О всплесках, локализованных по времени и частоте тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

003447353

Лебедева Елена Александровна

О всплесках, локализованных по времени и частоте 01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

з о сеймов

Воронеж 2008

003447359

Работа выполнена в Курском государственном университете.

Научный руководитель

доктор физико-математических иаук, профессор Новиков Игорь Яковлевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Скопнна Мария Александровна,

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится " 14" октября 2008 года в 15:40 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " сентября 2008 г.

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор Овчинников Владимир Иванович.

диссертационного совета

Ю. Е. Гликлих.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Всплсск-фуцкцисй (англ. wavelet) называется функцня ф, либо используемая в качестве ядра интегрального оператора

],к € Ъ пространства ¿2(К). В данной работе термин всплеск-фупкцня будет пониматься во втором смысле.

Теория всплесков — интенсивно развивающееся мсжнредмстпое направление, включающее в себя исследования из области теоретической математики, прикладной математики, информатики. Одни из первых примеров всплсско-вых базисов, построен И. Мейером в 1986 г. и носит его имя. В настоящее время семейство всилсск-фупкций Мейера и его модификации находят многочисленные применения в математическом и функциональном анализе, теории функций, численных методах решения дифференциальных уравнений, обработке сигналов и т.д.

Константа неопределенности служит количественным показателем в задачах, связанных с принципом неопределенности, используемом в квантовой механике, в гармоническом анализе, в задачах время-частотной локализации.

Константа неопределенности характеризует локализованность функции во временной (множитель Д^) и в частотной (множитель Д^) областях. Чем меньше каждый из данных множителей, тем лучше функцня локализована в соответствующей области. Так, для системы Хаара Д^ = -^/5/6, Д^ = оо, поэтому система Хаара лучше локализована по времени, чем но частоте. Система всплеск-функций Мейера является самым рашпш примером ортонор-мированного базиса пространства £2(К), элементы которого при достаточной гладкости имеют конечные константы неопределенности и очень хорошую локализованность во временной (если ф £ С01^®), то всплеск-функция

при соблюдении условия

либо порождающая ортопормировлииый базис ф}д,(ы) := 2^2ф(2:,ш — к),

убывает на бесконечности быстрее любой степени) и в частотной областях ( ф фшштиа) Хорошая время-частотная локализация — одно из основных преимуществ всплеск-функций Мейера. Но, насколько известно автору, до сих пор не был решен вопрос о нахождении вспдсск-функции Мейера с минимальной константой неопределенности и об уточнении нижней границы константы неопределенности для данного семейства всплеск-функций. Обобщения принципа неопределенности и уточнения констант неопределенности для различных нростанств можно найти в работах G. В. Folland, A. Sitaram, S. S. Goh, С. A. Micchclh, S. Dahlke, P Maass, G. Battle, К. К. Selig и др.

Важен вопрос не только хорошей локализованное™ одной всплеск-функции, по и локализованности целого семейства вснлсск-функций, в составе которого есть вснлсск-функцни с различными свойствами, например, всилеск-функции произвольной гладкости. Здесь необходимо отмстить работы С. К. Chui, J. Wang в которых для некоторых классических систем всплсск-фуцкций (всилеск-функции Добеши, Баттла-Лсмарье, Стремберга) и их обобщений доказан неограниченный рост константы неопределенности с увеличением гладкости. Однако в статьях И. Я. Новикова построено семейство модифицированных вснлеск-функций Добеши (всплсск-функцин Новикова), имеющих компактный носитель, причем локализовалпость но времени и частоте автокорреляционной функции, построенной для масштабирующей функции данной всплсск-фупкции, сохраняется с возрастанием гладкости. Возникает вопрос, можно ли построить семейство всплеск-функций, масштабирующие функции которых имеют как и сплайн-вснлески экспоненциальное убывание на бесконечности и убывание порядка 0(и>~1) при |о>| —> оо в частотной области, при этом константы неопределенности масштабирующих функций, а также самих всплеск-функций равномерно ограничены но параметру I, определяющему гладкость.

Цели работы.

• исследовать время-частотную локализацию системы вснлсск-функций Мейера. уточнить нижнюю границу констант неопределенности семейства вснлсск-функций Мейера, найти численно или аналитически всплеск-функцию Мейера с наименьшей константой неопределенности;

• построить новое семейство всплеск-функций, имеющих экспоненциальное убывание и константы неопределенности для масштабирующих функций н для всплеск-функций, равномерно ограниченные но параметру, определяющему гладкость.

Методика исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории функций н вариационного исчисления, в частности метод Ритца. Новизна методов состоит в применении средних Валле-Пуссена для построения масок ортогональных всплеск-функции

Научная новизна.

• уточнена нижняя граница констант неопределенности семейства всилеск-функций Мейера;

• прямыми методами найдена минимизирующая последовательность для всплеск-функции Мейера с наименьшей константой неопределенности;

• найдено дифференциальное уравнение с параметром, решение которого при определенном значении параметра минимизирует константу неопределенности вснлеск-функции Мейера в пространстве W^',

• построено новое семейство всплеск-фупкций, имеющих экспоненциальное убывание и константы неопределенности для масштабирующих функций и для всилсск-функцпй, равномерно ограниченные по параметру, определяющему гладкость.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования систем всплесков, в частности для изучения свойств локализованное™.

Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях- Recent Progress in Wavelet Analysis and Frame Theory, Бремен, Гсрмаппя (2006), Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2007), на семинаре по теории

функций н теории приближений С В. Коняпша в МГУ (2007), на семинаре ..Конструктивная теория функций и теория всплесков" в СПбГУ (2008).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]- [7]. Из совместных работ [1]-[4] в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 87 страниц состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, приложения и списка литературы, содержащего 35 источников. Окончания доказательств отмечены знаком И, окончания замечаний отмечены знаком □

Основное содержание работы.

Работа организована следующим образом. В главе 1 содержатся обозначения и вспомогательные результаты из теории всплесков и теории сплайнов, необходимые для изложения основного материала

Глава 2 посвящена проблеме нахождения всплеск-функции Мейера, имеющей наименьшую возможную константу неопределенности.

В §2 1 получено упрощенное выражение для константы неопределенности всплеск-функцни Мейера. На его основе проведена оценка ее нижней границы и построена минимизирующая последовательность Рнтца. Пусть в — функция, определенная па отрезке [0,7г/3], причем 0(0) = 0, в{тх/А) = 7г/3 и 0'(л"/3) = 0. При условии непрерывной дифференцируемое™ функции 0, в е О1 [0,7г/3] (которое может быть при необходимости заменено более общим в £ И^О, 7г/3]) квадрат копстаиты неопределенности всплсск-фупкции Мейера, заданной функцией в, может быть записан в виде

= ^^ ~ """(^И)^ /(0'М)2^-

с областью определения

Квадрат константы неопределенности масштабирующей функции Мейера имеет вид

= ^М9) МЩ<»))<ь) ^ (б'И)2

Данные выражения позволяют существенно улучшить нижнюю границу для констант неопределенности семейства всплеск-функций Мейсра. Справедлива

Теорема 1 Имеет место оценка

21ТГ*

V > -32".

Доказательство следует из неравенства Коши-Бупяковского Полученная для квадрата константы неопределенности всплеск-функции Мейсра оценка значительно точнее не только универсальной оценки составляющей содержание принципа неопределенности Гсйзеиберга, но и оценки принадлежащей G. Battle, найденной для константы неопределенности произвольной ортогональной всплеск-функции с нулевым частотным центром. Как следует из

четности функции

и определения частотного центра, всплеск-функция Мейсра имеет нулевой частотный центр.

Для минимизации константы неопределенности используется следующая модификация метода Ритца. Рассмотрим функционал I, заданный на подмножестве Е нормированного функционального пространства G Пусть Е„(п G N) — подмножества множества Е, элементы которых — функции, зависящие от К(п) параметров ai, ..., ащ,^, причем К{п) < К(п+ 1) при n£N Из последнего соотношения следует, что Еп С Еп+\ при n S Е Определим тп. 1{ти) = inf 1{т) Справедлива

теЕп

Теорема 2 Пусть

1) функционал I непрерывен относительно нормы || • ||с;

2) функционал I ограничен снизу,

3) UueN Еп Э Е;

4) последовательность существует, то есть на каждом лшоэ/се-стве Еп функционал I достигает своего наименьшего значения

Тогда [тп)™=1 — минимизирующая последовательность, то есть

lim 1(т„) = inf 1(т).

»-»эо теЕ

Случай, когда Е = (7, Еп — подпространства б, К(п) = п и [}п&мЕп плотно в Е (то есть (^ем Еп = Е) рассмотрен в руководствах по вариационному исчислению (в частности, в одноименной книге В. С. Буслаева). Однако, доказательство утверждения пе изменится при переходе к более общему случаю, изложенному выше.

В работе построены две минимизирующие последовательности. Положим Е = М. Определим два семейства подмножеств Еп т (т = 1;2) Ещт = 52 1(Д„,,„) П М, где Б-21(Дп,т) — пространства квадратичных сплайнов дефекта 1, заданных па сетках

Лп,1 := (Ро,ь Рии • • ,Р2»,1, Р2„ + 1,1) , где ркд := 2~(п+1)(2к - 1)тг/3, рол := О, р2„+м := §,

Д,г,2 := (№,2, • • ■ , Р2",г) , где рк^ 2~пктг/3. Примеры сеток при п = 2 приведены на рисунке.

Д2д Д2,2

Р0,1 = О Р2,1 = I РАЛ = и Роз = о Р2.2 = § Р-1,2 = I •—•-•-• -•—• I-•-•-•-•

Р1Д = й Рз.1 = |? Р5,1 = 3 Р1.2 = й Р.),2 = I

Рис 1

В качестве пространства <3 выбираем <3 = С1 ([0; §]) с соответствующей нормой ||/||С1 := тах[()1ж] |/| + тахр^ |/'| Обозначим гк,т = тг/З - Рк,т■ В развернутой форме

Г 2-+1 Ч

Еп, 1 = < 0 : = ^(аклы2 + ък)1и + см)Х[гм,гц.^М, в еМ\

Еп,2 = : 0(ш) = + Ьк¿и + с^2)Х(а12,а_,,2]М> 0 €

Для обеспечения требования 9 е М достаточно выполнения следующих условий.

27Г 7Г2 7Г

01,1 = —з"°1.ь СМ = "9""1-1 + 4'

bk.i = 2(ajt-1,1 - n*,i)rí,_u + h-i}i, Cfc, 1 = -(dk-1,1 - 1)^-1,1 + 0.-1.1,

t'2M .

a2"+l,l —--2--^ a2",b

r2",l

27Г 7Г2 7Г

Ol,2 =--^-«1,2, Ci,2 = y«l,2 + J,

bk,2 = 2(afc_ii2 - Щ,2)^-1,2 + bfc-1,2, 0,2 = — (ajt-1,2 - afc,2)rLi,2 + 0-1,2,

c2"-l,2 .

ß2",2 =--2--^ a2"-l,2-

r2"-l,2

Здесь равенства для &i,m и ciim вытекают из требования ö(|) = f, ö'(|) = О, равенства для bktm и следуют из требования в £ С1 [0; , равенство для a2n+i,i равносильно требованию C2"+i,i = 0, следующему из условия 0(0) = 0, и получается как решение уравнения C2»+i,i = 0, где C2"+i,i = —(a2»,i — 02"+i,i)',2" 1 + с2",ъ относительно a2»+i,i; равенство для ct2",2 равносильно требованию С2"|2 = 0, следующему из условия 6(0) = 0, и получается как решение уравнения С2»,2 = 0, где c2r.,2 = —(a2"-i,2 — 02»,г)^*-^ + C2"-i,2, относительно a2»+i-

В таком представлении Епд (Е„з) — множество функций, зависящих от параметров ахд,..., а2»д (ai,2, •••, а2"-1,г)- Для функционала J^m н выбранных последовательностей (Ещт)^=1 выполнены все условия утверждения В §2.2 установлена

Лемма 1 Если при некотором q > 0 x(t) удовлетворяет уравнению x"(t) = —qtcoax(t) и граничным условиям ж(0) = 0, ж(|) = то она доставляет абсолютный минимум в вариационной задаче

ÍF(x) = — J^31 sin x(t)dt —> min, i e [0; f] , x(0) = 0,x (§) = f; G(x) = j;/3(x'(t))2dt = a,

где a = G(x), причем данная точка минимума единственна.

С точностью 0,001 минимальное значение квадрата константы неопределенности семейства всплеск-функций Мейера в пространстве W\ равно 6,874.

В главе 3 рассматривается задача построения нового семейства всплеск-функций, масштабирующие функции которых имеют экспоненциальное убывание, причем константы неопределенности как масштабирующих функций, так и всплсск-фуикцпй равномерно ограничены по параметру, определяющему гладкость.

В §3.1 приведены результаты, показывающие невозможность построения указанного семейства на основе сплайн-функций и частотных последовательностей Пойя.

Лемма 2 Если sn — сплайн порядка п, дефекта 1, заданный па равнол<ер-ной целочисленной сетке, то семейство всплеск-функций, для которых sn выбрана в качестве масштабирующей функции, не будет сохранять лока-лизовапностъ с ростом гладкости

Доказательство основано на том, что получаемое семейство удовлетворяет условиям, сформулированным в работе С. К Chui, J. Wang, для систем, не сохраняющих локализованность с ростом гладкости.

Лемма 3 Пусть ipa — сплайн порядка п, дефекта 2, заданный на равномерной целочислетюй сетке. Если определить такой КМ А, для которого <рп — масштабирующая функция, то из аксиомы вложенности подпространств, образующих КМА, следует, что ipn — сплайн порядка п, дефекта 1, заданный па равномерной целочисленной сетке.

Таким образом, увеличение дефекта сплайна не приводит к появлению новых масштабирующих функций.

Теорема 3 Пусть a(z) — символ частотной последовательности Пойа (а), т(и>) := а(е~ш). Тогда т(и>) не является маской ортогональной всплеск-функции.

Идея доказательства состоит в том, что для маски отрогопальной всплеск-функции должно выполняться тождество |m(w)|2 + ]m(ui + 7г)|2 = 1. Но для

rn(iü) := a(e это невозможно, так как функция д(х) := f(x) + /(—х), где f (cosco) = \т(и)\2 строго выпукла па отрезке [—1+е, 1-е] при произвольном О < £ < 1.

В §3 2 приведено построение семейства всплеск-функций, масштабирующие функции которых имеют экспоненциальное убывание, причем константы неопределенности как масштабирующих функции, так и всплеск-функций равномерно ограничены по параметру, определяющему гладкость. Благодаря указанным свойствам уместно назвать данное семейство семейством квазнснлайн-всплесков. Рассмотрим 2л"-исрподпческий тригонометрический полипом.

AI

( ШЛ21 Угш±п(т,л',ш)

пц(и) := (cos-) —- м

\ 11 Урчо+п (mf, 0)

где

•) — среднее Валле-Пуссепа функции mf,

дг/ \ т^Нш)

rri[ (и) :=-jj, ( 6 N, т — маска Меиера.

(cosf)

Обозначим b'i(u;) := Vjwm+ij(mf! Тогда справедливо

Предложение 1 Пусть £ > 0. Если N(l) > Ь ^Ь ^—t^ll^ г()е ._ (cosf )"2 , f < < 2-f и М := max^ei-,,,]\{mM)'{uj)\,mo

II1" - ^'Wci-nM < Ке>

где К — абсолютная константа (например, К = 44). Следствие 1

||ТЩ — тМ\\С[_ж —> 0 при I —► оо.

Система квазнсплайи-всплссков строится, начиная с маски гщ для стабильной, но не ортогональной масштабирующей функции tpi, определяемой в образах Фурье равенством.

оо

<ЙН := П 7Щ ■

j=i

Ортогональная масштабирующая функция tpj-, и ортогональная маска т/" получаются стандартной процедурой ортогонализации. То есть определяется ортогонализующий множитель

keZ

затем масштабирующая функция в образах Фурье

<?И := ЙНФ^М

и маска

mj-(w) :=тгИФ°'5(а;)ф-°'5(2ги). Всплеск-функция ф^ определяется с помощью построенного КМА-

■ФНш) := е=¥ш + ft (|) •

Семейство ф[~ удовлетворяет всем заявленным свойствам. Действительно,

1. функции <р(- + n), n 6 Z образуют базис Рисса в замыкании своей линейной оболочки. Это следует из неравенств

О < А < А(1) < Ф; < В(1) < В,

где А(1) := - г(1))2, В(1) := (2р + 1)(1 + e(l))2 + R(l), е(1) О,

R(l) —> 0, при l^oo,p := f12^1] +1. А{1) и В(1) - константы Рисса для последовательности ip(- + п), п G Z.

2. Гладкость функций (р^, ip[~ увеличивается без ограничения с ростом I. Гладкость функции / , определенной на отрезке [а, Ь], можно характеризовать показателем Гельдера aj данной функции:

af := к + sup{/3 G R||/W(®i) - /W(*2)| < Ср|*i - x2f, xhx2 G [a, 6]},

/Зек

где к := maxhez{h\f G Ch[a,b}}.

Установлено, что показатель Гельдера avi функции tpi заключен в границах

21 - 1 + log2 (f) < ат < 21, где с := inf;>iov;(0). Параметр с

ограничен, так как, начиная с некоторого /ц , 0 < d < с < m;u(0), где d — абсолютная константа. На основе данной оценки и определений функций ipl, ipi~ получены неравенства 21 - 1 + log2 (§) < а,,± < 2/, 21 — 1 + log2 (0 < < 21, из которых следует

lim а...l = оо, lim а,,,± = оо.

/-ОО ^ /-»00 U

3. При любом I 6 N ipf- убывает на бесконечности экспоненциально. Это связано с тем, что функция ipf- получена ортогопализацисй функции <pi, имеющей компактный носитель. Последнее следует из определения функции ipi в темипах маски тщ и того, что т; — тригонометрический полипом, а, значит, имеет только конечное число отличных от нуля коэффициентов Фурье На основе предыдущих рассуждений и из определения функции ф(- выводится, что = 0(e~a'f'), а > 0.

4. Квадрат константы неопределенности Д2± семейства равномерно ограничен по параметру I. Выполнение данного свойства для семейства ipi~ обусловлено прежде всего фактом сходимости последовательности (pi к образу Фурье масштабирующей функции Мсйера ipM как поточечно па любом ограниченном подмножестве К, так и в среднем квадратичном. А также равномерной но I ограниченностью констант Рисса А(1) и В{1).

Лемма 4 Для любого I е N Д~ < C\(l), lim^oo Ci(l) = Си где С\ — абсолютная константа.

««> - SJ (I " + ^+ Л^'-з ) ■

й = lim £(0 = 0.

07Г /-» оо

Лемма 5 Справедливо неравенство lim^^A2!. < С2, где С2 — кон-

Vf

станта, зависящая только от uq.

С2 := (у/2 + 1)217 (^2(2р+1) + (2р + 1)(2 + 2^/2(2?+1))) .

5 Квадрат константы неопределенности Д?~ Д2,± семейства всплеск-фупк-

<1г ¥i

цпй tp[- равномерно ограничен по параметру I. Данное свойство является следствием предыдущего свойства, а также факта равномерной орга-ниченности последовательности производных масок данного семейства

К)'.

Лемма 6 Пусть ф — всплеск-функция, ip — соответствующая масштабирующая функция, т — соответствующая маска Тогда

Al<Ul+ max Im'MpUf / I \ ые[-7Г,7г] ) 47Г JR

Лемма 7 Для любого I > Iq, I G N

Д^Д2Г± < С3(0, Ит Сз(0 < Сз,

Vi I—>00

причем Сз — константа, зависящая только от uiq. В качестве Сз можно выбрать выражение

Сз = (l + (4 + 2s/2)M\q + q2 + g3))2) ,

где 9 := y/2{2p+l).

Список публикаций по теме диссертации

[1) Lcbedeva Е. A. Meyer wavelet with the minimal uncertainty and its numerical approximation / E. A. Lcbedeva, E. B. Postnikov // Recent Progress in Wavelet Analysis and Frame Theory — Bremen, 2006. — (http://www.mathematik uni-marburg.de/dahlke/ag-numerik/workshop).

[2] Лебедева E. А. Построение вейвлстов Мейера на базе В-сплайнов при условии минимизации константы неопределенности / Е. А. Лебедева, Е. Б. Постников // Ученые записки Курск, гос. ун-та. Сер Естественные науки и техника. - 2006. - № 1 (3). - С. 72-76.

[3] Лебедева Е. А. Всплеск Мейсра улучшенной локализации / Е. А. Лебедева, Е. Б. Постинков // Вычислительные методы и программирование. - 2006. - № 7 - С. 122-124.

[4] Lebcdeva Е. A. Minimization of a Constant of Uncertainty for the Meyer Wavelet Basis / E. A. Lebcdcva, E. B. Postnikov // Sampl. Theory Signal Image Process. - 2006. - Vol 5, No. 3. (Sept.) - P. 341-348.

[5j Лебедева E. А. Семейство всплесков с равномерно ограниченными константами неопределенности / Е. А. Лебедева // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы конференции. — Воронеж : Воронеж, гос ун-т, 2007. — С. 125-126.

[6] Лебедева E. А Минимизация константы неопределенности семейства всплесков Мейсра / Е. А. .Лебедева // Матем. заметки. — 2007. — Т. 81, № 4 - С. 553-560.

[7] Лебедева Е. А. Эксноиепциалыю убывающие всплески, имеющие равномерно ограниченные константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость / Е. А. Лебедева // Сиб. мат. журн. — 2008. — Т. 49, № 3. - С.574-591.

Работы [6] и [7] соответствуют списку ВАК РФ.

Подписано в печать 02.09.08. Формат 60x84 '/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1627

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение

1 Обозначения и вспомогательные результаты

1.1 Обозначения

1.2 Сведения из теории всплесков

1.3 Квадратичные сплайны дефекта 1.

2 Минимизация константы неопределенности семейства всплесков Мейера

2.1 Минимизация константы неопределенности семейства всплеск-функций Мейера прямыми методами

2.1.1 Упрощение константы неопределенности семейства всплеск-функций Мейера.

2.1.2 Использование метода Ритца для минимизации константы неопределенности семейства всплеск-функций Мейера.".

2.2 Уравнение Эйлера-Лагранжа для минимизации константы неопределенности семейства всплеск-функций Мейера.

3 Экспоненциально убывающие всплеск-функции, имеющие равномерно ограниченные константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость

3.1 Сплайн-функции и частотные последовательности Пойя как материал для построения ортогональных всплеск-функций

3.1.1 Сплайн-функции как материал для построения ортогональных всплеск-функций

3.1.2 Частотные последовательности Пойя как материал для построения ортогональных всплеск-функций.

3.2 Экспоненциально убывающие всплеск-функции, имеющие равномерно ограниченные константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость.

3.2.1 Сходимость семейства масок к маске Мейера.

3.2.2 Рост гладкости (на основании свойств маски).

3.2.3 Сходимость неортогонализованных масштабирующих функций к масштабирующей функции Мейера.

3.2.4 Равномерная ограниченность частотных радиусов функций ipf-.

3.2.5 Равномерная ограниченность временных радиусов функций tpf-.

3.2.6 Равномерная ограниченность констант неопределенности семейства

Актуальность темы. Всплеск-функцией (англ. wavelet) называется функция ф, либо используемая в качестве ядра интегрального оператора j, к Е Z пространства L2(R). В данной работе термин всплеск-функция будет пониматься во втором смысле.

Теория всплесков — интенсивно развивающееся межпредметное направление, включающее в себя исследования из области теоретической математики, прикладной математики, информатики. Один из первых примеров всплесковых базисов, построен И. Мейером в 1986 г. [33] и носит его имя. В настоящее время семейство всплеск-функций Мейера и его модификации находят многочисленные применения в математическом и функциональном анализе, теории функций, численных методах решения дифференциальных уравнений, обработке сигналов и т.д. (см., например, обширную библиографию в [29, 20]).

Константа неопределенности служит количественным показателем в задачах, связанных с принципом неопределенности, используемом в квантовой механике, в гармоническом анализе, в задачах время-частотной локализации (см., например, обзоры [26, 27] и статьи [25, 35]). Константа неопределенности характеризует локализованность функции во временной (множитель Аф) и в частотной (множитель А?) областях. Чем меньше каждый при соблюдении условия либо порождающая ортонормированный базис 2^2ф(2^и — к) из данных множителей, тем лучше функция локализована в соответствующей области. Так, для системы Хаара (см., например, [15]) Д^ = >/5/6, Д^ = сю, поэтому система Хаара лучше локализована по времени, чем по частоте. Система всплеск-функций Мейера является самым ранним примером ортонормированного базиса пространства Ь2(Ж), элементы которого при достаточной гладкости имеют конечные константы неопределенности и очень хорошую локализованность во временной (если if) G С00(К), то всплеск-функция убывает на бесконечности быстрее любой степени) и в частотной областях (ф финитна). Хорошая время-частотная локализация — одно из основных преимуществ всплеск-функций Мейера. Но, насколько известно автору, до сих пор не был решен вопрос о нахождении всплеск-функции Мейера с минимальной константой неопределенности и об уточнении нижней границы константы неопределенности для данного семейства всплеск-функций. Обобщения принципа неопределенности и уточнения констант неопределенности для различных простанств можно найти в статьях [26, 27, 24, 21, 35], а также в обширной библиографии, помещенной в данных статьях.

Важен вопрос не только хорошей локализованное™ одной всплеск-функции, но и локализованное™ целого семейства всплеск-функций, в составе которого есть всплеск-функции с различными свойствами, например, всплеск-функции произвольной гладкости. Здесь необходимо отметить работу [23], в которой для некоторых классических систем всплеск-функций (всплеск-функции Добеши, Баттла-Лемарье, Стремберга) и их обобщений доказан неограниченный рост константы неопределенности с увеличением гладкости. Однако в статьях [14, 34] построено семейство модифицированных всплеск-функций Добеши (всплеск-функции Новикова), имеющих компактный носитель, причем локализованность по времени и частоте автокорреляционной функции, построенной для масштабирующей функции данной всплеск-функции, сохраняется с возрастанием гладкости. Возникает вопрос, можно ли построить семейство всплеск-функций, масштабирующие функции которых имеют как и сплайн-всплески экспоненциальное убывание на бесконечности и убывание порядка 0(си~1) при |о;| —> сю в частотной области, при этом константы неопределенности масштабирующих функций, а также самих всплеск-функций равномерно ограничены по параметру I, определяющему гладкость.

Цели работы.

• исследовать время-частотную локализацию системы всплеск-функций Мейера: уточнить нижнюю границу констант неопределенности семейства всплеск-функций Мейера, найти численно или аналитически всплеск-функцию Мейера с наименьшей константой неопределенности;

• построить новое семейство всплеск-функций, имеющих экспоненциальное убывание и константы неопределенности для масштабирующих функций и для всплеск-функций, равномерно ограниченные по параметру, определяющему гладкость.

Методика исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории функций и вариационного исчисления, в частности метод Ритца. Новизна методов состоит в применении средних Валле-Пуссена для построения масок ортогональных всплеск-функций.

Научная новизна.

• уточнена нижняя граница констант неопределенности семейства всплеск-функций Мейера;

• прямыми методами найдена минимизирующая последовательность для всплеск-функции Мейера с наименьшей константой неопределенности;

• найдено дифференциальное уравнение с параметром, решение которого при определенном значении параметра минимизирует константу неопределенности всплеск-функции Мейера в пространстве W\\

• построено новое семейство всплеск-функций, имеющих экспоненциальное убывание и константы неопределенности для масштабирующих функций и для всплеск-функций, равномерно ограниченные по параметру, определяющему гладкость.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования систем всплесков, в частности для изучения свойств локализованности.

Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях: Recent Progress in Wavelet Analysis and Frame Theory, Бремен, Германия (2006), Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2007); на семинаре по теории функций и теории приближений С.В. Конягина в МГУ (2007), на семинаре „Конструктивная теория функций и теория всплесков" в СПбГУ (2008).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [9]-[13], [31],[32]. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 87 страниц состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, приложения и списка литературы, содержащего 35 источников. Окончания доказательств отмечены знаком ■, окончания замечаний отмечены знаком □.

1. Завьялов Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. — М. : Наука, 1980. — 352 с.

2. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. — 2-е изд., доп. — М. : АФЦ, 1999. — 560 с.

3. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Наука, 1968. — 496 с.

4. Лебедева Е. А. Минимизация константы неопределенности семейства всплесков Мейера / Е. А. Лебедева // Матем. заметки. — 2007. — Т. 81, № 4. С. 553-560.

5. Лебедева Е. А. Семейство всплесков с равномерно ограниченными константами неопределенности / Е. А. Лебедева // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы конференции / Воронеж. гос. ун-т. — Воронеж, 2007. — С. 125-126.

6. Лебедева Е. А. Экспоненциально убывающие всплески, имеющие равномерно ограниченные константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость / Е. А. Лебедева // Сиб. мат. журн. — 2008. — Т. 49, № 3. С.574-591.

7. Лебедева Е. А. Всплеск Мейера улучшенной локализации / Е. А. Лебедева, Е. Б. Постников // Вычислительные методы и программирование. — 2006. — № 7. — С. 122-124.

8. Лебедева Е. А. Построение вейвлетов Мейера на базе В-сплайнов при условии минимизации константы неопределенности / Е. А. Лебедева, Е. Б. Постников // Ученые записки Курск, гос. ун-та. Сер. Естественные науки и техника. 2006. - № 1 (3). — С. 72-76.

9. Новиков И. Я. Константы неопределенности для модифицированных всплесков Добеши / И. Я. Новиков // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 1998. — Т. 4, вып. 1. — С. 107-111.

10. Новиков И. Я. Теория всплесков / И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина. — М. : Физматлит, 2005. — 616 с.

11. Рудин У. Основы математического анализа / У. Рудин ; перевод с англ. В. П. Хавина. — 2-е изд., стереотип. — М. : Мир, 1976. — 320 с.

12. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин. М. : Наука, 1976. - 248 с.

13. Фихтенгольц Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. — 4-е изд., испр. и доп. — М. : Физматлит, 1959. — Т. 1. — 808 с.

14. Чуй Ч. Введение в вэйвлеты / Ч. Чуй ; перевод с англ. Я. М. Жилей-кина. — М. : Мир, 2001. — 412 с.

15. Ajith К. More efficient ground truth ROI image coding technique: implementation and wavelet based application analysis / K. Ajith, Z. Ye // J. of Zhejiang University, Science A. — 2007. — Vol. 8, N. 6. — P. 835-840.

16. Battle G. Heisenberg Inequalities for Wavelets States / G. Battle // Appl. Сотр. Harm. Analysis. — 1997. — N. 4. — P. 119-146.

17. Chui С. K. A Study of Asymptotically Optimal Time-frequency Localization by Scaling Functions and Wavelets / С. K. Chui, J. Wang // CAT Report #323, Texas A&M University. — (www.shsu.edu/~mthjxw/psffies/optwin.ps).

18. Chui С. K. High-order orthonormal scaling functions and wavelets give poor time-frequency localization / С. K. Chui, J. Wang // J. Fourier Anal, and Appl. 1996. - Vol. 2, N. 5. - P. 415-426.

19. Dahlke S. The affine uncertainty principle in one and two dimentions / S. Dahlke, P. Maass // Computers Math. Applic. — 1995. — Vol. 30, N. 3-6. P. 293-305.

20. Donoho D. L. Uncertainty principles and Ideal Atomic Decomposition / D. L. Donoho, X. Huo // IEEE Trans. Inform. Theory. — 2001. Vol. 47, N. 7. - P. 2845-2862.

21. Folland G. B. The uncertainty principle: a mathematical survey / G. B. Folland, A. Sitaram // J. Fourier Anal. Appl. — 1997. — Vol. 3, N. 3. P. 207-238.

22. Goh S. S. Uncertainty principles in hilbert spaces / S. S. Goh, C. A. Mic-chelli // J. Fourier Anal. Appl. 2002. — Vol. 8, N. 4. — P. 335-373.

23. Goodman T. N. T. On Refinement Equations Determined by Polya Frequency sequences / T. N. T. Goodman, C. A. Micchelli // SIAM J. Math. Anal. 1992. - Vol. 23, N. 3. - P. 766-784.

24. Johnstone I. M. Wavelet deconvolution in a periodic setting / I. M. Johnstone, G. Kerkyacharian, D. Picard, M. Raimond // J. R. Statist. Soc. B. 2004. - Vol. 66, Part 3. - P. 547-573.

25. Karlin S. Total positivity / S. Karlin. — Stanford : Stanford University Press, 1968. — 590 p.

26. Lebedeva E. A. Minimization of a Constant of Uncertainty for the Meyer Wavelet Basis / E. A. Lebedeva, E. B. Postnikov // Sampl. Theory Signal Image Process. 2006. - Vol. 5, N. 3. (Sept.) - P. 341-348.

27. Meyer Y. Principe d'incertitude, bases Hilbertiennes et algebras d'operateurs / Y. Meyer // Seminaire Bourbaki 1985/86. — 1987. — N. 145-146. P. 209-223.

28. Novikov I. Ya. Modified Daubechies wavelets preserving localization with growth of smoothness / I. Ya. Novikov // East J. Approximation. — 1995. Vol. 1, N. 3. - P. 314-348.

29. Selig К. K. Uncertainty principles revisited / К. K. Selig // Electronic Trans. Numer. Anal. 2002. - Vol. 14. - P. 165-177.