Локальная асимптотика полиномов, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. ЛОКАЛЬНАЯ АСИМПТОТИКА ОТНОШЕНИЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ

ПОЛИНОМОВ.

§1. Введение.

§2. Общий подход к исследованию асимптотики полиномов и их отношений.

Формулировка основного результата.

§3. Начало доказательства теоремы 1 и вспомогательные леммы.

§4. Окончание доказательства теоремы 1.

§5. Обсуждение основной теоремы. Дополнительные результаты.

§6. Примеры.

ГЛАВА ТТ. ПРИЛОЖЕНИЯ ЛОКАЛЬНОЙ АСИМПТОТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ К ОЦЕНКЕ КОНСТАНТ В НЕРАВЕНСТВАХ МАРКОВА-БЕРНШТЕЙНА.

§1. Введение. Неравенства Маркова-Бернштейна.

§2. Случай пространств с евклидовой нормой.

§3. Асимптотика точных констант в пространствах L2(w) для некоторых классических весов.

§4. Вспомогательные свойства гипергеометрической функции.

§5. Определение меры ортогональности для рассмотренных систем ортогональных многочленов.

ГЛАВА Ж. НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ,

СВЯЗАННЫХ РЕКУРРЕНТНЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ.

§1. Определение массы и асимптотики рекуррентных коэффициентов по поведению крайних нулей ортогональных полиномов.

§2. Аппроксимация ехр(-х) на [0;+оо) обратными суммами ряда Тейлора.

Актуальность темы. В теории ортогональных многочленов и их приложений одной из основных проблем является проблема асимптотического поведения ортогональных многочленов. Так называемая слабая асимптотика ортогональных многочленов определяет область сходимости рациональных аппроксимаций Паде функций марковского типа (см. [28]). Асимптотика отношения ортогональных многочленов тесно связана со спектральным анализом разностных операторов второго порядка. Сильная асимптотика ортогональных многочленов на отрезке ортогональности связана с решением задачи рассеяния для разностных операторов типа Штурма-Лиувилля (см. [3]). В настоящее время хорошо изучены асимптотические свойства ортогональных многочленов вне носителя меры ортогональности, во внутренних точках носителя и в точках дискретных масс меры вне существенной части носителя. Актуальной является задача изучения асимптотики ортогональных многочленов в окрестности крайних точек существенной части носителя меры ортогональности. Этой проблеме и посвящена настоящая работа. Основной трудностью анализа асимтотики в этом случае является тот факт, что асимптотика вне носителя и в его внутренних точках формально не переходят одна в другую. Это требует разработки специальных методов асимптотического анализа для крайних точек носителя меры ортогональности.

Для случая классических многочленов Якоби, ортогональных на отрезке [-1;1], асимптотика в окрестности точек —1, 1 даётся формулой Мелера-Гейне (например, см. [9]). Первый общий результат для широкого класса мер ортогональности получен А. И. Аптекаревым в [1]. Метод Аптекарева основан на приведении рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов к форме разностного аналога линейного дифференциального оператора второго порядка. Локальная асимптотика ортогональных многочленов получается при этом предельным переходом от разностного уравнения к дифференциальному. Такой подход, однако, даёт ответ далеко не для всех интересных случаев. В диссертации предложен более общий метод анализа асимптотики в окрестности крайних точек носителя меры ортогональности. В основе метода лежит приближение дискретной динамической системы, порождённой рекуррентным соотношением для ортогональных полиномов, некоторой непрерывной динамической системой и последующий анализ погрешности приближения. Такая более общая точка зрения позволяет получить более общие результаты и сделать анализ точности полученных результатов.

Цель работы. Исследование асимптотики ортогональных полиномов в окрестности крайней точки носителя меры ортогональности на основе предложенного в диссертации общего метода. Исследование обратной задачи: по асимптотике крайних нулей ортогональных многочленов определить локальные свойства меры ортогональности. Приложение полученных результатов к асимптотике точных констант в неравенствах Маркова-Бернштейна в пространствах L2(w) для некоторых классиче-ких весов w(x).

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми или получены новыми методами.

Методы исследования. Используются методы математического анализа, теории функций, элементы теории динамических систем.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в теории функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в МГУ на научном семинаре под рук. А. И. Аптекарева, в Математическом институте им. В. А. Сте-клова РАН на семинаре под рук. академика РАН А. А. Гончара, на научном семинаре в Нижегородском техническом университете под рук. В. А. Калягина, на научном семинаре ИНСА г. Руана (Франция) под рук. А. Дро.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы.

1. Аптекарев А. И. Асимптотика ортогональных многочленов в окрестности концов интервала ортогональности.// Матем. сб., 1992, т. 183 № 5, стр. 43-62.

2. Аптекарев А. И., Дро А., Калягин В. А. Об асимптотике точных констант в неравенствах Маркова-Бернштейна в пространствах с интегральной метрикой с классическим весом.// Успехи матем. наук, т. 55 (2000), вып. 1, стр. 173-174.

3. Аптекарев А. И., Левитан Б. М. Дискретный оператор Штурма-Лиувилля и теория ортогональных многочленов, дополнение к книгеНикишин Е. М. Избранные вопросы математического анализа.// Тула, "Наука", 1990, стр. 421-429.

4. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею.// М., Физматгиз, 1961.

5. Г. Бейтмен, А. Эрдейи Высшие трансцендентные функции (/).// М.: "Наука",1973.

6. Г. Бейтмен, А. Эрдейи Высшие трансцендентные функции (Л).// М.: "Наука",1974.

7. Р. Варга Функциональный анализ гь теория аппроксимаций в численном анализе./ / Москва, "Мир", 1974.

8. Гончар А. А., Рахманов Е. А. Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций.// Матем. сб., 1987, т. 134(176), стр. 306-352.

9. Г. Сегё Орт.огоналъные многочлены. // М.: Физматгиз, 1962.

10. Туляков Д. Н. О локальной асимптотике отношения ортогональных полиномов в окрестности крайней точки носителя меры ортогональности.// Матем. сб., 2001, т. 192 № 2, стр.139-160.

11. Туляков Д. Н. Замечание об обратной задаче для ортогональных многочленов./ / Вестник МГУ. Серия 1, математика, механика. 1999, № 1, стр. 13-17.

12. Туляков Д. Н. О точной скорости рациональных аппроксимаций е~х на 0;+оо) обратными тейлоровскими суммами.// Вестник МГУ. Серия 1, математика, механика. 1997, № 2, стр. 9-14.

13. Уитекер, Ватсон Курс современного анализа (II).

14. Г. Шталь Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации |ж| на —1; 1. // Матем. сб., 1992, т. 183 № 8, стр. 85-118.

15. A. Aptekarev, A. Draux, D. Tuliakov Discrete spectra of certain corecursive Pol-laczek polynomials and it applications.// Journ. of Function Theory and Сотр. Methods, vol. 1, 2002, pp.

16. G. D. Birkhoff General theory of linear difference equations.// Trans. Am. Math. Soc., vol. 12 (1911), pp. 243-284.

17. G. D. Birkhoff Formal theory of irregular linear difference equations.// Acta math-ematica, vol. 54, 1930, pp. 205-246.

18. G. D. Birkhoff, W. J. Trjitzinsky Analytic theory of singular difference equations.// Acta mathematica, vol. 60, 1932, %pp. 1-89.

19. T. S. Chihara An Introduction to Orthogonal Polynomials.// Gordon and Breach Science Publ., New York (1978).

20. P. Dorfler New inequalities of Markov type.// SIAM J. Math. Anal. 18, (1987), pp. 490-494.

21. A. Draux, Ch. Elhami On the positivity of some bilinear functionals in Sobolev spaces.// Journ. Сотр. Appl. Math., 106 (1999), pp. 203-243.

22. M. J. Gody, G. Meinardus, R. S. Varga Chebyshev rational approximation to e~x on 0;+oo) and applications to heat-condition problems.// J. Appr. Theory, 1969, vol. 2, pp. 50-65.

23. A. A. Gonchar Some recent convergence results on diagonal Pade approximants// Approximation Theory V. Proceedings of the fifth international symposium held at Texas A&M University. 1986, Academic Press, Inc. Boston, pp. 55-70.

24. G. V. Milovanovic Various extremal problems of Markov's type for algebgaic polynomials.// Facta Univ. Ser. Math. Inform. 2, (1987), pp. 7-28.

25. G. V. Milovanovic, D. S. Mitrinovic, Th. M. Rassias Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros.// World Scientific, 1994.

26. G. Nemeth Notes on some estimations in rational approximation, /.// Periodica Mathematica Hungarica, vol. 19(1), (1988), pp. 1-17.

27. O. Perron Uber das Verhalten einer ausgeart.eten hypergeometrischen Reihe bei unbegrenzten Wachstum eines Parameters.// Journal fur Math., 151, (1921), pp. 63-78.

28. E. Schmidt Uber die nebst ihren Ableitungen orthogonalen Polynomensysteme und das zugehdrige Extremum.// Math. Ann. 119, (1944), pp. 165-204.

29. H. Stahl, W. Totik General ortogonal polynomials. // Kembridge University Press, 1992.

30. P. Turan Remark on a theorem of Erhard Schmidt.// Mathematica 2(25), (1960), pp. 373-378.

31. R. S. Varga Topics in polunomial and rational interpolation and approximation.// University of Montreal Press, 1982.со о - оъ