Динамика предварительно деформированных тонких упругих стержней

Красноруцкий, Дмитрий Александрович

Динамика предварительно деформированных тонких упругих стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Красноруцкий, Дмитрий Александрович АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамика предварительно деформированных тонких упругих стержней»

Автореферат диссертации на тему "Динамика предварительно деформированных тонких упругих стержней"

СИ

0050иЗ°ио

КРАСНОРУЦКИИ Дмитрий Александрович

ДИНАМИКА ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТОНКИХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

2 4 НО Я 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2011

005003505

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент

Левин Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, старший научный сотрудник

Коробейников Сергей Николаевич доктор технических наук, профессор Каледин Валерий Олегович

Ведущая организация: Федеральное государственное унитарное предприятие «Сибирский научно-исследовательский институт авиации имени С. А. Чаплыгина», г. Новосибирск

Защита состоится "12" декабря 2011 г., в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 003.054.02 при Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр-т академика Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан "с| " ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

В. Д. Кургузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Для обеспечения эффективной, надежной и безопасной эксплуатации машин, приборов и аппаратуры, при проектировании новых поколений конструкций и усовершенствовании существующих в последнее время широко используются расчетные методы. Стержни и тросы находят применение во многих областях техники. Они используются в машинах, приборах, могут быть как самостоятельными, так и вспомогательными элементами конструкций. Несмотря на то, что теория тонких стержней является одной из первых теорией в механике сплошных сред, и существует большое число фундаментальных теоретических и практических работ по стержням, некоторые вопросы, в основном, связанные с численной реализацией моделей стержней, остаются недостаточно освещенными. Кроме того, судя по различным публикациям, при возникновении конкретной практической задачи для изучения закономерностей динамических процессов зачастую приходится разрабатывать специальную модель стержня или нити, подходящую для решения этой задачи, а также составлять и тестировать численные алгоритмы расчета по математической модели. Другими словами, представляется актуальным разработать достаточно общую модель тонкого упругого стержня с употребительной методикой ее расчета на современных ЭВМ, позволяющую решать широкий круг практических задач, связанных с механикой стержней и тросов.

Цели диссертационной работы.

1. Разработать методику расчета по модели тонкого упругого стержня, подходящую для широкого круга задач малых колебаний предварительно деформированных пространственных криволинейных стержней (тросов) и нелинейного динамического деформирования, ограниченного только базовыми допущениями классической модели тонкого упругого стержня (гипотеза Эйлера-Бернулли, материал работает в пределах закона Гука).

2. Провести тестирование работоспособности созданной методики расчета по данной модели стержня, в нелинейной постановке решить задачу об устойчивости движения капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха.

Задачи диссертационной работы.

1. На основе нелинейных уравнений статики пространственного криволинейного стержня получить уравнения малых колебаний относительно достигнутого деформированного состояния равновесия.

2. Разработать и протестировать методику расчета статических конфигураций стержня и расчета малых колебаний предварительно деформированного стержня.

3. Адаптировать численную методику для расчета тросов как весьма длинных стержней.

4. Составить уравнения нелинейного динамического деформирования стержня, разработать и протестировать методику численного расчета.

5. Разработанные алгоритмы применить к решению практически важных задач, в том числе к задаче об устойчивости движения капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха.

Достоверность и обоснованность результатов, содержащихся в работе, основывается на сопоставлении результатов расчета по методикам диссертационной работы с известными аналитическими и численными решениями, а также с известными экспериментальными данными и результатами моделирования в конечно-элементном пакете АЖУ8.

На защиту выносится:

1) методика расчета частот и форм малых колебаний предварительно деформированного пространственного криволинейного тонкого упругого стержня;

2) методика расчета динамического нелинейного деформирования пространственного криволинейного тонкого упругого стержня;

3) результаты решения практических задач.

Научная новизна. На основе известных уравнений, описывающих большие перемещения пространственного криволинейного тонкого упругого стержня, получены уравнения малых колебаний относительно достигнутой статической конфигурации и уравнения нелинейного динамического деформирования. Исходные уравнения статики и, следовательно, полученные на их базе уравнения линейной и нелинейной динамики обладают рядом преимуществ. В частности геометрия осевой линии стержня может быть произвольной (изломы, скачки кривизны), модель описывает любые повороты и вращения поперечных сечений стержня.

Разработана методика расчета, включающая в себя расчет: нелинейного статического деформирования, малых колебаний предварительно деформированного стержня и нелинейного динамического деформирования стержней. Модель стержня напрямую может использоваться для описания статики и динамики тросов, что имеет преимущество перед классическими «ниточными» и «цепными» моделями, так как учет жесткостей на сжатие и изгиб происходит автоматически.

Впервые разработана и протестирована методика расчета совместной нелинейной динамики капсулы магнитометра, подвешенной на тросе в потоке воздуха.

Практическая ценность работы заключается во внедрении результатов исследований в ООО ГП «Сибгеотех» (результаты исследований использовались при выполнении договорной работы № АГД-7-10 «Разработка и изготовление транспортируемой под вертолетом капсулы магнитометра»); результаты работы использовались при разработке конструкций зонтичных антенн космических аппаратов в ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М.Ф. Решетнёва»; разработанные методики расчета могут быть использованы для решения широкого круга практических задач в рамках классической модели тонкого упругого стержня.

Личный вклад автора заключается в получении уравнений малых колебаний и уравнений нелинейной динамики тонкого упруго стержня на основе известных уравнений статики, разработке и программной реализации методики численного расчета, получении и анализе численных решений практических задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на II Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и

конструкций» (Новосибирск, 2011 г.); на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.); на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2011 г.); на Всероссийской научно-технической конференции «Наука. Промышленность. Оборона.» (Новосибирск, 2008-2011 гг.); на международном форуме ^ОБТ (Ульсан, Корея, 2008 г.; Новосибирск, 2010 г.); на международной научно-технической конференции «Прикладные задачи математики и механики» (Севастополь, 2009, 2010 гг.); на XXI Всероссийской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Кемерово, 2009 г.); на конференции XXIX Российской школы по проблемам науки и технологий (Миасс, 2009 г.); на Межвузовской научной студенческой конференции «Интеллектуальный потенциал Сибири» (Новосибирск, 2008 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 17 печатных работах, из которых 3 опубликованы в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 157 наименований. Диссертация изложена на 150 страницах основного текста (общий объем с приложениями - 210 страниц, включая 84 рисунка, 15 таблиц).

Работа выполнена при поддержке гранта № РНП 2.1.2/10114 "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011)"

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбора темы диссертации. Сформулированы основные цели и задачи исследования, приведены основные положения, выносимые на защиту. Отмечается новизна полученных результатов и их практическая значимость. Кратко изложено содержание диссертации по главам.

В первой главе обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор основных этапов развития теории стержней. На основе литературных источников дан краткий обзор проблем, близких к рассмотренным в диссертационной работе, и степень их разработанности. Это: проблемы определения статической конфигурации стержней под действием приложенной нагрузки, проблемы расчета линейной и нелинейной динамики стержней, проблемы расчета существенно длинных стержней (тросов, канатов, проводов) широко используемых во многих сферах техники. Упругие стержни являются элементами многих конструкций. Они могут быть как вспомогательными, так и самостоятельными её элементами. Конструкции могут находиться в статических и динамических рабочих режимах. В процессе проектирования таких конструкций основной упор делается на расчет.

Основы теории стержней заложили Г. Галилей, Я. Бернулли, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, А. Клебш, Г. Кирхгоф. Впервые попытка преобразовать уравнения трехмерной теории упругости применительно к тонким стержням была предпринята А. Лявом, работы в этом направлении были продолжены Е. Л. Николаи, А. И. Лурье, Г. Ю. Джанелидзе. История развития теории тонких

стержней в общем плане изложены в книгах Е. П. Попова, А. А. Илюхина.

Широкое распространение получило такое направление, в основе которого лежит представление о стержне как об ориентированной, направленной кривой или оснащенной кривой: В. А. Светлицкий, О. С. Нарайкин, П. А. Жилин,

B. В. Елисеев. Плодотворным оказалось применение к задачам механики стержней метода конечных элементов. Следует отметить работы Т. В. Гришаниной,

C. Н. Коробейникова, В. В. Кузнецова, С. В. Левякова, Ф. Н. Шклярчука.

Важное место в формулировке и решении проблем механики стержней также занимают работы следующих авторов: С. П. Тимошенко, Дж. Аргирис, С. Антман, В. В. Болотин, А. С. Вольмир, Н. А. Алфутов, В. В. Новожилов, Э. И. Григолюк. П. А. Жилин, В. И. Шалашилин, Ю. И. Бадрухин, Л. И. Шкутин, Л. И. Слепян, О. Б. Голубев.

Ввиду того, что обозначенным проблемам посвящено огромное количество публикаций, пришлось ограничиться ссылками лишь на некоторые работы, важные, по мнению автора, для определения места диссертационной работы среди других работ. На основе проведенного анализа сделаны выводы об актуальности вопросов, решаемых в работе.

Во второй главе излагаются вопросы, связанные с определением статической конфигурации пространственного тонкого упругого стержня под действием приложенной нагрузки. За основу взята система дифференциальных уравнений, описывающих большие перемещения пространственного криволинейного стержня, полученная В.Е. Левиным и Н.В. Пустовым1. В эти уравнения не входит начальная кривизна осевой линии стержня, что позволяет рассматривать стержни с произвольной геометрией (рис. 1) - с изломами, скачками кривизны. Неизвестными являются 12 функций - это проекции на оси глобальной (неподвижной) системы координат вектора перемещений 0(£), вектора конечного поворота &>(£), вектора внутренних усилий б(<з) и вектора внутренних моментов М{д), £, - параметр, связанный с длиной стержня (вместо естественной координаты 5).

Задача о статическом деформировании стержня представляет собой нелинейную краевую задачу, которую можно решать, например, методом пристрелки. Однако при рассмотрении вопроса о деформировании троса как весьма длинного стержня возникла необходимость подобрать другой численный метод. Для этих целей выбран итерационный метод Ньютона. С его помощью нелинейная краевая

Рис. 1. Пространственная осевая линия и поперечное сечение стержня

1 Левин В-Е., Пустовой Н.В. Механика деформирования криволинейных стержней: монография. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. - 208 с.

задача сводится к последовательности линейных краевых задач, которые можно решить методом конечных разностей. Получены необходимые аналитические выражения для программной реализации метода численного решения на ЭВМ.

Стержень может деформироваться различными видами нагрузок. Это распределенные силы и моменты, заданные как в глобальной (неподвижной) системе координат, так и в локальной, связанной с осевой линией стержня - «следящие» нагрузки. На концах стержня через краевые условия могут быть заданы сосредоточенные силы и моменты или перемещения и повороты. Внешняя нагрузка может иметь разную природу: внешняя приложенная нагрузка, весовая, аэродинамическая нагрузка от потока жидкости или газа (получены формулы для круглого поперечного сечения), изменение температуры, силы демпфирования и т.д.

В третьей главе рассматривается задача о малых колебаниях предварительно деформированного тонкого упругого стержня.

Получены уравнения малых колебаний предварительно деформированного пространственного криволинейного тонкого упругого стержня:

с1Аи-±- = (1 + £) хиА<ок + Х;?ЛяА£, г = 1,2,3;

ЭX (1Ш

Л? 4 ' 'Эед

АЛ/ДЛ +МЛЩ

Эй). (1д

' ААА, =-

Щ4)

М (к + ЭЛ„и сЩ

ЭЛ

I я Да, ^ в . с!!; Эй). к дц / ь

ЭЛ„„, ¿Ащ да}

д Л ¿Аа.

,тп__]_

Эй«.

РгЛЛг =-

дщ (к дХтп с1со

—-----—-Дтд®*

с!д да);

Чп

дм

Л;

ЭЛ

/ЫА =

ЛЛ/ДА, + МВ.Аю,

" " р Ъ' к дщ А ЭЛ„„ ¿ох п ЭД„

Э®. ^

дт

(1)

¿мм,

-"V, ) АЛ, ДА М ^ - ^ эл.

эл..

*Э<н

[/ = 1,2,3, ■Ае, Ь = 2,3,1, г = 3,1,2.

(1 + *) +

Дг =

¿Л.,

| ' йЬ _/ у2 Тз) ■

Здесь хк (£) - координаты точек недеформированной осевой линии; -матрица поворота, определяющая ориентацию главных осей инерции поперечного сечения стержня; Л(й>) - матрица поворота, определяющая новое положение главных осей инерции после деформирования; р,ЕР(£) - жесткости на

изгиб, кручение, растяжение-сжатие соответственно; р(£) — плотность материала; /г(£) - площадь поперечного сечения; - полярный момент инерции; д (£) = д"1"1' + д1'" - внешняя распределенная «мертвая» и «следящая» нагрузки; т(^) = игЫ +т'ос - внешние распределенные моменты, действующие на стержень; е - деформация растяжения-сжатия осевой линии.

Уравнения (1) являются линейными относительно амплитуд малых колебаний. В них входят 9 функций со;(£), £?,(£), М, (£), которые описывают предварительное статическое деформирование и находятся из решения нелинейной краевой задачи. Неизвестными являются 12 функций-амплитуд малых колебаний Д£/.(£), Ащ (£), А^)^?;), ДМ;(£) и частота □ . Полученная задача о малых колебаниях стержня представляет собой линейную краевую задачу на собственные значения.

В данной главе получены выражения для учета аэродинамической нагрузки от потока жидкости или газа при малых колебаниях. Учет этих сил приводит к появлению в уравнениях (1) слагаемых с первой степенью С2.

Линейную краевую задачу на собственные значения для системы (1) можно решать, составляя частотные определители, что, по сути, является приложением метода начальных параметров. В данной главе описан алгоритм численного решения поставленной задачи для различных видов краевых условий. При использовании уравнений стержня для моделирования поведения троса как весьма длинного стержня был разработан другой алгоритм решения полученной линейной краевой задачи.

В общем случае система уравнений малых колебаний (1) может быть представлена в безразмерном матричном виде

(2)

где

Д^д/ 0 0

Щ.2.1 Д0АЗ т) т и 1СЧ 0 т >т= 0 т ,л = п.р. (3)

т мя. 0

Вектор столбец У имеет 12 элементов, матрицы-функции £(£) и

К(£) имеют размерность 12 на 12, нулем обозначены блоки с нулевыми элементами. Матрица К(£,) обусловлена наличием аэродинамического нагружения потоком жидкости или газа.

Краевые условия в общем случае можно представить в матричном виде:

= ([^]-Л2[^])У„+1=0; (4)

где в квадратных скобках матрицы специального вида.

Значения неизвестных функций-амплтуд малых колебаний будем разыскивать в узловых точках ¿ = 1,2...ЛГ + 1. Аппроксимируя производные значения неизвестных функций в системе уравнений (2) в точках посередине между узловыми значениями с помощью интерполяционного полинома Лагранжа и добавляя краевые условия (4), в общем случае получим матричную квадратичную проблему собственных значений ([/!]-А2[£]-А[С]){2} =0, имеющую следующую блочную структуру:

~ В\ Я,2 В, В* 0 ... 0 В\ В] В] В* 0 ... 0

а; а; а, а; о о

Л-2 Л.^ ^

о 0А!А:А

¡А*.

14-

о о о о

ооооо .„4.,

о о о о о... 4

= Л

^ 0 0 0 0...

с; с,2 с,3 с; о. с\ с2 с\ с4 о . о с' с2 с\ с4. о о с; с2 с3.

о кл

. о

-Л2

■"г "г "2 "2

о в\ в] в] в*... о о о в\ в2л в\... о

0 0 0 0 о

О О О О О ... В1 в1

о о о о

0 0 0 0 О

О о о о о... с3 о о о о о... о

с4 о

_Кть 0 о 0 О ... о Ктк у

У»

(6)

Э/4 ЭхЭ/^

<г,=

где Х4 (*) - полином Лагранжа для интерполяции по четырем точкам. Если аэродинамическое воздействие отсутствует, то матрица [С] имеет все нулевые элементы и тогда система уравнений (6) становится обобщенной проблемой собственных значений. Если же на стержень действуют аэродинамические силы, тогда (6) - квадратичная задача на собственные значения которую можно свести к линейной проблеме удвоенной размерности:

И-А[С]-Л[Я]

л[/] -[/]

'Щ

= 0 или

(ТМ 0 - — Л |№Г| \

10 м — А И 0. У

ЙН

(7)

или (А-А-В)г~0,где матрица В - комплексная матрица.

В четвертой главе рассматривается задача о динамическом нелинейном деформировании пространственного тонкого упругого стержня. Полученные уравнения движения стержня представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных:

^ Эй,. ^

-РътЛыРгк ~

Э®, Ргт\Лк - ^ Ъо)) ^РьЛ„Ргк ^

рП£)и, - Я, (£* Д + £),/ = 1,2,3;

(1+е),

/ -1,2,3, р = 2,3,1, г = 3,1,2;

Конфигурация стержня в каждый момент времени описывается следующими векторами-столбцами

Рассмотрено применение одношаговых и многошаговых методов прямого неявного интегрирования по времени (методы Ньюмарка, Хаболта, Парка и др.). Суть этих методов состоит в том, что они позволяют дискретизировать задачу по времени и при этом аппроксимировать скорости и ускорения в промежуточных точках. Это означает, что задача поиска координат X {!;,{), удовлетворяющих уравнению движения (8) на отрезке времени [0,Г], сводится к задаче поиска дискретных значений /,.е[0,Г], 1 = 1,2..Я, удовлетворяющих нелинейной краевой задаче для системы уравнений, подобной статической.

Многошаговые методы Хаболта и Парка были адаптированы для произвольной сетки по времени, а так же получены формулы для учета дополнительного шага по времени в аппроксимации. Такая модификация метода Парка имеет следующий вид:

1(0 = а,Х{1_3) + а2Х(ц) + ) + а4Х(/0) + а5Х(1)), где

1 ¿>4(0

'4 Э/

(9)

2 4 э/ 4 э/2 = 1 эх3 (/,) 194(0 1 э4(0

4 2 Э/2 4 Э/з 4 Э/4 '

1Э4(р 11Э4(р 11Э4(0

3 2 э/ 4 Э/2 4 э/3

= 134(0 , 1^4(0 1Э4(0.

2 Э/з 4 д/4 4 д/5 '

Ьп (х) - полином Лагранжа для интерполяции по п точкам. Если в выражения (9) положить постоянный шаг по времени ¿4 -/3 = - ^ = Дг, тогда получим следующее выражение:

Кроме того, в четвертой главе рассмотрены теоретические аспекты задачи из области геофизики - о динамике капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха (рис. 2.). Капсула может ориентироваться в пространстве произвольным образом (рис. 3.). Выведены уравнения равновесия капсулы в пространстве с учетом аэродинамических сил и воздействия троса через точку подвеса.

Разработан алгоритм численного расчета системы капсула-трос как единой динамической системы в нелинейной постановке. Капсула заменяется силами реакции, а возмущение от троса передается через скорость и ускорение точки крепления. Выполняется итерационный процесс, пока не будет поучена тройка: скорость - ускорение - реакция, удовлетворяющая уравнениям капсулы и краевым условиям стержня-троса одновременно.

Алгоритм расчета совместной нелинейной динамики капсулы на тросе в потоке воздуха может быть настроен на задачи динамики шлангов в системах дозаправки ЛА в полете.

В пятой главе рассмотрена практическая реализация разработанных алгоритмов расчета, по которым создан программный комплекс. Он состоит из предпроцессора, модуля расчета и постпроцессора. Программы тестировались на большом круге практических задач.

Например, известная задача: шарнирно-опертый стержень сжимается осевой силой (рис. 4). При действии критической силы частота первого тона малых колебаний становится равной нулю. Кроме того, стержень может потерять устойчивость вторично. На рисунке 5 представлена кривая деформирования и конфигурации стержня. С помощью аппарата линейной динамики предварительно деформированного стержня, на основании получаемых частот можно судить о статической устойчивости достигнутой конфигурации, а по формам малых колебаний в точках бифуркации определять характер начала дальнейшего закритического деформирования.

Рис. 2. Пример конфигурт^ии троса в полете при 120 км/час

и,

Рис. 3. Модель капсулы магнитометра

Рис. 4. Сжатый шарнирно-опертый стержень

Рис. 5. Проекция кривой деформирования шарнирно-опертого стержня

ni 7F ,4

Р- и

7777777

Рис. б. Сжатие следящей силой

Другой пример тестовой задачи: сжатие консольного стержня следящей силой (рис. 6). Анализ частот малых колебаний позволяет определять критическое значение нагрузки, при которой происходит динамическая потеря устойчивости. С ростом нагрузки первая и вторая частота сближаются и при действии критической силы становятся комплексно сопряженными величинами, происходит потеря устойчивости по типу флаттера (см. рис. 6.). На подобных задачах также тестировался разработанный аппарат нелинейной динамики стержня.

Разработанная методика расчета хорошо подходит для воспроизведения пространственной динамики достаточно длинного существенно криволинейного стержня. Проводились тестовые расчеты колебаний конической и цилиндрических пружин (рис. 7.) разных длин, результаты сравнивались с А^УЭ. Возможен расчет колебаний естественно закрученного стержня (подобие сверла), наличие естественной крутки повышает продольную устойчивость прямого

Рис. 8. Задача о петлеобразовании

Рис. 7. Пространственные стержни

стержня; наличие даже двух поворотов сечения по длине стержня увеличивают критическую силу более чем в 1,5 раза.

Рассмотрены задачи о петлеобразовании на сжатых скручиваемых стержнях

(рис. 8.). Постановки задач взяты из публикаций других исследователей. Изначально прямой шарнирно-опертый или защемленный стержень под действием сжимающей силы теряет устойчивость, затем к нему прикладывается крутящий момент, стержень может потерять устойчивость вторично. Результаты решения по разработанной методике, в основном, согласуются с ранее полученными. В диссертационной работе проведено более подробное исследование с применением разработанных аппаратов линейной и нелинейной динамики тонкого упругого стержня.

Обнаружено, что механизм петлеобразования принципиально зависит от вида закручивания. Если стержень скручивается фикси-

MUire/EJ

! у ... _ , ____ ----

1 i

.........Г ~ N 1 ............."Mj EJ

1 1........................ EJ

7 GJP EJ

Рис. 9. Зависимости точек обращения в нуль частот 1 и 2 тона от отношения жесткостей

рованным моментом, тогда критическим является максимальный момент на кривой деформирования для стержня с бесконечно большой крутильной жесткостью. При действии критического момента частота первого тона становится равной нулю. При рассмотрении нелинейной динамики происходит почти мгновенное сворачивание стержня в плоскую петлю. Однако в данной постановке без учета демпфирования, для стержня с реальным отношением крутильной и изгибной же-сткостей частота первого тона становится мнимой величиной до достижения максимального крутящего момента на кривой деформирования (на рис. 9 приведены кривые значений крутящих моментов, при которых первые две частоты обращаются в нуль, в зависимости от соотношения крутильной и изгибной жесткостей).

При расчете нелинейной динамики в этой точке обнаруживается очень быстрый рост ускорений при малейшем возбуждении, вынуждающем стержень деформироваться по форме, близкой к полученной форме малых колебаний. При добавлении внутреннего демпфирования в стержне (не любого отличного от нуля) потеря устойчивости не наблюдается, но в точке максимального крутящего момента и за ней по кривой деформирования даже без внешнего возбуждения наблюдается потеря устойчивости и очень быстрое сворачивание стержня в петлю.

Другой механизм петлеобразования обнаружен для случая, когда стержень скручивается на фиксированный угол и его концы при этом защемлены. Здесь критическим является некоторый максимальный угол закручивания, при этом крутящий момент лежит выше точки максимального крутящего момента (рис. 10.). Для больших углов закручивания не существует никаких форм равновесия, даже статически неустойчивых. С помощью разработанного аппарата нелинейной динамики стержня установлено, что происходит почти мгновенное сворачи- Рис. 10. Кривая деформирования вание стержня в плоскую петлю. Критический угол закручивания зависит от соотношения крутильной и изгибной жесткостей (рис. 11.).

С ростом этого соотношения критический угол уменьшается, но критическая точка перемещается вверх по кривой деформирования (рис. 10.), и для соотношений р IЕЗ > 6 не будет перескоков при петлеобразовании, а угол закручивания равен 2к. То есть петлеобразование происходит плавно, пропорционально скручиванию. При этом значения всех частот малых колебаний на всем интервале принадлежат действительной числовой прямой. Для полного анализа требуются дополнительные исследования.

0 -(2 / £/

защемленного стержня Гагр. Рад

V V !

\ '

2ж ! GJP ¡^•О Е1

Рис. 11. Зависимость критического угла скручивания от соотношения жесткостей

Модель стержня применена для расчета тросов как весьма длинных стержней. Изначально прямой стержень с относительно малой изгибной жесткостью предварительно деформируется перемещением опоры, затем к нему прикладывается весовая нагрузка, на- _ , „ _ .

грузка от потока жидкости или газа (рис. 12.) Риа 11 ТР0С в потоке воздУха и затем вычисляются малые колебания такого предварительно деформированного стержня. Рассмотрен случай малых колебаний троса, находящегося в потоке воздуха. Проводились тестовые расчеты.

На рисунке 12 представлена расчетная схема, поток направлен ортогонально плоскости провисания. Рассмотрена неконсервативная задача, когда при малых колебаниях учитываются относительные скорости. На рисунке 13 представлены зависимости собственных чисел малых колебаний от величины модуля силы лобового сопротивления <7я0 ~| К |2. Поток оказывает демпфирующее воздействие на колебания.

Яе(А) -------------------------:................... : ■ ......-.......... : - - : - .................;■■■■-. ^ . 8---------------............. - /-"С ___; ^ / .......

/Г'"..-"" 2-1-1— -1-1

1ш(Л)

Рис. 13. Действительные и мнимые части собственных чисел в зависимости от величины модуля силы лобового сопротивления

Рассмотрена задача об импульсном нагружении порывом ветра троса на двух опорах, моделирующих ЛЭП (рис. 14.). Для этой задачи В.А. Светлицкий предложил метод приближенной оценки амплитуды колебаний. Разработанная модель стержня позволяет получать результаты численного решения задачи в общей нелинейной постановке.

г V 0.2^

У0

Го

*з 0.1 1.1

Рис. 14. Модель кабеля ЛЭП. Закон изменения скорости потока

Длина провода - 100м, диаметр 1см, плотность материала - 2700 кг! м1, а = 60°, р = 0°, скорость потока воздуха до порыва К0 = 5м/с, скорость порыва воздуха ^ = 30 м / с (см. рис. 14.).

На рисунке 15 представлены проекции осевой линии троса для промежутка времени, когда на кабель начал действовать порыв ветра (/ = 0.1 с) до момента времени, когда трос достиг своего максимального отклонения из плоскости провисания (х}=0.262 £ при £ = 0.515; ¿ = 3.06 с). Разработанный алгоритм расчета нелинейной динамики стержня позволяет получать зависимости любых интересующих расчетчика физических величин, например, распределения сил натяжения, перемещений.

В данной главе диссертации приведен пример расчета динамики капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха. Разработанные алгоритмы позволяют моделировать нелинейную динамику и находить области критических скоростей полета.

Рассмотрен расчет, моделирующий реальный эксперимент в аэродинамической трубе, проведенный на кафедре АГД НГТУ. Длина троса - 3.52м (в потоке находится 0.5м), вес капсулы - 17.6кг, начальное отклонение - 0.1 градус по углу рыскания (остальные данные приведены в тексте диссертации). Точка крепления к тросу не совпадает с центром масс, и располагается так, что только при 120 км/ч капсула имеет горизонтальное положение. На рисунке 16 представлены зависимости самолетных углов (рыскания, тангажа и крена) капсулы (на тросе) при неустойчивом движении. На рисунке 17 приведен график изменения координаты точки крепления капсулы к тросу.

-01

-02

Рис. 15. Проекции осевой линии троса. Максимальное отклонение

Происходит раскачивание капсулы на тросе как маятника поперек потоку, амплитуды углов рыскания и крена, а так же амплитуда перемещений точки крепления растут со временем: проявляется динамическая неустойчивость для определенного диапазона скоростей полета, зависящего от характеристик троса и капсулы. В эксперименте такой диапазон также обнаружен. Кроме того, существует подобный тип неустойчивости, но раскачивание происходит по углу тангажа (капсула перемещается вверх-вниз). Практический интерес в данной задаче также представляет моделирование процесса выпуска капсулы из-за опасности соударения с корпусом ЛА. Такие расчеты можно выполнить, используя разработанные алгоритмы.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. На основе нелинейных уравнений статики пространственного криволинейного тонкого упругого стержня составлены уравнения малых колебаний относительно его деформированной конфигурации. Рассмотрен учет влияния аэродинамического демпфирования при малых колебаниях, получены расчетные формулы.

2. Разработана и протестирована методика расчета малых колебаний предварительно деформированного тонкого упруго стержня. Сначала находится нелинейная статическая деформированная конфигурация стержня под нагрузкой, затем рассчитываются частоты и формы малых колебаний относительно достигнутого состояния равновесия.

3. Численная методика адаптирована для расчета тросов как весьма длинных стержней. Использован итерационный метод Ньютона для решения нелинейной статической задачи и метод конечных разностей для линейной динамики стержня-троса. Применение МКР позволяет линейную краевую задачу на собственные значения свести к матричной обобщенной проблеме собственных значений. С помощью полиномов Лагранжа получена схема, значительно улучшающая точность получаемых результатов при сохранении размерности итоговых матриц.

4. На основе уравнений статики пространственного криволинейного стержня получены уравнения нелинейного динамического деформирования стержня, разработана и протестирована методика численного расчета, основанная на применении методов прямого интегрирования. Два известных метода прямого интегрирования были адаптированы для произвольной сетки по времени, получены более

общие выражения, являющиеся схемами этих методов в частном случае постоянной сетки.

5. Создан программный комплекс, реализующий разработанные алгоритмы. В качестве примера приложения проведены углубленные исследования некоторых известных задач, в частности получены новые результаты в задаче о петлеобразовании на сжатых скручиваемых стержнях; рассмотрены задачи о динамике тросов в потоке воздуха, в результате более общего подхода получены новые результаты в задаче о колебаниях кабеля ЛЭП при импульсном нагружении порывом ветра.

6. В общей нелинейной постановке решена практически важная задача из области геофизики об устойчивости движения капсулы магнитометра, подвешенной к летательному аппарату на тросе, в потоке воздуха. Составлены уравнения движения капсулы в пространстве, разработан алгоритм расчета совместной нелинейной динамики капсулы и троса как весьма длинного стержня. Верификация проводилась на тестовых примерах, по которым есть экспериментальные данные. Разработанный алгоритм использовался при выполнении договорной работы (имеется акт внедрения).

Разработанные методики могут быть применены в других практически важных задачах, где есть необходимость анализировать механику поведения тонких упругих стержней, кабелей или тросов. При этом не накладывается никаких ограничений (за исключением принятых допущений модели стержня) на геометрию осевой линии, жесткостных и массовых характеристик поперечных сечений, виды прикладываемых нагрузок, учет демпфирования и краевых условий.

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях:

1. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. Колебания предварительно деформированного плоского стержня // Наука. Промышленность. Оборона: Труды IX Всероссийской научно-технической конференции. Новосибирск: НГТУ, 2008. С. 208211.

2. Красноруцкий Д.А. Малые колебания предварительно деформированного плоского нерастяжимого стержня // Сборник тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири" (часть 1). Новосибирск: Сибстрин, 2008. С. 73.

3. Krasnorutskiy D. A., Levin V. Е., Pustovoy N. V. Own Vibrations of the Loaded Flexible Rod // The Third International Forum on Strategic Technologies, June 23-29. 2008. P. 104-105.

4. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. Построение кривой деформирования шар-нирно опертого стержня под действием сжимающей силы // Наука. Промышленность. Оборона: Труды X Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 50-летию факультета летательных аппаратов НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2009. С. 208-212.

5. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. Динамика предварительно деформированных стержней // Сборник тезисов докладов конференции МСНТ'09. Миасс, 2009. С. 40.

6. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Колебания упругого предварительно деформированного криволинейного стержня // Материалы XVII международной научно-технической конференции "Прикладные задачи математики и механики". Севастополь. 2009. С. 8-12.

7. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Определение частот собственных колебаний предварительно деформированного гибкого стержня // Доклады АН ВШ РФ. № 1 (12). Новосибирск: НГТУ, 2009. С. 107-117.

8. Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Расчет динамики и устойчивости естественно закрученного консольного стержня // Наука и технологии. Труды XXIX Российской школы. М.: РАН, 2009. С. 67-71.

9. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. Расчет динамики и устойчивости предварительно деформированного пространственного криволинейного стержня // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр. XXI Всероссийской конференции, Кемерово, 30 июня - 2 июля 2009. Новосибирск: Параллель, 2009. С. 133-140.

10. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. О процессе петлеобразования на сжатом скручиваемом стержне // Труды Всероссийской научно-технической конференции "Наука. Промышленность. Оборона." посвященные 60-летию НГТУ, 21-23 апреля. Новосибирск: НГТУ. 2010. С. 345-349.

11. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Исследование процесса петлеобразования на сжатых скручиваемых стержнях // Материалы XVIII международной научно-технической конференции "Прикладные задачи математики и механики". Севастополь, 13-17 сентября 2010г. С. 23-27.

12. Pustovoy N. V., Levin V. Е., Krasnorutskiy D. A. Analysis of a Looping Process of Compressed Twisted Rods // Proceedings. The 5th International Forum on Strategic Technologies, Oct. 13-15. 2010. P. 119-123.

13. Пустовой H.B., Левин B.E., Красноруцкий Д.А. Расчет тросов с применением нелинейных уравнений стержня // Известия вузов. Строительство. 2010. №9. С. 3-10.

14. Красноруцкий Д. А., Левин В. Е. О численном методе решения задачи колебаний предварительно деформированного стержня // Труды Всероссийской научно-технической конференции "Наука. Промышленность. Оборона" (20-22 апреля). 2011 С. 327-332.

15. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е., Пустовой Н.В. Колебания предварительно деформированных стержней // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4 (2). С. 179-180.

16. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е., Пустовой Н.В. Нелинейные колебания упругих стержней // Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте». Том 8. Физика и математика, Химия. Одесса: Черноморье, 2011. С. 50-55.

17. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е., Пустовой Н.В. Динамическое деформирование гибких упругих стержней // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций: тез. докл. II Всерос. конф. Новосибирск: Изд-воНГТУ, 2011.С. 53.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного Технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел./факс: (383) 346-08-57 формат 60x84 1\16, объем 1,0 пл., тираж 100 экз заказ № 1627 подписано в печать 31 10 2011г.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Красноруцкий, Дмитрий Александрович, Новосибирск

61 12-5/2633

Новосибирский государственный технический университет

На правах рукописи

Красноруцкий Дмитрий Александрович

ДИНАМИКА ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТОНКИХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доцент, доктор технических наук В. Е. Левин

Новосибирск - 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................5

ГЛАВА 1. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ДИССЕРТАЦИИ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРНЫЙ ИСТОЧНИКОВ........................................................................11

1.1. Статика стержней...........................................................................................14

1.2. Малые колебания стержней..........................................................................17

1.3. Динамика существенно длинных стержней-тросов...................................20

1.4. Нелинейная динамика стержней..................................................................22

1.5. Заключение по обзору литературы......................... .....................................26

ГЛАВА 2. СТАТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЯ.........................27

2.1. Система уравнений статического деформирования пространственного криволинейного стержня......................................................................................27

2.2. Переход к безразмерному виду....................................................................31

2.3. Алгоритм решения методом пристрелки.....................................................33

2.4. Модель троса как весьма длинного стержня...............................................35

2.5. Учет аэродинамических нагрузок от установившегося потока................36

2.6. Алгоритм решения итерационным методом Ньютона...............................38

Выводы по главе 2.................................................................................................41

ГЛАВА 3. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО

ДЕФОРМИРОВАННОГО СТЕРЖНЯ....................................................................43

3.1. Вывод определяющих уравнений.................................................................43

3.2. Учет аэродинамических нагрузок при малых колебаниях........................49

3.3. Приведение уравнений малых колебаний к безразмерному виду............52

3.4. Алгоритм расчета по методу начальных параметров................................55

3.4.1. Краевые условия в глобальном базисе.................................................55

3.4.2. Краевые условия в локальном базисе...................................................56

3.4.3. Одновременное использование глобального и локального базиса для задания краевых условий..........................................................................58

3.4.4. Построение форм колебаний.................................................................59

3.5. Применение метода конечных разностей для решения краевой задачи

на собственные значения......................................................................................63

3.5.1. Представление системы уравнений в матричном виде.......................63

3.5.2. Простейшая конечно-разностная схема...............................................69

3.5.3. Четырехузловая схема с постоянным шагом.......................................70

3.5.4. Схема с произвольным шагом...............................................................72

3.5.5. Представление краевых условий в матричном виде...........................74

3.5.6. Сведение к обобщенной проблеме собственных значений................76

Выводы по главе 3.................................................................................................79

ГЛАВА 4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ..................81

4.1. Уравнения динамического нелинейного деформирования стержня........81

4.2. Методы решения............................................................................................82

4.2.1. Развитие метода Хаболта.......................................................................88

4.2.2. Развитие метода Парка...........................................................................90

4.2.3. Выбор начального приближения...........................................................91

4.3. Взаимодействие капсулы магнитометра с тросом в потоке воздуха........93

4.3.1. Вывод определяющих уравнений.........................................................93

4.3.2. Алгоритм расчета усилий реакции троса на капсулу........................102

4.3.3. Определение ориентации капсулы в пространстве...........................104

Выводы по главе 4...............................................................................................106

ГЛАВА 5. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ.............................................................108

5.1. Исследования процесса петлеобразования на сжатых скручиваемых стержнях...............................................................................................................109

5.1.1. Шарнирно-опертый стержень..............................................................110

5.1.2. Защемленный стержень........................................................................120

5.2. Малые колебания троса в потоке воздуха.................................................128

5.3. Учет относительных скоростей при колебаниях троса в потоке............131

5.4. Динамическое деформирование консольного стержня...........................132

5.5. Нелинейная динамика тросов в потоке воздуха.......................................134

5.5.1. Колебания троса при импульсном нагружении потоком воздуха... 134

5.5.2. Задача о взаимодействии капсулы с тросом в потоке воздуха........140

Выводы по главе 5...............................................................................................146

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................................................149

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......................................................................................151

ПРИЛОЖЕНИЕ 1....................................................................................................166

ПРИЛОЖЕНИЕ 2....................................................................................................168

П2.1. Выражения для якобиана системы уравнений статического деформирования стержня...................................................................................168

П2.2. Выражения второй производной матрицы поворота по компонентам вектора конечного поворота..............................................................................174

П2.3. Выражения частных производных от аэродинамической нагрузки.... 177

ПРИЛОЖЕНИЕ 3....................................................................................................179

ПРИЛОЖЕНИЕ 4....................................................................................................182

П4.1. Приведение уравнений движения стержня к безразмерному виду.....182

П4.2. Соотношения для энергий........................................................................183

ПРИЛОЖЕНИЕ 5....................................................................................................187

П5.1. Сжатие консольного стержня следящей нагрузкой...............................187

П5.2. Построение кривой деформирования сжатого шарнирно-опертого стержня.................................................................................................................188

П5.3. Тестирование методики расчета малых колебаний...............................191

П5.3.1. Расчет конической пружины.............................................................191

П5.3.2. Расчет колебаний цилиндрической пружины.............. ...................193

П5.3.3. Расчет колебаний натянутого троса..................... .............................195

П5.4. Тестирование четырехузловой схемы расчета малых колебаний........197

П5.4.1. Защемленный стержень с точечной массой на конце....................197

П5.4.2. Моделирование точечной массы путем задания большой плотности на малом участке длины..............................................................200

П5.5. Сравнение методов прямого интегрирования между собой.................207

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность выбора темы диссертации. Для обеспечения эффективной, надежной и безопасной эксплуатации машин, приборов и аппаратуры, при проектировании новых поколений конструкций и усовершенствовании существующих в последнее время широко используются расчетные методы. Стержни и тросы находят свое применение во многих областях техники. Они используются в машинах, приборах, могут быть как самостоятельными, так и вспомогательными элементами конструкций. Несмотря на то, что теория тонких стержней является одной из первых теорий в механике сплошных сред, и существует большое число фундаментальных теоретических и практических работ по стержням, некоторые вопросы, в основном связанные с численной реализацией моделей стержней, остаются недостаточно освещенными. Кроме того, судя по различным публикациям, при возникновении конкретной практической задачи для изучения закономерностей динамических процессов зачастую приходится разрабатывать специальную модель стержня или нити, подходящую для решения этой задачи, а так же составлять и тестировать численные алгоритмы расчета по математической модели. Другими словами, представляется актуальным разработать методику численного расчета по дифференциальной модели стержня для современных ЭВМ, позволяющую решать широкий круг практических задач, связанных с механикой стержней и тросов. В данной работе за основу взята одна из моделей тонкого упругого стержня, проведена разработка и тестирование методики численного расчета на достаточно широком круге задач, представляющих как теоретический, так и практический интерес.

Диссертация состоит из пяти глав и излагается в следующем порядке.

мы расчета линейной и нелинейной динамики стержней; проблемы расчета существенно длинных стержней (тросов, канатов, проводов), широко используемых во многих сферах техники.

Во второй главе излагаются вопросы, связанные с определением статической конфигурации пространственного тонкого упругого стержня под действием приложенной нагрузки. Рассмотрена возможность моделировать трос весьма длинным стержнем. Получены выражения для аэродинамической нагрузки на стержень, находящийся в потоке воздуха. Изложены алгоритмы численного решения соответствующей краевой задачи методом пристрелки и с помощью итерационного метода Ньютона, который позволил решать зачади о деформировании весьма длинных стержней - тросов.

Третья глава посвящена вопросам расчета малых колебаний стержня относительно достигнутой нелинейной статической конфигурации. Получены уравнения для амплитуд малых колебаний, записаны безразмерные выражения, рассмотрены два подхода к получению численного решения, сходящегося к точному. Первый подход - по методу начальных параметров линейная краевая задача сводится к задаче поиска корней частотного определителя. Второй - по методу конечных разностей задача сводится к матричной обобщенной проблеме собственных значений.

В четвертой главе изложены вопросы, связанные с нелинейной динамикой стержней, составлены уравнения движения и основные соотношения, необходимые для получения численного решения. Рассмотрены численные методы прямого интегрирования для сведения системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравне-

ний. Некоторые многошаговые методы адаптированы для произвольной сетки, произведена модификация, улучшающая точность. Получены уравнения движения капсулы магнитометра, подвешенной на тросе в потоке воздуха, разработан алгоритм расчета совместной нелинейной динамики стержня-троса и капсулы как единой системы.

Пятая глава посвящена практической реализации разработанных численных методик. Рассмотрены тестовые задачи, задачи, взятые из работ других исследователей, а также задача об устойчивости движения капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха. Разработанные алгоритмы можно использовать для решения широкого круга задач, представляющих как теоретический, так и практический интерес.

Цели диссертации.

1. Разработать методику расчета по модели тонкого упругого стержня, подходящую для решения широкого круга задач малых колебаний предварительно деформированных пространственных криволинейных стержней (тросов) и нелинейного динамического деформирования, ограниченного только базовыми допущениями классической модели тонкого упругого стержня (гипотеза Эйлера-Бернулли, материал работает в пределах закона Гука).

Задачи исследования.

1. На основе уравнений статики пространственного криволинейного стержня [59] получить уравнения малых колебаний относительно достигнутого состояния статического равновесия.

3. Адаптировать численную методику для расчета тросов как весьма

длинных стержней.

Научная новизна работы. На основе известных уравнений [59], описывающих большие перемещения пространственного криволинейного тонкого упругого стержня, получены уравнения малых колебаний относительно достигнутой статической конфигурации и уравнения нелинейного динамического деформирования. Исходные уравнения статики и, следовательно, полученные на их базе уравнения линейной и нелинейной динамики обладают рядом преимуществ. В частности геометрия осевой линии стержня может быть произвольной (изломы, скачки кривизны), модель описывает любые повороты и вращения поперечных сечений стержня.

Разработана методика расчета, включающая в себя расчет нелинейного статического деформирования, расчет малых колебаний предварительно деформированного стержня и нелинейного динамического деформирования стержней. Модель стержня напрямую может использоваться для описания статики и динамики тросов, что имеет преимущество перед классическими «ниточными» и «цепными» моделями, так как учет жесткостей на сжатие и изгиб происходит автоматически.

Рассмотрены известные практически важные задачи, получены новые и более точные результаты, в частности более глубоко исследована задача о петлеобразовании на сжатых скручиваемых стержнях. Разработана и протестирована методика расчета совместной нелинейной динамики капсулы магнитометра, подвешенной на тросе в потоке воздуха.

Методы исследований. Для решения задачи о поиске статической конфигурации стержня под нагрузкой, представляющую собой нелинейную крае-

вую задачу, использовались два метода: метод пристрелки и итерационный метод Ньютона.

Задача о малых колебаниях предварительно деформированного стержня, являющаяся линейной краевой задачей на собственные значения, решается по методу начальных параметров, либо с помощью метода конечных разностей сводится к обобщенной проблеме собственных значений.

Нелинейная динамика стержня описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Применение методов прямого интегрирования позволило свести задачу к последовательности нелинейных краевых задач, которые в свою очередь решаются с помощью итерационного метода Ньютона.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на сопоставлении результатов расчета по методикам диссертационной работы с известными аналитическими и численными решениями, а также с известными экспериментальными данными и результатами моделирования в конечно-элементном пакете ANS YS.

Практическая значимость заключается во внедрении результатов исследований в ООО ГП «Сибгеотех» (результаты исследований использовались при выполнении договорной работы № АГД-7-10 «Разработка и изготовление транспортируемой под вертолетом капсулы магнитометра»). Результаты работы использовались при разработке конструкций зонтичных антенн космических аппаратов в ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М.Ф. Решетнёва». Копии актов приведены в приложении 1.

На защиту выносится:

3) результаты решения практических задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на II Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2011 г.); на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.); на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2011 г.); на Всероссийской научно-технической конференции «Наука. Промышленность. Оборона.» (Новосибирск, 2008-2011 гг.); на международном форуме IFOST (Ульсан, Корея, 2008 г.; Новосибирск, 2010 г.); на международной научно-технической конференции «Прикладные задачи математики и механики» (Севастополь, 2009, 2010 гг.); на