Численное решение задач теории упругости в произвольной криволинейной системе координат тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

ЦУРИНОВ НИКОЛАЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

УДК 518:517.9447.947

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1992

Работа выполнена в ВЦ СО РАН

Научный руководитель: член - корр. РАН,

профессор А.Н.Коновалов

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н. М.Ы. Карчевский,

к.ф.-м.н. Н.М. Горский

Ведущая организация: Институт математики АН РБ, г.Минск

Защита состоится ик>*и$ 1992г. в "" ч. на заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кадидата наук в Вычислительном центре СО РАН по адресу:

630090, г.Новосибирск-90, пр.акад.Лаврентьева,б

С диссертацией мошю ознакомиться в читальном зале Вычислительного центра (Новосибирск-90, пр. акад. Лаврентьева,6)

Автореферат разослан "/5" игл*? 199&.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н.

Ю.И.Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных классов задач математической физики являются краевые задачи теории упругости. Возрастающие требования к точности расчетов ставят перед исследователями задачу построения эффективных численных методов определения напряженно-деформированного состояния (НДС) для реальных упругих тел со сложной геометрией.

Одним из таких методов численного решения задач теории упругости является метод конечных разностей (метод сеток), который достаточно полно исследован в декартовой системе координат для прямоугольных областей. Вместе с тем, наличие ряда практических задач требует развития теории разностных схем (построение схем, наиболее полно сохраняющих свойства исходной задачи, исследование сходимости, получение оценок точности) для уравнений теории упругости в криволинейных системах, координат. При этом наименее развитой в настоящее время остается теория разностных схем в неортогональных системах координат, сложность разработки которой связана с трудностями построения дискретных аналогов тензорного исчисления. Все это и определяет актуальность данной работы.

-Цель работы. Построение и исследование операторно-разност-ных схем для различных постановок статической задачи теории упругости в случае краевых условий первого и второго рода в произвольной криволинейной неортогональной системе координат.

Методика исследования. В работе применяются методы теории разностных схем и элементы тензорного анализа.

Научная новизна. Предложен принципиально новый способ аппроксимации ковариантных производных в произвольной криволинейной неортогональной системе координат. Проведено построение и полное исследование операторно-разностных схем различного порядка точности в произвольной криволинейной неортогональной системе координат для двух основных краевых задач статической теории упругости. Построенные разностные, опе-

раторы сохраняют свойства самосопряженности, положительной определенности в соответствующих пространствах, сохраняют факторизованную структуру исходных операторов. За счет специального выбора векторов локального базиса получена структура ядра разностного оператора деформаций, которая аналогична непрерывному случаю. Получены в явном виде оценки спектра разностных операторов в произвольной системе координат. Исследован итерационный метод Якоби для уравнений теории упругости в смещениях с сильноменяицимися коэффициентами в декартовой системе координат.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут применяться для построения и исследования разностных операторов в криволинейных координатах для широкого класса задач математической физики.

Апробация -работы. Основные результаты диссертации докладывались:

- на.III Сибирской школе - конференции (Новосибирск,1991);

- на I Республиканской конференции Латв. СОР (Рига,1989);

- на семинаре НГУ "Большие задачи математической физики" (рук. д.ф.-м.н. А.Н.Коновалов);

- на семинаре в институте математики АН БССР, г.Минск, 1991;

- на III Всесоюзной школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Абрау-Дюрсо, 1991).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ. Структура и об'ем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и приложения, содержит 140 страниц машинописного текста, список литературы из 51 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор работпо теме диссертации и основные результаты диссертации.

Первая глава, содержащая четыре параграфа, посвящена построению и исследованию операторно-разностных схем в произвольной криволинейной неортогональной системе координат х для уравнений линейной теории упругости в различных постановках. Система координат предполагается невырожденной.

В первом параграфе приводятся необходимые сведения из тен-

зорного анализа, формулируются постановки задач теории упругости в операторном виде в произвольной криволинейной неортогональной системе координат.

Для простоты изложения в дальнейшем рассматривается плоский случай.

В области Б с границей 7 в поле об'емных сил ? требуется найти вектор смещений и, тензор деформаций е, тензор напряжений о из решения системы уравнений

+ Гр = О , Ш, (1 )

£ря = 1/2 (*яир + \ир >' (3)

удовле творящие граничным условиям

й = О, хеу (4)

для I краевой задачи, либо

Зп = ей = 0, х€7 (5)

для II краевой задачи. В случае задачи II предполагаются выполненными условия разрешимости

| 1 IV = 0, у ¿V = 0. в I)

В (1) - (5) обозначено: V - оператор ковариантного

дифференцирования, \(1), ц(х) - коэффициенты Ламе, символ

Кронекера, п - единичный вектор внешней нормали, 8 компоненты метрического тензора, верхние индексы обозначают контравариантные, нижние - ковариантные компоненты тензоров или векторов. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до 2, другие индексы принимают значения 1 или 2.

Соотношения (1)-(3) записываются в операторном виде

й*о = ?, Л*: Б —* и (6)

о = Бе, В: Е —» Б (7)

в = 1й, Я: О -» Е (8) Здесь формально введены обозначения

й = ( и,,и, )т, 1 = ( )т,

£ = ( £„,8^,28^ )Г, о = ( о], а\, о2, а^ )т.

*

При этом для выбранных компонент операторы К, И можно записать в виде матриц-операторов

В =

V, О

о

V V

г г

Б* =

V, 0 "?2 О О О

и оператор В в законе Гуна (2) является матрицей, зависящей от Х(х), |а(х), ^(х).

Пространства и,Е,Б в (6)-(8) - гильбертовы пространства

смещений й, деформаций £ = Ей, напряжений 3 = ВТЙ со скалярными произведениями

(й,У)и = (й.У) = / й'У (IV, л

(е1,£2)Е = (В§1,г2) = (а1,?2), (о1,о2)3 = (б1 ,В~1о2) = (о1 ,£2),

соответственно.

Коновалов А.Н..Сорокин С.Б. Структура уравнений теории упругости. Статическая задача. Препринт ВЦ СО АН *

Оператор Л*, сопряженный к И, определяется из соотношений

, (1Й,е)е = (Ли,о) = (и,Н*о)и

С помощью операторов Б,В,Й* постановки задач теории упругости в перемещениях и в напряжениях записываются в виде операторных уравнений

И* ВЕЙ. = 2, (9)

Ш1*о = Й " (10)

с факторизованными операторами.

В этом же параграфе сформулирована в операторном виде постановка в переменных а

Н'К'*а(а) = И'?,

о(а) = В'а, а е Нв,

(11)

где

а = ( аи,аг2,а:г,аг^)т,

а = V и ., е =1/2 (а + а ), рч ч р рз рч . ЧР

а = Зй, а = Вб = В'а = В'И'й

и операторы Воздействуют следующим образом 3 : и -» Нв, , В': Ед. —» Б. Здесь Нв, - гильбертово пространство, состоящее из а, удовлетворяющее условию

( аРЧ" \р'1) = со скалярным произведением

(а1 ,а2 )н = (а1,аг)в,= (а1,В'а2)

Для данной постановки (11) приведены теорема о существовании и единственности, теоремы об эквивалентности задачи (11) и задач (Э),(10), доказана эквивалентность соответствующих задач на собственные значения. Доказательство

!

этих теорем аналогично соответствующим теоремам для (10).

Во втором параграфе первой главы приведены новые аппроксимации ковариантных производных векторов и тензоров, полученные автором,

у+и = и "в = и + (Т+ч и Не® <е )

Ч р р р.хч 3 р

у"и = и- -е - и - + (Т~ч и )(е| >

ч Р Р в' хч р

у°и = 1/2 ( 7+и + у~и ) = и» -е ар 4 а Р ЧР хчр

ЯР з ^з^ р

в произвольной криволинейной неортогональной системе координат х, сохраняющие следующие основные свойства, присущие им ' в непрерывном случае.

Свойство 1. Ковариантные производные постоянного тензора, в частности вектора, равны нулю, справедливо и обратное.

Свойство 2. Метрический тензор можно выносить из под знака ковариантного дифференцирования.

Эти свойства играют существенную роль при построении и исследовании сператорно-разностных схем в неортогональных координатах.

Здесь ке найдены условия, когда выполняется требование о трм, чтобы проекция Кег И на сетку совпадала с кег для II краевой задачи, как это имеет место в декартовой системе координат. Оказывается, для этого достаточно вектора локального базиса в узлах сетки определять по формулам

е = ? . " (12)

р

где г - радиус-вектор и г^* означает разностную производную.

г

спр'.дблдомую ь соохЬс ¿с'1'ь*ш с выбором аппроксимации соотношений (3).

В третьем параграфе этой главы проводится построение и исследование свойств операторно-разностных схем первого

порядка точности в произвольной криволинейной неортогональной системе координат для операторных уравнений (9)-(11) в случае I и II краевых.задач. Рассматривается область

Б = | х=(х1,х2)| 0 ^ хк ^ Ък |

представляющая криволинейной четырехугольник на плоскости. Данный параграф разбит на шесть пунктов.

В п.3.1 с помощью метода опорных операторов на основе разностных аналогов ковариантннх производных из §2 строятся операторно-разностные схемы в смещениях для I и II краевых задач

и&Мг ^ - е \

Использование метода опорных операторов позволяет сохранить для разностного оператора свойства самосопряженности, положительной определенности и факторизованную структуру исходного оператора.

Опишем ату процедуру более подробно. В В вводится сетка

ш = | х^СЛ,,^) I О 1с=1,2 |

образованная, пересечением координатных линий неортогональной системы координат (х1,х2) с шагами Вводится гильбертово пространство сеточных смещений

\ = ( I ^ € и'},

I »Л

и'

На ик определяется оператор Для аппроксимации

ковариантннх производных в этом параграфе используются разностные производные При этом конкретный вид сеточной

области ш' и оператора зависит от краевой задачи. Сеточный оператор Вк в случае I нраевой задачи определяется как проекция В на сетку, а для II краевой - в граничных узлах несколько видоизменяется с учетом алгоритма доопределения недостающих компонент тензора напряжений.

Определяются гильбертовы пространства сеточных деформаций

\ = { I V «А- € V ; € }•

и сеточных напряжений

Л

так, что построенные операторы действуют следующим образом

■ V V» ^ V- V*

Сопряженный оператор определяется из соотношений, ! При этом имеем

После этого аппроксимацию (9) можно сразу записать в виде операторного уравнения (операторно-разностной схемы)

«ЙМг % • \А \ <13>

с самосопряженным факторизованным оператором.

В п.3.2 проводится исследование операторного уравнения (13). Получены оценки оператора В^, доказывается .теорема о существовании и единственности решения (13) в подпространстве

и^О^, где ортогональное дополнение кег^кегй^В^^кегР^.

При этом, в отличии от декартовой системы координат, вопрос о.. структуре ядра (13), т.е. вопрос об. общем решении операторного уравнения ' у _ .

■ *А= 0 •:'■:■■'■■ (14)

. не является тривиальным. Однако, если потребовать, чтобы ядро Г^ являлось проекцией ядра Н на сетку, то этот случай

определяется теоремой.

Т е о р е м а ,1. Пусть вектора базиса определяются по формулам (12), тогда общим решением (14) в случае II краевой

задачи является проекция вектора жесткого смещения ио=Й-1-Й»г, Й.Й-сопэг на сетку и для I краевой - 2^=0.

Здесь же приводится способ практического удовлетворения условиям разрешимости. •

В п.п. 3.3, 3.4, используя результаты предыдущих пунктов разностные аналоги (10),(11) записываются в виде

V а с Нз,, ^еи* (16)

Доказываются теоремы о существовании и единственности решения операторных уравнений (15),(16), Доказывается эквивалентность уравнений (15) и (13), (16).

Для оператора А' из (16) получена оценка снизу в

явном виде для двух основных краевых задач.

В п.3.5 доказывается связь спектральных задач для операторов из (13),(15),(16). В качестве следствия получаются в явном виде следующие оценки для операторов в (13),(15)

I

л.

4 ЩП-^гЛ^'Ъ&ъ ]

В п.3.6 определяется порядок, аппроксимации построенных операторно-разностных схем, который является величиной о(Ь). Здесь ке доказывается.теорема о точности операторно-разностных схем

Т е о р е м а 2. Пусть ш1п У§ = о(1) и пусть V достаточно

V

гладкое решение исходной задачи, тогда справедливы оценки:.

«а^йи^ V- ■ ¿1

для операторного уравнения (15)

ь

для операторного уравнения (16)

о

В четвертом параграфе первой главы проводится построение и исследование свойств олераторно-разностных схем более высокого порядка аппроксимации для операторных уравнений (9)-(11) в случае I и II краевых задач.

В области Б вводится сетка с целыми и полуцелыми узлами, образованная пересечением координатных линий х^!^!^, хьГ(1к+1/2)Ь1с- Построение операторно-разностных схем проводится аналогично §3 по методу опорных операторов. При построении разностных аналогов используются

аппроксимации ковариантных производных центральными разностями

v°up внутри сеточной области и направленными разностями ^ирна

границе. Это обеспечивает локальный порядок аппроксимации

о№2) во внутренних узлах сетки и о(Ь.) - в граничных узлах.

Для построенных операторных уравнений, формальная запись

которых совпадает с (13),(15),(16), остаются справедливыми

теоремы о существовании и единственности, теоремы об

эквивалентности решений и о связи спектральных задач в

соответствующих пространствах, для разностных операторов (17)

также получены оценки снизу в явном виде. Доказана следующая

теорема о точности операторно-разностных схем.

Теорема 3. Пусть гйл У§ = о(1) и пусть у достаточно

в

гладкое решение исходной задачи, тогда справедливы оценки: для операторного уравнения (21)

3/2 11

п

для операторного уравнения (24)

3/2

а

Из теорем 2,3 стандартным образом следует сходимость разностного решения к решению дифференциальной задачи в соответствующих пространствах.

Во второй главе исследуются вопросы применения итерационных методов для решения разностных задач, приводятся примеры расчетов модельных и практических задач.

В первом параграфе второй главы рассмотрены явные итерационные методы с чебышевским набором параметров для решения построенных операторных уравнений в соответствующих пространствах или подпространствах. Для определения скорости сходимости итерационных процессов получены недостающие оценки операторов сверху. Для достижения заданной точности б требуется п ^ п0(й)=о(1/й)1п(2/С) итераций. Обсуждены проблемы выбора начальных приближений для сходимости итерационных процессов в соответствующих подпространствах. Доказано, что если согласованно выбрать начальные приближения, то итерационные процессы эквивалентны, т.е. все итерационные приближения связаны соотношениями £к+1= 1, ак+1 = 1.

Во втором параграфе второй главы рассмотрен неявный итерационный процесс

55 - , + Аик = 1 , Э = НЕ« А (18)

1к+1

для одной аппроксимации уравнений Ламе в декартовой системе координат с сильноменяющимися коэффициентами. Такая ситуация возникает при использовании метода фиктивных областей для решения задач в сложных областях. В этом случае при использовании явного итерационного метода количество итераций для достижения заданной точности зависит от отношения максимальных и минимальных значений коэффициентов сг/с-\ •

которое является величиной 1 /Ь2.

Для (18) получены константы в неравенствах

< А ^ 72Б

где 7 вычисляется из решения вспомогательных трехточечных задач, а для уг доказано соотношение

ъ + ъ = 2 ■ • -

Показано, что 71 слабо зависит от с£/с1, а в одном случае вообще не зависит от указанного, отношения.-

В третьем параграфе этой главы приведены модельные и практические расчеты, подтверждающие теоретические результаты.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложении схематически нарисованы области определения и области значения построенных операторов В^, для I и II краевых задач.

Основные результаты работы..

1. В произвольной криволинейной неортогональной системе координат построены аппроксимации ковариантных производных векторов и тензоров, сохраняющие основные свойства ковариантных производных в непрерывном случае.

2. Построены операторно - разностные схемы различного порядка аппроксимации для двух.основных краевых задач теории упругости, сохраняющие структуру операторов на сеточном уровне, с самосопряженными операторами для различных постановок статической задачи теории упругости.

3. Для операторов получены в явном виде оценки, доказана сходимость разностных' решений для различных постановок задач теории упругости.

4. Для разностных схем в смещениях с сильноменяющимися коэффициентами построен неявный итерационный процесс, скорость' сходимости которого слабо зависит от разброса коэффициентов.

Публикации по теме диссертации

1. Коновалов А.Н., Конюх Г.В., Цуриков Н.В. О принципах построения итерационных процессов в методе фиктивных областей. // Вариационные методы в задачах численного анализа. Новосибирск, 1986, с.58-79.

2. Коновалов А.Н., Цуриков Н.В. Решение статической задачи теории упругости в компонентах тензора "дисгорсии". // Числ. мет. механ. сплошн. среды. Новосибирск, 1984, Т.15, №4, с.71-83.

3. Коробейников С.Н., Сорокин С.Б, Цуриков Н.В. Расчет напряженно - деформированного состояния облегченных оптических зеркал. // Математические проблемы геофизики: прямые и обратные задачи. Новосибирск, 1986, с.51-66.

4. Цуриков Н.В. Об аппроксимации ковариантных производных компонент векторов и тензоров в произвольной криволинейной системе координат. // Вариационные Метода в задачах численного анализа. Новосибирск, 1986, с.150-157.

5. Цуриков Н.В. Оценка снизу для оператора в итерационной разностной схеме в напряжениях. // Математические проблемы геофизики: моделирование, исследование и интерпретация.

6Л Цуриков Н.В. Разностные схемы для задач теории упругости в произвольной криволинейной системе координат. // Тезисы 1 Респуб. конф. Латв. ССР. - "Численные методы моделирования технологических процессов". Рига, 1989г, с.116-117.

Новосибирск, 1985, с.82-85.