Разработка численных методов определения напряженно-деформированного состояния и критических нагрузок для нелинейных задач механики стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Нелинейные уравнения равновесия стержней.

1.1.Уравнения равновесия сил и моментов, действующих на элемент стержня.

1.2.Уравнение, связывающее вектор М0 с изменениями кривизн и кручения осевой линии стержня.

1.3. Матрица преобразования единичных векторов координатных осей. 2.Ъ

1.4 Уравнения, связывающие >ci0 с углами

1.5. Векторное уравнение перемещений точек осевой линии стержня.

1.6 Приведение уравнений к безразмерной форме записи. 3 ^

1.7. Векторные уравнения равновесия стержня в связанной системе координат.

1.8 Уравнения равновесия стержня в проекциях на связанные оси

1.9 Уравнения равновесия плоского криволинейного стержня.

1.9.1. Уравнения равновесия при действии произвольных сил и моментов.

1.9.2 Уравнения равновесия при действии сил лежащих в плоскости осевой линии стержня.

Глава 2. Статическая устойчивость криволинейных стержней. АО

2.1. Введение.4 О

2.2 Векторные уравнения равновесия стержня после потери устойчивости.4 ^

2.3. Уравнения равновесия в связанных осях в скалярной форме записи.

2.4. Потеря устойчивости плоского криволинейного стержня 5О

2.4.1. Потеря устойчивости плоского криволинейного стержня при нагружении произвольными силами.

2.4.2. Потеря устойчивости плоского криволинейного стержня при нагружении силами, лежащими в плоскости осевой линии стержня.

2.5 Численное решение нелинейных уравнений равновесия стержня.

2.6 Определение критических нагрузок при нагружении консервативными силами.

Выводы по второй главе.

Глава 3.Динамическая устойчивость криволинейных стержней.

3.1. Уравнения малых колебаний пространственно криволинейного стержня относительно нагруженного состояния

3.2. Динамическая потеря устойчивости плоского криволинейного стержня. Т2.

3.2.1. Уравнения малых колебаний плоского криволинейного стержня нагруженного произвольными силами.

3.2.2. Уравнения малых колебаний стержня после потери устойчивости для случая, когда линии действия сил лежат в плоскости осевой линии стержня.

3.3 Определение критической нагрузки при нагружении неконсервативными силами.

Выводы по третьей главе.

Глава 4. Численные методы определения напряженно-деформированного состояния и критических консервативных

Элементы конструкций, сводимые к расчетной схеме стержня, имеют очень широкое распространение во многих отраслях техники. Они используются в качестве упругих элементов приборов: частотные датчики, низкочастотные фильтры, аккумуляторы механической энергии (рис.1), в мехатронных системах, в системах виброзащиты объектов (рис.2). Высоконадежная работа приборов, машин и конструкций, а также точность показаний приборов, использующих стержни в качестве чувствительных элементов, в большой степени зависит от точности их расчета с учетом условий работы и механических свойств самих элементов. Упругие стержневые элементы в реальных условиях могут находиться в различных силовых полях, например, в поле силы тяжести на ускоренно движущемся объекте, на вибрирующем основании, в электромагнитном поле и т.д., что может привести к существенному изменению их статических и динамических характеристик, и как следствие этого, к отказам конструкции (например, из-за потери статической или динамической устойчивости) и к погрешностям в показаниях приборов.

Очень часто упругие стержневые элементы должны работать при больших перемещениях точек осевой линии, например, в системах виброзащиты (рис.2) Это требует при их расчете решения нелинейных уравнений равновесия. Особенно сложными являются задачи расчета амортизаторов, состоящих из пространственно-криволинейных стержней (рис.2) при больших "сжатиях" амортизатора. При расчете надо определить допустимые величины сжатия амортизатора, при которых в стержневых элементах не появляются пластические деформации^ 6].

Одной из основных причин потери работоспособности конструкций, машин и приборов, содержащих стержневые элементы, является статическая и динамическая потеря устойчивости.

Проблема устойчивости стержней не является новой. Этой проблемой занимались известные механики: Н. А. Ал футов, В. В. Болотин, X. Лейнгольц, Е. Е. Николаи, В. И. Феодосьев, Г. Циглер и многие другие.Многие вопросы, возникающие при анализе устойчивости стержней, подробно изучены. Разработаны алгоритмы определения критических нагрузок как для прямолинейных стержней, так и для криволинейных стержней, но в основном при предположении, что форма осевой линии стержня при критическом состоянии (нагруженном состоянии), практически не отличается от естественной ^нагруженной) формы осевой линии стержня. Для прямолинейных стержней это предположение сомнений не вызывает. Так как осевая линия стержня до нагружения и после нагружения осевой силой остается прямой (рис.3). Несколько иначе обстоит дело при анализе устойчивости, например, плоского криволинейного стержня (имеется ввиду потеря устойчивости с выходом из плоскости), нагруженного силами, линии действия которых лежат в плоскости осевой линии стержня (рис.4).

При нагружении криволинейного стержня форма его осевой линии не остается неизменной. При этом возможны два случая.

В первом случае при критическом состоянии форма осевой линии стержня мало отличается от естественной (пунктирная линия 1 на рис.4). Во втором осевая линия стержня при критическом состоянии очень сильно отличается от исходной (штрих пунктирная линия 2 на рис.4).

Основное внимание уделялось решению задач, относящихся к первому случаю, которые рассматриваются без учета малых изменений геометрии осевой линии стержня, т.е. когда предполагается, что малым изменением геометрии осевой линии на напряженное состояние стержня можно пренебречь.

Такое предположение существенно упрощает исследование устойчивости криволинейных стержней, так как не требует рассмотрения полной системы уравнений, в которую входят неизвестные внутренние силы и моменты, а также изменение кривизн, перемещения точек осевой линии стержня и углы поворота связаных осей. Достаточно рассмотреть только уравнения равновесия. Из этих уравнений определяются внутренние силы и моменты, которые входят в коэффициенты линейных уравнений равновесия

22.03.01

77Ш7

I I T

Puc. 3

Puc. 4 или малых колебаний стержня после потери устойчивости, используемые при определении критических нагрузок.

Во втором случае геометрические параметры осевой линии стержня существенно изменяются (линия 2 на рис.4), что требует для определения напряженно-деформированного состояния, соответствующего критическому состоянию, решать нелинейные уравнения равновесия с последующим использованием этого решения в линеризованных уравнениях равновесия стержня после потери устойчивости, которые дают возможность определить критические нагрузки.

В обоих рассмотренных случаях возможна потеря устойчивости, когда новая форма равновесия стержня очень сильно отличается от формы осевой линии стержня при критическом состоянии. На рис. 5 осевая линия стержня после потери устойчивости показана пунктирной линией. Классическим примером потери устойчивости с «перескоком» в новое состояние равновесия является ферма Мизеса (рис.6). Такая потеря устойчивости часто называется потерей устойчивости в "большом". На рис.6 критическое состояние обозначено - 1, состояние равновесия после перекоса -2.

При потере устойчивости пространственно-криволинейного стержня (это наиболее общая задача), так же как и при потере устойчивости плоского криволинейного стержня возможны два случая: 1) потеря устойчивости, когда изменеием геометрических параметров осевой линии при нагружении

Рис. 6 можно пренебречь; и 2) потеря устойчивости, когда пренебрегать геометрией осевой линии нельзя.

При статической потере устойчивости стержень из критического неустойчивого состояния равновесия переходит в устойчивое состояние равновесия. Предположение, что новое состояние равновесия мало отличается от критического состояния позволяет определять критические силы из линеаризованных уравнений.

Большой практический интерес представляют задачи потери устойчивости в "малом" упругих стержневых элементов, когда критическое состояние существенно отличается от естественного состояния (штрихпунктирная кривая на рис.4). Для того, чтобы получить напряженно-деформированное состояние стержня соответствующее состоянию 2 (рис.4 ) надо решить систему нелинейных уравнений равновесия стержня. Так как критическое состояние заранее неизвестно (в отличие от классического метода, где принимается, что критическое состояние совпадает с естественным состоянием стержня), то для определения критических нагрузок надо исследовать линеаризованные уравнения на каждом шаге нагружения, предполагая, что при данном уровне нагружения имеет место критическое состояние равновесия.

В зависимости от поведения сил при нагружении (например, "мертвые" или "следящие" силы) возможна потеря устойчивости стержня как статическая, так и динамическая. При динамической потере устойчивости стержень переходит в состояние движения (малые колебания) относительно критического состояния равновесия. Поэтому в этом случае классический метод Эйлера при анализе устойчивости равновесия не работает. Надо использовать методы теории устойчивости движения, разработанные Ляпуновым.

Поэтому в диссертации при исследовании динамической устойчивости стержней, нагруженных неконсервативными силами используется метод анализа устойчивости по первому приближению.

В целом диссертация посвящена разработке численных методов определения напряженно-деформированного состояния стержневых элементов для нелинейных задач равновесия (при больших перемещениях точек осевой линии) стержневых элементов и определению критических консервативных и неконсервативных нагрузок.

Диссертация содержит пять глав. В первых трех главах изложены теоретические вопросы, относящиеся к нелинейным задачам механики стержней и общие методы исследования статической и динамической устойчивости.

В первой главе приводятся общие нелинейные уравнения равновесия пространственно-криволинейных стержней и их частные случаи в связной системе координат. Изложен алгоритм численного решения нелинейных уравнений. Во второй главе изложена теория устойчивости стержней нагруженных консервативными силами, когда критическое состояние стержня определяется из нелинейных уравнений.

Третья глава посвящена устойчивости стержней, нагруженных неконсервативными силами (или консервативными и неконсервативными силами), когда метод Эйлера использовать в общем случае нельзя.

В четвертой главе изложены численные методы определения напряженно-деформированного состояния пространственно-криволинейных (и плоских криволинейных) стержней, используемых в конкретных конструкциях. Изложен алгоритм и приводятся численные результаты определения критических консервативных нагрузок.

Пятая глава посвящена изложению численных методов определения критических консервативных и неконсервативных нагрузок (мертвых, следящих сил и их комбинаций) с использованием теории "динамической устойчивости по первому приближению" ("динамический" метод).

В Выводах приведены основные новые результаты, полученные при выполнении диссертации.

В список литературы включены только работы наиболее близкие к задачам, рассмотренным в диссертации.

Основные выводы

1. Приведены нелинейные уравнения равновесия пространственно-криволи нейного стержня, нагруженного произвольными силами (распределенными, сосредоточенными, мертвыми, следящими ).

2. Изложен алгоритм приближенного численного решения нелинейных уравнений равновесия плоского криволинейного стержня, нагруженного произвольными силами, линии действия которых лежат в плоскости осевой линии стержня.

3. Получены линеаризованные уравнения равновесия и уравнения малых колебаний пространственно-криволинейного стержня после потери устойчивости.

4. Разработаны алгоритмы численного определения консервативных критических нагрузок для плоских криволинейных стержней при потере устойчивости в плоскости осевой линии стержня и относительно этой плоскости.

5. Разработан алгоритм численного расчета нелинейных жесткостных характеристик амортизаторов, содержащих стержневые элементы.

6. Разработаны численные методы определения комплексных собственных значений для уравнений малых колебаний относительно критического состояния равновесия при нагружении стержня консервативными и неконсервативными силами.

1. Ал футов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.:Машиностроение, 1991. —334 с.

2. Арнольд В. И. Теория катастроф. — М.:Наука, 1990. — 127 с.

3. Биценко К. Б., Граммель Р. Техническая механика.— М.:ГОНТИ, 1950.-Т.1.-900 с.

4. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.:Наука, 1961. —340 с.

5. Болотин В. В. Нелинейная теория упругости и устойчивость "в большом" // Расчеты на прочность. — М. — 1958 — вып. 3 . — С. 310354.

6. Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику.— М.:Наука, 1971.-264 с.

7. Буда-Красновский С. В., Лагозинский С. А., Светлицкий В. А. Устойчивость плоской спирали. // Вестник МГТУ. Машиностроение. 1999. —№1. - С. 84-91.

8. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем.— М.:Наука, 1963.-880 с.

9. Гопак К.Н., Кривошеева С. Г. Изгибно-крутильные колебания и устойчивость плоской формы изгиба консольной балки-полосы //Известия АН СССР ОТН. Механика и Машиностроение. — 1959,-№4.-С. 160-162.

10. Гопак К.Н., Кривошеева С. Г. Потеря устойчивости свободным стержнем, ускоренно движущимся под действием следящей силы //Известия АН СССР ОТН. Механика и Машиностроение. — I960,-№4.-С. 45-52.

11. Григолюк Э. И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продожения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. — М.:Наука, 1988.-232 с.

12. Николаи Е. JI. Труды по механике. — М.:Гостехиздат, 1955. — 210 с.

13. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения.— М. .-Наука, 1971.-312 с.

14. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М. .-Наука, 1979. - 384 с.

15. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем.— М.:Наука, 1955.-476 с.

16. Расчеты на прочность в машиностроении /Под редакцией С. Д. Пономарева. М.:Машгиз, 1960. - Т.З. - 870 с.

17. Резазаде JT. Г., Светлицкий В. А. Влияние потока жидкости на устойчивость сжато-скрученного прямолинейного стержня //МТТ. — 1997. —№3. с. 176-182.

18. Резазаде JI. Г., Светлицкий В. А. Влияние потока жидкости на устойчивость сжато-скрученного прямолинейного стержня //Вестник МГТУ. Машиностроение. 1997. - №3. - С. 32-39.

19. Сазгаран М., Светлицкий В. А. Устойчивость сжато-скрученных прямолинейных стержней с учетом конечной жесткости на кручение // МТТ. 1996. - №2. - С. 174-178.

20. Сазгаран М., Светлицкий В. А. Устойчивость сжато-скрученного прямолинейного стержня, имеющего промежуточные опоры //Вестник МГТУ. Машиностроение. 1997. - №2. - С. 32-39.

21. Светлицкий В. А. Механика стержней.— М.:Высшая школа, 1987. Т. 1. - Статика - 320 с.

22. Светлицкий В. А. Механика стержней,— М.гВысшая школа, 1987. Т.2. - Динамика - 304 с.

23. Светлицкий В. А., Нарайкин О. С., Упругие элементы машин. — М.:Высшая школа, 1987. — 262 с.

24. Светлицкий В. А. Устойчивость плоской формы криволинейного стержня//МТТ. 1999.-№3.-С. 132-139.

25. Svetlitsky V.A., Lagozinsky S.A. Stability analysis of plane curvinear rod loaded by follover forses // International E-journal. Dinamics, strength wear resistance of mashines. — 2000. — V.6. — pp.3-11 E-mail: chel@sopro.tu-chel.ac.ru.

26. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. — М.:Наука, 1955.-568 с.

27. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. — М.:Наука, 1971.-808 с.

28. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения //под редакцией Дж.Б.Келлера и С.Антмана —М.:Мир,1974. — 254 с.

29. Томпсон Дж.М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. -М.:Мир,1985.-254 с.

30. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. — М.:Наука,1996. — 400 с.