Аналитические и гармонические всплески в многосвязных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ДУБОСАРСКИЙ Глеб Александрович

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВСПЛЕСКИ В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2014

2 2 МАЙ 2

005548409

Работа выполнена в отделе аппроксимации и приложений Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт математики и механики имени H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Черных Николай Иванович

Официальные оппоненты: Протасов Владимир Юрьевич.

доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, г. Москва

Захаров Виктор Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН, лаборатория нелинейной механики деформируемых твердых тел, г. Пермь

Ведущая организация: Воронежский государственный университет, г. Воронеж

Защита состоится 20 июня 2014 г. в 900 на заседании диссертационного совета Д 004.006.04 при Институте математики и механики имени H.H. Красовского УрО РАН по адресу: г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН и па сайте ИММ УрО РАН: http://wwwrus.imm.uran.ru/C16/Diss/default.aspx.

Автореферат разослал « / 3 > A-'OOt- 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

Скарин Владимир Дмитриевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Общая теория иен «лет-анализа началась в восьмидесятых годах прошлого века с работ И. Мейера, С. Малла. которыми был предложен метод построения ортогональных систем всплесков в пространстве £,-j(IR). Далее теория всплесков формировалась благодаря работам И. Добеппг, А. Коена, П. Ж. Лемарье, В. М. Лоутопа, С. Малла, И. Мейера и др. В России данной тематикой занимаются В. Г. Захаров, С. Ф. Лукомскнй, Т. П. Лукошенко, В. Н. Малоземов, И. Я. Новиков, А. П. Петухов, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Ю. Н. Субботин, Ю. А. Фарков,' Н. И. Черных и др. В настоящее время теория всплесков продолжает активно развиваться. Вейвлетам посвящено множество статей и монографий.

Теория всплесков нашла применение Eia практике. Вейвлет-преобразование широко используется для анализа сигналов, очистке сигнала от шума и сжатия изображений с потерями. Наиболее известные примеры вейвлетной компрессии — форматы JPEG 2000, DjVu. Также теория всплесков нашла применение и п теоретической математике. Теория всплесков позволяет полностью охарактеризовать такие пространства, как пространства Бесова, Соболева и Лизоркина-Трнбеля. На основе всплесков строятся базисы в различных пространствах. Ал. А. Привалов, М. А. Скопина, Р. А. Лоренц и А. А. Саакян построили базисы алгебраических и тригонометрических многочленов с минимально возможным ростом степеней в пространствах непрерывных функций на отрезке и непрерывных периодических функций на отрезке. Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных построили базисы всплесков пространств Харди аналитических и гармонических функций в единичном круге и пространств типа Харди аналитических и гармонических функций в центральном и нецентральном кольцах.

Достоинством базисов всплесков является их простота. В пространстве непрерывных функций на отрезке были ранее построены и другие ортогональные базисы. Например, Ф. Франклин построил базис, который иолуча-

ется за счет ортогонализации Грама-Шмидта относительно интегрального скалярного произведения специальной системы кусочно-линейных функции. В пространствах аналитических функции в круге и непрерывных в его замыкании строились базисы на основе системы Франклина или сплайнов в работах С. В. Бочкарева, 3. Вронича, Ю. Н. Субботина , 3. Чисельского. Однако, все эти базисы имели более сложный вид. чем базисы всплесков.

Цели и задачи исследования. Главной целью настоящей работы является построение аналитических и гармонических базисов всплесков в пространствах типа Харди аналитических и гармонических функций в области, ограниченной несколькими окружностями, и исследование скорости сходимости рядов всплесков.

Методы исследования. В диссертации использовались методы комплексного анализа и теории функций.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации, изложенные ниже в разделе «Основные результаты», являются новыми в теории всплесков и теории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций.

Теоретическая и практическая значимость работы. Построены аналитические и два вида гармонических всплесков в области, ограниченной несколькими окружностями. Эти всплески образуют базис пространств типа Харди аналитических и гармонических функций соответственно. Тем самым, в диссертации продолжены исследования по построению базисов в пространствах аналитических и гармонических функций. Сделаны оценки скорости сходимости рядов по построенным всплескам, пз которых, в частности, следует, что для аналитических и гармонических функций с непрерывными граничными значениями соответствующие ряды сходятся равномерно в замыкании области. Построенные гармонические всплески могут быть использованы для решения задачи Дирихле, возникающей на практике. Эти всплески дают простой метод для численного решения задачи Дирихле. Известные интегральные формулы для решения задачи Дирихле имеют неограниченные ядра вблизи границы области и поэтому не

могут быть использованы для определения решения вблизи границы из-за возникающей большой погрешности. Ряды гармонических всплесков сходятся равномерно в замыкании области, что дает возможность численно определять значения решения задачи Дирихле рядом с границей области.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9|. Из них статьи [1-4| опубликованы в изданиях из списка, рекомендованного ВАК. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на летних Школах С. Б. Стечкина по теории функции (Миасс, 2011, 2012, 2013); всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и се приложений» (Екатеринбург, 2011, 2013); международной конференции «Wavelets and applications» (Санкт - Петербург. 2012); международной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2013); международной конференции «Боголю-бовскне чтения DIF-2013» (Севастополь, 2013) и на совместных семинарах отдела теории приближения функции и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 141 страница. Список литературы содержит 52 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В статье1 Ю. Н. Субботина и Н. И. Черных были построены анали-

1 Субботин ¡0. П., Черных П. И. Всплески периодические, гармонические и аналитические в круге с нецентральным отверстием // Труды Международной летней математической Школы С. Б. Стечкина по теории функций. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 129-149.

тические и гармонические всплески в единичном круге и в центральном кольце. С помощью конформного отображения всплески в центральном кольце были перенесены ira случаи нецентрального кольца. Все упоминаемые в дальнейшем результаты Ю. Н. Субботина и Н. И. Черных содержатся в вышеназванной статье. В главе 1, на основе аналитических всплесков Ю. Н. Субботина и Н. И. Черных, построен базис пространств типа Харди аналитических функций в области, ограниченной несколькими окружностями, без применения конформного отображения. Это приводит к более простым базисным функциям и формулам для коэффициентов разложения по всплескам, чем в случае нецентрального кольца.

Через С, (а) и В, {а) обозначим окружность с центром в точке а радиуса г и открытый шар, который она ограничивает. В диссертации рассматривается область комплексной плоскости К, ограниченная окружностями CrQ(z о) = Ci(0), CM, Or2(z2), ■.. ,СГт(гш), причем все замкнутые шары B,k{zk), к = 1,т попарно не пересекаются и лежат строго внутри шара £?i(0). В первой главе рассматриваются пространства типа Харди однозначных аналитических функций Нр(К), 1 < р < оо. Обозначим через р минимум из попарных расстояний между компонентами границы области К — окружностями Cnj(zo), Cri(zi),..., C,m(zm). При 1 < р < ос будем считать, что /(г) € HV(K), если f(z) аналитическая в А' и выполнены требования

2тт

sup [ \f(reu)\pdx < ос, (1)

1-£><7 <1 J

о

sup / If(zi + reix)\4x < ос, I = (2)

п<г<п f p J

О

В диссертации установлено, в качестве простого следствия из теорем П. Фату, что если 1 < р < оо и выполнены условия (1) и (2), то функция f(z) почти всюду на границе области К имеет граничные значения /(г^ + г^е"), определяемые как пределы Пш,.^,^ f{z^ + re"), k = 0, т. При р = оо здесь полагаем f(z) G если /(г) аналитическая в К и непрерывна в К.

В главе 2 диссертации рассматриваются пространства типа Харди ве-щеотпегпгспначных гармонических функций hp(K), 1 < р < оо. Они определяются практически так же, как классы [[¡„(К), 1 < р < оо. При 1 < р < ос пространство hv{K) вводится как пространство гармонических в К функций f{z), удовлетворяющих условиям (1) и (2). Полагается, что /(г) 6 ЬХ(К), если f(z) гармоническая в К и непрерывна в К. Будем считать. что /(г) Е hi(K), если гармоническая функция f(z), удовлетворяет условиям (1). (2) и следующему условию:

2тг

J |f{zi + re") - /(г, + r,eix)\dx —»• 0, гrt, I= О^п. о

В пространствах Н,,(К) и ht,{K) при 1 < р < оо вводится норма по правилу

11/11, = ELoll/U- +ne'r)\\Lp, где \\h\\Lp = (± jf \h(x)\"dx) ^ \\h\\Lx = maxxe[02>ri |/i(x)|.

Рассмотрим функцию определенную Д. Оффином и К. Осколко-

вым. Для этого приведем неотрицательную четную дважды непрерывно дифференцируемую функцию Meiiepa которая удовлетворяет требо-

ваниям:

ф{и) = 1 при М <

\ II 1 + £

!р(ш) = 0 при |ш| > —— •

+ - \ нечетна при <

где 0 < с < —. Функция 0(uj) неотрицательна и определяется соотношением 3

Заметим, что supp 0{и:) С jw 6 R : —-— < < 1 + 5 j и 0(tu) — дважды дифференцируемая функция.

Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных построили всплески Wj¡t(x) и Wjm(x), являющиеся модификацией периодических всплесков, порожденных функцией Мейера, следующим образом:

w0(i) = wn(x) = 0" eos их, и>п(х) = ^ sin их, (3)

/л'

v i/eN i/eN

где

0n = 2W*e(£)

и \ 2пи(к + 0.5) 1 sin -

2->

п = У~1 + к, j е N, к = 0,2i~l - 1. (4)

Так как носитель функции в(и>) компактен, то при достаточно больших и выполняется = 0. Таким образом, суммы в (3) фактически являются конечными.

Далее опишем основные результаты главы 1. На основе всплесков

{/Цг) = l,An(z) =21->/2£V0(£)Sin

n = + fc, j > 0, 0 < к < 2J_1|

Ю. H. Субботина и H. И. Черных, образующих базис пространств Харди в единичном круге, построен базис

{¿„(г) = 1, An{z), AnJ(z) = Ап (тг^) :/=U,neN) (5)

пространства НР(К), 1 < р < сю.

Функции /(z) € Нр(К), 1 < р < эо сопоставляется ряд

тс т

/(z) ~ «о,о + -ИиЛ*). (6)

п — 1 1=0

где коэффициенты вычисляются через граничные значения функции /(г) по формулам

<*n.t = (/(zjt + Пг" ), Л„./(г* + ri:e<x))Í2(,4),

1 Г2л -

СЛбОмл) = 1(х)д(х)с1х.

-71" J^\

Частичная сумма ряда по всплескам (5) вводится по следующей формуле:

71 — 1 Ш

5„(г; /; Л) = а„,п + ^ Е (7)

и—1 ;=о

В диссертации доказано, что суммы 5г,(г;/; Л) сходятся к функции /(г) из пространства 1 < р < оо по норме || • ||;). Значит, система функ-

ций (5) образует базис пространств Нр(К), 1 < р < оо. Также оценивается скорость сходимости сумм 5п(г; /; Л) к функции /(г). Для формулировки теоремы об оценке скорости сходимости рядов всплесков вводится несколько следующих обозначении.

Через Шп{х\ /) обозначим частичные суммы разложения функции /(х) £ ¿[[0,27т] по всплескам (3):

п - 1 п - I

И '„(я;/) = ш^х)^,, /)й2 + (8)

/=о / :

где = ^ /(х)д(х)с1х. Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных доказа-

ли. что частичные суммы №"„(•; •), определенные в (8) и действующие как линейные операторы из пространства ¿,,[0,27г] в пространство ¿,,[0,27т], 1 < р < оо, имеют нормы ||И''Т1||£, , ограниченные одной и той же константой.

Через г, 0 < т < 1 обозначим величину

г = тах {| гь | + гк, Гк -—- : к,1 = Т~т, к (9)

I 1-12*1 \Zk-zi\-ri )

Обозначим через К& при 0 < 6 < 1 область, ограниченную окружностями СДО) и СГк/А(гь), к = 1,7п, причем число 6 подобрано так, чтобы попарно непересекающиеся круги ВТк/ь{гк)-, к = \,тп лежали внутри ВДО). Эти требования равносильны следующим неравенствам, которым должно удовлетворять 6:

ы + к, 1 = 1^, кф1. (10)

о о

По числу д, удовлетворяющему неравенствам (10), определяется число rj, 0 < т^ < 1 следующим образом:

т6 = max{|zA.| + '-j, П --^-- к,1=Т~гп, к ^ l\. (11)

L д д - |zfc| \zk - z,| - п/д J

Введем также при числе 6, удовлетворяющем (10) и 1 < р < оо, норму

m

ll/IU = \\f(Se")hp + £ ||/(г' + ?e'X)IL • (12)

Через Enh(x)p в диссертации обозначена величина наилучшего приближения тригонометрическими полиномами степени не выше п функции h{x) в пространстве Lp[0,2л"]. Любое натуральное число п представимо в виде п = 2J_1 + к, 0 < к < 2jj е N, к е Z. По числу j, а также числу £, 0 < е < j, фигурирующему в определении функции в(ы), определяется число N по правилу

N = [2'_1(1 — е)|. (13)

Константы в оценках вида 0(ап),п —» оо в следующих теоремах зависят от геометрии области К и функции в(ш), если не оговорено обратное. Основным результатом главы 1 является сформулированная ниже теорема.

Теорема 1. Пусть аналитическая функция f(z) такова, что при s > 0, s 6 Z выполнено вложение f^(z) 6 Н,,(К), l<p<oou0<u<s, и G Та. Пусть Sn(z;/; А) — частичная сумма (7) ряда всплесков (6). Тогда при числе 6, 0 < <5 < 1, удовлетворяющем неравенствам (10) и числах т и N, определенных по формулам (9) и (13), справедлива оценка

m /.- \ дг

52Ех+'->/Ы(ъ + гке*)р) +o(Liy||/M||I), N>s, (14)

+ fe=i

где. константа С ,зависит только от. функции в(ш) = 9г(ш), числа а и геометрии области К.

Если s = и = 0, то справедлива следующая оценка с явно выписанной константой:

л

||/ - S„(-; /; Л) ||,,, < (||U^||tp + 1)- arctg (¿л'-') V ENf(zk + rke%+

7Г 1—'

А; = П

+ 0(TSN)\\/\\P, п->ос, (15)

где числа 5 и тл- определены в (10) и (11). Через ЦИ^Ц^ обозначена норма оператора, частичных сумм всплесков Wn{-\-) : Lv[0,2tt] —> Lp[0, 2л], введенных в (8).

Пусть чиыо 3 удовлетворяет ■неравенствам (10) и выполнены неравенства 6 < 6' < 1, т,огда

( dY ( Ft \ С ! Г Л\\\ 00' Р = °°.

шах — (/ г) - 5„(г;/; Л)) = (

z£K6 \"г/ 1 ),П->0О, 1 < р < ОО,

где область k's определена выше неравенств (10), и константа в 0(5'п + Tg,) зависит от геометрии области К и чисел <5 и 6'. Таким образом, внутри области К частичные суммы Sn{-\ /; Л) сходятся к функции f(z) со скоростью геометрической прогрессии.

Теорема 1 соответствует теореме 1.3 диссертации. При 5 = 1 из нее следует, что система функций (5) образует базис пространств Hr(K), 1 < р < оо. Из принципа максимума модуля получаем, что при /(г) G НЖ{К) выполняется

т

max |/(2)i = шах | J(zk + rfce")| < V || f(zk + П,е")\\ьх = ll/IU--ci k=0,mxe 0,2jt| f—f

Таким образом, из (14) при 6 = 1 следует, что при /(г) € НХ(К) частичные суммы ,$'„(•; /; Л) сходятся к f(z) равномерно в замыкании К.

Опишем теперь результаты главы 2. В этой главе построены две системы гармонических всплесков.

Рассматривается система функции 1 .,, . 1п I г —

{Л8(г) ее /¿(г) = = Яег\ А£(г) = /ш1,

/г'Дг) = \ Л[.(г) = -'"1(737)*. 1 = Ьтлк € Г«}. (10)

Для гармонических в области К функций и(г)./о(г) вводится скалярное произведение (•, •) следующим образом:

2тг

,п

(«'. V) / м(г, + + а,">/.г. (17)

4=о п {

Затем изучается система {/к}кгК, получающаяся методом ортогонализа-ции Грама-Шмидта системы (1С) в следующем порядке:

А°(г), 1г\(2)Д(г),..., Ар), А'Л*), Функции и{г) е АД/С), 1 < р < оо сопоставляется ряд

эс

и(г)~53л(г)(и,л.) (18)

4 = 1

В диссертации используется следующее представление гармонической функции, доказанное Г. М. Голузппым".

Утверждение. Пусть функция а(г) является гармонической в К. Тогда и(г) однозначным образом предапавима в виде

гп т.

и{г) = щ(г) + А к 1п\г - гк\, (19)

Л-0 А=1

1Голузин Г. М. Решение основных плоских задач математической физики для случая уравнения Ьар1асе'а и мпогосвязных областей, ограниченных окружностями (метод функциональных уравнений) // Мат. сб. 1934. Т. 41, № 2. С. 240-270.

где Иц(г) гармоническая в 61(0), — в С \ ВГ|,(г(.), 1ц(оо) =

Пш-.+зс и(г) = О, А; = 1, т, и А^,к = 1,т, — некоторые вещественные константы.

Пусть гармоническая функция и(г) € И,,,(К). В диссертации через

обозначена функция «о и через и"к,к = 1 ,т функция Лд1п|г —

причем и/,(г) и А^ — это соответствующие функции и константы перед логарифмами разложения (19) функции и(г).

Вводится псевдоскалярное произведение функций и 6 /¡,;,(/\), 1 < р < оо, V £ /гэс(Л') с помощью разложения (19) функции у{г)

2тг

"' 1 С

(и, V) = - / + ^е")«^* + (20)

Заметим, что произведение (•,•) несимметрично и, следовательно, не является скалярным. Построена система функций такая, что 9к(г),к 6 N является линейной комбинацией функций 1ц{г),1 = 1, Л; системы (16) и выполняется условие

|(М)1 =4,ь к>1. (21)

Система функций [дк}кех построена с помощью аналога ортогоналнзации Грама-Шмидта для несимметричного произведения (-, •). В диссертации не установлено, что (и, и) > 0, поэтому в (21) поставлен модуль.

Гармонической функции и,(г) €Е Лр(Л'), 1 < р < оо сопоставляется ряд

с»

и-^РкЯк- (22)

Достоинством системы {дк\кеУ является то, что коэффициенты в к ряда (22) вычисляются по формуле

Рк = (и, к) ■■■■ V / ы(г, + гг,;")7/ (.г)(/.г,

где 1к{г) — определенная в параграфе 2.2 линейная комбинация (функций /г,, а = 1, А:, Т^(х) — специальные тригонометрические полиномы,

определяемы по функции t^(z). Коэффициенты ряда (22) являются более простыми для вычисления, чем коэффициенты ряда (18). Действительно, справедливо равенство

(«, Л) = it - Г + neU)fk(z, + r/e")di.

В случае, когда К не является центральным кольцом, функция fk{zi + ne"'), в отличие от Tf(x), не является тригонометрическим полиномом и имеет более сложный вид. Однако, построение системы {gk}hei\' требует большего числа вычислений, чем системы {fk}keN-

В главе 2 делается оценка скорости сходимости рядов (18) и (22), из которой следует, что системы функций {fs(z)}seN и {<7я(г)}леи образуют базис пространств Л7,(/\). 1 < р < оо с нормой || • |1р. Устанавливается существование гармонических функций с расходящимися рядами по системам функций {/s(2)}îsN и {g.,(z)}seN в пространствах hi{K) и hjo(K) по соответствующим нормам.

Базисы пространств hi(K) и hx(K), а также и пространств h,p(K), 1 < р < оо, образуют построенные в главе 2 гармонические всплески. Опишем их построение. При каждом I = 0, m по системе функций {/oi/n(z)>/«(-)> n S N,! = 0, т} и коэффициентам в", определенным в (4), построены системы гармонических функций {F(lh Fr[(z), F„(z), п g N} по правилу

F'(z) = f'(z), {F\(z) = ^lf\(z). (23)

vEN

Гармонической функции u(z) G hp(K) сопоставляется ряд

m tri эо

u(z) ~ F'(z)(u, F(j) + 53 53{Fj(Z)(u, Fi) + Fi(z)(u, Fj)} (24) /=0 /=(] < = 1

и вводится его частичная сумма и; F) следующим образом:

m m а -1

S^z; и: F) = 53 F,i(z)(«, F<) + 53 53{Fj(2)(u, F<) f Fj(z)(u, /?')}. (25) i-a i (i - i

Построена система функций {С1а,С1п(г),С!1п(г) а е 110 системе функции {у,',. <]1п{г), д1п{г) '■ п £ ^М 0,т} » коэффициентам 0введенным в (4), но формуле

С<(г) = д'0{г), С1п(г) = (26)

1/еМ

В диссертации гармонической функции и(г) е кр(К) сопоставляется

ряд

ос

и{г) ~ В'0С10(г) + + В'ДХг)}, (27)

П=1

I ^ м,

Во — 001 = <28)

¡/еп

и вводится частичная сумму (г; и; С) по правилу

7П 74 П— 1

«; С) = £ В'Си(г) + £ + ВД(г)}. (29)

1=0 (=0 «=1

Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных доказали, что нормы операторов частичных сумм IV,,: Ср[0, 2тт] —> Ьр[0,2ж], 1 < р < оо, обозггачасмые через II , ограничены одной константой. Поэтому из следующей теоремы,

доказанной в главе 2. при <5 = 1 следует, что каждая из систем функций

{^(з), : п 6 N,1 = {С1„С'п(г),д'п(г) : пв N. I = 07^},

является базисом пространств 11р(К), 1 < р < оо.

Теорема 2. Пусть функция и(г) Е НР(К), 1 < р < оо и число 6, 0 < 5 < 1 определяется неравенствами (10). Тогда при 5^(-;и) = 5,1,1 (•; и; Р) или 5" (•; гг) = (•; г«; (7) выполняется оценка

. I п

Ци - (•; и)||„., < -агс1г(йЛ'^1)(||И/,1||£р + 1) £ Едти(г, + г,е")р-| 71 1=0

+ о(лг4глЧглл')|М|„, п^ос, (30)

где сулимы Бп(-',щР) и 6,,1(-;и;С) определены равенствами (25) и (29), норма • и числа т, та- и Дг введены по формулам (12), (9), (11) и (13).

Пусть число д удовлетворяет неравенствам (10) и 5 < 5' < 1, тогда

, , ч п(Г/ ч, |0(й"л + г*), п -> ос, р = эо, гек* +4), п->эо, 1<р<оо,

где область К а определена выше неравенств (10), и константа в 0(5"1 + т^) зависит от геометрии области К и чисел 5 и д'. Таким образом., внутри области К частичные суммы (•; и) сходятся к функции и(г) со скоростью геометрической прогрессии.

Теорема 2 соответствует теореме 2.5 диссертации. Из принципа максимума модуля следует, что при и(г) £ кх(К) выполняется тах^^ |?<(-г)| < 1М|эо-Таким образом, из оценки (30) при 5 = 1 следует, что при и(г) € НХ(К) частичные суммы и 5'"(-;и;С) сходятся к и(г) равномерно в

замыкании К.

Задача Дирихле заключается в определении гармонической функции внутри области по ее известным граничным значениям. Отметим, что ряды всплесков (24) и (27) можно использовать для решения задачи Дирихле в области, ограниченной несколькими окружностями, поскольку для построения рядов нужно знать лишь граничные значения гармонической функции. При этом от граничных значений достаточно требовать их суммируемость.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) Построены аналитические всплески, образующие базис пространств типа Харди аналитических функций в области ограниченной несколькими окружностями, и получена оценка скорости сходимости частичных сумм ряда всплесков н их производных.

2) Построены гармонические всплески ортогональные на границе области, ограниченной несколькими окружностями, и образующие базис пространств типа Харди гармонических функций в этой области. Изучена скорость сходимости рядов по этой системе всплесков.

3) На основе методологии, развитой при конструировании ортогональных всплесков, в диссертации построены неортогональные гармонические

всплески, образующие базис пространств типа Харди гармонических функций в мпогосвязиых областях, ограниченных несколькими окружностями, и исследована их скорость сходимости. Коэффициенты разложения гармонической функции по этим всплескам вычисляются простым образом как интегралы от произведения граничных значений этой функции на тригонометрические полиномы.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

[1] Дубосарский Г.А. Гармонические всплески в многосвязной области с круговым границами// Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 99-114.

[2| Дубосарский Г.А. Гармонические всплески в многосвязной области с круговым границами и их приложения к задачам математической физики// Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 2. С. 109-124.

[3] Дубосарский Г.А. Аналитические всплески в области с круговыми границами // Доклады Академии наук. 2013. Т. 448, № 4. С. 384-380.

[4] Дубосарский Г.А. Аналитические всплески в многосвязной области с круговыми границами // Математические заметки. 2014. Т. 95, Х°-3. С. 400 - 416.

Другие публикации

[5] Дубосарский Г.А. Аналитические и гармонические всплески в области с круговыми границами // Тезисы Международной 42-й молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 30 января - 6 февраля, 2011). Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. С. 128-130.

[6] Дубосарский Г. А. Неортогональные гармонические всплески в многосвязной области // Тезисы Международной 44-й Всероссийской молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург. 27 января - 2 февраля, 2013). Екатеринбург: И ММ УрО РАН, 2013. С. 256-258.

[7| Дубосарский Г. А. Гармонические всплески в миогосвязпой области с круговыми границами// Труды конференции «Боголюбовские чтения DIF-2013» (Севастополь, 23-30 июня, 2013). Киев: Институт математики ПАН Украины, 2013. С. 234.

[8| Дубосарский Г.А. Гармонические всплески в многосвязной области и их приложения к решению задач математической физики//Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: Казанский государственный университет. 2013. Т. 46. С. 182-183.

[9] Dubosarskij G. А. Harmonie wavelets in multiply connected domain with circular boundaries // Тезисы конференции «Wavelets and applications» (Санкт-Петербург, 8-15 июля, 2012). Воронеж: Воронежский государственный университет, 2012. С. 26-27.

Подписано в печать 17.04.2014 Формат 60x84 1/16 Бумага писчая. Печать на ризографе. Усл.печ.л. 1,3 Тираж 100 экз. Заказ 5077.

Отпечатано в типографии ООО «Издательство УМЦ УПИ» г. Екатеринбург, ул. Гагарина, 35а, оф. 2 Тел.: (343) 362-91-16, 362-91-17

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

им. H.H. Красовского

На правах рукописи УДК 517.538.5

04201459705

Дубосарский Глеб Александрович

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВСПЛЕСКИ В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — вещественный, комплексный и

функциональный анализ

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Н.И. ЧЕРНЫХ

Екатеринбург - 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................................... 3

Глава 1. Аналитические всплески в пространствах типа Харди 29

1.1. Пространства типа Харди аналитических функций ..................................29

1.2. Построение аналитических всплесков ....................................................................31

1.3. Вспомогательные результаты ......................................................................................38

1.4. Теорема о базисе всплесков в пространствах типа Харди ......................47

1.5. Оценка скорости сходимости ряда всплесков ..................................................50

Глава 2. Гармонические всплески в пространствах типа Харди 69

2.1. Пространства типа Харди гармонических функций ..................................70

2.2. Две вспомогательные гармонические системы ................................................73

2.3. Вспомогательные результаты ......................................................................................78

2.4. Асимптотика функций из вспомогательных систем ....................................99

2.5. Сходимость рядов по вспомогательным системам ......................................105

2.6. Гармонические всплески ....................................................................................................114

Заключение......................................................129

Обозначения диссертации .......................................131

Литература ......................................................136

Список публикаций по теме диссертации........................140

Введение

Актуальность темы исследования. Данная диссертация посвящена построению базисов аналитических и гармонических всплесков и их приложению к решению задачи Дирихле в многосвязных областях. Мы коснемся следующих аспектов данной проблематики: теории всплесков, истории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций и результатов, относящихся к нахождению решения задачи Дирихле. Поскольку в диссертации используется метод ортогонализации, во введение включена история развития проблематики ортогонализации аналитических и гармонических многочленов на одном и нескольких контурах комплексной плоскости.

В 80-х годах в работах С. Малла [32] и И. Мейера [34], [35] был предложен общий метод построения ортогональных систем вейвлетов в пространстве 1,2(К). Термин «wavelet» является английским аналогом французского «ondellete». В русскоязычной литературе устоялся предложенный К. И. Оскол-ковым термин «всплеск». Всплеск-анализ сформировался благодаря работам И. Добсши, А. Коена, П. Ж. Лсмарье, В. М. Лоутона, С. Малла, И. Мейера и др. В России данной тематикой занимаются В. Г. Захаров, С. Ф. Лукомский, Т. П. Лукошенко, В. Н. Малоземов, И. Я. Новиков, А. П. Петухов, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Ю. Н. Субботин, Ю. А. Фарков, Н. И. Черных и др. Всплескам посвящены множество монографий. В том числе монографии И. До-беши [12], С. Малла [17], И. Мейера [34], И. Я. Новикова, М. А. Скопиной, В. Ю. Протасова [19], А. П. Петухова [21], К. Чуй [28].

Классическая система ортогональных всплесков на вещественной оси строится в два этапа. Вначале находится функция (р(х), по которой определяются ее кратномасштабные сжатия и сдвиги tpj^ix) — — к). Функция <р(х) подбирается так, чтобы система {<fij,k(x) '• 3-> к £ Щ являлась ортонорми-рованной относительно скалярного произведения (/,д)ь2(ш) = J^f(x)9{x)^x-Система функций {ipj^{x) : j, к 6 Z} порождает следующие подпространства

пространства 1/2(М):

Полагается, что пространства {У^}^ образуют кратномасштабный анализ пространства 1/2 (М), если они удовлетворяют условиям

1 (0.1)

2) = (0.2) з

3) П ^ = {°>-

з

Функцию <р(х), порождающую кратномасштабный анализ, называют масштабирующей.

По масштабирующей функции (р(х) подбирается функция ф(х) и по ней определяются функции ф^¡.(х) = 2^2ф{Ух — к). Функция ф(х) подбирается так, чтобы пространства

= 1лп{фу,к(х) : к е X},з е Z

были ортогональны пространствам и выполнялось равенство

1^+1 = У5 + 1¥1. (0.4)

Система функций : к Е Ъ,] б Щ называется всплесками.

Используя классические всплески на вещественной оси, И. Мейер в [34] построил периодические всплески на отрезке [0,1]. Для этого по функциям с) и ф^к(х) были определены их 1-псриодизации по формулам

1>е1

Из ортонормированности систем {^Pj,k{x)} и {'фj,k{x)} вытекает ортонормиро-ванность каждой из систем {Ф^ж) : 0 < к < 23,3 е К} и {Ф0,оМ = 1, : 0 < к < 2^з £ N1 относительно скалярного произведения

р'2тг .

и,д)ь2= / /(х)д(х)(1х. Уо

Из свойства V} С и ортогональности пространств и И^- следует, что пространства

V} = Ьш{Ф^(я;) :0<к< € N. Ж,- = 1лп{Ф^(ж) : 0 < А; < 26 Н}

удовлетворяют соотношениям

1) ^ С , з > о,

а также ортогональность пространств У^- и И^-.

Если всплески порождены функцией Мейера ф(х) = /ф£(х) при

О < £ < 1/3, то, как показали в Д. Оффин и К. И. Осколков в [37], они образуют базис пространств Ьр[0,1], 1 < р < оо и С[0,1]. Чтобы ввести функцию ф(х), рассмотрим неотрицательную четную дважды непрерывно дифференцируемую функцию Мейера ф{си), которая удовлетворяет требованиям

1-е

ф(и) = 1 при <

ф{и>) ----- 0 при |си| > 1\ 1

2 :

1 + е

р (и + - )--нечетна при |а;| <

\ 2 / 2 2

где 0 < е < Функция 6(ш) неотрицательна и определяется соотношением

о

Заметим, что

supp 0(и) с е R : < М < 1 + е}

и в (и) — дважды дифференцируемая функция. Функция в(х) получается по формуле в(х) — fR9(t)e2mxidt. Функция ф(х) определяется по правилу ф{х) = в(х-\).

Через Сг(а) и Вг(а) обозначим окружность с центром в точке а радиуса г и открытый шар, который она ограничивает. Рассматривается область комплексной плоскости К, ограниченная окружностями Cro(zo) — Ci(0), Cri(z\), Cr2(z2)i - • ■, Crjn(zm), причем все замкнутые шары Bn(zk), к = 1, т попарно не пересекаются и лежат внутри шара В\(0).

В первой главе рассматриваются пространства типа Харди однозначных аналитических функций НР(К), 1 < р < оо. Пространства типа Харди являются естественным обобщением классических пространств Харди в единичном круге. Обозначим через р минимум из попарных расстояний между компонентами границы области К —- окружностями Oro(zo)) CVi(<2!i), • • •} Crm(zm

). При

1 < р < оо будем считать, что f(z) € Нр(К), если f(z) аналитическая в К и выполнены требования

27Г 2тг

SUP / If(reix)\pdx < оо, sup / |f(zi + re2X)\pdx < оо, / = 1,ш. 1-р<Г<1 J ri<r<ri+p J

О О

(0-7)

В диссертации установлено, в качестве простого следствия из теорем П. Фату (см. [11, Глава 9]), что если 1 < р < оо и выполнены условия (0.7), то функция f(z) почти всюду на границе области К имеет граничные значения f{zk+ruelx), определяемые как пределы limr_>.rjt f{zk + ге}х\ к — 0, т. При р — оо полагаем f(z) G Н^К), если f(z) аналитическая в А" и непрерывна в К.

В главе 2 диссертации рассматриваются пространства типа Харди веще-ственнозначных гармонических функций hp(K),l < р < оо. Они определяются практически так же, как классы НР(К), 1 < р < оо. При 1 < р < оо

пространство hv{K) вводится как пространство гармонических в К функций /(z), удовлетворяющих условию (0.7). Полагается, что f(z) € /^(А"), если f(z) гармоническая в К и непрерывна в К. Будем считать, что f(z) G hi(K), если гармоническая функция f(z), удовлетворяет условию (0.7) и следующим условиям:

2тг

J | f(zl + reix) - f(Zl + neix)\dx 0, r rh l = O^ü.

o

В пространствах Hp(K) и hp(K) при 1 < р < ос вводится норма следующим образом:

т

ll/llp-Ell^ + ^ÓIk, (0-8)

Jfc=о

где \\h\\Lp = (¿/027Г|h(x)\pdx^ ^, \\h\\Loo = тахже[0,27Г] \f(x)\. Отметим, что пространства НР(К) и hp(K) были введены ранее в работе [23] для случая центрального кольца. В диссертации сделано обобщение этих пространств на случай области К.

В работе [24] Ю. Н. Субботина и Н. И. Черных на основе периодических всплесков построены всплески, также образующие базис пространств Lp[0, 2тг], 1 < р < оо и С[0, 27г]. Всплески Wjtk(x) и щь(х) были построены по функции Ф(ж), порожденной функцией Мейера ф(х) по формуле (0.5), следующим образом:

функция Wj¿(x) такова, что wj^(x) является к ней тригонометрически сопряженной. Выпишем эти всплески в явном виде:

w0(x) = wn(x) = cos = Е ^ sin VX)

V veN ueN

где

&п = 2( 2-j)/*0(Pi sin 27ri/(fc + 0.5) ^ ri = 2i-i+Jfcj k__z o,l,..., 2^-1.

\ a4' / ^^

(0.10)

Так как носитель функции 9 (и) компактен, то при достаточно больших V выполняется 9™ = 0. Таким образом, суммы в (0.9) фактически являются конечными.

На основании всплесков (0.9) в работе [24] построен базис пространств Харди гармонических и аналитических функций в единичном круге, а также в пространствах ПР(К), 1 < р < оо и кр(К), 1 < р < оо в случае, когда область К является центральным кольцом. Гармонический базис в единичном круге получается за счет гармонического продолжения всплесков (0.9) внутрь единичного круга, а далее по гармоническому базису строится аналитический. По базисам в единичном круге определяются базисы в центральном кольце. Далее полученные базисы были перенесены на случай нецентрального кольца с помощью конформного отображения, представляющего собой дробно-рациональную функцию.

Поскольку построенные в диссертации всплески образуют базисы пространств типа Харди аналитических и гармонических функций, приведем историю построения базисов в различных пространствах аналитических и гармонических функций.

В 1928 году Ф. Франклин в [31] построил базис пространства непрерывных на отрезке функций. Данный базис получается за счет ортогонализации Грама-Шмидта относительно интегрального скалярного произведения специальной системы кусочно-линейных функций.

Обозначим через Лп пространства аналитических функций в единичном круге К = {г : < 1}, имеющих г?-ую непрерывную производную в замыкании круга К с нормой

Н|/|| = тахтах

к=0,п геК

Таким образом, сходимость в пространстве Лп есть равномерная сходимость в замыкании круга К всех производных, начиная с нулевой по п-ую.

В своей известной монографии [30] С. Банах в 1932 году поставил во-

прос о том, существует ли базис в пространстве А0. Положительный ответ на этот вопрос был дан в статье С. В. Бочкарева [7] в 1974 году. В ней был построен базис с помощью аналитического продолжения внутрь круга К специальных функций, построенных но системе Франклина. После этого результата 3. Чисельский в 1974 "году в [29] на основе сплайнов построил базис пространств аналитических функций нескольких комплексных переменных, имеющих непрерывные производные в замыкании К порядка не выше п. В частности, 3. Чисельский построил базис пространства Лп при любом п. Однако базис 3. Чисельского не обладал свойством ортопормированносги. В 1976 году Ю. Н. Субботин [41] и в 1979 году 3. Вронич [43] построили ортогональные базисы сплайнов пространств Лп. В уже упоминавшейся работе [24] Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных построили базисы всплесков более простого вида пространств Харди аналитических и гармонических функций в единичном круге и пространств типа Харди аналитических и гармонических функций в центральном и нецентральном кольцах. В частности, Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных построили базисы всех пространств Лп, не зависящие от п.

Поскольку всплески 2 главы могут быть использованы для решения задачи Дирихле, приведем описание результатов, полученных в этой области.

Задача Дирихле состоит в определении гармонической функции в области по ее известным граничным значениям. Известно, что в случае, когда

граница области конечной связности дважды непрерывно дифференцируема и граничные значения непрерывны, то решение задачи Дирихле существует и единственно (см. [8], с. 415-421).

Гармоническая функция и{£) восстанавливается через свои граничные значения на кривой Г, являющейся границей области по формуле

где К(х, в) — ядро, которое определяется единственным образом и зависит от геометрии области И. Ядро К(х, 5) может быть выражено через функцию

(0.11)

Грина по формуле

где п — нормаль единичной длины, направленная внутрь В. Однако, за исключением случаев простейших областей, вычисление функции Грина представляет собой трудную задачу.

Задача названа в честь П. Дирихле, поскольку он предложил метод вариации. Вариационный метод основан на том, что среди всех функций и{г), определенных в В и принимающих наперед заданные значения на Г, решение задачи Дирихле минимизирует интеграл

В методе потенциалов (см. [8], с. 415-421) решение задачи Дирихле ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, определенной на Г. Для этой плотности составляются интегральное уравнение Фредголь-ма, которое по теореме Фредгольма разрешимо. Однако в явном виде искомая плотность не выписывается.

В 1890 году А. Пуанкаре в [39] предложил метод выметания. Этот метод основан на том, что область комплексной плоскости можно представить в виде счетного объединения шаров. А. Пуанкаре предложил метод построения потенциала в области, являющейся конечным объединением шаров и получил решение в общем случае, устремляя количество шаров к бесконечности.

О. Перрон в 1923 в статье [38] опубликовал метод решения задачи Дирихле, заключающийся в построении последовательности супергармонических и субгармонических функций, общим пределом которых является искомое решение задачи Дирихле.

В случае, когда В является кругом, формула (0.11) превращается в формулу Пуассона:

>2тг

и(еи)Р(гех~*)(И, 0 < г < 1,

где Р(ге1х) = ~ ядро Пуассона.

В центральном кольце ядро К{х) в) может быть найдено по формуле Билля (см. [6], С. 237-240).

В случае многосвязных областей были предложены различные подходы к нахождению ядра К(х,в), которое однозначно определяется по геометрии области. В многих из следующих работ искалось решение задачи Шварца. Задача Шварца заключается в восстановлении аналитической функции (в общем случае, многозначной) в области но ее'вещественной части на границе. Если взять вещественную часть от полученной аналитической функции, то мы найдем решение задачи Дирихле. Таким образом, задача Шварца является более сложной задачей.

В работах [4,10,36] Г.'М. Голузина, И. А.Александрова и А. С. Сорокина, В. В. Митюшёва решение задачи Шварца в областях с круговыми границами находилось с помощью составления системы функциональных уравнений и последующего их решения методом последовательных подстановок. В статьях [1-3,20] Л. А. Аксентьева и Е. Л. Пацевич ядра интегральной формулы Шварца находились с помощью метода симметрии.

Полученные в работах [1-4,10,20,36] формулы для решения задачи Дирихле похожи, поэтому приведем только одну формулу в области К из работы [1]:

1 С °° / 1 1

К ) \2т Уг \г - ад г - Т&о))

-У'( 1--±=Ы},

где штрих после знака суммы означает, что в член ряда при к — 0 вычитаемое не входит, Ф(.г) — функция симметрии относительно окружности Со(1), являющейся внешней границей К\ Г — объединение всех граничных окружностей; функция Тк(г) является дробно-линейной функцией или сопряженной к ней, которая сопоставляет точке г точку, полученную путем последовательных симметрии относительно конечной последовательности граничных окружностей,

причем суммирование в формуле происходит по всем таким последовательностям любой длины п, занумерованным натуральными числами; ¿о — некоторая точка комплексной плоскости.

В [13] приводится решение задачи Шварца в многосвязной области, ограниченной конечным числом кривых. Ядра в этой работе выражались через ^-функцию Римана, которая представима в виде многократного ряда.

В главе 2 диссертации исследуется ортогонализация системы рациональных гармонических функций па нескольких окружностях, которая является новой и еще не была изучена. Поэтому мы приведем здесь историю развития родственной проблематики, касающейся ортогонализации многочленов и гармонических многочленов на одном и нескольких контурах.

Ортогональные на контуре комплексной плоскости многочлены были впервые исследованы Г. Сегё в 1921 году в работе [40]. Пусть на замкнутом спрямляемом контуре Г определена неотрицательная суммируемая функция равная нулю не более чем на множестве меры нуль. Ортонормированными по контуру Г с весом т](г) называются алгебраические многочлены Рп(г), имеющие положительный старший коэффициент и удовлетворяющие следующему условию:

Эти многочлены были подробно изучены Г. Сегё в случае, когда г)(г) = 1 и контур Г является аналитической кривой. В частности, в этой работе найдена асимптотика ортогональных многочленов и исследована сходимость рядов по этим многочленам к аналитической функции, но которой они построены. В монографии Г. Сегё «Ортогональные многочлены» результаты его работы [40] были обобщены на случай непрерывной положительной весовой функции г)(г) на кривой Г.

В работе П. П. Коровкина [16], вышедшей в 1941 году, уточняется асимптотика ортогональных многочленов в случае аналитической кривой, получен-

пая Г. Сегё. В статье [9] Я. Л. Геронимус изучил асимптотическое представление ортогональных многочленов при минимальных условиях на контур и весовую функцию, но без оценки остаточного члена. В 1966 году П. К. Су-етин в статье [25] нашел асимптотику ортогональных многочленов в случае, когда контур удовлетворяет условию Липшица и изучил сходимость ряда ортогональных многочленов внутри области, ограниченной Г, а также на самой кривой Г в области с достаточно гладкой г