача: по заданным ( 2п-2) первым интегралам ¿¿)уи (Хх, Суи Л *

- д -

определить (2п-1)-й интеграл

с*-*

необходимый для построения уравнений движения рассматриваемых систем с помощью скобок Якоби.

В рассмотрены основные положения теории симметрии для частного случая систем Якоби (систем Гамильтона). Параграф посвящен гамильтонову подходу-к проблеме " симметрия-интегралы движения ".Сформулирована и доказана теорема Э.Нетер-Е.Еес-сель-Хагена в канонических переменных,посвященная построению первого интеграла с учетом дивергентного слагаемого.Определены соотношения .связывайте генераторы соответствующих преобразований.

Третья глава " Обрзтнив задачи динамики слотом Якоби "

посвящена решению обратных задач изучаемых систем.

В §1 даются возможные постановки обратных задач динамики систем Якоби и устанавливается возможность их решения сведением поставленных задач к задаче построения уравнений движения рассматриваемой системы .допускающей движение о заданными свойствами ; при этом заданные свойстза рассматриваются как интегральное многообразие строящихся уравнений:

Л ■■ ¿¿I¿с„) - &<...,О- (13)

В ^2 ставится и решается задача восстановления уравнений движения системы Якоби.Для решения поставленной задачи строятся уравнения движения по заданным интегралам в виде скобок Якоби от этих интегралов,затем для нахождения параметров сио-. теш полученные правые части приравниваются заданным частям, содержащим неизвестные параметры.Из полученной сиотемы относительно параметров уравнений находим неизвестные параметры.

В ^3 для решения задачи замыкания .когда число .заданных

- 10 -

интегралов/*>< /?-/ .система уравнений строится в видб

£у 'й-Л-О (14)

где -произвольные функции. Искомые

функции можно определить из соотношений,получаемых приравнивав нием построенных правых частей известным правым частям . В случае,когда /77»/?-/ ,где п-число уравнений,строится вначале множество систем уравнений по заданному интегральному многообразию Л следующим образом

=• V (15)

где ^ произвольная функция определяется приравниванием пра-екх частей полученных уравнений состветствувгцим правым частям исходных уравнений.

В §4. поставлена и решена следугав^я задача: по заданному семейству кривых (16)

■Л ■ ¿¿к - & > </

определить силовое пола так,чтобы каждая из кривых заданного семейства представляла собой одну из возможных траекторий соответствующей изображающей точки .Для решения поставленной задачи строится множество систем дифференциаьных уравнений ,для которых данное семейство кривых является одним из возможных интегральных многообразий. Это множество неоднозначно и можег быть представлено гак

^ (г* , (17)

где ^¡ЕГжаг <]Ь ^) ~ произвольный вектор, исчезающий при

рд • гдэ ({ос,,¿¿4,..¿¿)„.,1...,«ь.:.¿¿¿»-/¿А

Окончательно искомое поле сил представится в виде

** / ¿¡¿¿У* ■ (18)

¿ш,

Теорема 4.1 Если семейство заданных кривых (16) таково,что

то поле сил является потенциальным, А^^З?

Соответствующий потенциал определяется равенством:

аэ)

Все положения диссертационной работы иллюстрируются соответствующими примерами.

В " Заключении " сформулированы основные результаты,полученные в работе:

В' диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Даны основные определения и положения систем ЯкоОи;установлено, что системы Якоби являются обобщением гамильтоновой механики на случай фазового пространства произвольной размерности, для исследования которых применены методы гамильтоновой механики.

2.Изучен вопрос о приводимости системы дифференциальных уравнений первого порядка к уравнениям Якоби.

3. Определены канонические по Якоби преобразования,уота-нрвлено условие каноничности .Рассмотрены бесконечно- малые канонические по Якаби преобразования.,

4. Установлено существование универсального интегрального инварианта систем ЯкоОи. Доказаны соответствующие теоремы об интегральных инвариантах рассматриваемых систем.

5. Изучены основные вопросы,связанные о методом симметрии, проявляющейся в инвариантности уравнений движения' по отношению к некоторой группе преобразований;получены инвариантные соотношения¡определена отруктура первых интегралов.Установлена взаимосвязь между динамической симметрией и конформной симметрией уравнен^ Якоби.

6. Поставлены и реиены задачи построения,восстановления и замыкания уравнений движения систем Якоби по заданным свойствам движения системы.

7. Построено поле сил по заданному семейству траекторий.

8. Предложен геометрический метод поотроения потенциала по предварительно заданным программным свойствам движения рассматриваемых систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Пономарева С.М. Преобразование линейных уравнений к виду Якоби. Канонические преобразования // Тезисы докладов. XXXIII науч. конфер. факультета физ.-мат. и ест.наук. Математические секции. -W. : Изд-во РУДН, 1997. -С.82.

2. Пономарева С.М. Метод симметрии для решения задач динамики в канонических переменных // Вестник РУДН. Сер. прикл. матем. и мех. - 1095. - S 2. - С.38-43.

3. Пономарева С.М. Основные положения динамики систем Якоби. М. ,1997. - 70.- Деп. в ВИНИТИ РАН 26.06.9, N 2100-В97.

4. Пономарева С.М. Построение поля сил по заданному интегральному многообразию для систем Якоби. M., 1S97. -7с.- Деп. в ВЙНИТИ РАН 16.12.97, N 3657-В97.

5. Пономарева С.М. Симметрия уравнений Якоби и законы сохранения // XXXIV научн.конф.фак-та физ.-мат. и естеств. наук. Тезисы докладов.Математические секции. -M. ! Изд:во РУДН, 1998. ( в печати ).

в. Пономарева С.М. Обратные задачи динамики систем Якоби // Вестник РУДН. Сер. прикл. матем. и мех. - 1998. N1.(а печати).

- 13 -

Пономарева Светлана Михайловна ( Россия ) Сиотемы Якоби': основные вадачи динамики, методы решения

Диссертационная райота поовящена изучении вопросов аналитической дга!амики обобщенных гамильтоновых систем. Ставятся и решаютоя прямые и обратные задачи рассматриваемых систем.

Svetlana M. Ponomaryova (Russia) Jacobl's systemsi the main problems of dynanlos, methods of solutiori& The dissertation Is devauted to consideration of some problems of analytloal . dynamics of generalized hamilton Jacobl's systems.Somo dlreot and inverse problems cf considered sy3tem'3 are taken Into solution.

зо.оз,эаг;

СВьем; 0;75ir: д; Тир? 100 , Зак. 25 G Ttttt'i up il О H H К. И Дв>3