Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005051050

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

Кудрявцев Александр Юрьевич

ОРТОРЕКУРСИВНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО НЕОРТОГОНАЛЬНЫМ ВСПЛЕСКАМ

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.518.3

АВТОРЕФЕРАТ

Москва - 2013

005051050

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук профессор

Лукашенко Тарас Павлович

доктор физико-математических наук профессор

Протасов Владимир Юрьевич МГУ имени М. В. Ломоносова профессор кафедры общих проблем управления

кандидат физико-математических наук

Куликова Татьяна Юрьевна Государственная Дума Федерального Собрания Российской Федерации помощник депутата

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана

Защита состоится 15 марта 2013 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 15 февраля 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

¿Г

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться еще в первой половине XIX века. По всей видимости, первыми работами, в которых изучались ортогональные разложения, являются труды Д'Аламбера и Эйлера о колебании струны и работы Фурье о распространении тепла. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов, так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам.

В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом рассматриваемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом / пространства со скалярным произведением "Н,в'Н выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная система где 3 — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств Н), или бесконечность, и работа ведется не с самим элементом /, а с его разложением в ряд Фурье по системе то есть рядом где /.,• = (/, е^Де,-, е,). Этот ряд сходится к элементу /, и в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частичную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.

Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности, то есть разности между элементом и частичной суммой разложения, а также так называемое свойство оперативности ("оп-Нпе"свойство). Последнее свойство заключается в том, что если точность, с которой Л'-ая частичная сумма приближает разлагаемый элемент, не является приемлемой, то для получения следующего приближения — (ЛГ + 1)-й частичной суммы — достаточно вычислить еще один коэффициент, не производя пересчет уже вычисленных коэффициентов. Свойство оперативности позволяет, в частности, параллельно осуществлять разложение и пере-

давать уже вычисленные коэффициенты.

Вместе с тем, ортогональные разложения обладают свойствами, которые с точки зрения практических приложений являются отрицательными. Во-первых, условие ортогональности является очень жестким условием на систему, значительно сужающим класс систем, по которым осуществляется разложение. Во-вторых, ортогональные разложения принципиально не позволяют корректировать погрешности, возникающие в вычислении коэффициентов: для любой числовой последовательности отличной от последовательности {Д};=1 коэффициентов Фурье элемента / по ортогональной системе ряд с^е, либо схо-

дится к элементу, отличному от /, либо расходится (последний случай возможен если 7 = оо).

В связи с вышесказанным, возникает актуальная задача определить процесс разложения, наследующий положительные свойства ортогональных разложений, но не обладающий приведенными выше отрицательными с точки зрения практики свойствами. В качестве решения этой задачи в работе рассматриваются орторекурсивные разложения.

Понятие орторекурсивного разложения было введено Т. П. Лукашенко в 1999 году1. В случае ортогональной системы орторекурсивное разложение дает в точности ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе.

Определение 1. Пусть Л — гильбертово пространство над полем действительных или комплексных чисел, — система ненулевых

элементов Н. Для произвольного элемента / € К определим коэффициенты разложения следующим образом:

1) положим

} --

1ЫГ

2) если уже определены Д,..., /„, то положим

г _ М/).вп-и)

/П+1" Цеп+1||2 '

где гп(/) = / -

1 Лукашенко Т.П., "Рекурсивные разложения, подобные ортогональным", Математика, Экономика, Экология, Образование, VII Международн. конф., Ряды Фурье и их приложения, Международн. симпозиум (26 мая - 1 июня 1999 г.), Твзисы докл., Ростов-на-Дону, 1999, 331.

Коэффициенты будем называть ортпорекурсивнъши коэффи-

циентами Фурье элемента / по системе {ej}°lj (для ортогональной системы они совпадают с обычными коэффициентами Фурье), а формальный ряд YLTLi fjej — орторекурсивным рядом Фурье элемента / по системе {еЛ.=1.

Т. П. Лукашенко показал, что орторекурсивные разложения обладав ют рядом свойств, имеющих место для ортогональных разложений2. А именно, для орторекурсивных разложений справедливы тождество Бесселя, неравенство Бесселя, эквивалентность равенства Парсеваля и сходимости разложения к разлагаемому элементу.

Определение 2. Систему С 7i\{0} назовем орторекурсивной

системой разложения в пространстве Н, если для любого элемента / 6 Н орторекурсивный ряд Фурье / по системе {е^}^ сходится к/вИ.

Схема рекурсивного разложения допускает принципиально различные подходы3: можно изначально фиксировать систему {е^}^, а можно на каждом шаге для данного элемента / (или для данного остатка г„(f)) выбирать из некоторого фиксированного множества очередной разлагающий элемент en+i(/). Второй подход реализуется, в частности, в так называемых жадных алгоритмах (Greedy Algorithms4). Преимуществом орторекурсивных разложений по фиксированным системам перед жадными разложениями является линейность. Орторекурсивные разложения привлекательны также отсутствием усложняющего разложение алгоритма выбора следующего элемента.

Особенностью разложения в тригонометрический ряд Фурье или преобразования Фурье является отсутствие временной локализации — они позволяют получить частотную характеристику сигнала на всем рассматриваемом (конечном в случае ряда Фурье или бесконечном в случае преобразования Фурье) интервале времени. На практике часто используется преобразование Фурье с окном, но оно также обеспечивает ограниченную локализацию по времени, определяемую шириной окна.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в 80-х гг. XX века

2 Лукашенко Т. П., "О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам", Вестник МГУ Сер. I. Матем., мех., М., № 1 (2001), 6-10.

'Лукашенко Т.П., "О новых системах разложения и их свойствах", Чебышевский сборник, Тула, 5, вып. 2 (2004), 66-82.

4DeVore R. A., Temlyakov V. N., "Some remarks on Greedy Algorithms", Advances in Computational Mathematics, 5 (1996), 173-187.

появились всплески (другое название — вейвлеты) — системы функций, хорошо локализованных по времени и частоте. Они вызвали новую волну математических исследований (см., например, монографии И. Добеши5, И. Я. Новикова, В. Ю. Протасова и М. А. Скопиной6, Ч. Чуй7) и, наряду с преобразованием Фурье, стали аппаратом цифровой обработки сигналов. Однако разложениям в счетные ортогональные системы всплесков присущи все недостатки ортогональных разложений. В частности, порождающая функция системы всплесков часто задается достаточно сложными выражениями (например, всплески Добеши, Мейера и др.). В связи с этим естественно рассмотрение систем неортогональных всплесков, где порождающая функция может быть выбрана произвольно из достаточно широкого класса функций.

Пусть ц> — действительно- или комплекснозначная функция на вещественной прямой, принадлежащая пространству Лебега £2(К) над полем действительных или комплексных чисел соответственно. Функции

1рк,,(х) = 2к/2^{2кх -I), х € К, М е Ъ,

будем называть всплесками, порожденными функцией <р. При этом мы, вообще говоря, не требуем от данного семейства функций ортогональности.

В работе рассматриваются орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам.

Пусть Ь = — последовательность целых неотрицательных

чисел. Рассмотрим систему функций

Ф +(Ь) = {<рк,1 : к > 0, |1| < Ьк}.

Семейство Ф+(Ь), имеющее конечные пачки Щ = {<Рк,1 ■ < Ьк}, занумеруем одним натуральным индексом в порядке возрастания номеров пачек, а внутри пачек — произвольным образом. Таким образом, функции ¡Рк,1 присвоим натуральный номер ] — ]{к, I) так, чтобы из неравенства 3 < / следовало неравенство к < к!. Положим е,- = <£¡,,1 при з — э(к,Г).

5Добеши И., Десять лекций по вейвлетлм, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевск, 2001.

6Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория всплесков, Физматлит, М., 2005.

7Чуи Ч., Введение в вэйвлети, Мир, М., 2001.

Определение 3. Систему Ф+(£) будем называть орторекурсивной системой разложения в пространстве L2(R), если система яв-

ляется орторекурсивной системой разложения в L2(R).

Определение 4. Систему Ф+{Ь) будем называть безусловной относительно перестановок пачек орторекурсивной системой разложения в пространстве L2(R), если для любой перестановки а множества Z+ совокупность Ф+,<г(Ь) = {<fia(k),i : к > 0, |/| < La{k)}, занумерованная натуральными числами в порядке возрастания номера к, а в пачках — произвольным образом, является орторекурсивной системой разложения в L2(R).

В. И. Филиппов и П. Освальд доказали8, в частности, что если <р е L2(R), \ф)\ = Oflzl-1"') (е > 0) при |х| - оо и fav(x)dx ф 0, то семейство всплесков : к, I G Z), порожденных функцией ip, является системой представления в пространстве L2(R), т.е. для любой функции / 6 L2(R) найдется ряд вида ЕмегсМ (/)(P*,i(®)> сходящийся к / в L2(R).

Метод орторекурсивных разложений позволяет дать алгоритм разложения по неортогональным всплескам, но возникает вопрос о сходимости разложения. Представляет интерес изучение достаточных условий на порождающую функцию всплесков, гарантирующих сходимость орто-рекурсивного разложения любой функции из пространства L2(R) к ней самой в метрике L2(R).

Целью работы является изучение сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам, их устойчивости к вычислительной погрешности, а также получение оценок скорости сходимости.

Методы исследования. В работе применяются различные методы математического анализа и теории функций действительной переменной.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

- определены различные виды орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам;

- получены достаточные условия сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам для любой разлагаемой функции из пространства L2(R) к ней самой в метрике L2(R);

8Filippov V. I., Oswald P., "Representation in Lp by series of translates and dilates of one function", Journal of Approximation Theory, 82:1 (1995), 15-29.

- построен пример, показывающий, что полученные достаточные условия нельзя существенно ослабить;

- изучена устойчивость орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к ошибкам в вычислении коэффициентов;

- получены оценки скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при создании алгоритмов обработки и передачи данных различной природы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на механико-математическом факультете МГУ: на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством чл.-корр. РАН, проф. П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова и проф. М. И. Дьяченко (2002) и на том же семинаре под руководством проф. М. К. Потапова, проф. М. И. Дьяченко, проф. В. А. Скворцова и проф. Т. П. Лукашенко (2012), на семинаре по теории ортоподобных систем под руководством проф. Т. П. Лукашенко, доц. В. В. Галатенко и доц. Т. В. Родионова (неоднократно в 2000-2012); на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (2001, 2002); на международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2000, 2002); на Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2002); на Воронежских зимних математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2001, 2003, 2011).

Публикации. Полный список работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата (9 публикаций). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-2], вышедших в журналах, входящих в список ВАК.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объем диссертации — 72 страницы.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается общий обзор исследуемой области, приведены определения изучаемых объектов — орторекурсивных разложений и неортогональных всплесков, сформулированы основные результаты работы.

Глава 1 посвящена доказательству сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам при не слишком жестких условиях на порождающую функцию. Основным результатом главы является теорема 1.5.

Преобразование Фурье в Ьх{К) и Ь2(К) будем определять выражени-

где, в случае, когда / € Ь2(Е), интеграл понимается как предел в метрике £2(М) интегралов от того же выражения по отрезкам [—А, А] при А —> +00.

Через £2(К) обозначим множество измеримых на вещественной оси функций <р, для которых

Очевидно, С Ь^Ш.) ПЬ2(К).

Через о>/(Л, 6) будем обозначать модуль непрерывности функции Л на промежутке I С К, т.е.

Теорема 1.5. Пусть функция <р удовлетворяет следующим условиями

ем

и>/(М) = вир |Л(х) - Л(у)|.

х,у£1,\х—у\<8

(АО) <р е

(А1) _/>(*)& ф 0;

(А&) существует функция Р(и), невозрастающая на промежутке [0,+оо), такая, что < при всех из 6 К и

Тогда найдется такая последовательность целых неотрицательных чисел Ь = {¿А:}^, что система Ф +{Ь) = : к > 0, |2| < Ьк}, а также любая ее подсистема, содержащая бесконечное число пачек, является безусловной относительно перестановок пачек орторекурсивной системой разложения в пространстве £2(К).

Если 6) = 0(5а) при 6 —» +0, где 0 < а < 1, то можно положить Ьк = [2(1+1/(5а))'!]. При а = 1 можно взять Ьк, удовлетворяющие условию Ьь/2зк^2 —* оо при к —* оо.

В главе 1 орторекурсивные разложения обобщаются следующим образом.

Определение 5. Пусть Н — гильбертово пространство и {Р*}^ — система непрерывных линейных операторов, действующих шНвН. Для п£Ю1пвольного элемента / 6 И определим последовательность элементов {/*}*=! следующим образом:

1) положим }1 = Р\{1)\

2) если уже определены элементы /1,..., /„, то положим

Формальный ряд Л будем называть рекурсивным рядом элемента / по семейству операторов

Для произвольного оператора Р обозначим через Р' оператор I — Р, где I — тождественный оператор. Легко видеть, что

Определение 6. Пусть "Н — гильбертово пространство. Последовательность непрерывных линейных операторов {Р*}^ изНвН назовем рекурсивной последовательностью в пространстве Н, если для любого

/п+1 = Рп+ 1-йп(/):

где Я„(/) = /-ЕИ-1 Л-

*.(/) = КК-1 • • • Л'(Я- /п = РпРп-1 ■ ■ • Ш-

элемента / е К рекурсивный ряд / по семейству операторов {Р*}^, сходится к / в Н.

В главе 1 сформулированы достаточные условия сходимости рекурсивных разложений по семействам операторов. Результаты о сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам выводятся из теорем главы 1 для обобщенных рекурсивных разложений.

В главе 1 также рассматриваются различные виды орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам и доказываются теоремы об их сходимости. Для примера рассмотрим систему функций, содержащую все целочисленные сдвиги функции <р:

Совокупность функций П* = {<pkJ : I е Z} называется к-ой пачкой.

Предположим, что система {tp{x - 1) : I е Z} имеет верхнюю границу Рисса В > 0, т.е. для любой последовательности {ii}^^ имеющей лишь конечное число отличных от нуля членов, выполняется неравенство:

Пусть каждая пачка Щ занумерована натуральными числами в некотором фиксированном, быть может, зависящем от к порядке. Рассмотрим при к > 0 оператор Рк орторекурсивного разложения по пачке Щ семейства Ф+, т.е. для любой функции д е 1?(Ж)

где дк,1 — орторекурсивные коэффициенты функции д, вычисляемые в соответствии с определением 1 по пачке Щ в порядке ее нумерации. Оператор Рк определен корректно в силу неравенства Бесселя и существования верхней границы Рисса. К семейству операторов {Р*}^ можно применить описанную в определении 5 схему обобщенного рекурсивного разложения. Такое разложение будем называть орторекурсивным разложением по системе Ф+.

Определение 7. Систему Ф+ будем называть орторекурсивной системой разложения в пространстве £2(К), если для любой функции

Ф+ = {у?к,| : А: > 0, i е Z}.

2

/ е Ь2(К) орторекурсивное разложение / по системе Ф+ сходится к / в 12(Е).

Определение 8. Систему Ф+ будем называть безусловной относительно перестановок пачек орторекурсивной системой разложения в пространстве £2(П£), если для любой перестановки а множества совокупность операторов {-Р^}^, где — оператор орторекурсивного разложения по пачке П»^), занумерованной натуральными числами произвольным, быть может, зависящим от <т и к образом, является рекурсивной последовательностью в Ь2(Ж).

Теорема 1.6. При условиях (АО), (А1) и (А2) система Ф+, а также любая ее подсистема, содержащая бесконечное число пачек, является безусловной относительно перестановок пачек орторекурсивной системой разложения в пространстве £2(К).

Если целочисленные сдвиги функции </> ортогональны, т.е.

/ <р(х) <р(х -1)йх = 0, ге2\{о},

то можно не требовать принадлежности функции <р пространству Ь1 (К) и ослабить условия (АО) и (А1) следующим образом.

Следствие 1.3 (о всплесках с ортогональными сдвигами). Пусть функция ц> 5 £2(Ш) имеет ортогональные целочисленные сдвиги и удовлетворяет условиям:

(А11) существует 6 > 0 такое, что еввтГ > 0;

(А2) существует функция Р(и), невозрастающая на промежутке [0,+оо), такая, что < ^?(|ш|) при всех иеЕи

л+оо

/ ^2(ш)1п(1 + ш)(1и < 00. Уо

Тогда система Ф+ является безусловной относительно перестановок пачек орторекурсивной системой разложения в £2(1К).

Легко видеть, что условие (А1) теорем 1.5 или 1.6, равносильное условию <уз(0) Ф 0, и условие (А1') следствия 1.3 нельзя отбросить. Так, система всплесков {^,1 : к,1 € Ж}, порожденная сжатым в два раза всплеском Хаара, т.е. функцией

1-^2, *<*<§' 10

не полна в пространстве Z,2(R). Однако, как известно9, если функция ip G L'(R) П L2(R) порождает полное ортонормированное семейство всплесков, то fR<p(x)dx = 0. Таким образом, в случае, когда fJt<p(x)dx = О, система всплесков {(pkj : к, 1 е Z} может как являться, так и не являться орторекурсивной системой разложения.

Вопрос о существенности условия (А2) для сходимости орторекурсив-ных разложений по неортогональным всплескам более сложен. Забегая вперед, скажем, что в главе 2 показывается невозможность отбросить условие (А2) в следствии 1.3. Тем не менее, при отсутствии условия (А2) справедливы следующие результаты.

Теорема 1.10. Пусть функция <р удовлетворяет условиям (АО) и (AI). Тогда для любой последовательности целых неотрицательных чисел L = таких что Lk/23k/2 —» оо, найдется подпоследо-

вательность, а также перестановка пачек совокупности Ф+(Ь), являющиеся орторекурсивными системами разложения в пространстве L2( R).

Теорема 1.11. Пусть функция iр удовлетворяет условиям (АО) и (AI). Тогда найдется подпоследовательность, а также перестановка пачек совокупности Ф+, являющиеся орторекурсивными системами разложения в пространстве L2(R).

Отметим, что результаты, аналогичные теоремам из главы 1, для случая, когда suppip С [0,1], были получены ранее в работах автора [3, 4].

В главе 2 доказывается существенность условия (А2), которое фактически является условием на гладкость порождающей функции, для сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам. А именно, строится пример порождающей функции <р, показывающий, что в следствии 1.3 условие (А2) нельзя отбросить. Основным результатом главы является теорема 2.1.

Теорема 2.1. Существует функция <р е L2(R) с ортогональными целочисленными сдвигами, удовлетворяющая условию inf^d/a \<?{ы)\ > О, такая, что орторекурсивное разложение некоторой функции f G L2(R) по системе Ф+ расходится в пространстве £2(R).

В главе 3 изучается вопрос об устойчивости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к ошибкам в вычислении коэффициентов разложения.

9Кашин Б. С., Саакян А. А., Ортогональные ряды, Изд. 2-е, доп., Изд-во АФЦ, М., 1999.

Определение 9. Пусть Н — гильбертово пространство, — си-

стема ненулевых элементов Л,/ — некоторый элемент Н, Е = {(е^-, — последовательность числовых пар, называемых ошибками. Определим коэффициенты разложения {//>°11 с ошибками Е следующим образом:

1) положим

2) если уже определены коэффициенты Де, то положим

Формальный ряд Е^а называется орторекурсивным рядом Фурье элемента } по системе с ошибками Е = {(£;.

Пусть Н — гильбертово пространство и £ — некоторое множество последовательностей числовых пар. Будем говорить, что орторекурсив-ное разложение по системе {е^}^ устойчиво к ошибкам из множества С, если для любого элемента / € Н и любой последовательности Е - {(£^)}Г=1 6 орторекурсивное разложение элемента / по системе (еЛ°11 с ошибками Е сходится к / в Н.

¿бозначим через множество последовательностей числовых пар Е = таких- что Нтвир^оо У < 1 и 6 I2.

Из результатов В. В. Галатенко10 и теоремы 1.5 вытекает следующее утверждение.

Теорема 3.1. При выполнении условий (АО), (А1) и (А2) орторекурсивное разложение по системе Ф+{Ь) устойчиво к ошибкам из множества •

В главе 4 дается оценка скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам. Основным результатом является теорема 4.1'.

Теорема 4.1'. Рассмотрим орторекурсивное разложение по системе Ф+. Пусть функция (р удовлетворяет условиям (АО), (А1) и (А2), и

10Галатенко В. В., "Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов", Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 3-16.

порядок разложения во всех пачках одинаков11. Тогда существует С > О и невозрастающая функция д(т) —> 0 при т —> оо такие, что для любой функции / € £2(К) и любых целых пик, 0 < к < п, выполняется неравенство

1|Л»(/)Н < { [ 1/М12<ьХ'\д{п - *)ц/ц

(нормы подразумеваются в £2(К), определение остатка Яп(/) дано в определении 5).

Если = 0(|о>|~1/2~£) (е > 0) при |о>| -> оо, то существует

такое 0 < А < 1, что д{т) = 0(Ат/Ьт) при т-* оо.

Таким образом, норма остатка разложения оценивается через скорость убывания преобразования Фурье разлагаемой функции плюс некоторая функция, зависящая от порождающей функции ¡р.

В главе 4 также приводятся два примера оценок скорости сходимости для конкретных систем функций — системы характеристических функций двоичных полуинтервалов и системы типа Фабера-Шаудера.

Глава 5 содержит ряд дополнительных результатов об орторекур-сивных разложениях в гильбертовых пространствах. Так, в ней дается критерий переполненной орторекурсивной системы разложения. Кроме того, в этой главе упоминается многомерный случай — формулируется определение неортогональных всплесков в пространстве ¿2(К").

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Тарасу Павловичу Лукашенко за постановку задачи, постоянное внимание к работе и многочисленные полезные консультации.

Работы автора по теме диссертации

1. Кудрявцев А.Ю., "О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам", Математические заметки, 92:5 (2012), 707-720.

2. Кудрявцев А. Ю., "О скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам", Известия РАН. Серия математическая, 76:4 (2012), 49-64.

пТ.е. имеется взаимно-однозначное отображение в : N —► Ъ такое, что для любого

* > 0 Щ =

3. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов", Международн. школа-семинар по геометрии и анализу, посвящ. 90-летию Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо (5-11 сентября 2000 г.), Тезисы докл., Ростовский гос. ун-т, Ростов-на-Дону, 2000, 127-129.

4. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции", Современные методы теории функций и смежные проблемы, Тезисы докладов, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2001, 161-162.

5. Кудрявцев А. Ю., Лукашенко Т. П., "Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов", International Conference Optimization of Finite Element Approximations & Splines and Wavelets (25-29 июня 2001 г.), Санкт-Петербург, 2001, 141-143.

Теоремы 1, 2 установлены Кудрявцевым А. Ю., теорема 3 установлена Лукашенко Т. П.

6. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам сжат тий и сдвигов", Современные проблемы теории функций и их приложения, Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы, изд-во ГосУНЦ "Колледж", Саратов, 2002, 106-108.

7. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции", Международн. школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо (5-11 сентября 2002 г.), Тезисы докл., Ростовский гос. ун-т, Ростов-на-Дону, 2002, 133-135.

8. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам неортогональных всплесков", Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы конференции, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2003, 137-138.

9. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам", Современные методы, теории функций и смежные проблемы, Материалы конференции, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2011, 189-191.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж экз. Заказ № 3

Введение

Орторекурсивные разложения.

Неортогональные всплески.

Цель работы.

Структура и основные результаты работы.

1 О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам

1.1 Обобщенные орторекурсивные разложения.

1.2 Виды рекурсивных разложений по всплескам.

1.3 Теоремы о сходимости разложений.

1.4 Доказательство теорем о сходимости орторекурсивных разложений с конечными пачками.

1.5 Доказательство теорем о сходимости рекурсивных разложений других видов.

1.6 Доказательство теоремы о сходимости рекурсивного разложения по системе Ф.

1.7 Упорядоченные орторекурсивные коэффициенты.

2 О расходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам

2.1 Формулировка теоремы о расходимости.

2.2 Орторекурсивное разложение в пространстве последовательностей

2.3 Вспомогательное конечномерное орторекурсивное разложение

2.4 Доказательство теоремы о расходимости.

3 Об устойчивости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к вычислительной погрешности

3.1 Об устойчивости орторекурсивных разложений в гильбертовом пространстве к вычислительной погрешности

3.2 Об устойчивости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к вычислительной погрешности

4 О скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам

4.1 Формулировка теоремы о скорости сходимости.

4.2 Оценка скорости сходимости для обобщенных орторекурсивных разложений.

4.3 Доказательство теоремы о скорости сходимости.

4.4 Примеры оценок скорости сходимости

5 Дополнения

5.1 Рекурсивные разложения в гильбертовом пространстве

5.2 Критерий переполненной орторекурсивной системы разложения

5.3 О неортогональных всплесках в пространстве 1/(Мп)

Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться еще в первой половине XIX века. По всей видимости, первыми работами, в которых изучались ортогональные разложения, являются труды Д'Аламбера и Эйлера о колебании струны и работы Фурье о распространении тепла. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов (см. [1], [6], [7]), так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам (см., например, [4], [5]).

В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом рассматриваемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом / пространства со скалярным произведением Н, в Л выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная система где ] — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств Н), или бесконечность, и работа ведется не с самим элементом /, а с его разложением в ряд Фурье по системе то есть рядом гДе Л = (/> ез)/{ел ез)- Этот ряд сходится к элементу /, и в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частичную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.

Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности, то есть разности между элементом и частичной суммой разложения, а также так называемое свойство оперативности ("on-line"свойство). Последнее свойство заключается в том, что если точность, с которой N-ая частичная сумма приближает разлагаемый элемент, не является приемлемой, то для получения следующего приближения — (N + 1)-й частичной суммы — достаточно вычислить еще один коэффициент, не производя пересчет уже вычисленных коэффициентов. Свойство оперативности позволяет, в частности, параллельно осуществлять разложение и передавать уже вычисленные коэффициенты.

Вместе с тем, ортогональные разложения обладают свойствами, которые с точки зрения практических приложений являются отрицательными. Во-первых, условие ортогональности является очень жестким условием на систему, значительно сужающим класс систем, по которым осуществляется разложение. Во-вторых, ортогональные разложения принципиально не позволяют корректировать погрешности, возникающие в вычислении коэффициентов: для любой числовой последовательности {cj}j=1, отличной от последовательности {fj}^ коэффициентов Фурье элемента / по ортогональной системе ряд cj ej либо расходится, либо сходится к элементу, отличному от /.

В связи с вышесказанным, возникает актуальная задача определить процесс разложения, наследующий положительные свойства ортогональных разложений, но не обладающий приведенными выше отрицательными с точки зрения практики свойствами. Такие разложения, получившие название орторекурсивных, изучаются в настоящей работе.

Особенностью разложения в тригонометрический ряд Фурье или преобразования Фурье является отсутствие временной локализации — они позволяют получить частотную характеристику сигнала на всем рассматриваемом (конечном в случае ряда Фурье или бесконечном в случае преобразования Фурье) интервале времени. На практике часто используется преобразование Фурье с окном, но оно также обеспечивает ограниченную локализацию по времени, определяемую шириной окна (см. [5, §1-2])

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в 80-х гг. XX века появились всплески (другое название — вейвлеты) — системы функций, хорошо локализованных по времени и частоте. Они вызвали новую волну математических исследований (отметим книги [2, 5, 14, 15, 16, 20] и [7, гл. 7]) и, наряду с преобразованием Фурье, стали аппаратом цифровой обработки сигналов. Однако разложениям в счетные ортогональные системы всплесков присущи все недостатки ортогональных разложений. В частности, порождающая функция системы всплесков часто задается достаточно сложными выражениями (например, всплески Добеши, Мейера и др.). В связи с этим естественно рассмотрение систем неортогональных всплесков, где порождающая функция может быть выбрана произвольно из достаточно широкого класса функций.

В настоящей работе рассматриваются орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам.

Орторекурсивные разложения

Орторекурсивные разложения были предложены Т. П. Лукашенко в работах [10, 11]. Этот способ разложения в случае ортогональной системы дает в точности ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе. Приведем определение и некоторые свойства орторекурсивных разложений.

Определение 1. Пусть И. — гильбертово пространство над полем К или С, {еЛ^ — система ненулевых элементов Л. Для произвольного элемента / € ТС определим коэффициенты разложения {}]}]=1 следующим образом:

1) положим

2 (/.еО.

11 1Ы12'

2) если уже определены /ь ., /п, то положим (гпд),еп+1) /П+1 1к+1||2 ' где гп(/) = / - }3е3. ОО

Коэффициенты {/,} х будем называть орторекурсивными коэффициентами Фурье элемента / по системе (для ортогональной системы они совпадают с обычными коэффициентами Фурье), а формальный ряд }]ез ~~ орторекурсивным рядом Фурье элемента / по системе {е3}0=1.

Рис. 1: Двухмерная иллюстрация процесса разложения

Графическая иллюстрация процесса разложения в двухмерном случае приведена на рис. 1.

Теорема ([11]). Для любого элемента / е Л и любой системы С Л \ {0} справедливы тождество Бесселя

-ЕЛ<

7=1 и неравенство Бесселя и/н2-Е1Л121М2>

7=1

1Ыа<

7 = 1

1)

2)

Орторекурсивный ряд Фурье элемента / по системе {е.,}^ сходится к / тогда и только тогда, когда выполняется равенство Парсеваля

ЕЙ

7 = 1

2 II ||2 = 71 11 7 II

3)

Таким образом, для орторекурсивных разложений справедливы аналоги свойств разложений по ортогональным системам.

Идея орторекурсивных разложений восходит к заметке Б. С. и С. Б. Стечкиных 1961 г. [17]. В ней для каждого элемента / рекурсивно строилась своя система разложения {eJ(f)}'^=l (в этом случае утверждения теоремы также выполняются). Авторов больше интересовало доказательство равенства Парсеваля, возникающего при таком способе разложения. Именно наличие равенства Парсеваля навело на мысль об обобщении процесса, рассмотренного Стечкиными.

К сожалению, орторекурсивное разложение даже на плоскости может расходиться1 или сходиться к элементу, отличному от разлагаемого. Поэтому сформулируем

Определение 2. Систему {е,}^ С Н \ {0} назовем орторекурсивной системой разложения в пространстве Н, если для любого элемента / £ Н орторекурсивный ряд Фурье / по системе сходится к / в Н.

Определение 3. Систему {е^}^ сН \ {0} назовем безусловной орторекурсивной системой разложения в пространстве Л, если для любой перестановки о : N —» N система {e<T(j)}Jl1 является орторекурсивной системой разложения в ЪС.

Как отмечается, например, в работе [12], схема рекурсивного разложения допускает принципиально различные подходы: можно изначально фиксировать систему а можно на каждом шаге для данного элемента / (или для данного остатка rn(f)) выбирать из некоторого фиксированного множества очередной разлагающий элемент en+i(/). Второй подход реализуется, в частности, в так называемых жадных алгоритмах (Greedy Algorithms; см. [21]). Преимуществом орторекурсивных разложений по фиксированным системам перед жадными разложениями является линейность. Орторекурсивные разложения привлекательны также отсутствием усложняющего разложение алгоритма выбора следующего элемента.

Неортогональные всплески

Пусть (р — действительно- или комплекснозначная функция на вещественной прямой, принадлежащая пространству Лебега Ь2(Ш) над полем R или С соответственно. Функции pkti(x) = 2k/2<p(2kx -I), х е К, к, I е Z, (4)

1 Примером может служить разложение по системе векторов е0 = (cos Inj, sin Inj), j = 1,2,., вектора / ^ Аеь AgR. будем называть всплесками, порожденными функцией <р. При этом мы, как и в книге [20], вообще говоря, не требуем от семейства функций (4) ортогональности.

Пусть Ь = {Ьк}^0 — последовательность целых неотрицательных чисел. Рассмотрим систему функций

Ф +{Ь) = {<рк,1 :к>0,\1\< Ьк). (5)

Семейство Ф +(Ь), имеющее конечные пачки Щ = {<Рк,1 И < Ь/с}, занумеруем одним натуральным индексом в порядке возрастания номеров пачек, а внутри пачек — произвольным образом. Таким образом, функции <Рк,1 присвоим натуральный номер ] = з(к,1) так, чтобы из неравенства ] < / следовало неравенство к < к'. Положим е,- = (рк,1 ПРИ 3 = з{к, О

Определение 4. Систему Ф+(Ь) будем называть орторекурсивной системой разложения в пространстве Ь2(Ш), если система {е,}^ является орторекурсивной системой разложения в Ь2(Ш).

Определение 5. Систему Ф+(Ь) будем называть безусловной относительно перестановок пачек орторекурсивной системой разложения в пространстве Ь2(Ш), если для любой перестановки а множества совокупность Ф+,(т(Ь) = {(ра{к),1 '■ к > 0, |/| < Ьа(к)}> занумерованная натуральными числами в порядке возрастания номера к, а в пачках — произвольным образом, является орторекурсивной системой разложения в Ь2{Ш).

В.И. Филиппов и П. Освальд в статье [22] доказали, в частности, что если 1р € £2(К), \ч>(х)\ = 0(|х|1е) (е > 0) при —> оо и /К(р(х)с1х ± 0, то семейство всплесков (4), порожденных функцией (р, является системой представления в пространстве Ь2(Ш), т.е. для любой функции / е Ь2(Ш) найдется ряд вида ^(Я^/мО^); сходящийся к / в Ь2(Ш).

В настоящей работе мы получим результат, что при некоторых не слишком жестких ограничениях на порождающую функцию <р совокупность Ф+ (Ь) является орторекурсивной системой разложения в пространстве Ь2(Ш), и притом безусловной относительно перестановок пачек.

Цель работы

В работе рассматриваются орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам. Целью работы является изучение сходимости этих разложений, их устойчивости к вычислительной погрешности, а также получение оценок скорости сходимости.

В соответствии с поставленной целью были сформулированы следующие задачи:

• определить различные виды орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам;

• получить достаточные условия сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам для любой разлагаемой функции из пространства Ь2(Ш) к ней самой в метрике Ь2(М);

• построить пример, показывающий, что полученные достаточные условия нельзя существенно ослабить;

• изучить устойчивость орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к ошибкам в вычислении коэффициентов;

• получить оценки скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам.

Структура и основные результаты работы

Работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 31 наименование. Теоремы, леммы, утверждения и следствия имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер теоремы (леммы, утверждения, следствия) в этой главе. Определения и замечания нумеруются сквозным образом.

Во введении дается общий обзор исследуемой области, формулируются решаемые задачи и приводятся основные результаты работы.

1. Лукашенко Т. П., "О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам", Вестник МГУ Сер. I. Матем., мех., М., № 1 (2001), 6-10.

2. Лукашенко Т. П., "О новых системах разложения и их свойствах", Чебышевский сборник, Тула, 5, вып. 2 (2004), 66-82.

3. Лукашенко Т. П., Садовничий В. А. "О рекурсивных разложениях по цепочке систем", Доклады РАН, 425:6 (2009), 1-6.

4. Малла С., Вейвлеты в обработке сигналов, Мир, М., 2005.

5. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория всплесков, Физматлит, М., 2005.

6. Смоленцев Н. К., Введение в теорию вейвлетов, РХД, Ижевск, 2010.

7. Стечкин Б. С., Стечкин С. В., "Среднее квадратическое и среднее арифметическое", Доклады АН СССР, 137:2 (1961), 287-290.

8. Столниц Э., Де Роуз Т., Салезин Д., Вейвлеты в компьютерной графике. Теория и приложения, РХД, Ижевск, 2002.

9. Фрейзер М., Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры, Бином, М., 2008.

10. Чуй Ч., Введение в вэйвлеты, Мир, М., 2001.

11. DeVore R. A., Temlyakov V. N., "Some remarks on Greedy Algorithms", Advances in Computational Mathematics, 5 (1996), 173-187.

12. Filippov V. I., Oswald P., "Representation in Lp by series of translates and dilates of one function", Journal of Approximation Theory, 82:1 (1995), 15-29.Научные работы автора по теме диссертации

13. Кудрявцев А. Ю., "О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам", Математические заметки, 92:5 (2012), 707-720.

14. Кудрявцев А. Ю., "О скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам", Известия РАН. Серия математическая, 76:4 (2012), 49-64.

15. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции", Современные методы теории функций и смежные проблемы, Тезисы докладов, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2001, 161-162.

16. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов", Современные проблемы теории функций и их приложения, Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы, изд-во ГосУНЦ "Колледж", Саратов, 2002, 106-108.

17. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам неортогональных всплесков", Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы конференции, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2003, 137-138.

18. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам", Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы конференции, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2011, 189-191.