Асимтотические ряды для многочленов ортогональных относительно комплексного аналитического веса и приложения к полиномиальным всплескам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.53

Хабибуллин Роберт Флюсович

АСИМТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЕСА И ПРИЛОЖЕНИЯ К ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ ВСПЛЕСКАМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005 г.

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А. И. Аптекарев.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Калягин В. А.

кандидат физико-математических наук, доцент Арутюнян Р. В.

Ведущая организация - Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 18 ноября 2005 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет,

аудитория 16-24.

<

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 18 октября 2005 г..

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

ISS02

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Базовые результаты по асимптотическим свойствам классических ортогональных многочленов получены в работах Лапласа, Гейне, Дарбу, Сеге, Фейера, Перрона, Планшереля, Ротаха. До недавнего времени, основным инструментом для получения асимптотики классических ортогональных многочленов служил метод перевала, например, асимптотические формулы Планшереля-Ротаха для полиномов Лагера и Эрмита 1 могут быть получены этим методом. Современная теория асимптотики многочленов ортогональных относительно комплексного переменного веса была развита Гончаром и Рахмановым 2. В работах Натолла 3 4, а далее в работе С. П. Суетина 5 впервые комплексные методы исследования сильных асимптотик ортогональных многочленов стали опираться на краевые задачи для аналитических функций. Как было замечено Итсом, Фо-касом и Китаевым 6, скалярное краевое соотношение может быть переформулировано в виде краевой задачи Римана^ Гильберта для матрично-значных функций. Дейфтом и соавторами 7 8 9 был предложен метод решения таких матричных краевых задач. В работе

1Сеге Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, М., 1962

2Гончар А.И., Рахманов Е.А. Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций, Матем. сб. 134 (1987), по. 3,

3Nuttall J., Asymptotics of diagonal Hermite-Pade polynomials, J. Approx. Theory. 42 (1984), no.4, 299-386

4Nuttall J., Pade polynomial asymptotics from a singular integral equation, Constr. Aprox. 6 (1990), 157-166

"Суетин С.П., О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций, Матем. сб. 191 (2000), по. 9, 81-114

eFokas, A., Its, A., Kitaev, A., The isomonodromy approach to matrix models in 2D quantum gravity, Comun. Math. Phys. 147(1992), 395-430.

7Deift, P., Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann-Hilbert approach, Reprint of the 1998 original, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

8Deift, P., Kriecherbauer, Т., T-R McLaughlin, K., New results on the equalibrium mesure for logarithnic potentials in the presence of an external field. J.Approx.Thry., 95(1998), 388-475.

®Deift, P., Kriecherbauer, Т., T-R McLaughlin, K., Venakides, S., and Zhou, X. Asymptotics for polynomials orthogonal with respect to varying exponential weights. Int. Math. Res. Notes 16(1997), 759-782.

306-352

Аптекарева 10 техника матричной задачи Римана-Гильберта была распространена на случай многочленов Рп ортогональных на комплексной кривой F относительно комплексного веса вида

hn(z) := e-^faoM+iQiW),

где Q3, j — 0,1 - голоморфные в некоторой области Q Ш> F функции, что позволило получить главный член асимптотического разложения полиномов Рп при 71 —> ос. Получение последующих членов данного разложения является актуальной задачей.

Асимптотическая теория ортогональных многочленов обладает широким спектром приложений, в частности, она является мощным инструментом для изучения полиномиальных всплесков. Машкар и Престин 11 исследовали асимптотические свойства коэффициентов из разложения по полиномиальным рамочным функциям построенным с помощью полиномов Якоби. Эти результаты позволяют распознавать слабые разрывы функций заданных на конечных интерваг лах. Интересной является задача о распознавании слабых разрывов функций, заданных на неограниченных интервалах.

Другим применением асимптотической теории ортогональных многочленов является построение "полиномиальных"базисов Шаудера. Естественным образом возникает вопрос о минимальной степени полиномов образующих базис Шаудера. Ульянов 12 поставил вопрос о существовании оптимального базиса Шаудера с дополнительным условием ортогональности с весом ш. Скопина в работах 13 14 решила проблему для ортогональности Лежандра, то есть когда ш = 1. В

10Аптекарев А.И., Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций,Матем. сб. 193 (2002), по. 1, 3-72

nH.N. Mhaskar, J. Prestin, Polynomial frames for the detection of singularities, in: Wavelet Analysis and Multiresolution Methods, (Ed. Tian-Xiao He) Marcel Decker, 2000, 273-298.

12Ul'yanov, P.L., On sorne solved and unsolved problems in theory of orthogonal series , Proc. Fourth All Union Mathematics Congress 2. Academy of Science USSR, Moscow (1963), 694-704.

13Skopina M., On Polynomials bases for the space C\-1,1], Zap. Nauch. Sem. POMI, v. 262 (1999), p. 223-226.

14Skopina M., Orthogonal Polynomial Schauder Bases for C[—1,1] of Optimal

Degree, Matern. Sbornik, v. 192. (2001) N 3, p. 115-136 )

работах 15 16, а также 17 авторами предложена конструкция, которая даёт базис в пространстве 1,1] с произвольной функцией и, а при и> равному одному из классических Чебышевских весов образует базис Шаудера. Расширение класса весов ш для которых эта конструкция также оказывается базисом Шаудера является актуальной задачей.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование асимптотических свойств при п —> оо полиномов ортогональных относительно переменного веса пп (х) := e-M^i^1», где Q0,Qi являются аналитическими функциями в С, а именно получение асимптотического ряда для Рп при 71 —> оо. Также исследуется конструкция полиномиальных рамок на 2R+ и на Ш построенная по классическим полиномам Лагера и Эрмита соответственно, с целью получения аппарата для распознавания слабых разрывов для функций определенных на положительной полуоси и на всей действительной оси соответственно. Кроме того, предъявляется полиномиальный базис Шаудера, ортогональный относительно обобщенного Чебышев-ского веса.

Общая методика исследований. При решении названных заг дач используются: метод перевала Дейфта/Джоу для анализа краевых задач для матрично-значных функций, методы связанные с теорией потенциала, методы математического анализа и теории функций.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы следующие:

1. Доказывается существование асимтотического ряда для полиномов ортогональных относительно переменного веса

hn(x) := e-«»(<fc+¿<?i(*».

16Kilgore, Т., Prestin, J., Selig, К., Orthogonal algebraic polynomial Schauder bases of optimal degree, J.Fourier Anal. Appl.2(19%),597-610.

leGirgensohn, R., Prestin, J., Lebesgue constants for an orthogonal polynomial Schauder basis, J. Comp.Anal. Appl.(2) 2000, 159-175

17Girgensohn, R., Lebesgue constants for an orthogonal polynomial Schauder basis, submitted to Appl. Comp. Harm. Anal.

2. Приводятся формулы для коэффициентов при 0 и 1 степени £ этого ряда, а также реккурентные соотношения для всех остальных коэффициентов.

3. Получены асимтотические формулы для коэффициентов из разложения по полиномиальным рамочным функциям построенным с помощью полиномов Лагера и Эрмита. В качестве следствия из этих формул следует их способность локализовывать сингулярности функций, заданных на [0, оо) и (—оо, оо)

4. Предъявляется конструкция образующая базис Шаудера минимальной степени и ортогональная относительно обобщенного Че-бышевского веса (w(x) = (l—x)a(l+x)l3h(x)) Нф 0, h(x) аналитична в некоторой окрестности [—1,1]).

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Результаты диссертации относятся к теории аппроксимаций функций комплексного переменного и теории потенциала. В дальнейшем эти результат ты могут быть полезным специалистам по теории функций, работающим в МГУ, МИ АН, ИПМ им. Келдыша.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались и обсуждались на следующих научно-исследовательских семинарах:

• На семинаре "Современные проблемы Теории Функций "кафедры теории функций и функционального анализа механико - математического факультета МГУ под руководством профессора А. И. Аптекарева, д.ф.м.н. В. Н. Сорокина и доц. B.C. Буярова;

• На семинаре "Комплексного анализа"Математического института им. В. А. Стеклова РАН под руководством академика РАН А. А. Гончара, чл. корр. РАН Е. М. Чирки и проф. А.И. Аптекарева;

• На научном семинаре математического института Университета г. Любека (Германия)под руководством проф. Престина Ю.

• На международной конференции "Wavelets and Splines" (Санкт - Петербург июль 2003)

Публикации. Основные результаты опубликованы в двух работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация изложена на 89 страницах и состоит из введения, 3-х глав и списка литературы, включающего 41 наименование.

Основное содержание работы.

Во введении отражена история вопросов, рассмотренных в диссертации, приведен обзор результатов, связанных с темой исследования и введены некоторые условные обозначения. Также кратко „ излагается содержание работы и основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена изучению асимтотиче-ских свойств полиномов {,РП}~ ^

Г Г

{Рк(г) = гк + ... 0 : / = 0, с = 0.....п- 1,

(1)

ортогональных на комплексной кривой .Р относительно переменного ! веса вида

М^:=е-2п(<ЭоМ+£<Э1(*)), (2)

где Qj, ] = 0,1 - голоморфные в некоторой области П э) ^ функции. В §1.1 изложено введение в проблему, приведены основные определения и обозначения, дан краткий обзор метода и приведена формулировка основного результата.

Как было замечено Аптекаревым в 10, для процедуры применения метода перевала Дейфта/Джоу, который будет использоваться для доказательства этой теоремы, ключевым моментом является выбор дуги интегрирования. Положение дуги интегрирования в свою очередь вытекает из нахождения в-симметричного носителя экстремальной меры А, обеспечивающей равновесие логарифмического потенциала Уи(г) во внешнем поле / := Э?(£?о) (определения логарифмического потенциала, равновесной меры и Э-свойства вводятся в пункте 1.1.2 главы 1). Поэтому, условия, используемые в Теореме 1, будут выражены в терминах теории потенциала.

Основным результатом главы 1 является следующая теорема

Теорема 1 Пусть последовательность аналитических весовых функций {йгЛ^о задана формулой (2), и пусть гладкая жорданова дуга F удовлетворяет условиям:

1) (Р, <Эо) € множество равновесия на Р

Д:={г: УА(г) + »(<?<>(«)) = 7д}

связно и А' > 0 во внутренних точках дуги Д.

2) Поведение производной равновесной меры А в окрестности концевых точек а иЬ носителя Д описывается как

А' (г) := ((г - а)(г - Ь))1/2 и(г), при и £ Н(Оа и Оь), геОаиОь.

Тогда

A) для достаточно больших п существуют ортогональные с весом Iгп на Р многочлены Рп(г) = гп +..., определенные условием (1).

B) для г 6 С\ Д, мы имеем, что выражение , с функцией Сеге <рп для функции скачка / Нп (определение функции Сеге см. в п. 1.1.2 главы 1 ), имеет асимтотическое разложение по степеням £ вида

^ ~ §<«.) + Г'И) [1 + ± , п(3)

где .

Это разложение равномерно для г из компактов в С \ Д. Функции Щ аполитичны в С \ Д и могут быть явно вычислены.

В §1.2 доказаны основные леммы, составляющие ядро доказательства теоремы: здесь будет показано как с помощью преобразований, составляющих суть метода, получить задачу эквивалентную начальной краевой задаче, но с матрицей скачка равномерно стремящейся при п -* оо к единичной. В §1.3 завершено доказательство

теоремы. В §1.4 показана связь краевых задач с интегральными уравнениями, а также приведено вычисление коеффициента Па из (3).

В §1.5 Теорема 1 применяется для получения асимптотики многочленов Весселя и обобщенных многочленов Лагера.

В главе 2 исследуются, так называемые, полиномиальные рамки, в частности, их локализационные свойства. Для полиномов {рь} ортогональных относительно веса ш и для треугольной матрицы G = te,i}fc=o,...,i,/=i,2,.., аналог ядра Сеге будет иметь вид

I

Ki{G;x,t) := ]>^ 9k,iPk(x)Pk{t)■ fc=о

Интерес будет представлять следующий обьект (фрейм элементы) к — 1, ...,т, п = 0,1,...,

*n,fc,m(z) := AktmK2N(G^-, X, хк<т){фКт))-х'2, (4)

где {¡Efc.m} - нули полинома рт, а Ак,т - коэффициенты Кристоффе-ля. При определенных условиях на матрицу G, с помощью квадратурной формулы Гаусса, можно показать, что для функций из верно представление

2 оо m _

ar(f)Pr + J! Ху V Ш(Хк>т)Т2ff,k,m(G\ /)Фп,Л,от,

г—0 п=1к=1

где ak(f) := f fpku;dt, к = 0,1,..., и

ri,k,m(G-J) := J f(t)Kt(G-,t,xkim)u;(t)dt. (5)

В этой главе рассматриваются два типа весовых функций:

1) Лагера: ша{х) := е~хха, для х € (0, оо) и а > — 1 и

2) Эрмита : ш(х) := е~х , для х £ М.

Основными результатами главы 2 являются теоремы 3 для случая JIarepa и теорема 4 для случая Эрмита соответственно, где приводятся асимптотические выражения для коэффициентов (5) в окрестностях точек сингулярности. Приведем здесь формулировку теоремы об асимптотическом поведении коэффициентов из разложения по полиномиальным рамкам, построенным по полиномам Лагера.

Теорема 3. Пусть а > — 1 и г, q, р положительные целые числа. Пусть t\ и 62 фиксированные положительные целые, е\ < ег. Предположим g € BVq, и для некоторого к > О, g(t) = 0 при t € [О, к]. Пусть G матрица порожденная функцией д. Тогда существует последовательность функций Фи := Ф„(г, х, у) и Ч!и := Ф„(г,ж,у) регулярные для х, у > 0 и такие, что равномерно по х, у 6 [ei, ег] имеем

^)T2N(G; (• - Уу+,х)

Vf—0 %

X £ cos - Vv)St + Ц^) Л

А/ 2ТГ Y'\ , ,

+ ЕДштт)

х sin Vt)Vi +Ц^)

+ ©(jv-f-1) as N—>оо.

Прямым следствием теорем 3 и 4 являются теоремы 5 и 6 соответственно из которых будут видны локализационные аспекты поведения Т2м{иа, G; (■ — у)Т+,х) возле и вне точки сингулярности у.

Глава 3 посвящена еще одному приложению теории ортогональных многочленов, а именно базису Шаудера, то есть системе функций

Для которой выполнено:

п

V/ € С[-1,1] 3 ! {ак}?=0 : ||/ - £ <W*|loo -»0 при п -» оо.

к=0

Хорошо известно, что ряд Фурье непрерывной функции, в общем случае, не сходится в sup норме (норме пространства С\—1,1]). При исследовании полиномиальных базисов, важным условием сходимости ряда оказывается условие на рост степени полиномов: например, Фабер 18 доказал, что любая система из тригонометрических полиномов {tß : /л е JN} вместе с условием deg tß < ц/2 не может быть базисом Шаудера. Вопрос о минимальной степени полиномов образующих базис Шаудера был полностью решен Приваловым в его двух работах 19, 20. С одной стороны, он показал, что для любого базиса {t^ : ц е IN} в Civ существует е > 0 такое, что для достаточно больших ß выполнено deg t^ > (1 + е)ц/2. С другой стороны, он установил, что для любого е > 0 существует базис Шаудера удовлетворяющий deg t^ < (1 + e)fi/2. Базис из полиномов с таким условием на степени называется оптимальным. Лоренц и Саакян 21 дали окончательный ответ на вопрос Ульянова о минимальной степени с дополнительным условием ортогональности для тригонометрического случая. Как оказалось, дополнительное условие на базис - быть ортогональным, не влияет на рост степени.

В главе 3, исследуется конструкция полиномиального базиса {р^}, построенного по полиномам ортогональным относительно обобщенного Чебышевского веса, т.е. весовой функции вида

и>(х) := х е [-1,1], wo G Н(6), wo(±l) ф 0, (6)

18Faber, G., Uber die interpolatorische Darstellung stetiger Functionen, Jber. Deutsch. Math. Verein. 23 (1914), 192-210

19Privalov, A.A., On the growth of degrees of polynomial bases and approximation of trigonometric projectors, Mat. Zametki 42(1987), 207-214. English translation in Math, notes 48(1990),1017-1024.

20Privalov, A.A., Growth of degrees of polynomial bases, Mat. Zametki 48(4)(1990),69-78.

21Lorentz, R. A., Sahakian, Orthogonal trigonometric Schauder bases of optimal degree for C[0, 2tt], J.Fourier Anal. j4ppl.l(1994),103-112.

где 5 - некоторая область содержащая [—1,1]. Определение {р^} дано в пункте 3.3 главы 3. Из Леммы 15 следует, что основным условием для того, чтобы ортонормированная система образовывала базисом Шаудера является равномерная ограниченность по п констант Лебега

п

Ьп= вир || У1рц(Фц(-)[\ы-*€[-1,1] д=0

Вместо явных формул для полиномов Чебышева используемых в 15,16,17 ддЯ 0ценки констант Лебега для полиномов ортогональных относительно веса (6) приходиться использовать их равномерные асимтотические представления (см., напр., 22). Основным результат том главы 3 является теорема 7.

Теорема 7. Пусть задано е > 0. Тогда образует ор-

тогональный базис Шаудера минимальной степени в С[—1,1]. То есть, для всех ц, V б 2/Уо имеем

<1е6Р/1<м(1 + г), (7)

(Рм, Ри) = (8)

и для всех / е С[—1,1]

п

/ - £</> рЛлЦ^ < £п(1-е)(/)(Л + !)• (9)

а=0

Где Ет(/) обозначает наилучшее приближение / в эиргетпит норме полиномами степени не больше т. Отметим, что константа А в (9) положительна и зависит только от е.

В доказательстве теоремы 7 ключевыми являются леммы 18 и 19 главы 3, в которых доказывается равномерная ограниченость по п констант Лебега. Эти леммы приводятся в пункте 3.4 главы 3.

MAptekarev, A.I., Van Assche, W., Scalar and matrix Riemann-Hilbert approach to the strong asymptotics of Pade approximants and complex orthogonal polynomials with varying weight, Journal of Approx. Theory, 129 (2004), p. 129-166.

Благодарность. В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Аптекаре-ву. А. И. за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе. Работа над диссертацией (глава 2 и 3) велась в рамках проекта Российско-Франко-Германских университетских обменов в г. Любек (Германия). Автор выражает глубокую благодарность научному со-руководителю профессору Престину Ю. за обсуждение постановок задача, постоянное внимание и помощь в работе.

Поддержка. Исследования по теме диссертации частично были поддержаны: Проектом Российско-Франко-Германских университетских обменов, программой поддержки ведущих научных школ РФ (грант № НШ-1551.2003.1), Отделением математических наук РАН (программа № 1) и фондами ИНТАС (грант № 03-516637) и РФФИ (грант X« 05-01-00522).

Публикации по теме диссертации

[1] Хабибуллин Р. Ф., Асимптотический ряд для многочленов Бесселя, Математические Заметки, том 77, выпуск 6, 2005, 948-950.

[2] Khabiboulline R., Polynomials Schauder bases with generalized Chebyshev orthogonality, East Journal of Approximation, Volume 9, Number 4, 2003, 443-458.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В Ломоносова. Подписано в печать J2.iQ.DS Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. О, ?5~

Тираж 100 экз. Заказ 2$

i

»18957

РНБ Русский фонд

2006-4 15508

Введение

1 Асимптотические ряды для полиномов ортогональных относительно комплексного переменного веса

1.1 Введение.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Основные определения и обозначения.

1.1.3 Формулировка основного результата.

1.1.4 Краткий обзор метода.

1.2 Метод матричной задачи Римана-Гильберта для получения сильной асимптотики ортогональных многочленов.

1.2.1 Матричная задача Римана-Гильберта для ортогональных полиномов.

1.2.2 ' Равновесная мера и функция Сеге.

1.2.3 Первое преобразование Y —+ Т: нормировка матричной задачи.

1.2.4 Второе преобразование Т —► 5: факторизация матрицы скачка и "раскрытие линзы".

1.2.5 Анализ краевой задачи для S.

1.2.6 Постановка вспомогательной краевой задачи в окрестности концевых точек носителя Д.

1.2.7 Решение краевой задачи в окрестности концевой точки с помощью функций Айри.

1.2.8 Заключительное преобразование 5 —» R.

1.2.9 Рекуррентные соотношения для г*.

1.3 Асимптотика ортогональных полиномов относительно веса hn

2.2 Асимптотика фрейм коэффициентов для функции с разрывными производными .63 г

2.2.1 Случай Латера.64

2.2.2 Случай Эрмита.71

2.3 Локализация сингулярностей.73

2.4 Численные эксперименты .75

3 Базис Шаудера минимальной степени с обобщенной Чебышевской ортогональностью 76

3.1 Постановка задачи и основные понятия.76

3.2 Основные идеи построения ортогональных базисов минимальной степени.77

3.3 Определение базиса.79

3.4 Оценка констант Лебега.82

Введение

Теория ортогональных многочленов - глубоко исследованная и имеющая широкие приложения область анализа Одной из ключевых проблем данной теории является задача об асимптотическим поведении при возрастании номера п последовательности ортогональных многочленов Для исследования асимптотических свойств ортогональных полиномов применяются различные методы и приемы (см классическую монографию Сеге [23]) Например, свойства, так называемых, классических ортогональных многочленов подробно исследуются методом Лиувилля - Стеклова, который называется также методом интегро-дифференциальных уравнений В случае, когда для ортогональных многочленов имеют место интегральные представления, применяется метод перевала Метод Дарбу основан на производящих функциях Наиболее универсальным является метод Сеге, который применяется в самых общих случаях Базовыми результатами по асимптотическим свойствам классических ортогональных многочленов являются работы Лапласа, Гейне, Дарбу, Стилтьеса, Сеге, Фейера, Перрона, Планшереля, Ротаха

Современная теория асимптотики многочленов ортогональных относительно комплексного переменного веса была развита Гончаром и Рахмановым (см , например, [1]) В настоящее время эта теория переживает бурный расцвет, являясь не только мощнейшим инструментом в анализе и математической физике, но и находя применения от теории чисел до случайных матричных ансамблей и асимптотической комбинаторике (см , например, доклад Дейфта на Международном конгрессе математиков в Берлине [12]) Комплексные методы исследования сильных асимптотик ортогональных многочленов основаны на краевых задачах для аналитических функций (задачах Римана-Гильберта) Этот подход появился впервые в работах Дж Наттолла в связи с изучением сильных асимптотик многочленов Эрмита-Паде (см обзорную статью [3], а также [4]) В работе С П Суетина [5] подход Наттолла был развит для многочленов, определяемых соотношениями ортогональности на объединении конечного числа S-симметричных дуг в С где Шр есть корень из многочлена с нулями в концевых точках {с3} дуг, составляющих ^ с весовой функцией вида

Pn(z) = zn+ , v = 0, ,п-1 (1) h h =—— на F, ЛеЯ(П), 0 в fl,

2)

Как было замечено Итсом, Фокасом и Китаевым в [6], скалярное краевое соотношение, использованное Наттоллом и Суетиным, может быть переформулировано в виде краевой задачи Римана-Гильберта для матрично-значных функций Дейфтом и соавторами в работах [7]-[11] был предложен метод решения таких матричных краевых задач Этот метод или, как мы будем называть его в дальнейшем, метод перевала Дейфта/Джоу для решения краевых задач Римана-Гильберта для ортогональных полиномов позволяет находить сильную асимптотику для широкого класса ортогональных многочленов, более того, делает возможным получать асимптотические ряды по степеням ~ во всей комплексной плоскости при п —> оо Ранее, в перечисленных работах, были получены сильные асимптотики для полиномов ортогональных на Ш относительно переменных весов е~пУ(х\ где V является действительной, аналитической и имеющая достаточный рост в бесконечности, а также для полиномов ортогональных на Ш относительно не переменных весов е-®^, где <Э - многочлен четной степени и с положительным старшим коэффициентом или €}{х) = к\х\@ с к, /3 > 0 Результаты полученные этими авторами, существенно улучшали прежние асимптотические формулы и были использованы для решения вопроса об универсальности в теории случайных матриц

Аптекаревым в [2], в связи с задачами о скорости аппроксимации аналитических функций рациональными, были рассмотрены полиномы ортогональные на комплексных кривых относительно переменного веса вида /гп(х) = с аналитической функцией <3 и с \\1гп — ЛооИя = о( 1) и для этих полиномов был получен главный член сильной асимптотики (то есть коэффициент при независимом от п члене асимптотического ряда) Глава 1 диссертации посвящена изучению асимптотических свойств полиномов ад = + }"„ [ Рп№К(г)сЬ = 0, и = 0, ,п-1, (3)

JF ортогональных на комплексной кривой Р относительно переменного веса вида где С^-,, з = 0,1 - голоморфные в некоторой области П з> Р функции Основным результатом этой главы является Теорема 1, в которой получен асимптотический ряд по степеням ^ для полиномов, определяемых в (3) Как было замечено в [2], для процедуры применения метода перевала Дейфта/Джоу, который будет использоваться для доказательства этой теоремы, ключевым моментом является выбор дуги интегрирования Положение дуги интегрирования в свою очередь вытекает из нахождения Э-симметричного носителя экстремальной меры А, обеспечивающей равновесие логарифмического потенциала Уи{г) во внешнем поле / = 2о) (определения логарифмического потенциала, равновесной меры и Э-свойства вводятся в пункте 112 главы 1) Поэтому, условия, используемые в Теореме 1, будут выражены в терминах теории потенциала Наряду, с классическим для теории комплексного потенциала, условием 5— симметрии <2о) € £>, будут наложены условия связности на дугу Д- носителя равновесной меры А, положительности А во внутренних точках Д, а также концевыми условиями на

Д для А' г) ={(г-а)(г-Ъ))1/2к(г), при И 6 Н(Оа и Оь), геОаиОь

В этих условиях, доказывается (см Теорему 1), что начиная с некоторого номера N многочлены Рп имеют равномерное по г из компактов в С \ Д асимптотическое разложение по степеням А вида определения Сп, <рп, /3 вводятся в пункте 112 главы 1) Функции Щ ана-литичны в С \ Д и могут быть явно вычислены по рекуррентным краевым соотношениям В приложении к главе 1 (пункт 14 3) вычисляется Щ В качестве примеров, в заключении к первой главе, иллюстрируется как Теорема 1 может быть использована для получения асимптотических рядов для полиномов Бесселя degBn(x) < п, Вп(х) ф 0, ортогональных на замкнутой аналитической дуге 7, содержащую внутри точку 0, т е

I Вп(х)хке*йх = 0, к = О, ,п- 1, (5)

2т у7 а также полиномов Лагера, определяемых нами точной формулой ь^Ё (;!:)« (в) к=0 4 7

Во многих приложениях, ортогональные полиномы являются естественным средством для построения различных ортогональных систем В последние два десятилетия бурно развивается новый аппарат обработки сигналов -вейвлеты (всплески) Отправной точкой лавинообразного развития вейвлет-ной теории принято считать работы Добеши [15], [16] С развитием новых методов в теории всплесков, например, применением кратномасштабного анализа, а также с развитием теории ортогональных многочленов, стало возможным построение и детальное изучение новых конструкций, полезных в практических областях Во многих приложениях, таких как, сжатие изображений и сигналов, анализе временных рядов, антенных технологиях и т д необходимо локализовывать сингулярности функций различных порядков Оказывается, полиномиальные вейвлеты рассмотренные Фишером и Пре-стином [21], а также более общие конструкции - полиномиальные фреймы, (рамки), по некоторым соображениям подходят для этих целей больше, чем стандартные вейвлеты Для полиномов {рк} ортогональных относительно веса из и для треугольной матрицы С? = {дкг}к=о 11=1,2, > аналог ядра Кристоффеля-Дарбу будет иметь вид I

К1{в,х,Ь) =^2дк1Рк{х)Рк^) к=О

Интерес будет представлять следующий объект (фрейм элементы) к = 1, , т, 0,1, ,

Уп,кт{х) =Хк,шК2ы{0[ 1],х,хк,т){и{хк<т)) 1/2, (7) где {Хк т} - нули полинома рт, а Л km, - символы Кристоффеля При определенных условиях на матрицу G, с помощью квадратурной формулы Гаусса, можно показать, что для функций из верно представление

2 ОО 771 f = ar{f)Pr + Yh v W(Xk m)T2N,k m(G, /)Ф„ fc m, Г=0 71=1 fc= 1 где ofc(/) = / fpkwdt, k = 0,1, , и

GJ) = J /(i)Xi(<?,i,a:fem)a/(i)di (8)

В частности, Машкар и Престин в своей работе [22] доказали, что полиномиальные фреймы построенные по полиномам Якоби способны локализотзывать сингулярности любых порядков для функций заданных на конечном интервале Во второй главе диссертации будут рассмотрены функции определенные на бесконечных интервалы (0,со), (—со, со) и полиномиальные фреймы построенные по полиномам Лагера и Эрмита на них соответственно Веря за основу обшую конструкцию для полиномиальных рамок (7) , исследуются локализационные свойства рамок, построенных по полиномам Лагера и Эрмита и показывается как они могут быть использованы для обнаружения и локализации сингулярностей всех порядков Для этого получены асимптотические представления для рамочных коэффициентов (8) в окрестности сингулярностей (Теорема 3 и Теорема 4 соответственно)

Теория вейвлетов и ортогональных многочленов тесно связаны еще с одним объектом представляющим интерес на протяжении многих лет, а именно с базисом Шаудера, то есть системой функций {tfik}kLо Для которой выполнено п

V/ е С[-1,1] Э > {ttfcJgLo II/- 5>*Ы1ооо при га^оо fc=0

Хорошо известно, что ряд Фурье непрерывной функции, в общем случае, не сходиться в sup норме (норме пространства С[— 1,1]) При исследовании полиномиальных базисов, важным условием сходимости ряда оказывается условие на рост степени полиномов например, Фабер в [38] доказал, что любая система из тригонометрических полиномов {íM ¡j, 6 JV} вместе с условием deg tfí < p,¡2 не может быть базисом Шаудера Естественным образом возникает вопрос о минимальной степени полиномов образующих базис Шаудера Этот вопрос был полностью решен Приваловым в его двух работах [28], [29] С одной стороны, он показал, что для любого базиса ц £ Ш} в Сгл- существует е > 0 такое, что для достаточно больших fj, выполнено deg t^ > (1 + е)ц/2 С другой стороны, он установил, что для любого е > 0 существует базис Шаудера удовлетворяющий deg< (1 + е)м/2 Базис из полиномов с таким условием на степени называется оптимальным В работе [30] Ульянов поставил вопрос о минимальном росте степени полиномов с дополнительным условием ортогональности с весом ш Лоренц и Саакян в [31] дали окончательный ответ для тригонометрического случая и, как оказалось, дополнительное условие на базис - быть ортогональным, не влияет на рост степени

Скопина М в работах [32], [33] решила проблему в случае когда ш = 1 В работах [26], [27], [34] авторами предложена конструкция, которая дает базис в пространстве 1,1] с произвольной функцией ш, а при и> равному одному из классических Чебышевских весов образует базис Шаудера В главе 3 данной работы, исследуется конструкция полиномиального базиса {Рц}, построенного по полиномам ортогональным относительно обобщенного Чебышевского веса, т е весовой функции вида и(х) = , X е [-1,1], "о е Я(5), шо(±1) Ф 0, (9)

VI — х где 5 - некоторая область содержащая [—1,1] Из Леммы 15 следует, что основным условием для того, чтобы ортонормированная система образовывала базисом Шаудера является равномерная ограниченность по п констант Лебега п

Ьп = вир || У)||Ь1 «б[-111 м=0

Вместо явных формул для полиномов Чебышева используемых в [26], [27], [34] для оценки констант Лебега для полиномов ортогональных относительно веса (9) приходиться использовать их равномерные асимптотические представления (см [35]) В Леммах 18 и 19 главы 3 доказана равномерная ограниченность по п констант Лебега , а тем самым (см Теорема 7) предъявлен базис Шаудера оптимальной степени с дополнительным условием обобщенной Чебышевской ортогональности

Благодарность. В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Аптекареву А И за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе Работа над диссертацией (глава 2 и 3) велась в рамках проекта Российско-Франко-Германских университетских обменов в г Любек (Германия) Автор выражает глубокую благодарность научному ссъруководителю профессору Престину Ю за обсуждение постановок задач, постоянное внимание и помощь в работе

Поддержка. Исследования по теме диссертации частично были поддержаны Проектом Российско-Франко-Германских университетских обменов, программой поддержки ведущих научных школ РФ (грант К" НШ-1551 2003 1), Отделением математических наук РАН (программа N° 1) и фондами ИНТАС (грант К0 03-516637) и РФФИ (грант № 05-01-00522)

1. Гончар А И , Рахманов Е А Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций, Матем сб 134 (1987), по 3, 306-352

2. Аптекарев А И , Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций,Матем сб 193 (2002), no 1, 3-72

3. Nuttall J , Asymptotics of diagonal Hermite-Pade polynomials, J Approx Theory 42 (1984), no 4, 299-386

4. Nuttall J , Pade polynomial asymptotics from a singular integral equation, Constr Aprox 6 (1990), 157-166

5. Суетин С П , О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций, Матем сб 191 (2000), по 9, 81-114

6. Fokas, А , Its, А , Kitaev, А , The isomonodromy approach to matrix models m 2D quantum gravity, Comun Math Phys 147(1992), 395-430

7. Deiffc, P , Orthogonal polynomials and random matrices a Riemann-Hilbert approach, Reprint of the 1998 original, Amer Math Soc , Providence, RI, 2000

8. Deift, P , Kriecherbauer, T , T-R McLaughlin, К, New results on the equalibrium mesure ior logarithnic potentials m the presence of an external field J Approx Thry , 95(1998), 388-475

9. Deift, P , Kriecherbauer, T , T-R McLaughlin, К , Venakides, S , and Zhou, X Asymptotics for polynomials orthogonal with respect to varying exponential weights Int Math Res Notes 16(1997), 759-782

10. Deift, P , Kriecherbauer, T , T-R McLaughlin, К , Venakides, S , and Zhou, X Strong asymptotics of orthogonal polynomials with respect to exponential weights Comm Pure Appl Math , Vol LII, Ц91-1552 (1999)

11. Deift P , Kriecherbauer T , McLaughlin К T -R , Venakides S , Zhou X , Uniform asymptotics for orthogonal polynomials, Doc , Math , J DMV, Extra Vol ICM Berlin 3 1998, 491-501

12. Bieber P , Its A , Semiclassical asymptotics of orthogonal polynomials, Riemann-Hilbert problem, and universality m the matrix model, Ann Math (2) 150

13. Гахов Ф Д , Краевые задачи, ГИФМЛ, М Д963

14. Daubechies I, Orthogonal bases of compactly supported wavelets, Comm Pure and Appl Math 41, 1989, 909-996

15. Daubechies I, Ten Lectures on Wavelets, SIAM/GMBS-NSF Regional Conf Series m Appl Math Vol 61, 1992

16. Абрамович M , Стигап И , Справочник по специальным функциям, Наука, М Д979

17. Y Meyer, "Wavelets, vibrations, and scahngs", CRM Monograph Series, Amer Math Soc , Providence, RI, 1997

18. К S Eckhoff, On a high order numerical method for functions with singularities, Math Comp 67 (1998), 1063-1087

19. S U Pillai, "Array signal processing", Springer Verlag, New York, 1989

20. В Fischer, J Prestm, Wavelets based on orthogonal polynomials, Math Comp 66 (1997), 1593-1618

21. H N Mhaskar, J Prestm, Polynomial frames for the detection of singularities, m Wavelet Analysis and Multiresolution Methods, (Ed Tian-Xiao He) Marcel Decker, 2000, 273-298

22. G Szego, "Orthogonal polynomials", 4th edition, American Mathematical Society, Providence, 1975

23. W J Olver, "Asymptotics and Special functions", А К Peters, Wellesley, MA, 1997, originally published by Academic Press, New York, 1974

24. N Temme, "An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics", John Wiley & Sons, Inc , 1996

25. Girgensohn, R, Prestm, J, Lebesgue constants for an orthogonal polynomial Schauder basis, J Comp Anal Appl (2) 2000, 159-175

26. Girgensohn, R , Lebesgue constants for an orthogonal polynomial Schauder basis, submitted to Appl Comp Harm Anal

27. Привалов А А, О росте степени полиномиальных базисов и аппроксимаций тригонометрических проекций, Мат Заметки 42(1987), 207214 English translation m Math notes 48(1990), 1017-1024

28. Khabiboulline R , Polynomials Schauder bases with generalized Chebyshev orthogonality, East Journal of Approximation, Volume 9, Number 4, 2003, 443-458