Асимптотика ортогональных многочленов и компактные возмущения оператора Якоби тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

003467457

Ка правах рукописи

КОНОНОВА АННА АЛЕКСАНДРОВНА

АСИМПТОТИКА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И КОМПАКТНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОПЕРАТОРА ЯКОБИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2009

003467457

Работа выполнена на кафедре "Прикладная математика" Нижегородского государственного технического университета.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Калягин.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор А. И. Аптекарев; кандидат физико-математических наук Е. В. Абакумов.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный

заседании Диссертационного Совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова Российской академии наук

по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, ауд. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ РАН.

университет.

Защита состоится «. АК» 2009

года в

.час. на

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А.Ю.Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории ортогональных многочленов и теории операторов Якоби. Хорошо известно, что асимптотические свойства ортогональных многочленов играют важную роль при изучении спектральных свойств операторов Якоби1.

Пусть /х — положительная мера с компактным носителем в комплексной плоскости. Определим последовательность многочленов Qn(z) = zn + ..., ортогональных по мере /и:

(Qn,A:= / = А; = 0,1,2,... ,n — 1.

supp(ii)

Задачей о сильной асимптотике называют задачу об асимптотическом поведении многочленов Q„(z) вне носителя меры и на самом носителе. В классическом случае supp([î) — [—1; 1] сильная асимптотика ортогональных многочленов определяется теорией С. Н. Бернштейна и Г. Сегё. Теория Бернштейна—Сегё была развита на случай системы кусочно-гладких дуг и контуров в фундаментальной работе Г. Видома2. Результаты Г. Видома были уточнены А. И. Аптекаревым, который получил точные формулы сильной асимптотики в терминах стандартных тэта-функций Римана на римановой поверхности, определяемой геометрией дуг и контуров3. Основное условие, накладываемое при этом на меру — условие Сегё. Среди результатов последних лет следует отметить статью4 Ф. Пехерсторфера и П. Юдицкого, в которой методами, отличными от методов Видома, изучается асимптотика многочленов, ортогональных на действительной оси для некоторого класса мер с дискретными массами. Задача о нахождении асимптотики при возмущении меры добавлением-масс впервые была рассмотрена в неявном виде А. А. Гончаром5 для случая отрезка действительной оси. Позднее многие авторы исследовали

'Н. И. Ахаезер, Классическая проблема моментов, 1961.

2Н. Widom, Extremal Polynomials Associated with a System of Curves and Arcs in the Complex Plane, Adv. in Mathem., v.3 (1969), n.2, pp.127 - 232.

3A. И. Аптекарев, Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе контуров, и периодические движения цепочек Тода, Матем. сб., 125(167)(1984), № 2(10), 231 - 258.

4F. Peherstorfer, P. Yuditskii Asymptotic behavior of polynomials orthonormal on a homogeneous set, J. d'Analyse Mathe'matique, 89 (2003), no 1, 113 - 154.

5A. A. Гончар, О сходимости аппроксимаций Ладе для некоторых классов мероморфных функций, Мат. сборник, 97(139) (1975), № 4(8), 607 - 629.

асимптотическое поведение ортогональных многочленов при добавлении к мере дискретной составляющей.

■ ! Асимптотические свойства ортогональных многочленов применяются для изучения спектральных свойств операторов Якоби. В свою очередь прямая и обратная спектральные задачи играют фундаментальную роль, например, в исследовании динамики колебаний периодической цепочки Тода, в решении обратной задачи рассеяния для разностных операторов Штурма—Лиувилля второго рода на полуоси6. Мера ортогональности является спектральной мерой соответствующего■< оператора Якоби. Возмущение меры ортогональности системы многочленов приводит к- возмущению оператора. Исследование связи между возмущениями спектральной меры и возмущениями оператора является основной задачей теории. Этому вопросу посвящены работы Ю. А. Берсзаиского, В.. Ван Ассе, Дж. Джеронимо, П. Неваи, Е. М. Никишина и др. ^

В настоящей работе исследуется вопрос о компактности возмущения оператора Якоби при возмущениях спектральной меры. В общей теории ортогональных многочленов известны некоторые классы возмущений меры, интересные для приложений. Одно из таких возмущений — это умножение абсолютно непрерывной части меры на неотрицательную функцию, другое получается при добавлении точечных масс к мере. Решение этой задачи известно для класса спектральных мер с носителем на [—1;1] и условием ц' > О почти всюду на отрезке [—1;1] (класс Рахманова). Актуальной является задача определения условий компактности возмущения оператора Якоби при возмущении спектральной меры для конечнозонного оператора Якоби, т.е. оператора, существенный спектр которого состоит из конечного набора отрезков действительной оси. Решению этой задачи посвящена настоящая диссертация.

Целью работы является решение следующих задач.

1. Исследовать сильную асимптотику многочленов, ортогональных на системе дуг и замкнутых, контуров по мере, имеющей дискретную часть.

2. Исследовать асимптотику отношения многочленов, ортогональных на конечном наборе отрезков действительной оси с дополнительными дискретными массами.

3. На основе результатов пунктов 1 и 2 исследовать компактность

6Е. М. Никишин. Дискретный оператор Штурма—Лиувилля и некоторые задачи теории функций, Тр. семинара им. Петровского, 9(1984). .

возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры добавлением конечного числа дискретных масс и/или домножением абсолютно непрерывной части спектральной меры на неотрицательный множитель.

Методы исследования. В работе используются современные методы теории функций, теории пространств Харди, теории римановых поверхностей и тэта-функций Римана, спектральной теории операторов.

Научная новизна полученных результатов.

1. Для многочленов, ортогональных на системе дуг и контуров относительно меры класса Сегё с конечной дискретной составляющей, доказана теорема об их асимптотическом поведении. Получено описание асимптотики в терминах тэта-функций Римана.

2. Для предельно-периодических операторов Якоби найдено необходимое и достаточное условие компактности возмущения оператора при возмущении дискретной составляющей спектральной меры.

3. Для конечнозонных операторов Якоби получены необходимые и достаточные условия компактности возмущения оператора при комбинированном возмущении спектральной меры.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в различных областях математики и физики, связанных с теорией операторов Якоби и асимптотикой ортогональных многочленов.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы являются достоверными научными фактами, все утверждения строго доказаны и обоснованы.

Личный вклад соискателя. Доказательства всех основных положений получены соискателем лично. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и возможная методика их решения.

Научные положения, выносимые на защиту.

1) Результаты, описывающие асимптотическое поведение многочленов, ортогональных на системе дуг и контуров по мере с конечной дискретной частью.

V: 2) Результаты о необходимом и достаточном условии компактности возмущения предельно-периодического оператора Якоби при возмущении дискретной составляющей спектральной меры. : '

3) Результаты о компактности возмущения оператора Якоби при комбинированном возмущении его спектральной меры для некоторого класса непериодических операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре в Universite des Sciences et Technologies de Lille, (1998 г., Лилль, Франция), на Международной научной конференции "Геометрическая теория функций и краевые задачи"(2002 т., Казань), на V Международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения"(2008 г., Новороссийск), на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций (Санкт-Петербург, 2008 г.), на XVII конференции по математическому анализу (Санкт-Петербург, 2008 г.), на семинаре по ортогональным многочленам в Московском государственном университете (Москва, 2008 г.), на научном семинаре кафедры "Прикладная математика" Нижегородского государственного технического университета (Нижний Новгород, 2009 г.).

Публикации. Материалы диссертации отражены в 4 работах (одна статья в журнале из списка ВАК), список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав.

Во введении представлен обзор литературы, изложена актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы и методы решения поставленных задач.

В главе 1 приводятся предварительные сведения, необходимые для дальнейшего изложения.

В главе 2 рассматривается вопрос об асимптотике многочленов. Глава разбита на два параграфа. Первый параграф посвящен сильной асимптотике многочленов, ортогональных относительно меры, абсолютно

непрерывной на объединении конечного числа комплексных дуг и кривых с добавлением конечного числа дискретных масс при условии, что весовая функция удовлетворяет условию Сегё. Найдены формулы сильной асимптотики для этого случая. Во втором параграфе изучается асимптотика многочленов, ортогональных по мере на подмножестве действительной оси. Получены формулы асимптотики отношения для многочленов, полученных возмущением меры ортогональности добавлением конечного набора дискретных масс при условии, что исходной мере ортогональности соответствовала предельно-периодическая матрица Якоби.

В главе 3 исследуется вопрос о компактности возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры. Глава разбита на два параграфа. В первом параграфе исследуется вопрос о компактности возмущения предельно-периодического оператора Якоби при добавлении к спектральной мере оператора конечного набора дискретных масс. С помощью формул сильной асимптотики и асимптотики отношения, полученных во второй главе, найдено необходимое и достаточное условие такого возмущения. Во втором параграфе исследуется вопрос о компактности возмущения ограниченного конечнозонного оператора Якоби. При этом предполагается, что спектральная мера оператора (исходного и возмущенного) имеет абсолютно-непрерывную составляющую, сосредоточенную на существенном спектре оператора, с весом, удовлетворяющим условию Сегё, не более чем конечный набор дискретных масс, расположенных на действительой оси вне носителя абсолютно-непрерывной составляющей спектральной меры, возможно также присутствие сингулярной составляющей.

Диссертация изложена на 82 страницах. Список литературы включает 38 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Предварительные сведения. Пусть Е ■:= ^к —

набор комплексных дуг и кривых, которые попарно не пересекаются и являются границей связной области О. комплексной плоскости, содержащей бесконечно удаленную точку. Пусть каждая дуга Ек принадлежит классу

С2+. Зададим p(Q > 0 — весовую функцию на Е такую, что

/ж)К1<+°0. ' (1)

Пусть g{z,Zo) — действительная функция Грина для 12 с особенностью в точке -го--Функция G(z, zq) — g(z, z0) + ig(z, zq) называется комплексной функцией Грина, g(z) и G{z) обозначают действительную ^ комплексную функции Грина с полюсом в бесконечности (zo ' = оо). Важную роль в нашем исследовании играет функция Ф(г) = exp[G(z)] . "

Говорят, что функция p(Q удовлетворяет условию Сегё на Е, если

£ 1о§ж)|Ф'(01К1 = £iog/0(o^Ki > -о«- (2)

При выполнении условия Сегё существует действительная функция h(z), гармоническая в области П и удовлетворяющая на Е следующему граничному условию: Л(С)1седп = log(p(C))- Функцию D(z) = yjR{z), где R(z) = (1/2) (h + ih) называют функцией Сегё, ассоциированной с весом

Ж)- " /

Гармбническая мера Wk{z), к — 1,... ,р ~ это функция, гармоническая в области Г2 включая оо, имеющая граничное значение 1 на Еь и граничное значение 0 на Ej, j Ф к. Обозначим fifc(z) := (1/2)[¡¿>k(z) -f iijk(z)].

Для многозначной функции F(z), имеющей однозначный модуль, определим 7¡¡(F) = ^A^argF (mod 1), к = 1,..".,р. (Символ Д^. обозначает приращение функции при обходе вокруг отрезка Ej.)

Обозначим F(F) = (71, ■■■,%), 0 < 7k <1. Мы будем говорить, что две функции F\ и F2 принадлежат одному классу многозначности тогда и только тогда, когда Г(^) = Г(^2), к = 1, ...,р. Введем обозначение Гп = Г(Ф "(г)).

Для данного вектора Г пространство Харди //2(0, р, Г) — это пространство функций F(z), локально аналитичных в области fi, имеющих однозначный" модуль и многозначный аргумент, принадлежащих классу многозначности Г и таких, что функция \F{z)2R(z) \ имеет гармоническую мажоранту в Q. -:■■■.■>■■■: v. л

Г. Видом изучил следующую экстремальную задачу " ;

(I) Найти т(П,р, Г) = inf §Е |F(C)|2p(C)MCI в классе функций F{z) € #2(^1 Р> Г), удовлетворяющих равенству |F(oo)| = 1.

Обозначим через фп(г) экстремальную функцию из задачи (I), соответствующую классу многозначности Г(Ф-П) и 1рг{^) для класса Г.

Пусть С}п,р{%) — многочлены со старшим коэффициентом единица, ортогональные относительно меры ¡л (с1/л(0 = на множестве Е).

Обозначим

где Е^ и Е^ — объединение замкнутых и незамкнутых кривых из Е соответственно. Тогда верна следующая формула сильной асимптотики.

Теорема (Г. Видом). Если Е € С2+ и р(() удовлетворяет условиям (1) и (2) на Е, то при п —► со

3. С2п(г;р) = С(Е)пФп(г)('фп(г) + а„), ап —► 0,п —► оо равномерно на компактных подмножествах Г2.

Пусть теперь мера ортогональности многочленов ц имеет своим носителем замкнутое ограниченное подмножество действительной прямой. Хорошо известно, что в этом случае ортогональные многочлены удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению

где ап > 0, Ъп £ К.

Рассмотрим бесконечную трехдиагональную матрицу А, элементами которой являются коэффициенты рекуррентного соотношения для ортогональных многочленов. Эта матрица называется матрица Якоби. Будем предполагать, что: supn{an} + supn{|bn|} < оо.

Матрица А порождает ограниченный самосопряженный оператор (оператор Якоби) в гильбертовом пространстве 12{Ъ+) с каноническим

:= тс,м),<Эп(см))м = шс,м)и2м-

Определим

С е ЕР\ С е Ею,

1. тп{ц) ~ C(E)2nm(Q, р, Г„);

2. [ |C(E)-nQn(C,p) - Ф„(С)|2р(СМ1 0 ; Je

Qn+i{z) = (z- bn)Qn(z) - al^Qn-i{z),

ортонормированным базисом {е„}о°. Спектральная мера этого оператора является мерой ортогональности многочленов Qn(z).

Множество изолированных точечных масс спектральной Меры оператора Якоби составляет дискретный спектр оператора. Обозначим через а (А) спектр А и через а ¿(А) дискретный спектр, тогда множество '■— а{А) \ ^(¡{А) — существенный спектр А.

Обозначим через /С идеал компактных операторов в l2{Z+). Говорят, что оператор А является компактным возмущением оператора А0, если {А — А0) е К. Хорошо известно, что (А — Л°) € К тогда и только тогда, когда •

lim |а° - а„| - 0, lim ДО - Ъп| = 0. (3)

П—>00 П—»00

По теореме Вейля существенный спектр оператора Якоби не изменяется при компактном возмущении, т.е. если (А — А°) G К, то сге53(Л°) = aessA, а дискретные спектры могут отличаться.

Оператор Якоби А0 будем называть периодическим, а оператор А предельно-периодическим с периодом р, если (А — £ /С и а^р+к = a°k,b°n^k = bl к = 0,...,р-1

При возмущении дискретной составляющей спектральной меры мы получаем новый оператор Якоби. Одна из основных проблем, исследуемых в настоящей работе, состоит в определении условий, при которых полученный оператор будет являться компактным возмущением исходного. Для однозонных операторов Якоби (существенный спектр которых состоит из единственного отрезка) решение этой задачи известно для широкого класса мер (класс Рахманова). Из асимптотической формулы, полученной А. А. Гончаром, следует, что добавление конечного числа точечных масс к мере класса Рахманова всегда продуцирует компактное возмущение соответствующего оператора Якоби. Это не верно для двух- и более зонных операторов. Как показывают результаты нашего исследования, ответ на этот вопрос зависит от геометрии существенного спектра оператора и от расположения дополнительных точечных масс.

Глава 2. Во второй главе изучаются асимптотические свойства многочленов, ортогональных по мере, имеющей дискретную часть. В первом параграфе второй главы диссертации найдена формула сильной асимптотики для многочленов, ортогональных относительно меры, абсолютно непрерывной на объединении конечного числа комплексных дуг и кривых с добавлением конечного числа дискретных масс, при условии,

что весовая функция удовлетворяет условию Сегё.

Для этого решается следующая экстремальная задача:

(II) Для всех Г(г) £ Я^П,/9,Гп), удовлетворяющих |^(оо)| = 1, найти

т°(П,р,Гп)=т{£1Г(0ЫШ1-

Введем функцию

Эта функция аналитична в области П и обладает следующими свойствами: 1. В(гк) = 0; 2- |Я(оо)| = 1;

з. |Я(С) |(евп I -П*=11фЫ1;

Функция В (г) является многозначным аналогом произведения Бляшке.

Следующий результат описывает связь решения экстремальной задачи (II) с экстремальной задачей (I) для измененного класса многозначности. Лемма. Выполнены следующие соотношения

1. =

2. ш0(П,р,Г) = ш(П,АГ)Пи|ФЫ12-

Решение экстремальной задачи (II) позволяет построить сильную асимптотику многочленов (}п{г, рР), ортогональных относительно меры с дискретной составляющей.

Основным результатом первого параграфа второй главы является Теорема. Пусть Е £ С2+ и р{£) удовлетворяет условиям (1) и (2), тогда

1) тп(110)~С(Е)2пт°(П,р, Г„), п оо;

2) [ \с(ЕГпдп({)-у0п(<;ШМ\^о-,

¿Е

3) С}п{2) = С{Е)пФп{х)[ф1{х) + ф)}, где е„ -» 0 при п оо

равномерно на компактных подмножествах ti \ {zi, Z2, ■ ■ ■, z{\ и

\ Фп+(ОФ°„+(0 + С е Е®,

где

обозначает множество замкнутых контуров, а Е( 2) _. множество дуг.

Для экстремальных функций верно следующее представление:

^ Х{ ) D{z) во д00) П <b{z,zk) ' W

где функция x{z) зависит только от О и не зависит от класса Г и весовой функции р, D(z) — функция Сегё, ассоциированная с весом р.

= в ( J' dtij(0 - bfj, j = 1,2,... ,р -i,

где в — тэта-функция Римана с матрицей параметров С = iBktj и

1 P_1 ri

k=1 j=i Jz°

где ^o G Ep, {z*}PjZl — нули функции G'(z), ku — римановы константы поверхности 3? и

Д„ = ¿ £ lnps(0^|dC|, PÁO = p(0/(dg/dnc).

Во втором параграфе второй главы изучается асимптотика отношения многочленов при добавлении к мере ортогональности конечного набора масс. Рассматриваются многочлены, ортогональные относительно меры, сосредоточенной на наборе попарно непересекающихся отрезков действительной оси: Е = U^-E*, Ek — [а>; Pk], k = 1, ...,р. При этом на меру ортогональности не наложено условие Сегё. Класс рассматриваемых мер удобно описать на языке соответствующих операторов Якоби. Он соответствует предельно-периодическим операторам. Известно, что в этом случае гармонические меры отрезков Ек в бесконечности являются рациональными числами. Как и раньше, обозначим через ti многосвязное дополнение множества Е, ti = С \ Е.

Пусть А — некоторый предельно-периодический оператор Якоби, С}п{г) — ассоциированные с ним ортогональные многочлены. Добавим к спектральной мере этого оператора конечный набор дискретных масс (массы можно добавлять по одной, итеративно). Пусть //(С) = м(С) + а*, где а* — мера с единственной дискретной массой, расположенной на действительной оси вне выпуклой оболочки а(А) в точке Обозначим через <2* многочлены, ортогональные по мере /л*.

Основным результатом второго параграфа второй главы является Теорема. Равномерно внутри области верны следующие соотношения:

т

где

00 Чтр+j-1 !

а параметры Aj i, Xj o определяются из условий

Hj{z\) = 0; Щ{г\) = 0 Vfc.

Глава 3. В третьей главе исследуется вопрос о компактности возмущения оператора Якоби, возникающего при комбинированном возмущении его спектральной меры.

В первом параграфе формулы сильной и слабой асимптотики, найденные в предыдущий главе, применяются для исследования компактности возмущения предельно-периодического оператора Якоби при добавлении к мере конечного набора дискретных масс.

Теорема. Добавление дискретных масс в точках Zf. вне выпуклой оболочки носителя спектральной меры " предельно-периодического оператора Якоби А с периодом р > 1 дает компактное' возмущение оператора тогда и только тогда, когда

I

5>,(4) = 0 (modi), j = 1,2,..., г, (5)

fc=i

где г — число компонент связности множества aess(A).

Доказательство теоремы основано на асимптотических формулах для ортогональных многочленов, а также на свойствах тэта-функций Римана.

Теорема доказывается сначала для чисто периодических операторов Якоби, затем для предельно-периодических при условии, что соответствующая весовая функция удовлетворяет условию Сегё. Доказательство основано на формуле сильной асимптотики, полученной в первом параграфе второй главы, и на свойствах тэта-функций Римана. Затем с применением формулы асимптотики отношения из второго параграфа второй главы показано, что условие Сегё можно опустить.

Во втором параграфе третьей главы рассматривается задача о компактности возмущения оператора Якоби при комбинированном возмущении спектральной меры. Пусть /i — спектральная мера некоторого оператора Якоби Ац, ц* — спектральная мера оператора Якоби А^. Предположим, что существенные спектры операторов нА^ совпадают. По теореме Вейля—фон Неймана оператор А^ унитарно эквивалентен некоторому компактному возмущению оператора Ац, но сам оператор А^-может не является компактным возмущением Лм (даже в том случае, когда мера (/,* получена из меры рь добавлением одной массы). Нас будут интересовать условия на меры ¡i и ¡л*, необходимые и достаточные для того, чтобы оператор А^ — Ар был компактным.

Таким образом, в этой главе возмущение оператора предусматривает не только добавление к мере дискретных масс, но также и изменение меры на существенном носителе.

Пусть Е — конечный набор попарно непересекающихся отрезков действительной оси: Е = Ирк=1Ек, Ек = [о^; Ас], к = 1, ...,р. Рассмотрим операторы Якоби, существенный спектр которых совпадает с множеством Е, абсолютно непрерывная составляющая спектральной меры имеет вес, удовлетворяющий условию Сегё на Е, а дискретный спектр состоит из конечного набора дискретных масс, расположенных на действительной оси вне Е. Обозначим этот класс операторов через S{E), соответствующий класс мер обозначим М{Е).

Каждой мере /х € М(Е), абсолютно непрерывная составляющая которой имеет вес р(х), а дискретные массы расположены в точках Zj 6 R \ Е, сопоставим набор чисел

I '

Mli) = 4¿&KaigR(z) + YluÁzj)> f = (6)

j=i

Основной результат второго параграфа третьей главы заключается в

следующем.

Теорема. Пусть множество Е является объединением не более чем трех отрезков действительной оси. Пусть Ац и Afl- — операторы Якоби из класса S(E) со спектральными мерами ß и ц* соответственно. Оператор Aß — Aß. является компактным тогда и только тогда, когда

Jv{n) = Jv{n*)(mod 1), г = 1,2,...,

Публикации по теме диссертации

1) Калягин В. А., Кононова А. А. Об асимптотике многочленов, ортогональных на системе дуг, по мере, имеющей дискретную часть//Алгебра и Анализ. 2009. Т.21, № 2. С.71 - 91. (журнал из списка, рекомендованного ВАК РФ).

2) Кононова А. А. Об одном обращении теоремы Вейля для некоторого класса конечнозонных операторов Якоби// препринт ПОМИ —1/2009. Режим доступа: http://www.pdmi.ras.ru/preprint/2009/rus-2009.html. С.1 - 17.

3) Кононова А. А. О компактных возмущениях матрицы Якоби// Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Казань, 2002. Т. 13. С.86 - 89.

4) Кононова А. А. Асимптотика ортогональных многочленов и компактные возмущения операторов Якоби// V Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Ростов-на Дону, 2008. С.26.

Подписано в печать 02.04.2009. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ № 2/0402. П. д. 1.0. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812) 327 5098

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Предварительные сведения

1.1. Необходимые определения

1.2. Результаты Видома - Аптекарева.

1.3. Связь между ортогональными многочленами, операторами Якоби и мерами на действительной оси.

1.4. Теорема Вейля.

ГЛАВА 2. Асимптотика ортогональных многочленов

2.1. Сильная асимптотика многочленов, ортогональных на системе дуг по мере, имеющей дискретную часть.

2.1.1. Экстремальная задача и массы.

2.1.2. Сильная асимптотика ортогональных многочленов.

2.1.3. Явные формулы для экстремальных функций.

2.2. Асимптотика отношения многочленов, ортогональных на наборе отрезков, при добавлении к мере ортогональности конечного набора масс.

2.2.1. Предельно-периодический случай.

2.2.2. Относительная асимптотика многочленов, возмущенных добавлением масс.

ГЛАВА 3. Компактность возмущения оператора Якоби

3.1. Компактность возмущения предельно-периодического оператора Якоби.

3.1.1. Вспомогательные результаты.

3.1.2 Необходимое и достаточное условие компактности возмущения при добавлении конечного набора масс.

3.1.3.Пример.

3.2. Компактность возмущения оператора Якоби при комбинированном возмущении спектральной меры.

3.2.1. Необходимое и достаточное условие компактности возмущения, р < 3.

3.2.2. Условия компактности возмущения, р > 3.

3.2.3. Условия компактности возмущения для случая спектральной меры с сингулярной составляющей.

В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории ортогональных многочленов и теории операторов Якоби. Эти две области тесно связаны между собой. Многочлены, ортогональные по мере на действительной оси, удовлетворяют рекуррентным соотношениям, коэффициенты которых можно рассматривать в качестве элементов бесконечной трехдиагональной матрицы Якоби. И наоборот: по матрице Якоби можно восстановить систему многочленов, ортогональных по некоторой мере на подмножестве действительной оси. При изучении спектральных свойств операторов Якоби большую роль играют асимптотические свойства ортогональных многочленов. В настоящей работе получены формулы сильной асимптотики для многочленов, ортогональных на подмножестве комплексной плоскости, состоящем из конечного набора контуров и точек, по мере, удовлетворяющей условию Сегё. В частности, они верны и для многочленов, ортогональных на подмножестве действительной прямой. С использованием асимптотических формул исследуется вопрос о компактности возмущения оператора Якоби при изменении его спектральной меры (добавлением конечного числа дискретных масс и/или изменением весовой функции) с сохранением существенного спектра. Для некоторых классов операторов Якоби получено необходимое и достаточное условие компактности такого возмущения.

Основы теории ортогональных многочленов были заложены в работах П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Т. Стильтьеса и ряда других авторов XIX века в процессе исследований по классической теории непрерывных дробей. Ортогональные многочлены играют важную роль в различных областях математики и физики, что объясняет постоянный интерес ученых к этой теме. Следует отметить тесную связь теории ортогональных многочленов с такими областями, как теория непрерывных дробей, теория рациональных аппроксимаций, теория операторов Якоби, теория случайных матриц. Ортогональные многочлены также нашли применение при решении прямой и обратной спектральных задач, при изучении проблемы моментов, решении интегральных уравнений, исследовании различных задач электростатики, статистической квантовой механики и т.д.

Пусть ц, — положительная мера с компактным носителем в комплексной плоскости. Определим последовательность многочленов — + • • •) ортогональных по мере

Фундаментальной проблемой теории ортогональных многочленов ч является изучение их асимптотического поведения при неограниченном возрастании степени.

Слабой асимптотикой ортогональных многочленов принято называть асимптотические свойства величины \Яп(г)\1/п. Слабая асимптотика тесно связана с распределением нулей многочленов определяется носителем меры ц и свойствами регулярности меры на своем носителе. Основным инструментом исследования при этом является теория логарифмического потенциала [35].

Асимптотика отношения Задача об асимптотике отношения в последнее время привлекает все большее внимание. Основные результаты были достигнуты с использованием метода

0„(С)С Ф = 0, /с = 0,1, 2,., ?г — 1. к вариации веса, развитого Г. Лопесом и др. [25]. Из асимптотики отношения очевидно следует слабая асимптотика, но не наоборот, условия регулярности меры уже недостаточно. Наилучшее известное условие, при котором для многочленов, ортогональных на отрезке действительной оси, можно построить асимптотику отношения, это так называемое условие Рахманова: > 0 почти всюду на отрезке.

Задачей о сильной асимптотике (асимптотика типа Сегё) называют задачу об асимптотическом поведении многочленов вне носителя меры и на самом носителе. В классическом случае зирр{ц) = [—1,1] сильная асимптотика ортогональных многочленов определяется теорией С. Н. Бернштейна и Г. Сегё [15]. Теория Бернштейна - Сегё была развита 4 на случай системы кусочно-гладких дуг и контуров в фундаментальной работе Г. Видома [39]. Основным инструментом исследования в этом случае является теория многозначных функций комплексного переменного и пространства Харди аналитических функций. Результаты ч Г. Видома были уточнены в работе А. И. Аптекарева [1], где получены явные формулы сильной асимптотики в терминах стандартных тэта-функций Римана на римановой поверхности, определяемой геометрией дуг и контуров. Основное условие, накладываемое при этом на меру — это так называемое условие Сегё (см. далее). Это условие позволяет строить пространства Харди, ассоциированные с весом, и получать асимптотические формулы исходя из экстремальных свойств ортогональных многочленов. Случай несвязного носителя меры ортогональности был рассмотрен также в работе Ю. Я. Томчука (см. . [17]). Кроме того, прогресс в изучении асимптотики ортогональных многочленов был достигнут при использовании метода матричной задачи Римана-Гильберта (см., например, [29], [22]).

В последние годы привлекает к себе внимание вопрос об исследовании асимптотических свойств ортогональных многочленов при возмущении меры ортогональности. Задача о нахождении асимптотики при возмущении меры добавлением масс впервые была рассмотрена в неявном виде в работе А. А. Гончара [6] для случая одного отрезка действительной оси. Е. А. Рахманов рассмотрел случай набора отрезков действительной оси, используя свойство квазиортогональности соответствующих ортогональных многочленов [13]. Позднее Е. М. Никишин изучал эту задачу в явном виде для 4 единичной окружности в работе, посвященной задаче рассеяния для разностных операторов Штурма - Лиувилля второго рода [10]. В. А. Калягин и Р. Бензин [27] и В. А. Калягин [26] получили асимптотические формулы для случая абсолютно непрерывной меры, носителем которой является произвольная комплексная кривая, при добавлении к мере конечного набора дискретных масс вне носителя меры. К. Ли и К. Пан [30] получили более точные результаты для случая единичной окружности. Ф. Марчеллян и П. Марони [31] развили формальную теорию возмущения многочленов при ' добавлении функции Дирака к линейному функционалу в пространстве многочленов. А.И. Аптекарев [1] использовал сильную асимптотику многочленов, ортогональных относительно набора действительных отрезков с конечным набором дискретных масс, для получения формулы периодического движения цепочки Тода. Ф. Пехерсторфер и П. Юдицкий [33], [32] рассмотрели случай меры Сегё на однородном подмножестве Е действительной прямой с добавлением сингулярной составляющей на том же множестве и не более чем счетным набором дискретных масс, принадлежащих множеству М \ Е, точками сгущения которых могут являться только точки множества Е. Ф. Пехерсторфер, А. Вольберг и П. Юдицкий в [4] рассмотрели случай добавления счетного числа дискретных масс к мере, сосредоточенной на окружности.

Как было отмечено выше, теория многочленов, ортогональных на действительной прямой, тесно связана с теорией операторов Якоби. В частности, асимптотические свойства ортогональных многочленов применяются для изучения спектральных свойств этих операторов. В свою очередь прямая и обратная спектральные задачи играют фундаментальную роль в некоторых исследованиях по математической физике. Например, при изучении вполне интегрируемых нелинейных цепочек (в частности, цепочек Тода и Ленгмюра, см. [1], [36]). Конечно-разностный подход при решении обратной задачи рассеяния 4 для уравнения Шрёдингера, приводящий к использованию матриц Якоби, является удобной моделью при исследовании ряда вопросов квантовой теории (см. [9]), при этом матрица Якоби играет роль гамильтониана системы, собственные значения соответствуют энергиям ч резонансов. Е. М. Никишиным в [10] было предложено использовать результаты и методы теории ортогональных многочленов для изучения спектральных свойств дискретных операторов Штурма - Лиувилля в связи с некоторыми вопросами теории рассеяния (см.также [2]). Мера ортогональности системы ортогональных многочленов является спектральной мерой соответствующего оператора. Возмущение меры приводит к возмущению оператора. Исследованием связи между изменением спектральной меры и изменением оператора занимались

Н. И. Ахиезер, Ю. А. Березанский, В. Ван Ассе, А. Вольберг, Дж. Джеронимо, Т. Като, А. Лаптев, С. Набоко, П. Неваи, Е. М. Никишин, Ф. Пехерсторфер, Е. А. Рахманов, Б. Саймон, П. Юдицкий и другие. Одна из основных задач, рассматриваемых в настоящей диссертации — влияние возмущения спектральной меры на свойства оператора Якоби. Результаты существенно зависят от геометрии спектра оператора. Для случая простой геометрии существенного спектра (отрезок) известно необходимое и достаточное условие компактности возмущения для широкого класса операторов. В настоящей работе рассматривается случай более сложной геометрии спектра.

Рассмотрим последовательности чисел такие) что ап > 0, Ьп б М. Оператором Якоби мы будем называть оператор в пространстве /2(Z+), действие которого на векторах стандартного ортонормированного базиса {еп}^=о определяется следующим образом (см. [11]):

Ае0 = bQe0 + а0е1: Аеп = a„ieni + bnen + anen+i, п ^ 1.

Соответствующая бесконечная трехдиагональная матрица называется матрицей Якоби:

Л :=

Ь0 ао О О а0 Ъ\ а\ О О а\ £>2 а>2

1) у у

Таким образом, оператор Якоби — это симметрический разностный оператор второго рода. Можно рассматривать его как дискретный аналог непрерывного оператора Штурма - Лиувилля. Описанные выше операторы Якоби обычно называют односторонними (полубесконечными, или определенными на полуоси). Часто изучают также двусторонние операторы Якоби, действующие в пространстве 12{Ъ). Во многих работах при изучении свойств двусторонних операторов Якоби используют операторы, определенные на полуоси, и наоборот (см. [36], [21], [20]). Среди операторов Якоби выделяют класс конечнозонных операторов, существенный спектр которых состоит не более чем из конечного числа отрезков (см. [20], [16]). В свою очередь среди конечнозонных операторов выделяют класс предельно-периодических операторов Якоби (см. [21], [34]), т.е. таких, что для некоторого числа р подпоследовательности апр+к и Ъпр+ь имеют предел при п —> оо, к = 0,. ,р—1. По теореме Вейля существенный спектр оператора Якоби не изменяется при компактном возмущении [28]. Таким образом любое компактное возмущение конечнозопного оператора Якоби является конечнозонным оператором Якоби с возможно другим дискретным спектром. С другой стороны, любое возмущение спектральной меры влечет некоторое возмущение оператора. При этом основной проблемой является исследование влияния возмущения спектральной меры на возмущение оператора и наоборот. В частности, как влияет добавление конечного количества точечных масс к спектральной мере конечнозонного оператора Якоби и/или изменение меры на ^ существенном носителе на соответствующее возмущение исходного оператора.

Для однозонных операторов Якоби решение этой задачи известно для широкого класса мер, известного как класс Рахманова [12]. Говорят, что мера ¡л принадлежат классу Рахманова, если зирр(//) = [—1,1] и ц' > 0 почти всюду на отрезке [—1,1]. Как следует из результатов Рахманова и Денисова (см. [12, 23]), в случае, когда спектральная мера ¡л оператора Якоби принадлежит классу Рахманова и имеет не более чем счетное число точечных масс на М \ [—1,1], предельными точками которых могут быть только концы отрезка [— 1,1], то ап —» 1/2, Ьп —> О при п —» оо. Следовательно, любое изменение меры, не выводящее из описанного класса (мера Рахманова со счетным набором масс), приводит - к компактному возмущению соответствующего оператора Якоби.

Это не верно для двух- и более зонных операторов. Например, если существенный спектр является объединением двух непересекающихся отрезков действительной оси, а спектральная мера оператора удовлетворяет на нем условию Сегё, то, как будет показано ниже, возмущение оператора Якоби добавлением одной массы в точке, не принадлежащей существенному спектру оператора, никогда не является компактным. В настоящей работе мы подробно исследуем вопрос о компактности возмущения конечнозонного оператора при добавлении 4 конечного числа масс к его спектральной мере, а также при изменении меры на существенном носителе.

Целью работы является решение следующих задач.

• Исследовать асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе конечного набора дуг и замкнутых контуров в комплексной плоскости по мере, имеющей дискретную часть.

• Исследовать асимптотику отношения многочленов, ортогональных на конечном наборе отрезков действительной оси с дополнительными дискретными массами.

• Исследовать компактность возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры добавлением конечного числа дискретных масс и/или домножением весовой функции на непостоянный множитель.

Исследуемые в диссертации задачи относятся к актуальным и активно развивающимся направлениям современного математического , анализа.

Методы исследования. В работе используются методы теории пространств Харди, теории римановых поверхностей и тэта-функций Римана, спектральной теории операторов.

Научная новизна. Сформулированы и доказаны необходимое и достаточное условия компактности возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры для некоторых классов операторов; получены и доказаны асимптотические формулы для многочленов, ортогональных относительно меры Сегё с конечной дискретной ч составляющей. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в различных областях математики и физики, связанных с теорией операторов Якоби и асимптотикой ортогональных многочленов.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы являются достоверными научными фактами, все утверждения строго доказаны и обоснованы.

Личный вклад соискателя. Доказательства всех основных положений получены соискателем лично. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и намеченная методика их . решения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре в Universite des Sciences et Technologies de Lille, (1998 г., Лилль, Франция), на международной научной конференции "Геометрическая теория функций и краевые задачи"(2002 г., Казань), на V международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения"(2008 г., Новороссийск), на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций (Санкт-Петербург, 2008 г.), на XVII конференции по математическому анализу (Санкт-Петербург, 2008 г.), на семинаре чв Московском государственном университете (Москва, 2008 г.), на научном семинаре кафедры "Прикладная математика" Нижегородского государственного технического университета (Нижний Новгород, 2009 г.).

Материалы диссертации отражены в 4 работах и тезисах конференций (1 статья в журнале из списка ВАК). Список публикаций приведен в конце работы.

Работа построена следующим образом.

В главе 1 приводятся предварительные сведения, необходимые ^ для дальнейшего изложения. В главе 2 рассматривается вопрос об асимптотике многочленов. Глава разбита на два параграфа. Первый параграф посвящен сильной асимптотике многочленов, ортогональных относительно меры, абсолютно непрерывной на объединении конечного числа комплексных дуг и кривых с добавлением конечного числа дискретных масс при условии, что весовая функция удовлетворяет условию Сегё. Найдены формулы сильной асимптотики для этого случая. Во втором параграфе изучается асимптотика многочленов, ортогональных по мере на подмножестве действительной оси. Получены формулы асимптотики отношения для многочленов, полученных возмущением меры ортогональности добавлением коненого набора дискретных масс при условии, что исходной мере ортогональности соответствовала предельно-периодическая матрица Якоби. В главе 3 исследуется вопрос о компактности возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры. Глава разбита на два параграфа. В первом параграфе исследуется вопрос о компактности возмущения предельно-периодического оператора Якоби при добавлении к спектральной мере оператора конечного набора дискретных масс. С помощью формул сильной асимптотики и асимптотики отношения, полученных во второй главе, найдено необходимое и достаточное условие такого возмущения. Во втором параграфе исследуется вопрос о компактности возмущения ограниченного конечнозонного оператора Якоби. При этом предполагается, что спектральная мера оператора (исходного и возмущенного) имеет абсолютно-непрерывную составляющую, сосредоточенную на существенном спектре оператора, с весом, удовлетворяющим условию Сегё, не более чем конечный набор дискретных масс, расположенных на действительой оси вне носителя абсолютно-непрерывной составляющей спектральной меры, возможно также присутствие сингулярной составляющей.

Автор благодарен своему научному руководителю В. А. Калягину за постановку интересной задачи и многочисленные обсуждения и советы в ходе ее решения.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

• Получены явные формулы сильной асимптотики многочленов, ортогональных на системе конечного набора дуг и замкнутых контуров по мере, имеющей дискретную часть. Решение этой задачи проведено в два этапа. Первый этап заключается в решении экстремальной задачи в классе Харди многозначных функций, имеющих нули в точках расположения дискретных масс. Класс Харди определялся мерой ортогональности многочленов в предположении, что весовая функция удовлетворяет условию Сегё. На втором этапе было показано, как асимптотика ортогональных многочленов связана с найденной экстремальной функцией.

• Найдена асимптотика отношения многочленов, ортогональных на конечном наборе отрезков действительной оси с дополнительными дискретными массами. При этом предполагалось, что соответствующий оператор Якоби является предельно-периодическим, что равносильно условию рациональности гармонических мер отрезков, составляющих существенный спектр оператора, в бесконечности.

• Исследована компактность возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры добавлением конечного числа дискретных масс и/или домножением весовой функции на непостоянный множитель. Для решения этой задачи использованы полученные формулы сильной асимптотики и асимптотики отношения. Найдено необходимое и достаточное условие компактности возмущения периодического оператора Якоби при добавлении дискретных масс на действительной оси вне выпуклой оболочки спектра оператора в терминах гармонических мер отрезков. Для случая непериодических конечнозонных операторов с абсолютно непрерывной составляющей, удовлетворяющей условию Сегё на существенном спектре, найдены условия компактности возмущения при комбинированном возмущении спектральной меры (добавление масс и умножение веса на непостоянный множитель).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Калягин В. А., Кононова А. А. Об асимптотике многочленов, ортогональных на системе дуг, по мере, имеющей дискретную часть// Алгебра и Анализ. 2009. Т.21, № 2. С.71-91. Кононова А. А. Об одном обращении теоремы Вейля для некоторого класса конечнозонных операторов Якоби// препринт Г10МИ-1/2009. Режим доступа: http://www.pdmi.ras.ru/preprint/2009/rus-2009.html. С.1-17. Кононова А. А. О компактных возмущениях матрицы Якоби// Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Казань, 2002. Т.13. С.86-89.

Кононова А. А. Асимптотика ортогональных многочленов и компактные возмущения операторов Якоби// V Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Ростов-на Дону, 2008. С.26.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. А. И. Аптекарев, Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе контуров, и периодические движения цепочек Toda, Матем. сб., 125(167)(1984), № 2(10), 231-258.

2. А. И. Аптекарев, Е. М. Никишин, Задача рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля, Матем. сб., 121(163)(1983), № 3(7), 327-358.

3. А. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов, 1961.

4. А. Л. Вольберг, Ф. Пехерсторфер, П. Юдицкий, Асимптотика ортогональных многочленов в случае, не покрываемом теоремой Сегё, Функц. анализ и его прил., 40(2006), К0- 4, 22-32.

5. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций, Наука, 1966.

6. А. А. Гончар, О сходимости аппроксимаций Наде для некоторых классов мероморфных функций, Мат. сборник, 97(139)(1975), № 4(8), 607-629.

7. А. А. Гончар, С. П. Суетин, Об аппроксимациях Наде мероморфных функций марковского типа, Совр. пробл. матем., 5 (2004), 3-67.

8. Б. А. Дубровин, Тэта-функции и нелинейные уравнения, УМН, 36(1981), И -80.

9. Б. Н. Захарьев, В. Н. Мельников, Б. В. Рудяк, А. А. Сузько, Обратная задача рассеяния (конечно-разностный подход), Физика элементарных частиц и атомного ядра, 8 (1977), №2, 290-329.

10. E. M. Никишин, Дискретный оператор Штурма-Лиувилля и некоторые задачи теории функций, Тр. семинара им. Петровского, 9(1984).

11. Е. М. Никишин, В. Н. Сорокин, Рациональные аппроксимации и ортогональность, М., Наука, 1988.

12. Е. А. Рахманов, Об асимптотике отношения ортогональных многочленов, Матем.сб. 103(145)(1977), № 2(6), 237-252.

13. Е. А. Рахманов, О сходимости диагональных аппроксимаций Ладе, Матем. сб., 104(146)(1977), 272-291.

14. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т-4-' Анализ операторов, М., Мир, 1977.

15. Г. Сегё, Ортогональные многочлены, М., Физматгиз, 1962.

16. С. П. Суетин, О формулах следов для некоторого класса операторов Якоби, Матем.сб., 198:6 (2007), 107-138.

17. Ю. Я. Томчук, Ортогональные многочлены на системе интервалов числовой оси, Записки мех.-мат. ф-та Харьковского матем. общества, 29:4 (1963), 93-128.

18. Н. Г. Чеботарев, Теория алгебраических функций, М., Гостехиздат, 1948

19. В. Beckermann, Complex Jacobi matrices, J. Comput. Appl. Math. 127 (2001), 17-65.

20. J. S. Christiansen, B. Simon, M. Zinchenko, Finite gap Jacobi matrices, I. The isospectral torus, arXiv:0810.3273vl math.SP. (2008)

21. D. Damanik, R. Killip, B. Simon, Perturbations of orthogonal polynomials with periodic recursion coefficients, preprint, http://arxiv.org/abs/math/0702388.

22. S. Denisov, On Rakhmanov's theorem for Jacobi matrices, Proc. Amer. Math. Soc., 132 (2004), 847-852.

23. S. Denisov, B. Simon, Zeros of orthogonal polynomials on the real line, J. Approx. Theory 121 (2003), 357-364.

24. M. Bello Hernandez, G. Lopez Lagomasino, Ratio and relative asymptotics of polynomials orthogonal on an arc of the unit circle, Journ. Approx. Theory, 92(1998), 216-244.

25. V. A. Kaliaguine, A note on asymptotics of orthogonal polynomials on a complex arc: case of measure with a diserte part, Journal Approx. Theory, 80(1995), no.l, 138-145.

26. V. A. Kaliaguine, R. Benzin, Sur la formule asymptotique des polynomes orthogonaux associes a une mesure concentree sur un contour plus une partie discrete finie, Bull. Soc. Math. Belgique, Ser. B, 41(1989), no.l, 29-46.

27. T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin, 1966.

28. A. B. J. Kuijlaars, K. T.-R. McLaughlin, W. Van Assche, M. Vanlessen, The Riemann Hilbert approach to strong asymptotics for orthogonal polynomials on —1,1., Advances in Mathematics 188(2004), no.2, 337-398.

29. X. Li, K. Pan, Asymptotic behavior of orthogonal polynomials corresponding to measure with discrete part off the unit circle, Journ. Approx. Theory, 79(1994), 54-71.

30. F. Marcellan, P. Maroni, Sur I'adjonction d'une masse de Dirac a une forme reguliere et semi-classique, Ann. Math. Pura Appl., IV, 162(1992), 1-22.

31. F. Peherstorfer, P. Yuditskii Asymptotic behavior of polynomials orthonormal on a homogeneous set, J. d'Analyse Mathe'matique, 89 (2003), no 1, 113-154.

32. F. Peherstorfer, P. Yuditskii, Asymptotics of orthonormal polynomials in the presence of a denumerable set of mass points, Proc. Amer. Math. Soc., 129(2001), no. 11, 3213-3220.

33. C. Remling, The absolutely continuous spectrum of Jacobi matrices, preprint, (arXiv:0706.1101).

34. G. Stahl, W. Totik, General Orthogonal Polynomials, Encyclopedia of Mathematics, New York: Cambridge University Press, 1992.

35. G. Teschl, Jacobi Operators and Completely integrable Nonlinear Lattices, Math. Surv. Monographs, 72, American Math.Society, Providence, R.I., 2000.

36. W. Van Assche, Constructive Methods in the Analysis of Orthogonal Polynomials, Thesis, Katolieke Universiteit Leuven, 1992.

37. H. S. Wall, Analytic theory of continued fractions, 1948.

38. H. Widom, Extremal Polynomials Associated with a System of Curves and Arcs in the Complex Plane, Adv. in Mathem., v.3 (1969), n.2, pp.127-232.