Вариационные и операторные методы решения краевых задач теории упругости для тел конечных размеров на основе модифицированных уравнений связей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕ

АКАДЕМИЯ

УДК 539.3

КРУШЕВСКИЙ Александр Евгеньевич

ВАРИАЦИОННЫЕ И ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕН КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ

КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ СВЯЗЕЙ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск 1998

Официальные оппоненты:

Оппонирующая организация:

доктор фиэ.-ыат.наз МАРТШЕНКО М.Д.;

доктор физ.-мат.наз ВИХРЕЖО B.C.;

доктор фт. -мат. naj СТАРОВОЙТОВ Э.И.

Белорусский аграрнс университет

Защита состоится иьсил. 1993 года в совета по защите диссертаций Д ,02.05.07 в Велору ственной политехнической академии ( 220027,г.Мин ны,В5,главный -корпус,«.201, тел. 2327425 ).

С диссертацией можно■ознакомиться в библиотеке Б государственной политехнической академии

Автореферат разослан

1998 года.

Ученый секретарь

Совета по защите .диссертаций

©¡Грушевский А.

пругости для тел, конечных размеров ' чреввычай; актически отсутствуют замкнутые решения для них, с рехмерной постановке. Поэтому разработка эффектов! очного и обоснованного приближенного решения та' вляется актуальной проблемой механики деформируема ела, тем более, что их решения требуют запросы стрш ¡ромышленности. Одним из плодотворных методов реше! !адач теории упругости являются вариационные мето; ¡рименение встречает много трудностей и прежде всег< ¡ыбора аппроксимирующих функций, и вариаций. На пра) юего аппроксимирующие функции подчиняются лишь гада [главным условиям для' принципа Лагранжа) и по : ;татическим. Однако подобрать такие функции даже для !адач не представляется возможным. В . настоящее вр® »той проблемы осуществляется за счет, разбиения < ганечные элементы (МКЭ), приводя задачу к решению шсла алгебраических уравнений.

В последнее время автором и его учениками сформи юе направление, основанное на широком привлечении м готической механики, а именно; применение стандартны ¡¡оставлению уравнений связей (точечных и интегральных от и поверхностных, алгебраических и дифференциальны вий закрепления и нагружения тела. Совместное решени звязей и вариационных уравнений обеспечивает выполнен условий в заданной форма, а внутри телена интегралы точной форма,

Связь работы с крупными программами, темах выполнялась на основе плана научно-исследователь Белорусской государственной политехнической академии координационный план института проблем механики координационный план физико-технического института АН

В частности, в период 1980-1985 г.г. в виде ра; дионные методы решения задач теории упругости" вход» Белорусского государственного университета "Смешанна ругости и термоупругости для однородных и кусочно-о; частей" (Проблема 1,10,2 Механика деформируемого тв£ ГБ-81-97,

'ела" работа выполнялась по теме:" Повышение эффектив! ов узлов и деталей машины с использованием современт ичислительной техники" (ГБ 91-10).

Цель и задачи исследования. Цель настоящей работ! азработке . обоснованных методов решения краевых зг пругости для тел конечных размеров на основе ва{ ршципа Лаграшка в точной и приближенной постаноЕ!-сслбдования состояли в разработке новых вариационных ипа Лагранжа' для элементарного столбика и слоя ривлечении методов аналитической механик}!, в ривлечении системы различных уравнений связей, состг словий закрепления и нагружения на основе стандартны? еортогональных рядов по собственным функциям с г ператорных методов. - ,

Объект и предмет исследования. Объектом ис вляется упругое твердое деформируемое тело конечных редметом исследования- являются вариационные и с етоды решения краевых задач теории упругости на оснс агранжа и модифицированных уравнений Связей, состав азе стандартных рядов.

Гипотеза. В работе на основе рядов Фурье с допод генами в виде полиномов Лежандра- Показана несостс бщеиввестного утверждения си! необязательном выполнен гатическйх условий, естественных для вариационного агранжа. Приведенные в работе примеры на основе указг оказали, что только выполнение всех краевьо Зеспечивает получение строгих- решений.

: Применение этих' рядов к решению задачи о равновес мышка подтвердило гипотезу Ламе о суперпозиции реше уперпозиция Ламе).

В' работе выдвинута гипотеза об" эквивалентности ог этода разложения данной функции в ряд гармонических эмощью однократного оператора и метода обобщенной орэ ии, что подтверждено на примерах составления фу: равнений для решения задач равновесия упругого прям

цилиндра и параллелепипеда.

Методология и методы проведанного исследования. В работе используется методология и методы аналитической механики (метод обобщенных координат, уравнения свяаей, вариационный принцип Лагранжа) и теории упругости (прямые вариационные методы в теории упругости: метод Ритца, Гадеркина, Треффца, Канторовича-Власова),

Развиваются идеи привлечения информации о нагружении, закреплении и геометрии упругого тела в виде модифицированных уравнений связей. Уравнения связей строятся на основе стандартных рядов в различных формах (точечных и поверхностных, алгебраичес-гах и дифференциальных, голономных и неголономных).

Научная новизна и значимость полученных результатов. Научную новизну исследования составляют: Новые вариационные уравнения типа Лагранжа для элементарного столбика и слоя, новый метод выбора аппроксимирующих функций в виде стандартных рядов с наложением на них информации о закреплении и нагружении тела и составление уравнений связей, впервые разработанный выбор в качестве аппроксимирующих функций рядов Фурье с дополнительными членами в виде полиномов Лёжандра, новый (операторный) способ разложения функции в неортогональный (ортогональный) ряд, новые дифференциальные (операторные) структуры в неортогональных рядах для решения вадач о равновесии упругого параллелепипеда и цилиндра, алгоритмы для автоматизированного на ЭВМ процесса составления вариационных уравнений, уравнений поверхностных и внутренних связей на основе степенных рядов . и применение к решению конкретных модельных задач и к • расчету реальных машиностроительных конструкций.

Практическая (экономическая, социальная) значимость подученных результатов. На основе разработанных алгоритмов и программ на ЭВМ получены решения ряда краевых задач теории упругости для прямоугольника, параллелепипеда, цилиндра и др. тел, а также произведен расчет реальных машиностроительных конструкций, а именно; корпусных деталей механических прессов, криволинейных элементов полуприцепов, деталей штамповой оснастки. Результаты расчета внедрены в производство.

)

. Экономическая значимость полученных результатов подтверждена актами внедрения на Воронежском заводе тяжелых механических прессов, б ИНДМАШе НАМ Беларуси, ИТК ПАЯ Беларуси, Шнеком автозаводе, на Минском заводе им. Вавилова, ъ которых отмечена экономическая эффективность расчетов и .внедренных программ. В работе приводятся некоторые акти внедрения.

Основные положения диссертации, Еыиосимие на защиту. На защиту выносятся; новые вариационные уравнения типа Лаграшна для элементарного столбика и слоя, ' новый метод выбора аппроксимирующих функций в виде стандартных рядов с наложением условий закрепления и нагружения и составление уравнений связей, впервые разработанный выбор аппроксимирующих функций рядов Фурье с дополнительными членами в виде полиномов Лежандра, новые разрешающие (операторные) уравнения для, упругого цилиндрического тела при статической и динамической нагрузке и различных краевых условиях на торцах тела, новые операторные структуры решения для упругого параллелепипеда и цилиндра при статической нагрузке и различных краевых условиях на торцах, новый (операторный) способ разложения функции в неортогональный -(ортогональный) ряд, операторный способ построения функциональных уравнений для решения краевых аадач теории упругости, примеры решения задач о равновесии упругого параллелепипеда и цилиндра при точном выполнении краевых услоеий на части поверхности, построение уточненной теории пластин при точном выполнении краевых условий на торцах пластинки, построение новик разрешающих функциональных уравнений на основе метода оргогонализации при решении задачи о сжатии упругого прямоугольника и конечного цилиндра с помощью рядов Фурье-Бесселя с дополнительными членами в виде полиномов Лежандра, алгоритмы для программного составления вариационных уравнений, уравнений поверхностных и внутренних связей при решении различных модельных задач, при расчете реальных машиностроительных конструкций 'типа корпусных деталей, анализ различных способов выполнения краевых условий при решении модельных вадач на базе степенных рядов, примеры построения математической модели равновесия периодонта на основе точного выполнения кинематических и статических условий на поверхности, примеры репения еадач о нахождении собственных частот. и форм колебаний, а также решение задачи о равновесии куба при импульсивном нагружешш.

Личный вклад соискателя. Вклад автора диссертации состоит в разработке теоретических основ применения методов аналитической механики к решению краевых задач теории упругости, а именно, в разработке новых вариациолых уравнений . типа Лагранжа для элементарного столбика и слоя, в применении стандартных рядов для составления уравнений связей, в разработке нового (операторного) метода разложения функции в неортогональный (ортогональный) ряд, в составлении алгоритмов на основе степенных рядов для формирования расчетных уравнений на ЭВМ. Под .руководством автора по . новому направлении в области аналитической механики упругих систем защитили ' кандидатские диссертации: В.Ф.Кондратюк, В.Н.Апанович, В.Я.Белавов, В.А.Акимов, Н.Я.Бойко,. А.А.Федута, О.Н.Скляр- и др. В этих диссертациях ученики автора использовали теоретические разработки и применили их к решению конкретных задач.

Апробация результатов диссертации. Материалы диссертаций докладывались на ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Белорусской государственной политехнической академия, на республиканских съездах математиков Белоруссии (1971, 1375, 1980 гг.), на научном семинаре теории колебаний в МВТУ им. Баумана под руководством К. С. Колесникова (1974 г., Москва), на научном семинаре при ФПК МГУ им.Ломоносова под руководством В.А.Ломакина и В.С.Ленского (1974 г.,. Москва), на научно-технической конференции Минского автозавода (1987 г.), на международной конференции "Колебания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике" (1993 г., Минск), на Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике (1995 г., Минск), на международной конференции "Экологическое моделирование и оптимизация в условиях техногенеэа" (1996 г., Солигорск), на научно-технической конференции, посвященной 30-летим Брестского политехнического института (Брест, 1996 г.).

Опубликованность результатов. При написании работы были использованы 57 научных работ, среди которых имеется одна монография (без соавторства), 5 научных статей в журналах, 38 научных статей в сборниках, 6 научных статей в материалах конференций, 7 тезисов докладов на республиканских и международных конференциях, 15 научных работ беа соавторства. В работах без соавторства опубликованы основополагающие идеи.

теоретические разработки, алгоритмы.

Большинство работ опубликовано в соавторстве с учениками (аспирантами и соискателями: Бойко Н.Я., Акимов В.А., Кондратюк В.Ф., Апанйвич В.Н., Федута A.A., Скляр О.Н., Севенюк А.З., Луц-ко Н.Я., Веланов В.Я. и др.), причем автору принадлежат теоретические разработки. С другими авторами имеется 6 работ.

Общее количество страниц в опубликованных материалах, использованных в диссертации, равно 532.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения, 206 источников использованной литературы, приложения, состоящего из с''актов внедрения и одной справки, и содержит 12 таблиц, 33 рисунка и насчитывает 252.страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В первой главе приведен краткий обзор работ, посвященных, решению-краевых задач теории упругости для тел конечных размеров, особое внимание обращено на развитие и обоснование вариационных методов.- Существенный вклад в развитие вариационных методов внесли ученые Власов В.З., Ворович И.И., Ионов В.И., Канторович Л.В., Мальцев Л.Е., Михдин С.Г., Образцов Й.Ф,, Огибадов П-М., Рвачев В.Л., Филоненко-Бородич М.М. и др. До настоящего времени недостаточно исследованы вопросы выбора аппроксимирующих функций, вопросы информативности аппроксимирующих функций и ва~ риа!^1й. В связи с этим предлагается новый выбор аппроксимирующих функций в виде стандартных рядов с наложением на них информации о закреплении и нагружении, в результате чего строится система модифицированных уравнений связей в.точечной или в интегральной форме, алгебраические или дифференциальные уравнения, уравнения внутренних или поверхностных связей.. Совместное решение вариационных уравнений и уравнений связей обеспечивает выполнение поверхностных условий и уравнений равновесия внутри в заданной форме. Вариационное уравнение предлагается строить на основе принципа Лагранжа. Для этой цели выведены новые вариационные уравнения типа Лагранжа для элементарного столбика и слоя, и дается их обоснование- в зависимости от выбора аппроксимирующих функций и вариаций.

Уравнение равновесия элементарного столбика

-([TSE -ск-Мндтъ

Уравнение равновесия элементарного слоя а-* г.

г/в-т^/г-^-Мт^Ш^

где '

Т--5Е- бисгллярное произведение тензора напряжений на тензор возможной деформации;

Hi. Н2, Нэ - коэффициенты Ламе ортогональной системы координат;

42, Чз - ортогональные координаты;

ei, ег, ез - орты ортогональной системы;

К - вектор объемных сил;

Fn - вектор поверхностных сил.

Во-второй главе осуществлено понижение мерности трехмерной задачи теории упругости на единицу с помощью вариационного уравнения равновесия элементарного столбика. Для этой цели строится стандартный ряд Фурье с дополнительными членами в виде полиномов Лежандра для устранения неполноты ряда и его первой производной на концах отрезка (-h/S,h/S) ^

В качестве вариаций используем ряды Фурье без дополнительных членов ..ввиду их полноты внутри отрезка (-h/2, h/2)i

ßü (i, fatf*,

Для замкнутости системы испольаованы краевые условия на плоскостях z»±h/2. В результате получаем девять вариационных уравнений и шесть уравнений связей. После. • исключения всех обобщенных перемещений, кроме дополнительных при полиномах Лежандра, получаем разрешающие (операторные)' дифференциальные уравнения для их нахождения, например, в случае сжатия (растяжения) цилиндрического тела (аадача А) получаем следующее разрешающее дифференциальное динамическое уравнение бесконечно, высокого порядка?.

3 - модуль сдвига; V - коэффициент Пуассона; л - коэффициент линейного расширения; х. - .закон распределения температуры внутри тела; х± г температура на торцах тела г=±Ь/2, х1, у4-, 2* -заданные напряжения на торцах г=±Л/2; Кх, Кг, Кз - проекции объемной нагрузки на оси координат.

Если разделить последнее уравнение на "а" и вычислить' прадед при а ~ 0, то получим уравнение статики в случае растяжения

(сжатия) цилиндрического тела

Как видим, оператор уравнения статики совпадает с оператором уравнения, полученного символическим методом А.И.Лурье едя той же. задачи.

Этот пример показывает, что для получения строгого решения при помощи вариационного уравнения Лагранжа необходимо выполнять не только кинематические (главные) условия, но и статические (естественные для принципа Лагранлса) условия. Если не выполнить в данной задаче естественные условия, а решение построить только с помощью вариационных уравнений на всех вариациях, включая и полиномы Лежавдра, то получим другой оператор, и, следовательно, решение задачи с другими краевыми условиями. Это означает, что методы понижения мерности задачи теории упругости без привлече-

иия краевых естественных условий; основанные на их выполнении с помощью вариационных уравнений, не позволяют о увеличением' числа вариаций получить строгое решение задачи.

С учетом вышесказанного в конца второй главы приводится • построение уточненной теории пластин на основе вариационного уравнения равновесия элементарного столбика с помощью полиномов Лежандра при условии точного выполнения краевых естественных условий на торцах пластины. При этом были построены уравнения не-голономных связей, представляющих собой условия равновесия на Горцах пластинки, и с их помощью определены независимые вариации. Совместное решение уравнений связей и вариационных уравнений обеспечивает точное выполнение условий на торцах и интегральное выполнение равновесия внутри пластины. Так, для первого приближения задачи растяжения (сжатия) и иагиба пластины потребовалось четыре полинома Лежандра и 12 обобщенных перемещений, для определения которых составлены шесть-вариационных уравнений (три уравнения для задачи растяжения и три уравнения для задачи изгиба) и шесть уравнений связей. На примере изгиба закрепленной круглой плиты равномерной нагрузкой дано сравнение с результатами классической теорией и других уточненных теорий (Амбарцумян, Груздев, Векуа). Вычислен в центре плиты прогиб, который соответствует, как оказалось,-результату по теории толстых плит А.И.Лурье.

В третьей главе построены дифференциальные структуры на баае неортогональных рядов собственных функций для решения вадач статики упругого параллелепипеда и цилиндра при различных краевых условиях на поверхности. Например, при заданных на торцах 2»±Ь/2 напряжениях получена следующая структура для задачи растяжения (сжатия) упругого параллелепипеда.

и = - 2 [лсАЯ* гфШ^Ш-Ш^Ж ^/^Ме^Щ-

+и >

иг- Ж /Шал

Ate корни уравнения shx^h + XrH - 0.

Специфика структуры решения основных краевых вадач теории упругости требует новых подходов к проблеме разложения функции в неортогональный ряд. Так, предлагается новый (операторный) метод разложения функции в иеортогоналъный (ортогональный) ряд; Разложение функции как в ортогональный, так и в неортогонаяышй ряд проводится с единых поаиций. Для этого строится дифференциальный оператор, в числителе которого стоит собственный оператор для всего набора заданного полного класса функций, по которым проводится разложение, а в анамейателе - собственный оператор к функции с номером "п"..

При разложении в ■ рад по четным функциям строится четный оператор, при разложении в■ряд по нечетным функциям - нечетный оператор. Лучше всего .операторный метод воспринимается на простейшем примере разложения функции в ортогональный рад Фурье. Пусть, требуется разложить^ ряд Фурье на отрезкек] функцию ех » ао + Efopcosnx + b^slnnx).

Применяя оператор. shrtdx/Kd*, записываем

М £>+ Jf facieinxtLSi/i/)aj} Trcfx 3rdx L ^

откуда находим ао - shs/д.

Оператор staKlx/itd^ был применен для того, чтобы обратить в нуль все члены ряда, кроме ао.

Для нахождения an применяем четный относительно производной dx- оператор dx3hitdx/(dx2+n2), т.к. он обращает в нуль коэффициент ао и члены, содержащие Ьпг я^/Ы у , dx thtftf* fae+j> (а„ бялх)],

е ~ «*< ¿Shir *

откуда при х - 0 СГ„ - згснчусмя7/ '

Для определения • Ьп применяем нечетный оператор shiidx/(dx2+n2), который обращает в нуль ао,и при х - 0 члены, содержащие an.'

ihrck « ihvdx Гд„ +У/апtojnx+i4'ппх]7,

откуда ¿п - ~ irCn'iOeoSTrn

Окончательно >

Ж n=f ЗГ{/}*+//ймлъ

что легко проверяется методом ортогонализации.

и

Новый (операторный) метод проверен на многочисленных примерах разложения функции в ортогональный и неортогоналышй ряд по функциям Бесселя, в неортогональный ряд по функциям, зависящим от комплексно-сопряженных корней,и др. С помощью операторного метода определены коэффициенты следующих разложений: х* = ав + а„ 7сЙ„х),

И

где Лп - корни уравнения Зг (Ап)-0,

К"*/

где зк - корни уравнения эЬац - а^ - 0.

Применение операторного -метода разложения функции в неортогональный ряд к решению краевых задач теории упругости осуществлено на примере сжатия упругого квадрата параболической нагрузкой, т.е. при у«4а/2 имеем ±а/2) - 0, бу(х, ±а/2)

ч}(х2-а2/4) •

На сторонах х«±а/2 выполнение краевых условий осуществляется за счет корней характеристического уравнения зГйа + \а » 0. .

В развернутом виде условия на сторонах у»±а/2 записываются так: ^

Вследствие того, что члены неортогонального ряда определяют самоуравновешенное напряженное состояние, коэффициент С находится из условия равенства нулю главного вектора напряжений бу на сторонах у»±а/2

* / 2} Г ё

Для нахождения коэффициентов Ак применяем операторы

В результате выполнений выкладок получим следующие функциональные уравнения; __

¿¿-Я?

Лл-.,__. ~

Анализ полученных функциональных уравнений указывает на возможность успешного применения метода последовательных приближений. В качестве первого приближения ввят'о решение бее беског вечных сумм, входящих в уравнение. Комплексно сопряженные коэффициенты Ак и Ак находятся по формулам;

А = •

Критерием точности первого при0лижеииа является выполнение краевых условий на сторонах у»±а/2 и прежде всего неоднородного условия бу(х, ±а/2) <= ч(х2-а2/4).

При учете одного корня Хаа=2,25075 + 14,212396 бу(0," ia/2) - -0,2735с1а2.

При учете двух корней'бу(0, а/2) » -0,278ча2.

Дальнейшие вычисления мало ' что улучшают. Поэтому строим второе приближение задачи

• * V

(<*»-&) л2 (Ч-Лу^'-Л^/

Л--2 7/

базе степенных рядов построена система голономных и неголономных уравнений связей из условия отсутствия нагрузки на четырех гранях. Исключение обобщенных перемещений с помощью голономных связей позволило построить дифференциальные структуры, точно' выполняющие условия отсутствия напряжений на четырех гранях. При этом каждое из напряженно-деформированных состояний сжатия и изгиба упругого параллелепипеда распадается на ряд частных видов с различной кинематикой поперечного сечения.

В качестве примера рассмотрена задача о нахождении собственных продольных' колебаний упругих стержней с ■ прямоугольным сечением. Первое приближение задачи строится с помощью полиномов третьей степени. Численные результаты получены для консольных упругих стержней с поперечным сечением одинаковой площади и сравнены с. результатами технической теории, не учитывающей форму поперечного сечения. Численное исследование показало/что чем короче стержень и чем большее различие сторон прямоугольника при одинаковой площади, тем больше отличаются частоты по данной теории по сравнению с технической.

Дается также и решение задачи статики о продольном сжатии параллелепипеда с помощью полиномов третьей степени при условии отсутствия нагрузки на четырех гранях. Результаты сопоставлены с резульатами элементарной теории.

Приведен пример изгиба консольного упругого параллелепипеда. Для первого приближения в решении' этой задачи понадобились полиномы пятой степени. ' Совместное решение вариационных уравнений на возможных перемещениях (5у»1, 5«=у) и уравнений неголономных связей позволило получить формулы для упругих перемещений и напряжений, уточняющие результаты элементарной теории. Формулы не очень усложнились, точно выполняют краевые условия на контуре поперечного сечения и интегрального условия равновесия внутри и характеризуют объемное напряженно-деформированное состояние консольной балки.

Эти и другие примеры приведены в кандидатской диссертации О.Н.Скляр, выполненной под руководством автора. Рассмотренные примеры показывают возможность построения уточненной теории растяжения (сжатия) и изгиба упругих стержней с различным поперечным сечением на базе степенных рядов без введения каких-либо гипотез. Достаточно выполнить краевые условия на контуре сечения с помощью уравнений связей и условия равновесия внутри с помощью вариационного уравнения элементарного слоя в интегральной форме. .

С целью выполнения работы по расчету криволинейных элементов полуприцепов была разработана структура решения задачи о равновесии конструкций с круговой осью. Дело в том, что в реальных конструкциях встречаются криволинейные элементы, имеющие круговую ось, причем размеры поперечного сечения этих конструкций не вписываются в гипотезы теории сопротивления материалов и задачу Головина. Поэтому использование этих теорий при определении напряжений подобного рода криволинейных элементов может привести к существенно неверным результатам. Суть предлагаемого метода расчета криволинейных элементов с круговой осью состоит в разложении компонентов вектора перемещений в ряды по базисным функциям вида гтгп и наложением свяаей из условий отсутствия нагрузки на прямоугольном контуре сечения. Ограничиваясь полиномами пятой степени, получаем 31 уравнение с 33 неизвестными, а после исключения линейно зависимых уравнений остается 26 уравнений с 33 неизвестными. Наконец, в результате исключения всех обобщенных перемещений, кроме Uoo» Изо. U40, U50, Uj4,, V02. V32 получим три уравнения неголономных связей с указанными семью обобщенными перемещениями. Подробный расчет конструкций с круговой осью в плоскости и из плоскости кривизны рассмотрен А'.А.Федутой в кандидатской диссертации, выполненной под руководством автора.

Полученные зависимости были использованы при расчете напряженного состояния криволинейных элементов лонжеронов рам большегрузных полуприцепов №3 9994, МАЗ 9988, поперечные сечения которых представляют собой двутавр иди двухсвязную область, ограниченную двумя прямоугольниками (коробчатое сечение). При атом важно отметить, что поверхностные граничные условия на внешнем контуре выполняются точно, а на оставшейся части границы, где краевые условия выполнены в интегральном смысле,налряжения вдоль нормали к поверхности весьма незначительны'по сравнению с другими напряжениями. Результаты расчета позволяют сделать вывод о том, что напряжения бг, бе имеют значения одного порядка, причем опасными с точки зрения нарушения прочности конструкций являются именно радиальные сжимающие и растягивающие напряжения в стенках криволинейных элементов, доходящие до предела текучести и вызывающие образования пластических зон в стенках. Это подтверждается характером разрушения рам при их эксплуатации.

В заключении четвертой главы рассмотрены построение структуры решения задачи при точном выполнении краевых условий на

контуре кругового сечения в случае цилиндра (цилиндрической) оболочки, а также с помощью криволинейных ортогональных координат специальных оболочек Еращения при кручении.

На основании построенных структур, с учетом первых нескольких слагаемых, выведены дифференциальные уравнения крутильных колебаний цилиндрической, конической, сферической оболочки и др. гел вращения. В частности,с помощью ортогональной сэтки, опроле-ляеыой аналитической функг^ей , получено

решение задачи о распределении напряжения при возникновении круговой трещины, распространенной на некоторую глубину в скручиваемом теле. .

Итак, вариационное уравнение равновесия элементарного слоя в случае статики приводит трехмерную задачу теории упругости в общем случае к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для решения таких систем могут также успешно использоваться методы аналитической механики. Так, в кандидатской диссертации Б.Я.Беланова, выполненной под руководством автора, построено решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в стандартных степенных рядах с наложением на них информации о краевых условиях, т.е. построен модифицированный метод Бубнова-Галергагаа.

Пятая глава посвящена решению краевых задач теории упругости с помощью вариационного уравнения равновесия полного объема. Ввиду простоты, различных операций над степенными рядами особое внимание уделено решению в стандартных степенных рядах. Построена структура вариационных уравнений (табл.1), для вычисления коэффициентов которых используются объемные интегралы типа

Лшпр - *хг"уп2р^ , а также <• структура уравнений внутренних связей (табл.2) ив условия с11УТ + (Ь 0 и структура уравнений поверхностных свяаей ■ иа условия п-Т - Гп » 0 в точечной или интегральной форме.

Испольвование вариационных уравнений и уравнений внутренних связей позволяет построить модифицированный метод Треффца. Модификация состоит в том, что решение строится в степенных рядах, которые заранее не удовлетворяют никаким условиям, а вся информация в виде уравнений связей о равновесии внутри вносится дополнительно. Совместное решение вариационных уравнений и уравнений внутренних связей обеспечивает ^точно выполнение условия (ШТ+ЫЭ и приближенно - условия п-Т-Гп=0. В качестве

Таблица I ' Коэффициенты вариационных уравнений

Хи.7-2ЕМ -4 Ш1Г-

^47Ь'р, ^ПсП/сРк.

«о ■ 7 • 7 й £

Л ^ н ЩЯк У^аЧкМ^г^Р^Р* ■1 4 р

ГЦ £ ■ 7 й А

Таблица 2 . .Коэффициенты уравнений внутренних связей

и - 1Г иг

7М(^)11ПН>П/Р + +((1*1){1Ь2) Ит.Пг^р + 1-(р-и){{»Ц Нт, п, р+г (НММ^щр (НМН^п.м Л

и 1 (Р)ММЦЩЧР 'тн)(т1)1ГтггП/Рт ^»,>1/11-2 (НМ^Кщр*!

-- (М(Ч{НК<>ЧР>/ -/г ь

тестовых задач рассмотрены: задача сжатия (растяжения) плоской фигуры с одной осью симметрии (4 вариационных уравнения и 2 уравнения внутренних связей), задача о сжатии шара (4 вариационных уравнения и 2 уравнения внутренних связей), задача о сжатии упругого квадрата двумя сосредоточенными силами (30 вариационных уравнений и 20 уравнений внутренних связей). Первые две задачи решались без множителей Лагранжа, задача о сжатии упругого квадрата с множителями Лагранжа. Решение задачи без множителей Лагранжа (разновидность проекционного метода) дает хорошие результаты при малых приближениях. Однако вследствие отсутствия симметрии матрицы расчетных уравнений быстро теряется устойчивость при больших приближениях.

Применение множителей Лагранжа делает матрицу расчетных уравнений симметричной и обеспечивает лучшую устойчивость вычислительного процесса, критерием которого является энергетическая норма сходимости.

Оба эти подхода рассмотрены В.Ф.Кондратюком в кандидатской диссертации, выполненной под руководством автора.

Другой ученик автора В. Н.Апанович, в своей кандидатской диссертации разработал метод исключения всех уравнений поверхностных и внутренних связей, в результате чего получил модифицированную координатную систему.

Яод руководством автора были разработаны программы решения на ЭВМ краевых задач теории упругости. Эти программы включают: вычисление объемных интегралов для элементов в вида параллелепипедов, цилиндров и ■ призм, автоматизированное составление всех групп расчетных уравнений ..(вариационных уравнений, уравнений поверхностных и внутренних связей), с множителями и без множителей Лагранжа, исключение обобщенных перемещений с помощью уравнений связей и модифицирование координатной системы. Построенные программы позволили решить и исследовать целый ряд задач статики и динамики для параллелепипедных и цилиндрических тел. Так, для тел параллелепипедной формы было исследовано влияние точечного выполнения краевых условий на устойчивость вычислительного процесса. Точечные уравнения неоднородных статических связей . особенно улучшают реиения в области нагружения. Они должны применяться в обязательном порядке, если нет возможности точного выполнения условий нагружения. Что касается однородных статических связей (условий равенства нулю напряжений),, то при

уолых приближениях лучше не применять, т.к. они вносят, как и в методе коллоканий сильное осциллирование напряжений. На примере расчета цилиндрической втулки было показано, что выполнение однородных статических условий лучше осуществить интегрально, т.е. выполнить условие равенства нулю интеграла от напряжений иа некотором участке поверхности.

Используя преимущество интегрального выполнения краевых условий перед точечным, ученик автора В.Н.Апзнович построил модифицированный метод конечных элементов.

Кроме указанных исследований в области выполнения краевых условий, в работе проведено численное исследование ряда динамических гадач для тел параллелепипедной формы. Исследованы собственные частоты и формы продольных колебаний упругих консольных стержней квадратного сечения различной длины. Для коротких стержней отмечено качественное и количественное отличие формы колебаний и их собственных частот от результатов технической теории. Расчеты проведены с помощью полиномов пятой степени. Полученные результаты сопоставлены с результатами решения задач по классической теории колебаний стержней, что позволило выявить пределы применимости классической теории, а также влияние допущений, принятых в этой теории, на расчетные значения собственных частот колебаний. Исследованы также волновые процессы, возникающие при продольном ударе. В качестве степенных координатных ' функций испольвованы три формы собственных колебаний куба, соответствующие трем низшим собственным частотам. Выяснено, что после прекращения действия импульсивной нагрузки наибольшие напряжения возникают на некотором расстоянии от торца куба. Фронт волны существенно неплоский, а максимальные касательные напряжения, начиная с центра, распространяются примерно под углом 45°к направлению ударной нагрузки. Полученные результаты хорошо ■ согласуются с данными экспериментальных исследований Г.Кольского при разрушении кубического образца с помощьп точечного взрыва в центре одной из его граней,

В работе также приводятся некоторые результаты выполненных исследований по расчету корпусных деталей прессового оборудования. Так, был произведен расчет стола пресса К2535А при ватяжке с помощью полиномов четвертой степени по всем трем координатам. Задача свелась к решению 41 алгебраического. ур«ви«квя (30 вариационных уравнений, 9 уравнений внутренних связей, 2 уравнения

роверхиостных кинематических связей).

Результаты экспериментальных исследований оказались близки к расчетным.

Для расчета станины пресса К8544 при рабочих нагрузках было составлены'62 алгебраических уравнения (33 вариационных уравнения, 17 уравнений внутренних связей, £ уравнения кинематических связей и 10 уравнений статических связей) для нахождения 33 обобщенных перемещений и 29 множителей Лагранжа. Результаты расчета в области втулки были близки к экспериментальным значениям радиальных напряжений.

В рассмотренных примерах расчета реальных машиностроительных конструкций автор не ставил цель» дать решение технических проблем, а стремился показать работоспособность предлагаемого нетода и его возможности при решении серьезных задач. Технические вадачи совершенствования конструкции бшш выполнены и представлены в соответствующих отчетах,

На основе точного выполнения поверхностных кинематических и статических условий построена математическая модель равновесия периодоНта в виде упругой прослойки, ограниченной двумя составными эллиптическими гиперболоидами. При этом наружная поверхность периодонта предполагалась неподвижной, а внутренняя -жест-га скрепленной с корнем зуба, рассматриваемого как абсолютно твердое тело. Вследствие незначительной толщины периодонта были использованы лишь условия равенства «удо главного вектора и главного иоиента всех . сил, действующих на париодонт,- и напряжений на поверхности скрепления периодонта и корня зуба. Благодаря введению центров сопротивления, т.е. точек, в которых силы вызывают лишь поступательные перемещения, систему уравнений удалось расчленить на отдельные группы уравнений и получить рабочие формулы для всех искомых параметров.

С целью исследования решения на основе методов аналитической механики при устремлении числа аппроксимирующих функций к бесконечности и при задании негладких' краевых условий была рассмотрена тестовая задача о сжатии упругого прямоугольника сосредоточенной силой, ступенчатой и треугольной натрувкрй. Решение осуществлено в двойных рядах Фурье с дополнительными членами в виде полиномов Лежандра, а именно::

«<-2 и*

при х-±а/2 бх=тху»0;

при у»±Ь/2 хХу=0, буу*/2 .

Для определения десяти обобщенных перемещений имеем четыре вариационных уравнения на вариациях

и шесть уравнений связей из условий равновесия на контуре прямоугольника при х«*а/2 ^

В результате совместного решения вариационных' уравнений и уравнений связей получаем функциональное уравнение вида

где

Решение полученного функционального уравнения осуществлено методом последовательных приближений и сводится к построению квадратной матрицы гп и матрицы-столбца Ш).

Затем перемножаем квадратную матрицу на матрицу-столбец, результат перемножения умножаем снова на квадратную матрицу и складываем полученные результаты. Сходимость изложенного метода последовательных приближений обеспечивается, во-первых, невозрастающей функцией Ш) и.во-вторых, тем обстоятельством, что модуль суммы Еги меньше единицы.. Для решения функционального уравнения на ЭВМ построена программа, которая

Н-Т КОИф./ЕГМ.-Минск, 1970. - С.51-57.

7. Кондратюк В.Ф., Крушевский А.Е. Определение упругих деформаций конструкций с круговой осью на основе методов аналитической механики// Сб, матер, секции теор. и прикл.мех. 26-й Нгт, КОНф./БГШ.-Минск, 1970.- С.58-63.

8. Кондратюк В.Ф., Крушевский А.Е. Расчет упругих элементов тензозвеньев на основе теории упругости// В сб. Технология торфяного производства и торфяные машины.-Ьып,2,"Минск, 1973. -С. 103-107.

9. Кондратюк В.Ф., Крушевсгаш А.Е. К вопросу расчета станины пресса К-8544 на прочность// В сб. Технология торфяного производства и торфяные машины.-Вип.2.- Минск, 1973.- С. 108-111.

10. Кондратюк В.Ф., Крушевский А.Е. Некоторые вопросы расчета корпусных деталей машины на основе методов аналитической механики с применением ЭВМ//Тематический сб. Теор. и прикл. мех.-' Шнек, 1973.- С. 111-120.

11. Бойко Н.Я., Крушевский А.Е. К вадаче изгиба упругого цилиндра при заданных на торцах нормальных напряжениях и касательных перемещениях// В сб. Теор. и прикл. мех.-Минск, 1973. -С. 94-107.

12. Крушевский А.Е., Сеиота Ю.А. Операторное решение осе-симметричной теории упругости в цилиндрических координатах// Тематический сб. Теор. и прикл. механика.-Минск, 1973.- С.89-93.

13. Крушевский А.Е., Кондратюк В.Ф. Об одном способе построения Лагранжа первого рода в теории упругости// В сб. Теор. и прикл. механика,-6ып. 1. Минск, 1974.-С.34-38.

14. Крушевский А.Е. - К вопросу о расчете сооружений на устойчивость//В сб. Строительные конструкции и теория сооружений,-БШ1.2.-МИНСК, 1974. - С.45-58.

15. Крушевский А.Е. Построение уточненной теории пластин на основе методов аналитической механики// В -сб. Строительные конструкции и теория сооружений.-Вып.2,- Минск, 1974. - С.32-45.

16. Крушевский А.Е., Чураков В.М. Примеры решения некоторых задач математической теории упругости в неортогональных ря-дах//В сб. Теор. и прикл. мек.-Вып.2,-Минск, 1975. - С,91-102.

17. Крушевский А.Е., Кондратюк В.Ф., Бойко Н,Я., Шиповский

B.М. Применение методов аналитической механики к задаче определения напряженно-деформированного состояния корпусных деталей прессов//В сб. Теор. и прикл.мех.- Ьып.2,,-Минск, 1975,-

C.102-113.

18. Крушевский А.Е., Беланов В.Я. Определение деформации растяжения (сжатия) главного корпуса редуктора режущей части угольного комбайна 2К-62.-Деп. N 448 ЦКИЭИ угольной промышленнос-ти/УРеф. журнал "Горное дело".-М., 1975. - С.10..

19. Крушевский А.Е., Севенюк А.З. Приближенное определение спектра частот продольных колебаний упругого параллелепипеда при точном выполнении краевых условий на его четырех гранях// В сб. Теор. и прикл.мех.- Вып.5,-Минск, 1975. - С.3-10.

20. Величко Л.С., Крушевский А.Е., Соснин Г.П. Решение задачи о равновесиии периодонта при действии на вуб внешних сил// В сО. Теор. и прикл. мех.-Вып.3.-Минск, 1976. - С.63-80.

21. Беланов В.Я., Крушевский А.Е. Вывод расчетных уравнений для определения напряженно-деформированного состояния корпусных деталей типа коробок// В сб. Теор. и прикл. мех.-Вып.3.-Минск, 1976. - С. 81-87.

22. Беланов В.Я., Крушевский А.Е. Определение деформаций изгиба корпуса главного редуктора режущей части угольного ком--байна 2К-52// В сб. Теор. и прикл. мех .-Вып. 5.-Минск, 1978. -С.10-18.

23; Крушевский А,Е., Севенюк А.З. Определение спектра собственных частот продольных колебаний упругих стержней с прямоугольным сечением при точном выполнении краевых условий отсутствия нагрузки на боковой поверхности// В сб. Теор. и прикл.мех,-Вып.6.-^Минск, 1979. - С.3-8.

. 24. Крушевский А.Е., Скляр О.Н. Изгиб упругого параллеле-' пипеда при точном выполнении условий отсутствия нагрузки на четырех боковых гранях// Веб. Теор. . и прикл.мех.-Вып.6,тМинск, 1979. - С.15-22.

25. Крушевский А.Е,, Севенюк А.З. Применение степенных рядов для построения структуры решения задачи сжатия упругого параллелепипеда при отсутствии нагрузки на четырех гранях// В сб. Теор. и прикл. мех.-Ьып.7.-Минск, 1980. - С.36-39.

25. Крушевский.А.Е., Скляр О.Н. Построение структуры решения Задачи изгиба упругого параллелепипеда при отсутствии нагрузки на четырех гранях// В сб. Теор. и прикл.мехВып.8/-Минск, 1981. - С.6-11.

27. Крушевский А.Е., Апанович В.Н. К вопросу расчета базовых деталей транспортных машин как континуальных динамических систем//В кн. Вопросы транспортного машиностроения. - 1Ула: ТЛИ, 1981. - С.76-79.

28. Крушевский А.Е., Апанович В.Н'. Решение задачи о свободных колебаниях массивных конструкций методом последовательных приближелипУ/Изв. вузов .-Машиностроение,. - 1981 - № 9. - Ö. 17-20.

29. Крушевский А.Е., Акимов В. А. Исследование рядов перемещений в задаче о равновесии плиты в точной постановке// В сб. Теор. и прикл. механика,-Вып.9.—Минск, 1982. - G.26-31.

30. Крушевский А.Е., Апанович В.Н. Решение некоторых задач о собственных колебаниях стержней в постановке трехмерной динамической теории упругости// В сб. Теор. и прикл.мех.— Вып.9.-Минск, 1982. - С.32-38.

31.Крушевский А.Е. Решение задачи о равновесии периодонта 1сак оболочки, ограниченной двумя эллиптическими двуполостными гиперболоидами//В сб. Теор. и прикл, мех.- Ьып. 10.-Минск, 1983.-С.11-21.

32. Крушевский А.Е., Апанович В.Н. Распространение упругих волн в кубическом образце при импульсивном нагружении// В сб. Теор. и прикл. мех.- &ып. 10.-Минск, 1983. - С.27-31.

33. Крушевский А.Е., Апанович В.Н. О сходимости вариационного метода при точечном выполнении граничных условий//В сб. Те-ор. и прикл, мех.-Ьып. 11 .-Минск, 1084. - С.13-17.

34. Крушевский А.Е., Акимов В. А. К. вопросу оО определении коэффициентов неортогональных рядов на примере равновесия жестко защемленной плиты//В сб. Теор. и прикл. механика.—Вып. И лМинск,

1984. - С.21-27.

35. Крушевский А.Е., Апанович В.Н. Программная реализация аналитического вариационного метода решения трехмерных аадач теории упругости// В сб. Теор. и прикл. механика.-Ьып.12.г Минск,

1985. - С. 14-17. '

36. Крушевский А.Е., Федута A.A. Решение задачи о совместном кручении и изгиба из плоскости кривизны бруса с круговой осью прямоугольного поперечного сечения// 8 сб. Теор. и прикл. мех.тВып.12.-Минск, 1985. - С.21-29.

37. Крушевский А.Е. Аналитическое исследование напряженного состояния области соединения зерна шлифовальника со связкой// В еб. Машиностроение.—Вып. 10, Минск,-1985. - С.32-36.

■ 38. Крушевский А.Е., Федута A.A. Определение напряженного •состояния в криволинейных элементах рам полуприцепов/^ В сб. Машиностроение-Ьып. 11.-Минск, 1986. - С. 112-115.

39. Крушевский А.Е. Сжатие (растяжение) упругого прямоугольника при заданных на контуре напряжениях// В сб. Теор. и

прикл. механика,-был. 13,-Минск. 1986. - С. 13-18.

40. Крушевский А.Е., Луцко Н.Я. Построение алгоритма и пакета программ для решени осесимметричных статических задач теории упругости на ЭВМ// В сб. Теор. и прикл. механика.-ВыпЛЗ;-Минск. 1986. - С.36-41.

41. Крупивский А.Е., Акимов В.А. Операторный метод определения коэффициентов неортогональных рядов// В сб. Теор. и прикл. механика.-£ып.14,-Мииск. 1987. - G.64-58.

42. Крушевский А.Е., Луцко Н.Я. Применение метода обратной итерации к решению задач о собственных колебаниях цилиндрического тела// В сб. Теор. и прикл. механика,—Вып. 14,-Минск, 1987. - 0.58-61.

43. Крушевский А.Е. Осесимметричное растяжение (сжатие) упругого конечного цилиндра при заданных на его поверхности нал-ряжениях//В сб. Теор'. и прикл. механика.-Вып. 15,-Минск, 1988. -С.59-63.

44. Крушевский А.Е., Федута A.A., Горецкий И.А. Определение напряжений в упругих элементах конструкций с круговой осью

»»п »/лячАиттлпщщлпл плтлпп VftuniA'v*titliiB«Dn>5i,>r»Mi // й ^ft

liU WViiWUV inv^i^ltHlipW^UI^i w IUV«VHU tMUlVfVUll M w vwt

Теор. и прикл. механика*-Ьып. 15»-Минск, 1988. - С.143-14Э.

45. Крушевский А.Е. Исследование напряженного состояния упругого конечного цилиндра, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси// В сб. Теор. и прикл. механика.-: Ьш1.16,-Минск, 1989. - G. 65-70.

46. Крушевский А.Е., Севенюк А.З. Построение дифференциальной структуры решения задачи о равновесии упругого цилиндра// Сб. научн. статей кафедры сопротивления материалов и теор. меха-кики Брестского политехи. ин-та^-Брест, 19ÇÎ4. - С.94-97.

47. Крушевский А.Е., Наумович С.А.- Математическое моделирование равновесия периодонта зуба//.Докл. АН Беларуси. T.41rNlr 1997.- С.38-43.

48. Крушевский А, Е., Наумович С. А.' Исследование напряжен-* ного состояния области соединения периодонта с корнем зуба//" Международный журнал Радиоэлектроника.: Биомедицинская радиоэлектроника,. - 1997. - » 4 - С.90-93. ■

49. Крушевский А.Е., Бойко Н.Я. Метод построения решений вадач упругого цилиндрического тела с согласованными условиями на торцах на базе вариационного, принципа. Ладанжа// Becul АН Бе-' aapycl; Серыя ф1в.-мат.навук. - 1997. - » I. - C.I9-27.

50.. Крушевский А.Е., Бойко Н.Я. Сжатие упругого свободного

прямоугольного параллелепипеда при действии на торцы нормальных перемещений клинообразной эпюры// Весц! АН Беларус1. Серыя Ф1з.-мат. навук. 1997. _ # _ С.&З-бО.

51. Крушевский А.Е. Точное решение некоторых задач пространственной теории упругости/Тезисы доклада на 3-й респ. конф. математиков Белоруссии.-Минск, 1971 г, - С. 167.

52. Крушевский А.Е., Чураков В.М. Решение некоторых задач математической теории упругости в неортогональных рядах// Тезисы доклада на 4 респ. конф. математиков Белоруссии/-Минск, 1975. -

е.69.

53. Крушевский А.Е., Апанович В.Н. Сравнительное исследование методов Ритца и Треффца применительно к решению некоторых пространственных задач теории упругости//Теаисы докл. на 5 "респ. конф. математиков Белоруссии-Гродно, 1980.- С. 162.

54. Крушевский А.Е., Севенюк А.З. Построение структуры решения некоторых задач теории упругости// Тезисы докл. на б "респ. конф. математиков Белоруссии.-Гродно, 1980. - С.163.

55. Крушевский А.Е., Горецкий И.А. Вывод обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета криволинейных элементов рам >полуприцепов// Тезисы докл. на н/т конф., пссвященной 70-летию Октября/ (ЛАЗ, Минск, 1987. - С. 70-74.

56. Крушевский А.Е. Применение вариационного принципа Лаг-ранжа к определении частот собственных колебаний упругих тел/ Тезисы докл. международной конф. "Колебания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике".г-Минск, 1993.- С.81.

. 57. Крушевский А.Е. Приведение краевых задач теорий упру-, гости для конечных тел к .функциональным уррнениям//Тевисы докл./ Белорусский конгресс по теор. 'и прикд.механика,~ Минск, 1,995. -С.337-333. //

РЕЗЮМЕ Крушевский Александр Евгеньевич

Вариационные и операторные методы решения краевых задач теории упругости на основе модифицированных уравнений сгязей

Вариационный принцип Лагранжа, уравнения внутренних и поверхностных связей, операторные методы, функциональные ураоне-

ния, неортогональные (ортогональные) ряды.

Объектом исследования является упругое тело конечных размеров, предметом исследования служат вариационные и операторные методы на основе модифицированных уравнений связей. Целью работы является создание аналитической механики упругих систем на основе принципа Лаг ранта. 'В работе впервые в качестве аппроксимирующих функций применены стандартные ряды Фурье с дополнительными членами в виде полиномов Лежандра с целью устранения их неполноты на"концах отрезка, в результате Чего построены строгие решения для упругого прямоугольника, цилиндра и параллелепипеда. Выяснено, что только выполнение всех краевых условий,' в том числе и естественных для■принципа Лагранжа, обеспечивает строгое решение задачи, а таете обосновывает идею суперпозиции решений.

В работе впервые разработан операторный метод разложения функций в неортогональный (ортогональный) ряд. Для предложенного метода строится в числителе оператор, которому удовлетворяют все функции данного ряда, а в знаменателе - оператор, которому удовлетворяет функция с фиксированным номером.

На основе степенных .рядов разработаны алгоритмы дня автоматизированного составления на ЭВМ вариационных уравнений, урав-, нений внутренних и поверхностных связей и применены к решение различных краевых задач для упругих тел, в том числе и к расчету реальных инженерных конструкций. Результаты расчета и программы используются в организациях, специализирующихся на создании конструкций с жшышенной прочностью и виброустойчивостыо.

Р 3 3 Ю М Е Крушзуск! Адяксандр Яугенав1ч

Варыяцыйныя 1 аператарныя метады рашэння краявых задач тэоры1 пругкасц1 для цел канечных размерау на грунце ' мадыф!каваных урауненняу сувязяу

Варыяцыйны прынцып Лагранжа, урауненн! унутраных 1 павярхоуных сувязяу, аператарныя урауненн!, неартаганальныя (артаганальныя) рады.

Дефектам даследавання з'яуляецид пругкае цела канечных размера;?, прадаетам даследавання з'яулжида варыяи»=йныя i аператарныя мэтада на грунце мапьф1каваных: ураунення^ сусяэяу. Мэтай ра

боты з'яуляецца стварэнне анал1тычнай механ1к1 пругк!х с!стэм на грунце принципа Лагранжа.

Уперашню у якасЩ апракс1м1руючых функций дастасаваны стандартный рады Фур'-е 8 дадатковым! членам! у выглядве пал1нсмау Лежандра а.мэтай выканання краявых умоу, у вын1ку чаго пабудава-ны строг1я рашэнн1 для пругкага прамавугольн1ка, цыл1идра 1 па-ралелеп!педа. Падкрэсл1ваецца, што тольк1 выкананне ycix краявых умоу, у тым д!1су i натуральных умоу для прынцыпа Лагранжа, 8а-бяспечвае атрыманне строг1х рашэнняу задачы, а таксама абгрунто-увае 1дэю суперпаз!цы1 рашэнняу.

Упершиюо распрацаваны аператарны метад раскладання фушщый у неартаганалышя'(артаганальныя) рады. Для гэгага метода буду-ецца у л1чн1ку аператар, агаму эдавальняе дадзены клас функций, у назоун!ку - аператар, якому здавалъняе функшя о ф1ксаваным нумарам.

На грунце стандартных ступеиных радоу распрацаваны алгарытмы для- а?.таматызаванага на ЭВМ атрымання варьгацыйных урауненняу, урауненняу" унутраных 1 . лавярхоуных сувязвО 1 дастасаваны для рашэння розных задач тзоры! пругкасЩ, у тш л!ку 1'для разл!ку рэальных 1шшнерных канструкцый.

BuHiKi 1 праграмы выкарыстоув'аюцца на некаторых заводах 1 прадпрыемствах.

SUMMARY

Krushevskl Alexander Evgen'evlch •

Variational and operator methods ot a boundary-value problem solution of the elasticity theory for finite size

bodies on the basis of the modified equations of bonds

Variational principle of Lagrange, equations of interior and surface bonds, operator methods, functional equations, nonortliogonal (orthogonal) serieses.

The subject of the investigation is the elastic body of final sizes and variational and operator methods on the basis qf the modified equations of bonds. The purpose of work is creation of analytical mechanics of elastic systems on the basis of Lagrange's principle. In work for approximating functions the standard Fourier serieses with additional terms as Legendre

polynomials with the purpose of satisfying of the boundary conditions are pioneered the application. In consequence of this the strict solutions for an elastic rectangle, a cylinder and parallelepiped are obtained. It turns out that only the fulfilment of all boundary conditions including natural ones for Lagrange principle guarantees the strict solution of the problem and also Justifies idea of a superposition of solutions. In work operator method of function expansion in nonorthogonal (orthogonal) series is for the first time offered. For this method an operator which all functions satisfy and other operator which satisfy fixed function are constructed. Then the first operator is divided on second.

On the basis of • power serleses algorithms for automated construction of the variational equations, equations of interior and surface bonds on the computer are developed and are applied to a solution of various boundary-value problems for elastic bodies Including, calculation of actual engineering constructions. The results of calculation and the prcgrsss arc uspd in the organisations which are specialised building constructions with demands to the strength and vlbrostability.